19 chuyên đề toán luyện thi đại học môn toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.44 MB, 49 trang )
Trang 1
TRUNG TÂM BDVH VÀ LTĐH THỦ KHOA
Website: www.luyenthithukhoa.vn
Forum: diendan.giasuthukhoa.net
TÀI LIỆU
LUYỆN THI ĐẠI HỌC
MÔN TOÁN
THEO CHUYÊN ĐỀ
Chủ đề 1.
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Giải các phương trình, bất phương trình sau
1. [ĐHQG – Khối D – 1997]
16 17 8 23
x x .
2. [ĐHQG – Khối B – 1997]
2
6 5 8 2
x x x
.
3.
2 2
5 10 1 7 2
x x x x
.
4. [ĐHBK – 1999]
1 3 4
x x
.
5. [Khối A – 2004]
2
2( 16)
7
3 .
3 3
x
x
x
x x
6.
3
2 1 2 1 .
2
x
x x x x
7. [BCVT – 2000]
2 1 2 1 2.
x x x x
8.
8 2 7 1 2 7 4.
x x x x
9.
3
2 1 1
x x
.
10. [Khối A – 2009]
3
2 3 2 3 6 5 8 0
x x .
11.
3
3
1 2 2 1
x x
.
12. [ĐHQG – 1994]
3 2
3
3 3 3 3 1 3
x x x x .
13. [ĐHAN – 2000]
2
4 9
7 7
28
x
x x với
0.
x
Trang 2
14.
2 2
26 26 1
x x x x .
15. [QS – 1999]
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2.
x x x x x
16. [ĐHYD – 1997]
2 2
2(1 ) 2 1 2 1
x x x x x
.
17.
2 2
( 3) 5 2 7 3
x x x x
.
18.
5 1
5 2 4.
2
2
x x
x
x
19. [ĐHSP – 2001]
4
2 3 2 2 3 (3 2)( 2)
x x x x
.
20.
2 2
3 3
3
5
( 2) ( 3) ( 2)( 3)
2
x x x x
.
21. Tìm nghiệm nguyên của phương trình
2
12 1 36.
x x x
22. [Khối D – 2006]
2
2 1 3 1 0.
x x x
23. [HVNH – 1999]
2 2
( 4) 4 ( 2) 2.
x x x x x
24.
2
3
3 3
1 2 1 3 2.
x x x x
25. [Khối D – 2006]
2
2 7 2 1 8 7 1.
x x x x x
26. [ĐHXD – 1997]
2
3 4 2
2
x x
x
.
27. [ĐHNN – 1998]
2
1 1 4
3.
x
x
28. [Khối A – 2010]
2
1.
1 2( 1)
x x
x x
29. [BCVT- 2001]
1
4 1 3 2 ( 3).
5
x x x
30.
1 1 .
x x x
31.
2
2
4( 1) (2 10) 1 3 2 .
x x x
32.
2
1 1 4 3 .
x x x
33.
3 3 3
1 2 2 3
x x x .
34. [ĐHAN – 2001]
3 3 3
1 2 3 0.
x x x
35.
2
( 1) ( 2) 2 .
x x x x x
36. [ĐHKTr – 2001]
2 2
4 3 2 3 1 1.
x x x x x
37.
2 2 2
2 12 22 3 18 36 2 12 13.
x x x x x x
38.
2
2 4 6 11.
x x x x
39. [ĐHXD – 1992]
2
1 2 1 2 2 .
x x x
40.
2 2
(2 1) 2 4 4 4 3 2 9 3 0.
x x x x x
Chủ đề 2.
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Trang 3
Giải các phương trình, bất phương trình mũ sau
1.
2
7
7 6.(0,7)
100
x
x
x
.
2.
(2,5) 2.(0,4) 1,6 0.
x x
3. [Dự bị - Khối B – 2005]
2
2
2
2
1
9 2 3.
3
x x
x x
4.
2 2 2 2
4 4
4 2 12 0.
x x x x
5. [ĐHBK – 1997]
2
1
2
1
3 .
3
x x
x x
6.
2 1
3
1 1
27 12.
3 3
x x
7. [ĐHYD HN – 2000]
3
3( 1)
1 12
2 6.2 1.
2 2
x x
x x
8. [Khối B – 2007]
2 1 2 1 2 2 0.
x x
9.
6 6
1
10 3 10 3 .
x
x
x
10.
4 15 4 15 62.
x x
11.
1
4 4 7 4 7 3 .
x x
x
12.
2 2
2
1
5 1 2 3 5 1 .
x x x x
x x
13. [Khối A – 2006]
3.8 4.12 18 2.27 0.
x x x x
14. [ĐH Thủy Lợi – 2000]
2 2
2 1 2 2
2 9.2 2 0.
x x x x
15. [ĐHSPHN – 2000]
2 4 4
3 8.3 9.9 0.
x x x x
16.
2
5.2 2.5 7.10 .
x
x x
17. [ĐHQG – 2000]
8.3 3.2 24 6 .
x x x
18.
1
15 9.5 3 27.
x x x
19. [HVQHQT – 1999]
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1.
x x x x x x
20. [Khối D – 2006]
2 2
2
2 4.2 2 4 0.
x x x x x
21. [Khối D – 2010]
3 3
2 2 2 2 4 4
4 2 4 2 .
x x x x x x
22.
2
2
3 3 0.
x x
x x
23.
2 2
cos sin
2000 2000 cos2 0.
x x
x
24. [ĐHYDHN – 1999]
2.2 3.3 6 1.
x x x
25. [TCKT – 1997]
25 2(3 )5 2 7 0.
x x
x x
26. [BCVT – 1998]
2 3 2 3 4 .
x x
x
27.
2 3 2 3 2 .
x x
x
28.
2 2
2 2 2 4 3 2
2 3 4 2 .
x x x x
x x
29. [Khối D – 2006]
1
4 2 2(2 1)sin(2 1) 2 0.
x x x x
y
Trang 4
30. [ĐHQG – 1996]
2 2
sin cos
8 8 10 cos2 .
x x
y
Chủ đề 3.
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Giải các phương trình, bất phương trình mũ sau
1.
2 2
log (2 4) log (2 12) 3.
x x
x
2. [Khối D – 2008]
2
1
2
3 2
log 0.
x x
x
3.
2
1 ( 1)
3 .2 6.
x x
4. [ĐHKT – 1998]
1
5 .8 500.
x
x
x
5. [Mỏ - 2001] Tìm tích các nghiệm của phương trình
6
log 3 5 7
36 0.
x
x x
6. [ĐHCĐ – 2000]
3
3
2 2
4
log log .
3
x x
7.
4 1
4
3 1 3
log 3 1 log .
16 4
x
x
8.
4 2 2 3
lg ( 1) lg ( 1) 25.
x x
9.
3
4 2 2
2 2 2 1
2
2
32
log log 9log 4log .
8
x
x x
x
10. [ĐHSPHN – 2001]
2 2
9 3
log (3 4 2) 1 log (3 4 2).
x x x x
11.
2 2 2
3 3 3
2log ( 4) 3 log ( 2) log ( 2) 4.
x x x
12. [ĐHBK – 1999]
2
lg10 lg lg100
4 6 2.3
x x x
.
13. [Khối B – 2004]
3
log log 3.
x
x
14. [ĐHYDHN – 1997]
2
2
log 64 log 16 3.
x
x
15. [ĐHBK – 2000]
2 3
4 8
2
log ( 1) 2 log 4 log (4 ) .
x x x
16. [BCVT – 2000]
2 2
9 3
3
1 1
log ( 5 6) log log 3 .
2 2
x
x x x
17.
2 2
1 2 1 3
log (6 5 1) log (4 4 1) 2.
x x
x x x x
18.
2
2
sin
sin
log (1 cos2 ) log 2.
x
x
x
19.
2 7 2 7
2
log log log log 0.
2 7
x x
x
x
20.
3
3 2 3 2
3
log log log log 1.
3
x
x x
x
21.
1
2
2
(4 2.2 3)log 3 4 4 .
x
x x x
x
22.
2 2
3 8 3 8
2log 1 log 1 6.
x x x x
23. [ĐHYHN – 1999]
3 5 5 9
log log log 3log 225.
x x
Trang 5
24.
2 3
3 2
log ( 1) log ( 1)
x x
.
25.
2
6 6
log log
6 12.
x x
x
26. [Khối A – 2004]
2 2
1 3
log log
2 2
2. 2 .
x x
x
27.
2 2
3 2
log (9 11) log (9 30).
x x x x
28.
2
log 4 log 2.
x x
29.
2 2
2 2
2 7 12 1 14 2 24 2 log .
x
x x x x
x x
30.
2
3 3
log ( 1) ( 5)log ( 1) 2 6 0.
x x x x
31.
2
2 1 1
3
1
log ( 1) 1 3 .
2
x
x
32. [Khối B – 2008]
2
0,7 6
log log 0.
4
x x
x
33. Tìm tập xác định của hàm số
0,5 3
1
log log .
1
x
y
x
34. Tìm tập xác định của hàm số
2
1
log 6 5 2
x
y x x
35. Tìm tập xác định của hàm số
2
2 2
log ( 2)log 2 2
x
y x .
Chủ đề 4.
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Giải các phương trình sau
1.
2 2
3 cos 2sin cos 3sin 1 0.
x x x x
2.
cos7 cos5 3sin2 1 sin7 sin5 .
x x x x x
3.
4 4
4(sin cos ) 3sin 4 2.
x x x
4. [ĐHTH – 1994]
2sin 4 sin 3cos .
x x x
5. [Khối D – 2004]
sin sin 2 3(cos cos2 )
x x x x
.
6. [Khối A – 2009]
(1 2sin )cos
3.
(1 2sin )(1 sin )
x x
x x
7. [CĐCN – 2005]
2
3sin 2 2 2 sin 6 2.
x x
8. [ĐHAN – 1998]
1
3sin cos .
cos
x x
x
9. [NN1 – 1999]
2
sin (tan 1) 3sin (cos sin ) 3.
x x x x x
10. [Khối B – 2008]
3 3 2 2
sin 3 cos sin cos 3sin cos .
x x x x x x
11.
3 2
cos sin 3sin cos 0.
x x x x
12.
2
2
(1 cos2 )
sin 2cos2 .
2sin2
x
x x
x
13.
2 2
2sin 2sin tan .
4
x x x
Trang 6
14. [ĐHQG – 1999]
sin cos sin cos 2.
x x x x
15.
3 2
3
1 sin cos cos2 .
2
x x x
16. [ĐHCĐ – 1997]
2(sin cos ) tan cot .
x x x x
17.
2
4
cos cos .
3
x
x
18. [Khối B – 2002]
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6 .
x x x x
19.
2 2 2 2
sin 1,5 sin 2,5 sin 5,5 sin 6,5
4 4
x x x x
.
20. [ĐH Dược – 1999]
2 2
sin 4 cos 6 sin(10,5 10 )
x x x
.
21.
2 2
5 9
cos3 sin7 2sin 2cos .
4 2 2
x x
x x
22. [BCVT – 2001]
3 3
4sin cos3 4cos sin3 3 3 cos4 3.
x x x x x
23. [ĐH Mở - 2000]
3 3
2
cos cos3 sin sin3 .
4
x x x x
24. [Khối A – 2006]
3 3
2 3 2
cos3 cos sin3 sin
8
x x x x
.
25.
3
cos8 3cos4 3cos 2 8cos cos 3 0,5.
x x x x x
26.
6 3 4
8 2cos 2 2 sin sin3 6 2 cos 1 0
x x x x
.
27. [ĐHNT – 2000]
8 8 10 10
5
sin cos 2(sin cos ) cos2
4
x x x x x
.
28. [HVMM – 1999]
8 8
17
cos sin .
32
x x
29.
8 8 2
17
cos sin cos 2 .
16
x x x
30. [ĐHGT – 1999]
4 4
7
sin cos cot cot
8 3 6
x x x x
.
31. [ĐHCĐ – 1999]
1 sin cos sin 2 cos2 0
x x x x
.
32. [Khối A – 2007]
2 2
(1 sin )cos (1 cos )sin 1 sin 2 .
x x x x x
33. [ĐHYHN – 1996]
(cos sin )sin cos cos cos2 .
x x x x x x
34. [HVKTQS – 1999]
3 3
2sin sin 2cos cos cos2
x x x x x
.
35. [ĐHNT – 1999]
sin sin 2 sin3 cos cos 2 cos3 .
x x x x x x
36. [HVNH – 1999]
3 2
cos cos 2sin 2 0.
x x x
37. [ĐHYHN – 1995]
2
(2sin 1)(2cos2 2sin 1) 3 4cos
x x x x
.
38. [ĐHQG – 2001]
2sin 2 cos2 7sin 2cos 4.
x x x x
39.
4 6
cos cos2 2sin 0.
x x x
40. Tìm nghiệm trên
[0,14]
của
cos3 4cos2 3cos 4 0
x x x
.
41. [ĐH Luật – 1999]
4(sin3 cos2 ) 5(sin 1).
x x x
42. [HVQY – 1997]
4 2
(sin 3)sin (sin 3)sin 1 0
2 2
x x
x x .
43. [Khối A – 2005]
2 2
cos 3 cos2 cos 0.
x x x
Trang 7
44. [ĐHQG – 2000]
1 3tan 2sin 2 .
x x
45. [HVNH – 1998]
2 cos 2tan .
2
x
x
46.
3
sin 3sin .
4 2 4 2
x x
47. [ĐHQG – 1999]
3
8cos cos3 .
3
x x
48. [HVKTQS – 1998]
cos2 3sin 2 cos 3sin 4 0.
x x x x
49. [Khối D – 2005]
4 4
3
cos sin cos sin 3 0
4 4 2
x x x x .
50. [Khối D – 2007]
2 2 sin cos 1.
12
x x
51. [Khối D – 2009]
3cos5 2sin 3 cos2 sin 0.
x x x x
52. [Khối B – 2009]
3
sin cos sin 2 3cos3 2(cos4 sin )
x x x x x x
.
53. [ĐHVH – 1997]
1 cos2 1
2 cos
sin 2
x
x
x
.
54.
sin3 sin
sin 2 cos2
1 cos2
x x
x x
x
với
0 2 .
x
55.
2
1 cos2
1 cot 2 .
sin 2
x
x
x
56.
2 4
sin 2 cos 2 1
0
sin cos
x x
x x
.
57.
(1 sin cos2 )sin
1
4
cos .
1 tan
2
x x x
x
x
58. [Khối B – 2003]
2
2 3 cos 2sin
2 4
1
2cos 1
x
x
x
.
59. [Khối A – 2006]
6 6
2(cos sin ) sin cos
0.
2 2sin
x x x x
x
60.
sin sin 2 sin3
3.
cos cos2 cos3
x x x
x x x
61. [Khối B – 2003]
2
cot tan 4sin 2 0.
sin 2
x x x
x
62. [ĐHQG – 2000]
cot tan 2tan2 4tan 4 8 0
x x x x
.
63.
cot 2 2 tan 4 tan2 4 3.
x x x
64. [ĐHYHP – 2001]
3tan 2cot 2 tan 2 .
x x x
65. [ĐHGT – 1997]
3(cot cos ) 5(tan sin ) 2.
x x x x
66.
sin cos
2tan 2 cos2 0.
sin cos
x x
x x
x x
67.
3 2(sin cos )
2tan 2 sin 2 1.
2 sin cos
x x
x x
x x
68.
2
2 sin 2cos 2 0.
x x x x
69.
cos (1 2) cos (1 2) 1
x x
.
70.
2
cos ( 2)
2
x
x
.
Trang 8
Chủ đề 5.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Giải các hệ phương trình sau
1. [ĐHSP – 2000]
2 2
4 4 2 2
7
21
x y xy
x y x y
2. [Khối B – 2005]
2 2
4
( 1) ( 1) 2
x y x y
x x y y y
.
3.
30
35
x y y x
x x y y
.
4.
2 2
3 3
3
3
2( ) 3
6
x y x y xy
x y
.
5.
2 2
2 8 2
4
x y xy
x y
.
6.
2 2
2 2
12
12
x y x y
y x y
.
7. [Khối A – 2006]
3
1 1 4
x y xy
x y
.
8.
2 2
2 2
( )( ) 3
( )( ) 15
x y x y
x y x y
.
9.
2 2 2
2 2
19( )
7( )
x xy y x y
x xy y x y
.
10.
2 2 2 2
1 2
( )(1 ) 1
x y x y xy
x y xy xy
.
11. [ĐHYHN – 2001]
2 2
4
( 1)( 1) 4
x y x y
xy x y
.
12. [ĐHAN – 2001]
2
( 2)(2 ) 9
4 6
x x x y
x x y
.
13. [ĐHAN – 1999]
2 2
2 2
1 1
4
1 1
4
x y
x y
x y
x y
.
14. [ĐHNT – 1999]
2 2
2 2
1
( ) 1 5
1
( ) 1 49
x y
xy
x y
x y
.
15. [ĐHTM – 2001]
3 3 3
2 2
1 19
6
x y x
y xy x
.
16. [Khối B – 2009]
2 2 2
1 7
1 13
xy x y
x y xy y
.
17.
3 3 2 2 3
1 1
( 1) 1 4
1 4
x x
y y
x y x y xy y
.
Trang 9
18.
2 2
2 2
4
4
x y y
xy x
.
19. [Khối B – 2003]
2
2
2
2
2
3
2
3
y
y
x
x
x
y
.
20. [Khối A – 2003]
3
1 1
2 1
x y
x y
y x
.
21.
2 2
2 3 0
2
x xy y
x x y y
.
22. [ĐHXD – 1997]
2 2 2 2
(2 ) 5(4 ) 6(2 ) 0
1
2 3
2
x y x y x y
x y
x y
.
23.
3 3
2 2 3
1
2 2
x y
x y xy y
.
24. [ĐHAN – 1997]
3 3
5 5 2 2
1
x y
x y x y
25.
2004 2004 2003 2003
2
x y
x y x y
.
26. [ĐHTM – 1997]
1
4
9
x xy y
y yz z
z zx x
.
27. [ĐHBK – 1997]
2 2 2
2
7
21
x y z
x y z
y zx
.
28. [ĐHVH – 2001]
1 7 4
1 7 4
x y
y x
.
29.
5 2 7
5 2 7
x y
y x
.
30.
2 2
7 7
1
1
x y
x y
31.
6 6
1
1
x y
x y
.
32.
2 2 2
2 3
2 0
2 4 3 0
x y x y
x x y
.
33. [ĐHKT – 1998]
2
3 2
5 4 0
3 9 10 0
x x
x x x
.
34.
2
2
( 4)( 1) ( 5)
2
log ( 2)
x
x x y y
x
y
y
.
Trang 10
35.
2 6 2
2 3 2
x
y x y
y
x x y x y
.
36.
3 3
2 2
4 16
1 5(1 )
x y y x
y x
.
37.
2 3 4 6
2
2 2
( 2) 1 ( 1)
x y y x y
x y x
.
38. [Khối D – 2008]
2 2
2
2 1 2 2
xy x y x y
x y y x x y
.
39. [Khối A – 2008]
2 3 2
4 2
5
4
5
(1 2 )
4
x y x y xy xy
x y xy x
.
40. [Khối B – 2008]
4 3 2 2
2
2 2 9
2 6 6
x x y x y x
x xy x
.
41. [Khối D – 2002]
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
.
42.
2
2 2
16 6
5 5
y y
y y
x
x yx y
.
43.
(7 4 3) 2(2 3) 3
(7 4 3) 2(2 3) 3
x y
y x
.
44. [Khối D – 2004]
2 2
1
2 2
x y x
x y y x
x y
.
45. [Mỏ - 2001]
4
4
4
4
( )3 1
8( ) 6 0
y x
x y
x y
x y
.
46. [Khối A – 2004]
1 4
4
2 2
1
log log 1
25
y x
y
x y
.
47. [ĐHBK – 1994]
3
2
log 3
(2 12)3 81
x
x y
y y y
.
48. [Khối B – 2002]
4 2
4 3 0
log log 0
x y
x y
.
49. [Khối B – 2005]
2 3
9 3
1 2 1
3log (9 ) log 3
x y
x y
.
50. [BCVT – 1999]
3 3
4 32
log ( ) 1 log ( )
x y
y x
x y x y
.
51. [TCKT – 2000]
8 8
log log
4 4
4
log log 1
y
x y x
x y
.
Trang 11
52.
2 2
log log log log
lg lg 8
x x y y
y x
x y
.
53. [ĐHNT – 1999]
2 2
3 3
(log log )( 2)
16
x y y x xy
x y
.
54. [ĐHQG – 1995]
2 2
2 2 ( )( 2)
2
x y
y x xy
x y
.
55. [Khối A – 2010]
2
2 2
(4 1) ( 3) 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x
.
Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ đưa về hệ
56.
3
1 2 4 3
x x .
57.
4 4
18 1 3
x x
.
58.
3 33 3
35 35 30.
x x x x
59.
1995 1975
2004 2005 1
x x
.
60.
3 2
5 1 2( 2)
x x .
Chủ đề 6.
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
1. Cho
, , 0.
a b c Chứng minh
a)
3 3 3 2 2 2
.
a b c a b b c c a
b)
3 3 3 2 2 2
a b c a bc b ca c ab
.
2. a) Cho
, , , 0
a b c d . Chứng minh rằng
3 3 3 3
2 2 2 2
.
a b c d
a b c d
b c d a
b) [HVQHQT – 1996] Cho
, , 0, 1
x y z x y z . Chứng minh
5 5 5
4 4 4
1
x y z
y z x
.
3. Cho
0.
a b
Chứng minh
a)
2
4
4
( )
a
b a b
.
b)
2
4
3
( )( 1)
a
a b b
.
4. [Khối B – 2007] Cho
, , 0.
x y z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 1 1
2 2 2
x y z
P x y z
yz zx xy
.
5. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
4 3 2
2
4 8 8 5
2 2
x x x x
y
x x
.
6. Cho
0 3,0 4
x y . Tìm giá trị lớn nhất của
(3 )(4 )(2 3 )
A x y x y
.
Trang 12
7. Cho
3, 4, 2
a b c . Tìm giá trị lớn nhất của
2 3 4
ab c bc a ca b
A
abc
.
8. [ĐH Thái Nguyên – 2000] Cho
, , 1.
a b c
Chứng minh
1 1
a b b a ab
.
9. Cho
, , 0
a b c và
3
a b c . Chứng minh rằng:
a)
3 3 3
3
a b c
.
b)
9 9 9 3 3 3
a b c a b c
.
c)
3 3 3
3
a b c
.
d)
5 5 5
3
a b c .
10. [Khối D – 2005] Cho
, , 0
a b c thỏa mãn
3
4
a b c
.
Chứng minh rằng
3 3 3
3 3 3 3.
a b b c c a
Dấu “=” xảy ra khi nào?
11. Cho
, , 0
a b c
. Chứng minh rằng
a)
3 3 3
a b c a b c
b c a b c a
.
b)
3 3 3
a b c a b c
b c a c a b
.
c)
3
3
3 3
1 1
a a
b b
b a b a
.
d)
3
3
3 3
1 1
a b
b a
b a a b
.
12. Cho
, ,
a b c
là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh
a)
2 2 2
a b c
a b c
b c a c a b a b c
.
b)
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
.
c)
2 2 2
2 2 2 3
a b c a b c
b c c a a b
.
13. [Khối B – 2005] Cho
, , 0
x y z và
1
xyz . Chứng minh rằng
2 2 2
3
1 1 1 2
x y z
y z x
.
14. [Khối B – 2006] Cho
, 0
x y và
4
x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của
2 3
2
3 4 2
4
x y
A
x y
.
15. Cho
, , 0
a b c . Chứng minh rằng
3
2
a b c
b c c a a b
.
16. [ĐHYHP – 2000] Cho
, ,
a b c
là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh
rằng
3
a b c
b c a c a b a b c
.
17. [Khối A – 2007] Cho
, , 0
x y z và
1
xyz . Tìm giá trị nhỏ nhất của
Trang 13
2 2 2
( ) ( ) ( )
x y z y z x z x y
P
y y z z z z x x x x y y
.
18. Cho
, , 0
a b c và
2 2 2
1
a b c
. Chứng minh rằng
a)
bc ca ab
a b c
a b c
.
b)
3
bc ca ab
a b c
.
19. [Khối B – 2005] Chứng minh rằng với mọi
,
x
ta có
12 15 20
3 4 5
5 4 3
x x x
x x x
.
20. Cho
, 0
a b . Chứng minh rằng
2 2
1 1 2
1
1 1
xy
x y
.
21. [ĐHNT – 1997] Cho
, , 0
a b c và
6.
a b c
Tìm giá trị lớn nhất
của
1 1 1
a b c
A
a b c
.
22. [ĐHBK – 1990] Cho
, , 0
a b c
. Chứng minh rằng
2 2 2
1 1 1
2
a b c
a bc b ca c ab abc
.
23. Cho
, 0
a b
và
1 1
2.
a b
Chứng minh rằng
a)
2 1
(2 ) 9
a b
a b
.
b)
1 1 2
2 2 3
a b a b
.
24. [Khối A – 2005] Cho
, , 0
x y z và
1 1 1
4.
x y z
Chứng minh
1 1 1
1
2 2 2
x y z y z x z x y
.
25. [Khối D – 2002] Cho tam giác
ABC
có diện tích là
2
3
. Chứng minh
1 1 1 1 1 1
3
a b c
a b c h h h
.
26. Cho
, , , 0
a b c d . Chứng minh rằng:
a)
3 3 3 3
2 2 2 2
a b c d
a b c d
b c d a
.
b)
3 3 3 3 2 2 2 2
1 1 1 1
a b c d
b c d a a b c d
.
27. Cho
, 0
a b và
1.
a b
Chứng minh rằng:
a)
2 2
1 1
6
ab a b
.
b)
2 2
2 3
14
ab a b
.
28. [ĐHNT – 1995] Cho
, 0
x y và
1.
x y Tìm giá trị nhỏ nhất của
2 2
1 1
4
P xy
x y xy
.
Trang 14
29. Cho
, , 0
a b c và
3
2
a b c .
Chứng minh rằng
1 1 1 15
2
a b c
a b c
.
30. Cho
, , 0
a b c
và
3
2
a b c
.
Chứng minh rằng
2 2 2
2 2 2
1 1 1 3 17
2
a b c
a b c
.
31. [Khối A – 2003] Cho
, , 0
a b c và
1.
a b c Chứng minh
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82
a b c
a b c
.
32. [Khối A – 2005] Chứng minh rằng với mọi
, 0
x y thì
2
9
(1 ) 1 1 256
y
x
x
y
.
Khi nào dấu “=” xảy ra?
33. [Khối B – 2002] Cho
, 0
x y và
5
4
x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của
4 1
4
S
x y
34. Cho
, , 0
a b c và
2 2 2
1
a b c . Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 2
3 3
2
a b c
b c c a a b
.
35. [Khối D – 2005] Cho
, , 0
x y z thỏa mãn
1
xyz . Chứng minh
3 3 3 3
3 3
1 1
1
3 3
x y y z
z x
xy yz zx
.
Hỏi dấu “=” xảy ra khi nào?
36. [ĐHQG – 1999] Cho
, , 0
a b c . Chứng minh
2
ab bc ca a b c
a b b c c a
.
37. [ĐHYHN – 1999] Cho
, , 0
x y z và
1 1 1
2
1 1 1
x y z
. Chứng
minh rằng
8
xyz .
38. Cho tam giác
ABC
có các cạnh
, ,
a b c
. Chứng minh rằng
3
aA bB cC
a b c
.
39. [BCVT – 1998] Cho
3.
a b c Chứng minh rằng
4 4 4 3 3 3
a b c a b c
.
40. [ĐHYHN – 1999] Chứng minh rằng với mọi
x
, ta có
a)
6 3 2
1 0
x x x x
.
b)
( 1)( 4)( 5)( 8) 37 0
x x x x
.
41. Cho
, , (0;1)
a b c . Chứng minh trong các bất đẳng thức sau, có ít nhất
một bất đẳng thức sai:
Trang 15
1 1 1
(1 ) , (1 ) , (1 )
4 4 4
a b b c c a .
42. Cho
0.
a
Chứng minh rằng
3 2
3
1 .
a a a
43. Chứng minh rằng
2 ln ln
x y x y
x y
với mọi
0
x y .
44. Cho
0 1.
a b
Chứng minh rằng
(1 )
ln 4( )
(1 )
b a
b a
a b
.
45. [Cao đẳng – 2009] Cho
0 1
a b
. Chứng minh rằng
2 2
ln ln ln ln
a b b a a b
.
46. [Khối D – 2007] Cho
0
a b
. Chứng minh rằng
1 1
2 2
2 2
b a
a b
a b
.
47. a) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
2
3
1
x
y
x
.
b) Cho
1
a b c . Chứng minh rằng
2 2 2
1 1 1 10
a b c .
48. [Khối B – 2003] Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
2
4
y x x
.
49. [Khối B – 2004] Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên
3
[1, ]
e
của hàm số
2
ln
x
y
x
.
50. Tìm giá trị lớn nhất trên
[ 5;5]
của hàm số
3 2
3 72 90
y x x x .
51. [Khối D – 2010] Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
2 2
4 21 3 10
y x x x x
.
52. [ĐHGT – 1997] Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
2
1
sin cos
2
y x x .
53. [Khối B – 2003] Tìm max, min trên
[ 1;1]
của hàm số
6 2 3
4(1 )
y x x
.
54. [Khối D – 2009] Cho
1.
x y Tìm min, max của biểu thức
2 2
(4 3 )(4 3 ) 25 .
S x y y x xy
55. [Khối B – 2009] Cho các số thực
,
x y
thay đổi và thỏa mãn điều kiện
3
( ) 4 2
x y xy
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
4 4 2 2 2 2
3( ) 2( ) 1
A x y x y x y
.
56. [Cao đẳng – 2008] Cho
2 2
2
x y . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
biểu thức
3 3
2( ) 3 .
P x y xy
57. [Khối A – 2006] Cho
0
xy thỏa mãn
2 2
( ) .
xy x y x y xy
Trang 16
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
3 3
1 1
A
x y
.
58. [Khối B – 2006] Tìm giá trị nhỏ nhất của
2 2 2 2
( 1) ( 1) 2
A x y x y y .
59. [Khối B – 2008] Cho ,
x y thỏa mãn
2 2
1
x y
. Tìm giá trị nhỏ
nhất của
2
2
2( 6 )
1 2 2
x xy
P
xy y
.
60. [ĐHBK – 1991] Cho đường thẳng
( ) :3 2 1 0
d x y và đường tròn
2 2
( ):( 1) ( 2) 2
C x y .
a) Tìm
( , ) ( )
M x y d
sao cho
2 2
x y
đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tìm
( , ) ( )
N x y C
sao cho
x y
đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Chủ đề 7.
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ THAM SỐ
(Ta hiểu nghiệm của các phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
sau là thuộc số thực).
1. [Khối B – 2006] Tìm
m
để phương trình
2
2 2 1
x mx x
có hai
nghiệm phân biệt.
2. [Khối B – 2007] Tìm
m
để phương trình
4
4
13 1 0
x x m x có
đúng một nghiệm.
3. [Dự bị Khối B – 2007] Tìm
m
để phương trình
2
4
1
x x m
có
nghiệm thực.
4. Lập bảng biến thiên cho hàm số
2 2
1 1
y x x x x
.
5. Tìm
m
để phương trình
4 4
1 1
x x x x m
có nghiệm duy
nhất.
6. [Khối B – 2007] Cho phương trình
2
2 8 ( 2)
x x m x
.
Chứng minh rằng với mọi
,
m
phương trình trên có hai nghiệm thực phân
biệt.
7. [Khối B – 2004] Tìm
m
để phương trình sau có nghiệm:
2 2 4 2 2
1 1 2 2 1 1 1
m x x x x x
.
8. [Khối A – 2007] Tìm
m
để
2
4
3 1 1 2 1
x m x x có nghiệm
thực.
9. [Khối D – 2007] Tìm
m
để phương trình sau có đúng hai nghiệm
3 2 4 6 4 5
x x x x m
.
10. Tìm
m
để phương trình
3
3
3 3
x m x m
có đúng hai nghiệm.
11. [ĐHKT – 1994] Cho bất phương trình
3 1
mx x m .
a) Giải bất phương trình với
1
.
2
m
Trang 17
b) Tìm
m
để bất phương trình có nghiệm.
12. Cho
2
(4 )(6 ) 2
x x x x m
.
a) Giải bất phương trình khi
12
m
.
b) Tìm
m
để bất phương trình nghiệm đúng với
[ 4;6]
.
13. [Khối A – 2007] Cho
2
2 2 1 (2 ) 0.
m x x x x
Tìm
m
để bất phương trình có nghiệm
[0;1 3]
x
.
14. [ĐHGT – 1999] Tìm
m
để phương trình
32 2
1 2 1
x x m
có
nghiệm duy nhất.
15. Tìm
m
để phương trình
2
2 1
x
x x x m
có nghiệm duy nhất.
16. Cho phương trình
7 3 5 7 3 5
8
2 2
x x
a .
a) Giải phương trình khi
7.
a
b) Tìm
a
để phương trình có đúng một nghiệm.
17. Tìm
m
để phương trình sau có nghiệm
2 2
4 2 2
3 2.3 2 3 0
x x
m
.
18. [Khối B – 2002] Tìm
a
để phương trình sau có nghiệm
2 2
1 1 1 1
9 ( 2)3 2 1 0
x x
a a .
19. [ĐHBK – 1990] Tìm
a
để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt
2
2
2
1
1
3
x x
a a .
20. Tìm
a
để bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi
:
x
2
.9 ( 1).3 1 0
x x
a a a
.
21. [ĐHTCKT – 1999] Tìm
m
để bất phương trình sau có nghiệm đúng với
mọi
1
2
x :
22. [ĐH Thủy Lợi – 1996] Tìm
y
để bất phương trình sau có nghiệm đúng
với mọi
x
:
2
1 1 1
2 2 2
2 log 2 1 log 2 1 log 0
1 1 1
y y y
x x
y y y
.
23. Tìm
x
để phương trình sau nghiệm đúng với mọi
:
a
2
2 3 2 2
2
2
log 5 6 log 3 1
a
a x a x x x
.
24. Tìm
m
để phương trình
2
2
lg 2 lg 1 0
x mx x có nghiệm duy
nhất.
25. [Khối A – 2002] Cho phương trình
2 2
3 3
log log 1 2 1 0
x m
.
a) Giải phương trình khi
2.
m
b) Tìm
m
để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc
3
[1;3 ]
.
26. [Khối B – 2003] Cho phương trình
2
2 1
2
4 log log 0
x x m .
Trang 18
Tìm
m
để phương trình có nghiệm thuộc khoảng
(0;1).
27. [ĐHQG – 1997] Cho
0 1
a
. Giải bất phương trình sau
log ( )
4
( )
a
ax
x ax
.
28. [ĐHKT – 1998] Cho phương trình
2
log 4( 2)
3
( 2) 2 ( 2)
x
m
x x
.
a) Giải phương trình khi
2.
m
b) Tìm
m
để phương trình có hai nghiệm phân biệt trên
5
;4
2
.
29. Tìm
m
để
4 4 2
1
sin cos cos2 sin 2 0
4
x x x x m
có nghiệm.
30. [Khối D – 2002] Cho
4 4
2(sin cos ) cos4 2sin 2 0
x x x x m
. Tìm
m
để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc
0; .
2
31. Cho phương trình
3 3
cos sin
x x m
.
a) Giải phương trình khi
1.
m
b) Tìm
m
để phương trình có nghiệm trên
; .
4 4
32. [ĐHXD – 1994] Tìm
m
để phương trình sau có nghiệm
6 6
sin cos sin 2
x x m x
.
33. Tìm
m
để phương trình sau có nghiệm
2
2
3
3tan (tan cot ) 1 0
sin
x m x x
x
.
34. Tìm
m
để
2
cos2 cos 1 tan
x m x x
có nghiệm thuộc
0;
3
.
35. Giải và biện luận phương trình
2
3
2 (sin cos ) 2 cos sin
2
m x x m x x .
36. [Khối A – 2002] Cho phương trình
2sin cos 1
sin 2cos 3
x x
a
x x
.
a) Giải phương trình với
1
.
3
a
b) Tìm
a
để phương trình trên có nghiệm.
37. Tìm nghiệm trên
3
;
4
của phương trình
2 2 2 2
sin sin cos cos cos sin
a x a x a x a x x x
.
38. Cho hàm số
( ) cos cos2 cos3
f x a x b x c x
.
Chứng minh rằng nếu
( ) 0
f x với mọi
x
thì
0
a b c
.
39. [Khối D – 2004] Tìm
m
để hệ sau có nghiệm
1
1 3
x y
x x y y m
40. Tìm
m
để hệ sau có nghiệm
4 1 4
3
x y
x y m
.
41. [ĐH Mỏ - 2001] Giải và biện luận
2
1
2 .4 2
a x y xy
x y a
.
Trang 19
42. [ĐH Mỏ - 1996] Tìm
a
để hệ sau có nghiệm
4 4
2
x y
x y a
.
43. [ĐH Thái Nguyên – 2001] Cho
,
x y
là nghiệm của hệ phương trình
2 2 2
6
x y a
x y a
.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
2( )
A xy x y
.
44. [ĐHNT – 1997] Tìm
m
để hệ có nghiệm
2 2
8
(1 )(1 )
x y x y
xy x y m
.
45. [Khối D – 2007] Tìm
m
để hệ sau có nghiệm
3 3
3 3
1 1
5
1 1
15 10
x y
x y
x y m
x y
.
46. Tìm
a
để hệ có nghiệm
2
3 3
3
2
1
log log 0
2
0
x y
x y ay
.
47. [ĐH Dược – 1997] Chứng minh rằng với mọi
0
a
, hệ sau có nghiệm
duy nhất
2
2
a
x y
y
a
y x
x
.
48. Tìm
a
để hệ sau có nghiệm duy nhất
2
2 2
2
1
x
x y x a
x y
.
49. [Khối A – 2002] Tìm
k
để hệ sau có nghiệm
3
2 3
2 2
1 3 0
1 1
log log ( 1) 1
2 3
x x k
x x
.
50. [Khối D – 2004] Tìm
m
để hệ sau có nghiệm
2
2
5 4 0
3 16 0
x x
x mx x
.
Chủ đề 8.
GIỚI HẠN
Tính các giới hạn sau
1. [Khối D – 2002]
6
2
1
6 5
lim
( 1)
x
x x
I
x
.
2.
2 20
3 10
2
( 2)
lim
( 12 16)
x
x x
I
x x
.
3.
2
0
cos4 cos3 cos5
lim
x
x x x
I
x
.
4. [ĐHTH – 1994]
2
0
1 cos cos2 cos3
lim
x
x x x
I
x
.
Trang 20
5.
2
0
1 cos5 cos7
lim
sin 11
x
x x
I
x
.
6. [ĐHAN – 2000]
2
0
98 1 cos3 cos5 cos7
lim
83 sin 7
x
x x x
I
x
.
7. [ĐHQG – 1997]
0
1 1 sin3
lim
1 cos
x
x
I
x
.
8. [ĐHQG – 1999]
3 2
1
2
lim
sin( 1)
x
x x
I
x
.
9.
2
1
2 3 1
lim
1
x
x x
I
x
.
10. [ĐHTM – 1999]
2
2
0
1 cos
lim
x
x x
I
x
.
11. [ĐHQG – 1996]
2
0
1 cos4
lim
1 1
x
x
I
x
.
12. [ĐHHH – 2001]
4 4
2
0
cos 2 sin 2 1
lim
1 1
x
x x
I
x
.
13. [ĐHGT – 1998]
0
1 2 1 sin
lim
3 4 2
x
x x
I
x x
.
14.
4
7
9 2
lim
7
x
x
I
x
.
15.
3
1
2 1 2 1
lim
1
x
x x
I
x
.
16.
1
lim (1 )tan
2
x
x
I x .
17.
1
cos
2
lim
1
x
x
I
x
.
18.
2005
tan
lim
2005
x
x
I
x
.
19.
3
3
sin
3
lim
sin3
x
x
I
x
.
20.
6
cos 3sin
lim
cos3
x
x x
I
x
.
21. [ĐHQG – 1997]
3
0
2 1 8
lim
x
x x
I
x
.
22. [HVTC – 2001]
2
3
2
1
5 7
lim
1
x
x x
I
x
.
23. [ĐHQG – 2000]
2
3
0
1 2 1
lim
sin
x
x x
I
x
.
24. [ĐHSP – 1999]
4
1
2 1 2
lim
1
x
x x
I
x
.
25.
3
0
1 1 2 1
lim
x
x x
I
x
.
Trang 21
26.
0
1
lim , 0
x
x
a
I a
x
.
27.
0
2005 2004
lim
x x
x
I
x
.
28.
2
3 2
2
0
cos 1
lim
x
x
e x
I
x
.
29. [ĐHSP – 2000]
2
2
0
3 cos4
lim
x
x
x
I
x
.
30.
2
0
ln(cos4 )
lim
x
x
I
x
.
Chủ đề 9.
HÀM SỐ
1. [ĐH Miền Bắc – 197] Tìm
m
để hàm số sau đồng biến trên
:
3
2 2
( 1) ( 1) 3 5.
3
x
y m m x x
2. [TCKT – 1997] Tìm
m
để
2
2 3
1
x x m
y
x
đồng biến với mọi
3.
x
3. Cho hàm số
3
2
y x mx . Tìm
m
để
y
nghịch biến trên
( 1;1)
và
đồng biến trên các khoảng còn lại.
4. [ĐHQG – 2000] Tìm
m
để hàm số
3 2
3
y x x mx m
nghịch biến
trên một đoạn có độ dài bằng 1.
5. Tìm
m
để
3 2 2
1
( 1) 1
3
y x mx m m x đạt cực tiểu tại
1.
x
6. Cho
4 2
( ):
C y x ax b
.
Tìm
,
a b
để
y
có cực trị bằng
2
tại
1
x . Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
tương ứng với các giá trị
,
a b
tìm được.
7. Cho
3 2 2
2 9 12 1
y x mx m x
. Tìm
m
để hàm số có cực đại, cực tiểu
thỏa mãn
2
CD CT
x x
.
8. [ĐHNT – 1998] Cho
( )
m
C
là đồ thị hàm số
3 2 2 3
3 3( 1) 3
y x mx m x m m
.
Chứng minh rằng
( )
m
C
có các điểm cực trị với mọi
m
và khoảng cách giữa
chúng không đổi.
9. [Khối B – 2007] Cho
3 2 2 2
( ): 3 3( 1) 3 1
m
C y x x m x m
. Tìm
m
để
( )
m
C
có cực đại, cực tiểu và các các điểm cực trị của nó cách đều gốc
tọa độ.
10. [ĐHMB – 1986] Cho hàm số
3 2 2 2
2( 1) ( 4 1) 2( 1)
y x m x m m x m
.
Tìm
m
để
y
có cực trị tại
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
1 2
1 1 1
2
x x
x x
.
11. [Khối B – 2002] Tìm
m
để
4 2 2
( 9) 10
y mx m x
có 3 cực trị.
12. Cho
4 2
( ): 2 2
m
C y x x m
.
Trang 22
a. Tìm
m
để
( )
m
C
có hai điểm chung với
.
Ox
b. Chứng minh rằng với mọi
,
m
đường cong
( )
m
C
có ba điểm cực trị tạo
thành tam giác vuông cân.
13. Cho
4 2 2
( ): 2
m
C y x a x b
. Tìm
0
a
và
b
để các điểm cực đại,
cực tiểu của
( )
m
C
tạo thành tam giác đều.
14. Cho
4 2
( ): 2 3 1
m
C y x mx m . Tìm
m
để
( )
m
C
có điểm cực đại,
cực tiểu và các điểm cực trị của nó tạo thành một tam giác có diện tích là 1.
15. Cho
2
( 1) 1
( ):
1
m
x m x m
C y
x
.
a. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai điểm cực trị của
( )
m
C
không phụ
thuộc vào
m
.
b. Chứng minh khoảng cách từ các điểm cực trị đến
( ) :2 3 0
d x y
bằng nhau.
c. Tìm
m
để hai điểm cực trị cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông
tại O.
d. Tìm
m
để hai điểm cực trị của
( )
m
C
thuộc về hai phía của Ox.
16. [ĐHAN – 1997] Cho
3 2
( ):
2
x
C y
x
.
Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
có hệ số góc bằng 4. Tìm tọa độ các
tiếp điểm.
17. [Khối D – 2010] Cho
4 2
( ): 6
C y x x
.
Viết phương trình tiếp tuyến của
( ),
C
biết tiếp tuyến này vuông góc với
đường thẳng
1
1
6
y x
.
18. [ĐHNT – 1998] Cho
3 2
( ): 3 9 5
C y x x x
. Viết phương trình tiếp
tuyến của
( )
C
sao cho nó có hệ số góc nhỏ nhất.
19. Cho
3 2
( ): 3 2
C y x x
. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
sao
cho nó có hệ số góc lớn nhất.
20. Cho
3
( ): 3 1
C y x x . Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
kẻ từ
điểm
2
; 1
3
A .
21. Cho
3 2
( ): 3 6 8
C y x x x
. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
kẻ
từ điểm
(0; 6 3)
A
.
22. Cho
3
( ):
1
x
C y
x
. Tìm
M
trên
( )
C
để tiếp tuyến tại
M
song song
với
( ): 2.
d y x
23. [Khối D – 2007] Cho ( ):
1
x
C y
x
.
Tìm
( )
M C
biết rằng tiếp tuyến của
( )
C
tại
M
cắt Ox, Oy tại
,
A B
sao
cho
1
4
OAB
S .
24. [Khối A – 2009] Cho
2
( ):
2 3
x
C y
x
. Viết phương trình tiếp tuyến
( )
d
của
( )
C
biết rằng nó cắt Ox tại
,
A
cắt Oy tại
B
sao cho tam giác
OAB
cân
tại
.
O
Trang 23
25. Cho
2 1
( ):
1
x
C y
x
. Lập phương trình tiếp tuyến của
( )
C
biết tiếp
tuyến này cắt Ox, Oy lần lượt tại
,
A B
sao cho
4 .
OA OB
26. [ĐHQG – 1998] Cho
1
( ):
1
x
C y
x
. Tìm
A Oy
mà từ đó kẻ được
đúng một tiếp tuyến đến
( ).
C
27. [ĐHMB – 1972] Tìm
m
để đường cong
3
( ) : 1 ( 1)
m
C y x m x tiếp
xúc với Ox.
28. [ĐHXD – 1996] Cho
3 2
( ): 9 9
m
C y x mx x m
. Tìm
m
để
( )
m
C
tiếp xúc với Ox. Tìm hoành độ tiếp điểm.
29. Cho
2
( 2) 5
( ):
1
m
x m x
C y
x
. Tìm
m
để tiệm cận xiên của
( )
m
C
tạo
với Ox, Oy một tam giác cân có diện tích 12,5.
30. Cho
2
1
( ) :
1
m
mx x
C y
x
. Tìm
m
để tiệm cận xiên của
( )
m
C
tạo với
đường thẳng
( ) : 3 8 0
d x y một góc
45 .
31. [HVQHQT – 1996] Cho
2
2
x
y
x
. Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của
( )
C
đều không đi qua giao điểm của hai tiệm cận.
32. [Khối B – 2003] Cho
2 1
( ):
1
x
C y
x
. Gọi
N
là giao điểm của hai tiệm
cận. Tìm
( )
M C
để tiếp tuyến tại
M
vuông góc với
.
MN
33. [Khối D – 2007] Cho ( ):
1
x
C y
x
. Viết phương trình tiếp tuyến
( )
d
của
( )
C
sao cho
( )
d
tạo với hai tiệm cận một tam giác cân.
34. [Khối D – 2006] Cho
3
( ):
1
x
C y
x
. Cho
0 0 0
( , )
M x y
thuộc
( )
C
mà tiếp
tuyến tại
0
M
cắt các tiệm cận của
( )
C
tại các điểm
, .
A B
a. Chứng minh rằng
0
M
là trung điểm của
.
AB
b. Gọi
I
là giao điểm của hai tiệm cận. Chứng minh rằng diện tích tam giác
IAB
không đổi và tìm tọa độ
0
M
để bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
IAB
nhỏ nhất.
35. Cho
3
( ):
1
x
C y
x
.
a. Tìm
( )
M C
để tổng khoảng cách từ
M
đến hai tiệm cận nhỏ nhất.
b. Tìm
( )
M C
để tổng bình phương các khoảng cách từ
M
đến hai tiệm
cận nhỏ nhất.
c. Tìm
( )
M C
để khoảng cách từ
M
đến giao điểm hai tiệm cận là nhỏ
nhất.
d. Tìm
( )
M C
để khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận đến tiếp tuyến tại
M
là lớn nhất.
36. [HVQY – 1995] Cho
1
( ):
1
x
C y
x
. Tìm hai điểm
,
A B
thuộc hai
nhánh khác nhau của
( )
C
để
AB
có độ dài nhỏ nhất.
37. Cho đường thẳng
( ): 2
m
d y x m
và
2 3
( ):
1
x
C y
x
. Chứng minh
rằng
( )
m
d
cắt
( )
C
ở hai điểm có hoành độ
1 2
,
x x
phân biệt với mọi
.
m
Tìm
m
để
1 2
2
x x .
Trang 24
38. [ĐHMB – 1972] Cho ( ) : 4
d y x m
và
3
( ):
1
x
C y
x
. Chứng minh
rằng
( )
d
cắt
( )
C
ở hai điểm có hoành độ
1 2
,
x x
phân biệt với mọi
.
m
Tìm
m
để
1 2
x x
nhỏ nhất.
39. [Khối A – 2004] Cho ( ) :
d y m
và
2
3 3
( ):
2( 1)
x x
C y
x
. Tìm
m
để
( )
d
cắt
( )
C
ở hai điểm phân biệt. Trong các giá trị
m
đó, tìm
m
để độ dài
AB
nhỏ nhất.
40. Cho đường thẳng
( ) : 2
d y x m
và
1
( ):
1
x
C y
x
. Tìm
m
để
( )
d
cắt
( )
C
ở hai điểm
,
A B
phân biệt. Trong các giá trị
m
đó, tìm
m
để độ dài
AB
nhỏ nhất.
41. [Khối B – 2010] Cho ( ): 2
d y x m
và
2 1
( ):
1
x
C y
x
. Tìm
m
để
( )
d
cắt
( )
C
ở hai điểm phân biệt
,
A B
sao cho diện tích tam giác
OAB
bằng
3.
42. Cho đường thẳng
( ):
m
d y x m
và
2
( ):
1
x
C y
x
. Tìm
m
để
( )
d
cắt
( )
C
ở hai điểm phân biệt
,
A B
mà
,
OA OB
vuông góc.
43. [Khối D – 2006] Cho
3
( ): 3 2.
C y x x
Gọi
( )
d
là đường thẳng đi
qua điểm
(3,20)
A và có hệ số góc là
.
m
Tìm
m
để
( )
d
cắt
( )
C
ở ba điểm
phân biệt.
44. Cho
( ) : 1
d y x và
3
( ): ( 1) 1
m
C y x m x
. Tìm
m
để
( )
d
và
( )
m
C
có đúng hai điểm chung.
45. Cho
4 2 2
( ): 2 1
m
C y x m x . Chứng minh rằng
( ) : 1
d y x luôn cắt
( )
m
C
tại đúng hai điểm phân biệt với mọi
.
m
46. Cho
3 2
1 2
( ):
3 3
m
C y x mx x m . Tìm
m
để
( )
m
C
cắt Ox ở ba
điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3
, ,
x x x
thỏa mãn
2 2 2
1 2 3
15.
x x x
47. Cho
( ) :
d y mx
và
3 2
( ): 6 9
C y x x x
.
a. Tìm
m
để
( )
d
cắt
( )
C
ở ba điểm phân biệt
, ,
O A B
phân biệt mà độ dài
2 2.
AB
b. Chứng minh rằng trung điểm của
AB
thuộc một đường thẳng cố định
song song với Oy.
48. [Khối D – 2008] Cho
3 2
( ): 3 4
C y x x .
Chứng minh rằng với mọi đường thẳng đi qua
(1;2)
I với hệ số góc là
k
mà
3
k
đều cắt
( )
C
tại ba điểm phân biệt
, ,
I A B
đồng thời
I
là trung điểm
của đoạn
.
AB
49. [ĐH Huế - 2000] Cho
4 2
( ): 5 4
C y x x
.
Tìm
m
để
( ) :
d y m
chắn trên
( )
C
ba đoạn có độ dài bằng nhau.
50. [Khối D – 2009] Tìm tất cả các giá trị
m
để ( ) : 2
d y x m
cắt
2
1
( ):
x x
C y
x
tại hai điểm phân biệt
,
A B
sao cho trung điểm của đoạn
AB
thuộc trục tung.
51. Cho
2
1
( ):
1
x x
C y
x
. Giả sử ( ):
d y m x
cắt
( )
C
ở hai điểm
,
A B
phân biệt.
a. Tìm
m
để trung điểm
M
của
AB
cách điểm
(1;3)
I là
10.
b. Tìm quỹ tích trung điểm
M
của
AB
khi
m
thay đổi.
Trang 25
52. [ĐH Huế - 1998] Cho
4 2
( ): 2 2 1
m
C y x mx m
.
a. Chứng minh rằng
( )
m
C
có hai điểm cố định.
b. Tìm
m
để các tiếp tuyến của
( )
m
C
tại hai điểm cố định vuông góc.
53. [CĐSPHN – 2000] Cho
3 2
( ) : 2 3
m
C y x mx mx m .
a. Chứng minh rằng
( )
m
C
có hai điểm cố định.
b. Viết phương trình đường thẳng
( )
d
đi qua hai điểm cố định và tìm
m
để
( )
d
tiếp xúc với
( ).
m
C
54. [ĐHBK – 1990] Cho
3
2 2
( ): 2 1
3
x
C y x mx m
. Tìm
m
để trên
( )
C
có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
55. [Khối D – 2006] Cho
3
2
11
( ): 3
3 3
x
C y x x
. Tìm trên đồ thị
( )
C
hai điểm
,
A B
phân biệt và đối xứng nhau qua trục tung.
56. [HVKTQS – 2000] Cho
( ) : 3 6
d y x và
2
4 5
( ):
2
x x
C y
x
.
Tìm
( )
M C
để khoảng cách từ
M
đến
( )
d
nhỏ nhất.
57. Tìm các điểm trên
2
4 5
( ):
3 1
x
C y
x
có tọa độ nguyên.
58. [Khối B – 2009] Cho hàm số
4 2
2 4
y x x
.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b. Tìm
m
để phương trình
2 2
2
x x m
có 6 nghiệm phân biệt.
59. [Khối A – 2006] Cho hàm số
3 2
2 9 12 4
y x x x
.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b. Tìm
m
để
3
2
2 9 12
x x x m
có 6 nghiệm phân biệt.
60. Cho hàm số
3
3 2.
y x x
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b. Phương trình
2
3
3 2 2 1
9
x
x x
có bao nhiêu nghiệm?
Chủ đề 10.
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Tính các nguyên hàm sau
1. [ĐHYD – 1997]
3 5
dx
I
x x
.
2. [ĐHSP – 2000]
2
4 11
5 6
x
I dx
x x
.
3.
5
6 2
2 3
x dx
I
x x
4. [ĐHNT – 1999]
2 2
( 3 2)
dx
I
x x
.
5.
4 2
4 3
dx
I
x x
6.
4
6
1
1
x
I dx
x
.
7.
10
( 1)
dx
I
x x
8.
1
(1 )
x
x
I dx
x xe
.
