Chuyên đề Số Phức luyện thi đại học

Giải Tch 12-Chuyên đ S phc LTĐH Nguyễn Quc Toàn


 Một số phức là một biểu thức dạng
a bi
+
, trong đó a, b là các
số thực và số i thoả mãn
2
1i
= −
. Kí hiệu số phức đó là z và viết
z a bi
= +
.
i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số
phức
z a bi
= +
.
Tập hợp các số phức được kí hiệu là
£
.
*+ Mỗi số thực a đều được xem như là 1 số phức với phần ảo
0b
=
.
+ Số phức
z a bi
= +
có

0a
=
được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.
+ Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
 Hai số phức
z a bi
= +
(
,a b
∈
¡
) và
' ' 'z a b i
= +
(
', 'a b
∈
¡
) được
gọi là bằng nhau nếu :
'a a
=
và
'b b
=
. Khi đó, ta viết:
'z z
=
.
 !"#$

Mỗi số phức
z a bi
= +
(
,a b
∈
¡
) được biểu diễn bởi một điểm
( ; )M a b
trên mặt
phẳng toạ độ Oxy. Ngược lại mỗi điểm
( ; )M a b
biểu diễn một số phức
z a bi
= +
Mặt phẳng toạ độ với việc biểu diễn số phức đgl mặt phẳng phức. Trục Ox gọi
là trục thực, trục Oy gọi là trục ảo.
%&'()*'+,-
% Tổng của hai số phức
1 1 1
z a b i
= +
,
2 2 2
z a b i
= +
(
1 1 2 2
, , ,a b a b
∈

¡
)
là số phức
1 2 1 2 1 2
( ) ( )z z a a b b i
+ = + + +
.
*./0+1'(
i,
1 2 3 1 2 3
( ) ( )z z z z z z
+ + = + +
với mọi
1 2 3
, ,z z z
∈
£

ii,
1 2 2 1
z z z z
+ = +
với mọi
1 2
,z z
∈
£
iii,
0 0z z z
+ = + =

với mọi
z
∈
£
iv, Với mỗi số phức
z a bi
= +
(
,a b
∈
¡
), nếu kí hiệu số phức
a bi
− −
là
z
−
thì ta
có:
( ) 0z z z z
+ − = − + =
. Số
z
−
được gọi là số đối của số phức
z
.
2 Hiệu của hai số phức
1 1 1
z a b i

= +
,
2 2 2
z a b i
= +
(
1 1 2 2
, , ,a b a b
∈
¡
)
là tổng của hai số phức
1
z
và
2
z
−
, tức là:
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( )z z z z a a b b i
+ − = − = − + −
.
*3#$1'()*'+,-
Mỗi số phức
z a bi
= +
(
,a b
∈

¡
) được biểu diễn bởi
( ; )M a b
cũng có nghĩa là
véc tơ
OM
uuuur
. Khi đó nếu
1 2
,u u
ur uur
theo thứ tự biểu diễn số phức
1 2
,z z
thì:
Trang 1
4567898:8;<=
;>?>.@4
4567898:8;<=
;>?>.@4
4AB8;>CD&4E
4AB8;>CD&4E
<F.G+H+I+ JK+
<F.G+H+I+ JK+
Giải Tch 12-Chuyên đ S phc LTĐH Nguyễn Quc Toàn
+
1 2
u u
+
ur uur

biểu diễn số phức
1 2
z z
+
+
1 2
u u
−
ur uur
biểu diễn số phức
1 2
z z
−
2&'L
M Tích của hai số phức
1 1 1
z a b i
= +
,
2 2 2
z a b i
= +
(
1 1 2 2
, , ,a b a b
∈
¡
)
là số phức:
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1

. ( )z z a a b b a b a b i
= − + +
*8NO'+ + Với mọi số thực k và mọi số phức
z a bi
= +
(
,a b
∈
¡
), ta có:

( )kz k a bi ka kbi
= + = +
+
0. .0 0z z
= =
với mọi
z
∈
£
.
*./0+1'L
i,
1 2 2 1
z z z z
=
với mọi
1 2
,z z
∈

£
ii,
.1 1.z z z
= =
với mọi
z
∈
£
iii,
1 2 3 1 2 3
( ). .( )z z z z z z
=
với mọi
1 2 3
, ,z z z
∈
£

iv,
1 2 3 1 2 1 3
.( )z z z z z z z
+ = +
với mọi
1 2 3
, ,z z z
∈
£

MIPQ)*RS 1
T Số phức liên hợp của số phức

z a bi
= +
(
,a b
∈
¡
) là
a bi
−
và
được kí hiệu là
z
. Như vậy, ta có:
z a bi a bi
= + = −
*8NO'+ + Số phức liên hợp của
z
lại là
z
, tức là
z z
=
. Do đó ta còn nói
z
và
z
là hai số phức liên hợp với nhau.
+ Hai số phức là liên hợp với nhau khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng
đối xứng nhau qua trục Ox.
*./0+iVới mọi

1 2
,z z
∈
£
ta có:
1 2 1 2
z z z z
+ = +
;
1 2 1 2
. .z z z z
=
ii,
z
∀ ∈
£
,
z a bi
= +
(
,a b
∈
¡
), số
.z z
luôn là một số thực và
2 2
.z z a b
= +
U Mô đun của số phức

z a bi
= +
(
,a b
∈
¡
) là số thực không âm
2 2
a b
+
và được kí hiệu
z
:
2 2
.z z z a b
= = +
.
*8NO'++
0z
=
khi và chỉ khi
0z
=
.
V Nếu
z
là số thực thì mô đun của
z
là giá trị tuyệt đối của số thực đó.
T&'WXY

Z Số nghịch đảo của số phức
z
khác 0 là
1
2
z
z
z
−
=
. Thương
'z
z

của phép chia số phức
'z
cho số phức
z
khác 0 là tích của
'z
với số phức
nghịch đảo của
z
, tức là
1
'
'.
z
z z
z

−
=
. Như vậy, nếu
0z
≠
thì
2
' '.z z z
z
z
=
* Có thể viết
2
' '. '.
.
z z z z z
z
z z
z
= =
nên để tính
'z
z
ta chỉ cần nhân cả tử và
Trang 2
Giải Tch 12-Chuyên đ S phc LTĐH Nguyễn Quc Toàn
mẫu số với
z
. Để ý rằng
2

.z z z
=
.
*8NO'+ + Với
0z
≠
, ta có:
1 1
1
1.z z
z
− −
= =
.
+ Thương
'z
z
là số phức
w
sao cho
.w 'z z
=
. Do đó, có thể nói phép chia cho
số phức khác 0 là phép toán ngược của phép nhân.
+
' 'z z
z
z
 
=

 ÷
 
;
'
'
z
z
z z
=
;
1 2 1 2
.z z z z
=
;
1 2 1 2
z z z z
+ ≤ +
[\./+W)*
* Xác định phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
1,
(3 5 ) (7 3 )z i i
= − − −
2,
(4 3 )(4 5 )z i i
= − +
3,
5 2 7(2 ) 3z i i i
= + + − −
4,
14

(1 )z i
= −
5,
5
(3 2 )(3 2 ) 5(1 2 ) 2z i i i i
= + − + + +
6,
16 16
(3 ) (1 2 )z i i
= − +
7,
8
(1 )z i
= +
8,
3
(3 )z i
= +
9,
3 2
(1 ) (1 )z i i
= + − −
10,
2
1
i
z
i
=
+

11,
2
(1 2 )(2 )
1 3
i i
z
i
+
=
+
12,
2
(2 3 )(3 )
6 17
i i
z
i
− +
=
+
* Xác định phần thực và phần ảo và tính mô đun của mỗi số phức sau:
1,
2
( 3) 3(2 3)( 1)z i i i
= − + − +
2,
3 3
(2 ) (3 )z i i
= + − −
3,

7
7
1 1
2
z i
i i
 
= −
 ÷
 
4,
3 2
1
i i
z
i i
− +
= −
+
5,
3
2 1
4 3 2
2
i
z i i
i
−
= + + +
+

6,
3
(3 1)(2 )
(1 4 )
1
i i
z i i
i
− −
= + +
+
7,
18 18
20
( 1 9 ) (4 5 )
(1 )
i i
z
i
− + −
=
−
8,
3 2 3 3 2 3
2 3 2 3
i i
z
i i
+ − +
= − +

+ −
9,
15
9
9
12
(1 3 ) 1
3
( 3 )
i
z i
i
i
+
 
= + −
 ÷
+
 
10,
33
10
1 1
(1 ) (2 3 )(2 3 )
1
i
z i i i
i i
+
 

= + − + + − +
 ÷
−
 
11,
16 8
1 1
1 1
i i
z
i i
+ −
   
= +
 ÷  ÷
− +
   
12,
2 99
1 (1 ) (1 ) (1 )z i i i
= + + + + + + +
*% Tìm
z
và tính
z
biết rằng:
1,
2 3z i
= − +
2,

2 2z i
= −
3,
2013z
= −
4,
2014z i
=
5,
2 3 (2 3)z i
= − + +
6,
1
(1 )(3 2 )
3
z i i
i
= + − +
+
*2 Cho số phức
1 3
2 2
z i
= +
. Tính:
z
;
z
;
1

z
;
3
z
;
( )
2
z
;
2
1z z
− +
;
( )
2013
6
1 z
−

Trang 3
F&]^_+W
F&]^_+W
Giải Tch 12-Chuyên đ S phc LTĐH Nguyễn Quc Toàn
*M Cho số phức
2
(1 2 )(2 )z i i
= − +
. Tính:
z
;

z
;
z z
+
;
.z z
*T Tìm các số thực x, y thoả mãn:
1,
3 5 2 1 ( )x y xi y x y i
+ + = − + −
2,
3
(3 5 ) (1 2 ) 9 14x i y i i
+ + − = +
3,
3 2 1 (2 )x yi y x i
+ = + + −
4,
2 1 ( 2 5)x y x y i
+ − = + −
5,
3
( 2 )(2 ) 2
2
x yi x yi i
− + = +
6,
2 2
(1 ) (4 3 ) 1 4x i y i xy i
+ + − + = +

*U Tìm các số thực x, y thoả mãn:
1,
2 3
(2 3 ) (2 1)(1 ) 5(7 10 )x i y i i
− + + + = − +
2,
2 3
(2 )(3 ) ( 2 )( 2) 18 76x i i x y i i
+ + − − − = +
3,
3
(2 1)(2 ) ( 3 2 )(2 3 ) 6 85x i y i i i
+ − − − + − = −
4,
7
2
1
(3 ) ( 2)( ) 19 23
1
i
x y y x i i
i
−
 
− + + − = − −
 ÷
+
 
*Z Chứng minh rằng các số phức sau là số thực:
1,

3 2
2 3
(1 3 ) (4 3 )
(2 ) (3 80 )
i i
z
i i i
+ −
=
+ + +
2,
2
2
(3 2 ) ( 2 ) 19
3
(1 2 )
i i
z
i
i
+ −
= −
+
3,
7 7
(2 5) (2 5)z i i
= + + −
4,
2013 2013
19 7 20 5

9 7 6
i i
z
i i
+ +
   
= +
 ÷  ÷
− +
   
*` Chứng minh rằng các số phức sau là số thuần ảo:
1,
9 5
(1 3 ) (512 3)z i i i
= + − +
2,
2 2
(5 1) (1 3 ) (8 10)z i i i
= − − − −
3,
5 2 5 2
2 3 10 2 3 10
i i
z
i i
+ −
= −
− +
4,
52 2013 52 2013

(3 1)(79 7 ) 10(23 10 )
i i
z
i i
+ −
= +
+ + −
*Y Xác định phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
1,
3 2
(1 )(2 3 )
i
z
i i
+
=
+ −
2,
(1 )(2 ) (1 )(2 )
2 2
i i i i
z
i i
+ + − −
= −
− +
3,
3
1 5
(2 )

1
i
z i
i
−
= + −
+
4,
2 4
7
(2 ) (1 )
2
i
z i i
i
−
= − + + −
+

* Hỏi mỗi số phức sau là số thực hay số ảo:
1,
( )
2013
2
2
1
i i
z z
z
α

−
= − +
−
2,
( )
3
2
1
z z
z z
z
β
−
= + +
−
* Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:
1,
3
1 3 1 3
2 2 2 2
i i
A
   
= − + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
2,
2 2
2 2

(1 2 ) (1 )
(3 2 ) (2 )
i i
B
i i
+ − −
=
+ − +
3,
3 3
3 3
(2 ) (2 )
(2 ) (2 )
i i
C
i i
+ + −
=
+ − −
4,
2013
10
1 1
(1 ) (2 3 )(2 3 )
1
i
D i i i
i i
+
 

= + − + + − +
 ÷
−
 
Trang 4
Giải Tch 12-Chuyên đ S phc LTĐH Nguyễn Quc Toàn
*% Tìm số phức z thoả mãn:
1,
0iz z i
+ − =
2,
(3 2 ) 1 4i z i z
− = − +
3,
(1 5 ) 10 2 1 5i z i i
− + + = −
4,
1 3
1
z i
i i
i
+
+ + = +
−
5,
2 3
1 3 2 1
1
i

i z
i
−
+ − = −
+
6,
2 1 3
1 2
i i
z
i i
+ − +
=
− +
7,
( 2 3) 3 2i z i
− = +
8,
2
( 1)(1 ) 2 2
1
z i
z i i
i
+
+ + − − =
−
*2 Tìm số phức z thoả mãn:
1,
(4 3 ) (2 )(3 5 )i z i i

− = + −
2,
2 3 4 11z iz i
− = −
3,
( 2) (3 )( 1 3 )z i i z i
+ = − − +
4,
2
2 2 1
(3 ) 10 5
i z z
i i
+ − +
=
− +
5,
3
7 3
(2 1) 2 1
i i
i z
+ +
=
− +
6,
1 2
2 3
1 1
i z i

z i
i i
− + −
− + =
+ −
7,
2
z z
=
8,
2 2 4z z i
+ = −
9,
( )
. 3 13 18z z z z i
+ − = +
10,
( )
4 (2 ) 7 3 7z z i z i
+ − + = −
11,
2 2
(1 ) 5 5
1
iz i
i z i
i
+
+ − − =
−

*M Tìm số phức z thoả mãn:
1,
5z
=
và
z z
=
2,
2 3z z
+ =
và
z z
= −
3,
2
2 . 5z z z
− =
và
z z
=
4,
( )
2
2
0z z
+ =
và
1
1
3

z
z
−
=
−
5,
2 1 2z i z i
+ − = − +
và
1 10
10
z
=
6,
5z
=
và phần thực của nó bằng 2 lần phần ảo của nó.
*T Tìm số phức z thoả mãn:
1,
2
2
z z z
= +
2,
5 3
1 0
i
z
z
+

− − =
3,
2
1 (2 3 )
2
i i z
i
z
z
− −
= + −
4,
3
( 2 )
1 2
i
z
i
−
=
+
5,
2
1
( 1)(1 )
1
z
z i z
i
−

+ + + =
−
6,
( )
2
. 2 10 3z z z z z i
+ − − = +

7,
1 5z
− =
và
( )
17 5 . 0z z z z
+ − =
8,
1 2 5z i
+ − =
và
. 34z z
=
9,
(2 ) 10z i
− + =
và
. 25z z
=
10,
3 1z i iz
− = −

và
9
z
z
−
là số thuần ảo
*U Tìm số phức z thoả mãn:
1,
2 4 2z i z i
− − = −
và
1 2z i
+ −
nhỏ nhất.
2,
1 2z i iz
+ − = −
và
(2 3 2 )( )z i z i
+ − +
là số thuần ảo.
3,
z
nhỏ nhất và
( )
( 1) 2z z i
− +
là số thực.
4,
z

nhỏ nhất và
3 2iz z i
− = − −
5,
z
lớn nhất và
( )
2 (1 )z z
− +
là số thuần ảo.
Trang 5
Giải Tch 12-Chuyên đ S phc LTĐH Nguyễn Quc Toàn
*Z Tìm số phức z thoả mãn:
1,
2 52z i
− − =
và
4 2z i
− +
nhỏ nhất.
2,
1 2 3 4z i z i
+ − = + +
và
2z i
z i
−
+
là số thuần ảo.
3, Phần thực là số thực dương, phần ảo là số thực âm thoả mãn:

1z
=
và
( )
2
2
3z z
− =
*` Tìm số phức z thoả mãn:
1,
1 2 3 4z i z i
+ − = + −
và
1 10z z i
− + − =
2,
1
1
z
z i
−
=
−
và
3
1
z i
z i
−
=

+
3,
2 5
3
3 2
z
z i
+
=
−
và
5
1
1
z
z
−
=
−
4,
1
1
3
z
z
−
=
−
và
2

2
z i
z i
−
=
+
5,
1
1
z i
z
+
=
−
và
( 3)( 3 ) 9z z i
+ − =
6,
3
1
z i
z i
+
=
−
và
( 2)( 5 2 ) 6z iz i
− + − =
7,
( )

2
2
0z z
+ =
và
1
1
3
z
z
−
=
−
8,
2
1
2
z
z i
+
=
+
và
( )
( 1) 5z z i
+ − =
*Y 1, Tìm số phức z sao cho
w (2 3 )(2 )(3 2 )z i i i
= − + −
là 1 số thực.

2, Cho số phức z thoả mãn:
2 3z z i
+ = +
. Tính
12
z
.
3, Cho số phức z thoả mãn:
7
1
2
z
z
z
−
+ =
−
. Tính
2z i
z i
+
−
.
4, Cho số phức z thoả mãn:
18
1
2
z
z
z

−
− =
−
. Tính
4
2
z i
z i
+
−
.
5, Cho số phức z thoả mãn:
2 3( 1 2 )z z i
− = − +
. Tính
2 3
w z z z
= + +
.
6, Cho số phức z thoả mãn:
4
1
z i
z
− =
+
. Tính
1 (1 )A i z
= + +
.

7, Cho số phức z thoả mãn:
2
2
z i
z
−
−
là số thuần ảo. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
1T z z i
= − + −
.
* 1, Cho hàm số:
3 2
( ) 2 7 3f z z z z
= − − −
. Chứng minh rằng:
w (1 ) (1 )f i f i
= + + −
là một số thực.
2, Cho số phức
z x yi
= +
(
,x y
∈
¡
) thoả mãn:
3
18 26z i

= +
.
Tính giá trị của biểu thức:
2013 2013
( 2) (4 )A z z
= − + −
.
3, Cho số phức
1
w
1
z
z
+
=
−
. a, Xác định phần thực của w biết rằng
1z
=
và
1z
≠
.
b, Chứng minh rằng: Nếu w là số thuần ảo thì
1z
=
.
Trang 6
Giải Tch 12-Chuyên đ S phc LTĐH Nguyễn Quc Toàn
* a(+Sb+\4$c d

1,(FYY`) Tìm số phức z thoả mãn:
(2 ) 10z i
− + =
và
. 25z z
=
2,([FYY) Tìm số phức z thoả mãn:
2z
=
và
2
z
là số thuần ảo.
3,(<FYY) Tìm phần ảo của số phức z, biết rằng:
2
( 2 ) (1 2 )z i i
= + −
Cho số phức z thoả mãn:
3
(1 3 )
1
i
z
i
−
=
−
. Tính
z iz
+

.
4,(FYY) Tìm số phức z thoả mãn:
3
5
3
z
z i
+
=
+
và
4 10z i z i
− = +
.
5,(<FY) Tìm tất cả các số phức z, biết:
2
2
z z z
= +
Tính
z
, biết rằng:
( )
(2 1)(1 ) 1 (1 ) 2 2z i z i i
− + + + − = −
6,(FY) Tìm số phức z, biết rằng:
5 3
1 0
i
z

z
+
− − =
.
Tìm phần thực và phần ảo của số phức:
3
1 3
1
i
z
i
 
+
=
 ÷
 ÷
+
 
7,(<FY) Cho số phức z thoả mãn:
( )
5
2
1
z i
i
z
−
= −
+
. Tính

w
biết
2
w 1 z z
= + +
.
8,([FY) Cho số phức z thoả mãn:
2(1 2 )
(2 ) 7 8
1
i
i z i
i
+
+ + = +
+
.
Tính mô đun của số phức
w 1z i
= + +
.
9,([FY%) Cho số phức z thoả mãn:
(1 )( ) 2 2i z i z i
+ − + =
.
Tính môđun của số phức w, biết
2
2 1
w
z z

z
− +
=
.
*% 1, Tìm số phức z thoả mãn:
1 5z z i
− + − =
và
( )
(2 )z i z
− +
là số ảo.
2, Tìm số phức z thoả mãn:
( )
2
2
2
( ) 2 2 3z i z z i
+ + − = −
3, Tìm các số phức z, w thoả mãn:
w 4z i
+ = −
và
3 3
w 7 28z i
+ = +
4, Tìm số phức z thoả mãn:
2 2z z i z i
− + = −
và

( )
(2 )z i z
− +
là số thực.
5, *Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho:
1
3
1 3
n
i
z
i
 
−
=
 ÷
 ÷
−
 
là số thực và
2
2
5
2 3
n
i
z
i
−
−

 
=
 ÷
−
 
là số thuần ảo.
6, Trong tất cả các số phức z thoả mãn
1 3
2
z z
z
+
+ = +
, hãy tìm số phức có
môđun nhỏ nhất.
Trang 7
Giải Tch 12-Chuyên đ S phc LTĐH Nguyễn Quc Toàn
7, Cho số phức z thoả mãn
2
6 13 0z z
− + =
. Tính
6
z
z i
+
+
.
8, Cho số phức z thoả mãn
2

2 4 0z z
− + =
. Tìm số phức
7
1 3
w
2
z
z
 
+ −
=
 ÷
 ÷
+
 
.
9, Cho z là số phức thoả mãn
(1 )( )z i z
− +
là số thuần ảo. Tính giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
T z i
= −
.
10, Trong tất cả các số phức z thoả mãn
(1 )
2 3
1
i z

i
+
+ =
−
, hãy tìm số phức có
môđun nhỏ nhất và số phức có môđun lớn nhất.
*2 1, *Cho số phức z thoả mãn
2 3 4z iz z
+ = −
. Tính
2013
2014
1
w z
z
= +
.
2, Tìm tất cả các số phức z thoả mãn điều kiện:
3
4z z
=
.
3, Tính môđun của số phức z, biết
3
12z i z
+ =
và z có phần thực dương.
4, Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết rằng:
2
12 2 (3 )z i z

− = −
5, Tìm số phức z biết:
( )
2
2 1 1 (1 )z z i z
+ + − = −
.
6, Tìm số phức z biết:
2
2
2 . 8z z z z
+ + =
và
2z z
+ =
.
7, Tìm môđun của số phức z biết:
2
1 2 11 2z i iz z i
− − + + = +
.
8, Tìm số phức z thoả mãn:
(1 3 )i z
−
là số thực và
2 5 1z i
− + =
.
9, *Tìm số phức z sao cho
5

z
và
2
1
z
là hai số phức liên hợp của nhau.
10, Cho số phức
1 3
2
i
z
− +
=
. Tính giá trị của biểu thức:
2 3 4 5
2 3 4
2 3 4
1 1 1 1
P z z z z
z z z z
       
= + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
*M 1, Cho số phức
11
1
1
i
z

i
−
 
=
 ÷
+
 
. Tính môđun của số phức:
2013 2014 2016 2021
w z z z z
= + + +
2, Tính môđun của số phức z biết:
3
2
1 3
.(1 2 )
1
i
z i
i
 
+
= +
 ÷
 ÷
+
 
3, Cho z và w là hai số phức liên hợp thoả mãn
2
w

z
là số thực và
w 2 3z
+ =
.
Tính môđun của số phức z.
Trang 8
Giải Tch 12-Chuyên đ S phc LTĐH Nguyễn Quc Toàn
4, Tìm số phức z thoả mãn:
2
(1 3 )
1
iz i z
z
i
− +
=
+
.
5, Tìm môđun của số phức z, biết:
2
2 3
1
z z
z
z
+ +
=
+
.

6, Cho số phức z thoả mãn:
6 7
1 3 5
z i
z
i
+
− =
+
. Tìm phần thực của số phức
2013
z
.
7, Cho số phức z thoả mãn:
3
1 3
2 .
1
i
z i z
i
 
−
+ =
 ÷
 ÷
+
 
. Tính
2 .A z i z

= +
.
8, Tìm số phức z, biết:
( )
( 1)(2 3 ) 1 (2 3 ) 14z i z i
+ − + + + =
và
2z
=
.
9, Tìm số phức z có môđun bằng 1, đồng thời số phức
2
w 2 1z z
= + −
có môđun
lớn nhất.
10, *Cho số phức
0z
≠
thoả mãn
2z
≥
.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
z i
P
z
+
=
.

*T Cho hai số phức
1
z
và
2
z
. Chứng minh rằng:
1,
1 2 1 2
z z z z
+ = +
2,
1 2 1 2
. .z z z z
=
3,
1 2 1 2
. .z z z z
=
4,
1 2 1 2
z z z z
+ = +
5,
1 1
2
2
z z
z
z

 
=
 ÷
 
(
2
0z
≠
) 6,
1
1
2 2
z
z
z z
=
(
2
0z
≠
)
*U Cho hai số phức
1
z
và
2
z
. Chứng minh rằng:
1,
( )

2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2z z z z z z
+ + − = +
2,
( ) ( )
2
2 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1z z z z z z z z
− − − = + − +
3,
( ) ( )
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1z z z z z z
+ + − = + +
4,
( ) ( )
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1z z z z z z
+ + − = + +
*Z Cho hai số phức
1
z
và

2
z
. Chứng minh rằng:
1,
1 2 1 2
z z z z
+ ≤ +
2,
2 2 2
1 2 1 2
. .z z z z
=
3,
( )
2
2 2
1 2 1 1 2 2
2z z z z z z
± = ± +
4,
( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2
z z z z z z
+ − = −
5,
( )
3
3 2 2 3
1 2 1 1 2 1 2 2

3 3z z z z z z z z
± = ± + ±
*` Cho số phức z thoả mãn
1z
=
. Chứng minh rằng:
1,
3 2
1 5
z i
z
+
≤ ≤
2,
3 2
1 1 1 5z z z
≤ + + + + ≤
*%Y Cho các số phức x, y, z. Chứng minh rằng:
Trang 9
Giải Tch 12-Chuyên đ S phc LTĐH Nguyễn Quc Toàn
x y z x y z x y z x y z
+ + ≤ + − + − + + − + +
*% Cho hai số phức
1
z
và
2
z
đều có môđun bằng 1.
Chứng minh rằng số phức

1 2
1 2
1
z z
z z
+
+
là số thực, với
1 2
1z z
≠ −
.
*% Giải các bài toán sau:
1, Cho hai số phức
1
z
,
2
z
thoả mãn:
1 2 1 2
0z z z z
− = = >
.
Tính giá trị của biểu thức:
4 4
1 2
2 1
z z
A

z z
   
= +
 ÷  ÷
   
.
2, Cho
1
z
,
2
z
là 2 số phức thoả mãn phương trình
6 2 3z i iz
− = +
và
1 2
1
3
z z
− =
.
Tính
1 2
A z z
= +
.
3, Cho hai số phức
1
z

,
2
z
thoả mãn:
1 2
1z z
= =
và
1 2
3z z
+ =
. Tính
1 2
z z
−
.
4, Cho
1
z
,
2
z
,
3
z
là các số phức thoả mãn
1 2 3
1z z z
= = =
và

1 2 3
1z z z
+ + =
.
Chứng minh rằng:
1 2 3 1 2 2 3 3 1
z z z z z z z z z
= + +
.
5, Cho hai số phức:
2 2
1
( 1) (2 3 4)z a a a a i
= + + + + −
(
a
∈
¡
) và
2
3 2z i
= −
.
Tìm giá trị của tham số a để
1 2
z z
=
.
6, Chứng minh rằng: Hai số phức phân biệt
1

z
,
2
z
thoả mãn điều kiện
1 2
z z
=

khi và chỉ khi
1 2
1 2
z z
z z
+
−
là số thuần ảo.
*%% Giải các bài toán sau:
1, Cho hai số phức
1
z
,
2
z
thoả mãn:
1
3z
=
,
2

4z
=
và
1 2
37z z
− =
.
Tìm số phức
1
2
z
z
z
=
.
2, Cho hai số phức
1
z
,
2
z
. Chứng minh rằng:
1 2 1 2
w z z z z
= +
là 1 số thực.
3, Cho hai số phức
1
z
,

2
z
thoả mãn:
2 2
1 2 1 2
z z z z
+ =
. Tính
1 2
1 2
z z
z z
−
+
.
4, Cho
1
z
,
2
z
,
3
z
là các số phức thoả mãn
1 2 3
1z z z
= = =
.
Chứng minh rằng:

1 2 2 3 3 1 1 2 3
z z z z z z z z z
+ + = + +
5, Cho số phức
0z
≠
thoả mãn điều kiện:
3
3
1
2z
z
+ ≤
. Chứng minh:
1
2z
z
+ ≤
.
Trang 10
Giải Tch 12-Chuyên đ S phc LTĐH Nguyễn Quc Toàn
[\ !")*+NQS
● Véc tơ
( ; )u x y
r
biểu diễn số phức
z x yi
= +
.
● Điểm

( ; )M x y
biểu diễn số phức
z x yi
= +
, tức là
OM
uuuur
biểu diễn số phức đó.
● Tập hợp điểm
( ; )M x y
thoả mãn:
+
0Ax By C
+ + =
,
2 2
0A B
+ >
: là một đường thẳng
+
MA MB
=
: là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
+
2
y ax bx c
= + +
,
0a
≠

: là một Parabol
+
2 2 2
( ) ( )x a y b R
− + − =
: là đường tròn tâm
( ; )I a b
, bán kính R.
+
2 2 2
( ) ( )x a y b R
− + − ≤
: là hình tròn tâm
( ; )I a b
, bán kính R.
+
1 2
2MF MF a
+ =
,
1 2
2 2F F c a
= <
: là một Elip
+
1 2
2MF MF a
− =
,
1 2

2 2F F c a
= >
: là một Hypebol …
* Biểu diễn các số phức sau trên mặt phẳng phức:
1,
3z
=
2,
2z i
= −
3,
3 2z i
= −
4,
2z i
= − +
* Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn:
1,
1z
=
2,
2z
≤
3,
1 2 4z i
− + =
4,
2 3z i
+ − ≤
5,

2 1z i
+ = −
6,
2 2z z
+ > −
7,
4 4 10z i z i
− + + =
8,
1 2z
< ≤
9,
1 1 2z i
≤ + − ≤
*% Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn:
1,
( )
2
2 5z z
+ + ∈
¡
2,
2
z
là số thuần ảo 3,
3 4z z i
= − +
4,
(3 4 ) 2z i
− − =

(FYYe 5,
(1 )z i i z
− = +
([FYY`)
6,
3 2 2 1 2z i z i
+ − = + −
7,
1 2z z i
+ + − =
8,
2 2z i z z i
− = − +
*2 Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn:
1,
4z z
+ >
2,
3z i
− =
3,
( )
2
2
4z z
− =
4,
2 1 2 3z i
≤ − + <
5,

(2 3 ) 2 0i z i m
+ + − =
6,
(1 ) (1 ) 2 1i z i z z
+ + − = +
7,
1
z i
z i
−
=
+
8,
2
1
3
z i
z
+
=
−
9,
3
2
z i
z
−
=
*M Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn:
1,

(2 )( )z z i
− +
là số thuần ảo 2,
2
2 4z z i
− +
là số thực
3,
2 3
1
z i
z
+ +
−
là số thuần ảo 7,
1
1
iz i
z i
+ +
− +
là số thực
8,
2
1
z i
iz
+
−
là số thuần ảo 9,

1
z i
iz
+
−
là số thực
Trang 11
Giải Tch 12-Chuyên đ S phc LTĐH Nguyễn Quc Toàn
*T Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn:
1,
2
z
là số thực âm 2,
2
( )z i
−
là số thuần ảo
3,
2
( )z i
−
là số thực âm 4,
( )
2
2
( )z i z
− =
5,
1
z i

+
là số thuần ảo 6,
z i
z i
+
−
là số thực dương
*U Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn:
1,
1 2 0z i
+ + ≤
2,
(1 ) (1 )i z i z
− = +
3,
log 1z i
+ ≤
4,
2 2
2 2 26z z
− + + =
5,
1
1z z
z
= = −
6,
1
3
2 2

log 1
4 2 1
z
z
− +
>
− −
7,
1 1 4z z
+ + − =
8,
2 2 6z i z i
+ + − =
9,
5 5 8z z
− − + =
*Z Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức thoả mãn:
1, M biểu diễn các số phức
1z i
+ −
, trong đó
1 2 3z i
− + =
.
2, M biểu diễn các số phức
2z i
− +
, với
2 1 3z i
≤ − − <

.
*` Giải các bài toán sau:
1, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức
( )
w 1 3 2i z
= + +
, biết
1 2z
− ≤
.
2, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức
w 2 3z i
= + −
, biết:
a,
2
3 . 9z i z z
+ ≤ +
b,
2
2 3 . 1z i z z
+ ≤ +
c,
2 3 5z i
− + =
3, Cho số phức
( )
3
5
1 3

16(1 )
i
z
i
+
=
+
. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w, biết rằng:
w 2iz z
− + =
.
4, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức
w 3iz
= +
, biết:
( )
2 1 2 6z zz z iz
+ = +
.
*Y Cho các điểm A, B, C, D, M, N, P nằm trong mặt phẳng phức lần lượt
biểu diễn các số phức
1 3i
+
,
2 2i
− +
,
4 2i
− −
,

1 7i
−
,
3 4i
− +
,
1 3i
−
,
3 2i
− +
.
1, Chứng minh rằng các tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.
2, Tìm điểm Q trong mặt phẳng phức sao cho tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Điểm Q biểu diễn số phức nào?
3, Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp một đường tròn. Tìm tâm và
tính bán kính đường tròn đó.
* Các véc tơ
,u v
r r
trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức
, 'z z
. Chứng minh: 1,
( )
1
. ' '
2
u v zz z z
= +
r r

2,
' 'u v z z z z
⊥ ⇔ + = −
r r
3, Nếu
0u
≠
r r
thì
,u v
r r
vuông góc khi và chỉ khi
'z
z
là số thuần ảo.
Trang 12
Giải Tch 12-Chuyên đ S phc LTĐH Nguyễn Quc Toàn
dfN1
&]^+,#fN
dfN1
* Căn bậc hai của số phức z là số phức w sao cho
2
w z
=
.
*&]^OSdfN1
Xét số phức
z a bi
= +
. Gọi

w x yi
= +
là căn bậc hai của số phức z.
+ Nếu
0, 0a b
= =
thì
0z
=
có đúng một căn bậc hai là
0w
=
.
+ Nếu
0, 0a b
> =
thì căn bậc hai của z là
w a
= ±
.
+ Nếu
0, 0a b
< =
thì
2
z a ai
= = −
nên
w ai
= ± −

.
+ Nếu
0b
≠
thì ta có
2 2 2
2w x y xyi
= − +
nên
2 2
2
2
x y a
w z
xy b

− =
= ⇔

=


(*)
Giải hệ
(*)
để xác định các giá trị của x, y.
&]^+,#fN
Xét phương trình bậc hai:
2
0az bz c

+ + =

(1)
, với
, ,a b c
∈
¡
và
0a
≠
.
Ta có biệt thức
2
4b ac
∆ = −
.
+ Nếu
0
∆ =
thì phương trình
(1)
có hai nghiệm trùng nhau:
1 2
2
b
z z
a
= = −
.
+ Nếu

0
∆ ≠
, gọi
δ
là căn bậc hai của
∆
thì phương trình
(1)
có hai nghiệm
phân biệt:
1
2
b
z
a
δ
− +
=
;
2
2
b
z
a
δ
− −
=
*8NO'+ Hệ thức Viét vẫn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức:
1 2
b

z z
a
+ = −
;
1 2
c
z z
a
=
[\dfN)*]^+,#fN
* Xác định căn bậc hai của mỗi số phức sau:
1,
2z i
=
2,
2z i
= −
3,
3 4z i
= − +
4,
2 2 3z i
= − −
5,
1 4 3z i
= − +
6,
4 6 5z i
= +
7,

1 2 6z i
= − −
8,
7 5z i
= −
9,
46 14 3z i
= −
* Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1,
2
6 11 0z z
− + =
2,
2
3 10 0z z
+ + =
3,
2
3 4 6 0z z
− + =
4,
2
2 3 7 0z z
− + =
5,
2
( 5) 8 0z i z i
+ − + − =
6,

2
(4 5 ) 11 13 0z i z i
− + − + =
*% Giải các phương trình sau trên tập số phức:
Trang 13
<F.G+H+I+ JK+
<F.G+H+I+ JK+
F&]^_+W
F&]^_+W
Giải Tch 12-Chuyên đ S phc LTĐH Nguyễn Quc Toàn
1,
2
3(1 ) 5 0z i z i
+ + + =
([FY) 2,
2
2(2 ) 7 4 0z i z i
− + + + =
3,
2
(1 3 ) 2(1 ) 0z i z i
+ − − + =
4,
2
(3 4 ) 1 5 0z i z i
− + − + =
5,
2
2 2(5 2 ) 28 4 0z i z i
− − + − =

6,
2
(5 14 ) 2(5 12) 0z i z i
− − − + =
*2 Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1,
2
2(1 ) 4 0iz i z
− − − =
2,
2
2(2 ) 6 8 0z i z i
− − + − =
3,
2
(1 ) 6 3 0z i z i
− + + + =
4,
2
(1 ) 10 11 0z i z i
+ + − + =
5,
( )
2
7 3 16 3 0z i z i
− + + − =
6,
2
2(1 ) 4(2 ) 5 3 0i z i z i
+ − − − − =

*M Gọi
1 2
,z z
là các nghiệm của phương trình:
2
3 5 3 0z z
− + =
. Tính giá trị
của các biểu thức:
1,
2 2
1 2
A z z
= +
2,
3 3
1 2
B z z
= +
3,
5 5
1 2
C z z
= +
4,
3 3
1 2
2 1
z z
D

z z
= +
5,
1 2
2 1
2 1 2 1
z z
E
z z
= +
+ +
6,
2 2
1 2 2 1
1 2
2 2
z z z z
F
z z
+ +
= +
− −
*T Chứng minh rằng:
1, Hai số phức liên hợp z và
z
là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với
hệ số thực.
2, Nếu phương trình bậc hai với hệ số thực có một nghiệm phức là z thì
z
cũng

là nghiệm của nó.
*U Lập phương trình bậc hai với hệ số thực có nghiệm:
1,
1
5 2z i
= +
và
2
5 2z i
= −
2,
1
2 5z i
= − +
và
2
2 5z i
= − −
3,
2z i
= − +
4,
4z i
= −
5,
2 3z i
= +
*Z Tìm hai số phức biết:
1, Tổng của chúng bằng
4 i

−
và tích của chúng bằng
5(1 )i
−
.
2, Hiệu của chúng bằng
6i
và tích của chúng bằng
2(7 6 )i
+
.
*` Giải các bài toán sau:
1, Gọi
1 2
,z z
là các nghiệm phức của phương trình:
2
2 10 0z z
+ + =
. Tính giá trị
của các biểu thức:
2 2
1 2
A z z
= +
2, Gọi
1 2
,z z
là các nghiệm phức của phương trình:
2

2 5 0z z
− + =
. Tính giá trị
của các biểu thức:
2 2
1 2
B z z
= +
3, Gọi
1 2
,z z
là các nghiệm phức của phương trình:
2
4 5 0z z
− + =
. Tính giá trị
của các biểu thức:
( ) ( )
2013 2013
1 2
1 1P z z
= − + −
4, Gọi
1 2
,z z
là các nghiệm phức của phương trình:
2
2 2 8 0z z
− + =
. Tính giá trị

của các biểu thức:
2013 2013
1 2
P z z
= +
5, Gọi
1 2
,z z
là 2 nghiệm phức của phương trình:
2
2(1 ) 4(2 ) 5 3 0i z i z i
+ − − − − =
.
Trang 14
Giải Tch 12-Chuyên đ S phc LTĐH Nguyễn Quc Toàn
Tính giá trị của các biểu thức:
2 2
1 2
A z z
= +
6, Gọi
1
z
là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình:
2
2 5 0z z
− + =
. Tìm
tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn:
1

2
2 1
1
2
z
z z
z z
− +
=
+ +
7, Trong mặt phẳng toạ độ, giả sử điểm A biểu diễn nghiệm
1
z
của phương
trình:
2
2 5 0z z
− + =
và điểm B biểu diễn số phức
2 1
1
2
i
z z
+
=
. Tính diện tích của
tam giác OAB, với O là gốc toạ độ.
8, Tìm tất cả các số thực b, c sao cho số phức
( )

( )
12
6
6
1 3 (2 )
1 3 (1 )
i i
i i
+ −
− +
là nghiệm của
phương trình:
2
8 64 0z bz c
+ + =
.
9, Gọi
1 2
,z z
là các nghiệm phức của phương trình:
2
2 4 11 0z z
− + =
. Tính giá trị
của các biểu thức:
( )
2 2
1 2
2
1 2

z z
P
z z
+
=
+
10, Giả sử a, b, c là 3 số phức thay đổi thoả mãn
0a b c
= = >
và z là nghiệm
của phương trình:
2
0az bz c
+ + =
. Chứng minh rằng:
1 5 1 5
2 2
z
− + +
≤ ≤
11, Gọi
1 2
,z z
là các nghiệm phức của phương trình:
2
2 4 0z z
− + =
. Tính giá trị
của các biểu thức:
2

1 2 1 2
2 2
1 2
2z z z z
A
z z
+ +
=
+
[\&]^+,#c J)bfN
* Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1,
3
1 0z
− =
2,
3
z i
=
3,
6
0z i
+ =
4,
4
1 0z
− =
5,
4
4 0z

+ =
6,
4 3
8 8 1z z z
+ = +
* Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1,
3 2
3 8 10 4 0z z z
− + − =
2,
3 2
2 2 2 0z z z
+ − − =
3,
3 2
2(1 ) 3 1 0z i z iz i
− + + + − =
4,
3 2
2 5 (3 2 ) 3 0z z i z i
− + + + + =
5,
3 2
(2 1) (3 2 ) 3 0z i z i z
− − + − + =
6,
3 2
2(1 ) (4 9 ) 1 7 0z i z i z i
− + − + − − =

7,
3 2
5 (4 5 ) 4(2 ) 8 0z i z i z i
− − + − + =
8,
3 2
(1 4 ) 2 0iz z i z
+ − + − =
*% Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1,
4 2
3 4 0z z
+ + =
2,
4 2
6 25 0z z
+ + =
3,
4 2
(2 ) 2 0z i z i
− − − =
Trang 15
Giải Tch 12-Chuyên đ S phc LTĐH Nguyễn Quc Toàn
4,
4 3
27 27 0z z iz i
− + − =
5,
4 2
6(1 ) 5 6 0z i z i

+ + + + =
6,
( )
2
2 2
1 ( 3) 0z z
+ + + =
7,
4 2
(1 3 ) 2 2 0z i z i
+ − − − =
8,
( ) ( )
2
2 2
4 12 0z z z z
− + − − =
*2 Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1,
( ) ( )
2 3
( ) 4 0z i z z i
+ + − =
2,
( )
2
( 3)( 2) 10z z z z
− + + =
3,
( ) ( )

2 2
2 1 0z i z iz
+ − − =
4,
( )
2
1 8( 1) 15 0zi zi
+ − + + =
5,
2
( 2 3 ) 6( 2 3 ) 13 0z i z i
+ − − + − + =
6,
( ) ( )
2
2 2 2
3 6 2 3 6 3 0z z z z z z
+ + + + + − =
7,
2
1 1
3 2 0
z z
z i z i
− −
 
− + =
 ÷
+ +
 

8,
2
3 3
2 2 0
2 2
iz iz
z i z i
− −
 
− + =
 ÷
+ +
 
*M Giải các phương trình sau trên tập số phức: (Phương trình hồi quy)
1,
4 3 2
2 7 9 7 2 0z z z z
− + − + =
2,
4 3 2
(1 2 ) 2(1 ) (1 2 ) 1 0z i z i z i z
− + + + − + + =
3,
4 3 2
2 (3 4) 2(2 3 ) (3 4) 2 0z i z i z i z
− − + − − − + =
4,
4 3 2
(1 2 ) 2(1 ) (1 2 ) 1 0z i z i z i z
+ + + + + + + =

5,
4 3 2
2 (7 ) 2(5 ) (7 ) 2 0z i z i z i z
− + + + − + + =
6,
4 3 2
(3 ) (4 3 ) 2(3 ) 4 0z i z i z i z
− + + + − + + =
7,
4 3 2
4 (6 10 ) (15 8) (6 10 ) 4 0z i z i z i z
− + + − + + + =
*T Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1,
2
4 3
1 0
2
z
z z z
− + + + =
2,
( )
4 2
( 2) ( 2) 5 14 13 1 0z z z z
− + − − + + =
3,
4 3 2
2 4 4 0z z z z
+ + + + =

4,
5 4 3 2
2 4 8 16 32 0z z z z z
+ + + + + =
5,
( ) ( )
2
2 2
3 5 3 36 0z z z z
+ − + − =
6,
( ) ( )
2 2
3 2 11 30 60z z z z
+ + + + =
7,
4 4
( ) ( 3 ) 256z i z i
− + + =
8,
( ) ( )
2 2
1 8 15 105z z iz
+ + − =
9,
5 4 3 2
1 0z z z z z
+ + + + + =
10,
( 1)( 2)( 4)( 7) 34z z z z

− + + + =
11,
4 3 2
2 4 4 0z z z z
+ + + + =
12,
4 3 2
4 7 16 12 0z z z z
− + − + =
*U1, Tìm các số thực a, b để có phân tích:
4 3 2 2 2
2 3 2 2 ( 1)( )z z z z z z az b
+ + + + = + + +
2, Giải phương trình:
4 3 2
2 3 2 2 0z z z z
+ + + + =
*Z1, Tìm các số thực a, b để có phân tích:
3 2 2
3 3 63 ( 3)( )z z z z z az b
+ + − = − + +
2, Giải phương trình:
3 2
3 3 63 0z z z
+ + − =
*`Cho phương trình:
3 2
(2 2 ) (5 4 ) 10 0z i z i z i
+ − + − − =

(1)
Trang 16
Giải Tch 12-Chuyên đ S phc LTĐH Nguyễn Quc Toàn
Chứng minh rằng
(1)
có 1 nghiệm thuần ảo, từ đó giải phương trình
(1)
.
*YCho phương trình:
3 2
2(1 ) 3 1 0z i z iz i
− + + + − =

(1)
1, Chứng minh rằng
1z
=
là 1 nghiệm của phương trình
(1)
.
2, Tìm các số thực a, b để có phân tích:
3 2 2
2(1 ) 3 1 ( 1)( )z i z iz i z z az b
− + + + − = − + +
3, Giải phương trình đã cho.
*Tìm m để phương trình sau có nghiệm
z i
=
:
3 2

(3 ) (3 4 ) 1 0z i z i z mi
− + + + + − =
Với giá trị m tìm được, giải phương trình đã cho.
*1, Tìm các số thực a, b để có phân tích:
3 2 2
2 9 14 5 (2 1)( )z z z z z az b
− + − = − + +
2, Giải phương trình:
3 2
2 9 14 5 0z z z
− + − =
*%1, Tìm các số thực a, b để có phân tích:
4 3 2 2 2
2 3 2 2 ( 1)( )z z z z z z az b
+ + + + = + + +
2, Giải phương trình:
4 3 2
2 3 2 2 0z z z z
+ + + + =
*2Gọi
1 2 3
, ,z z z
là các nghiệm phức của phương trình:
3
27 8 0z
+ =
.
Tính giá trị của biểu thức:
2
1 2 3

2 2 2
1 2 3
( 1)z z z
T
z z z
+ + +
=
+ +
.
*MGọi
1 2 3 4
, , ,z z z z
là các nghiệm phức của phương trình:
4 3 2
2 6 4 0z z z z
− − + − =
Tính giá trị của biểu thức:
2 2 2 2
1 2 3 4
1 1 1 1
T
z z z z
= + + +
.
*TCho phương trình:
4 3 2
3 5 3 4 2 0z z z z
− + + − =

(1)

1, Chứng tỏ rằng
1z i
= +
là 1 nghiệm của phương trình
(1)
.
2, Tìm các còn lại của phương trình
(1)
.
[\%4]^+,#
*Giải các hệ phương trình sau:
1,
1 2
2 2
1 2
5 5
5 2
z z i
z z i
= − −


+ = − +

2,
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
3
1

z z z z
z z z z
+ + =


+ + = −

3,
3 3
3(1 )
9( 1 )
z w i
z w i
+ = +


+ = − +

4,
3 2 3
2 5 2
z w i
z w i
+ = +


− = +

5,
3 3

3 7
iz w
z w i
− = −



− = −


6,
3 (1 ) 2 14
(2 1) 4 9
z i w i
iz i w i
+ + = − +


− − = − +

*Giải các hệ phương trình sau:
1,
(2 ) (3 2 ) 10 8
(3 2 ) ( 1 ) 3 6
i z i w i
i z i w i
− − − = − −


+ − − + = +


2,
2 2
2 3
3 3 4 0
z w
z w zw z
+ =


+ + − + =

Trang 17
Giải Tch 12-Chuyên đ S phc LTĐH Nguyễn Quc Toàn
3,
2 2 2
2
2 1 0
z w
z w w z w
− = −


+ − − + =

4,
2 2
(4 ) 7
3 (1 3 ) 291 53
z i w

z i w i
+ − =


+ + = +

5,
2 2
(2 ) 2
3 5 15
z i w
z iw i
− − =


− = +

6,
(3 ) 2(2 ) 2(1 3 )
2(2 ) (2 3 ) 5 4
i z i w i
i z i w i
− + + = +


+ − + = +

*%Giải các hệ phương trình sau:
1,
2 2

5
8(1 )
z w i
z w i
+ = +


+ = +

2,
2 2
3
4(1 )
z w zw
z w i
+ + =


+ = − +

3,
3 3 2 2
1 2
45 60
z w i
z w z w zw i
+ = − +


+ + + = +


4,
2
2
5(2 )
5(2 )
z w z
w z w

+ = − +

+ = − +

5,
2
2
2 5 3
2 5 3
z w z
w z w

+ = +

+ = +

6,
2
2
10 42 6 11
10 42 6 11

z iz i w
w iw i z

− + = +

− + = +

*2Giải các hệ phương trình sau:
1,
4 2
2 2 5
2 3 9 2
x y z i
x y z i
x y z i
+ + = +


+ − + +


+ + = +

2,
2 10 0
2 20 0
( 3 ) (1 ) 30
x iy z
x y iz
i x y i z

+ − − =


− + − =


+ − + =

3,
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
1
1
z z z
z z z
z z z
 = = =

+ + =


=

*MTìm số phức z thoả mãn hệ phương trình sau:
( )
2
(1 2 ) (1 2 ) 6
2 3 0

i z i z
z i z z

− + + =


+ − + =




Trang 18
Giải Tch 12-Chuyên đ S phc LTĐH Nguyễn Quc Toàn
%[\I]Q1
!]g!\I]Q
Dạng
(cos sin )z r i
ϕ ϕ
= +
với
0r
>
, được gọi là dạng lượng giác của số phức
0z
≠
.
+
ϕ
được gọi là argument của số phức z, được xác định bởi số đo của mỗi góc
lượng giác với tia đầu là tia Ox, tia cuối là tia OM (M là điểm biểu diễn của số

phức z trong mặt phẳng phức). Argument của số phức z được đo bằng rađian,
mọi argument của z có dạng
2k
ϕ π
+
(
k
∈
¢
).
+ r là môđun của số phức z, tức là
r z
=
.
8L)*!]g!\I]Q
Xét hai số phức
1 1 1 1
(cos sin )z r i
ϕ ϕ
= +
;
2 2 2 2
(cos sin )z r i
ϕ ϕ
= +
. Khi đó ta có:
+
[ ]
1 2 1 2 1 2 1 2
cos( ) sin( )z z r r i

ϕ ϕ ϕ ϕ
= + + +
, với
1 2
0, 0r r
≥ ≥
.
+
[ ]
1 1
1 2 1 2
2 2
cos( ) sin( )
z r
i
z r
ϕ ϕ ϕ ϕ
= − + −
, với
1 2
0, 0r r
≥ >
.
%R+aW),h
Xét số phức
(cos sin )z r i
ϕ ϕ
= +
, với mọi số nguyên dương n ta có:
[ ]

( )
(cos sin ) cos sin
n
n n
z r i r n i n
ϕ ϕ ϕ ϕ
= + = +
* i, Với
1r
=
ta có
( )
(cos sin ) cos sin
n
i n i n
ϕ ϕ ϕ ϕ
+ = +
ii, Căn bậc hai của số phức
(cos sin )z r i
ϕ ϕ
= +
(
0r
>
) là hai số phức
cos sin
2 2
r i
ϕ ϕ
 

+
 ÷
 
và
cos sin cos sin
2 2 2 2
r i r i
ϕ ϕ ϕ ϕ
π π
 
     
− + = + + +
 ÷  ÷  ÷
 
     
 
iii, Từ công thức Moivre, ta cũng có thể chứng minh được căn bậc n của số phức
(cos sin )z r i
ϕ ϕ
= +
gồm n số phức phân biệt được biểu diễn dưới dạng
2 2
cos sin
n
k k
r i
n n n n
ϕ π ϕ π
 
   

+ + +
 ÷  ÷
 
   
 
; với k nhận các giá trị nguyên từ 0 đến
1n
−
[\ !"!]g!\I]Q
● Chuyển số phức từ dạng đại số
z a bi
= +
(
2 2
, ; 0a b a b
∈ + >
¡
) sang dạng
lượng giác như sau:
+ Tính
2 2
r z a b
= = +
+ Tìm
ϕ
thoả mãn đồng thời
cos
a
r
ϕ

=
và
sin
b
r
ϕ
=
Trang 19
<F.G+H+I+ JK+
<F.G+H+I+ JK+
F&]^_+W
F&]^_+W
Giải Tch 12-Chuyên đ S phc LTĐH Nguyễn Quc Toàn
Khi đó dạng lượng giác cần tìm của z là
(cos sin )z r i
ϕ ϕ
= +
.
● Mỗi số phức z đều có nhiều argument, nếu
ϕ
là 1 argument thì mọi argument
đều có dạng
2k
ϕ π
+
(
k
∈
¢
) và

n
z
có một argument là
n
ϕ
.
● Từ công thức nhân, chia dạng lượng giác suy ra nếu
1 2
,z z
lần lượt có một
argument là
1 2
,
ϕ ϕ
thì
1 2
z z
và
1
2
z
z
có argument lần lượt là
1 2
ϕ ϕ
+
,
1 2
ϕ ϕ
−

.
*Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
1,
z i
=
2,
1z i
= +
3,
1z i
= − +
4,
1 3z i
= +
5,
3z i
= −
6,
3z i
= − −
7,
1 3z i
= − +
8,
9 9 3z i
= −
9,
1 3
4 4
z i

= − +
*Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
1,
( )
1 3 (1 )z i i
= − +
2,
( )
1 3 (1 )z i i
= + −
3,
( )
2 3z i i
= −
4,
3
1
i
z
i
+
=
− +
5,
1
2 2
z
i
=
+

6,
(1 )( 2 2 )z i i i
= + − −
7,
3(1 )( 5 5 )z i i
= − − +
8,
1 3
1
i
z
i
−
=
+
9,
( )
1 3
( 3 3 ) 2 3 2
2 2
z i i i
 
= − − + +
 ÷
 ÷
 
*%Viết dưới dạng lượng giác và tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:
1,
(3 )(1 3 )z i i
= − −

2,
( )
2 3 (1 3 3 )z i i
= + +
3,
( )
2 4 4 3 (3 3 )z i i i
= − − + +
4,
( 3)(1 12 )
5 2
i i
z
i
− +
=
+
5,
( ) ( )
3 2 5 3 17
2 3
i i
z
i
+ − +
=
+
6,
( )
11 3 3

2 3 5 ( 1 )
i
z
i i
+
=
+ − +
7,
( )
1 3 ( 1 )z i i
= + − −
8,
( )
2
3 (1 7 )(1 2 )z i i i
= − + −
9,
( ) ( )
7 8
9
1 3 3
( 1 )
i i
z
i
+ +
=
− +
*21Tính
cos

8
π
và
sin
8
π
.
2, Viết dưới dạng lượng giác của số phức:
( )
1 2 1z i
= + −
.
*M Tuỳ theo góc
ϕ
, viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
1,
1 cos sinz i
ϕ ϕ
= + +
2,
1 cos sinz i
ϕ ϕ
= + −
3,
1 cos sinz i
ϕ ϕ
= − +
4,
1 cos sinz i
ϕ ϕ

= − −
5,
1 sin cosz i
ϕ ϕ
= + +
6,
1 sin cosz i
ϕ ϕ
= − +
7,
cos (1 sin )z i
ϕ ϕ
= + +
8,
cos (1 sin )z i
ϕ ϕ
= + −
9,
1 cos sin
1 cos sin
i
z
i
ϕ ϕ
ϕ ϕ
− −
=
+ +
10,
1 sin cos

1 cos sin
i
z
i
ϕ ϕ
ϕ ϕ
− +
=
+ +
11,
( ) ( )
1 cos sin 1 cos sinz i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
= − − + +
Trang 20
Giải Tch 12-Chuyên đ S phc LTĐH Nguyễn Quc Toàn
*T Viết dưới dạng lượng giác và tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:
1,
2 cos sin
6 6
z i
π π
 
= − +
 ÷
 
2,
cos sin
17 17
z i

π π
= −
3,
sin cos
17 17
z i
π π
= +
4,
cos sin
7 7
z i
π π
 
= − +
 ÷
 
5,
9 cos sin
6 6
z i
π π
 
= − +
 ÷
 
6,
1 cos sin
6 6
z i

π π
= − −
*U Tìm một argument và tính môđun của mỗi số phức sau:
1,
2 6z i
= −
2,
5 15z i
= − +
3,
2 3z i
= + −
4,
2 3z i
= − −
5,
2 3z i
= − +
6,
(4 7 )( 3 11 )z i i
= + − −
7,
5 11 3
7 4 3
i
z
i
+
=
−

8,
1 7 3
2 3 5
i
z
i
− −
=
+
9,
3 2 5 3 2
4
1 2 2
i i
z
i i
+ −
= −
+ +
*Z Tìm một argument và tính môđun của mỗi số phức sau:
1,
1 cos sin
12 12
z i
π π
= − −
2,
1 sin cos
5 5
z i

π π
= + −
3,
( )
( )
8
6
8
6
2 3 2
(1 )
(1 )
2 3 2
i
i
z
i
i
+
+
= +
−
−
4,
( ) ( )
4
10 4
(1 ) 1
3 2 3 2
i

z
i i
−
= +
− +
5,
( ) ( )
2013 2013
1 3 1 3z i i
= + + −
6,
( )
5
6
3
33 19 3
.
(1 )
6 13 3
i
i
z
i
i
− −
− +
=
+
+
*`1Tính

cos
12
π
và
sin
12
π
.
2, Xác định môđun và argument của số phức:
( )
4(cos sin )
6 6
6 2 6 2
i
z
i
π π
+
=
+ + −
.
*Y Cho số phức z có môđun bằng 1. Biết một argument của z là
ϕ
, tìm một
argument của số phức:
1,
2
2w z
=
2,

1
2
w
z
= −
3,
w z z
= +
4,
2
w z z
= +
* Viết dạng lượng giác căn bậc hai của số phức z, biết:
1,
5z
=
và một argument của
iz
là
7
9
π
.
2,
4z
=
và một argument của
.i z
là
π

.
3,
1
3
z
=
và một argument của
1
z
i
+
là
3
4
π
−
.
* Tìm số phức z ở dạng lượng giác biết rằng:
1,
2z
=
và một argument của
(1 )i z
+
là
5
12
π
.
Trang 21

Giải Tch 12-Chuyên đ S phc LTĐH Nguyễn Quc Toàn
2,
9zz
=
và một argument của
( )
1 3i z
−
là
4
π
.
3,
1 3z z
− = −
và một argument của
3z
−
bằng một argument của
3z
+
cộng
với
2
π
.
4,
1
4
z

=
và một argument của
3
z
i
+
là
2
3
π
.
5,
3
16
z
=
và một argument của
( )
(1 ) 4 3 3
13 3
z i i
i
− +
− +
là
12
π
.
6,
1 2 2z i z

− = −
và một argument của
3
3
z
z
+
−
là
4
π
.
7,
1 3z z i
− = −
và một argument của
.i z
là
6
π
.
8,
2 2z i z z
− = + −
và một argument của
1 3i
z
−
là
2

3
π
−
.
*% Cho hai số phức
1
2 2z i
= +
và
2
1 3z i
= +
.
1, Tính môđun và argument của hai số phức nói trên.
2, Tính môđun và argument của các số phức
3
1
z
,
2
2
z
và
3
1
2
2
z
z
.

3, Từ đó suy ra giá trị chính xác của
cos
12
π
và
sin
12
π
.
*2 Cho hai số phức
1
3 cos sin
3 3
z i
π π
 
= +
 ÷
 
và
2
2 cos sin
4 4
z i
π π
 
= +
 ÷
 
.

Viết dưới dạng lượng giác các số phức:
1,
1 2
z z
2,
1
2
z
z
3,
1
1
z
4,
2
1
z
*M Cho các số phức
1
6 2z i
= −
,
2
2 2z i
= − −
và
1
3
2
z

z
z
=
.
1, Viết
1 2 3
, ,z z z
dưới dạng lượng giác.
2, Từ đó suy ra giá trị chính xác của
7
cos
12
π
và
7
sin
12
π
.
3, Tính
1 2
w z z
=
.
*T Viết dưới dạng lượng giác số phức:
( )
2013
2014
2 6
5

sin sin
3 6
i
z
i
π π
−
=
 
−
 ÷
 
Trang 22
Giải Tch 12-Chuyên đ S phc LTĐH Nguyễn Quc Toàn
[\CN!i!\I]Q_+W
* Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:
1,
( )
6
9
3z i i
= −
2,
( )
16
10
1 3 (1 )z i i
= − +
3,
( )

7
5
cos sin 1 3
3 3
z i i i
π π
 
= − +
 ÷
 
4,
( )
21
9
1 3
(1 )
i
z
i
+
=
−
5,
18
5 7
6
i
z
i
+

 
=
 ÷
+
 
6,
( )
10
9
1
( 3 )
i
z
i
−
=
+
* Tìm số phức z sao cho:
1,
5
z
và
2
1
z
là hai số phức liên hợp 2,
4
z
và
3

1
z
là hai số phức liên hợp
3,
( )
3
z
và
2
32
z
là hai số phức liên hợp 4,
3
10 22
8 3
i
z
i
+
=
+
*% Tính giá trị của các biểu thức sau:
1,
( )
( )
5
10
10
(1 ) 3
1 3

i i
A
i
− +
=
− −
2,
2013
1
i
B
i
 
=
 ÷
+
 
3,
21
5 3 3
1 2 3
i
C
i
 
+
=
 ÷
 ÷
−

 
4,
( )
10
9
(1 )
3
i
D
i
+
=
+
*2 Tìm các số nguyên dương n để số phức sau là số thực, số ảo?
1,
3 11
4 7
n
i
z
i
+
 
=
 ÷
−
 
2,
5 3 3
1 2 3

n
i
z
i
 
+
=
 ÷
 ÷
−
 
3,
3 3
3 3
n
i
z
i
 
−
=
 ÷
 ÷
−
 
4,
13 3 9
12 3
n
i

z
i
 
+
=
 ÷
 ÷
−
 
5,
2
(7 17 )
(2 3 )
n
n
i
z
i
+
=
+
6,
( )
( )
2
59 11 3
3 3 2
n
n
i

z
i
− −
=
−
*M Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho:
1
3
1 3
n
i
z
i
 
−
=
 ÷
 ÷
−
 
là số thực và
2
2
5
2 3
n
i
z
i
−

−
 
=
 ÷
−
 
là số thuần ảo.
*T Giải các bài toán sau:
1, Tính giá trị của biểu thức:
( ) ( )
6 6
5 5
1 3 (1 ) (1 ) 1 3A i i i i
= + − + + −
2, Tìm phần thực, phần ảo của số phức
2013
2013
1
w z
z
= +
, biết
1
1z
z
+ =
.
3, Cho số phức
1 3
2 2

z i
= − +
. Tính
2011 2012 2013
w z z z
= + +
.
4, Cho số phức
1 3
2 2
z i
= −
. Tính
2 3 4 9 10
1 C z z z z z z
= − + − + − − +
.
5,(<FY%) Cho số phức
1 3z i
= +
. Viết dưới dạng lượng giác của số phức z.
Tìm phần thực, phần ảo của số phức
5
(1 )w i z
= +
.
Trang 23