Dao động mạng tinh thể biến dạng tổng quát và phổ năng lượng của chúng

MỤC LỤC
3.1
3.2 Phổ năng lượng của dao động lượng tử của mạng tinh thể biểu diễn
MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
Trong cuộc cách mạng khoa học công nghệ hiện nay ngành vật lý đã có rất
nhiều những đóng góp lớn, đã giải thích được nhiều những hiện tượng trong tự
nhiên, đặc biệt trong ngành vật lý chất rắn đã có những đóng góp rất quan trọng
đã tạo ra các vật liệu cho một số ngành kĩ thuật mũi nhọn như điện tử, du hành vũ
trụ, năng lượng nguyên tử Vật lý chất rắn chủ yếu đề cập đến các tính chất vật
lý tổng quát mà tập hợp nhiều các nguyên tử và phân tử thể hiện trong sự sắp xếp
một cách đều đặn và tạo thành các tinh thể. Kể từ khi có sự ra đời của các lý
thuyết lượng tử và các tiến bộ của khoa học kỹ thuật thì vật lý chất rắn mới có
được cơ sở vững chắc và thu được những kết quả hết sức quan trọng về mặt ứng
dụng cũng như lý thuyết.
Hon nữa gần đây áp dụng hình thức luận dao động lượng tử rất có hiệu quả
trong nghiên cứu quang lượng tử, sự quay và rung của các hạt nhân, chất rắn, vật
chất đông đặc, dao động mạng tinh thể
Với lý do trên tôi chọn đê tài nghiên cún tìm hiêu vê "dao động mạng
tinh thế biến dạng tông quát và pho năng lượng của chủng”.
2.Mục đích nghiên cún
- Nghiên cứu về dao động mạng tinh thể biến dạng tổng quát và phổ năng
lượng của chúng.
1
3.Nhiệm vụ nghiên cún
- Nghiên cứu mạng tinh thể.
- Nghiên cứu dao động mạng tinh thể biến dạng tổng quát.
- Nghiên cứu phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể.
4.Đối tượng nghiên cún
- Nghiên cún về dao động mạng tinh thể và dao động biến dạng.
5. Phương pháp nghiên cún

- Phương pháp nghiên cứu vật lý lý thuyết.
- Phương pháp giải tích.
NỘI DƯNG
CHƯƠNG I: DAO ĐỘNG MẠNG TINH THẺ
1.1 Dao động tử Boson
Hệ thức giao hoán của dao động tử Boson đơn mode thỏa mãn:
[a, a
+
] = 1 (1.1.1)
Toán tử số dao động N
N = a

+

(1.1.2)
Trong đó:
a: là toán tử hủy dao động a

+



:
là toán tử sinh dao động Kết
hợp (1.1.1) với (1.1.2) ta có:
[N,a] = [aa
+
,a] = a[a
+
,a] + [a,a] a

+



= —

a (1.1.3)
[N, a
+
] = [aa
+
, a

+



) =

a[a
+
, a
+
] + [a, a

+

) a

+



= a

+

(1 1 4)
Xét không gian Fock với trạng thái chân không 10) thoa mãn:
alO) = 0
2
Trạng thái In) là trạng thái có n dao động tử có thể thực hiện trong
không gian Fock với cơ sở là các trạng thái riêng đã chuẩn hóa có dạng:
In) =^^10) n = 0,1,2 (1.1.5)
Ta CÓ toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng p liên hệ vói các toán tử
dao động a, a

+

như sau:
Q =JỄ
( a + + a )
3
p
=-
i
J~r (

a
~
a+
)
Khi ấy hệ thức giao hoángiữa toán tử tọa độ Q và toántử xung lượng p
[Q, P] =J

[(a

+

+ à),

(a
+
- ã)] =

Y ([a

,a
+
] -[a

+



, riị)

= ih[a,a

+
] (1.1.6)
Thế (1.1.1) vào (1.1.6) suy ra:
[Q, P] = ih

(1.1.7)
Toán tử Hamiltonian được biểu diễn như sau:
H = -i-P
2
+ im
2
Q
2
= (a+

- á)

2

+ 7(a
+
+ a)

2
= -

(a

+

a

+ aa

+
) = - (2a

+



a

+ [a, a

+
])
= £(2W + 1) (1.1.8)
Phổ năng lượng của dao động điều hòa được xác định bởi phương trình
hàm riêng và trị riêng của toán tử H:
Hln) = £
n
|n>
H = J (2N +

l)ln) = ^ (2n + l)ln>
Suy ra:
E

n

=ị{

2n + l) n = 0,1,2 (1.1.9)
Nhận xét: Công thức (1.1.9) là công thức xácđịnh năng lượng của dao
động tử điều hòa 1 chiều đã được cơ lượng tử giải thích một cách chính xác.
Từ hệ thức (1.1.8) dẫn đến hệ thức bất định Heisenberg:
<(AỌ)
2
X(AP)
2
)=f (2n + 1)
2
> f (1.1.10)
Ta thấy:
4
là:
(Q) = (nlQln) = 0 <p> = <nlPln) = 0 (1.1.11)
Do đó độ lệch toàn phương ((AỌ)
2
), ((AP)
2
của toạn độ và xung lượng
<(AỌ)
2
) = ((Ọ- (Q))
2
) = (Q

2
)
h
2
(nl(a
+
+ a)
2
| n)
(nl a

+

a|n) + (nlaa
+
|n) (nl2N + l|n>
(2n+ 1)
2mơ)
<(AP)
2
> = ((P- (P))
2
) = (P
2
) h
2
(nl(a
+
— aỴ

|n)
2 mơ)
= — (nl a

+

a|n) + (nlaa
+
|n)
= — <nl2Af + l|n>
= ~~(2n + 1)
Suy ra:
<(AỌ)
2
X(AP)
2
)=^(2n + 1)
2
> f
1.2 Dao động tử Fermion
Hệ thức phản giao hoán của dao động tử Fermion thỏa mãn:
[b,b
+
}=\
b

2

= (b

+



)

2



=

0 (1.2.1) Toán tử số dao động N có dạng:
5
là:
2mc
ủ
h

2
2
mù
)
h

2
2
mù

)
h
2
N = b

+



b

(1.2.2)
Trong đó:
b: toán tử hủy dao động b

+
: toán
tử sinh dao động Tương tự N thỏa mãn
hệ thức giao hoán [N, b] = —b
[N ,b

+



] = b

+

(1.2.3)

Đại số (1.2.2) có thế thực hiện trong không gian Fock với cơ sở là
vecto đã chuấn hóa của toán tử số dao động tử N:
In) = (b

+



)

n

10 n= 0, 1
(n=0, 1 vì đây là hệ Fermion nên phải thỏa mãn nguyên lý loại trừ Pauli)
Khi ấy tác dụng của toán tử b, b

+

lên trạng thái In) : bl0> = 0 bll) =
IO>
Ò
+
I0> = I1) b

+

II) = 0 (1.2.4)
1.3 Dao động tử biến dạng
1.3.1 Dao động tử Boson biến dạng q
Dao động tử Boson đơn mode biến dạng q được mô tả bởi các toán tử

sinh và toán tử hủy dao động tử ã

, ẵ

+

theo hệ thức sau: ẵẵ

+

□ qẵ

+



ã=q~

N
(1.3.1)
Với q là thông số biến dạng:
Toán tử số dao động biến dạng q thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị
riêng:
Ấ?ln>
q
= nln), (1.3.2)
Toán tử hủy, sinh â, ă

+

và toán tử số dao động N

thỏa mãn hệ thức:
6
Ở đây |0) là
trạng thái nền
và dùng kí hiệu:
(1.3.5)
â(â
+
)
n
IO) = ( qẵ

+



ã

+ q~

N



)

(a
+

)
n_1
IO)
= {q~
N
(â
+
)
n-1
+ qẵ
+
а(а
+
)
п
~
г
} 10)
= {q~

N

(a
+
)
n_1
+ qẵ

+

(qâ

+



â

+ q

~
N
) (â
+
)
n-2
}IO) = {q~

N
(â
+
)
n_1
+q~

N +2

(a

+
)
n-1
+(a
+
)
n-1
a(a
+
)
n-2
} 10)
= {(q
N
+ q
N +2
+ + q
N+ 2 n 2
)(â
+
)
n 1
+ q
n
(ẵ
+
)
n
ẵ} 10)
=>â

+
â(a
+
)
n
IO) = {(q~
N +1
+q~
N +3
+ + q~
N +2 n _ 1
) (â
+
)
n
+ q
n
(a
+
)
n+1
aỊIO) Vậy:
ẵ
+
ẫ\n)
q
= (q~
n +1
+q~
n +3

+ + q*-
1
) |n>
q
|n>.
=[п]д|п)д
• aâ
+
|n>
Q
= aâ
+
^=IO>
7
(1-3.3)
[ N, â

+

]

=

ẵ

+
[N,ẵ] = -

a

Chúng ta đưa vào cơ
sở của không gian Fock:
(1.3.4)
S
+
â|n>
(?
= ẫ
+
ã 10)
8
9
___(à
+
)
n
,
m
, (â
+
)
n

im
-
q â

â
vw
l0> + í?

f^
l0>
= ợâ
+
â|n)
ÍJ
+ q~

N



\n)

q
= í
?7^ |n>, + «r
n
|n>,
| n >
0
Vậy:
â
+
â|n)
(ỉ
=[n]
(;
|n>
(ỉ

ââ
+
|n)
(ỉ
=[n + l]
(Ị
|n>
(ỉ
(1.3.6)
Hamiltonian được biếu diễn qua toán tử tọa độ X và toán tử xung lượng
p

có dạng:
H = ỉl + ĩ-m
2
x
2
(1.3.7)
2m 2
x
'
Toán tử hủy và sinh dao động tử â, â

+

của dao động biến dạng q:
ã =
J ấ
( $ +
Các toán tử tọa độ và xung lượng có thể biểu diễn ngược lại qua các

toán tử hủy và sinh dao động tử â, â

+



:
^=jE
(ã+ ế + )
p =-ij^y (â - â
+
) (1.3.9)
Thay (1.3.8) vào (1.3.9) ta được:
1
0
qn+i_ q-m-i+q-in-i _ q-n

-1 q-q-
1
Ơ

n+

1 _

0 -n-i
|n><J = [n + llạln),
Lị c/
- — [â
2

— ẵâ
+
— ẵ
+
â + (â
+
)
2
]
• X
2
= —(ã + â

+



)(

â +

ầ
+
)
2m

y
= — [ẵ

2

+ âẵ

+

+ ẵ

+



ẵ +

(â
+
)
2
]
2 m

v J

J
=>// = [a
2
— aa
+
— â

+
â + (â
+
)
2
] + -[â
2
+ ãâ

+

+ â
+
â + (â
+
)
2
]
H = - (âẵ
+
+ ấ
+
ẵ)
Phổ năng lượng của dao động biến dạng q:
H\n)
q
=E
n
\ĩì)
q

-

(âấ

+

+ â

+



ẵ)\n)

q

= E

n

\n)

q



^([n +
l],+[n]
(Ị
)|n>

(|
= £
n
ln>
(J
Vậy:
= 2 [n + l]<Ị + [n]„
1.3.2 Dao động tử Fermỉon biến dạng q
Dao động tử Fermion biến dạng q được biểu diễn thông qua các toán tử
sinh dao động tử b

+

và toán tử hủy dao động tử b

như sau:
(1.3.11)
Trong phương trình (1.3.11) nếu f = 1 thì trở về hệ thức dao động tử điều
hòa (1.2.2)
Toán tử số dao động tử điều hòa N

thỏa mãn:
(1.3.12)
1
1
A? mh

^

£i+\/ ^+\

•

p = - — (â — â )( ã
— ã )
(1.3.10)
Và N

cũng thỏa mãn phương trình hàm riêng trị riêng như sau: $ |n)
r
= n|n)
r
Với trạng thái riêng đã chuấn hóa N

được viết dưới dạng:
(1.3.14)
Khi f = 1 ta có dao động tử Fermion điều hòa (1.2.2)
1.4 Dao động mạng tỉnh thể
1.4.1 Chuỗi nguyên tử cùng loại
Chuỗi các nguyên tử cùng loại xếp đặt cách đều nhau một khoảng bằng
a (hằng số mạng tinh thể) trên trục Ox, mỗi nguyên tử có khối lượng M và
chuyến động quanh vị trí cân bằng của nó.
n-l n n+1
e—Q 0 Q
0
: ị

x

„ ị

! •
na
Tọa độ của nguyên tử thứ n ở vị trí cân bằng
x
n
= na
Độ dịch chuyến của các nguyên tử thứ n
1
2
(1.3.13)
(1.3.15)
X
u„(t) = u(x
n
, t)
Giả thiết thế năng giữa 2 nguyên tử kề nhau, ở các nút thứ n và n+1 tỷ
lệ với độ dời bình phương độ dời tương đối
u
n+1
(t)- u
n
(t)
Và bỏ qua tương tác giữa các nút không kề nhau. Khi đó thế năng toàn
phần của hệ là:
u =

|2j[u
n+1

(t) - u
n
(t)]
2
n
a: hệ Số tỷ lệ
Động năng toàn phần của hệ:
2 Z-IL dt
n
Xung lượng của nguyên tử thứ n ứng với tọa độ u
n
(t) là:
đu
n
(t)
p
n
(t) = M
dt
Động năng toàn phần:
T =
2wỊ>
,)
n
Năng lượng toàn phần của hệ:
E= ^X
p
n(
t
)+ I^K+iCO- u

n
(t)]
2
n n
Khi lượng tử hóa ta thay hàm P
n
(t) bằng toán tử xung lượng P

n

và hàm
u
n
(t) bằng toán tử tọa độ suy rộng ũ

n

.

Hamiltonian của hệ trở thành:
H =





2M

+
2X^

Un+l(
'
t
'
) _ Un
^l
2
(1-4.1)
n n
Giữa các toán tử ũ

n

và P

n

có

các hệ thức giao hoán:
[tl
n
, Pyỵ\ lhố
nm
1
3
Ta có:
ĨMn> Pni PnMm
= u
™

(
-
m )
i ỉ r
(
-
i
7
i )
ỉ
U m
= ih
iã^
Um
~
Um
chïJ
lftẼỊỈ2ũ. - ilĩô
L I I ^ t '
L U
nm
•

\Ujịf U ỴỴI \ Xly ỵĩly n и
ш
и
п
ĩi
m
u

n
0
• Гp

P™ 1 = Р Р , — PLP
1
n
á
m
l



m

Ẩ



n
= (-ft
2
) [— —1 = 0
Ldu
n
ớu
m
du

m

du

n

J
Các toán tử ũ

n

và P

n

tương ứng với các nút thứ n và phụ thuộc vào tọa
độ x

n

của nút này. Ta khai triển các toán tử này theo các sóng phang với vectơ
sóng nằm trong vùng Brillouin thứ nhất.
ũ

n = jĩị

Y,*"e
lk X n
ủ
k
(1.4.2)

v
к
Pn = 4 ỵ

m



e

ik x



"p

k

(1.4.3)
v
к
Nhân 2 vế của (1.4.2) với e~

ik



'

Xn

rồi

lấy tổng ta được
H= 0
£ ü
n
e~
ik
'
x
* =
e
i(k-k')x
nũ k
11=0
Theo khai triển Fouierr ta
có: ì у т
е
Цк-к')х
п
_ г
дг а,К

к
ỵ û
n
e

i k
'
x
" = л/w ỵ<"õ
K k
,,ù
k
= V/Vûfc
/1=0 к
1
4
û
k = e~
ik X n
û
n
(1-4.3)
й=0
Tương tự nhân 2 vế của (1.4.3) với e~

ik



'

Xn

rồi lấy tổng ta cũng thu
/1=0

được:
Pk =
e
~
ik X n
Pn (1-4.4)
v
11=0
Ta tìm hệ thức giao hoán giữa ù

k

'

và ỷ

k



[Pfc.Wfc'] = РкЩ' -Щ'Рк
_

Lỵ
e
-ikx
n
p
n
ỵ

e
-ik'x
m û m
_

1 £

e
-ik'x
m ù m
Ỳ
e
-ikx„p
n
n=0 m=0
v
»1=0n=0
—

—V

V

/Э

~l(kx
n
+k Xrrì)Y) -ì) —

77_

»rZj

Là Hn^m
L L
mt
J
n
IP о m=0
= — X

ị

e
-
l
^
+ k
’
x
^s
n m
= —Ỳ

e

-í(fc+k')*n =

—ihỗ
k
_

k
i
1
5
Mặt khác thay ( 1.4.3), ( 1.4.2) vào ( 1.4.1 ) ta được:
• Ï vị =1 1= v
n
e~
ik
'
Xn
Vk'T
me i k X n
Vk
I l I I к к
= еЧ*-*'»*р
к
,р
к
к k n
= Z"
)
Ẹ
l
"
ố
k,-fc'Pfc'Pk = Yj^P-kPh
к к к
* X С^П + 1 ) X С^П+1 У'П

) 0^71+1)
л п

= E
(1>
Ẹ"’
ổ
k,-fc'(
1
— e
ika
) (1 -e
i k
'
a
)û
k
'ü
k
к к
= Л
т0
к,,-к’(
1
-e
l k a
){\ - e
i k
'
a

) ü_
k
û
k
к
= 2
(1)
1 —
к
= 4 Y
(,)
sin
2
—й_
к
й
к
о f v t v
к
Và do đó:
# = 'L"
)
(^;P-kPk + 2 sin
2
YÛ-
k
û
k
)
к

Thay: —sin
2
—= Củ(k)
2
Cuối cùng ta được
я = Z
(,)
(^P-fcPfc + 2
M
w(fc)
2
û-fcûfc)
Tiếp theo ta biến đổi công thức này về 1 dạng mới bằng cách đặt: л/ж
Í0(fc)ữ
fc
) = (â
fc
+ ai
k
)
1
А _ .
àcư (k)
л л+
7=р*= -ư-^(ẫ
k
- ât,
1
6
(1.4.5)

(1.4.6)
(1.4.7)
Trong các biểu thức trên â

k

vằ ầỵ

là các toán tử mới được biểu diễn ngược
lại qua ũ

k

và p

k

như sau:
Mà ta có:
ih
ũ
k
pk = - y [âị - ẫ
k
ằl
k
+ ẫl
k
à
k

- (â+
fc
)
2
]
PA = - y [â| + â
fc
âí
fc
- âí
k
a
fc
- (âí
k
)
2
]
-*• ũ
k
p
k
- p
k
ũ
k
=
l
-ệ (2â
k

âĩ
k
- 2ăl
k
ẫ
k
)
—ihỗ
k
_
k
t = ihlẵ^âtk]
Klii —k = k'

thì [â

k

,

a£] = Ô

kk

'
Ta có:
2Mù)(k)
ũ
k
>1

2M(ù{k)
Vk
h
1 ,— i

-» âfc = , = (VM<u(íc)M
k
+ -= ệ

k

)

J2hùj(k) VM
1 , í
==(VM 6>(fc)ữ
k
- -= Vk)
■sj2hù)(k)
H a y : â
*
+
= 7lảw
( A /
"“
№ ) ữ
-
f c
" V» P-*)
(1.4.8)

h
ẫ

k

- ãt

k

= i
N
^s-|- __
âl

k

=
VÃ7
*
а
к Q-k'
а
к
га
-к
=
+
VM
Pk
')

- (VÃ7
Ш
(к)й
к
, + -L p
fc
,)^-L^(VÂ7 <o(k)û
k
+-L fc)
1
=

2hù)(k)



*■
м
(
ũ k ũ k
’ ~
û
k’
û
k)+

ia)

(

fe



)

(Pk
û
k’ - û-k'Pk)
1
+ icü(k)(û
k
p
k
, - p
k
’ü
k
) - — (p
k
p
k
/ - Pfc-Pfc)
= i^(k)([p
k
,û
k
'] +[ûfcPfc'D

= — (—ihỗ
k
_
k
> + ihỗ
k
_
k
i) = о
Vậy: [â
k
,<v]=0 (1.4.9)
• [ẫt,âp] = âtâp-ẵpăt
= 2^(^
w(fc)ữ
-*-^-*)(^
w(fc)ứ
-
fc
'- vfeM
- (4M
Ш
{к)й_
к
, - j= p_
k
,) L^VÂM/OÛ-* - -L p_
k
)
1

= 2h<ứ(k) {

M

w
(
fe
)
2
(
ß
-fc
ü
-k' - û-fc'û-fc) - iü)(/c) (р_

к

й_

к

, - и_

к

ф_

к

)

1
- iü)(k)(û_
k
p_
k
, -p_
k
'û_
k
) - — (ỷ-
k
V-
k
’ -V-k'V-k)
= ^7^j(-t^(/i))([p-
k
,M_v] + [û-fcP-k'D
=
2Ỉầm^~
iiứ
^
{
~
ih5
-
k
’
k
' ~
ih S

-k,k') =
0
Vậy:
[â£,ẵp]= О Từ (1.4.6) và (1.4.7) ta suy ra:
û
-* = (
â
-*
+ ẫ
-*
- _ _ • MhcüÇk)
й й+
P-fcPk = (â-fc + âj) (âfc + âi
ft
)
(â_
k
â
k
- â_
k
âifc - âjâfc + â£âü:
k
)
• û - f c û f c =
2 M

+ â
f c ) ( “ k
+ a

- k )
(â-fcâfc + â_
fc
âifc + âjâfc + â£âifc)
2M co(/c)
Suy га (1.4.5) trở thành:
fi = Z'
1
’ [^(-
ííí
7%â-fcâ
fe
- a_
k
âí
k
- ajfâfc + âjâifc) + i м ш

2

(к)

гм ш ( к )


(â_fcâfc + а_* âí
fc
+ âjâ
k
+ âjaifc) ]

= z (â-fe âí
k
+ âjâfc) = X âfc + ẫịầ
k
)
к к
Theo hệ thức giao hoán (1.4.8) ta có:
V ✓ УЧ ỵv -ị- А
М
âfcâfc - âjâfc = 1
-> âfcâj = 1+ âjâfc
hờ)(k)
Do đó: H = ỵ'
n
^iâtã
k
+1)
*
Hay
Û
*= Æ*Éj
(â
*
+ ổí
*>
-Л _ ;\Mho>{k)
л
Pk = -i.

" (gfc-)

Có thể chọn gốc tính năng lượng sao cho “const” ở công thức trên bằng
0 và cuối cùng ta nhận được
Я = X
(l)
hù)(k)â£â

k

(1.4.10)
к
1.4.2 Chuỗi hai nguyên tử khác loại
Xét chuỗi nguyên tử gồm 2 loại khác nhau, loại thứ nhất có khối lượng M

-
L
, loại thứ 2 có khối lượng M
2
, xếp sen kẽ cách đều nhau 1 khoảng bang а (hằng
số mạng tinh thể là 2a, mỗi ô cơ sở chứa 2 nguyên tử) trên trục Ox, mỗi nguyên
tử chuyến động quanh vị trí cân bằng của mình.
Gọi độ dời của nguyên tử thứ nhất là u

2

t(t)
Độ dời của nguyên tử thứ hai là v

2n + 1

(í)

Các xung lượng ứng với các độ dời w
2t
(í) và V

2n
+1 (í) là:
P2n(t) = M

! ^2
q
2
n
+
i(t) = Щ
Khi lượng tử hóa ta thay u

2t
, V

2n
+1, P2n, Ч2П+1 bằng các toán tử û

2n

,
$

2п+

1’

p

2m

Я

2П+

1-

Các toán tử này thỏa mãn hệ thức gia hoán:
* [p2?i> ^2nl
[p2n'^2nl P2n^2m ^2mP2n
=
(ãũ^
U2 m
~
Uỉm
ĩn£)
= í-ih) %r=- ihS
nm
ơu
2n
* [42n+l' ^2m+l]
Ta có:
[Q2n+l>
v
2m+l] —
c

Ì2n+l
v
2m+l
v
2m+l<\2n+l
= V
2m
+l(-tà)^r (-ítO-^r—Vĩm+l

ơv
2n+l
ơv
2n+l
— (—ỉ/ĩ) ^2m+l ^2m+l
^v
2
n+l ổv
2n+1
.
v
' ớv
2n+1
• [P2n,P2m] = 0
Tính:
[ P2n> P2ml P2nP2m P2mP2n
= (-ift) Ỳ


(-
ift) —

*
Tính:
[ P2n+1'P2m+l]
=
P2n+lP2m+l
—
P2771+1P271+I
= (—ift)—-—(—íft)—

(—ift)— (—ỉ/ĩ)
ổV2n+i dv
2
7n+i
^
V
2m+1
2n+l
= (-ft
2
) (——ỉ —?——) =
\dv
2n+1
dv
2m+1
dv
2m+1
dv
2n+1
J
•

[U
2
n,V
2
m+l] =
0
[ ^2n^2ml
—
^271^2771+1 —
—

U2n^2m+1

^2m+1^2n
• [p2n+1^2m+l] =
0
Ta COI [p2n> ^2m+l] P2n^
7
2m+1 ^27n+lP2n
n
m
=
v
2m+l(~ih)7~ (-
ift)T^-V
2m+1
ơu
2n
ou
2

n
= ^{-ér
n
v
^-
v
^iò =
ũ
^ ( * b
r
* » + 0*
= V ;
80
f

dip .
dip
(l72m
+1

auj
-
V2m
+1

aul
• M2TH-I'u
2 m
] — 0
Tinh: [<72n+l> ^2m]

—
Q2n+1^2m
—
^2mQ2n+l
( ỉ/ĩ) "T~ ^2m ^2m(
di;
2n+1
=
G^T“
u
2™ “
u
^^~~)
= 0
\ơv
2n
+l
Ta khai triển các toán tử theo chuỗi Fourier
đối với các vecto sóng trong vùng Brillouin thứ
nhất:
P2n =

jỵY,
m
e
l k X 2 n
Vk
ũ
2n = ^

ỵ,'" e
ik x
™ũ
k
Í2n = ỵ,
m
e
ikx
™q
k
k
v
2n
= ựỹ ỵ
m
e
ikx
™v
k
k
Từ (1.43) ta có:
V

e
-ik'x
2 n
p
2 n
_ 2/°

Y
e
i(k-k')x
2 n
p
k
n ĩl
='ỉũV" 8
k
,k'Pk
='ỈN v
k
’
k
=
J^ỵ_,
e
~
lk X 2 n
'P
2n
n
Tương tự ta cũng tính được
^
=
^Z
Ể
"
t o 2 n + i Ộ 2 n + i
n

ũ
k
= 7^^ e~
i k X 2 n
ũ
ỉ n
n
ũ li =

e
-ik
*
2n+1
v
2n
+i
n
Các hệ thức giao hoán giữa p
k
, q
k
, ũ
k >
v
k
• [Ũ
k
',p
k
\ = ih8

k
_
k
'
Tính toán ta được:
[ũ
k
',ỷ
k
] = ũ
k
'p
k
- p
k
ũ
k
'
= e
~
i k
'
X2 n ũ
2nỵ e~
i k x
™-p
2 m
- ỵ e~
ifc
*

2m
p
2m
X
e~
i k
'
X 2 n
ũ
2
n)
ĩì m m
= X e-
ii k
'
x
^
+k x
^{ũ
2n
p
2m
- ệ
2m
ũ
2n
)
/ỉ m
—

y e-i(k'x
2
n+kx2m)fì
” L
c Ư
nm
n m
= „1
e
-i(fc+ít')^n = i /ĩS ,
La K, K.
ĩì
• [Ív.ậíc] = i hS

k

_

k

i

Tính toán ta được:
Rk^k’
= ^I
e

~

ik

'

X2 n + 1

V

2n+il

e-
ik x
™+'q
2m + 1
~ỵ
e~
ik X 2 m + 1
q
2m
+i
n m m
I e~
i k
'
X2 n + 1
v
2 n +1
)
= ^I I
e Kk
'

X2 n + kX 2m )
(v
2n
q
2m
- q
2m
v
2
n)
n m
—

—V V'

p x
2 n
+kx
2 m
)fì
L>
c u
nm
I I m
= xi c-
í№+k,)
*“ = i
/?
• [ữfc.0fc'] = O(1.4.15)
Tính toán ta được:

[ũ
k
,v
k
'ì = ũ
k
v
k
t - v
k
'ũ
k
= e~
ik x
™ủ
2n
ỵ e~
ik
'
X2 m
+
1
v
2m
+
í
-£
e~
ik
'

x
^v
2m + i
ỵ e~
ik x
™ũ
2n
)
n m m
= „1 I e-
i Ợcx
™
+ k
'
x
™+'Xũ
2n
v
2m+1
- v
2m+ 1
ũ
2 n
) = 0
n m
• [ũfc,ậfc'] = 0(1.4.15)
Tính toán ta được:
[ũ
k
.q

k
'] = ũ
k
q
k
> -q
k
'ũ
k
=
e
~
i k X z n ù
2nZ
e~
i k
'
x
™+iq
2 m + 1
-ỵ
e
-
ík
'*2m+iq
2 m + i
ỵ
e~
i k x
™ũ

2 n
)
'I m m
=
z
e l( < k X2 n+ k

*
2m+1
^(M2ntf2m+Ĩ ~

Ộ2m+1^2n)
/ĩ m
• lPk'V
k
'] = 0(1.4.16)
Tính toán ta được:
[Pfc-íy ] = ỷ
k
q
k
’-q
k
'P
k
= e~
ik x
™p
2n
ỵ e~

ik
'
X2 m
+
1
v
2m + 1
-ỵ
e~
ik
'
x
^v
2m + i
ỵ e-
ik x
™p
2n
)
n m m
=
I e-^»
+
*'*-«)(p
2n
í>
2m+1
- 0
2m+1
p

/I m
• [pk,q
k
'ì = 0(1.4.17)
Tính toán ta được:
[Pfc. ậfc'] = PkQk’-^k'Pk
= ^(1 e~
ik
*
2n
P2ttI e~
ik
'
X2 m + 1
q
2 m
+i ~1
e“
ífc,
*
2m+1
Ộ2m+iI e~
Lkx
™v
2 n
)
n m m
= I

g~i(kx

2 n
+k
f
x
2
m+i)(p

2n^

2m+l -

p2m+\^2rò = 0
/ỉ »I
• íũ
k
,ũ
k
'] = 0(1.4.18)
Tính toán ta được:
ịĩÌỊ^t Ufc'] u
k
u
k
’ U
k
'U
k
= ÙI
e
~

Ì k X
2
n ũ
2nl e~
i k
'
x
^Ù
2 m
-l
e~
i k
'
x
^Ù
2 m
l e~
l k X
2
n
ũ
2 n
)
n m m
= «X I

e
-i(kx
2 n
+k'x

2 m + 1
)(ụ
2 n
ũ
2 m
- ũ
2 m
ũ
2 n
) = 0
n

m
• [Pk.Pk’] = 0(1.4.19)
Tính toán ta được:
[Pk>Pk' ] = VkVk’-Pk’Pk
= JíCL e~
i k X
2
n
p2nl e-
i k
'
x
^p
2 m
-le-
í k
'
x

*rnp
2 m
l
e
-
i k
^p
2 n )
n m m
= j;l 1 e-
i(kx
^
+k
'
x
^\ỷ
2n
ỷ
2 m
- VỉmVin) = 0
n m
• [^,v
fc
'] = 0(1.4.20)
Tính toán ta được:
lv
k
,v
k
'] = v

k
v
k
! -V
k
’V
k
=