BÀI TẬP LÝ THUYẾT SAI SỐ

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
BÀI TẬP LÝ THUYẾT SAI SỐ.
Giáo viên: Đoàn Thị Bích Ngọc.
Sinh viên: Nguyễn Văn Nhựt
MSSV: 0250030258
Biên Hòa, ngày 7 tháng 5 năm 2015
CHƯƠNG I: Khái quát các thành phần lý thuyết xác suất và thống kê
toán học.
Bài tập 1:
Hãy xác định xác suất xuất hiện 3 lần sai số âm trong 10 lần đo, nếu như xác
suất xuất hiện sai số âm trong một lần đo là P = 0.5
Bài tập 2:
Cho biến ngẫu nhiên x tuân theo luật phân bố chuẩn với kỳ vọng 25 và
phương sai 10. Xác định xác suất :
P(16.75 ≤ x ≤ 23.82).
Bài tập 3:
Theo kết quả khảo sát máy đo dài vật lý CBB-1 có khoảng cách D và sai số
m như sau:
D(km) 8.7 3.7 5.1 4.9 6.1 5.6 6 2.7
m(cm) 8 3 4 4 5 3 4 3
Xác định hệ số tương quan giữa D và m, lập phương trình hồi quy.
BÀI GIẢI:
Bài 1:
Tóm tắt: Xác suất xuất hiện sai số âm 3 lần đo
n=10 trong 10 lần đo là:
k=3
p=0.5
⇔

733

10
)3(
10
qpCP
=
=> q= 0.5
Với
120
)!3!10(!3
!10
3
10
=
−
=C
1172.0
128
15
)5.0()5.0(120
73)3(
10
≈=××=
P
Vậy xác suất xuất hiện sai số âm 3 lần đo trong 10 lần đo là 11.72％
kknk
n
k
n
pqCP
)(

−
=
Bài 2:
Theo đề ta có: M(X)= 25
D(X)= 10
⇒

10
=
σ
Tính:
25.82575.16)(
11
−=−=−=
XMx
ξ
61.2
10
25.8
1
1
1
−=
−
==
σ
ξ
t
18.12582.23)(
22

−=−=−=
XMx
ξ
37.0
10
18.1
)(
2
2
−=
−
==
X
t
σ
ξ
Tra bảng “Phụ lục 2”
⇒

005.0)61.2()(
1
=−=
FtF
345.0)37.0()(
2
=−=
FtF
3434.0005.0345.0)()()(
1221
==−=−=≤≤ tFtFxxxP

％
Vậy xác suất 1 lần thử để X rơi vào khoảng từ 16.75 đến 23.82 là 34％.
Bài 3:
Di mi t= Di - D
tb
k=mi - m
tb
t.k t
2
k
2
λ
b
8.7 8 3.35 3.75 12.56 11.22 14.06
3.7 3 -1.65 -1.25 2.06 2.72 1.56
5.1 4 -0.25 -0.25 0.06 0.06 0.06
4.9 4 -0.45 -0.25 0.11 0.20 0.06
6.1 5 0.75 0.75 0.56 0.56 0.56 0.76 0.16
5.6 3 0.25 -1.25 -0.31 0.06 1.56
6 4 0.65 -0.25 -0.16 0.42 0.06
2.7 3 -2.65 -1.25 3.31 7.02 1.56
D
tb
m
tb
∑ ∑ ∑
5.35 4.25 18.20 22.28 19.50

1.78 1.67
Với

1
1
2
−
=
∑
n
t
n
D
σ
1
1
2
−
=
∑
n
k
n
m
σ
mD
n
n
kt
σσ
λ

.

1
∑
=
Và: b= m
tb
- λD
tb
⇒
Phương trình hồi quy: m
i
=λD
i
+b
⇒
y=0.76D
i
+ 0.16
CHƯƠNG 2: Cơ sở lý thuyết sai số đo đạc
Bài 1:
Một góc β được đo 10 lần cùng một loại máy kinh vĩ. Kết quả thu được ghi
trong bảng bên dưới. Giả thiết sai số trung phương cần đo góc trên là
m = 2”.0 và mặt bằng tin cậy α = 0.01. Hãy đánh giá độ tin cậy của dãy kết
quả đo trên theo các phương pháp:
a. Phương pháp độ lệch cực đại.
b. Phương pháp kiểm tra hiệu chênh.
Bài tập 2:
Sai số thực (mm) khoảng cách đo bằng thước thép 10 lần đo là:
-1, 3, -2, 0, 2, -2, 1, -3, 4, -1 (mm). Hãy tính sai số trung phương một lần đo.
STT
i

β
 ( 0 ‘ “ )
STT
i
β
( 0 ‘ “ )
1 80 30 45.7 6 80 30 46.9
2 80 30 48.0 7 80 30 46.7
3 80 30 44.9 8 80 30 44.8
4 80 30 45.3 9 80 30 47.0
5 80 30 47.2 10 80 30 45.9
Bài tập 3:
Sai số thực (mm) khoảng cách đo bằng thước thép 10 lần đo là: -1, 3, -2, 0,
2, -2, 1, -3, 4, -1 (mm). Hãy tính sai số trung phương giá trị trung bình cộng
khoảng cách.
Bài tập 4:
Sai số thực (mm) khoảng cách đo bằng thước thép 10 lần đo là: -1, 3, -2, 0,
2, -2, 1, -3, 4, -1 (mm). Hãy tính sai số trung phương tương đối của trị trung
bình cộng khoảng cách 100m.
Bài tập 5:
Đo hai góc trong một tam giác với sai số trung phương tương ứng là 4" và 5"
. Góc thứ ba trong tam giác được tính trên cơ sở hai góc vừa đo. Hãy tính sai
số trung phương của góc thứ 3.
Bài tập 6:
Trị trung bình cộng đo từ 14 lần đo góc A là
''12'3090
0
, sai số trung phương
đo góc mỗi lần đo là 3". Hãy xác định sai số trung phương và khoảng tin cậy
của trị trung bình cộng với xác suất 95%.

Bài tập 7:
Để xác định diện tích một lô đất hình bình hành ABCD, ta tiến hành đo 2
cạnh S
AB
, S
AD
và góc kẹp giữa hai cạnh này với các kết quả như sau:
S
AB
= 130 m , S
AD
= 160 m , góc
0
50=
β
. Sai số trung phương tương đối đo
cạnh
10000
1
=
S
m
s
, sai số trung phương đo góc
"6=
β
m
.
Hỏi:
+ Diện tích lô đất.

+ Tính sai số trung phương và sai số trung phương tương đối xác định diện
tích.
Bài tập 8:
Biết điểm A có tọa độ x
A
= 500.00m; y
A
= 500.00m, khoảng cách AB là
S
AB
= 500.00m, sai số trung phương đo cạnh AB là
mmm
AB
S
2±=
; phương vị
cạnh AB là
0
30
=
AB
α
và sai số trung phương phương vị
"3±=
AB
m
α
. Đo
khoảng cách BC được S
BC

= 1000.00m và sai số trung phương đo cạnh S
BC
là
mmm
BC
S
7
±=
, góc
0
125=
β
và sai số trung phương đo góc
"5=
β
m
Tính:
+ Tọa độ điểm B và C.
+ Tính sai số trung phương vị trí điểm B và C
Giả sử điểm A không có sai số.
Bài tập 9:
Trong tam giác ABC người ta đo:
+ Góc A = với sai số trung phương 20"
+ Góc B= với sai số trung phương 20"
+ Cạnh BC = 135.45 m với sai số trung phương tương đối 1/2000
a. Tính sai số trung phương góc B.
b.Tính sai số trung phương tương đối độ dài cạnh AC.
"'0
493050
"'0

295060
BÀI GIẢI
Bài 1:
 Phương pháp độ lệch cực đại.

 β
max
= 80
0
30’48” ; β
min
= 80
0
30’44.8”
 Độ lệch cực đại trong dãy 10 trị đo:
R
n
=β
max
- β
min
= 80
0
30’48”- 80
0
30’44.8”= 3.2”
 Với
"2==
σ
m

; n=10
99.001.011
=−=−=
αβ
 Tra bảng D-simow
⇒
d
n,
α
= d
0.01,10
= 5.16
 Xác định R
max
cho phép:
R
max
=
=
n
d
,
.
α
σ
2 x 5.16= 10.32”
 Ta thấy: R
n
= 3.2” < R
max

= 10.32”
⇒
Kết quả đo góc có thể chấp nhận được. Sai số thô không tồn tại trong
dãy trị đo.
 Phương pháp kiểm tra hiệu chênh .
 β
max
= 80
0
30’48” ; β
min
= 80
0
30’44.8”
 Trị trung bình cộng không tính đến cực đại: x
1
= 80
0
30’46.04”
 Trị trung bình cộng không tính đến cực tiểu: x
2
= 80
0
30’46.4”
 Hiệu chênh giữa cực đại và trị trung bình cộng:
"96.1"04.46'3080"48'3080
00
1max1
=−=−=
x

βδ
 Hiệu chênh giữa cực tiểu và trị trung bình cộng:
"6.1"4.46'3080"8.44'3080
00
min22
=−=−=
βδ
x
 T
pmax
=
98.0
"2
"96.1
1
==
σ
δ

8.0
"2
"6.1
2
min
===
σ
δ
p
T
 Với

99.001.011
=−=−=
αβ
và n=10
 Tra bảng “ phân bố Student” với số bậc tự do n- 1= 9
25.3
01.0),9(),1(
==⇒
− pnp
tt
α
Ta thấy: T
pmax
< t
p(n-1),
α
T
pmin
< t
p(n-1),
α
Vậy không có cơ sở để nói rằng trong dãy trị đo β
max
, β
min
có tồn tại sai số thô
=> Không có cơ sở để loại bỏ dãy trị đo.
Bài 2:
 Sai số trung phương 1 lần đo:
[ ]

mm)(9.4
10
49
±=±=±=
n
m
εε
)(21.2 mmm ±≈
Vậy sai số trung phương 1 lần đo là:
)(21.2)(9.4 mmmmm
±=±=
Bài 3:
 Lập mối quan hệ hàm số:
S=
10
1
S
+
10
2
S
+
10
3
S
+
10
4
S
+

10
5
S
+
10
6
S
+
10
7
S
+
10
8
S
+
10
9
S
+
10
10
S
 Tính đạo hàm:
i
S
S
∂
∂
=

10
1
với i=
101
÷
 Công thức:
STT
ε
εε
1 -1 1
2 3 9
3 -2 4
4 0 0
5 2 4
6 -2 4
7 1 1
8 -3 9
9 4 16
10 -1 1
∑
49
2
2
10
2
2
1
2
101

SSS
m
S
S
m
S
S
m ×








∂
∂
++×








∂
∂
=

Vì các trị đo cùng độ chính xác
)(9.4 mmm
±=
(Tính ở bài 2)
Nên
)(7.0
10
9.4
mm
n
m
m
S
±=±=±=
Vậy sai số trung phương giá trị trung bình cộng khoảng cách là
)(7.0 mmm
S
±=
Bài 4:
Với
)(7.0 mmm
S
=
= 7x10
-4
(m) (Tính ở bài 3)
S= 100 (m)
⇒
Sai số trung phương tương đối của trị trung bình cộng khoảng cách

100m là:
140000
1
142857
1
100
1071
4
≈=
×
==
−
S
m
T
S
Vậy sai số trung phương tương đối của trị trung bình cộng khoảng cách
100m là
140000
11
=
T
Bài 5:
 Lập quan hệ hàm:
21
0
3
180
βββ
−−=

 Tính đạo hàm:
1
2
3
1
3
−=
∂
∂
=
∂
∂
β
β
β
β
 Công thức:
2
2
2
3
2
2
1
3
2
213
βββ
β
β

β
β
mmm ×








∂
∂
+×








∂
∂
=
"41)"5()"4(
222
3
=+=
β

m
"4.6"41
3
±==
β
m
Vậy sai số trung phương của góc thứ 3 là
"4.6
3
±=
β
m
Bài 6
 Gọi β là góc được đo
 Lập quan hệ hàm số:
∑
=
=
14
1
14
1
i
i
ββ
 Tính đạo hàm:
14
1
=









∂
∂
i
β
β
với i=
141
÷
 Công thức:
2
2
14
2
2
1
2
141

ββ
β
m
S
S

m
S
S
m
×








∂
∂
++×








∂
∂
=
Với
"3±== mm
i

β
⇒
Sai số trung phương:
"8.0
14
"3
±=±=±=
n
m
m
β
 Lập khoảng tin cậy:
β
β
tm
±
mà p=95% => t= 2
Vậy khoảng tin cậy là: 90
0
30’12”
±
2x0.8”
Hay: 90
0
30’10.4” <
_
β
< 90
0
30’13.6”

Bài 7:
S
AB
= 130 m
S
AD
= 160 m
góc
0
50=
β
10000
1
=
S
m
s
: Sai số trung phương tương đối đo cạnh.
)(
206265
6
"6 mm ==
β
Diện tích hình bình hành ABCD:
ADABDHABhaS ××=×=×=
β
sin
)(72.1593350sin160130
20
mS =××=

Vậy diện tích lô đất là 15933.72 m
2
Theo đề bài ta có sai số trung phương tương đối đo cạnh:
1000
1
=
S
m
s
)(13)(013.0
10000
130
1000010000
1
mmm
S
m
S
m
AB
AB
AB
AB
====⇒=⇒
Sai số trung phương cạnh AB:
)(13 mmm
AB
±=
)(16)(016.0
10000

160
1000010000
1
mmm
S
m
S
m
AD
AD
AD
AD
====⇒=⇒
Sai số trung phương cạnh AD:
)(16 mmm
AD
±=
D
C
A
B
H
 Sai số trung phương diện tích:

ADABS ××=
β
sin

β
sin×=

∂
∂
AD
AB
S
;
β
sin×=
∂
∂
AB
AD
S

β
β
cos××=
∂
∂
ADAB
S
 Công thức:
2
2
2
2
2
2
2
β

β
m
S
m
AD
S
m
AB
S
m
ADABS
×








∂
∂
+×






∂

∂
+×






∂
∂
=
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
( )















×××+
+×××+×××=
−−
2
2
0
2
3
2
0
2
3
2
02
206265
6
50cos160130
101650sin130101350sin160
S
m
)(29.2
2289.5
2
2
mm
m
S
S
=⇒
=

Vậy sai số trung phương xác địnhdiện tíchlà :
)(28.2
2
mm
S
=
 Sai số trung phương tương đối xác định diện tích:
47.6988
1
72.15933
28.21
===
S
m
T
S
Vậy sai số trung phương tương đối xác định diện tích là:
47.6988
11
=
T
Bài 8:
"5;125
7;1000
"3;30
2;500
500;500
0
0
==

±==
±==
±==
==
β
α
β
α
m
mmmmBC
m
mmmmS
mymx
BC
AB
SAB
AA
AB
AB
Giải:
Tính tọa độ điểm B và C
Ta có:

)(013.93330cos500500
cos
0
mx
Sxx
B
ABAB

AB
=×+=
×+=
α
)(75030sin500500
sin
0
my
Syy
B
ABAB
AB
=×+=
×+=
α
Vậy tọa độ điểm B(933.013m; 750m)
Theo cách tính góc phương vị ta có:
00000
00
33536018012530
360180
=+−+=
+−+=
BC
ABBC
α
βαα
Suy ra:

)(321.1839335cos1000013.933

cos
0
mx
Sxx
C
BCBC
BC
=×+=
×+=
α
)(38.327335sin1000750
sin
0
my
Syy
C
BCBC
BC
=×+=
×+=
α
Vậy tọa độ điểm C (1839.321m; 327.38m)
Tính sai số trung phương vị trí điểm:

22
BB
yxB
mmm +=
;
22

CC
yxC
mmm +=
.
Ta có:
AB
ABAB
Sxx
α
cos×+=

AB
AB
B
S
x
α
cos=
∂
∂
;
ABAB
AB
B
S
x
×−=
∂
∂
α

α
sin
;
(Giả sử A không có sai số)
 Công thức:
2
2
2
2
2
ABABB
m
x
m
S
x
m
AB
B
S
AB
B
x
α
α
×









∂
∂
+×








∂
∂
=
( )
)(03.4
)(22.16
206265
3
1050030sin2)30(cos
2
2
2
302202
mmm
mmm

m
B
B
B
x
x
x
±=⇒
=⇔






×××−+×=⇔

2
2
2
2
2
ABABB
m
x
m
S
y
m
AB

B
S
AB
B
y
α
α
×








∂
∂
+×








∂
∂
=

( )
)(38.6
)(66.40
206265
3
1050030cos2)30(sin
2
2
2
302202
mmm
mmm
m
B
B
B
x
x
x
±=⇒
=






×××+×=⇔
−
Vậy sai số trung phương vị trí điểm B:

)(54.766.4022.16
22
mmmmm
BB
yxB
±=+=+=
Điểm C
Ta có:
00
360180 +−+=
βαα
ABBC

1=
∂
∂
AB
BC
α
α
;
1=
∂
∂
β
α
BC

2
2

2
2
2
βαα
β
α
α
α
mmm
BC
AB
BC
ABBC
×








∂
∂
+×









∂
∂
=
( )
"83.5
"34
"5)"3(
2
2
22
±=⇒
=⇔
+=⇔
BC
BC
BC
m
m
m
α
α
α
Ta có:

BC
BCBC
Sxx

α
cos×+=

BC
BC
C
S
x
α
cos
=
∂
∂
;
BCBC
BC
C
S
x
×−=
∂
∂
α
α
sin
 Công thức:
2
2
2
2

2
BCBCC
m
x
m
S
x
m
BC
C
S
BC
C
x
α
α
×








∂
∂
+×









∂
∂
=
( )
)(53.13
)(93.182
206265
83.5
101000335sin7)335(cos
2
2
2
302202
mmm
mmm
m
C
C
C
x
x
x
±=⇒
=⇔







×××−+×=⇔
Ta có:

BC
BCBC
Syy
α
sin×+=

BC
BC
C
S
y
α
sin
=
∂
∂
;
BCBC
BC
C
S

y
×=
∂
∂
α
α
cos
 Công thức:
2
2
2
2
2
BCBCC
m
y
m
S
y
m
BC
C
S
BC
C
y
α
α
×









∂
∂
+×








∂
∂
=
( )
)(79.25
)(95.664
206265
83.5
101000335cos7)335(sin
2
2
2

302202
mmm
mmm
m
C
C
C
y
y
y
±=⇒
=⇔






×××+×=⇔
Vậy sai số trung phương vị trí điểm C:
)(12.2995.66493.182
22
mmmmm
CC
yxC
±=+=+=
Bài 9:
Gọi 3 góc A,B,C lần lượt là 3 góc
321
,,

βββ
Ta có:

21
0
3
0
321
180
180
βββ
βββ
−−=⇔
=++

1
2
3
1
3
−=
∂
∂
=
∂
∂
β
β
β
β


2
2
2
3
2
2
1
3
2
213
βββ
β
β
β
β
mmm ×








∂
∂
+×









∂
∂
=
( ) ( )
"28.28800
800"20"20
3
3
22
2
===⇔
=+=⇔
∧
C
mm
m
β
β
Vậy sai số trung phương góc C là:
"28.28=
∧
C
m
 Tính sai số trung phương tương đối độ dài cạnh AC.

Ta có:
)(73.67
2000
1045.1351
3
mm
T
S
m
S
m
T
BC
S
BC
S
BC
BC
±=
×
==⇒=
ACBC
SS
21
sinsin
ββ
=

( )
( )

( )
m
S
S
BC
AC
26.153
"49'3050sin
"29'5060sin45.135
sin
sin
0
0
1
2
=
×
=
×
=⇒
β
β

1
2
sin
sin
β
β
=

∂
∂
BC
AC
S
S
;
1
2
2
sin
cos
β
β
β
×
=
∂
∂
BCAC
SS
( )
( )
2
1
22
1
sin
cossin
β

ββ
β
−××
=
∂
∂
BCAC
SS
 Công thức:
2
2
1
2
2
2
2
2
2
12
ββ
ββ
m
S
m
S
m
S
S
m
ACAC

S
BC
AC
S
BCAC
×








∂
∂
+×








∂
∂
+×









∂
∂
=
2
0
0
2
73.67
"49'3050sin
"29'5060sin
×=
AC
S
m
+
2
2
0
03
206265
20
"49'3050sin
"29'5060cos1045.135







×








××
+
+
2
2
0
03
206265
20
"49'3050sin
"29'5060sin1045.135







×








××
.
( )
( )
mmm
mmm
AC
AC
S
S
04.78
09.6091
2
±=⇔
=⇔
Vậy sai số trung phương tương đối độ dài cạnh AC:
1964
1
1026.153
04.781

3
=
×
==
AC
S
S
m
T
AC

Chương 3: Xử lí số liệu đo lặp đo kép
Bài 1: Cho kết quả đo chênh cao giữa các điểm theo phương pháp thay đổi
chiều cao máy như trong bảng. Hãy tính sai số của một lần đo chênh cao và
sai số trung phương của trị trung bình cộng của hai lần đo.
Trạm đo Chênh cao
h’ h”
1 1.357 1.359
2 0.980 0.974
3 1.220 1.218
4 1.458 1.463
5 0.638 0.639
6 0.743 0.74
7 0.596 0.598
8 1.157 1.154
9 0.934 0.937
Bài 2: Để xác định chênh cao giữa hai điểm A và B, người ta tiến hành đo
chênh cao giữa hai điểm này với kết quả và các lần đo có số trạm máy tương
ứng như trong bảng. Hãy tính chênh cao gần đúng nhất và sai số trung
phương tương đối của nó.

Chênh cao (m) Trạm đo
1 1.352 4
2 1.354 6
3 1.356 8
4 1.358 9
5 1.359 7
6 1.362 8
7 1.35 10
8 1.361 6
9 1.357 5
Bài 3: Để xác định chênh cao giữa hai điểm A và B, người ta tiến hành đo
chênh cao giữa hai điểm này với kết quả và các lần đo có số trạm máy tương
ứng như trong bảng.
a. Hãy tính chênh cao gần đúng nhất và sai số trung phương tương đối của
nó.
b. Xác định trị đo nào vượt quá khoảng tin cậy cho chênh cao đo trên ứng
với xác suất 97%.
STT Chênh cao (m) Trạm đo
1 1.346 4
2 1.354 6
3 1.356 8
4 1.358 9
5 1.349 7
6 1.362 8
7 1.35 10
8 1.361 6
9 1.363 5
Bài giải:
Bài 1:
Trạm đo Chênh cao

h’ h” di(mm) didi
1 1.357 1.359 -2 4
2 0.980 0.974 6 36
3 1.220 1.218 2 4
4 1.458 1.463 -5 25
5 0.638 0.639 -1 1
6 0.743 0.74 3 9
7 0.596 0.598 -2 4
8 1.157 1.154 3 9
9 0.934 0.937 -3 9
|[d]|= 1 [dd]= 101
[|d|]= 27
Ta thấy:
[ ]
[ ]
dd
==×〈=
75.62725.01
Hay:
[ ]
[ ]
dd
×〈
25.0
. Vậy không tồn tại sai số thô còn dư.
=> Sai số trung phương của một lần đo chênh cao là:
[ ]
)(37.2
18
101

2
mm
n
dd
m
L
±=±=±=

=>Sai số trung phương trị trung bình cộng của 2 lần đo là:
[ ]
)(67.1
36
101
4
mm
n
dd
m
x
±=±=±=
Bài 2:
 Chọn sai số trung phương trọng số đơn vị là sai số trung phương của
chênh cao tuyến từ 1 lần đo có 10 trạm đo.
10
1
×=⇒
TĐ
m
µ
 Sai số trung phương của chênh cao tuyến từ số trạm đo bất kỳ được tính:

STĐmmm
TĐi
×=
1

 Trọng số của chênh cao tuyến từ số trạm đo bất kỳ được tính:
( )
( )
STĐ
STĐm
m
m
P
TĐ
TĐ
i
i
1010
2
1
2
1
2
2
=
×
×
==
µ
 Chọn h

0
= 1.350(m)
 Tính: δ
i
= h
i
- h
0
 Tính chênh cao gần đúng nhất:
[ ]
[ ]
)(356.110
873.13
246.88
350.1
3
0
m
P
P
hh
i
ii
AB
=×







+=+=
−
δ
 Tính hiệu chỉnh: v
i
= h
AB
- h
i
 Tính sai số trung phương trọng số đơn vị :
[ ]
)(856.4
8
635.188
1
mm
n
Pvv
±=±=
−
±=
µ
 Tính sai số trung phương của chênh cao gần đúng nhất:
[ ]
)(304.1
873.13
856.4
mm
P

m
AB
h
±=±=±=
µ
 Tính sai số trung phương tương đối của chênh cao gần đúng nhất:
1000
1
877.1039
1
356.1
10304.11
3
==
×
==
−
AB
h
h
m
T
AB
Vậy chênh cao gần đúng nhất: h
AB=
1.356(m)
Sai số trung phương tương đối của chênh cao gần đúng nhất:
1000
11
=

T
Bài 3:
 Chọn sai số trung phương trọng số đơn vị là sai số trung phương của
chênh cao tuyến từ 1 lần đo có 10 trạm đo.
10
1
×=⇒
TĐ
m
µ
 Sai số trung phương của chênh cao tuyến từ số trạm đo bất kỳ được tính:
STĐmmm
TĐi
×=
1

 Trọng số của chênh cao tuyến từ số trạm đo bất kỳ được tính:
( )
( )
STĐ
STĐm
m
m
P
TĐ
TĐ
i
i
1010
2

1
2
1
2
2
=
×
×
==
µ
STT h
i
Trạm
đo
P
i
=10/STĐ δ
I
(mm) P
I
δ
i
(mm) v
i
(mm) Pv Pvv
1 1.352 4 2.5 2 5 4 10 40
2 1.354 6 1.667 4 6.667 2 3.333 6.667
3 1.356 8 1.250 6 7.5 0 0 0
4 1.358 9 1.111 8 8.889 -2 -2.222 4.444
5 1.359 7 1.429 9 12.857 -3 -4.286 12.857

6 1.362 8 1.250 12 15 -6 -7.5 45
7 1.35 10 1 0 0 6 6 36
8 1.361 6 1.667 11 18.333 -5 -8.333 41.667
9 1.357 5 2 7 14 -1 -2 2
∑
13.873 88.246 188.635
 Chọn h
0
= 1.346(m)
 Tính: δ
i
= h
i
- h
0
 Tính chênh cao gần đúng nhất:
[ ]
[ ]
)(355.110
873.13
452.126
346.1
3
0
m
P
P
hh
i
ii

AB
=×






+=+=
−
δ
 Tính hiệu chỉnh: v
i
= h
AB
- h
i
STT h
i
Trạm
đo
P
i
=10/STĐ δ
I
(mm) P
I
δ
i
(mm) v

i
(mm) Pv Pvv
1 1.346 4 2.5 0 0 9 22.5 202.5
2 1.354 6 1.667 8 13.333 1 1.667 1.667
3 1.356 8 1.25 10 12.5 -1 -1.25 1.25
4 1.358 9 1.111 12 13.333 -3 -3.333 10
5 1.349 7 1.429 3 4.286 6 8.571 51.429
6 1.362 8 1.25 16 20 -7 -8.75 61.25
7 1.35 10 1 4 4 5 5 25
8 1.361 6 1.667 15 25 -6 -10 60
9 1.363 5 2 17 34 -8 -16 128
∑
13.873 126.452 541.095
 Tính sai số trung phương trọng số đơn vị :
[ ]
)(224.8
8
541.095
1
mm
n
Pvv
±=±=
−
±=
µ
 Tính sai số trung phương của chênh cao gần đúng nhất:
[ ]
)(208.2
873.13

224.8
mm
P
m
AB
h
±=±=±=
µ
 Tính sai số trung phương tương đối của chênh cao gần đúng nhất:
600
1
667.613
1
355.1
10208.21
3
==
×
==
−
AB
h
h
m
T
AB
 Lập khoảng tin cậy:
Xác suất 97% => t= 2.2
Khoảng tin cậy:
AB

hAB
mh ×± 2.2
)(360.1)(350.1 mhm
AB
≤≤⇒
Vậy những trị đo vượt khỏi khoảng tin cậy với xác suất 97% là:
h
1
= 1.346(m); h
5
= 1.349(m); h
6
= 1.362(m); h
8
= 1.361(m); h
9
= 1.363(m);
Chương 4: Cơ sở lý thuyết bình sai trị đo lưới trắc địa .
Bài 1:
Viết hệ phương trình điều kiện số hiệu chỉnh ( phương pháp bình sai điều
kiện) và hệ phương trình số hiệu chỉnh ( theo phương pháp bình sai tham số)
cho lưới độ cao sau:
Số liệu gốc: Số liệu đo:
Bài 2:
Viết hệ phương trình điều kiện số hiệu chỉnh ( phương pháp bình sai điều
kiện) và hệ phương trình số hiệu chỉnh ( theo phương pháp bình sai tham số)
cho lưới độ cao sau:
STT H(m)
A 3.000
B 2.000

C 4.000
D 5.000
A
C
B
D
h
5
h
3
h
4
h
2
h
1
A
B
h
6
h
5
h
4
4
h
7
h
3
h

2
h
1
III
II
I
2
1