Đề thi toán quy hoạch tuyến tính

2.Bài toán quy hoạch tuyến tính (QHTT)
Tình huống: Một công ty cần lên một kế hoạch quảng cáo cho sản phẩm củ mình trên sóng
phát thanh và sóng truyền hình. Chi phí cho 1 phút quảng cáo trên sóng phát thành là 80.000
ñ, trên sóng truyền hình là 400.000 ñ. ðài phát thanh chỉ nhận quảng cáo các chương trình
dài ít nhất 5 phút. Còn ñài truyền hình chỉ nhận phát các chương trình tối ña 4 phút. Theo các
phân tích xã hội hoc, cùng một thời lượng 1 phút quảng cáo trên truyền hình sẽ có hiệu quả
gấp 6 lần trên sóng phát thanh. Công ty dự ñịnh chỉ chi tối ña là 1.600.000 ñ cho quảng cáo.
Hỏi cần ñặt thời lượng quảng có trên sóng phát thanh và sóng truyền hình như thế nào cho
ñạt hiệu quả nhất?
Mô hình hóa: Gọi thời lượng công ty ñặt quảng cáo trên sóng phát thanh là a phút.
Trên sóng truyền hình là b phút . chi phí cho việc này là 80.000*a + 400.000*b ≤ 1.600.000 ñ.
Trong ñó; a ≥ 5; b ≤ 4; a ≥ 0; b ≥ 0. Hiệu quả chung của quảng cáo là a + 6.b
Bài toán: Xác ñinh a; b sao cho a + 6b  Max
Với ñiều kiện : 80.000*a + 400.000*b ≤ 1.600.000 ñ.
a ≥ 5; b ≤ 4
và: a ≥ 0; b ≥ 0.
Bài toán có cấu trúc như trên là một ví dụ về bài toán QHTT.
Chú ý : do Maxf(x) = -Minf(x) nên từ nay về sau ta chỉ nói tới bài toán tìm Minf(x)
2.1Các ñịnh nghĩa:
Bài toán: Xác ñịnh véc tơ ); ;;(
21 n
xxxx
=
sao cho
Trong ñó
321
;; III là tập các chỉ số không giao nhau kí hiệu i =
321
III
∪

∪
;
jiiii
cba ;;
là các
hệ số; x
j
j:=1,2,…,n là các biến.
+Hàm f(x) gọi là hàm mục tiêu
+Hệ (1.1) ñến (1.4) gọi là hệ ràng buộc ( hệ ñiều kiện) của bài toán .
Với mỗi chỉ số i ta có một phương trình hoặc bất phương trình tương ứng và ñược gọi là ràng
buộc thứ i.Các hệ số ở vế trái trong mỗi ràng buộc thứ i là một véc tơ dòng
A
*
i
=(a
i1
; a
i2
;….;a
in
) . Một nhóm ràng buộc có hệ véc tơ
*
i
A
ñộc lập tuyến tính ñược gọi là các
ràng buộc ñộc lập tuyến tính. x
j
≥ 0; x
j

≤ 0 gọi là các ràng buộc về dấu ñối với x
j

+ Trong hệ từ (1.1) ñến (1.4) xét các ràng buộc không phải là ràng buộc về dấu các hệ số ở vế
trái tương ứng với mỗi ràng buộc này là một ma trận, ký hiệu là A. Ma trận A có n cột, mỗi
cột này là một véc tơ, ký hiệu là A
j
– chính là véc tơ các hệ số của biến x
j
A
j
gọi là véc tơ ñiều
kiện ứng với biến x
j

+ Phương án: một véc tơ x thỏa mãn hệ ràng buộc của bài toán gọi là một phương án của bài
toán. Trong ràng buộc thứ i nếu dấu “=” xảy ra thì ta nói phương án x thỏa mãn chặt ñối với
ràng buộc thứ i; còn nếu xảy ra dấu ≤ hoặc (≥ ) thì phương án x là lỏng ñối với ràng buộc thứ i
+ Phương án tối ưu: là phương án mà hàm mục tiêu ñạt ñược Min
+ Phương án tốt hơn Nếu f(x
1
) ≤ f(x
2
) thì phương án x
1
gọi là tốt hơn phương án x
2

Một bài toán tồn tại phương án tối ưu gọi là bài toán giải ñược, nếu không có phương
án tối ưu gọi là bài toán không giải ñược.

+Phương án cực biên: Một phương án thỏa mãn chặt n ràng buộc ñộc lập tuyến tính ñược gọi
là phương án cực biên (PACB)
* phương án cực biên thỏa mãn chặt ñúng n ràng buộc gọi là phương án cực biên
không suy biến, thỏa mãn chặt hơn n ràng buộc gọi là phương án cực biên suy biến.
Thí dụ 1: Cho
.f(x) = x
1
+ x
2
– 2x
3
+ x
4
+ x
5
 Min
.x
1
+ x
2
+ x
3
- x
5
≤ 40 (1)
2x
1
– 2x
2

+ 5x
3
+ 2x
5
= 65 (2)
.x
2
+ x
3
+x
4
+ 2x
5
≥ 12 (3)
.x
j
≥ 0 với j:=1,2, ,5
Ta có:
)2;1;1;1;0(
)2;0;5;2;2(
)1;0;1;1;1(
*
3
*
2
*
1
=
−−=
−=

A
A
A











−
=










=











=










−=










−=

2
2
1
;
1
0
0
;
1
5
1
;
1
2
1
;
0
2
1
54321
AAAAA

Ma tr
ậ
n











−−
−
=
21110
20522
10111
A

V
ớ
i x
1
= ( 0; 0; 13; 0; 0) ; x
2
= ( 0; 0; 1; 0; 30)
ñ
ây là hai ph
ươ
ng án c
ủ
a bài toán.
Ph
ươ
ng án x
1

th
ỏ
a mãn ch
ặ
t
ñố
i v
ớ
i ràng bu
ộ
c (2) và là l
ỏ
ng
ñố
i v
ớ
i (1) và (3) và x
3

≥
0
Ph
ươ
ng án x
2
th
ỏ
a mãn ch
ặ
t

ñố
i v
ớ
i (2) và l
ỏ
ng
ñố
i v
ớ
i (1); (3) và x
3

≥
0; x
5

≥
0
Do f(x
1
) < f(x
2
) nên ph
ươ
ng án x
1
t
ố
t h
ơ

n th
ự
c s
ự
ph
ươ
ng án x
2

Thí d
ụ
2: f(x) = - x
1
- 6x
2


Min
80.000.x
1
+ 400.000x
2

≤
1.600.000
.x
1

≥
5; x

2

≤
4
.x
1

≥
0; x
2

≥
0
Các ph
ươ
ng án x
1
= ( 5;3); x
2
= ( 0;4); x
3
= (20;0) là các ph
ươ
ng án c
ự
c biên c
ủ
a bài toán
•
N

ế
u t
ấ
t c
ả
các ph
ươ
ng án c
ự
c biên c
ủ
a bài toán
ñề
u không suy bi
ế
n thì bài toán g
ọ
i là
không suy bi
ế
n; trái l
ạ
i, g
ọ
i là bài toán suy bi
ế
n.
2.2.Các dạng ñặc biệt của bài toán QHTT
a. Dạng chính tắc:
njx

mibxa
Minxcxf
j
n
j
ijij
n
j
jj
, ,2,10
, ,2,1
)(
1
1
=≥
==
⇒=
∑
∑
=
=

* Nhận xét : Mọi bài toán QHTT ñều có thể ñưa về bài toán QHTT dạng chính tắc tương
ñương ( bằng cách thêm, bớt một lượng không âm vào mỗi ràng buộc ñể có dấu “ =” trong

ràng buộc ñó). Khi ấy trị tối ưu của hàm mục tiêu trong hai bài toán là trùng nhau, từ phương
án, phương án tối ưu của bài toán này suy ra phương án, phương án tối ưu của bài toán kia.
Thí dụ 3: Bài toán ở thí dụ 1 tương ñương với bài toán chính tắc sau:
f(x) = - x
1

- 6x
2
 Min
80.000.x
1
+ 400.000x
2
+ x
3
= 1.600.000
.x
1
- x
4
= 5
.x
2
+ x
5
= 4
.x
j
≥ 0; j =1,2, ,5
b.ðặc ñiểm của phương án cực biên của bài toán dạng chính tắc
ðịnh lý 1: Phương án x của bài toán dạng chính tắc là cực biên khi và chỉ khi hệ thống các
véc tơ {A
j
} tương ứng với các thành phần dương của phương án là ñộc lập tuyến tính.
( Hiển nhiên vì khi ñó hệ các ràng buộc là hệ Crame nên có nghiêm duy nhất, hay nghiệm ñó
chính là một phương án cực biên của bài toán)

Trong thí dụ 3 phương án x
1
= ( 5;3;0;0;1) có










=










=











=
1
0
0
;
1
0
000.400
;
0
1
000.80
521
AAA
là ba
véc tơ ñộc lập tuyến tính nên x
1

là phương án cực biên.
c. Cơ sở của phương án cực biên: ( với bài toán dạng chính tắc)
Một hệ gồm m véc tơ {A
j
} ñộc lập tuyến tính bao hàm hệ thống các véc tơ tương ứng
với các thành phần dương của phương án cực biên x là cơ sở của phương án cực biên ấy, ký
hiệu một cách quy ước là j, trong ñó J = {J: A

j
thuộc cơ sở }
+ Với phương án x = (x
1
;x
2
;,…,x
n
) gọi thành phần x
j
( j
)J
∈
là thành phần cơ sở; x
k

(
Jk
∉
) là thành phần phi cơ sở .Dễ nhận thấy các thành phần phi cơ sở của phương án cực
biên luôn bằng 0. Một phương án cực biên không suy biến thì mọi thành phần cơ sở ñều
dương, còn phương án cực biên suy biến thì có ít nhất một thành phần cơ sở bằng 0
Trong thí dụ 3 ở trên phương án x
1
là phương án cực biên (PACB) không suy biến
d. Bài toán dạng chuẩn:
Nếu bài toán dang chính tắc trong ñó b
i
≥ 0 với mọi i:=1,2,…,m và mỗi phương trình
trong hệ ràng buộc ñều có một biến số với hệ số bằng 1 ñồng thời biến này khôn gcos trong

các phương trình khác gọi là bài toán có dạng chuẩn.
2.3. Các tính chất của bài toán QHTT
Tính chất 1: Nếu bài toán có phương án và hạng của ma trân hệ ràng buộc bằng n ( n là số
biến số) thì bài toán có phương án cực biên.
Thí dụ 1: Cho bài toán QHTT:
.f(x) = 3x
1
+ x
2
+ 2x
3
+ 6x
4
 Min
-3x
1
+ 2x
2
+ 5x
3
– x
4
≥ -16
3x
2
+ 2x
3
+ 7x
4
= 0

.x
1
– 4x
2
+ 3x
4
– x
5
≤ 34
2x
1
- 6x
3
+ 2x
4
≥ -2

.x
1
≥ 0
.x
2
≥ 0
.x
3
≥ 0
.x
4
≥ 0
.x

5
≥ 0
Chứng tỏ rằng bài toán có PACB.
Giải: Dễ thấy hạng của ma trân hệ ràng buộc bằng 5, thêm nữa x = ( 0; 0;0;0;0) là một
phương án vậy theo tính chất 1 suy ra bài toán có PACB.
Tính chất 2: Nếu bài toán có phương án và trị số của hàm mục tiêu bị chặn dưới khi f(x) 
Min trên tập phương án thì bài toán có phương án tối ưu.
Thí du 2. Chứng tỏ bài toán trong thí dụ 1 có PACB tối ưu.
Giải: theo thí dụ 1 ta ñã chứng tỏ bài toán có PACB thêm nữa do ràng buộc về dấu ta suy ra
f(x) ≥ 0 trên tâp phương án. Vậy theo tính chất 2 chứng tỏ bài toán có PACB tối ưu.
Tính chất 3: Số phương án cực biên của bài toán QHTT là hữu hạn.
3. Phương pháp ñơn hình giải bài toán QHTT
3.1.Nội dung của phương pháp.
Xuất phát từ một PACB, ta tìm cách ñánh giá PACB ñó, nếu nó chưa tối ưu thì tìm
cách di chuyển sang một phương án cực biên mới tốt hơn, quá trình này ñược tiếp tục lặp. Vì
số phương án cực biên là hữu hạn, nên sau một số hữu hạn bước lặp, hoặc ta tìm ñược phương
án cực biên tối ưu, hoặc là ta kết luận bài toán không giải ñược vì hàm mục tiêu khôn gbij
chặn. ðó là nội dung cơ bản của phương pháp ñơn hình.
3.2. ðặc ñiểm của phương án cực biên của bài toán dạng chính tắc.
a. Quan hệ giữa phương án cực biên và phương án của bài toán:
Xét bài toán dạng chính tắc

njx
mibx
xcxf
j
i
j
j
n

j
jj
, ,2,1:0
, ,1:a
Min)(
n
1
ij
1
=≥
==
⇒=
∑
∑
=
=

Và cho x
0
là PACB với cơ sở J
0
Ta ký hiệu véc tơ gồm các thành phần cơ sở của PACB x
0
là

0
j
X
(viết theo cột) và ma trân các véc tơ cơ sở là
]:[

0
0
JjAA
jj
∈=
khi ñó
)(0
00
Jkx
k
∉∀=
Do ñó :
bAXbXA
jjjj
1
0000
−
=→=

Các véc tơ phi cơ sở A
k
với k
0
J
∉
cũng phân tích ñược qua cơ sở J
0
Gọi các hệ số phân tích
của A
k

là x
jk
véc tơ hệ số phân tích tương ứng là X
k
như vậy:
kJ
Jj
jjkk
XAAxA
0
0
==
∑
∈

do ñó X
k
=
kJ
AA
1
0
−
.

Ước lượng của biến x
k
theo cơ sở J
0
ký hiệu và ñược xác ñịnh bởi:

∑
∈
−=∆
0
Jj
kjkjk
cxc
với:
c
j

{
}
0
: Jjc
j
∈=

Với những x
j
( j
0
J
∈
) thì ước lượng của nó
0
=
∆
j

ðối với cơ sở J
0
nếu phương án ñang xét không là PACB tối ưu thì bằng phép ñổi cơ sở ta sẽ
ñi tới một phương án xự biên tốt hơn.
3.3.Dấu hiệu tối ưu và các ñịnh lý cơ bản.
ðịnh lý 2: Dấu hiệu tối ưu của phương án cực biên
Nếu ñối với PACB x
0
với cơ sở J
0
của bài toán dạng chính tắc mà:
)(0
0
Jk
k
∉
∀
≤
∆
với bài toán f(x)  Min thì x
0
là phương án tối ưu.
Chú ý : ðịnh lý 2 là ñiều kiện ñủ, tuy nhiên nếu x
0
là PACB không suy biến thì ñó cũng là
ñiều kiền cần ñể x
0
là phương án tối ưu.
ðịnh lý 3: Dấu hiệu bài toán không giải ñược
Nếu ñối với phương án cực biên x

0
với cơ sở J
0
của bài toán dạng chính tắc mà:
Tồn tại
0
00 Jkxmà
jkk
∉∀≤>∆
với bài toán f(x)  Min Thì bài toán không giải
ñược ( Hàm mục tiêu không bị chặn dưới)
ðịnh lý 4: Dấu hiệu ñiều chỉnh phương án cực biên.
Nếu ñối với một phương án cực biên x
0
với cơc sở J
0
của bài toán dạng chính tắc mà :
với mỗi 0
>
∆
k
ñều tồn tại x
jk
> 0 với bài toán f(x)  Min thì ta có thể ñiều chỉnh phương án
cực biên x
0
chuyển sang một phương án cực biên tốt hơn.
3.4.Công thức ñổi cơ sở:
Trong không gian R
n

cho véc tơ x
0
cho hai cơ sở
α
1
;
α
2
;….;
α
n
(1)
β
r
1
;
β
r
2
;….;
β
r
n
(2)

Giả sử
∑∑
==
==
n

j
jj
n
i
ii
yxxx
1
0
1
0
βα
Tìm mối liên hệ giứa các tọa ñộ x
j
; y
j

Gọi T = (t
ij
) là ma trận chuyển từ cơ sở (1) sang cơ sở (2) khi ấy
njt
n
i
iijj
, ,2,1
1
==
∑
=
αβ

Do
ñ
ó
∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑
= == = = =
====
n
i
n
j
ijij
n
i
n
j
n
j
n
i
iijjjjii
yttyyxx
1 11 1 1 1
0
)(
ααβα
V
ậ
y:
∑
=

=
n
j
jiji
ytx
1

3.4.Thu
ậ
t toán c
ủ
a ph
ươ
ng pháp
ñơ
n hình:
Gi
ả
s
ử
bài toán ph
ả
i gi
ả
i là bài toán QHTT
ở
d
ạ
ng chính t
ắ

c,
ñ
ã bi
ế
t m
ộ
t ph
ươ
ng án c
ự
c biên
x
0
và c
ơ
s
ở
J
0
. không m
ấ
t tính t
ổ
ng quát ta gi
ả
s
ử
J
0
g

ồ
m m véc t
ơ

ñầ
u tiên, t
ứ
là c
ơ
s
ở
g
ồ
m m
véc t
ơ
A
1
,A
2
,… ,A
m
.


B
ướ
c 1: L
ậ
p b

ả
ng
ñơ
n hình
ứ
ng v
ớ
i ph
ươ
ng án c
ự
c biên x
0

H
ệ

S
ố

c
j
C
ơ

S
ở

J
0

Ph
ươ
ng

án
.c
1
c
2
………c
r………
c
m
c
m+1
c
m+2
… c
k
…… c
s
…… c
n

.x
1
x
2
………x
r

…….x
m
x
m+1
x
m+2
…….x
k
…… x
s
………x
n
.c
1
.
c
2

…
.c
r

…
.c
m

.x
1
.
x

2

…
.x
r

…
.x
m
0
1
x

0
2
x

….
0
r
x

….
0
m
x

1 0 …… 0…… 0 x
1m+1
x

1m+2
……x
1k
…….x
1s
…… x
1n

0 1……… 0…… 0 x
2m+1
x
2m+2
……x
2k
…….x
2s
…… x
2n

……………… …… …………………………….
0 0……… 1…… 0 x
rm+1
x
rm+2
……x
rk
…… x
rs
…… x
rn

………………………… ……………………………………….
0 0……… 0…… 1 x
mm+1
x
mm+2 ……
.x
mk
…….x
ms
…… x
mn
.f(x)

.f(x
0
)
0 0 ……….0…… 0
1+
∆
m

2+
∆
m

k
∆

s
∆

n
∆

-

Dòng c
j
là các h
ệ
s
ố
c
ủ
a các bi
ế
n trong hàm m
ụ
c tiêu f(x)
-

C
ộ
t c
j
là h
ệ
s
ố
c

ủ
a bi
ế
n x
j

ứ
ng v
ớ
i véc t
ơ
c
ơ
s
ở
A
jx

-

∑
∈
−=∆
0
Jj
kjkjk
cxc
thí d
ụ

smsmrsrsss
cxcxcxcxc
−
+
+
+
+
+
=
∆
) (
2211

B
ướ
c 2: Ki
ể
m tra d
ấ
u hi
ệ
u t
ố
i
ư
u c
ủ
a PACB
-

N
ế
u
0
0
Jk
k
∉
∀
≤
∆
v
ớ
i bài toán f(x)

Min thì x
0
là ph
ươ
ng án t
ố
i
ư
u
-

N
ế
u 0
>

∆
∃
k
thì x
0
không là ph
ươ
ng án t
ố
i
ư
u, chuy
ể
n sang b
ướ
c 3
B
ướ
c 3: ki
ể
m tra tính không gi
ả
i
ñượ
c c
ủ
a bài toán.
-

N

ế
u 0
>
∆
∃
k
mà x
jk

≤
0 v
ớ
i m
ọ
i j
0
J
∈
v
ớ
i bài toán f(x)

min thì bài toán không gi
ả
i
ñượ
c vì hàm m
ụ
c tiêu có tr
ị

không b
ị
ch
ặ
n d
ướ
i
-

N
ế
u v
ớ
i m
ỗ
i 0
>
∆
k
ñề
u có ít nh
ấ
t x
jk
> 0 thì chuy
ể
n sang b
ướ
c 4
B

ướ
c 4:
ð
i
ề
u ch
ỉ
nh PACB và l
ậ
p b
ả
ng
ñơ
n hình m
ớ
i.
-

Ch
ọ
n ph
ươ
ng án
ñư
a vào c
ơ
s
ở
: Tìm max 0
>

∆
∀
∆
kk
gi
ả
s
ử
max
sk
∆
=
∆
thì véc t
ơ
A
s

ñượ
c
ñư
a vào c
ơ
s
ở

-

Tìm Min
js

j
x
x
0
v
ớ
i m
ọ
i x
js
> 0 ; j
0
J
∈
gi
ả
i s
ử
Min
js
j
x
x
0
=
rs
r
x
x
0

khi
ấ
y véc t
ơ
A
r
b
ị
lo
ạ
i kh
ỏ
i
c
ơ
s
ở
. ph
ầ
n t
ử
x
rs
g
ọ
i là ph
ầ
n t
ử
tr

ụ
c và
ñượ
c
ñ
óng khung trong b
ả
ng
-

Bi
ế
n
ñổ
i b
ả
ng:
+ L
ậ
p b
ả
ng
ñơ
n hình m
ớ
i. thay véc t
ơ
c
ơ
s

ở
v
ừ
a l
ự
a chon
ở
trên c
s
thay cho c
r
trong c
ộ
t c
j

.x
s
thay cho x
r
trong c
ộ
t c
ơ
s
ở

+ Tính các dòng m
ớ
i ( b

ắ
t
ñầ
u t
ừ
c
ộ
t th
ứ
3 tr
ở

ñ
i)

ðể
tính dòng
ứ
ng v
ớ
i dòng có véc t
ơ
.x
s
m
ớ
i
ñư
a vào trong b
ả

ng m
ớ
i ta l
ấ
y dòng
ứ
ng
v
ớ
i véc t
ơ
l
ấ
y ra x
r
trong b
ả
ng c
ũ
chia cho ph
ầ
n t
ử
tr
ụ
c. Dòng này g
ọ
i là dòng chu
ẩ
n.

ðể
tính dòng x
j
trong b
ả
ng m
ớ
i ta l
ấ
y dòng x
j
trong b
ả
ng c
ũ
tr
ừ

ñ
i dòng chu
ẩ
n sau khi
ñ
ã
nhân dòng nó ( dòng chu
ẩ
n) v
ớ
i x

js

ðể
tính dòng cu
ố
i c
ủ
a b
ả
ng m
ớ
i, ta l
ấ
y dòng cu
ố
i c
ủ
a b
ả
ng c
ũ
tr
ừ

ñ
i dòng chu
ẩ
n sau khi
nhân nó (dòng chu
ẩ

n) v
ớ
i
s
∆

Ti
ế
n trình trên
ñượ
c l
ặ
p l
ạ
i sau h
ữ
u h
ạ
n b
ướ
c ta có k
ế
t lu
ậ
n v
ề
l
ờ
i gi
ả

i c
ủ
a bài toán
ñ
ang
xét.
Thí d
ụ
1: Gi
ả
i bài toán QHTT sau:






Bài toán
ñ
ã cho có d
ạ
ng chu
ẩ
n, các bi
ế
n cô l
ậ
p là x
4
;x

6
;x
7
nên ph
ươ
ng án c
ự
c biên là
x
0
=(0;0;0;16;0;52;24) c
ơ
s
ở
J
0
là A
4
; A
6
; A
7
ta l
ậ
p ngay
ñượ
c b
ả
ng
ñơ

n hình sau
Bảng ñơn hình
x0 0

0 0

16

0

52

24

x0'
4

-2

1

-3

0

0

0

Cj J Xj x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

-3

x4 16

1

0 1

1

3

0

0

0

x6 52

2

-3 -2

0

2

1

0

0

x7 24

0

[1]

1

0

-2

0

1

f(x) -48

-7

2 -4

0

-9

0

0

-3

x4 16

1

0 1

1

3

0

0

0

x6 52

2

0 1

0

-4

1

3

-2

x2 24

0

1 1

0

-2

0

1

f(x) -96

-7

0 -6

0

-5

0

-2

Phương án mới .x
1
= (0; 24; 0; 16; 0; 52)
Sau khi kết thúc bảng 1 từ dòng cuối ta thấy phương án x
0
chưa tối ưu do có ∆
2
> 0 véc tơ A
2

ñược ñưa vào cơ sở
Thêm nữa Min{
72
7
x
x
} =24/1 nên véc tơ A
7
ñược ñưa ra khỏi cơ sở phần tử trục là [1] trong
bảng 1
Note: Thực chất trong bảng 1 ở các cột x
j
là tọa ñộ của véc tơ A
j

ñối với cơ sở chính tắc khi
chuyển sang bảng 2 ta ñã ñổi cơ sở{A
4
;A
6
;A
2
} trong bảng 2 các cột x
j
là tọa ñộ của véc tơ A
j

qua cơ sở mới. Do ñó muốn tìm tọa ñộ của các A
j
qua cơ sở mới ta chỉ việc.Tìm ma trận
chuyển từ cơ sở mới sang cơ sở chính tắc ( biểu thị tuyến tính các véc tơ chính tắc qua cơ sở
mới rồi lấy ma trận chuyển vị của ma trân các hệ số trong sự biểu thị trên), gọi nó là ma trân
T=(t
ij
) ; khi ấy T.A
j
=A’
j
trong ñó A’
j
là tọa ñộ của A
j
ñối với cơ sở mới.
Từ bảng 2 ta thấy ∆
k

<0 với mọi k
0
J
∉
nên phương án x
1
là tối ưu duy nhất. f(x
1
) = -96
Thí dụ 2: Giải bài toán sau bằng phương pháp ñơn hình
7, ,3,2,1,0
242
522232
163
min3.2.4)(
7532
65321
5431
4321
=≥
=+−+
=++−−
=+++
⇒
−
+
−
=
jx
xxxx

xxxxx
xxxx
xxxxxf
j

.f(x) = 2x
1
-3x
2
-x
3
 Min
2x
1
– x
2
+ x
3
≤ 18
3x
1
+ x
2
-2x
3
≤ 20
.x
1
+2x
2

≤ 12
.x
1
≥ 0; .x
2
≥ 0; x
3
≥ 0
Ta ñưa về bài toán chính tắc sau:




Bài toán có dạng chuẩn, các biến cô lập x
4
; x
5
; x
6
nên phương án cực biên
x
0
= ( 0;0;0;18;20;12) cơ sở J
0
={A
4
;A
5
;A
6

}
Bảng ñơn hình
H I J K L M N O P
x0 0

0

0

18

20

12


26

2

-3

-1

0

0

0

27

Cj J Xj x1 x2 x3 x4 x5 x6
28

0

x4 18

2

-1

1

1

0

0

29

0

x5 20

3

1

-2

0

1

0

30

0

x6 12

1

[2]

0

0

0

1

31

f(x) 0

-2

3

1

0

0

0

32

0

x4 18

2.5

0

[1]

1

0

0.5

33

0

x5 20

2.5

0

-2

0

1

-0.5

34

-3

x2 -18

0.5

1

0

0

0

0.5

35

f(x) -18

-3.5

0

1

0

0

-1.5

36

-1

x3 24

2.5

0

1

1

0

0.5

37

0

x5 62

7.5

0

0

2

1

0.5

38

-3

x2 6

0.5

1

0

0

0

0.5

39

f(x) -42

-6

0

0

-1

0

-2

Phương án x
2
=( 0;6;24;0;62;0) là phương án tối ưu duy nhất.
Trên bảng tính Excel: dòng 34(dòng chuẩn) từ cột K trở ñi ñược thiết lập nhờ công thức
K34= K30/$L$30 rê chuột tuyến tính theo dòng K34 ta có kết quả ở L34;M34:…P34.
Dòng 32 :K32 = K28 –K34*$L$28 rê chuột như trên ñể có các kết quả của các cột cùng dòng
Dòng 33 Tương tự như trên
Dòng 35: K35 = K31-K34*$L$31
ðể tính x2;x3;x5 phải giải hệ phương trình tương ứng ở hệ ràng buộc ( các biến khác ñều
bằng 0)
3.5.Các chú ý khi áp dụng thuật toán:
+ khi cần giải bài toán f(x) Max thì ta giải bài toán –f(x)  Min
+ nếu khi chon vecto ñưa vào cơ sở hoặc ñưa ra khỏi cơ sở có nhiều véc tơ thuộc diện lựa
chọn thì tùy chọn một trong số ñó
6, ,2,1:0
122
2023
182
32)(
621
5321
4321
321
jx
xxx
xxxx
xxxx

Minxxxxf
j
∀≥
=++
=+−+
=++−
⇒
−
−
=

+Trường hợp bài toán suy biến có thể dẫn tới min
js
j
x
x
0
= 0 với mọi x
js
> 0 ; j
0
J
∈
vẫn thực hiện
thuật toán một cách bình thường
+ Khi áp dụng thuật toán cần lưu ý:
i) Phương án x
0
có cơ sơt J
0

là cơ sở ñơn vị ( còn gọi là cơ sở chính tắc), ma trận
các hệ số ở vế trái trong hệ ràng buộc có các cột tương ứng là tọa ñộ của vecto
A
j
theo cơ sở ñó. Ta lập ngay ñược bảng ñơn hình. ðây là bài toán dạng chuẩn
ii) Khi J
0
không phải là cơ sở chính tắc ta phải tìm ma trận các hệ số trong hệ ràng
buộc phân tích qua cơ sở chính tắc J
0
bằng cách biến ñổi các dòng của ma trận
bổ sung của hệ ràng buộc làm xuất hiện cơ sở J
0
.
4. Phương pháp tìm phương án cực biên:
Có những bài toán có dạng chính tắc, nhưng không phải dạng chuẩn, ñồng thời ta chưa
biết PACB, do ñó muốn áp dụng thuận toán ñơn hình ta phải tìm ñược một PACB của nó.
Xét bài toán dạng chính tắc:
njx
mibx
xcxf
j
i
j
j
n
j
jj
, ,2,1:0
, ,1:a

Min)(
n
1
ij
1
=≥
==
⇒=
∑
∑
=
=
(I)
Không mất tính tổng quát giả sử b
i
≥ 0 mọi i = 1,2,…,m.(nếu b
i
<0, nhân hai vế với -1) Xây
dựng bài toán phụ P bằng cách cộng vào vế trái phương trình ràng buộc i một biến giả x
g
i
≥ 0
(i=1,2, ,m) với hàm mục tiêu là tổng các biến giả ñã thêm vào và hàm mục tiêu này phải ñạt
cực tiểu. Ký hiệu véc tơ các biến giả là x
g
= (
), ,,
21
g
m

gg
xxx
và hàm mục tiêu là P(x;x
g
) Ta có
bài toán phụ:

mix
njx
mibxxa
MinxxxP
g
i
j
n
j
i
g
ijij
m
i
g
i
g
, ,2,10
, ,2,10
, ,2,1
);(
1
1

=∀≥
=∀≥
==+
⇒=
∑
∑
=
=
Bài toán này có d
ạ
ng chu
ẩ
n và hàm m
ụ
c tiêu luôn
b
ị
ch
ặ
n d
ướ
i nên luôn gi
ả
i
ñượ
c b
ằ
ng ph
ươ
ng pháp

ñơ
n hình, gi
ả
s
ử
);(
g
xx
là ph
ươ
ng án t
ố
i
ư
u c
ủ
a bài toán ph
ụ
và P );(
g
xx
=P
min

i). n
ế
u P
min
> 0 Khi
ñ

ó bài toán (I) không có ph
ươ
ng án.
ii) n
ế
u P
min
= 0 khi
ñ
ó
x
là ph
ươ
ng án c
ự
biên c
ủ
a bài toán (I).
ðể
áp d
ụ
ng thu
ậ
t toán cho bài
toán (I) ta c
ầ
n bi
ế
t c
ơ

s
ở
J
0
c
ủ
a nó. Có hai tr
ườ
ng h
ợ
p sau:
a).Trong c
ơ
s
ở
c
ủ
a ph
ươ
ng án c
ự
c biên )0;(
=
g
xx
không có các vect
ơ
t
ươ
ng

ứ
ng v
ớ
i
các bi
ế
n gi
ả
, khi
ñ
ó c
ơ
s
ở
này c
ũ
ng là c
ơ
s
ở
c
ủ
a ph
ươ
ng án c
ự
c biên
x
. Ti
ế

n hành thu
ậ
t toán
bình th
ườ
ng.

b). Trong c
ơ
s
ở
c
ủ
a ph
ươ
ng án c
ự
c biên
)0;(
=
g
xx
có ít nh
ấ
t m
ộ
t vect
ơ
t
ươ

ng
ứ
ng v
ớ
i
các bi
ế
n gi
ả
, lúc này PACB là suy bi
ế
n.
ðể
ti
ế
p t
ụ
c gi
ả
i bài toán (I) ta lo
ạ
i các c
ộ
t
ứ
ng v
ớ
i
0)(
<

∆
P
j
và các c
ộ
t
g
i
x phi c
ơ
s
ở
ra kh
ỏ
i b
ả
ng, sau
ñ
ó tính l
ạ
i các
ướ
c l
ượ
ng
∆
k
theo hàm f
và ti
ế

p t
ụ
c thu
ậ
t toán.
Chú ý: - Khi xây d
ự
ng bài toán ph
ụ
ta ch
ỉ
c
ộ
ng thêm bi
ế
n gi
ả
vào nh
ữ
ng ph
ươ
ng trình ràng
bu
ộ
c c
ầ
n thi
ế
t
ñể

t
ạ
o ra c
ơ
s
ở

ñơ
n v
ị
trong ma tr
ậ
n
ñ
i
ề
u ki
ệ
n.
- N
ế
u trong quá trình gi
ả
i bài toán P,
ở
m
ộ
t b
ướ
c

ñ
i
ề
u ch
ỉ
nh nào
ñ
ó mà t
ấ
t c
ả
các bi
ế
n
gi
ả

ñề
u b
ị
lo
ạ
i ra kh
ỏ
i c
ơ
s
ở
thì k
ế

t thúc vi
ệ
c gi
ả
i bài toán ph
ụ
P ( vì PACB bài toán (I)
ñ
ã tìm
ñượ
c). Ti
ế
p t
ụ
c gi
ả
i bài toán (I) v
ớ
i PACB v
ừ
a có.
Thí d
ụ
1: Gi
ả
i bài toán sau b
ằ
ng ph
ươ
ng pháp

ñơ
n hình:
.f(x) = 3x
1
+4x
2
+2x
3
+ 2x
4


Min
2x
1
+ 2x
2
+ x
4
= 28
.x
1
+5x
2
+ 3x
3
– 2x
4

≤

31
2x
1
– 2x
2
+2x
3
+ x
4
= 16
.x
j

≥
0 ( j=1, ,4)
Gi
ả
i:
ðư
a bài toán
ñ
ã cho v
ề
d
ạ
ng chính t
ắ
c: .
f(x) = 3x
1

+4x
2
+2x
3
+ 2x
4


Min
2x
1
+ 2x
2
+ x
4
= 28
.x
1
+5x
2
+ 3x
3
– 2x
4
+ x
5
= 31
2x
1
– 2x

2
+2x
3
+ x
4
= 16
.x
j

≥
0 ( j=1, ,5)
Bài toán không có d
ạ
ng chu
ẩ
n nên ta
ñư
a ra bài toán ph
ụ
(P)
P(x,x
g
) = x
g
1
+ x
g
3



Min
2x
1
+ 2x
2
+ x
4
+ x
g
1
= 28
.x
1
+5x
2
+ 3x
3
– 2x
4
+ x
5


= 31
2x
1
– 2x
2
+2x
3

+ x
4
x
g
3
= 16
.x
j

≥
0 ( j=1, ,5) x
g
1
≥
0; x
g
2

≥
0









Bảng ñơn hình hai pha