Một lớp phương trình vi tích phân với điều kiện ban đầu không cục bộ

Nhân dịp luận văn được hoàn thành em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. TRAN
ĐÌNH KẾ đã tận tình hướng dẫn em trong quá trình thực hiện luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng sau đại học, cùng toàn thể các thầy
giáo, cô giáo trong Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, đã động viên giúp đỡ
và tạo điều kiện thuận lợi để em có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình học tập, thực
hiện đồ tài và ngliicn cứu khoa học.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên luận văn không tránh khỏi
những hạn chế và thiếu sót nhất định. Em xin chân thành cảm ơn đã nhận được những ý
kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên.
Hà Nội, ngày 19 tháng 06 năm 2013 Tác giả
Nguyễn Đức Nhật
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Đình Kế, luận văn tốt nghiệp “Một
lớp phương trình vi tích phân với điều kiện ban đầu không cục bộ” được hoàn thành bởi sự
nhận thức của chính bản thân tác giả và không trùng với bất kỳ luận văn nào khác.
Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với
sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, ngày 19 tháng 06 năm 2013 Tác giả
Nguyễn Đức Nhật
LỜI CẢM ƠN
Mục lục
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình vi tích phân dạng
x'(t) = A [x(t) + í F(t — s)a;(s)<ís] + g(t, x(t,)), t G J := [0, T],
J 0
(1)
là mô hình tổng quát của nhiều bài toán thực tế. Một trong số đó là bài toán
truyền nhiệt "có nhớ" được mô tả bởi phương trình
d
2
[

f
X t { t , v ) = Q - ị [ x { t , y ) + Ị b ( t - s ) x ( s , y ) d s ] +
g ( t , y ) . (2)
Phương trình (1.1) kết hợp với điều kiện không cục bộ (nonlocal):
x(0) + h(x) = x
ữ
(3)
trở thành bài toán Cô-si tổng quát, được nhiều nhà toán học quan tâm trong
những năm gần đây. về phương diện toán học, bài toán Cô-si không cục bộ
(1.1)-(1.2) đặt ra hai khó khăn cơ bản. Trước tiên, việc tìm giải thức cho bài
toán tuyến tính thuần nhất tương ứng khó thực hiện. Tiếp theo, điều kiện
không cục bộ (1.2) tạo ra rào cản về kỹ thuật khi nghiên cứu toán tử nghiệm.
Với mục ticu tìm hiểu một cách tiếp cận mới cho bài toán Cô-si không cục
bộ đối với phương trình vi tích phân, chúng tôi lựa chọn đề tài
"Một lớp phương trình vi tích phân với điều
kiện ban đầu không cục bộ"
làm mục tiêu nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
2
- Nghiên cứu tính giải được và tính chất tập hợp nghiệm của bài toán Cô-si
không cục bộ với phương trình vi tích phân tổng quát trong không gian
Banach;
Tìm hiểu một số phương pháp của giải tích hàm phi tuyến.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
1. Tìm hiểu lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ nén;
2. Tìm hiểu lý thuyết giải thức;
3. Nghiên cứu tính giải được của bài toán Cô-si không cục bộ.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu là bài toán Cô-si không cục bộ đối với phương
trình vi tích phân.

• Phạm vi nghiên cứu: tính giải được, cấu trúc hình học của tập hợp
nghiệm.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các công cụ và các kết quả của lý thuyết nửa nhóm, giải thức
suy rộng và độ đo không compact, (MNC).
6. Dự kiến đóng góp mới
Sử dụng cách tiếp cận tương tự, luận văn có thổ tiếp tục phát triển để
giải quyết bài tọán với phương trình vi tích phân có trễ.
Chương 1
Tính giải được của bài toán
Xét bài toán
x'(t) = A [x(t) + í F(t — s)x(s)ds] + g(t, x(t,)), í E J := [0, T],
J()
(1.1)
x(0) + h(x) = X( ) . (1-2)
Trong đó x(t) lấy giá trị trong không gian Banach X; F(t), với t £ J, là một
toán tử tuyến tính trên X; hàm g J X X X vh h : C(J;X) —> X cho trước. Trong
mô hình trôn, A là phần tử sinhcủa một nửa
MỤC
4
nhóm liên tục mạnh S(') trên X.
Ta đã biết phương trình (1.1) với g = g(t) phát sinh từ ứngdụng
thực tế. Chăng hạn, phương trình truyền nhiệt có nhớ
d 2 Ị 1
= Q ~ ĩ [ x { t , y ) + J b { t - s ) x ( s , y ) d s \ + g ( t , y ) , x ( 0 , y ) = x 0 ,
(1.3)
ở đó t E M+ và y G [0,a] c M (xem [3]). Hơn nữa, nếu ta thay thế điều kiện
ban đầu x(0, y ) = X Q bởi điều kiện không cục bộ (1.2), ta có được một mô tả
tốt hơn về thông tin ban đầu của hệ. Một ví dụ của h là:
i=l

MỤC
5
trong đó Kị : X —V X là các toán tử tuyến tính. Liên quan đến (1.3), trong
trường hợp X = L
2
(0,a), các toán tử Ki có thể cho bởi
K i x ( t i , v ) = f k i ( ị , y ) x ( t i , ị ) d ị ,
(1.6)
với kị (i = 1, ,£>) là các hàm liên tục.
Bài toán (1.1)-(1.2) với F = 0 đã được nghiên cứu trong nhiều công trình.
Trong các công trình [4, 5, 6] các kết quả về tồn tại và duy nhất nghiệm đã
được chứng minh nhờ vào các định lý điểm bất động Banach, đối với g và h
thỏa mãn điều kiện Lipschitz. Với giả thiết Carathéodory trên g, các tác giả
trong bài báo [7] đã chứng minh tính giải được khi S(t) là compact. Mặc dù
vậy, như đã chỉ ra trong công trình [8], nếu điều kiện Lipschitz không đặt ra,
việc chứng minh tính compact của toán tử nghiệm gặp rất nhiều khó khăn do t
S(t), trong trường hợp tổng quát, không liên tục đều trên [0,T], ngay cả khi
S(t) compact.
Ta biết rằng, trong trường hợp F = 0, nghiệm của (1.1)-(1.2) trên J được
định nghĩa bởi
x(t) = 5(í)[x
0
— h(x)] + f S(t — s)g(s,x(s))ds, t € J.
J 0
Trong trường hợp F Ỷ để xác định nghiệm của bài toán ta cần xác định giải
thức của hệ thuần nhất
x'(t) = A [x(t) + í F(t — s)x(s)ds\ì t E J. (1.7)
J()
Họ toán tử R(-) : J I—> L ( X ) được gọi là giải thức của (1.7) nếu nó thỏa mãn
1. R(0) = /, toán tử đồn nhất trên X,

2. Với mỗi V € X, hàm t \-ì R(t)v liôn tục trcn J,
3. Nến Y là không gian Banach xác định bởi D(A) (miền xác định
của A), với chuẳn đồ thị, thì R(t) G L{Y), R{‘)y GC
l
( J \ X ) n
C Ụ \ Y ) với y e Yv ầ
CJ
~^R{t)y = A[R{t)y + j F(t — s)R(s)yds]
6
= R(t)Ay + Í R(t — s)AF(s)ds, t 6 J.
J 0
Sự tồn tại của họ giải thức này được đề cập trong công trình [15].
Chú ý rằng từ định nghĩa của giải thức và nguyên lýbị chặn đều,
ta có thể tìm được hằng số Cfí < +oo sao cho
sup ||fi(í)||i(A') <
C
R
.
(1.8)
teJ
Khi đó nghiệm của bài toán ban đầu được cho bỏi
x(t) = R(t)[x0 — h(x)] + í Rịt — s)g(s,x(s))ds, t
(1.9)
J 0
1.1 Tính giải được
Định nghĩa 1.1. Cho £ ỉà không gian Danach (A, là một tập sắp thứ tự từng
phần. Một hàm, ß : V ( 8 ) —> A đĩỉỢc gọi là một độ đo không co m pact
(MNC) trên 8 nếu n ó thỏa mẫn
ß(cö íì) = ß(Si) với mọi tập bị chặn Q G V ( £ ) ,
trong đócõũ, ỉ,à bao lồi đốnq của Q. Độ đo ß được qọi là

i) đơn điệu, nếu íío?^i £ ^(£) thỏa mãn Qq c ííi, kéo theo
ii) không kỳ dị, nếu ß({a} UQ) = /3(0) với mọi a E £, £ V ( S ) ;
Ui) bất biến với nhiễu compacẦ, nếu ß(K ufì) = ß(£l) với mọi t,ậ,p
compact tương đối K c £ và Q G V ( 8 ) ;
Giả sử A là một nón trong không gian định chuẩn, ta nói ß là
iv) nửa cộng tính đại số, nếu ß ( Q f ) + ííi ) ^ ß(ü0) + ß(tti) với mọi Q
0
J ^1 £
^(£)/
v) chính quy, nếu đẳng thức /3(ũ) = 0 tương đương với tính com- pact tương
đối của Q.
7
Ví dụ tiêu biểu về MNC là độ đo không compacẦ HausdorỊỊ’ một đô đo
thỏa mãn tất cả các tính chất nêu trên:
x(íì) = inf{e : íì có e-lưới hữu hạn}.
Các ví dụ khác về MNC trcn không gian các hàm liên tục C ( J ; X ) (xác định
trên J, lấy giá trị trong X ) :
(i) mô-đun không compact theo lát cắt
7(fi) = snpỵ( í ì( t)) (1.10)
teJ
trong đó X là độ đo không compact Hausdorff trcn X và íì(t) = {y(t.) :
y e ũ } \
(ii)mô-đun liên tục đồng bậc
modc(ft) = limsup max \\y(ti) - y(t
2
)\\. (1.11)
£->•0 y£Q \ti — t2\<ỗ
Như đã chỉ ra trong cuốn chuycn khảo [16], các độ đo này thỏa mãn tất cả các
tính chất trong Định nghĩa 1.1 trừ tính chính quy.
Giả sử T G L ( Ẽ ) và /9 là một MNC trên Ẽ. Ta nhắc lại khái niệm /3-

chuấn của toán tử tuyến tính (xem [17]) như sau:
lini/ĩ := inf{M : ị3(T£l) ^ A//?(Í2), Q c £ là tập bị chặn}. (1.12) Khi đó /3-
clmẩn của r xác định bởi
IITII, =
p{TSi)
= 0(TB,),
trong đó Si và Bi lần lượt là mặt cầu và hình cầu trong s. Có thể thấy rằng
IITIU <
\ \ T \ \
L { X )
.
(1.13)
Định nghĩa 1.2. Một hàm liên tục T : z c 8 —> £ được gọi là nén ứng với MNC
ị3 (73-nén) nếu với mọi tập bị chặn Q c z không là tập com,pacẦ tương đối,
ta có
ạựm ỉ P(ũ).
Giả sử Ị3 là một MNC đơn điệu và không kỳ dị. ứng dụng lý thuyết bậc
tô-pô cho ánh xạ nén (xem [17, 16]) ta có các định lý điểm bất động sau đây.
Định lý 1.1 ([16, Bổ đồ 3.3.1]). Giả sử Ai là một tập con lồi, đóng và bị chặn
của £ và T : M. —» M. là Ị3-nén. Khi đố VixT = {x = F { x ) } là tập khác
rỗng và compact.
8
Định lý 1.2. Cho V c £ là một lân cận của, /3 là một MNC đơn điệu, không kỳ
dị trong £, và T : V £ là /3-nén thỏa mẫn điều kiện biên
X ^ \ T(x)
với mọi X G dv và 0 < A ^ 1. Khi đó tập các điểm bất động Fix(T) = {x =
T ( x ) } c V là khác rỗng và compacẦ.
Quay lại bài toán (1.1) - (1.2), ta giả thiết các hàm gvà, h thỏa
mãn những điều kiện sau đây:
(Gl) hàm g : J X X —» X liên tục;

(G2) tồn tại /i G L
l
Ụ ) và hàm đơn điệu tăng T : —)• R+ saocho
HíKi.^lU < Mí)T(IMU)
với hầu khắp t € J và với mọi r j £ X \
(G3) tồn tại hàm k £ L
l
( J ) sao cho với mọi tập con bị chặn í] c I ta có
với hầu khắp í G J, trong đó X là độ đo không compact Hausdorff trong
X ;
(Hl) hàm h : C Ụ \ X ) X liên tục và tồn tại hàm đơn điệu tăng
0 : R+ —)• R+ sao cho
IIM*)IU ^ 0(IMIc),
với mọi X G C(J;X), trong đó ||x||c = H^||c(j-X)?
9
(H2) tồn tại hằng số C h sao cho
x(hm < chl(íì)
với mọi tập bị chặn Í2 c C ( J ; X ), ở đó 7 được định nghĩa bởi
(1.10).
(H3) nếu Q c C ( J \ X ) là tập bị chặn thì
mo d
c
{ R { - ) h ( Q ) ) = 0.
Nhận xét 1.1. 1. Nếu X là không gian hữu hạn chiều thì ta có thể
bỏ quo, điều kiện (G3) bởi nó được suy ra từ (G2).
2. Ta biết Tằng (xem [17, 16]) điều kiện (G3) sẽ được thỏa mãn nếu
9
{t,n)
= 9
i(t,v)

+
Ũ
2
{t,n)
trong đó gi là hàm, Lipschitz ứng với biến thứ hai:
llsi(í.í) -
9 ỉ ( t , v ) \ \ x <
fc(í)||Ệ - 7j||x
v ớ i h ầ u k h ắ p t
£
J v à Ị , r ì
G
X v ớ i k
6
L ' ị J ) v à

$2

l à á n h
x ạ com,pact theo nghĩa với mỗi t € J và c X bị chặn, tập Ọĩitì ỉà
corn,pact tương đối trong X.
3. Nếu ta giả thiết h hoàn toàn liên tục, nghĩa là, nó liên tục và
com,pact trên các tập bị chặn, thì (H2)-(H3) được thỏa mãn. Nếu h
trong (1.4) thỏa mẫn (H1)-(H2) và hàm, t I—y R ( t ) liên tục đều thì
(H3) cũng được thỏa mẫn. Chú ý rằng h trong ví dụ (1.5)-(1.6) thỏa
mãn (Hl)-(HS).
Ta sử dụng các giả thiết sau, như trong [3]:
(FI) F ( t ) G L ( X ) với t G J và x ( - ) liên tục với giá trị trong Y =
D ( A ) ~ A F ( - ) x { - ) e L ' l J i X ) ;
(F2) Với X G X, hàm t I—>• F ( t ) x khả vi liên tục trên J .

Ta biết rằng, với điều kiện (F1)-(F2) giải thức cho (1.7) hoàn toàn
xác định. Ta giả thiết thêm rằng
(HA) t I—R ( t ) liên tục theo chuẩn với t > 0.
1.1. TÍNH G IẢI
$ : ứ ụ - X ) -> C ( J ; X ) , $(/)№ = [
R ( t - s ) f ( s ) d s .
Trước khi nói vồ tính chất của <ĩ>, ta nhắc lại khái niộm sau.
Định nghĩa 1.3. Tậ,p Q của L
l
Ụ \ X ) được gọi là bị chặn tích phân nếu tồn tại
một hàm, [I G L
l
( J ) s a o c h o
№(011* ^ ỉi{t) với hầu khắp t G J,
và với mọi g £ Q .
Mệnh đề 1.1. Toán tử $ biến các tập bị chặn trong L
l
Ụ \ X ) thành tẠp liên tục
đồng bậc trong C Ụ \ X ) .
Chứng minh. Giả sử Q c L
l
( J ; X ) là một tập bị cliặn tích phân. Khi đó tồn tại
hàm /1 É L
l
( J ) sao cho
\ \ f ( t ) \ \
x
^ ịi(t) với hầu khắp t G J
và với mọi / GỖ- Cho trước € > 0, điều kiện (HA) suy ra rằng tồn tại ô > 0
sao cho

với 0 < tị < t
2
< T, t
2
— tị < ố, trong đó C
f l
= j‘Ị fi(s)ds. Hơn nữa ta có thể
giả thiết rằng với 0 < t
2
— tị < ỗ ta có
(1.1
Xét toán tử sau:
Với 0 < tị < t
2
< T, t
2
— tị < ố, lấy 0 < ( < tị đủ nhỏ sao cho
1. 1 . TÍNH GIẢI
1
ta có với mọi f e Q :
lM/)(*2) - $(/)(íi)IU = II / R(h - s)f( s )ds - ỉ R(tt -
s)f(s )ds\\
J 0 ./ó
< [ l|fi(<2 - s) - fí(íl- s)|Uu)ll/(s)l|xás
J 0
+ [ ịịRịh - s) - R{t'l -
s
)||i(X)||/(s)|Uds
J h - Q
+ [ \\R(t-2 - s ) \ \ L ( x ) \ \ f { s ) \ \ x d s

J h
Sử dụng giả thiết (HA) và lý luận như trong [16, Bổ đề 4.2.1] ta có kết
quả sau.
Mệnh đề 1.2. Toán tử <E> cỏ các tính chất:
($1) bất đẳng thức sau được thực hiện
II^ÍÍXO - ^C
R
ỉ ||£(s) - ri(s)\\x<ỉs
•/0
với mọi £,77 G L
l
( J ; X ) , t G J ;
($2) với mỗi tập compact K c X và với dẫy {£
n
} c L
l
{ J \ X ) sao cho
{Ẹ,n{t)} c K với hầu khắp t £ J, từ sự hội tụ yếu £
n
ị
suy ra $(£„) -4 $(£)•
Mệnh đề 1.2 cho ta kết quả sau, tương tự như [16, Định lý 4.2.2].
Mệnh đề 1.3. Giả sử dẫy {£
n
} c L
l
( J \ X ) bị chặn tích phân sao cho tồn tại
một hàm, q e L
l
( J ) thỏa mãn

x({Ện(t)}) ^ ợ (í), với hầu khắp t E J.
Khi đó
x({$( Z ,n)(t) }) < 2CR í q(s) d s
Jo
với mọi í G J.
2
ỊJ.
Định nghĩa 1.4. Dãy hàm, {£„} c L
l
( J ; X ) được gọi ỉ,à nửa com/pữcẦ nếu nó bị
chặn tích phân và tập {£
?
i(£)} ỉà compact tương đối trong X với hầu khắp t e J.
Theo [16, Mệnh đề 4.2.1 và Định lý 5.1.1], ta có
Mệnh đề 1.4. Nếu {£„} c L
l
Ụ \ X ) là m.ộì dãy nửa com.ỹact thì {ỉn} ì,à compacẦ
yếu trong L
l
( J ; X ) và {$(£«)} ỉà compact tươnq đối trong C Ụ \ X ) . Hơn nữa,
nếu £„ —^ Ẹo thì 3>(£
7i
) $(£())■
Ký hiệu
® * ( x ) ( t ) = R ( t ) [ x 0 - h ( x ) ] (1.15)
với t € J và X G C ( J ; X ) . Ký hiộu N g là toán tử Ncmytskii
ứng với
hàm phi tuyến g , tức là,
N g ( x ) ( t ) = g ( t , x ( t ) ) với t 6 J, X £ C { J \ X ) . (1-16)
Ta nhận thấy X là nghiệm của (1.1 )-(l.2) nếu và chỉ nếu

X = <Ị>*(x) + <ĩ>Ng(x).
Đặt
tf(x) = <r(x) + $ N
g
{ x ) , (1.17)
khi đó nghiệm của (1.1)-(1.2) là điểm bất động của toán tử \Ị/, xác
định và lấy giá trị trcn C ( J ; X ) .
Từ (Gl) và (Hl) ta có là liên tục trên C ( J ; X ) . Xét hàm
V : V { C ( J ; X ) ) R
2
+
,
z/(fỉ) = max (
/
y ( D )
ì
m o d c { D ) )
ì
(1-18)
£>eA(í2)
trong đó 7 và Modc đã được định nghĩa bởi (1.10) và (1.11), A(Q) là tập các tập
con không quá đếm được của íì và max được xác định theo thứ tự trong nón M.
2
+
.
Như trong [16], ta có V là hoàn toàn xác định, nghĩa là., max đạt được trong A(fỉ)
và do đó V là một MNC trong C ( J ; X ), nó có các tính chất phát biểu
trong Định nghĩa 1.1
(xem chi tiết trong [16, Ví dụ 2.1.3]).
Định lý 1.3. Giả sử F thỏa mẫn (F1)-(F2). Nếu (G1)-(G3), (Hl)- (H3) được thỏa

mãn và
i:=CR{ Ch + 2 [ k(s ) ds) < 1 J 0
thì ty ỉ,à ư-nén.
Chứnq minh. Giả sử Q c C ( J ; X ) thỏa mãn điều kiện
7/(^(Q)) > jy( Q ). (1.19)
Ta sẽ chứng tỏ rằng Q là tập cornpact tương đối trong C ( J ; X ) . Theo định nghĩa
của độ đo
7/,
tồn tại một dãy {zn} c sao cho
ỉ/(Ý(n)) = (7({z„}),modc({z„})).
Theo cách xây dựng ta có thể chọn được một dãy{xn} c íl sao cho
= $•(*») + $($»), (1-20)
trong đó
9n(t) = g ( t , x
n
( t ) ) , t G J.
Sử dụng điều kiện (G3), ta có
x({ũ
,.(«)}) = x({ớ(s,£ («))})
< fr(s)x({zn(s)})
< fc(s)7({zn}), (1.21)
với mọi s 6 J. Khi đó sử dụng Mệnh đề 1.3, ta được
x ( { $ ( 9n ) ( t ) } ) f í 2 C R ị Ị k { s ) d s j - / { { x n } ) . (1.22)
Chú ý rằng
$*(z„)(í) = R(t)x0 - R(t)hịx
n
),
ta có
x({5>'(sn)(í)}) =
x ( { R ( t ) h ( x

n
) } )
< CnCiaiịxn})
do (1.12)-( 1.13) và (H2). Từ (1.20) ta có
7({«.J) ^ h{{x„})- (1.23)
Kết hợp bất đẳng thức cuối với (1.19), ta nhận được
7({z>.}) <
h { { x
n
} )
và do vậy
7({z„}) = 0.
Do (1.23) ta
suy ra
l i { Z n } ) = 0.
Kết hợp
(1.24) với
(1.21), ta có
{ g
n
} là một
dãy nửa
cornpact.
Do vậy, sử
dụng Mệnh
đồ 1.4,
{^í/n} là
compact
tương đối.
Từ đó

modc ({<!
>(</„)}) = 0.
Do (H3) nôn
modc({$*0z
n)}) = 0-
Sử dụng
(1.20) lần
nữa, ta được
modc({zn})
= 0.
Từ (1.25)-
( 1.26) suy ra
rằng
u ( Q ) =
(0,0).
Do V là độ
đo chính quy,
ta kết luận Í2
là tập
(1.2
(1.2
(1.2
compact
tương đối. □
Nhận xét 1.2.
N ế u R ( t )
compact với
t > 0, ta có
thể loại bỏ
điều kiện

(G3). Thật
vậy, với dẫy
bị chặn {x
n
}
c C Ụ \ X ) ,
đặt Ẹn(t, s)
= R(t —
s ) g ( s
1
x
n
( s ) ) , với
giả thiết
(G2) ta cố
{£»(£,•)} bị
chặn tích
phân trong
L
l
( 0 , t ] X ) .
Ngoài ra, do
R(t)vit > 0
compact, ta
có
x
(
{
£
n

(
£
>
5
)
}
)

=

v
ớ
i

h
ầ
u

k
h
ắ
p

s

E

[
0
,

t
]
.

K
h
i

đ
ó

s
ử

d
ụ
n
g

[
1
6
,

B
ổ

đ
ề

ị
.
2
.
5
]
,

t
a

đ
ư
ợ
c
Định lý 1.4. Với giả thiết của Định lý 1.3, nếu
c
/
fT \
lim inf —-( 0(r) + Y(r) / f i ( s ) d s ) <1 (1.27)
r^oo r VJ0 /
í/?i tậ,p nghiệm) của bài toán (1.1)-(1.2) là khác rỗng và compacẦ.
Chứng minh. Ta sử dụng Định lý 1.1. Áp dụng kết quả quả Định lý 1.3, ta chỉ
cần chứng minh rằng tồn tại r > 0 sao cho
V ( B
r
) c B
r ì
với B

r
làhình cầu đóng trong C { J \ X ) với tâm tại 0 và bán kính
r. Thật vậy, giả sửngược lại rằng với mỗi n G N\{0}, tồn tại x
n
e
C Ụ \ X ) sao cho
I\ % n I\ c < n , nhưng \ M x
n
) ị \ c > n.
Do
^(x
n
)(í) = R{t)[x0 - h ( x
n
) } + í R ( t - s ) g ( s
ì
x
n
( s ) ) d s
ì
ta có
||^/(x
7
?)(í)||x < Ci?(IWU + ®(II-Tn||c)) + Cjị í /x(s)Y(||a;n(s)||x)đs,
J { )
nhờ các giả thiết (Hl) và (G2). Khi đó
n < ||tt(xn)||c < C
R
(\\x
0

\\x + 0(n)) + C
R
T ( n ) í n(s)ds.
J()
Hay
1
n
< — ^Cr(||£q||x + B(^)) + C R Y ( I Ĩ ) Ị fi(s)ds
S
j
Qua giới hạn bất đẳng thức cuối khi n —> +00, ta nhận được mâu thuẫn
do có điều kiện (1.27). Định lý được chứng minh. □
Ta xét một số trường hợp đặc biệt của các hàm T và 0.
Hệ quả 1.1. Trong Định lý 1.3, (G2) và ( H l ) thay thế bởi
(G2’) \\g(t,ri)\\
x
< 1 + \\n\\
p
),iJ- 6 LVKO < p < 1,
(í, r/) G J X I;
(Hr) /?, : C Ụ \ X ) —»> X liên tục và
\ \ h ( x ) \ \ x
<
/l
0
+ /ỉi|MlcA)A > 0,0 < ợ < 1,
vđz mọz £ G C ( J ; X ) ;
Khi đỏ tập nghiệm, của bài toán (1.1)-(1.2) khác rỗng và compacẦ.
Chứng minh. Do p < 1 và q < 1, điều kiện (1.27) trong Định lỷ 1.4 rõ ràng
được thỏa mãn. Do vậy ta có kết luận của định lý. □

Hệ quả 1.2. Trong Định ỉý 1.3, (G2) và ( H l ) được thay thế bởi
(G2") \\g(t,rj)\\x < ụịt)(ì + \ \ r j \ \ ) , f i E L
l
Ụ ) , với
m,ọi (í, 77) € J X X;
(Hl") h : C ( J ; X ) -> X /?>;n tục và
\\h(x)\\x < h
{)
+ h ỵ ị ị x ị ị c , v ớ i h ^ . h ỵ > 0,
v à v ớ i m ọ i X 6 C { J \ X ) ;
Nếu
C
R
(h
0
+ / f i ( s ) d s ) < 1, (1.28)
«/ 0
£/?,z tập nghiệm của bài toán (1.1)-(1.2) khác rỗng và compact.
Chứnq minh. Với giả thiết (G2") và (Hl"), điều kiện (1.28) tương đương với
(1.27) và ta có kết luận của Định lý 1.4. □
Chú ý rằng, nếu q = 0 trong (HT), tức là hàm cục bộ bị chặn đều, ta
không cần giả thiết về độ tăng của T, như lý luận trong công trình của [18].
Định lý 1.5. Trong Định lý l.s, điều kiện ( H l ) được thay bởi
(Hlb) h liên tục và ||/z(x)||x < Mh với mọi X € C Ụ \ X ) , trong đó Mh là m,ột
hằng số dương.
Nếu
f T í‘°° dz
C R / n ( s ) d s < ị -Гf r, (1.29)
Jo JM т(г)
với м = Ся ( I |хо I Ix + hlh), thì Шр nghiệm, của bài toán (1.1)-(1.2) khác rỗng

và compact.
Chứng minh. Tasử dụng Dịnh lý 1.2. Chỉ cần kiểm tra điều kiện biên
trong Địnhlý 1.2. Ta sẽ chỉ ra rằng, nếu X = \ty(x) với Л G (о, 1], thì
X phải nằm trong một tập bị chặn. Thật vậy, giả sử
x ( t ) = X R ( t ) [ x o — h ( x ) ] + A í R ( t — s ) g ( s , x ( s ) ) d s .
J ( )
Ta suy ra
\x{t)\\x < C
R
(\\xO\\X + M
h
) + C
R
í /i(s)T(||x(s)||x)cís.
Л)
v ( t ) = C
R
{\\X
Q
\\X + Mh) + CR Ỉ /i(s)T(||:r(s)||x)ds,
J ( )
ta có ||x(í)||x < v(í), với t e J, và
v'{t) = CB/i(i)T(||x(i)|U)
< C
R
ị i ( t ) T ( v ( t ) ) ,
do T là hàm đơn điệu tăng. Khi đó sử dụng (1.29), ta có
r
m
d z „ r

T
,
ч
, Г d z ^у-т < ся / f i { s)ds <
-y-,
Ц
2
) Jữ Jũ
M
với mọi t 6 J . Bất đăng thức này suy ra supíeJ v ( t ) bị chặn, do vậy ||ж||с cũng
bị chặn. □
1.2 Sự phụ thuộc liên tục
Ta nhắc lại một số khái niệm liên quan đến hàm đa trị (xem, chẳng hạn, trong
cuốn sách chuyên khảo [16]).
Đặ
1.2. Sự PHỤ THUỘ C
2
Giả sử (Y, Q Y ) và (Z, Q z ) là các không gian metric; Ỉ C ( Z ) ký hiệu tập các
tập con khác rỗng, compact của z . Một hàm đa trị G : Y — > J C ( Z ) được gọi
là: (i) nửa liên tục trên (u.s.c.) nếu với mỗi y £ Y và 6 > 0 tồn tại ô = ô ( y, e ) >
0 sao cho Q Y { y, y ' ) < ỗ suy ra G ( y ' ) c U
e
( G ( y ) ) , trong đó ư
t
( G ( y ) ) là e-
lân cận của G ( y ) xác định theo Q z ; ( i i ) đống nếu đồ thị của nó: {(?/, z) 6 Y X
z : z E G ( y ) } là tập đóng trong
Y X Z \ ( i n ) compact nếu G ( Y ) là tập compact tương đối trong Z; (iv) tựa
compact nếu hạn chế của nó trên các tập compact là compact.
Ta có điều kiện đủ sau đây cho tính nửa licn tục trcn của hàm đa

trị.
Bổ đề 1.1 ([16]). Giả sử G : Y —> J C ( Z ) ỉà hàm, đa trị đóng và tựa compacẦ.
Khỉ đố G ỉ,à nửa liên tục trên.
Xét hàm đa trị
w
: X -o
CỤ\X)
W ( v ) = { x : X là nghiệm của (1.1)-(1.2) với điều kiện X ị ) = v}.
(1.30)
Như đã chứng minh trong mục trước, hàm w có giá trị compact. Ta sẽ xem xét
tính chất u.s.c của w.
Định lý 1.6. Vớ i gỉả thiết củ a Đ ịnh l ý 1 .Ậ, hàm đa trị w xác định bởi
(1.30) là u.s.c.
Chứng minh. Trước tiên ta chỉ ra rằng w là tựa compact. Giả sử Q c X là một tập
compact. Ta chứng minh w ( Q ) là tập compact tương đối trong C ( J ; X ) . Với
{ x
n
} c W ( Q ) , tồn tại dãy {v„} c Q sao cho
x
n
( t ) = R(t)vn - R ( t ) h ( x
n
) + (1.31)
ở đó g n ( t ) = g ( t , x n ( t ) ) .
Chú ý rằng {xn} là dãy bị chặn. Thật vậy, từ (1.31) ta có ước lượng
| | # n l l c ^
CR
( l h ; 7 7 , | | x + ® ( l l x n l ie ) ) +
CỵT
( l l ^ n l l c )

[ fl(s)ds.
Giả sử ngược lại rằng||a;n||c không bị chặn, chia hai vế của bất đẳng thức cuối
cho ll^llc, sử dụng điều kiện (1.27) và tính bị chặn của dãy {vn}, ta nhận được
mâu thuẫn.
Do {?;„} là compact, từ (1.31) ta có
х({жп(*)}) < ỵ {{R{t) h {x
n
)}) + х({ф5п^)})- (1-32)
1.2. Sự PHỤ THUỘ C
2
Sử dụng (G3) ta có
x({ỡ»(s)}) < м«)х({ж»(«)}) < k( s)^{ { x
n
}) với
mọi s 6 J. Them Mộnh đồ 1.3, ta có
x({®(
9
n){s)}) <

2
С
я( /
Hs)ds)
7({zn}),
và do vậy
7({í(ớn)}) < 2Ся( Ị k ( s ) d s ^ 7({ж„}). (1.33)
Mặt khác, do (H2) ta có
x ( { R ( t ) h ( x n ) } ) < c n c h j ( { x n } ) .
Kết hợp với ( 1.32)-( 1.33), ta được
7({ж,«}) < h { { X n } ) -

Từ đó 7({a;„}) = 0.
Bây giờ sử dụng (G2) ta suy ra { g
n
} là bị chặn tích phân trong
L
l
Ụ ] X ) . Do vậy {ф(дп)} là tập liên tục đồng bậc. Áp dụng (H3), ta
тос1с({а:п}) < тос1с({Ф*(ж„)}) + тос1с({Ф(^п)}) = ü.
Vậy ư ( { x
n
} ) = (о, 0) và {xn} là tập compact tương đối trong C ( J ; X ) .
Dể chứng minh w là U.S.C., theo Bổ đề 1.1, ta còn phải chứng minh w (có
đồ thị) đóng. Giả sử v
n
—> V trong X và x
n
£ W ( v
n
) , x
n
—> X trong C ( J ;
X ) . Ta sẽ chứng tỏ ж G W { v ) . Thật vậy
x
n
( t ) = ф*(я
п
)(£) + í R ( t - s ) g ( s , x
n
( s ) ) đ s . (1.34)
J o

Ta thấy rằng
ф*(х
п
) = R ( - ) [ v
n
- /i(z„)] R ( - ) [ v - h ( x ) ] = ф * ( х )
trong C ( J ; X ) theo (Hl). Hơn nữa do g là hàm liên tục, ta có g ( s , x
n
( s ) )
—»• g ( s , x ( s ) ) với hầu khắp s G J . Sử dụng định lý hội tụ trội Lebesgue, ta
có
9 ( - , x „ ( - ) ) - g ( - , x ( - ) ) 0 trong L
l
( J \ X )
do ta đã có {</(•,£„(•))} là bị chặn tích phân. Do đó, nhờ (1.34) ta đi đến
t
1.2. Sự PHỤ THUỘ C
2