Đề ôn luyện HSG Toán 7

TRNG T.H.C.S BNG PHC

đề ễN TP CHO I D TUYN HC SINH GII TON 7
NM HC 2014-2015
S 01
Câu1.
a.Tính:
0
3 2
1 1 14
2 : . 3 .9 7 5
2 8 25


+ +
ữ ữ

b. So sánh:
2 6 12 20 30 42A = + + + + +
và
24B =
Câu 2:
c. Cho
2 2 4 4
x y z
a b c a b c a b c
= =
+ + + +
.
Chứng minh rằng:
2 2 4 4

a b c
x y z x y z x y z
= =
+ + + +
(Với
0abc

và các mẫu khác o)
b. Cho hàm số:
( )
f x
xác đinh với moi giá tri của
x R
. Biết rằng với mọi
0x

ta
đều có
( )
2
1
2f x f x
x

+ =
ữ

. Tính
( )
2f

.
Câu 3. a. Tìm x biết:
( ) ( )
1 11
5 5
x x
x x
+ +
=
b. Tìm tất cả các giá tri nguyên dơng của x và y sao cho:
1 1 1
5x y
+ =
Câu 4:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2008 2009 2010 2011 2008A x x y x= + + + +
Câu 5.
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lần lợt lấy 2 điểm M và N sao cho
BM=MN=NC. Gọi H là trung điểm BC.
a. Chứng minh: AM=AN và AH

BC
b. Chứng minh
MAN BAM >
c. Kẻ đờng cao BK. Biết AK= 7cm; AB=9cm. Tính độ dài BC.
S 02
Bi 1: (1,5 im): So sỏnh hp lý:

a)
200

16
1






v
1000
2
1







b) (-32)
27
v (-18)
39
Bi 2: (1,5 im): Tỡm x bit: a) (2x-1)
4
= 16 b) (2x+1)
4
= (2x+1)
6

c)
2083x =+
Bi 3: (1,5 im): Tỡm cỏc s x, y, z bit :
a) (3x - 5)
2006
+(y
2
- 1)
2008
+ (x - z)
2100
= 0
b)
4
z
3
y
2
x
==
v x
2
+ y
2
+ z
2
= 116
Bi 4: (1,5 im):
Cho a thc A = 11x
4

y
3
z
2
+ 20x
2
yz - (4xy
2
z - 10x
2
yz + 3x
4
y
3
z
2
) - (2008xyz
2
+
8x
4
y
3
z
2
)
a/ Xác định bậc của A.
b/ Tính giá trị của A nếu 15x - 2y = 1004z.
Bài 5: (1 điểm): Chứng minh rằng:
tzx

t
tzy
z
tyx
y
zyx
x
M
++
+
++
+
++
+
++
=
có giá
trị không phải là
số tự nhiên.( x, y, z, t
*
N∈
).
Bài 6: (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC. Lấy điểm
D bất kì
thuộc cạnh BC. H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng
AD. Đường
thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng:
a) BH = AI.
b) BH
2

+ CI
2
có giá trị không đổi.
c) Đường thẳng DN vuông góc với AC.
d) IM là phân giác của góc HIC.

ĐỀ SỐ 03
Câu 1. a) Tìm x, biết:
12010
−−
x
= 2011
b) Cho ba số x, y, z có tổng khác 0 thỏa mãn
x
z
z
y
y
x
==
. Tính:
579
456123
.
z
yx
Câu 2. a) Cho A =
2
1
−

+
x
x
. Tìm x
∈
Z để A có giá trị là một số nguyên dương.
b) Biết m, n, p là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng: m
2
+ n
2
+ p
2
< 2(mn + np + pm)
Câu 3. Tìm a, b
∈
Z thoả mãn: ab + 2a – 3b = 11
Câu 4. Thực hiện phép tính:
P = (1 –
21
1
+
).(1 –
321
1
++
) (1 –
2011 4321
1
+++++

)
Câu 5. Cho tam giác ABC có
A
ˆ
= 90
0
,
B
ˆ
= 60
0
, đường cao AH. Trên HC lấy điểm D
sao cho DH = BH.
a) Xác định dạng của tam giác ABD.
b) Vẽ CF vuông góc với AD (F thuộc đường thẳng AD).
Chứng minh rằng: AH = HF = FC.
c) Chứng minh rằng:
2
1
AB
+
2
1
AC
=
2
1
AH
ĐỀ SỐ 04
Bài 1: Thực hiện phép tính (6 điểm).

a.
.
4
9
9
5
3
2
:
4
3
+






−
;
b.
1
1
1
4
1
3
1
2
1

19
45
−
−
−
























++−

;
c.
6291910
920915
27.2.76.2.5
8.3.49.4.5
−
−
.
Bài 2: (6 điểm)
a. Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16;
b. Tìm x, biết: 3
12:
2
1
−x
=
22
21
c. Tìm x, y, z biết:
15
23
5
2 zyyx −
=
−
và x + z = 2y.
Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức
d
c

b
a
=
.
Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d).
Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia
đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA.
a. Chứng minh: CD // AB.
b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N .
Chứng minh rằng: ABH = CDH.
c. Chứng minh:
∆
HMN cân.
Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số có dạng
abcabc
luôn chia hết cho 11.
ĐỀ SỐ 05
C©u 1:
a. Cho
1 1 1 1 2013 2013 2013 2013
&
1.2 3.4 5.6 99.100 51 52 53 100
A B= + + + + = + + + +
Chứng minh rằng :
B
A
l mà ột số nguyên .
b,Cho bèn sè a, b, c, d sao cho a + b + c + d
≠
0.

BiÕt
b c d c d a d a b a b c
k
a b c d
+ + + + + + + +
= = = =
tÝnh gi¸ trÞ cña k.
C©u 2 : Tìm x, y ,z biết:
a.
5z 6y 6x 4z 4y 5x
4 5 6
− − −
= =
v à
3x 2y 5z 96− + =
.
b.
,
10 15 2
x y z
x= =
v à x + 2y - 3z = -24
C©u 3: ( 4 ®iÓm)
a) Cho M =
42
15
x
x
−
−

. T×m sè nguyªn x ®Ó M đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tìm x sao cho:
4
1 1
17
2 2
x x
+
   
+ =
 ÷  ÷
   
Câu 4. Cho ∆ABC cân tại A,
µ
45A =
o
. Từ trung điểm I của AC kẻ đường vuông góc
AC cắt đường thẳng BC tại M. Trên tia đối của AM lấy điểm N sao cho AN = BM.
Chứng minh:
a.
·
·
AMC BAC=
b. ∆ABM = ∆CAN
C. ∆MNC vuông cân tại C
Câu 5. Chứng minh:
( )
7 9 13
81 27 9 45P = − − M
?

Đáp án đề ôn tập
Câu 1(4đ)
1.a(2đ)
1.b(2đ)
Câu 2(4đ)
2.a(2đ)
2.b(2đ)
Câu 3(4đ)
3.a(2đ)
3.b(2đ)
ĐÁP ÁN ĐỀ 01
Ta có:
1579.
9
1
8
1
.16
51.79.
3
1
8
1
.
2
1
:8
5
25
14

79.3
8
1
.
2
1
:2
2
0
23
=+−+=
+−+






=
+






−+







−
Ta có:
4230201262
+++++=
A
B==+++++=
+++++<
245,65,55,45,35.25,1
25,4025,3025,2025,1225,625,2
Vậy A<B
Từ giả thiết suy ra:
( )
( )
( )
3
9
44
44448
4
484
4
2
9
2
442242
2
1

9
2
44224
2
2
c
zyx
cba
z
cba
y
cba
x
b
zyx
cba
z
cba
y
cba
x
a
zyx
cba
z
cba
y
cba
x
+−

=
+−
=
−+
=
++
−+
=
+−
=
−+
=
++
++
=
+−
=
−+
=
++
Từ (1), (2), (3) ta có:
c
zyx
b
zyx
a
zyx
9
44
9

2
9
2 +−
=
−+
=
++
Hay
zyx
c
zyx
b
zyx
a
+−
=
−+
=
++ 44
9
2
9
2
9
Vậy
zyx
c
zyx
b
zyx

a
+−
=
−+
=
++ 4422
Với x=2 ta có:
( )
4
2
1
22 =






+ ff
Với
2
1
=x
ta có
( )
4
1
22
2
1

=+






ff
Giải ra tìm được
( )
6
7
2 −=f
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
[ ]
( )
( )



=−
=−
⇔
=−−−⇔
=−−−−⇔
−=−
+
+

++
=+
15
05
0515
0555
55
10
1
101
1011
111
x
x
xx
xxx
xx
x
x
xx
xx
Giải ra tìm được x=4 hoặc x=5 hoặc x=6.
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,5

0,25
0,5
0,5
0,5
1
0,5
0,5
1
0,5
0,5
1
Cõu4(2)
Câu 5(6đ)
5.a(2đ)
5.b(2đ)
5.c(2đ)
T
( ) ( )
( )( )
2555
25555
055
5
111
=
=
=
=+
yx
yyx

yxxy
yx
Vỡ x, y nguyờn dng
5;5 yx
thuc c ca 25.
Gii ra tỡm c cỏc cp giỏ tr x; y nguyờn dng tho món iu kin bi toỏn l:
(x=30,y=6); (x=10, y=10);(x=6, y=30).
p dng tớnh cht
aa =
v
baba ++
, du = xy ra khi
0ab
v
0a
du = xy ra khi a=0. Ta cú:
3201120082011200820112008 =++=+ xxxxxx
Du = xy ra khi
20112008

x
v
02009 x
du = xy ra khi x=2009.
02010 y
du = xy ra khi 2010.

201120083
=+
A

du = xy ra khi x=2009 v y=2010.
Vy giỏ tr nh nht ca A l 2011 khi x=2009 ; y=2010.
-Chứng minh đựơc

ABM=

ACN(cgc)

AM=AN
- Chứng minh đựơc

ABH=

ACH(cgc)

0
90AHB AHC AH BC = =
Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho MD=MA
Chứng minh đợc
( )
AMN DMB cgc MAN BDM = =
và AM=AN=BD
-Chứng minh đợc BA>AM

BA>BD
-Xét
BAD
có BA>BD

BDA BAD >

hay
MAN BAM >
Vì AK
0
0 90A
nên chỉ có hai trờng hợp xảy ra
TH1:
-
BAC
nhọn

k nằm giữa hai điểm A,C
Mà AC=AB
9AC cm
=
2KC AC AK
= =
-
AKB
vuông tại K
2 2 2
32BK AB AK = =
-
AKC
vuông tại K nên ta có
BC=
2 2
6BK KC cm+ =
TH2:
-

BAC

tù

A nằm giữa hai điểm K,C

KC=AK+AC=16cm
-
ABK
vuông tại K
2 2 2
32BK AB AK = =
-
BKC

vuông tai K
2 2
288BC BK KC = + =
Vậy BC=6cm hoặc BC=
288cm
0,5
0,5
0,5
0,5
1đ
1đ
1đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Đáp án ĐỀ 02
Bài 1: (1,5 điểm):
a) Cách 1:
200
16
1






=
800200.4
2
1
2
1







=






>
1000
2
1







Cách 2:
200
16
1






>
200

32
1






=
1000200.5
2
1
2
1






=







(0,75điểm)
b) 32

27
=
275
)2(
= 2
135
< 2
156
= 2
4.39
= 16
39
< 18
39

⇒
-32
27
> -18
39
⇒
(-32)
27
> (-18)
39

Bài 2: (1,5 điểm):
a) (2x-1)
4
= 16 .Tìm đúng x =1,5 ; x = -0,5

(0,25điểm)
b) (2x+1)
4
= (2x+1)
6
. Tìm đúng x = -0,5 ; x = 0; x = -15
(0,5điểm)
c)
2083x =−+
2083x =−+
⇒
2083x =−+
;
2083x −=−+

2083x =−+
⇒
283x =+

⇒
x = 25; x = - 31

2083x −=−+
⇒
123x −=+
: vô nghiệm
Bài 3: (1,5 điểm):
a) (3x - 5)
2006
+(y

2
- 1)
2008
+ (x - z)
2100
= 0
⇒
(3x - 5)
2006
= 0;
(y
2
- 1)
2008
= 0; (x - z)
2100
= 0

⇒
3x - 5

= 0; y
2
- 1 = 0 ; x - z

= 0
⇒
x = z =
3
5

;y = -1;y = 1
b)
4
z
3
y
2
x
==
và x
2
+ y
2
+ z
2
= 116
Từ giả thiết
⇒
4
29
116
1694
2
z
2
y
2
x
16
2

z
9
2
y
4
2
x
==
++
++
===

Tìm đúng: (x = 4; y = 6; z = 8 ); (x = - 4; y = - 6; z = - 8 )
Bài 4: (1,5 điểm):
a/ A = 30x
2
yz - 4xy
2
z - 2008xyz
2

⇒
A có bậc 4
b/ A = 2xyz( 15x - 2y - 1004z )
⇒
A = 0 nếu 15x - 2y = 1004z
Bài 5: (1 điểm):
Ta có:
yx
x

zyx
x
tzyx
x
+
<
++
<
+++

(0,25điểm)

yx
y
tyx
y
tzyx
y
+
<
++
<
+++

tz
z
tzy
z
tzyx
z

+
<
++
<
+++

(0,25điểm)

tz
t
tzx
t
tzyx
t
+
<
++
<
+++

⇒
<<
+++
+++
M
tzyx
tzyx
)
tz
t

tz
z
()
yx
y
yx
x
(
+
+
+
+
+
+
+

(0,25điểm)
hay: 1 < M < 2 . Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên
(0,25điểm)
H
I
M
B
A
C
D
N
Bi 6: (3 im):
a. AIC = BHA BH = AI (0,5im)
b. BH

2
+ CI
2
= BH
2
+ AH
2
= AB
2
(0,75im)
c. AM, CI l 2 ng cao ct nhau ti N N l trc tõm DN

AC (0,75im)
d. BHM = AIM HM = MI v BMH = IMA (0,25im)
m : IMA + BMI = 90
0
BMH + BMI = 90
0
(0,25im)
HMI vuụng cõn HIM = 45
0
(0,25im)

m : HIC = 90
0
HIM =MIC= 45
0
IM l phõn giỏc HIC (0,25im)

P N S 03

Câu1.(4đim) a. (2đ) - TH1: /x-2010/-1= 2011
/x-2010/ = 2012

x= 4022 hoặc x=-2 (1đ)
- TH2: /x-2010/-1= - 2011


/x-2010/= - 2010 ( loại) (1đ)
b. (2đ) :
y
x
=
z
y
=
x
z
=
xzy
zyx
++
++
=1

x=y=z (1đ)



456

x
=
456
y
;
579
x
=
579
z



579
456123
.
z
yx
=
579
456123
.
x
xx

579
579
x
x
=1 (1đ)

Câu2. (4đim) a. (2đ) Tìm x

z để A

Z
A=
2
3
1
2
1

+=

+
xx
x
( đk x0 , x4 ) (1d)
A nguyên khi
2
3

x
nguyên

2

x
là Ư (3)
Ư(4) = {-3; -1; 1; 3}

Các giá trị của x là : {9 ;25 } ( 1đ)
b. (2đ) Trong tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn cạnh thứ 3. Vậy có:
m + n > p.
Nhân 2 vế với p >0 ta có: m.p + n.m > p
2
.(1)
Tơng tự ta có : m.n + p.n > n
2
(2) ( 1đ)
p.m + m.n > m
2
(3).
Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta đợc:
2(m.n + n.p + p.m) > m
2
+ n
2
+ p
2
. (dpcm) (1đ)
Câu 3. (3đim) Ta có : ab+2a-3b = 11

(a-3).(b+2)= 5 (2đ)


(a,b)=(4;3);(8;-1);(2,-7);(-2;-3) (1đ)
Câu 4 .(4đim) Thực hiện phép tính:
A=(1-
2
2).21(

1
+
) . (1-
2
3).31(
1
+
) (1-
2
2011).20111(
1
+
) =

3
2
.
6
5
.
10
9

2011.2012
22011.2012
=
6
4
.
12

10
.
20
18

2011.2012
22012.2011
(1)
Mà: 2012.2010 - 2 = 2011(2013 - 1) + 2011 - 2013
= 2011(2013 - 1+ 1) - 2013 = 2013(2011 -1) = 2013.2010 (2) (2đ)
Từ (1) và (2) ta có:
A=
3.2
1.4
.
4.3
2.5
.
5.4
3.6

2012.12011
2010.2013
=
)2012 5.4.3).(2011 4.3.2(
)2010 3.2.1).(2013 6.5.4(
=
3.2011
2013
=

6030
2013
=
2011
671
(2đ)

C©u 4 (5®iểm) a/ (1®) Tam gi¸c ABD cã AH võa lµ ®êng cao võa lµ trung
tuyÕn nªn Lµ tam gi¸c c©n, cã <B= 60
0
nªn
∆
ABD ®Òu
b. (2®) tam gi¸c ABC vu«ng ë A, <B=60
0
nªn <C1=30
0
tam gi¸c AFC vu«ng ë F, <A3=30
0
nªn <C1+C2=60
0
mµ <C1=30
0
nªn <C2 =30
0

∆
AHC=
∆
CFA ( c¹nh huyÒn gãc nhän), nªn HC= AF

∆
ADC c©n ë A v× < A3= <C1 =30
0
nªn AD=CD vµ <ADC=120
0
(1 ®) suy ra:
DH=DF vµ < HDF=120
0
. khi ®ã trong tam gi¸c c©n DHF, cã <H1=<F1=30
0

∆
AHF c©n ë H v× cã <A2= <F1 ta cã HA=HF

∆
FHC c©n ë F v× <H1=< C2 , ta cã HF=FC
Tõ ®ã ta cã: HA=HF=FC (DPCM)(1®)
c. (2®) ta cã: SABC =
2
1
AB.AC
SABC =
2
1
AH.BC (1®)
Suy ra: AB.AC=AH.BC , AB
2
.AC
2

=AH
2
.BC
2

hay
22
2
.ACAB
BC
=
2
1
AH
Hay AB
2
+AC
2
/ AB
2
.AC
2
=1/ AH
2
suy ra:
2
1
AB
+
2

1
AC
=
2
1
AH
(1®)( ®pcm)
ĐÁP ÁN ĐỀ 04
Bài 1: Thực hiện phép tính (6 điểm).
Giải:
a.
.
4
9
9
5
3
2
:
4
3
+






−
4

9
9
1
:
4
3
4
9
9
5
3
2
:
4
3
+=+






−
0,75đ
=
9
4
36
4
9

1
9
.
4
3
==+
0,75đ
b.
1
1
1
4
1
3
1
2
1
19
45
−
−
−

























++−
4
3
1
1
2
1
1
19
45
4
1
3
1

2
1
19
45
1
1
1
+
+
−=

























++−
−
−
−
1,0đ
=
1
19
19
19
26
19
45
==−
1,0đ
A
B H D
F
C
3
1
2
1
1
1
2

c.
6291910
920915
27.2.76.2.5
8.3.49.4.5
−
−
6291910
920915
27.2.76.2.5
8.3.49.4.5
−
−
=
6.329191910
9.32029.215.2
3.2.73.2.2.5
2.3.23.2.5
−
−
01đ
( )
( )
73.53.2
32.53.2
1829
21829
−
−
=

01đ
=
8
1
715
910
−=
−
−
0,5đ
Bài 2: (6 điểm)
Giải:
a. Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16.
2x – 2 – 6x – 6 – 8x – 12 = 16 0,25đ
-12x – 20 = 16 0,25đ
-12x = 16 + 20 = 36 0,50đ
x = 36 : (-12) = -3 0,50đ
b. Tìm x, biết: 3
12:
2
1
−x
=
22
21
Nếu
2
1
>x
. Ta có: (vì nếu x = ½ thì 2x – 1 = 0) 0,25đ

3
12:
2
1
−x
=
22
21
2
7
: (2x – 1) =
22
21
0,25đ
2x – 1 =
2
7
:
22
21
=
3
11
21
22
.
2
7
=
0,25đ

2x =
3
11
+ 1 =
3
14
0,25đ
x =
3
14
: 2 =
3
7
>
2
1
0,25đ
Nếu
2
1
<x
. Ta có: 0,25đ
3
12:
2
1
−x
=
22
21

2
7
: (1 - 2x) =
22
21
0,25đ
-2x =
3
11
- 1 =
3
8
0,25đ
x =
3
8
: (-2) =
2
1
3
4
<−
0,25đ
Vậy x =
3
7
hoặc x =
3
4
−

0,25đ
c. Tìm x, y, z biết :
15
23
5
2 zyyx −
=
−
và x + z = 2y
Từ x + z = 2y ta có:
x – 2y + z = 0 hay 2x – 4y + 2z = 0 hay 2x – y – 3y + 2z = 0 0,25đ
hay 2x – y = 3y – 2z 0,25đ
Vậy nếu:
15
23
5
2 zyyx −
=
−
thì: 2x – y = 3y – 2z = 0 (vì 5 ≠ 15). 0,25đ
Từ 2x – y = 0 suy ra: x =
y
2
1
0,25đ
Từ 3y – 2z = 0 và x + z = 2y. ⇒ x + z + y – 2z = 0 hay
y
2
1
+ y – z = 0

0,25đ
hay
y
2
3
- z = 0 hay y =
3
2
z. suy ra: x =
3
1
z. 0,25đ
Vậy các giá trị x, y, z cần tìm là: {x =
3
1
z; y =
3
2
z ; với z ∈ R }
hoặc {x =
2
1
y; y ∈ R; z =
2
3
y} hoặc {x ∈ R; y = 2x; z = 3x}
0,5đ
Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức
d
c

b
a
=
.
Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)
Ta có: (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)
ab + ad + 2cb + 2cd = ab + 2ad + cb + 2cd 0,75đ
cb = ad suy ra:
d
c
b
a
=
0,75đ
Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia
đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA.
a. Chứng minh: CD // AB.
b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N .
Chứng minh rằng: ABH = CDH.
c. Chứng minh:
∆
HMN cân.
Giải:
a/ Chứng minh CD song song với AB.
Xét 2 tam giác: ∆ABK và ∆DCK có:
0,25đ
BK = CK (gt)
DK
ˆ
CAK

ˆ
B =
(đối đỉnh) 0,25đ
AK = DK (gt) 0,25đ
⇒ ∆ABK = ∆DCK (c-g-c)
0,25đ
⇒
KB
ˆ
DKC
ˆ
D =
; mà
0
90BC
ˆ
ACB
ˆ
A =+
⇒
0
90DC
ˆ
BBC
ˆ
ADC
ˆ
A =+=
0,25đ
⇒

CA
ˆ
B90DC
ˆ
A
0
==
⇒ AB // CD (AB ⊥ AC và CD ⊥ AC).
0,25đ
b. Chứng minh rằng:

ABH =

CDH
Xét 2 tam giác vuông: ABH và CDH có: 0,25đ
A
B
D
M
N
K
C
H
BA = CD (do ∆ABK = ∆DCK)
AH = CH (gt) 0,25đ
⇒ ABH = CDH (c-g-c)
0,50đ
c. Chứng minh:
∆
HMN cân.

Xét 2 tam giác vuông: ABC và CDA có:
0,25đ
AB = CD;
CA
ˆ
B90DC
ˆ
A
0
==
; AC cạnh chung: ⇒ ABC = CDA (c-g-c)
⇒
DA
ˆ
CBC
ˆ
A =
0,25đ
mà: AH = CH (gt) và
CH
ˆ
NAH
ˆ
M =
(vì ∆ABH = ∆CDH)
0,50đ
⇒ ∆AMH = ∆CNH (g-c-g)
0,50đ
⇒ MH = NH. Vậy ∆HMN cân tại H
0,50đ

Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số có dạng
abcabc
luôn chia hết cho 11.
Giải:
Ta có:
abcabc
= a.10
5
+ b.10
4
+ c.10
3
+ a.10
2
+ b.10 + c 0,25đ
= a.10
2
(10
3
+ 1) + b.10(10
3
+ 1) + c(10
3
+ 1) 0,50đ
= (10
3
+ 1)( a.10
2
+ b.10 + c) 0,50đ
= (1000 + 1)( a.10

2
+ b.10 + c) = 1001( a.10
2
+ b.10 + c) 0,25đ
= 11.91( a.10
2
+ b.10 + c)

11 0,25đ
Vậy
abcabc

11 0,25đ
Hết
C©u1 : ( 5®)
a, ( 2,5 ® ) A =
1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6 99 100
− + − + − + + −

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2
1 2 3 4 5 6 99 100 2 4 6 100
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6 99 100 1 2 3 4 5 6 49 50
1 1 1 1 1

51 52 53 99 100

   
= + + + + + + + + − + + + +
 ÷  ÷
   
 
= + + + + + + + + − + + + + + + + +
 ÷
 
= + + + + +
B = 2013
1 1 1 1 1 1

51 52 53 54 99 100
 
+ + + + + +
 ÷
 
= 2013A. Suy ra
B
2013 Z
A
= ∈
b,(2,5 ® ) Céng thªm 1 vµo mçi tØ sè ta cã:
1 1 1 1
b c d c d a d a b a b c
a b c d
b c d a c d a b d a b c a b c d
a b c d
+ + + + + + + +
+ = + = + = +

+ + + + + + + + + + + +
= = =
V× a + b + c + d
≠
0 nªn a = b = c = d.
Suy ra
4
4
a
k
a
= =
.
C©u 2 : (4 ®iÓm)
a, ( 3 ® ) Cho 3 số x; y; z thỏa mãn các điều kiện sau:
N
C
M
B
A
I

5z 6y 6x 4z 4y 5x
4 5 6

= =
v
3x 2y 5z 96 + =
.
Tỡm x; y; z. T

5z 6y 6x 4z 4y 5x
4 5 6

= =

20z 24y 30x 20z 24y 30x
16 25 36

= =
20 24 30 20 24 30
0
10 25 36
z y x z y x + +
= =
+ +



20z 24y = 30x -20z = 24y -30x = 0

20z = 24y = 30x


10z = 12y = 15x


3 2 5 3 2 5 96
3
4 5 6 12 10 30 12 10 30 32
x y z x y z x y z +

= = = = = = =
+
Gii ra v kt lun : x = 12 ; y = 15 v z = 18
b)( 1 đ ) đa về dãy tỷ số bằng nhau:
2 3 4
x y z
= =
;
5
2 3 4
x y z
= = =
Tìm đợc x = 10; y= 15; z = 20
Câu 3 : (4 điểm)
a) Cho F =
42
15
x
x


. Tìm số nguyên x để F đạt GTNN
Ta thấy F =
42
15
x
x


= -1 +

27
15x
đạt GTNN
27
15x
nhỏ nhất
Xét x-15 > 0 thì
27
15x
> 0
Xét x-15 < 0 thì
27
15x
< 0. Vậy
27
15x
nhỏ nhất khi x-15 <0
Phân số
27
15x
có tử dơng mẫu âm
Khi đó
27
15x
nhỏ nhất khi x-15 là số nguyên âm lớn nhất hay
x-15 = -1 => x = 14.
Vậy x= 14 thì F nhỏ nhất và F = -28
b.
4
1 1 1

2 2 17
x x+

+ =
ữ ữ



4 4
1 1 1 1 1
17 . 17
2 2 2 2 2
x x x x+

+ = + =
ữ ữ ữ ữ ữ

1 1
1 17
2 16
x

+ =
ữ ữ

17 1
. 17
16 2
x

=
ữ

4
1
16 2 2 4
2
x
x
x


= = =
ữ

Cõu 4: ( 5 đ )
a) AIM = CIM (c.g.c)
MA MC AMC =
cõn ti M
AMC v ABC cõn cú gúc ỏy
ã
ACM
chung. Nờn hai gúc nh bng nhau.
Vy
ã
ã
AMC BAC=
b) Xột ABM v CAN cú AB = AC (ABC cõn), BM = AN (gt)
ã
ã

ã
ã
ã
ã
ã
ã
ã
180
180
( )
ABM ABC
CAN CAM ABM CAN
ABC CAM ACB

+ =


+ = =


= =


ABM = CAN (c.g.c) suy ra AM = CN
c) Ta có AM = CN (cmt) mà AM = MC (∆AMC cân)
CM CN MCN⇒ = ⇒ ∆
cân (1)
Mà ∆MCN có
·
·

µ
( 45 ) 45AMC BAC N= = ° ⇒ = °
(2)
Từ (1) và (2)
⇒
∆MCN vuông cân tại C.
(Hình vẽ 0.5 điểm, mỗi câu 1.5 điểm)
Câu 5: ( 2 ®)
7 9 13 2 7 3 9 13 14 27 13
14 26 13 14 2 13 13 13
13
81 27 9 (9 ) (3 ) 9 9 3 9
9 3.3 9 9 3.(3 ) 9 9 (9 3 1)
(9 .5) (9.5) 45
P = − − = − − = − −
= − − = − − = − −
= =M