Đề thi khảo sát chất lượng lần 2 toán khối B và D trường THPTChuyên Đại học Vinh năm 2014 có đáp án

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

www.DeThiThuDaiHoc.com – Đề Thi Thử Đại Học
1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, LẦN 2 - NĂM 2014
Môn: TOÁN; Khối: B và D; Thời gian làm bài: 180 phút


I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
3 2
6 3( 2) 4 5
y x x m x m
= − + + + −
có đồ thị
( ),
m
C
với m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi
1.
m
=

b) Tìm
m
để
trên

( )
m
C
t
ồ
n t
ạ
i
đ
úng hai
đ
i
ể
m có hoành
độ
l
ớ
n h
ơ
n 1 sao cho các ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i m
ỗ
i
đ
i

ể
m
đ
ó c
ủ
a
( )
m
C

vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
: 2 3 0.
d x y
+ + =

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình
sin 1
cot 2.
1 cos 1 cos
x
x
x x
+ + =
+ −

Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
(
)
( )
1 1 2 2 0
( , ).
1 4 0
x y y
x y
y y x x

− − − + =

∈

+ − + − =


ℝ

Câu 4 (1,0 điểm). Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường
3 1
; 0; 1.
(3 1) 3 1
x
x x
y y x
−
−

= = =
+ +

Câu 5 (1,0 điểm). Cho tứ diện ABCD có
2, 3, 2 ,
AB AC a BD CD a BC a
= = = = = góc tạo bởi hai mặt phẳng
(ABC) và (BCD) bằng
0
45 .
Tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD).
Câu 6 (1,0 điểm). Giả sử
,
x y
là các số thực dương thỏa mãn
(
)
2 2 2
3( ) 4 1 .
x y x y
+ = + +
Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a bi

ể
u
th
ứ
c
2 2 2 2
2 2
.
2 2
x y x y
P
x y x y
+ +
= +
+ +

II. PHẦN RIÊNG

(3,0 điểm)

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần

(phần a hoặc phần b)

a. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a

(1,0 điểm).
Trong m
ặ

t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ

,
Oxy
cho tam giác ABC có
đỉ
nh
(3; 3),
A tâm
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p
(2;1),
I ph
ươ
ng trình
đườ
ng phân giác trong góc


BAC
là
0.
x y
− =
Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh B, C bi
ế
t r
ằ
ng
8 5
5
BC = và
góc

BAC
nh
ọ
n.
Câu 8.a (1,0 điểm).
Trong không gian v
ớ
i h

ệ
t
ọ
a
độ

,
Oxyz
cho m
ặ
t ph
ẳ
ng
( ) : 2 1 0
P x y z
− − + =
và các
đườ
ng th
ẳ
ng
1 2
3 7 2 1 1 3
: ; : ; : .
2 1 2 1 2 1 1 1 2
x y z x y z x y z
d d d
+ − − − − −
= = = = = =
−

Tìm
1 2
,
M d N d
∈ ∈
sao cho
đườ
ng th
ẳ
ng MN
song song v
ớ
i (P)
đồ
ng th
ờ
i t
ạ
o v
ớ
i d m
ộ
t góc
α
có
1
cos .
3
α
=

Câu 9.a

(1,0 điểm).
Cho ph
ươ
ng trình
2
8 4( 1) 4 1 0 (1),
z a z a− + + + = v
ớ
i a là tham s
ố
. Tìm
a
∈
ℝ

để
(1) có hai
nghi
ệ
m
1 2
,
z z
th
ỏ
a mãn
1
2

z
z
là s
ố

ả
o, trong
đ
ó
2
z
là s
ố
ph
ứ
c có ph
ầ
n
ả
o d
ươ
ng.
b. Theo chương trình Nâng cao

Câu 7.b (1,0 điểm).
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v

ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ

,
Oxy
cho tam giác ABC có ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng ch
ứ
a
đườ
ng cao k
ẻ
t
ừ
B là
3 18 0,
x y
+ − =
ph
ươ

ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng trung tr
ự
c c
ủ
a
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng BC là
3 19 279 0,
x y
+ − =

đỉ
nh C thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng
: 2 5 0.
d x y
− + =

Tìm t
ọ
a
độ

đỉ
nh A bi
ế
t r
ằ
ng

0
135 .
BAC =

Câu 8.b (1,0 điểm).
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ

,
Oxyz
cho
đ

i
ể
m
(4; 4; 5), (2; 0; 1)
A B
− − −
và m
ặ
t ph
ẳ
ng
( ) : 3 0.
P x y z
+ + + =
Tìm t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m M thu
ộ
c m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) sao cho m
ặ

t ph
ẳ
ng (MAB) vuông góc v
ớ
i (P) và
2 2
2 36.
MA MB− =
Câu 9.b

(1,0 điểm).
Cho
đồ
th
ị

2
2
( ):
1
a
x ax
C y
x
+ −
=
−
và
đườ
ng th

ẳ
ng
: 2 1.
d y x
= +
Tìm các s
ố
th
ự
c a
để

d
c
ắ
t
( )
a
C
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t
,
A B

th
ỏ
a mãn
,
IA IB
=
v
ớ
i
( 1; 2).
I
− −

Hết

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

www.DeThiThuDaiHoc.com – Đề Thi Thử Đại Học
2


TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, LẦN 2 - NĂM 2014
Môn: TOÁN – Khối B, D; Thời gian làm bài: 180 phút


Câu
Đáp án
Điểm

a) (1,0 điểm)
Khi
1
m
=
hàm số
tr
ở
thành
3 2
6 9 1.
y x x x
= − + −

a) Tập xác định:
.
R

b) Sự biến thiên:
* Giới hạn tại vô cực: Ta có lim
x
y
→−∞
= −∞
và
lim .
x
y
→+∞
= +∞

* Chiều biến thiên: Ta có
2
' 3 12 9;
y x x
= − +

1 1
' 0 ; ' 0 ; ' 0 1 3.
3 3
x x
y y y x
x x
= <
 
= ⇔ > ⇔ < ⇔ < <
 
= >
 

Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
(
)
(
)
;1 , 3; ;
−∞ + ∞
nghịch biến trên khoảng
(
)

1; 3 .

* Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại
1, 3,
CĐ
x y
= =
hàm số đạt cực tiểu tại
3, 1.
CT
x y
= = −

0,5
* Bảng biến thiên:



c) Đồ thị:



0,5
b) (1,0 điểm)
Đường thẳng d có hệ số góc
1
.
2
k
= −

Do đó tiếp tuyến của
( )
m
C
vuông góc với d có hệ số góc
' 2.
k
=

Ta có
2
' ' 3 12 3( 2) 2
y k x x m
= ⇔ − + + =
2
3 12 4 3 .
x x m
⇔ − + = − (1)
Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
0,5

Câu 1.

(2,0
điểm)
Xét hàm số
2
( ) 3 12 4
f x x x
= − +

trên
(1; ).
+ ∞

Ta có bảng biến thiên:






Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình
( ) 3
f x m
= −
có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1
khi và chỉ khi
5 8
8 3 5 .
3 3
m m
− < − < − ⇔ < <
Vậy
5 8
.
3 3
m
< <

0,5

Câu 2.

(1,0
điểm)
Điều kiện:
cos 1, sin 0 , .
x x x k k
π
≠ ± ≠ ⇔ ≠ ∈
Z

Phương trình đã cho tương đương với
0,5
x
'y
y

1

∞
−

∞
+

3

3

∞
−

∞
+

1
−

+
–
0
0
+
x
O
3

y
1
1
−

3

x
( )
f x

1

∞
−

∞
+

∞
+

8
−

2

5
−

∞
+

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

www.DeThiThuDaiHoc.com – Đề Thi Thử Đại Học
3


2
sin sin cos 1 cos cos
2

sin
sin
x x x x x
x
x
− + +
+ =


2
sin cos 1 2sin
sin cos cos2 0
(sin cos )(1 cos sin ) 0.
x x x
x x x
x x x x
⇔ + + =
⇔ + + =
⇔ + + − =

*)
sin cos 0 ,
4
x x x k
π
π
+ = ⇔ = − +
.
k
∈

Z

*)
2
1
1 cos sin 0 sin
2
4
2
2 , .
x k
x x x
x k k
π
π
π
π π

= +
 

+ − = ⇔ − = ⇔
 

 
= + ∈

Z

Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là

, 2 , .
4 2
x k x k k
π π
π π
= − + = + ∈
Z

0,5
Điều kiện:
1.
x
≥

Đặ
t
1, 0.
t x t
= − ≥
Khi đó
2
1
x t
= +
và hệ trở thành
2 2 2 2
(1 2 ) 2 0 2 2 0 ( ) 2 2 0
( ) 3 0 3 0 ( ) 3 3 0
t y y t y ty t y ty
y y t t y ty t t y ty

− − + = − − + = − − + =
  
  
⇔ ⇔
  
+ + − = + + − = − + − =
  
  

Suy ra
2
0
2( ) 3( ) 0
3 3
.
2 2
t y y t
t y t y
t y y t
− = =
 
 
− + − = ⇔ ⇔
 
− = − = +
 

0,5

Câu 3.

(1,0
điểm)
*) Với
,
y t
=
ta có
2
2 2 0 1.
t t
− + = ⇔ =
Suy ra
2, 1.
x y
= =

*) Với
3
,
2
y t
= +
ta có
2
3 3 3 13
2 2 0 4 6 1 0 .
2 2 4
t t t t t
− +

 
− − + + = ⇔ + − = ⇔ =
 
 

Suy ra
19 3 13 3 13
, .
8 4
x y
− +
= =
V
ậ
y nghi
ệ
m (
x
;
y
) c
ủ
a h
ệ
là
19 3 13 3 13
(2;1), ; .
8 4
 
− +

 
 
 

0,5
Ta có
3 1
0 3 1 0.
(3 1) 3 1
x
x
x x
x
−
−
= ⇔ = ⇔ =
+ +
Rõ ràng
3 1
0
(3 1) 3 1
x
x x−
−
≥
+ +
với mọi
[
]
0;1 .

x∈
Do đó diện tích của hình phẳng là
1 1
0 0
3 1 3 1
d .3 d .
(3 1) 3 1 (3 1) 3 1
x x
x
x x x x
S x x
−
− −
= =
+ + + +
∫ ∫

0,5

Câu 4.

(1,0
điểm)
Đặt
3 1,
x
t
= +
ta có khi
0

x
=
thì
2,
t = khi
1
x
=
thì
2
t
=
và
2
3 1.
x
t
= −

Suy ra
3 ln3d 2 d ,
x
x t t
= hay
2 d
3 d .
ln3
x
t t
x = Khi đó ta có

(
)
2
2 2
2
3 2
2
2 2
2 3 2 2
2 2 2 2 2 2
d 1 d .
ln3 ln3 ln3 ln3
t
S t t t t
t
t t
−
−
   
= = − = + =
   
   
∫ ∫

0,5
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

www.DeThiThuDaiHoc.com – Đề Thi Thử Đại Học
4

Gọi
M
là trung điểm BC.
Từ các tam giác cân ABC, DBC

, .
AM BC DM BC
⇒ ⊥ ⊥

Từ giả thiết



0
0
0
45
( , ) 45
135
AMD
AM DM
AMD

=
⇒ = ⇒


=


TH 1.

0
45
AMD =
Sử dụng định lý Pitago
, 2.
AM a DM a⇒ = =
Kẻ
AH MD
⊥
tại H. Vì
( ) ( ).
BC AMD BC AH AH BCD
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
Khi đó
0 2
2 1
.sin45 ; . 2.
2 2
BCD
a
AH AM S DM BC a= = = =

Suy ra
3
1
. .
3 3

ABCD BCD
a
V AH S= =
0,5

Câu 5.

(1,0
điểm)
Sử dụng định lý cosin cho
2 2 2 2
3
AMD AD a AC AD a CD ACD
∆ ⇒ = ⇒ + = = ⇒ ∆ vuông tại A.
Suy ra
( )
2
3
1 2
. , ( ) 2.
2 2
ABCD
ACD
ACD
V
a
S AC AD d B ACD a
S
= = ⇒ = =
TH 2.


0
135
AMD =
Tương tự ta có
( )
3
6
; ,( ) ,
3 3
ABCD
a a
V d B ACD= = (
5
AD a
= ).
0,5
Ta có
2 2 2 2 2 2
2 1 3 3 3
. . . .
2
2 ( ) 2
x y xy xy x
x y x y x y x y x y
x y x y y xy y
+
− = ≤ =
+ + + + +
+ + + +

Tương tự, ta cũng có
2 2
2 1 3
. .
2
2
x y y
x y x y x y
x y
+
− ≤
+ + +
+

Mặt khác, ta có
2
,
2 2 3
x y
x y x y
+ ≤
+ +
vì bất đẳng thức này tương đương với
2 2
2 2
4 2
3
2 2 5
x y xy

x y xy
+ +
≤
+ +
, hay
2
( ) 0.
x y
− ≥

0,5

Câu 6.

(1,0
điểm)
Từ đó ta có
2 3 2 3 2
. . .
2 2 3
x y
P
x y x y x y x y x y x y
 
− ≤ + ≤ =
 
+ + + + + +
 
Suy ra
4

.
P
x y
≤
+
(1)
Từ giả thiết ta lại có
2 2 2 2
3( ) 4( ) 4 2( ) 4.
x y x y x y
+ = + + ≥ + +

Suy ra
2
( ) 4,
x y
+ ≥
hay
2.
x y
+ ≥
(2)
Từ (1) và (2) ta có
2.
P
≤
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1.
x y
= =

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 2, đạt được khi
1.
x y
= =

0,5

Câu
7.a
(1,0
điểm)
Vì AD là phân giác trong góc A nên AD c
ắ
t
đườ
ng tròn (ABC)
t
ạ
i E là
đ
i
ể
m chính gi
ữ
a cung BC
.
IE BC
⇒ ⊥

Vì E thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng
0
x y
− =
và
(0; 0).
IE IA R E
= = ⇒

Ch
ọ
n
(2;1)
BC
n EI
= = ⇒
 
pt BC có d
ạ
ng
2 0.
x y m
+ + =

T
ừ
gi
ả
thi
ế
t
2 2
4 5 3
5
5
HC IH IC HC⇒ = ⇒ = − =
0,5
A

B

D

M

H

C

A

B

C

E

I

D

H

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

www.DeThiThuDaiHoc.com – Đề Thi Thử Đại Học
5

3
( , )
5
d I BC⇒ =
2
| 5| 3
8
5 5
m
m
m
= −

+
⇔ = ⇔ ⇒


= −


: 2 2 0
: 2 8 0.
BC x y
BC x y
+ − =


+ − =



Vì

BAC
nhọn nên A và I phải cùng phía đối với BC, kiểm tra thấy
: 2 2 0
BC x y
+ − =
thỏa mãn.
Từ hệ
2 2
2 2 0
8 6
(0; 2), ;
5 5
( 2) ( 1) 5
x y

B C
x y
+ − =


 
⇒ −

 
− + − =
 


hoặc
8 6
; , (0; 2)
5 5
B C
 
−
 
 
.
0,5
1 2
( ; 2 2; 1); ( 1; ; 2 3).
M d M m m m N d N n n n
∈ ⇒ + + ∈ ⇒ + +
Suy ra
( 1; 2 2; 2 2).

MN m n m n m n
= − + + − + − − + +


Vì MN // (P) nên
2 0 2
. 0
0 0
( )
P
m n m n
n MN
n n
N P

− + = = −
 
=

⇔ ⇔
  
≠ ≠
∉

 

 

Suy ra
(3; 2; 4)

MN
u n n
= − + +

và
(2; 1; 2).
d
u = −


0,5

Câu
8.a
(1,0
điểm)
Suy ra
2 2
| 3 12| | 4 | 1
cos( , ) cos
3
3 2 4 29 2 4 29
n n
MN d
n n n n
α
+ +
= = = =
+ + + +

2 2 2
3( 4) 2 4 29 20 19 0 1
n n n n n n
⇔ + = + + ⇔ + + = ⇔ = −
hoặc
19.
n
= −

*)
1 3 ( 3; 4; 2), (0; 1;1).
n m M N
= −
⇒
= −
⇒
− − − −

*)
19 21 ( 21; 40; 20), ( 18; 19; 35).
n m M N
= −
⇒
= −
⇒
− − − − − −

0,5
T

ừ
gi
ả
thi
ế
t suy ra
1 2
,
z z
không ph
ả
i là s
ố
th
ự
c. Do
đ
ó
' 0,
∆ <
hay
2
4( 1) 8(4 1) 0
a a
+ − + <


2 2
4( 6 1) 0 6 1 0.
a a a a

⇔ − − < ⇔ − − <
(*)
Suy ra
2 2
1 2 1
1 ( 6 1) 1 ( 6 1)
, .
4 4
a a a i a a a i
z z z
+ − − − − + + − − −
= = =

0,5

Câu
9.a
(1,0
điểm)
Ta có
1
2
z
z
là s
ố

ả
o
2

1
z
⇔ là s
ố

ả
o
( )
2 2 2
0
( 1) ( 6 1) 0 2 0
2.
a
a a a a a
a
=

⇔ + − − − − = ⇔ − = ⇔

=


Đố
i chi
ế
u v
ớ
i
đ
i

ề
u ki
ệ
n (*) ta có giá tr
ị
c
ủ
a
a
là
0, 2.
a a
= =

0,5

: 3 18 ( 3 18; ),
: 2 5 ( ; 2 5).
B BH x y B b b
C d y x C c c
∈ = − + ⇒ − +
∈ = + ⇒ +

T
ừ
gi
ả
thi
ế
t suy ra

B

đố
i x
ứ
ng
C
qua
đườ
ng trung tr
ự
c
. 0
:3 19 279 0
là
60 13 357 4 (6; 4)
10 41 409 9 (9; 23).
u BC
x y
BC M
b c b B
b c c C
∆

=

∆ + − = ⇔

∈∆



+ = =
  
⇔ ⇔ ⇒
  
+ = =
  
 

AC BH
⊥
⇒
ch
ọ
n
( 3; 1) pt : 3 4 0 ( ; 3 4)
AC BH
n u AC x y A a a
= = − ⇒ − + + = ⇒ −
 

(6 ; 8 3 ), (9 ; 27 3 ).
AB a a AC a a
⇒ = − − = − −
 



0,5

Câu
7.b
(1,0
điểm)
Ta có

0
2 2 2 2
1 (6 )(9 ) (8 3 )(27 3 ) 1
135 cos( , )
2 2
(6 ) (8 3 ) . (9 ) (27 3 )
a a a a
A AB AC
a a a a
− − + − −
= ⇔ = − ⇔ = −
− + − − + −
 

2 2
2
3 9
(9 )(3 ) 1
2(3 ) 6 10
2
| 9 | 6 10
a
a a
a a a

a a a
< <

− −

⇔ = − ⇔

− = − +

− − +

4.
a
⇔ =
Suy ra
(4; 8).
A
0,5

Câu
8.b
(1,0
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa A, B và vuông góc với (P). Suy ra M thuộc giao tuyến của (Q) và (P).
( 2; 4; 4)
, (0; 6; 6) 6(0;1; 1)
(1;1;1)
Q P
P
AB
n AB n

n

= −

 
⇒ = = − = −

 
=



  

. Suy ra pt (Q):
1 0.
y z
− − =

0,5
A

B

C

H

d

M

trung
đ
i
ể
m
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

www.DeThiThuDaiHoc.com – Đề Thi Thử Đại Học
6

điểm)
Gọi
1 0
2 1
( ) ( ) pt :
3 0
2 1 1
y z
x y z
d P Q d
x y z
− − =

+ +
= ∩ ⇒ ⇔ = =

+ + + =
−



( 2 2; ; 1) .
M t t t d
⇒ − − − ∈

Ta có
2 2 2
( 2; 0; 1)
0
2 36 6 8 0
14 4 1
4
; ; .
3 3 3
3
M
t
MA MB t t
M
t
− −

=



− = ⇔ − + = ⇔ ⇒
 



−
=
 



 


0,5
Hoành độ giao điểm của d và
( )
a
C
là nghiệm của phương trình
2
2
2 1,
1
x ax
x
x
+ −
= +
−
hay

2
( 1) 1 0, 1.

x a x x
− + + = ≠
(1)
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1
2
1
( 1) 4 0
3.
1
a
a
a
a
 >
∆ = + − >

⇔ ⇔


< −
≠



(2)
Khi đó gọi
1 2
,
x x
là hai nghiệm phân biệt của (1), ta có

1 1 2 2
( ; 2 1), ( ; 2 1).
A x x B x x
+ +

0,5

Câu
9.b
(1,0
điểm)
Do đó
2 2 2 2
1 1 2 2
( 1) (2 3) ( 1) (2 3)
IA IB x x x x= ⇔ + + + = + + +

(
)
2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
5 14 5 14 ( ) 5( ) 14 0
x x x x x x x x
⇔ + = + ⇔ − + + =


1 2
5( ) 14 0,
x x
⇔ + + =

vì
1 2
.
x x
≠
(3)
Theo định lý Viet ta có
1 2
1.
x x a
+ = +
Thay vào (3) ta được
19
5( 1) 14 0 ,
5
a a+ + = ⇔ = − thỏa mãn
điều kiện (2). Vậy
19
.
5
a = −
0,5