tuyển tập đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 hay

Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013
PHÒNG GD-ĐT NINH HÒA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC: 2009-2010
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian
phát đề)
Bài 1: (3đ) Chứng minh đẳng thức:
5 3 29 12 5− − −
= cotg45
0
Bài 2: (4đ) Cho biểu thức
( ) ( )
( )
2
4 1 4 1
1
1
1
4 1
x x x x
Q
x
x x
− − + + −
 
= × −
 ÷
−
 
− −
a) Tìm điều kiện của x để Q có nghĩa

b) Rút gọn biểu thức Q
Bài 3: (3,5đ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 4y x x y
M
xy
− + −
=
Bài 4: (3,75đ) Chứng minh rằng nếu
( ) ( )
2 2
1 1
x yz y xz
x yz y xz
− −
=
− −

với
, 1, 1, 0, 0, 0x y yz xz x y z
≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠

thì
1 1 1
x y z
x y z
+ + = + +
Bài 5: (3,75đ) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm cạnh BC. Từ
đỉnh M vẽ góc 45
0
sao cho các cạnh của góc này lần lượt cắt AB, AC tại E, F.

Chứng minh rằng:
EF
1
4
M ABC
S S
∆ ∆
<
Bài 6: (2đ) Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O ; R), ta kẻ hai tiếp tuyến AB và
AC với đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường
thẳng đi qua các trung điểm của AB và AC. Kẻ tiếp tuyến MK của đường tròn (O).
Chứng minh MK = MA
Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ
1
ĐỀ CHÍNH
THỨC
Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010
Bài
Nội dung – Yêu cầu
Điể
m
1
5 3 29 12 5− − −
( )
2
5 3 2 5 3
= − − −

5 6 2 5= − −

( )
2
5 5 1
= − −
= 1
= cotg45
0
1đ
0,5đ
0,75đ
0,25đ
0,5đ
2a Q có nghĩa
1x
⇔ >
và
2x
≠
0,5đ
2b
( ) ( )
( )
2
4 1 4 1
1
1
1
4 1

x x x x
Q
x
x x
− − + + −
 
= × −
 ÷
−
 
− −
( ) ( )
2
1 2 1 1 1 2 1 1
2
1
4 4
x x x x
x
Q
x
x x
− − − + + − + − +
−
= ×
−
− +
( ) ( )
( )
2 2

2
1 1 1 1
2
1
2
x x
x
Q
x
x
− − + − +
−
= ×
−
−
1 1 1 1
2
2 1
x x
x
Q
x x
− − + − +
−
= ×
− −
* Nếu 1 < x < 2 ta có:
1 1 1 1 2
2 1
x x x

Q
x x
− − + − + −
= ×
− −
2
1
Q
x
=
−
* Nếu x > 2 ta có:
0,75đ
0,75đ
0,25đ
Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ
2
Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013
1 1 1 1 2
2 1
x x x
Q
x x
− − + − + −
= ×
− −
2
1
Q
x

=
−
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25
3
Với điều kiện
1, 4x y
≥ ≥
ta có:
M =
4
1
y
x
x y
−
−
+
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm,
Ta có:
( )
1 1
1 1 1
2 2
x x
x x
+ −

− = − ≤ =

1 1
2
x
x
−
⇒ ≤
(vì x dương)
Và:
( )
1 1 4 4
4 4 4
2 2 2 4
y y
y y
+ −
− = − ≤ × =

4
1
4
y
y
−
⇒ ≤
(vì y dương)
Suy ra: M =
4
1 1 1 3

2 4 4
y
x
x y
−
−
+ ≤ + =
Vậy giá trị lớn nhất của M là
3
4

⇔
x = 2, y = 8
0,25đ
0,75đ
0,5đ
0,75đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
4
( ) ( )
2 2
1 1
x yz y xz
x yz y xz
− −
=
− −
( )

( )
( )
( )
2 2
x yz y xyz y xz x xyz
⇔ − − = − −
2 3 2 2 2 2 3 2 2 2
0x y x yz y z xy z xy xy z x z x yz
⇔ − − + − + + − =
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 3 3 2 2 2 2 2 2
0x y xy x yz xy z x z y z x yz xy z⇔ − − − + − − − =
( )
( ) ( )
( )
2 2 2 2 2
0xy x y xyz x y z x y xyz x y
⇔ − − − + − − − =
( ) ( ) ( )
2
0x y xy xyz x y z x y xyz
 
⇔ − − + + + − =
 
( ) ( )
2
0xy xyz x y z x y xyz⇔ − + + + − =
(vì
0x y x y
≠ ⇒ − ≠

)
( )
2
xy xz yz xyz x y xyz
⇔ + + = + +
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ
3
B
F
A
B
C
M
P
Q
N K
E
A
P
I
Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013
( )
2
xyz x y xyz
xy xz yz

xyz xyz
+ +
+ +
⇔ =
(vì
0xyz
≠
)
1 1 1
x y z
x y z
⇔ + + = + +
0,5đ
0,5đ
0,5đ
5
Kẻ MP
⊥
AB tại P, MQ
⊥
AC tại Q
Kẻ Ex // AC, EC cắt MQ tại K và cắt MF tại N
Do
∠
EMF = 45
0
nên tia ME, MF nằm giữa hai tia MP và MQ
1
2
MEN MEK MPEK

S S S
∆ ∆
⇒ < =
và
1
2
FEN QEK QAEK
S S S
∆ ∆
< =
(
FEN QEK
S S
∆ ∆
<
vì có cùng chiều cao nhưng đáy
EN bé hơn đáy EK)
Suy ra:
1 1
2 2
MEN FEN APMQ MEF APMQ
S S S S S
∆ ∆ ∆
+ < ⇔ <
(*)
Chứng minh được:
1
2
MAP MAB
S S

∆ ∆
=

1
2
MAQ MAC
S S
∆ ∆
=

1
2
APMQ ABC
S S
∆
⇒ =
(**)
Từ (*) và (**) ta có:
EF
1
4
M ABC
S S
∆ ∆
<
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
6
Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ
4
O
C
K
Q
M
Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013
Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AB,AC. Giao điểm của OA và PQ
là I.
AB và AC là hai tiếp tuyến nên AB = AC và AO là tia phân giác của
∠
BAC
⇒ ∆
PAQ cân ở A và AO
⊥
PQ
Áp dụng Pitago ta có:
MK
2
= MO
2
– R
2
(

∆
MKO vuông tại K)
MK
2
= (MI
2
+ OI
2
) – R
2
(
∆
MOI vuông tại I)
MK
2
= (MI
2
+ OI
2
) – (OP
2
– PB
2
) (
∆
BOP vuông tại B)
MK
2
= (MI
2

+ OI
2
) – [(OI
2
+ PI
2
) – PA
2
] (
∆
IOP vuông tại I và PA =
PB)
MK
2
= MI
2
+ OI
2
– OI
2
+ (PA
2
– PI
2
)
MK
2
= MI
2
+ AI

2
(
∆
IAP vuông tại I)
MK
2
= MA
2
(
∆
IAM vuông tại I)
⇒
MK = MA
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
PHÒNG GD&ĐT PHÚ GIÁO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9
TRƯỜNG THCS AN BÌNH (Thời gian : 120 phút)

Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ
5
Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013
Bài 1(1,5đ): Cho biểu thức
2 3
3 3 3

1
3 3 27 3
x
Q
x
x x x
  
= + + +
 ÷ ÷
 ÷ ÷
+ + −
  
a/ Rút gọn Q
b/ Tính giá trị của Q khi
3 2010x = +
Bài 2(1đ): Rút gọn biểu thức
4 7 4 7M = + − −
Bài 3(1đ): Chứng minh rằng với mọi a,b,c ta có
2 2 2
a b c ab bc ac
+ + ≥ + +
Bài 4(2đ):a/ Cho a + b = 2.T ìm giá trị nhỏ nhất của A = a
2
+ b
2
b/ Cho x +2y = 8 . T ìm giá trị lớn nhất của B=xy
Bài 5(2đ): Giải phương trình
2 2
9 6 9 0x x x− + − + =
b/

2 2
4 4 0x x− − + =
Bài 6(2,5đ): Cho hình vuông cạnh a. Đường tròn tâm O, bán kính a cắt OB tại
M .D là điểm đối xứng của O qua C . Đường thẳng Dx vuông góc với CD tại D cắt
CM tại E. CA cắt Dx tại F. Đặt
·
MDC
α
=
a/ Chứng minh AM là phân giác của
·
FCB
. Tính độ dài DM, CE theo a và
α
b/ Tính độ dài CM theo a . Suy ra giá trị của
sin
α
Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ
6
Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ
7
Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013
Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ
Bài Nội dung Biểu
chấm
1(1,5đ) a.(1đ)
A =









++








−
+
++
1
3
327
3
33
3
32
x
x
xxx

ĐKXĐ: x
≠
0; x
≠
3
=








++








++−
+
++ x
xx
xxxxx 3
33
)33)(3(

3
33
3
2
22
=








++








++−
+−
x
xx
xxx
x
3

33
)33)(3(
33)3(
2
2

3
1
−
=
x
b. (0,5 đ) Thay x =
3
+2010 vào A ta có:
A
3
1
−
=
x

2010
1
320103
1
=
−+
=
0.25
0.25

0.25
0.25
0,5
2(1đ)
Rút gọn biểu thức
4 7 4 7M = + − −
( ) ( )
2 2
4 7 4 7
8 2 7 8 2 7
2 2
1 7 1 7
2 2
1 7 7 1
2 2
2
M
M
M
M
M
= + − −
+ −
= −
+ −
= −
+ −
= −
=
0.25

0.25
0.25
0.25
3(1đ)

0.25
0.25
0.5
4(2đ) a/ Cho a + b = 2.T ìm giá trị nhỏ nhất của A = a
2
+ b
2
( )
( ) ( )
( )
2
2
2
2 2
2
min
2 2
2
2 4 4
2 2 2 . 2 2 2
2 2 2
2
2
a b b a
A a a

A a a
A a a
A a
A
A
+ = ⇒ = −
= + −
= − +
= − + +
= − +
≥
=
8
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 0
0
a b c ab bc ac
a b c ab bc ac
a ab b b bc c a ac c
a b b c a c
+ + ≥ + +
⇔ + + ≥ + +
⇔ − + + − + + − + ≥
⇔ − + − + − ≥
·

·
·
ECF ACM MDC
α α
= = ⇒ =
Giỏo ỏn BDHSG Toỏn 9 Nm hc: 2012-2013
Phòng GD- ĐT vĩnh tờng
Trờng THCS vũ di
==========
Đề thi khảo sát học sinh giỏi (10 - 2010)
Môn: Toán 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề )

Bài 1. (1,5 điểm)
Rút gọn các biểu thức sau :
a)A =
51
1
+
+
95
1
+
+
139
1
+
+
20052001
1

+
+
20092005
1
+
b) B = x
3
- 3x + 2000 với x =
3
223 +
+
3
223
B i 2 (2,0 i m) Gi i cỏc ph ng trỡnh sau:
a) 3x
2
+ 4x + 10 = 2
2
14 7x
b)
2 4 2 2
4 4
4 16 4 1 2 3 5x x x x y y y + + + + =
c) x
4
- 2y
4
x
2
y

2
4x
2
-7y
2
- 5 = 0; (vi x ; y nguyờn)
Gv: Nguyn Vn Tỳ Trng THCS Thanh M
9
Giỏo ỏn BDHSG Toỏn 9 Nm hc: 2012-2013
Bài 3: (2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng với hai số thực bất kì
,a b
ta luôn có:
2
2
a b
ab
+


ữ

.
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
b) Cho ba số thực
, ,a b c
không âm sao cho
1a b c
+ + =
.

Chứng minh:
16b c abc
+
. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
c) Với giá trị nào của góc nhọn

thì biểu thức
6 6
sin cosP

= +
có giá trị bé
nhất ? Cho biết giá trị bé nhất đó.
Bài 4: (1,5 điểm)
Một đoàn học sinh đi cắm trại bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22 ngời thì còn thừa
một ngời. Nếu bớt đi một ô tô thì có thể phân phối đều tất cả các học sinh lên các
ô tô còn lại. Hỏi có bao nhiêu học sinh đi cắm trại và có bao nhiêu ô tô ? Biết
rằng mỗi ô tô chỉ chở không quá 30 ngời.
Bài 5 ( 3,0 điểm )
1)Cho hình thoi ABCD cạnh a , gọi R và r lần lợt là các bán kính các đờng tròn
ngoại tiếp các tam giác ABD và ABC.
a) Chứng minh :
2 2 2
1 1 4
R r a
+ =
b) Chứng minh :
3 3
2 2 2
8

( )
ABCD
R r
S
R r
=
+
; ( Kí hiệu
ABCD
S
là diện tích tứ giác ABCD )
2) Cho tam giác ABC cân tại A có
ã
0
108BAC =
.Chứng minh :
BC
AC
là số vô tỉ.
===============================================
Gv: Nguyn Vn Tỳ Trng THCS Thanh M
10
Giỏo ỏn BDHSG Toỏn 9 Nm hc: 2012-2013
Phòng GD- ĐT vĩnh tờng
Trờng THCS vũ di

Hd chấm Đề thi khảo sát học sinh giỏi (10 - 2010)
Môn: Toán 9

Bài Sơ lợc lời giải

Cho
điểm
Bài 1.b
(1,5 đ)
áp dụng công thức (a+b)
3
=a
3
+b
3
+3ab(a+b), với a=
3
223 +
, b=
3
223
và biến đổi => x
3
= 6 + 3x
Suy ra B = 2006
0,75
a
Có A =
15
15


+
59
59

+
913
913


+ +
20012005
20012005


+
20052009
20052009



Rút gọn, đợc A =
4
12009
.
0,75
Bài 2a
(2,0đ)
Gi i, xỏc nh ỳng i u ki n:
2 2
;
2 2
x x

<

2 2 2
4 4 2 1 2 2 1. 7 7x x x x+ + + +
= 0
2
( 2) ( 2 1 7) 0x x + + =
2
2
2 0
2
2
2 1 7 0
2
x
x
x
x
x
x
=

+ =


=
=

=




=


(Th a món)
0,25
0,25
0,25
b
i u ki n :
2
2
2 2
4 0 (1)
16 0 (2)
4 1 0 (3)
2 3 0 (4)
x
x
x
x y y

+


+

T (2)

(x
2
4)(x
2
+ 4)
2
0 4 0x
k t h p v i (1) v (3) suy ra x
= 2
Thay v o (4): y
2
2y + 1
0
; ỳng v i m i giỏ tr c a y.
Thay x = 2 v o ph ng trỡnh v gi i ỳng, tỡm c y = 1,5
V y nghi m c a ph ng trỡnh: (x = 2; y = 1,5)
0.5
0,25
c Bi n i a c pt v d ng: (x
2
2y
2

5)(x
2
+ y
2
+1) = 0

x
2
2y 5 = 0

x
2
= 2y
2
+ 5

x l
t x = 2k + 1 ; ( k
Z
)

4k
2
+ 4k +1 = 2y
2
+ 5

2y
2
= 4k

2
+ 4k 4

y
2
= 2(k
2
+ k 1)

y ch n
t y = 2n; (n
Z
)

4n
2
= 2(k
2
+ k 1)

2n
2
+ 1 = k(k + 1)
(*)
Nhỡn v o (*) ta cú nhn xột: V trỏi nhn giỏ tr l, v phi nhn giỏ tr
chn (Vỡ k v k + 1 l hai s nguyờn liờn tip)

(*) vụ nghim

pt ó

cho vụ nghim
0,25
0,25
Gv: Nguyn Vn Tỳ Trng THCS Thanh M
11
Giỏo ỏn BDHSG Toỏn 9 Nm hc: 2012-2013
Bài 3a
(2,0đ)
Ta có:
2
2 2 2 2
2 2
2 4 4
a b a ab b a ab b
ab ab
+ + + +

= =
ữ

( )
2
0, ,
4
a b
a b

= R
Vậy:
( )

2
2
, , 4 , ,
2
a b
ab a b a b ab a b
+

+
ữ

R R
Dấu đẳng thức xảy ra khi
a b=
0,25
0,25
b
Theo kết quả câu 3.a, ta có:
( ) ( ) ( )
2 2
4a b c a b c a b c

+ + = + + +

mà
1a b c+ + =
(giả thiết)
nên:
( ) ( )
2

1 4 4a b c b c a b c + + +
(vì a, b, c không âm nên b + c không
âm)
Nhng:
( )
2
4b c bc+
(không âm)
Suy ra:
16b c abc+
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
1 1
,
4 2
a b c
b c a
b c
= +

= = =

=

0,25
0,25
0,25
c
Ta có:
( ) ( )

3 3
6 6 2 2
sin cos sin sP co

= + = +

( )
2 2 4 2 2 4
sin cos sin sin cos cosP


= + +

( )
2
2 2 2 2 2 2
sin cos 3sin cos 1 3sin cosP

= + =
áp dụng kết quả câu 3.1, ta có:
( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2
1
sin cos 4sin cos 1 4sin cos sin cos
4

+
Suy ra:
2 2

3 1
1 3sin cos 1
4 4
P

= =
Do đó:
min
1
4
P =
khi và chỉ khi:
2 2
sin cos sin cos

= =
(vì

là góc
nhọn)
0
sin
1 1 45
cos
tg



= = =
0,25

0,25
0,25
Bài 4
(1,5đ)
+ Gọi số ô tô lúc đầu là
x
( x nguyên và x 2)
Số học sinh đi cắm trại là: 22x + 1.
+ Theo giả thiết: Nếu số xe là
1x

thì số học sinh phân phối đều cho tất
cả các xe, mỗi xe chở số học sinh là y (y là số nguyên và 0 < y 30).
0,25
0,25
Gv: Nguyn Vn Tỳ Trng THCS Thanh M
12
Giỏo ỏn BDHSG Toỏn 9 Nm hc: 2012-2013
+ Do đó ta có phơng trình:
( )
22 1 23
1 22 1 22
1 1
x
x y x y
x x
+
= + = = +

0,25

+ Vì x và y đều là số nguyên dơng, nên
1x
phải là ớc số của 23.
Mà 23 nguyên tố, nên:
1 1 2x x = =
hoặc
1 23 24x x = =
Nếu
2x =
thì
22 23 45 30y = + = >
(trái giả thiết)
Nếu
24x
=
thì
22 1 23y = + =
< 30 (thỏa điều kiện bài toán).
+ Vậy số ô tô là: 24 và tổng số học sinh đi cắm trại là:

22 24 1 23 23 529ì + = ì =
học sinh.
0,25
0,25
0,25
Bài 5
(3,0đ)
I
E
K

M
D
O
A
C
B
Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC
là đờng trung trực của đoạn thẳng
BD,BD là đờng trung trực của
AC.Do vậy nếu gọi M,I,K là giao
điểm của đờng trung trực của đoạn
thẳng AB với AB,AC,BD thì ta có
I,K là tâm đờng tròn ngoại tiếp các
tam giác ADB,ABC
Từ đó ta có KB = r và IB = R.Lấy
một điểm E đối xứng với điểm I qua
M , Ta có BEAI là hình thoi ( vì có
hai đờng chéo EI và AB vuông góc
với nhau và cắt nhau tại trung điểm
mỗi đờng )
0,25
1a
Ta có
ã
ã
BAI EBA=
mà
ã
ã
0

90BAI ABO+ =
ã
ã
0
90EBA ABO + =
0,25
Xét

EBK có
ã
0
90EBK =
,đờng cao BM.Theo hệ thức trong tam giác
vuông ta có
2 2 2
1 1 1
BE BK BM
+ =
0,25
Mà BK = r , BE = BI = R; BM =
2
a
Nên
2 2 2
1 1 4
R r a
+ =
(Đpcm)
0,25
1b

Xét
AOB

và
AMI
có
ã
ã
0
90AOB AMI= =
và
à
A
chung
AOB AMI

:
2
.
2
AO AM AM AB AB
AO
AB AI AI R
= = =
Chứng minh tơng tự ta đợc
2
.
2
BM AB AB
BO

BK r
= =
0,25
0,25
Ta có
4
2. . 2.
4
ABCD
AB
S AO OB
Rr
= =
Mà theo định lí Pi ta go trong tam giác vuông AOB ta có
2 2 2 4
2 2
1 1 1
4
AB OA OB AB
R r

= + = +
ữ

2 2
2
2 2
4R r
AB
R r

=
+
Từ đó ta có :
3 3
2 2 2
8
( )
ABCD
R r
S
R r
=
+
0,25
0,25
Gv: Nguyn Vn Tỳ Trng THCS Thanh M
13
1
a b c d+ + +
Giỏo ỏn BDHSG Toỏn 9 Nm hc: 2012-2013
2
x
C
D
B
A
0,25
Kẻ tia Cx sao cho CA là tia phân giác của
ã
BCx

, tia Cx cắt đờng thẳng AB
tại D.Khi đó Ta có
ã
ã
0
36DCA ACB= =
DCA

cân tại C ,
BCD

cân tại B
AB AC DC = =
.Theo tính chất đờng phân giác trong tam giác BCD ta có
;
CB AB BC CA
BC BD
CD AD CA BD CA
= = =


2 2 2
2 2
( ) . 0
1 5
1 0
2 4
BC CA
BC BC CA CA BC BC CA CA
CA BC CA

BC BC BC
CA CA CA
= = =


= =
ữ ữ ữ

0,25
0,25
1 5
2
BC
CA
+
=
( Vì
0)
BC
CA
>
.Vậy
BC
AC
là số vô tỉ
0,25
PHềNG GD-T HUYN LONG IN K THI CHN HC SINH GII
CP HUYN
NM HC 2009-2010

MễN THI : TON
Thi gian : 150 phỳt ( Khụng k thi gian giao )
Ngy thi: 16/01/2010
Bai 1(4)
a) Tớnh tng:
b) Cho a, b, c, d l cỏc s dng v
a c
b d
=
. Hóy trc cn thc mu ca biu
thc sau:
Bi 2: (4)
a) (2) Bit rng a,b l cỏc s tho món a > b > 0 v a.b = 1
Chng minh :
2 2
2 2
a b
a b
+


b) (2) Tỡm tt c cỏc s t nhiờn
abc
cú 3 ch s sao cho :
Gv: Nguyn Vn Tỳ Trng THCS Thanh M
14
2 2 2 2

15 35 63 399
P

= + + + +
CHNH
Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013

( )
2
2
1
2
abc n
cba n

= −


= −


với n là số nguyên lớn hơn 2
Bài 3: (4đ)
a) (2đ) Phân tích thành nhân tử:
M =
1xxx1x7
23
−+−−−
với
1x ≥
b) (2đ) Giải phương trình

83xx326x

3
2
=++++
Bài 4: (2.đ) Cho đường thẳng (d) có phương trình:
( 2) ( 3) 8x m m y m+ + − = −
a) (0,5đ) Xác định m để đường thẳng (d) đi qua điểm P(-1;1).
b) (1,5đ) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn luôn đi qua
một điểm cố định.
Bài 5: (2 đ)
Cho
∆
ABC đều điểm M nằm trong
∆
ABC sao cho AM
2
= BM
2
+ CM
2
. Tính số đo
góc BMC ?
Bài 6 : (4,0 đ )
Cho nửa đường tròn đường kính BC=2R, tâm O cố định. Điểm A di động
trện nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của điểm A lên BC. Gọi Dvà E lần lượt là
hình chiếu của H lên AC và AB.
a) Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB
2

b) Xác định vị trí điểm A sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính
diện tích lớn nhất đó theo R.

HẾT
ĐÁP ÁN
Bài 1(4đ, mỗi bài 2 điểm)
a)
2 2 2 2

15 35 63 399
P = + + + +
2 2 2 2

3.5 5.7 7.9 19.21
= + + + +
1 1 1 1 1 1 1 1

3 5 5 7 7 9 19 21
= − + − + − + + −
1 1
3 21
= −
2
7
=
b)
Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ
15
(0,5
điểm)
(0,75
điểm)
(0,5

điểm)
(0,25
điểm)
1
( ) ( )a d b c
=
+ + +
1
a b c d
+ + +
a d b c
a d b c
+ − −
=
+ − −
Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013
(0,5 điểm).
(0,5 điểm).
(0,5 điểm)
.

2 2
a c
do ad bc ad bc
b d
 
= ⇒ = ⇒ =
 ÷
 

(0.5 điểm)
Bài 2: ( 2 điểm )
* Vì a.b = 1 nên
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2
2
a b ab a b
a b
a b
a b a b a b a b
− + − +
+
= = = − +
− − − −
( 1 đ )
* Do a > b > 0 nên áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương
Ta có :
( ) ( )
2 2
2a b a b
a b a b
− + ≥ − ×
− −
Vậy
2 2
2 2
a b

a b
+
≥
−
( 1đ )
1) ( 2 đđiểm )
Viết được
2
2
100 10 1
100 10 4 4
abc a b c n
cba c b a n n

= + + = −


= + + = − +


Từ (1) và (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – 5 => 4n – 5
M
99 (3) ( 0,75
đ )
Mặt khác : 100
2 2
1 999 101 1000 11 31n n n≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
39 4 5 119n⇔ ≤ − ≤
(4) ( 0,75đđ )
Từ (3) và (4) => 4n – 5 = 99 => n = 26

Vậy số cần tìm
675abc =
( 0,5 đ )
Bài 3( 4đ)
a) (2 điểm) M =
1xxx1x7
23
−+−−−
với
1x ≥
)1xx7(1x −+−−=
(0,25đ)
)
4
25
4
1
1x1x(1x
−+−−−−−=
(0,5đ)
Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ
16
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
a d b c
a d b c a d b c
+ − +
=
   
+ + + + − +

   
2 ( 2 )
a d b c
a d ad b c bc
+ − −
=
+ + − + +
2 2
a d b c
a d ad b c bc
+ − −
=
+ + − − −
Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013








−






−−−−=

4
25
2
1
1x1x
2
(0,5đ)
( )( )
21x31x1x +−−−−−=
(0,5đ)
( )( )
21x1x31x +−−−−=
(0,25đ)
b) (2đ) Giải phương trình
83xx326x
3
2
=++++
(1)
Ta nhận thấy x = 1 là nghiệm của PT (1) (0,75đ)
Với
1x0 <≤
thì:
831132613xx326x
3
2
3
2
=++++<++++
Nên PT vô nghiệm với

1x0 <≤
(0,5đ)
Với x >1 Thì:
831132613xx326x
3
2
3
2
=++++>++++
Nên PT vô nghiệm với x >1 (0,5đ)
Vậy PT (1) có nghiệm duy nhất x = 1 (0,25đ)
Bài 4: (2 điểm)
a) Vì đường thẳng (d) đi qua P(-1;1) nên
( 2).( 1) ( 3).1 8 5 8 3.m m m m m+ − + − = − ⇔ − = − ⇒ =
(0,5 điểm)
b) Gọi
( )
0 0
;x y
là tọa độ điểm cố định mà (d) đi qua
Ta có:
0 0
( 2) ( 3) 8m x m y m m+ + − = − ∀
. (0,5đ)
( )
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
( 1) 2 3 8 0 .
1 0 1

2 3 8 0 2
x y m x y m
x y x
x y y
⇔ + − + − + = ∀
+ − = = −
 
⇒ ⇔
 
− + = =
 
Vậy điểm cố định mà (d) đi qua là (-1;2) (1đ)
Bài 5:
Vẽ tam giác đều CMN

(1 điểm)

mà
2 2 2
AM BM CM= +
2 2 2
BN BM MN⇔ = +
BMN⇔ ∆
vuông tại M.
·
·
·
0 0 0
90 60 150BMC BMN NMC⇒ = + = + =
. (1 điểm)

Bài 6: (4,0 đ)
a) Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB
2

Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật (1,0 đ)
AB . EB = HB
2

Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ
17
BCN ACM
BN AM
⇒ ∆ = ∆
⇒ =
Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013
AC . EH = AC . AD = AH
2
=> ĐPCM (1 điểm)
b) S
(ADHE
)= AD.AE
≤

2 2 2 2
2 2 2
AD AE DE AH+
= =
(0,75 đ)
⇒
S

(ADHE)

≤
2 2 2
2 2 2
AH AO R
≤ =
(0,75 đ)
Vậy Max S
(ADHE
)=
2
2
R
Khi AD = AE
Hay A là điểm chính giữa của cung AB (0,5 đ)
UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2009-2010
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG I
Bài 1: (1.5 điểm)
Thực hiện tính:
24
422
2
2
++−

−+
xx
xx
với
362 +=x
Bài 2: (2.5 điểm)
Giải các phương trình:
a.
2455
22
−=++−+ xxxx
b.
322323
22
−++−=+++− xxxxxx
Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ
18
O
B
C
A
H
D
E
Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013
Bài 3: (2.0 điểm)
a. Chứng minh phương trình (n+1)x
2
+ 2x - n(n+2)(n+3) = 0 luôn có nghiệm
hữu tỉ với mọi số n nguyên.

b. Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình x
2
+ 2009x + 1 = 0
x
3
, x
4
là nghiệm của phương trình x
2
+ 2010x + 1 = 0
Tính giá trị của biểu thức: (x
1
+x
3
)(x
2
+ x
3
)(x
1
-x
4
)(x
2
-x
4

)
Bài 4: ( 3.0 điểm)
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB,
AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) tại
M. Trên cung nhỏ MC của (O) lấy điểm D. AD cắt (O) tại điểm thứ hai E. I là trung
điểm của DE. Đường thẳng qua D vuông góc với BO cắt BC tại H và cắt BE tại K.
a. Chứng minh bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn.
b. Chứng minh ∠ ICB = ∠ IDK
c. Chứng minh H là trung điểm của DK.
Bài 5: ( 1.0 điểm)
Cho A(n) = n
2
(n
4
- 1). Chứng minh A(n) chia hết cho 60 với mọi số tự nhiên
n.
UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2009-2010
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG II
Bài 1: (2.0 điểm)
a) Chứng minh bất đẳng thức:
1 1 4
a b a b
+ ≥
+
. Với

;a b
là các số dương.
b) Cho
;x y
là hai số dương và
1x y
+ =
.Tìm giá trị nhỏ nhất của

xy
P
2
1
=
;
2 2
2 3
M
xy x y
= +
+
.
Bài 2: (2.0 điểm)
Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ
19
Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013
Giải hệ phương trình:




+=++
=+
243
11
22
yxyx
yx
Bài 3: (2.0 điểm)
Hình chữ nhật ABCD có M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD. Trên
tia đối của tia CB lấy điểm P. DB cắt PN tại Q và cắt MN tại O. Đường thẳng qua
O song song vơi AB cắt QM tại H.
a. Chứng minh HM = HN.
b. Chứng minh MN là phân giác của góc QMP.
Bài 4: (3.0 điểm)
Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB. EF là dây cung di động trên nửa
đường tròn sao cho E thuộc cung AF và EF = R. AF cắt BE tại H. AE cắt BF tại C.
CH cắt AB tại I
a. Tính góc CIF.
b. Chứng minh AE.AC + BF. BC không đổi khi EF di động trên nửa đường
tròn.
c. Tìm vị trí của EF để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất. Tính diện tích đó.
Bài 5: (1.0 điểm)
Tìm ba số nguyên tố mà tích của chúng bằng năm lần tổng của chúng.
UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2009-2010
Môn: Toán
HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG I
Bài 1: (1.5 điểm)

Thực hiện tính:
24
422
2
2
++−
−+
xx
xx
với
362 +=x

2
1
)22(2
)22(
2)2)(2(
)2)(2(222
2
+
=
++−+
−++
=
++−+
−++−++
=
xxxx
xx
xxx

xxxx
0,75
Thay
362 +=x
vào được:
23
23
1
)23(
1
3262
1
2
−=
+
=
+
=
++
0,75
Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ
20
Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013
Bài 2: (2.5 điểm)
Giải các phương trình:
a.
2455
22
−=++−+ xxxx
24545

22
=++−++ xxxx
.
Đặt
45
2
++= xxy
(y ≥ 0) được: y
2
- y - 2 = 0
0,50
Giải phương trình được: y
1
= -1 (loại); y
2
= 2. 0,25
Với y = 2 giải
245
2
=++ xx
được x
1
= 0; x
2
= -5. 0,25
Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm 0,25
Ghi chú: Có thể đặt y = x
2
+ 5x. Lúc này cần đặt điều kiện khi bình phương
hai vế.

b.
322323
22
−++−=+++− xxxxxx
)3)(1(23)2)(1( +−+−=++−− xxxxxx
0,25
032)32(1 =++−−+−−− xxxxx
0)11)(32( =−−+−− xxx
0,50
032 =+−− xx
vô nghiệm;
011 =−−x
được x = 2. 0,25
Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm. 0,25
Bài 3: (2.0 điểm)
a.Chứng minh Phương trình (n+1)x
2
+ 2x - n(n+2)(n+3) = 0 luôn có nghiệm hữu tỉ
với mọi số n nguyên.
n =-1: Phương trình có nghiệm. Với n ≠ -1 ⇒ n+1≠0.
∆’= 1+ n(n+2)(n+3)(n+1)
= 1+ (n
2
+ 3n)(n
2
+3n+2) = (n
2
+ 3n)
2
+ 2(n

2
+ 3n) + 1 =(n
2
+ 3n + 1)
2
.
0,50
∆’≥ 0 nên phương trình luôn có nghiệm.
0,25
∆’ chính phương, các hệ số là số nguyên nên các nghiệm của phương trình là
số hữu tỉ.
0,25
b. Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình x
2
+ 2009x + 1 = 0
x
3
, x
4
là nghiệm của phương trình x
2
+ 2010x + 1 = 0
Tính giá trị của biểu thức: (x
1
+x
3

)(x
2
+ x
3
)(x
1
-x
4
)(x
2
-x
4
)
Giải:
Chứng tỏ hai phương trình có nghiệm.
Có: x
1
x
2
= 1x
3
x
4
= 1 x
1
+x
2
= -2009 x
3
+ x

4
= -2010
0,25
Biến đổi kết hợp thay: x
1
x
2
= 1; x
3
x
4
= 1
(x
1
+x
3
)(x
2
+ x
3
)(x
1
-x
4
)(x
2
-x
4
) = (x
1

x
2
+ x
2
x
3
- x
1
x
4
-x
3
x
4
)(x
1
x
2
+x
1
x
3
-x
2
x
4
-x
3
x
4

)
= (x
2
x
3
- x
1
x
4
)(x
1
x
3
-x
2
x
4
)
= x
1
x
2
x
3
2
- x
3
x
4
x

2
2
- x
3
x
4
x
1
2
+x
1
x
2
x
4
2
= x
3
2
- x
2
2
- x
1
2
+ x
4
2
= (x
3

+ x
4
)
2
- 2x
3
x
4
-( x
2
+ x
1
)
2
+ 2x
1
x
2

0,50
Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ
21
Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013
= (x
3
+ x
4
)
2
-( x

2
+ x
1
)
2
Thay x
1
+x
2
= -2009; x
3
+ x
4
= -2010 được : 2010
2
- 2009
2
=2010+2009 =4019 0,25
Ghi chú: Có thể nhân theo nhóm [(x
1
+x
3
)(x
2
+ x
3
)].[(x
1
-x
4

)(x
2
-x
4
)]
Bài 4: ( 3.0 điểm)
OB ⊥ BA; OC ⊥ CA ( AB, AC là các tiếp tuyến)
OI ⊥ IA (I là trung điểm của dây DE) .
⇒ B, O, I, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO.
0,75
∠ICB = ∠IAB ( Cùng chắn cung IB đường tròn đường kính AO) (1)
DK // AB (Cùng vuông góc với BO)
⇒ ∠ IDK = ∠IAB (2)
Từ (1) và (2) được: ∠ ICB = ∠ IDK
1.0
∠ ICB = ∠ IDK hay ∠ ICH = ∠ IDH ⇒ Tứ giác DCIH nội tiếp.
⇒ ∠HID = ∠ HCD
∠ HCD = ∠ BED (Cùng chắn cung DB của (O))
⇒ ∠HID = ∠ BED ⇒ IH // EB
⇒ IH là đường trung bình của DEK ⇒ H là trung điểm của DK
1,25
(Mỗi bước cho 0,25 điểm)
Bài 5: ( 1.0 điểm)
Chứng minh A(n) = n
2
(n
4
- 1). chia hết cho 60 với mọi số tự nhiên n.
- A(n) = n.n(n
2

- 1)( n
2
+ 1) = n.n(n - 1)(n+1)( n
2
+ 1). Do n(n - 1)(n+1)
chia hết cho 3 nên A(n) chia hết cho 3 với mọi n.
0,25
- A(n) = n
2
(n
4
- 1) = n(n
5
- n). Do n
5
- n chia hết cho 5 theo phecma nên
A(n) chia hết cho 5 với mọi n.
0,25
- Nếu n chẵn ⇒ n
2
chia hết cho 4 ⇒ A(n) chia hết cho 4. Nếu n lẻ ⇒ (n-1)
(n+1) là tích hai số chẵn nên nó chia hết cho 4. ⇒ A(n) chia hết cho 4 với
mọi n.
0,25
- Ba số 3,4,5 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A(n) chia hết cho 3.4.5 hay 0,25
Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ
22
OA
B
C

I
D
E
K
H
M
Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013
A(n) chia hết cho 60.
(Mỗi bước cho 0,25 điểm)
UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2009-2010
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG II
Bài 1: (2.0 điểm)
a. Chứng minh bất đẳng thức:
1 1 4
a b a b
+ ≥
+
. Với
;a b
là các số dương.
b. Cho
;x y
là hai số dương và
1x y
+ =

.Tìm giá trị nhỏ nhất của
Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ
23
Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013

xy
P
2
1
=
;
2 2
2 3
M
xy x y
= +
+
.
1 1 4
a b a b
+ ≥
+

( ) ( )
04
4
22
≥−⇔≥+⇔
+
≥

+
⇔ baabba
baab
ba
0,50
2
1.2
4
)(2
4
22
1
==
+
≥
+
==
yxxy
yx
xy
P
0,50
P đạt giá trị nhỏ nhất tại: x = y =
2
1
0,25
hoặc:
2
2
1

4
1
4
1
)(42
222
≥⇔≥⇔≤⇔+≤⇔+≤
xyxy
xyyxxyyxxy
2 2
2 3
M
xy x y
= +
+
=
14122
)(
3.4
2
1
2
3.4
2
13
2
4
22222
=+≥
+

+=
++
+≥
+
+
yx
xy
yxyx
xy
yx
xy
0,50
-
xy2
1
đạt GTNN tại x = y =
2
1
.
-
22
3
2
3
yx
xy
+
+
đạt GTNN tại x = y =
2

1
. Nên M đạt GTNN tại x = y =
2
1
.
0,25
Bài 2: (2.0 điểm)
Giải hệ phương trình:



+=++
=+
243
11
22
yxyx
yx
- Đặt S = x + y; P = xy được:



+=+
=−
243
112
2
PS
PS
0,25

-
0)2817(2
2
=+−+⇒ SS
0,25
- Giải phương trình được
23
1
+=S
;
25
2
−−=S
0,25
-
23
1
+=S
được
23
1
=P
;
25
2
−−=S
được
258
2
+=P

0,25
- Với
23
1
+=S
;
23
1
=P
có x, y là hai nghiệm của phương trình:
023)23(
2
=++− XX
0,25
- Giải phương trình được
2;3
21
== XX
.
0,25
- Với
25
2
−−=S
được
258
2
+=P
có x, y là hai nghiệm của phương trình:
0258)25(

2
=++++ XX
. Phương trình này vô nghiệm.
0,25
- Hệ có hai nghiệm:



=
=
2
3
y
x
;



=
=
3
2
y
x
0,25
Bài 3: (2.0 điểm)
-Chứng tỏ MBND là hình bình hành ⇒ O là
trung điểm của MN.
- OH // AB ⇒ OH ⊥ MN.
0,75

Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ
24
A B
C
D
P
M
N
Q
O
H
Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013
- ⇒∆HMN cân tại H (Trung tuyến vừa là
đường cao) ⇒ HM = HN.
- OH // BM được:
OB
OQ
HM
HQ
=
- ON // BP được:
NP
NQ
OB
OQ
=
⇒
NP
NQ
HM

HQ
=
⇒ NH//PM
⇒ ∠ HNM = ∠ NMP
⇒ ∠ HMN = ∠ NMP ⇒ MN là phân giác
của góc QMP
1,25
Mỗi bước cho 0,25 điểm
Bài 5: (1.0 điểm)
Tìm ba số nguyên tố mà tích của chúng bằng năm lần tổng của chúng.
Giải:
Gọi a,b,c là ba số nguyên tố cần tìm ta có: abc = 5(a+b+c). Tích ba số nguyên
tố abc chia hết cho 5 nên có một số bằng 5.
0,25
Giả sử a = 5 được 5bc = 5(5+b+c) ⇔ bc = 5+b+c.
⇔ bc -b - c + 1 = 6 ⇔ (b-1)(c-1) = 6.
0,50
b,c là các số nguyên dương có vai trò như nhau nên ta có các hệ:



=
=
⇔



=−
=−
7

2
61
11
c
b
c
b
và



=
=
⇔



=−
=−
4
3
31
21
c
b
c
b
Kết luận: Ba số nguyên tố cần tìm là 2, 5, 7
0,25
Bài 4: (3.0 điểm)

Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ
25
A
B
E
F
C
H
I
O