lý thuyết và bài tập phân số

A. PHÂN SỐ - PHÂN SỐ BẰNG NHAU
I. Lúy thuyết
1. Với a, b
∈
N, b ≠ 0 thì ta có a/b gọi là phân số. Trong đó a là tử số, b là mẫu số của phân số.
2. Phân số Ai cập là phân số có dạng 1/n (có tử bằng 1)
3. Mọi số tự nhiên đều có thể viết dưới dạng phân số, VD: 8 = 8/1 = 16/2 = ……
* Muốn viết 1 số tự nhiên dưới dạng phân số có mẫu số là 1 ta viết tử số bằng số tự nhiên đó,
còn mẫu số là 1. VD 9 = 9/1 . TQ A = A/1
* Muốn viết 1 số tự nhiên dưới dạng 1 phân số có mẫu số là số cho trước ta viết mẫu số bằng số
cho trước, còn tử số bằng tích của số tự nhiên với mẫu số cho trước.
VD 4 = x/3, ta có phân số: 4.3/3 = 12/3
TQ: A = x/B = A.B/B
4. Phân số thập phân là phân số có mẫu là 10, 100, 1000,…….
5. Các phân số bằng nhau được coi là cùng 1 giá trị, giá trị đó là số biểu diễn bởi phân số. Tập hợp
các số biểu diễn bởi phân số kí hiệu là Q
+
. VD : 2/3 = 4/6 = 6/9 = ……
TQ: a/b = c/d  a.d = b.c
* Tính chất: (1) Phản xạ: a/b = b/a
(2) Đối xứng: Nếu a/b = c/d thì c/d = a/b
(3) Bắc cầu: Nếu a/b = c/d và c/d = e/f thì a/b = e/f
II . Bài tập
Bài 1: Định nghĩa hai phân số bằng nhau. Cho VD?
Bài 2: Dùng 2 trong 3 số sau 2, 3, 5 để viết thành phân số (tử số và mẫu số khác nhau)
Hướng dẫn Có các phân số:
2 2 3 3 5 5
; ; ; ;
3 5 5 2 2 3
Bài 3: 1/ Số nguyên a phải có điều kiện gì để ta có phân số?
a/

32
1a −
b/
5 30
a
a +
2/ Số nguyên a phải có điều kiện gì để các phân số sau là số nguyên:
a/
1
3
a +
b/
2
5
a −
3/ Tìm số nguyên x để các phân số sau là số nguyên:
a/
13
1x −
b/
3
2
x
x
+
−
Hướng dẫn
1/ a/
0a
≠

b/
6a
≠ −
2/ a/
1
3
a +

∈
Z khi và chỉ khi a + 1 = 3k (k
∈
Z). Vậy a = 3k – 1 (k
∈
Z)
b/
2
5
a −

∈
Z khi và chỉ khi a - 2 = 5k (k
∈
Z). Vậy a = 5k +2 (k
∈
Z)
3/
13
1x −
∈
Z khi và chỉ khi x – 1 là ước của 13.

Các ước của 13 là 1; -1; 13; -13
Suy ra:
b/
3
2
x
x
+
−
=
2 5 2 5 5
1
2 2 2 2
x x
x x x x
− + −
= + = +
− − − −
∈
Z khi và chỉ khi x – 2 là ước của 5.
1
x - 1 -1 1 -13 13
x 0 2 -12 14
Bài 4: Tìm x biết:
a/
2
5 5
x
=
b/

3 6
8 x
=
c/
1
9 27
x
=
d/
4 8
6x
=
e/
3 4
5 2x x
−
=
− +
f/
8
2
x
x
−
=
−
Hướng dẫn
a/
2
5 5

x
=
5.2
2
5
x⇒ = =
b/
3 6
8 x
=
8.6
16
3
x⇒ = =
c/
1
9 27
x
=
27.1
3
9
x⇒ = =
d/
4 8
6x
=
6.4
3
8

x⇒ = =

e/
3 4
5 2x x
−
=
− +
( 2).3 ( 5).( 4)
3 6 4 20
2
x x
x x
x
⇒ + = − −
⇒ + = − +
⇒ =
f/
8
2
x
x
−
=
−

2
. 8.( 2)
16
4

x x
x
x
⇒ = − −
⇒ =
⇒ = ±
Bài 5: 1/ Chứng minh rằng
a c
b d
=
thì
a a c
b b d
±
=
±
2/ Tìm x và y biết
5 3
x y
=
và x + y = 16
Hướng dẫn
a/ Ta có
( ) ( )
a c
ad bc ad ab bc ab a b d b a c
b d
= ⇒ = ⇒ ± = ± ⇒ ± = ±
Suy ra:
a a c

b b d
±
=
±
b/ Ta có:
16
2
5 3 8 8
x y x y+
= = = =
Suy ra x = 10, y = 6
Bài 6: Cho
a c
b d
=
, chứng minh rằng
2 3 2 3
2 3 2 3
a c a c
b d a d
− +
=
− +
Hướng dẫn
Áp dụng kết quả chứng minh trên ta có
2 3 2 3
2 3 2 3
a c a c a c
b d b d b d
− +

= = =
− +
Bài 7: Một người đi xe đạp với vận tốc a km/h. Hỏi trong 30 phút người ấy đi được bao nhiêu km?
Trong 1 phút người ấy đi được bao nhiêu km? (ĐS: a/2 km; a/60 km)
Bài 8: Sau a giờ, kim giờ quay được bao nhiêu vòng? (ĐS: a/12 vòng)
Bài 9: Một ngọn nến cháy từ 7h12
/
 7h25
/
. Hỏi thời gian nến cháy là mấy phần của 1h?
Bài 10: Một người lien lạc phải đi 1 con đường dài 132km. Mỗi ngày đi được 35 km. Hỏi sau 3
ngày người ấy đi được mấy phần đường?
Bài 11: Một vòi nước chảy vào một cái bể từ 10h đêm  6h sáng hôm sau. Mỗi giờ vòi chảy vào
bể được 360 lít nước. Bể có thể chứa được 4m
3
và lúc đầu đã chứa 1100 lít. Hỏi đến 6h sang thì
khối nước trong bể chiếm mấy phần bể?
Bài 12: Tìm số tự nhiên x biết rằng a) Phân số x/15 có giá trị = 3
b) Phân số 132/x có giá trị = 11
2
x - 2 -1 1 -5 5
x 1 3 -3 7
Bài 13: Tìm 1 phân số biết rằng a) 1/3 = 1/4 số đó (ĐS: 4/3)
b) 1/4 = 1/3 số đó (ĐS: 3/4)
Bài 14: Viết số 100 dưới dạng tổng của 1 số tự nhiên và 1 phân số bằng cách dung:
a) 6 chữ số giống nhau b) 9 chữ số khác nhau
Hướng dẫn
a) 100 = 99 + 99/99
b) Có nhiều đáp số. Ví dụ: 100 = 91 + 5742/638 = 92 + 5104/638 = 93 + 1456/208 =
94 + 1578/263 = 95 + 1380/276 = 97 + 1602/534 = 98 + 1072/536 = …v.v

Bài 15: Dùng 9 chữ số khác nhau và khác 0 để viết các phân số có giá trị lần lượt bằng 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9.
Hướng dẫn
Có nhiều cách viết: 15846/7923 = 2 ; 17496/5832 = 3 ; 15768/4392 = 4
31485/6297 = 5 ; 34182/5697 =6 ; 31689/4527 = 7 ; 47328/5916 = 8 ; 57249/8361 = 9
Bài 16: CMR các phân số sau bằng nhau:
a/ 23/99 = 2323/9999 = 232323/999999 b/ 29/43 = 2929/4343
c/131313/151515 = 13026/15030 d/ (27425 – 27)/99900 = (27425425 - 27425)/99900000
e/ (29700 – 54)/(30800 - 56) = (59400 – 108)/(61600 - 112)
f) 9909/8808 = 29727/26424 = 39636/35232
Hướng dẫn
a/ * 2323/9999 = 23.101/99.101 = 23/29 * 232323/999999 = 23.10101/99.10101 = 23/99
d/ * (27425425 - 27425)/99900000 = (27425000 + 425 - 27000 - 425)/99900000 =
[(27425 - 27).1000]/99900. 1000 = (27425 – 27)/99900
e/ (29700 – 54)/(30800 - 56) = [(29700 – 54).2]/[(30800 – 56).2] = (59400 – 108)/(61600 - 112)
f/ 9909/8808 = 9909.3/8808.3 = 29727/26424 = 39636/35232
Bài 17: Điền số thích hợp:
a/ 4/5 = ?/60 b/ ?/9 = 12/54 c/ 63/72 = 7/? d/ 65/? = 5/9
Bài 18: Tìm phân số bằng phân số 13/17 biết rằng tổng của tử và mẫu của nó bằng 900?
Bài 19: Tìm phân số bằng phân số 188887/211109 biết rằng tổng của tử và mẫu của nó bằng 108?
Bài 20: Tìm x, y biết rằng: (3 + x)/(5 + y) = 3/5 và x + y = 16
Bài 21: CMR nếu 3 phân số a/b; c/d ; e/f bằng nhau thì phân số (a.m + c.n + e.f)/(b.m + d.n + f.p)
(m, n, p là các số tự nhiên khác 0) cũng bằng các phân số đã cho.
B. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN SỐ - RÚT GỌN PHÂN SỐ
I. Lúy thuyết
1. Tính chất
- Nếu nhân cả tử số và mẫu số của 1 phân số với cùng 1 số tự nhiên, hoặc 1 số nguyên khác 0 thì ta
được 1 phân số bằng phân số đã cho. TQ: a/b = a.m/b.m ( m
∈
N hoặc m

∈
Z, m ≠ 0)
- Nếu chia cả tử số và mẫu số của 1 phân số với cùng 1 số tự nhiên, hoặc 1 số nguyên khác 0 thì ta
được 1 phân số bằng phân số đã cho. TQ: a/b = a:m/b:m ( m
∈
N hoặc m
∈
Z, m ≠ 0)
2. Rút gọn phân số
- Là chia tử và mẫu của chúng cho 1 số (ước chung) khác ±1 của chúng để được 1 phân số đơn giản
hơn và bằng phân số đã cho.
- Một phân số không thể rút gọn được nữa gọi là phân số tối giảnTQ:a/b tối giản ƯCLN(a,b)=
1
(a và b nguyên tố cùng nhau)
3. Phương pháp rút gọn phân số
- Rút gọn từng bước dựa vào dấu hiệu chia hết. VD 30/105 = 30: 5/ 105: 5 = 2/7
3
- Chia tử và mẫu cho ƯCLN của chúng để rút gọn hoàn toàn. VD ƯCLN(30,105) = 15
=> 30: 15/ 105: 15 = 2/7
II. Bài tập
Bài 1: 1/ Chứng tỏ rằng các phân số sau đây bằng nhau:
a/
25
53
;
2525
5353
và
252525
535353

b/
37
41
;
3737
4141
và
373737
414141
2/ Tìm phân số bằng phân số
11
13
và biết rằng hiệu của mẫu và tử của nó bằng 6.
Hướng dẫn
1/ a/ Ta có:
*
2525
5353
=
25.101 25
53.101 53
=
*
252525
535353
=
25.10101 25
53.10101 53
=
b/ Tương tự

2/ Gọi phân số cần tìm có dạng
6
x
x +
(x
≠
-6), theo đề bài thì
6
x
x +
=
11
13
Từ đó suy ra x = 33, phân số cần tìm là
33
39
Bài 2: Điền số thích hợp vào ô vuông
a/
1
2
=
b/
5
7
= =
−
Hướng dẫn
a/
1 2 3 4

2 6 8
4
= = = =
b/
5 10 15 20
7 28
14 21
− − −
= = = = ×××
−
Bài 3. Giải thích vì sao các phân số sau bằng nhau:
a/
22 26
55 65
− −
=
; b/
114 5757
122 6161
=
Hướng dẫn
a/ *
22 21:11 2
55 55:11 5
− − −
= =
; *
26 13 2
65 65:13 5
− −

= =
b/ HS giải tương tự
Bài 4. Rút gọn các phân số sau:
125 198 3 103
; ; ;
1000 126 243 3090
Hướng dẫn
125 1 198 11 3 1 103 1
; ; ;
1000 8 126 7 243 81 3090 30
= = = =
Rút gọn các phân số sau: a/
3 4 4 2 2
2 2 3 3 2
2 .3 2 .5 .11 .7
;
2 .3 .5 2 .5 .7 .11
b/
121.75.130.169
39.60.11.198
c/
1998.1990 3978
1992.1991 3984
+
−
Hướng dẫn
a/
3 4 3 2 4 2
2 2
4 2 2

3 3 2
2 .3 2 .3 18
2 .3 .5 5 5
2 .5 .11 .7 22
2 .5 .7 .11 35
− −
= =
=
b/
2 2 2 2 2
2 2 2 3
121.75.130.169 11 .5 .3.13.5.2.13 11.5 .13
39.60.11.198 3.13.2 .3.5.11.2.3 2 .3
= =
4
c/
1998.1990 3978 (1991 2).1990 3978
1992.1991 3984 (190 2).1991 3984
1990.1991 3980 3978 1990.1991 2
1
1990.1991 3982 3984 1990.1991 2
+ − +
=
− + −
− + −
= = =
+ − −
Bài 5. Rút gọn
a/
10 21

20 12
3 .( 5)
( 5) .3
−
−
b/
5 7
5 8
11 .13
11 .13
−
c/
10 10 10 9
9 10
2 .3 2 .3
2 .3
−
d/
11 12 11 11
12 12 11 11
5 .7 5 .7
5 .7 9.5 .7
+
+
Hướng dẫn
a/
10 21
20 12
3 .( 5) 5
( 5) .3 9

− −
=
−
c/
10 10 10 9
9 10
2 .3 2 .3 4
2 .3 3
−
=
Bài 6. Tổng của tử và mẫu của phân số bằng 4812. Sau khi rút gọn phân số đó ta được phân số
5
7
.
Hãy tìm phân số chưa rút gọn.
Hướng dẫn
Tổng số phần bằng nhau là 12
Tổng của tử và mẫu bằng 4812
Do đó: tử số bằng 4811:12.5 = 2005
Mẫu số bằng 4812:12.7 = 2807.
Vậy phân số cần tìm là
2005
2807
Bài 7. Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số 14 đơn vị. Sau khi rút gọn phân số đó ta được
993
1000
.
Hãy tìm phân số ban đầu.
Hướng dẫn
Hiệu số phần của mẫu và tử là 1000 – 993 = 7

Do đó tử số là (14:7).993 = 1986
Mẫu số là (14:7).1000 = 2000
Vạy phân số ban đầu là
1986
2000
Bài 8: a/ Với a là số nguyên nào thì phân số
74
a
là tối giản.
b/ Với b là số nguyên nào thì phân số
225
b
là tối giản.
c/ Chứng tỏ rằng
3
( )
3 1
n
n N
n
∈
+
là phân số tối giản
Hướng dẫn
a/ Ta có
74 37.2
a a
=
là phân số tối giản khi a là số nguyên khác 2 và 37
b/

2 2
225 3 .5
b b
=
là phân số tối giản khi b là số nguyên khác 3 và 5
c/ Ta có ƯCLN(3n + 1; 3n) = ƯCLN(3n + 1 – 3n; 3n) = ƯCLN(1; 3n) = 1
Vậy
3
( )
3 1
n
n N
n
∈
+
là phân số tối giản (vì tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau)
Bài 9: Rút gọn các phân số sau:
a/ 103/3090 ; 7314/18126 ; 68952/148512 ; 121.75.130.169/39.60.11.198
b/ 9/(33 – 6) ; 17.(1993 – 45)/(1993 – 45). (52 – 18) ; 7/( 10
2
+ 6. 10
2
)
Bài 10: Rút gọn các phân số sau:
5
a/ A = (31995 – 81)/(42660 – 108) => A = 81.(395 – 1)/108.(395 – 1) = 3/4
b/ B = (3.5.7.11.13.37 - 10101)/(1212120 - 41414)
=> B = (5.11.10101 - 10101)/(10101.120 + 10101.4) = 10101.(5.11 - 1)/10101.(120 + 4)
= 54/124 = 27/62
Bài 11: Phân số (5n + 6)/(8n + 7) (n

∈
N ) có thể rút gọn cho phân số nào?
Hướng dẫn
G.S (5n + 6)/(8n + 7) rút gọn được cho k (k
∈
N, k > 1 ). Tức (5n + 6) và (8n + 7) cùng chia hết
cho k. Do dó: 8.(5n + 6) – 5.(8n + 7) ℅ k Hay 13 ℅ k. Vì k > 1 => k = 13
Bài 12: Tìm mọi số tự nhiên n để phân số (18n + 3)/(21n + 7) có thể rút gọn được?
Hướng dẫn
• (18n + 3)/(21n + 7) = 3.(6n + 1)/7.(3n + 1)
• Nhận thấy: 3 và 7, 3 và (3n + 1), (6n + 1) và (3n + 1) đều là cá số nguyên tố cùng nhau.
• Do đó: nếu (6n + 1) ℅ 7 thì phân số (18n + 3)/(21n + 7) có thể rút gọn được.
• Vì 7n ℅ 7 nên nếu (6n + 1) ℅ 7 thì 7n – (6n + 1) = (n – 1) ℅ 7
• => nếu n = 7k + 1 (k
∈
N) thì phân số (18n + 3)/(21n + 7) có thể rút gọn được.
• Ví dụ: k = 0, n = 1 ta có: (18n + 3)/(21n + 7) = 3/4
k = 1, n = 8 ta có: (18n + 3)/(21n + 7) = 21/25
Bài 13: Cho phân số: x/y có (x + y) = 316293 và (y – x) = 51015.
a/ Hãy xác định phân số đó rồi rút gọn
b/ Nếu thêm 52 vào tử của phân số trên trước khi đã tối giản thì phải thêm vào mẫu bao nhiêu để giá
trị của phân số không đổi?
Hướng dẫn
a/ 132639/183654 = 13. (10000 + 200 + 3)/18. (10000 + 200 + 3) = 13/18
b/ Thêm 72 vào
Bài 14: CMR Phân số sau tối giản a/ (12n + 1)/(30n + 2) b/ (21n + 4)/(14n + 3) (n
∈
N)
Hướng dẫn
a/ Gọi d là ước chung của (12n + 1) và (30n + 2) . Ta có 5.(12n + 1) – 2.(30n + 2) = 1 ℅ d

Vậy d = 1 nên (12n + 1) và (30n + 2) nguyên tố cùng nhau.
b/ Tương tự câu a
Bài 15: Cho phân số (n + 9)/(n – 6) (n > 6, n
∈
N)
a/ Tìm mọi giá trị của n để phân số có giá trị là số tự nhiên?
b/ Tìm mọi giá trị của n để phân số là số tối giản?
Hướng dẫn
a/ Phân số (n + 9)/(n – 6) có giá trị là số tự nhiên khi (n + 9) ℅ (n – 6) hay 15 ℅ (n – 6)
(n – 6) = 1  n = 7
(n – 6) = 3  n = 9
(n – 6) = 5  n = 11
(n – 6) = 15 n = 21
Vậy khi n
∈
(7, 9, 11, 21) thì phân số (n + 9)/(n – 6) có giá trị là số tự nhiên.
b/ (n + 9; n – 6) = (n- 6; 15). Vậy muốn (n + 9; n – 6) = 1 để phân số đã cho là tối giản thì phải
có (n- 6; 15) = 1 => (n – 6) ℅ 3 và (n – 6) ℅ 5. Do đó n ≠ 3k và n ≠ (5k + 1)
Bài 16: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau đây là tối giản: 7/(n + 9) ; 8/(n + 10) ; 9/
(n + 11) ; …… ; 31/(n + 33)
Hướng dẫn
Các phân số đã cho có dạng a/a + (n + 2). Vì các phân số này tối giản nên (a + 2) và a phải
nguyên tố cùng nhau. Vậy (n + 2) phải nguyên tố cùng nhau với 7, 8, 9, …. , 31 và (n +2) là
số nhỏ nhất. Vậy (n + 2) phải là số nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn 31, tức là (n +2) =37  n = 35
6
Bài 17:Tìm các phân số theo thứ tự bằng các phân số 6/10, 44/77, 30/55 sao cho mẫu của phân số
thứ nhất bằng tử của phân số thứ hai, mẫu của phân số thứ hai bằng tử của phân số thứ ba?
Hướng dẫn
* Rút gọn các phân số đã cho: 6/10 = 3/5 ; 44/77 = 4/7 ; 30/55 = 6/11
Vì 3/5 ; 4/7 ; 6/11 là tối giản nên các phân số phải tìm có dạng : 3m/5m ; 4n/7n ; 6p/11p

(m, n, p
∈
N
*
)
Theo đề bài ta có: 5m = 4n và 7n = 6p => 4n ℅ 5 và 7n ℅ 6 và do (4,5) = 1, (7, 6) =1
Nên n ℅ 5 và n ℅ 6. Vậy n ℅ 30.
Đặt n = 30k (k
∈
N
*
), ta có m = 4n/5 = 4.30k/5 = 24k ; p = 7n/6 = 7.30k/6 =35
Vậy các phân số phải tìm là: 3m/5m = 3.24k/5.24k = 72k/120k
4n/7n = 4.30k/7.30k = 120k/210k
6p/11p = 6.35k/11.35k = 210k/385k
C. QUY ĐỒNG MẪU PHÂN SỐ - SO SÁNH PHÂN SỐ
I. Lúy thuyết
1. Qui đồng mẫu số các phân số.
- Là biến đổi các phân số sao cho chúng vẫn giữ nguyên giá trị nhưng có cùng chung 1 mẫu.
- Qui tắc: + Rút gọn các phân số đến tối giản + Tìm 1 bội chung của các mẫu (BCNN)
+ Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu + Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ
tương ứng. VD quy đồng 5/8 ; 4/25 ; 7/42
2. So sánh phân số.
- Cùng mẫu số: Phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn, có tử bé hơn thì bé hơn, tử số bằng nhau thì
bằng nhau
- Cùng tử số: Phân số nào có mẫu số lớn hơn thì bé hơn
- Tử số và mẫu số khác nhau: Quy đồng để đưa về cùng tử số hoặc mẫu số rồi so sánh.
- Ba cách để so sánh 2 phân số: + Qui đồng mẫu rồi so sánh các tử với nhau + Qui đồng tử rồi so
sánh các mẫu với nhau. + Chọn 1 phân số làm trung gian.
- So sánh phân số với 1: * a/b < 1  a < b * a/b = 1  a = b * a/b > 1  a > b

II. Bài tập
Bài 1: a/ Quy đồng mẫu các phân số sau:
1 1 1 1
; ; ;
2 3 38 12
−
b/ Rút gọn rồi quy đồng mẫu các phân số sau:
9 98 15
; ;
30 80 1000
Hướng dẫn
a/ 38 = 2.19; 12 = 2
2
.3 BCNN(2, 3, 38, 12) = 2
2
. 3. 19 = 228

1 114 1 76 1 6 1 19
; ; ;
2 228 3 228 38 228 12 288
− −
= = = =
b/
9 3 98 49 15 3
; ;
30 10 80 40 1000 200
= = =
BCNN(10, 40, 200) = 2
3
. 5

2
= 200
9 3 6 98 94 245 15 30
; ;
30 10 200 80 40 200 100 200
= = = = =
Bài 2: Các phân số sau có bằng nhau hay không? a/
3
5
−
và
39
65−
; b/
9
27
−
và
41
123
−

c/
3
4
−
và
4
5−
d/

2
3−
và
5
7
−
Hướng dẫn
- Có thể so sánh theo định nghĩa hai phân số bằng nhau hoặc quy đồng cùng mẫu rồi so sánh
- Kết quả:
7
a/
3
5
−
=
39
65−
; b/
9
27
−
=
41
123
−
c/
3
4
−
>

4
5−
d/
2
3−
>
5
7
−
Bài 3: Rút gọn rồi quy đồng mẫu các phân số:
a/
25.9 25.17
8.80 8.10
−
− −
và
48.12 48.15
3.270 3.30
−
− −
b/
5 5
5 2 5
2 .7 2
2 .5 2 .3
+
−
và
4 6
4 4

3 .5 3
3 .13 3
−
+
Hướng dẫn
a/
25.9 25.17
8.80 8.10
−
− −
=
125
200
;
48.12 48.15
3.270 3.30
−
− −
=
32
200
b/
5 5
5 2 5
2 .7 2 28
2 .5 2 .3 77
+
=
−
;

4 6
4 4
3 .5 3 22
3 .13 3 77
− −
=
+
Bài 4: Tìm tất cả các phân số có tử số là 15 lớn hơn
3
7
và nhỏ hơn
5
8
Hướng dẫn
Gọi phân số phải tìm là
15
a
(a
0
≠
), theo đề bài ta có
3 15 5
7 8a
< <
. Quy đồng tử số ta được
15 15 15
35 24a
< <
Vậy ta được các phân số cần tìm là
15

34
;
15
33
;
15
32
;
15
31
;
15
30
;
15
29
;
15
28
;
15
27
;
15
26
;
15
25

Bài 5: Tìm tất cả các phân số có mẫu số là 12 lớn hơn

2
3
−
và nhỏ hơn
1
4
−
Hướng dẫn
Cách thực hiện tương tự. Ta được các phân số cần tìm là
7
12
−
;
6
12
−
;
5
12
−
;
4
12
−
Bài 6: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự
a/ Tămg dần:
5 7 7 16 3 2
; ; ; ; ;
6 8 24 17 4 3
− −

b/ Giảm dần:
5 7 16 20 214 205
; ; ; ; ;
8 10 19 23 315 107
− −
Hướng dẫn
a/ ĐS:
5 3 7 2 7 16
; ; ; ; ;
6 4 24 3 8 17
− −
b/
205 20 7 214 5 16
; ; ; ; ;
107 23 10 315 8 19
− −
Bài 7: Quy đồng mẫu các phân số sau:
a/
17
20
,
13
15
và
41
60
b/
25
75
,

17
34
và
121
132
Hướng dẫn
a/ Nhận xét rằng 60 là bội của các mẫu còn lại, ta lấy mẫu chung là 60.
Ta được kết quả
17
20
=
51
60

13
15
=
52
60

41
60
=
41
60
b/ - Nhận xét các phân số chưa rút gọn, ta cần rút gọn trước ta có

25
75
=

1
3
,
17
34
=
1
2
và
121
132
=
11
12
Kết quả quy đồng là:
4 6 11
; ;
12 12 12
Bài 8: Cho phân số
a
b
là phân số tối giản. Hỏi phân số
a
a b+
có phải là phân số tối giản không?
Hướng dẫn
Giả sử a, b là các số tự nhiên và ƯCLN(a, b) = 1 (vì
a
b
tối giản)

nếu d là ước chung tự nhiên a của a + b thì
8
(a + b)
M
d và a
M
d
Suy ra: [(a + b) – a ] = b
M
d, tức là d cũng bằng 1.
kết luận: Nếu phân số
a
b
là phân số tối giản thì phân số
a
a b+
cũng là phân số tối giản.
Bài 9: Quy đồng mẫu số
a/ 3/8 ; 19/120 ; 8/15 b/ 5/12 ; 3/8 ; 5/18 ; 23/24
c/ 1/2 ; 2/3 ; 3/4 ; 4/5 ; 5/6 ; 6/7 ; 7/8 ; 8/9 ; 9/10
d/ 25/75 ; 17/34 ; 121/132 e/ 1078/2541 ; 9764/36615 ; 56272/263775.
f/ 4/5 ; 3/10 ; 5/12 ; 19/30 ; 1/3 ; 5/6 ¾
g/ 1/7 ; 1/6 ; 9/14 ; 5/12 ; 16/21 ; 1/3 ; 7/8
Bài 10: Tìm các phân số có tử là 3, > 1/8 nhưng < 1/7
Hướng dẫn
Phân số cần tìm có dạng 3/x (x
∈
N
*
) . Ta có: 1/8 < 3/x < 1/7 => 8 > x/3 > 7

Hay 21 < x < 24. Vậy 3/22 và 3/23
Bài 11: Tìm các phân số có tử là 1000, > 1/9 nhưng < 1/8. Có tất cả bao nhiêu phân số như vậy?
Hướng dẫn ( như bài 1 có 999 phân số)
Bài 12: Tìm phân số a/b biết rằng nếu thêm 6 vào tử và thêm 21 vào mẫu của nó thì giá trị của
phân số a/b không đổi. Có bao nhiêu phân số như vậy?
Hướng dẫn
Các phân số thỏa mãn đề bài có dạng 2k/7k (k
∈
N
*
)
Bài 13: Cho phân số a/b < 1. Hỏi phân số thay đổi như thế nào nếu ta thêm cùng 1 số tự nhiên
n ≠ 0 vào cả tử và mẫu.
Hướng dẫn
a/b < 1  a < b  a.n < b.n  a.b + a.n < a.b + b.n  a.(b + n) < b(a + n)
 a/b < (a + n)/(b + n)
Vậy nếu ta thêm cùng 1 số tự nhiên n ≠ 0 vào cả tử và mẫu của phân số a/b < 1 thì giá trị
của phân số đó tăng thêm.
Bài 14: Cho phân số a/b > 1. Hỏi phân số thay đổi như thế nào nếu ta thêm cùng 1 số tự nhiên
n ≠ 0 vào cả tử và mẫu.
Hướng dẫn
a/b > 1  a > b  a.n > b.n  a.b + a.n > a.b + b.n  a.(b + n) > b(a + n)
 a/b > (a + n)/(b + n)
Vậy nếu ta thêm cùng 1 số tự nhiên n ≠ 0 vào cả tử và mẫu của phân số a/b > 1 thì giá trị
của phân số đó giảm đi.
Bài 15: So sánh 2 phân số sau:
A = (1999
1999
+ 1)/(1999
2000

+ 1) B = (1999
1998
+ 1)/(1999
1999
+ 1)
Hướng dẫn
Rõ ràng A < 1. Ta có : a/b < 1  a < b  a.n < b.n  a.b + a.n < a.b + b.n
 a.(b + n) < b(a + n)  a/b < (a + n)/(b + n) (n
∈
N
*
)
Ta có: A = (1999
1999
+ 1)/(1999
2000
+ 1) < (1999
1999
+ 1) + 1998/(1999
2000
+ 1) + 1998
= (1999
1999
+ 1999)/(1999
2000
+ 1999) = (1999
1998
+ 1) .1999/(1999
1999
+ 1) .1999

= (1000
1998
+ 1) /(1999
1999
+ 1) = B . Vậy A < B.
Bài 16: So sánh: (13
15
+ 1)/(13
16
+ 1) và (13
16
+ 1)/(13
17
+ 1)
Bài 17: Tìm tất cả các phân số có mẫu là số có 1 chữ số và mỗi phân số này đều lớn hơn 7/9 và
< 8/9.
Bài 18: CMR: với d, b ≠ 0; nếu a/b < c/d thì a/b < (a + c)/(b + d) < c/d
D. HỖN SỐ - CỘNG - TRỪ PHÂN SỐ
9
I. Lúy thuyết.
A/ Hỗn số
1. Khái niệm: số gồm phần nguyên và phần phân số. Phần phân số luôn luôn nhỏ hơn 1
2. Muốn viết 1 phân số > 1 dưới dạng hỗn số ta chia tử cho mẫu, thương tìm được là phần nguyên
của hỗn số, số dư là tử của phân số kèm theo, còn mẫu vẫn là mẫu đã cho.
3. Muốn viết 1 hỗn số có phần nguyên khác 0 dưới dạng 1 phân số ta nhân phần nguyên với mẫu
rồi cộng với tử, kết quả tìm được là tử của phân số, còn mẫu vẫn là mẫu đã cho.
4. Muốn so sánh hai hỗn số có hai cách:
- Viết các hỗn số dưới dạng phân số, hỗn số có phân số lớn hơn thì lớn hơn
- So sánh hai phần nguyên:
+ Hỗn số nào có phần nguyên lớn hơn thì lớn hơn.

+ Nếu hai phần nguyên bằng nhau thì so sánh hai phân số đi kèm, hỗn số có phân số đi kèm lớn hơn
thì lớn hơn. Ở bài này ta sử dụng cách hai thì ngắn gọn hơn:
1 2
4 3
2 3
>
( do 4 > 3),
3 3
4 4
7 8
>
(do
3 3
7 8
>
, hai phân số có cùng tử số phân số nsò có mssũ nhỏ hơn
thì lớn hơn).
B/ Cộng phân số
1. Cộng 2 phân số cùng mẫu ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu số TQ a/m + b/m = (a +b)/m
2. Cộng 2 phân số không cùng mẫu ta quy đồng mẫu số rồi cộng 2 phân số đã quy đồng mẫu số
TQ a/m + b/n = (a.n +b.m)/m.n
3. Tính chất: * Giao hoán: a/b + c/d = c/d + a/b
* Kết hợp: (a/b + c/d) + p/q = a/b + (c/d + p/q)
* Cộng với 0: a/b + 0 = 0 + a/b = a/b
* Thêm, bớt vẫn không đổi: a/b + c/d = (a/b + e/f) + (c/d - e/f)
C/ Trừ phân số
1. Số đối: tổng của chúng bằng 0 * a/b + ( - a/b) = 0 * -a/b = a/-b = -a/b
2. Muốn trừ 1 phân số cho 1 phân số, ta cộng số bị trừ với số đối của số trừ. a/b – c/d = a/b + (-c/d)
3. Trừ 2 phân số cùng mẫu ta trừ các tử với nhau và giữ nguyên mẫu số TQ a/m - b/m = (a -b)/m
4. Trừ 2 phân số không cùng mẫu ta quy đồng mẫu số rồi trừ 2 phân số đã quy đồng mẫu số

TQ a/m - b/n = (a.n -b.m)/m.n
5. Khi trừ 2 hỗn số nếu phần phân số của số trừ > phần phân số của số bị trừ thì ta phải rút 1 đơn vị
trong phần nguyên của số bị trừ và them vào phần phân số để có 1 phân số > phân số ở số trừ rồi
tiếp tục làm như trên VD 3. 1/2 – 1.3/4 = 2. 2/3 - 1. 3/4 = (2-1) + (3/2 - ¾ + = 1. ¾
6. Tính chất: Cùng thêm, cùng bớt vẫn không đổi a/b - c/d = (a/b + e/f) - (c/d + e/f)
= (a/b - e/f) - (c/d - e/f)
II. Bài tập
Bài 1: 1/ Viết các phân số sau đây dưới dạng hỗn số:
33 15 24 102 2003
; ; ; ;
12 7 5 9 2002
2/ Viết các hỗn số sau đây dưới dạng phân số:
1 1 2000 2002 2010
5 ;9 ;5 ;7 ;2
5 7 2001 2006 2015
3/ So sánh các hỗn số sau:
3
3
2
và
1
4
2
;
3
4
7
và
3
4

8
;
3
9
5
và
6
8
7
Hướng dẫn:
1/
3 1 4 1 1
2 ,2 ,4 ,11 ,1
4 7 5 3 2002
2/
76 244 12005 16023 1208
, , , ,
15 27 2001 2003 403
Bài 2: Tìm 5 phân số có mẫu là 5, lớn hơn 1/5 và nhỏ hơn
2
1
5
.
10
Hướng dẫn:
1 2 3 4 5 6 2 7
, , , , 1
5 5 5 5 5 5 5 5
< < =
Bài 3: Tìm phần nguyên x của hỗn số x.3/4, biết

a/ x.3/4 = 21989/7996 (x = 2) b/ 2147/425 < x.3/4 < 2835/420 ( x = 5)
Bài 4: Cho hỗn số 2.x/7. Tìm x biết:
a/ 2.x/7 = 153/63 (x = 3) b/ 2.7/7 = (2x + 9)/7 (x = 5)
Bài 5: Cho hỗn số 11.19/x. Tìm x biết:
a/ 11.19/x = 1673/140 (x = 20) b/ 11.19/x = 273/x (x = 23)
Bài 6: Cho hỗn số x.2/x. Tìm x biết:
a/ x.2/x = 12597/1729 (x = 7) b/ x.2/x = 83/x (x = 9)
Bài 7: Cho hỗn số x.12/13. Tìm x biết:
561/143 < x.12/13 < 1463/247
Bài 8: Tính tổng của các phân số > 1/8 , < 1/7 và có tử là 3 (3/22 + 3/23 = 135/506)
Bài 9: Viết mỗi phân số sau đây thành tổng của 2 phân số tối giản có mẫu khác nhau?
a/ 7/15 (1/15 + 6/15 = ……) b/ 13/27 (1/27 + 12/27 = …… )
Bài 10: Dùng 10 chữ số: 0, 1, 2, ……9 (mỗi chữ số chỉ dùng 1 lần) để lập 2 phân số bằng nhau có
tổng bằng 1 ( vô số cách Ví dụ: 48/96 + 135/270 = 1/2 + 3845/7690 = …….= 1)
Bài 11: Dùng 10 chữ số: 0, 1, 2, ……9 (mỗi chữ số chỉ dùng 1 lần) để lập 2 hỗn số có tổng bằng
100. ( vô số cách Ví dụ: 78. 3/6 + 21. 45/90 = 71. 3/6 + 28. 45/90 = …….= 100)
Bài 12: Thực hiện phép tính: 9764/36615 + 36.85.20/25.84.34 + 2,2 + 3.19/133
(2,2 = 2.3/15. kq = 6.7/15)
Bài 13: Thực hiện phép tính: 1.40404/70707 + (244.395 – 151)/(244 + 395 .243) +
(1.3.5 + 2.6.10 + 4.12.26 + 7.21.35)/(1.5.7 + 2.10.14 + 4.20.28 + 7.35.49) ( = 3)
Bài 14: Tính
a/ 2/7 + 1/9 + 1/7 + 5/9 + 8/14 (1.2/3)
b/ 3/17 + 2.11/34 + ½ (3)
c/ 2/3 + 4/37 + 5/111 + 260/1443 (1)
d/ 5/6 + 4/15 + 6/18 + 3/45 e/ 5/12 + 3/5 + 1/7 f/ 3/4 + 4/9 + 25/36 + 13/18 + 1/72
Bài 15: Chứng minh:
a/ 3.17/24 + 2.8/15 + 1.7/8 = 4.3/4 = 3.11/30
b/ 2.4/11 + 5.2/3 + 1.7/11 = 322219/33333
Bài 16: Tính 1 chách hợp lý
a/ 428571/571428 + 30.63.65.8/117.200.49 + 5,25 + 9.578/4046

b/ (1.2.3 + 2.4.6 + 4.8.12 + 7.14.21)/(1.3.5 + 2.6.10 + 4.12.20 + 7.21 .35) + (74.147 – 73)/(73.147
+ 74) + 216,6
Bài 17: Viết 3/11 thành tổng của 2 phân số có tử số là 1 và mẫu khác nhau?
Bài 18: Viết 5/21 thành tổng của 3 phân số có tử số là 1 và mẫu khác nhau?
Bài 19: Có 5 quả cam chia đều cho 6 người. Làm cách nào để chia được mà không phải cắt bất kỳ
quả nào thành 6 phần bằng nhau?
Bài 20: Cộng các phân số sau: a/
65 33
91 55
−
+
b/
36 100
84 450
+
−
c/
650 588
1430 686
−
+
d/
2004 8
2010 670
+
−
Hướng dẫn
a/
4
35

b/
13
63
−
c/
31
77
d/
66
77
Bài 21: Tìm x biết: a/
7 1
25 5
x
−
= +
b/
5 4
11 9
x = +
−
c/
5 1
9 1 3
x −
+ =
−
11
Hướng dẫn
a/

2
25
x =
b/
1
99
x =
c/
8
9
x =
Bài 22: Cho
2004
2005
10 1
10 1
A
+
=
+
và
2005
2006
10 1
10 1
B
+
=
+
So sánh A và B

Hướng dẫn
2004 2005
2005 2005 2005
10 1 10 10 9
10 10. 1
10 1 10 1 10 1
A
+ +
= = = +
+ + +

2005 2006
2006 2006 2006
10 1 10 10 9
10 10. 1
10 1 10 1 10 1
B
+ +
= = = +
+ + +
Hai phân số có từ số bằng nhau, 10
2005
+1 < 10
2006
+1 nên 10A > 10 B Từ đó suy ra A > B
Bài 23: Có 9 quả cam chia cho 12 người. Làm cách nào mà không phải cắt bất kỳ quả nào thành 12
phần bằng nhau?
Hướng dẫn
- Lấu 6 quả cam cắt mỗi quả thành 2 phần bằng nhau, mỗi người được ½ quả. Còn lại 3 quả cắt làm
4 phần bằng nhau, mỗi người được ¼ quả. Như vạy 9 quả cam chia đều cho 12 người, mỗi người

được
1 1 3
2 4 4
+ =
(quả). Chú ý 9 quả cam chia đều cho 12 người thì mỗi người được 9/12 = ¾
quả nên ta có cách chia như trên.
Bài 24: Tính nhanh giá trị các biểu thức sau:
-7 1
A = (1 )
21 3
+ +

2 5 6
B = ( )
15 9 9
−
+ +

-1 3 3
B= ( )
5 12 4
−
+ +
Hướng dẫn
-7 1
A = ( ) 1 0 1 1
21 3
+ + = + =

2 6 5 24 25 1

B = ( )
15 9 9 45 45 15
− −
+ + = + =
3 3 1 1 1 5 2 7
C= ( )
12 4 5 2 5 10 10 10
− − − − − − −
+ + = + = + =
Bài 25: Tính theo cách hợp lí:
a/
4 16 6 3 2 10 3
20 42 15 5 21 21 20
− −
+ + + + + +
b/
42 250 2121 125125
46 186 2323 143143
− −
+ + +
Hướng dẫn
a/
4 16 6 3 2 10 3
20 42 15 5 21 21 10
− −
+ + + + + +

1 8 2 3 2 10 3
5 21 5 5 21 21 20
1 2 3 8 2 10 3 3

( ) ( )
5 5 5 21 21 21 20 20
− −
= + + + + + +
− −
= + + + + + + =
b/
42 250 2121 125125
46 186 2323 143143
21 125 21 125 21 21 125 125
( ) ( ) 0 0 0
23 143 23 143 23 23 143 143
− −
+ + +
− − − −
= + + + = + + + = + =
Bài 26: Tính:
a/
7 1 3
3 2 70
−
+ −
b/
5 3 3
12 16 4
− +
−
ĐS: a/
34
35

b/
65
48
Bài 27: Tìm x, biết:
12
a/
3
1
4
x− =
b/
1
4
5
x + =
c/
1
2
5
x − =
d/
5 1
3 81
x + =
ĐS: a/
1
4
x =
b/
19

5
x = −
c/
11
5
x =
d/
134
81
x = −
Bài 28: Tính tổng các phân số sau:
a/
1 1 1 1
1.2 2.3 3.4 2003.2004
+ + + +K
b/
1 1 1 1
1.3 3.5 5.7 2003.2005
+ + + +K
Hướng dẫn
a/ GV hướng dẫn chứng minh công thức sau:
1 1 1
1 ( 1)n n n n
− =
+ +
HD: Quy đồng mẫu VT, rút gọn được VP.
Từ công thức trên ta thấy, cần phân tích bài toán như sau:
1 1 1 1
1.2 2.3 3.4 2003.2004
1 1 1 1 1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )
1 2 2 3 3 4 2003 2004
1 2003
1
2004 2004
+ + + +
= − + − + − + + −
= − =
K
b/ Đặt B =
1 1 1 1
1.3 3.5 5.7 2003.2005
+ + + +K
Ta có 2B
2 2 2 2
1.3 3.5 5.7 2003.2005
1 1 1 1 1 1 1
(1 ) ( ) ( ) ( )
3 3 5 5 7 2003 2005
1 2004
1
2005 2005
+ + + +
= − + − + − + + −
= − =
K
Suy ra B =
1002
2005
Bài 29: Hai can đựng 13 lít nước. Nếu bớt ở can thứ nhất 2 lít và thêm vào can thứ hai

9
2
lít, thì
can thứ nhất nhiều hơn can thứ hai
1
2
lít. Hỏi lúc đầu mỗi can đựng được bao nhiêu lít nước?
Hướng dẫn
- Dùng sơ đồ đoạn thẳng để dể dàng thấy cách làm.
- Ta có: Số nước ở can thứ nhất nhiều hơn can thứ hai là:
1 1
4 2 7( )
2 2
l+ + =
Số nước ở can thứ hai là (13-7):2 = 3
( )l
Số nước ở can thứ nhất là 3 +7 = 10
( )l
Bài 30: Nêu mọi cách viết các phân số sau thành tổng của 2 phân số có tử = 1, mẫu khác nhau.
a/ 1/8 b/ 1/10
Hướng dẫn
Gọi 2 phân số cần tìm 1/x, 1/y (x, y
∈
N
*
). Ta có: 1/x + 1/y = 1/8 (1)
Do x và y có vai trò như nhau nên ta có thể giả sử rằng: x < y. Từ (1) => 1/x < 1/y
hay x > 8 (2)
Do x < y nên 1/x > 1/y => 1/x + 1/x > 1/y + 1/x hay 2/x > 1/8
Do đó 1/x > 1/16 hay x< 16 (3)

13
Từ (2), (3) ta có: 8 < x < 16
Thay x = 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 vào (1) => x = 9, y = 72; x = 10, y = 40 ; x = 12, y = 24
Vậy có tất cả 3 cách viết.
1/8 = 1/9 + 1/72; 1/8 = 1/10 + 1/40 ; 1/8 = 1/12 + 1/24
b/ 1/10 = 1/11 + 1/110 = 1/12 + 1/60 = 1/14 + 1/35 = 1/15 + 1/30
Bài 31: Tính tổng các phân số sau đây 1 cách nhanh chóng nhất.
a/ 1/5.6 + 1/6.7 + 1/7.8 + ….+ 1/24.25 b/ 2/1.3 + 2/3.5 + 2/5.7 + ….+ 2/99.101
c/ 3/1.3 + 3/3.5 + 3/5.7 + ….+ 3/49.51 d/ 1/7 + 1/91 + 1/247 + 1/475 + 1/775 + 1/ 1147
Hướng dẫn
Ta dễ dàng chứng minh được công thức sau: a/n.(n +a) = 1/n - 1/(n + a). Áp dụng ct trên để
tính.
a/ 4/25 b/ 100/101 c/ 1.8/17 d/ 6/37
Bài 32: CMR:
∀
n
∈
N

ta có: 1/1.3 + 1/3.5 + 1/5.7 …+ 1/(2n + 1).(2n + 3) = (n +1)/(2n + 3)
Bài 33: Tính tổng
a/ 1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 + …+ 1/18.19 + 1/19.20
b/ 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90 + 1/110 + 1/132
c/ 5
2
/1.6 + 5
2
/6.11 + 5
2
/11.16 + 5

2
/16.21 + 5
2
/21.26 + 5
2
/26.31
Bài 34: Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể. Vòi 1 chảy trong 8h, vòi 2 chảy trong 6h đầy bể. Vòi 3
tháo trong 4h thì bể cạn. Bể đang cạn nếu mở cả 3 vòi thì sau 1h chảy được bao nhiêu phần bể?
(1/24 bể)
Bài 35: Tìm số tự nhiên x biết rằng: 1/3 + 1/6 + 1/10 + …+ 2/x.(x + 1) = 1999/2001
Hướng dẫn
Viết vế trái dưới dạng: 2/2.3 + 2/3.4 + 2/4.5 + + 2/x.(x + 1) => x = 2000
Bài 36: CMR: 1/5 + 1/13 + 1/25 + 1/41 + 1/61 + 1/85 + 1/113 < 1/2
Hướng dẫn
Gọi tổng ở vế trái là S ta có: S < 1/5 + (1/12 + 1/12 + 1/12) + (1/60 + 1/60 + 1/60)
S < 1/5 + (3/12 + 3/60
S < 1/5 + 1/4 + 1/20 = (4 + 5 + 1)/20 = 1/20
Bài 37: CMR: 1/4 + 1/16 + 1/36 + 1/64 + 1/100 + 1/144 + 1/196 < 1/2. Gỉai bài toán trong trường
hợ tổng quát
Hướng dẫn
* 1/4 + 1/16 + 1/36 + 1/64 + 1/100 + 1/144 + 1/196 = 1/2
2
+ 1/4
2
+ 1/6
2
+ 1/8
2
+ 1/10
2

+ 1/12
2
+ 1/14
2
= 1/4 + (1 + 1/2
2
+ 1/3
2
+ 1/4
2
+ 1/5
2
+ 1/6
2
+ 1/7
2
) < 1/4 (1 + 1) = 1/2
* Trường hợp tổng quát: 1/2
2
+ 1/4
2
+ 1/6
2
+… + 1/(2n)
2
< 1/2 . Tương tự câu trên
Bài 38: CMR: 1/2
2
+ 1/3

2
+ 1/4
2
+… + 1/n
2
< 1
Hướng dẫn
Vì 1/k
2
< 1/(k – 1).k = 1/(k – 1) - 1/k nên.
1/2
2
+ 1/3
2
+ 1/4
2
+… + 1/n
2
< (1- 1/2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + ….+ [1/(n – 1) - 1/n]
< 1 – 1/n < 1
PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA PHÂN SỐ
Bài 1: Thực hiện phép nhân sau:
14
a/
3 14
7 5
×
b/
35 81
9 7

×
c/
28 68
17 14
×
d/
35 23
46 205
×
Hướng dẫn
a/
6
5
b/
45
c/
8
d/
1
6
Bài 2: Tìm x, biết:
a/ x -
10
3
=
7 3
15 5
×
b/
3 27 11

22 121 9
x + = ×
c/
8 46 1
23 24 3
x× − =
d/
49 5
1
65 7
x− = ×
Hướng dẫn
a/ x -
10
3
=
7 3
15 5
×
7 3
25 10
14 15
50 50
29
50
x
x
x
= +
= +

=
b/
3 27 11
22 121 9
x + = ×
3 3
11 22
3
22
x
x
= −
=
c/
8 46 1
23 24 3
x× − =
8 46 1
.
23 24 3
2 1
3 3
1
3
x
x
x
= −
= −
=

d/
49 5
1
65 7
x− = ×
49 5
1 .
65 7
7
1
13
6
13
x
x
x
= −
= −
=
Bài 3: Lớp 6A có 42 HS được chia làm 3 loại: Giỏi, khá, Tb. Biết rằng số HSG bằng 1/6 số HS
khá, số HS Tb bằng 1/5 tổng số HS giỏi và khá. Tìm số HS của mỗi loại.
Hướng dẫn
Gọi số HS giỏi là x thì số HS khá là 6x,
số học sinh trung bình là (x + 6x).
1 6
5 5
x x+
=
15
Mà lớp có 42 học sinh nên ta có:

7
6 42
5
x
x x+ + =
Từ đó suy ra x = 5 (HS)
Vậy số HS giỏi là 5 học sinh.
Số học sinh khá là 5.6 = 30 (học sinh)
SÁô học sinh trung bình là (5 + 30):5 = 7 (HS)
Bài 4: Tính giá trị của cắc biểu thức sau bằng cach tính nhanh nhất:
a/
21 11 5
. .
25 9 7
b/
5 17 5 9
. .
23 26 23 26
+
c/
3 1 29
29 5 3
 
− ×
 ÷
 
Hướng dẫn
a/
21 11 5 21 5 11 11
. . ( . ).

25 9 7 25 7 9 15
= =
b/
5 17 5 9 5 17 9 5
. . ( )
23 26 23 26 23 26 26 23
+ = + =
c/
3 1 29 29 3 29 29 16
. 1
29 15 3 3 29 45 45 45
 
− × = − = − =
 ÷
 
Bài 5: Tìm các tích sau:
a/
16 5 54 56
. . .
15 14 24 21
−
b/
7 5 15 4
. . .
3 2 21 5
−
−
Hướng dẫn
a/
16 5 54 56 16

. . .
15 14 24 21 7
− −
=
b/
7 5 15 4 10
. . .
3 2 21 5 3
−
=
−
Bài 6: Tính nhẩm
a/
7
5.
5
b.
3 7 1 7
. .
4 9 4 9
+
c/
1 5 5 1 5 3
. . .
7 9 9 7 9 7
+ +
d/
3 9
4.11. .
4 121

Bài 7: Chứng tỏ rằng:
1 1 1 1
2
2 3 4 63
+ + + + >
Hướng dẫn
Đặt H =
1 1 1 1

2 3 4 63
+ + + +
Vậy

1 1 1 1
1 1
2 3 4 63
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 17 18 32 33 34 64 64
1 1 1 1 1 1 1
1 .2 .2 .4 .8 .16 .32
2 4 8 16 32 64 64
1 1 1 1 1 1
1 1
2 2 2 2 2 64
3
1 3
64
H
H

H
H
+ = + + + + +
= + + + + + + + + + + + + + + + + + + + −
+ > + + + + + −
+ > + + + + + −
+ > +
Do đó H > 2
Bài 8: Tìm A biết:
2 3
7 7 7

10 10 10
A = + + +
Hướng dẫn
Ta có (A -
7
10
).10 = A. VẬy 10A – 7 = A suy ra 9A = 7 hay A =
7
9
16
Bài 9: Lúc 6 giờ 50 phút bạn Việt đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 km/h. Lúc 7 giờ 10 phút bạn
Nam đi xe đạp từ B đến A với vận tốc 12 km/h/ Hai bạn gặp nhau ở C lúc 7 giờ 30 phút. Tính
quãng đường AB.
Hướng dẫn
Thời gian Việt đi là:
7 giờ 30 phút – 6 giờ 50 phút = 40 phút =
2
3

giờ
Quãng đường Việt đi là:
2
15
3
×
=10 (km)
Thời gian Nam đã đi là:
7 giờ 30 phút – 7 giờ 10 phút = 20 phút =
1
3
giờ
Quãng đường Nam đã đi là
1
12. 4
3
=
(km)
Bài 10: . Tính giá trị của biểu thức:
5 5 5
21 21 21
x y z
A
− − −
= + +
biết x + y = -z
Hướng dẫn
5 5 5 5 5
( ) ( ) 0
21 21 21 21 21

x y z
A x y z z z
− − − − −
= + + = + + = − + =
Bài 11: Tính gí trị các biểu thức A, B, C rồi tìm số nghịch đảo của chúng.
a/ A =
2002
1
2003
−
b/ B =
179 59 3
30 30 5
 
− −
 ÷
 
c/ C =
46 1
11
5 11
 
− ×
 ÷
 
Hướng dẫn
a/ A =
2002 1
1
2003 2003

− =
nên số nghịch đảo của A là 2003
b/ B =
179 59 3 23
30 30 5 5
 
− − =
 ÷
 
nên số nghịc đảo cảu B là
5
23
c/ C =
46 1 501
11
5 11 5
 
− × =
 ÷
 
nên số nghịch đảo của C là
501
5
Bài 12: Thực hiện phép tính chia sau:
a/
12 16
:
5 15
; b/
9 6

:
8 5
c/
7 14
:
5 25
d/
3 6
:
14 7
Bài 13: Tìm x biết:
a/
62 29 3
. :
7 9 56
x =
b/
1 1 1
:
5 5 7
x = +
c/
2
1
: 2
2 1
x
a
=
+

Hướng dẫn
a/
62 29 3 5684
. :
7 9 56 837
x x= ⇒ =
b/
1 1 1 7
:
5 5 7 2
x x= + ⇒ =
c/
2 2
1 1
: 2
2 1 2(2 1)
x x
a a
= ⇒ =
+ +
Bài 14: Đồng hồ chỉ 6 giờ. Hỏi sau bao lâu kim phút và kim giờ lại gặp nhau?
Hướng dẫn
Lúc 6 giờ hai kim giờ và phút cách nhau 1/ 2 vòng tròn.
17
Vận tốc của kim phút là:
1
12
(vòng/h)
Hiệu vận tốc giữa kim phút và kim giờ là: 1-
1

12
=
11
12
(vòng/h)
Vậy thời gian hai kim gặp nhau là:
1 11
:
2 12
=
6
11
(giờ)
Bài 16: Một canô xuôi dòng từ A đến B mất 2 giờ và ngược dòng từ B về A mất 2 giờ 30 phút. Hỏi
một đám bèo trôi từ A đến B mất bao lâu?
Hướng dẫn
Vận tốc xuôi dòng của canô là:
2
AB
(km/h)
Vân tốc ngược dòng của canô là:
2,5
AB
(km/h)
Vận tốc dòng nước là:
2 2,5
AB AB
 
−
 ÷

 
: 2 =
5 4
10
AB AB−
: 2 =
20
AB
(km/h)
Vận tốc bèo trôi bằng vận tốc dòng nước, nên thời gian bèo trôi từ A đến B là:
AB:
20
AB
= AB :
20
AB
= 20 (giờ)
SỐ THẬP PHÂN. PHẦN TRĂM
Bài 1: Hai ô tô cùng xuất phát từ Hà Nội đi Vinh. Ô tô thứ nhất đo từ 4 giờ 10 phút, ô tô thứ hai đia
từ lúc 5 giờ 15 phút.
a/ Lúc
1
11
2
giờ cùng ngày hai ôtô cách nhau bao nhiêu km? Biết rằng vận tốc của ôtô thứ nhất là 35
km/h. Vận tốc của ôtô thứ hai là
1
34
2
km/h.

b/ Khi ôtô thứ nhất đến Vinh thì ôtô thứ hai cách Vinh bao nhiêu Km? Biết rằng Hà Nội cách Vinh
319 km.
Hướng dẫn:
a/ Thời gian ô tô thứ nhất đã đi:
1 1 1 1 1 1
11 4 7 7 7
2 6 2 6 3 3
− = + − = + =
(giờ)
Quãng đường ô tô thứ nhất đã đi được:
1 2
35.7 256
2 3
=
(km)
Thời gian ô tô thứ hai đã đi:
1 1 1
11 5 6
2 4 4
− =
(giờ)
Quãng đường ô tô thứ hai đã đi:
1 1 5
34 6 215
2 4 8
− =
(km)
Lúc 11 giờ 30 phút cùng ngày hai ô tô cách nhau:
2 5 1
256 215 41

3 8 24
− =
(km)
b/ Thời gian ô tô thứ nhất đến Vinh là:
18
4
319 :35 9
35
=
(giờ)
Ôtô đến Vinh vào lúc:
1 4 59
4 9 13
6 35 210
+ =
(giờ)
Khi ôtô thứ nhất đến Vinh thì thời gian ôtô thứ hai đã đi:
59 1 269 1 538 105 433
13 5 7 7 7
210 4 210 4 420 420 420
− = + − = + − =
(giờ)
Quãng đường mà ôtô thứ hai đi được:
433 1
7 .34 277
420 2
≈
(km)
Vậy ôtô thứ nhất đến Vinh thì ôtô thứ hai cách Vinh là:
319 – 277 = 42 (km)

Bài 2: Tổng tiền lương của bác công nhân A, B, C là 2.500.000 đ. Biết 40% tiền lương của bác A
bằng 50% tiền lương của bác B và bằng 4/7 tiền lương của bác C. Hỏi tiền lương của mỗi bác là bao
nhiêu?
Hướng dẫn
40% =
40 2
100 5
=
, 50% =
1
2
Quy đồng tử các phân số
1 2 4
, ,
2 5 7
được:
1 4 2 4 4
, ,
2 8 5 10 7
= =
Như vậy:
4
10
lương của bác A bằng
4
8
lương của bác B và bằng
4
7
lương của bác C.

Suy ra,
1
10
lương của bác A bằng
1
8
lương của bác B và bằng
1
7
lương của bác C. Ta có sơ đồ như
sau:
Lương của bác A : 2500000 : (10+8+7) x 10 = 1000000 (đ)
Lương của bác B : 2500000 : (10+8+7) x 8 = 800000 (đ)
Lương của bác C : 2500000 : (10+8+7) x 7 = 700000 (đ)
TÌM GIÁ TRỊ PHÂN SỐ CỦA MỘT SỐ CHO TRƯỚC
Bài 1: Tìm x, biết:
a/
50 25 1
11
100 200 4
x x
x
 
− + =
 ÷
 
b/
( )
30 200
5 . 5

100 100
x
x − = +
Hướng dẫn
a/
50 25 1
11
100 200 4
x x
x
 
− + =
 ÷
 

⇔
100 25 1
11
200 4
x x
x
+
 
− =
 ÷
 

⇔
200 100 25 1
11

200 4
x x x− −
=

⇔
75x =
45
4
.200 = 2250
⇔
x = 2250: 75 = 30.
b/
( )
30 200
5 . 5
100 100
x
x − = +
Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ ta có:
30 150 20
5
100 100 100
x x
− = +
Áp dụng mối quan hệ giữa số bị trừ, số trừ và hiệu ta có:
30 20 150
5
100 100 100
x x
= + +

19
Áp dụng quan hệ giữa các số hạng của tổng và tổng ta có:
10 650 650
.100 :10 65
100 100 100
x
x x
 
= ⇒ = ⇒ =
 ÷
 
Bài 2: Trong một trường học số học sinh gái bằng 6/5 số học sinh trai.
a/ Tính xem số HS gái bằng mấy phần số HS toàn trường.
b/ Nếu số HS toàn trường là 1210 em thì trường đó có bao nhiêu HS trai, HS gái?
Hướng dẫn
a/ Theo đề bài, trong trường đó cứ 5 phần học sinh nam thì có 6 phần học sinh nữ. Như vậy, nếu
học sinh trong toàn trường là 11 phần thì số học sinh nữ chiếm 6 phần, nên số học sinh nữ bằng
6
11
số học sinh toàn trường.
Số học sinh nam bằng
5
11
số học sinh toàn trường.
b/ Nếu toàn tường có 1210 học sinh thì:
Số học sinh nữ là:
6
1210 660
11
× =

(học sinh)
Số học sinh nam là:
5
1210 550
11
× =
(học sinh)
Bài 3: Một miếng đất hình chữ nhật dài 220m, chiều rộng bằng ¾ chiều lài. Người ta trông cây
xung quanh miếng đất, biết rằng cây nọ cách cây kia 5m và 4 góc có 4 cây. Hỏi cần tất cả bao nhiêu
cây?
Hướng dẫn:
Chiều rộng hình chữ nhật:
3
220. 165
4
=
(m)
Chu vi hình chữ nhật:
( )
220 165 .2 770+ =
(m)
Số cây cần thiết là: 770: 5 = 154 (cây)
Bài 4: Ba lớp 6 có 102 học sinh. Số HS lớp A bằng 8/9 số HS lớp B. Số HS lớp C bằng 17/16 số
HS lớp A. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?
Hướng dẫn
Số học sinh lớp 6B bằng
9
8
học sinh lớp 6A (hay bằng
18

16
)
Số học sinh lớp 6C bằng
17
16
học sinh lớp 6A
Tổng số phần của 3 lớp: 18+16+17 = 51 (phần)
Số học sinh lớp 6A là: (102 : 51) . 16 = 32 (học sinh)
Số học sinh lớp 6B là: (102 : 51) . 18 = 36 (học sinh)
Số học sinh lớp 6C là: (102 : 51) . 17 = 34 (học sinh)
Bài 5: 1/ Giữ nguyên tử số, hãy thay đổi mẫu số của phân số
275
289
soa cho giá trị của nó giảm đi
7
24
giá trị của nó. Mẫu số mới là bao nhiêu?
Hướng dẫn
Gọi mẫu số phải tìm là x, theo đề bài ta có:
275 275 7 275 275 7 275 17 275
. 1 .
289 24 289 289 24 289 24 408x
 
= − = − = =
 ÷
 
. Vậy x =
275
408
20

Bài 6: Ba tổ công nhân trồng được tất cả 286 cây ở công viên. Số cây tổ 1 trồng được bằng
9
10
số
cây tổ 2 và số cây tổ 3 trồng được bằng
24
25
số cây tổ 2. Hỏi mỗi tổ trồng được bao nhiêu cây?
Hướng dẫn
90 cây; 100 cây; 96 cây.
TÌM MỘT SỐ BIẾT GIÁ TRỊ PHÂN SỐ CỦA NÓ
Bài 1:
1/ Một lớp học có số HS nữ bằng
5
3
số HS nam. Nếu 10 HS nam chưa vào lớp thì số HS nữ gấp 7
lần số HS nam. Tìm số HS nam và nữ của lớp đó.
2/ Trong giờ ra chơi số HS ở ngoài bằng 1/5 số HS trong lớp. Sau khi 2 học sinh vào lớp thì số số
HS ở ngoài bừng 1/7 số HS ở trong lớp. Hỏi lớp có bao nhiêu HS?
Hướng dẫn:
1/ Số HS nam bằng
3
5
số HS nữ, nên số HS nam bằng
3
8
số HS cả lớp.
Khi 10 HS nam chưa vào lớp thì số HS nam bằng
1
7

số HS nữ tức bằng
1
8
số HS cả lớp.
Vậy 10 HS biểu thị
3
8
-
1
8
=
1
4
(HS cả lớp)
Nên số HS cả lớp là: 10 :
1
4
= 40 (HS)
Số HS nam là : 40.
3
8
= 15 (HS)
Số HS nữ là : 40.
5
8
= 25 (HS)
2/ Lúc đầu số HS ra ngoài bằng
1
5
số HS trong lớp, tức số HS ra ngoài bằng

1
6
số HS trong lớp.
Sau khi 2 em vào lớp thì số HS ở ngoài bằng
1
8
số HS của lớp. Vậy 2 HS biểu thị
1
6
-
1
8
=
2
48
(số HS của lớp)
Vậy số HS của lớp là: 2 :
2
48
= 48 (HS)
Bài 2: Ba tấm vải có tất cả 542m. Nết cắt tấm thứ nhất
1
7
, tấm thứ hai
3
14
, tấm thứ ba bằng
2
5
chiều dài của nó thì chiều dài còn lại của ba tấm bằng nhau. Hỏi mỗi tấm vải bao nhiêu mét?

Hướng dẫn
Ngày thứ hai hợp tác xã gặt được:
5 7 13 7 7
1 . .
18 13 18 13 18
 
− = =
 ÷
 
(diện tích lúa)
Diện tích còn lại sau ngày thứ hai:
15 7 1
1
18 18 3
 
− + =
 ÷
 
(diện tích lúa)
1
3
diện tích lúa bằng 30,6 a. Vậy trà lúa sớm hợp tác xã đã gặt là: 30,6 :
1
3
= 91,8 (a)
21
Bài 3: Một người có xoài đem bán. Sau khi án được 2/5 số xoài và 1 trái thì còn lại 50 trái xoài. Hỏi
lúc đầu người bán có bao nhiêu trái xoài
Hướng dẫn
Cách 1: Số xoài lức đầu chia 5 phần thì đã bắn 2 phần và 1 trái. Như vậy số xoài còn lại là 3 phần

bớt 1 trsi tức là: 3 phần bằng 51 trái.
Số xoài đã có là
5
.5 85
31
=
trái
Cách 2: Gọi số xoài đem bán có a trái. Số xoài đã bán là
2
1
5
a +
Số xoài còn lại bằng:
2
( 1) 50 85
5
a a a− + = ⇒ =
(trái)
TÌM TỈ SỐ CỦA HAI SỐ
Bài 1:
1/ Một ô tô đi từ A về phía B, một xe máy đi từ B về phía A. Hai xe khởi hành cùng một lúc cho
đến khi gặp nhau thì quãng đường ôtô đi được lớn hơn quãng đường của xe máy đi là 50km. Biết
30% quãng đường ô tô đi được bằng 45% quãng đường xe máy đi được. Hỏi quãng đường mỗi xe
đi được bằng mấy phần trăm quãng đường AB.
2/ Một ô tô khách chạy với tốc độ 45 km/h từ Hà Nội về Thái Sơn. Sau một thời gian một ôtô du
lịch cũng xuất phát từ Hà Nội đuổi theo ô tô khách với vận tốc 60 km/h. Dự định chúng gặp nhau
tại thị xã Thái Bình cách Thái Sơn 10 km. Hỏi quãng đường Hà Nội – Thái Sơn?
Hướng dẫn
1/ 30% =
3 9

10 30
=
; 45% =
9
20
9
30
quãng đường ôtô đi được bằng
9
20
quãng đường xe máy đi được.
Suy ra,
1
30
quãng đường ôtô đi được bằng
1
20
quãng đường xe máy đi được.
Quãng đường ôtô đi được: 50: (30 – 20) x 30 = 150 (km)
Quãng đường xe máy đi được: 50: (30 – 20) x 20 = 100 (km)
2/ Quãng đường đi từ N đến Thái Bình dài là: 40 – 10 = 30 (km)
Thời gian ôtô du lịch đi quãng đường N đến Thái Bình là: 30 : 60 =
1
2
(h)
Trong thời gian đó ôtô khách chạy quãng đường NC là: 40.
1
2
= 20 (km)
Tỉ số vận tốc của xe khách trước và sau khi thay đổi là:

40 9
45 8
=
Tỉ số này chính lầ tỉ số quãng đường M đến Thái Bình và M đến C nên:
9
8
M TB
MC
→
=
M
→
TB – MC =
9
8
MC – MC =
1
8
MC
Vậy quãng đường MC là: 10 :
1
8
= 80 (km)
Vì M
→
TS = 1 -
3
13
=
10

13
(H
→
TS)
Vậy khoảng cách Hà Nội đến Thái Sơn (HN
→
TS) dài là:
22
100 :
10
13
= 100.
13
10
= 130 (km)
Bài 2: . Nhà em có 60 kg gạo đựng trong hai thùng. Nếu lấy 25% số gạo của thùng thứ nhất chuyển
sang thùng thứ hai thì số gạo của hai thùng bằng nhau. Hỏi số gạo của mỗi thùng là bao nhiêu kg?
Hướng dẫn:
Nếu lấy số gạo thùng thứ nhất làm đơn vị thì số gạo của thùng thứ hai bằng
1
2
(đơn vị) (do 25% =
1
4
) và
3
4
số gạo của thùng thứ nhất bằng số gạo của thùng thứ hai +
1
4

số gạo của thùng thứ nhất.
Vậy số gạo của hai thùng là:
1 3
1
2 2
+ =
(đơn vị)
3
2
đơn vị bằng 60 kg. Vậy số gạo của thùng thứ nhất là:
3 2
60 : 60. 40
2 3
= =
(kg)
Số gạo của thùng thứ hai là: 60 – 40 = 20 (kg)
Bài 3: Một đội máy cày ngày thứ nhất cày được 50% ánh đồng và thêm 3 ha nữa. Ngày thứ hai cày
được 25% phần còn lại của cánh đồng và 9 ha cuối cùng. Hỏi diện tích cánh đồng đó là bao nhiêu
ha?
2/ Nước biển chưa 6% muối (về khối lượng). Hỏi phải thêm bao nhiêu kg nước thường vào 50 kg
nước biển để cho hỗn hợp có 3% muối?
Hướng dẫn
1/ Ngày thứ hai cày được:
3
9 : 12
4
=
(ha). Diện tích cánh đồng đó là:
( )
50

12 3 : 30
100
+ =
(ha)
2/ Lượng muối chứa trong 50kg nước biển:
50 6
3
100
×
=
(kg)
Lượng nước thường cần phải pha vào 50kg nước biển để được hỗn hợp cho 3% muối:
100 – 50 = 50 (kg)
Bài 4: Trên một bản đồ có tỉ lệ xích là 1: 500000. Hãy tìm:
a/ Khoảng cách trên thực tế của hai điểm trên bản đồ cách nhau 125 milimet.
b/ Khoảng cách trên bản đồ của hai thành phố cách nhau 350 km (trên thực tế).
Hướng dẫn
a/ Khảng cách trên thực tế của hai điểm là:
125.500000 (mm) = 125500 (m) = 62.5 (km).
b/ Khảng cách giữa hai thành phố trên bản đồ là:
350 km: 500000 = 350000:500000 (m) = 0.7 m
23