BÀI TẬP TỰ ĐỘNG HÓA QUÁ TRÌNH SẢN XUẤT(TRANG 1217).DOC

Bài tập tự động hóa quá trình sản
xuất(trang 12ữ17)
1.1.2 Các khái niệm có liên quan đến hệ thống động học (tiếp theo)
Một phơng trình vi phân cổ điển bao gồm các số hạng phụ thuộc vào
biến số và tổng ,hiệu đạo hàm của chúng tạo thành phơng trình hàm số đầu
vào. Đáp ứng của hệ có thể đúng với điều kiện ban đầu hay sự biến thiên đầu
vào. Một ví dụ về dạng phơng trình vi phân cổ điển dới đây :
)(
0
2
2
tfa
dt
dx
dt
xd
=++
x(0
-
) = x
0
(1.1)
dt
dx
(0
-
) =

x
0
Trong công thức trên x(t) là biến đáp ứng, a

i
là các hằng số phụ thuộc
các tham số của hệ. Hàm f(t) chứa các tác động bên ngoài (có thể là ngoại
lực ) và x
0
,

x
mô tả trạng thái ban đầu và tốc độ ban đầu của hệ ngay tại
thời điểm t=0. Chúng ta tính toán hàm x(t) nhằm mô tả đáp ứng của hệ. Chú
ý một biến số có dấu chấm ở phía trên miêu tả việc lấy vi phân theo thời
gian, do đó phơng trình trên có thể đợc viết lại theo dạng sau
xaxax
01
++

= f(t) (1.2)
Ký hiệu 0
-
không thờng đợc hay dùng tuy nhiên nó là điều kiện quan
trọng để xác định điều kiện ban đầu và giá trị đầu vào, ta coi đó là những gia
trị ngay trớc và sau thời điểm t = 0.
Chúng ta cũng có thể sử dụng toán tử lấy đạo hàm D để miêu tả vi phân
theo thời gian (xem lại 1.6) :
D=
dt
d
(1.2)
Theo đó :
Dx=

`dt
dx
- 1 -
D
2
x=
2
2
dt
yd
Sử dụng toán tử lấy vi phân ,chúng ta có thể viết lại phơng trình 1.2 nh
sau :
[D
2
+ a
1
D + a
0
]x(t) = f(t) (1.4)
Thông thờng chúng ta hay miêu tả biến đáp ứng của hệ theo dạng chuẩn
thông qua đầu vào cũng nh tỷ lệ giữa đầu ra - đầu vào. Với hệ tuyến tính,
hàm truyền của nó đợc định nghĩa là tỷ lệ giữa đầu ra với đầu vào của hệ với
điều kiện biên ban đầu đã đợc xác định qua biến đổi LapLace phơng trình
của hệ. Biến đổi Laplace (xem phụ lục F) của phơng trình 1.2 với điều kiện
không ban đầu là :
[s
2
+ a
1
s + a

0
].X(s) = F(s) (1.5)
Biến đổi Laplace sẽ chuyển đổi phơng trình của hệ từ một phơng trình
với biến thời gian là độc lập thành một phơng trình có biến s là biến độc lập.
Kết quả mô tả thông qua biến s sẽ tiện lợi hơn khi mô tả theo biến thời gian .
Giải phơng trình (1.5) với tỷ lệ đầu ra - đầu vào cho ta hàm truyền của
hệ :
01
2
1
)(
)(
asassF
sX
++
=
(1.6)
Tỷ lệ đầu ra - đầu vào cũng có thể đợc viết thông qua ký hiệu theo biến
thời gian và sử dụng toán tử lấy vi phân D, sắp xếp lại phơng trình (1.4) ta đ-
ợc :
01
2
1
)(
)(
aDaDtf
tx
++
=
(1.7)

Trong biểu thức biến đổi Laplace thì phơng trình (1.6) đợc sử dụng để
định nghĩa hàm truyền, ở công thức trên chúng ta tìm hàm truyền theo biến
thời gian sẽ thuận lợi hơn. Nếu vi phân của hàm f(t) xảy ra ở vế phải của ph-
ơng trình vi phân thì tử số của hàm truyền cũng chứa biến s (hay D) và chúng
ta thờng xem đó là tỷ lệ giữa hai đa thức biến s ( D).
Phơng trình vi phân trong không gian là tập hợp đồng thời của các ph-
ơng trình vi phân bậc nhất. Biến trạng thái là các biến phụ thuộc vào từng ph-
- 2 -
ơng trình vi phân bậc nhất và mô tả đáp ứng động học của hệ thống. Một ví
dụ về phơng trình vi phân trong không gian đợc định nghĩa nh sau :

x
= a
1
x + a
2
y +f(t) (1.8a)

y
= a
3
.x.y.sin(x) + g(t) (1.8b)

z
= a
4
.x.z + a
5
e
-yt

h(t) (1.8c)
x(0) = x
0
y(0) = y
0
z(0) = z
0
Bậc của phơng trình vi phân hay hệ động học là số đạo hàm độc lập của
hệ. Trong một phơng trình vi phân thông thờng, bậc là hiệu của vi phân cấp
cao nhất với vi phân cấp thấp nhất trong phơng trình. Phơng trình (1.2) là ph-
ơng trình bậc hai .
Trong tập hợp phơng trình của một hệ, bậc của nó là số đạo hàm riêng
của tất cả các phơng trình. Từ phơng trình (1.8a) đến phơng trình (1.8c) mô
tả một hệ ba bậc .
Hàm số tuyến tính là hàm số có hai đặc điểm sau :
Nếu bạn nhân đối số của hàm với một hằng số thì giá trị của hàm
số sẽ đợc nhân lên bởi chính hằng số đó :
F(a.x) = a.F(x) (1.9)
Tổng giá trị hàm số đối với các biến bằng giá trị hàm số đối với
tổng các biến đó :
F(x
1
+x
2
) = F(x
1
) + F(x
2
) (1.10)
Chúng ta có thể kết hợp hai đặc tính trên nh sau :

F(a
1
x
1
+a
2
x
2
) = a
1
.F(x
1
) + a
2
.F(x
2
) (1.11)
Theo đó chỉ có hàm số tuyến tính là một đờng thẳng đi qua gốc toạ độ;
Dạng y = m.x +b không phải là hàm tuyến tính tuân theo các điều kiện trên .
Một tổ hợp tuyến tính của các biến số đợc tạo ra từ tổng các tích của
chúng. Ví dụ, L = ax+by, ở đây a, b là các hằng số, là một tổ hợp tuyến tính
của các biến x và y. Một phơng trình tuyến tính đợc tạo ra từ một tổ hợp
tuyến tính và các đạo hàm của nó. Một phơng trình vi phân tuyến tính là một
phơng trình đợc tạo ra từ một tổ hợp tuyến tính của các đạo hàm của các biến
- 3 -
hệ thống. Ví dụ ,L = ax +b

x
+ c

x
, ở đây a,b và c là các hằng số, là phơng
trình vi phân tuyến tính, và các phơng trình (1.1), (1.2), (1.8a) là các phơng
trình vi phân tuyến tính hệ số hằng .
Một hệ tuyến tính đợc miêu tả bởi phơng trình đại số tuyến tính và ph-
ơng trình vi phân tuyến tính. Trái lại một hệ phi tuyến bao gồm tổ hợp không
tuyến tính của các biến và đạo hàm. Ví dụ về các hàm phi tuyến là tích của
các biến số nh bình phơng, lập phơng của các biến. Phơng trình (1.8b) và
(1.8c) là ví dụ về phơng trình vi phân không tuyến tính.
Nghiệm giải tích của phơng trình vi phân là biểu thức toán học của các
biến số nh một hàm phụ thuộc thời gian và có thể chứa các hàm mũ, hàm l-
ợng giác sin (cos) hay bất kì hàm nào khác. Giải một phơng trình vi phân
theo phơng pháp giải tích đòi hỏi phải có kiến thức về điều kiện ban đầu và
đầu vào, nó nh là hàm hiện của thời gian. Nghiệm giải tích đợc tìm bằng
cách tận dụng các kĩ thuật giải phơng trình vi phân cổ điển hay sử dụng kỹ
thuật biến đổi Laplace (Xem phụ lục E và F để nắm bắt các phơng pháp trên)
.
Việc tìm nghiệm phơng trình vi phân tuyến tính có thể dễ dàng và các
nghiệm giải tích của chúng có thể dễ dàng tìm đợc bằng cách ứng dụng rộng
rãi các phơng pháp đã đợc thừa nhận và đợc giới thiệu ở phần phơng trình vi
phân cơ bản. Ngợc lại với hệ phi tuyến, loại trừ các hệ bậc một ,chỉ xét tới
các hệ có bậc từ hai trở lên không thể giải bằng phơng pháp giải tích. Nếu
phơng pháp giả tích là không khả thi với hệ phi tuyến thì nghiệm số gần
đúng của phơng trình vi phân không tuyến tính có thể tìm đợc bằng các ph-
ơng pháp giả thiết gần đúng. Chúng ta gọi sự gần đúng là cách giải có sử
dụng máy điện toán .
Một đáp án có dùng tới máy điện toán của phơng trình vi phân có thể
tìm ra bằng cách tích phân có sử dụng máy tính số. Tích phân số là một quá
- 4 -
trình sử dụng tin học để tính một nghiệm gần đúng về một số nguyên của

một hàm số có chứa đạo hàm bằng phơng pháp số. Phơng pháp phổ biến để
tìm nghiệm phơng trình vi phân là sử dụng số gia nhỏ theo thời gian. Theo
đó nghiệm của phơng trình vi phân chỉ là những khoảng thời gian rời rạc. Ph-
ơng pháp có sử dụng máy điện toán nói chung là tận dụng để mô tả trạng thái
không gian của phơng trình vi phân. Nói chung tính toán đáp ứng của một hệ
thống động học theo cách này gọi là mô phỏng số (phơng pháp số) .
Trong cách tính tơng tự thì phơng trình vi phân đợc mô tả bởi một mối
quan hệ tuyến tính hay phi tuyến của các thành phần điện và máy tích phân
điện tử (tính toán khuyếch đại các thông tin phản hồi). Từ đó phơng trình
điều khiển hệ thống điện cũng nh các phơng trình điều khiển hệ thống động
học đều đợc xem xét kĩ lỡng, khi có một tín hiệu tơng tự đợc thiết lập giữa
hai hệ thống. Máy tích phân điện tử có thể giải đợc phơng trình vi phân bằng
cách thực hiện các hoạt động động học về điện tơng ứng để cho hệ thống có
thể hiểu đợc. Rất nhiều hệ thông có thể mô phỏng bằng cách tạo ra tín hiệu t-
ơng tự giữa tín hiệu hiển thị là Vol(v) của một máy tính tơng tự và nghiệm
của phơng trình vi phân đợc giải .
1.2 Mô hình hoá hệ thống động học
1.2.1 Các bớc trong quá trình mô hình hoá và mô tả hệ thống động học
Hình 1.5 minh hoạ một vài giai đoạn liên quan đến mô hình hoá hệ
thông động học. Bớc đầu tiên là quan tâm tới hệ thông động học thực tế. Nó
phải có tất cả các đáp ứng động học tiêu biểu tơng ứng một cách chính xác
với hoạt động của hệ tuyến tính hay phi tuyến và các quan hệ động học mặc
nhiên xuất hiện của hệ thống .Hệ thống thực tế, tất nhiên là phải có những
đáp ứng thực tế mà chúng ta cần xác định .
Bớc hai là sự nhận thức của ngời thiết kế về hệ thống và các thành phần
động học tiêu biểu của nó. Mô hình này có thể bỏ qua một số các thành phần
- 5 -
phi tuyến hay các thành phần động học bậc cao nhằm đơn giản hoá. Tuy
nhiên hệ thống thực phải chứa tất cả các tác động và các bộ phận cấu thành.
Về việc này sự nhận thức của ngời thiết kế có thể không miêu tả đúng một hệ

thống thực.
Bớc ba là mô hình hoá toán học hệ
thống bằng phơng trình vi phân nhận đợc từ
việc bảo toàn các đặc tính theo một quy tắc
phù hợp. Nếu hệ là tuyến tính thì việc phát
triển mô hình toán học phù hợp là khá dễ
dàng. Tuy nhiên nếu hệ là phi tuyến thì mô
hình toán học sẽ chứa các phép xấp xỉ nhằm
đơn giản hóa thuật toán. Về điều này phơng
trình có thể miêu tả không chính xác nhận
thức của ngời thiết kế về hệ thống hiện tại .
Bớc bốn là tính toán đáp ứng của hệ
thống .Đáp ứng của hệ mô tả bằng phơng
pháp giải tích là lời giải chính xác của ph-
ơng trình. Dù vậy vẫn tồn tại một vài lỗi nhỏ
giữa đáp ứng đợc tìm theo phơng pháp số
hay phơng pháp tơng tự và nghiệm thực của
phơng trình
Bớc thứ năm liên quan đến việc phân
tích quá trình thực hiên của hệ thống đợc thể hiện qua những đại lợng đo l-
ờng đặc trng. Điều này bàn đến phơng pháp phân tích tần số và thời gian của
hệ để đánh giá hoạt động của hệ .
Một trong những trách nhiệm quan trọng nhất của ngời thiết kế là quá
trình kiểm tra sự kết hợp các trị số của các thành phần xác định hoạt động
của hệ và điều khiển trị số của các thành phần cho tới khi đạt đợc hoạt động
mong muốn. Các thủ tục giảm và kiểm tra có thể đợc thực hiện bằng cách lắp
ráp phần cứng hay bằng mô hình toán. Cái thuận lợi của mô hình hoá và
phân tích toán học là thờng nhanh hơn và không đắt bằng thử nghiêm với các
phần cứng. Theo đó quá trình lặp lại ở hình (1.5) trong đó hệ thống đợc
chỉnh sửa lại là một phần quan trọng của quá trình thiết kế .

Một điều quan trọng cần chú ý rằng vì mô hình hoá có thể đơn giản
(bằng cách bỏ đi các thành phần phi tuyến và bậc cao) hay xấp xỉ, việc tính
toán đáp ứng hệ thống từ nghiệm giải tích của phơng trình vi phân có thể bỏ
qua trong quá trình tính đáp ứng của hệ. Nếu mô hình toán học có chứa phép
- 6 -
Vật thể có thật
Hệ thống động học
Mô hình của sự nhận
thức về hệ thống
Biểu diễn toán học
Tính toán đáp ứng
Phân tích hoạt động
Hình 1.5
xấp xỉ thì tìm nghiệm giải tích là hai bớc đã đợc thực hiện trong quá trình
xác định đáp ứng của hệ thống hiện tại .
Khi đáp ứng đợc tìm bằng mô phỏng số hay mô phỏng tơng tự thì đã
thực hiện đợc ba bớc trong đáp ứng của hệ thống hiện tại, từ đây có thể có
một vài sai lệch trong việc tính tích phân hay các đáp ứng điện và mô hình
toán học có thể không chứa các hệ thống có bậc cao hơn .
Khi ta nói đến hệ thống tức là đề cập đến hệ thống có thực hay mô
hình toán học của hệ thống đó. Thông thờng khi đề cập đến đáp ứng của hệ
thống có nghĩa là ta nói tới đáp ứng của hệ thống thực hay sự tính toán hoặc
mô phỏng đáp ứng của hệ thống. Chúng ta cần phải chú ý tới sự khác biệt
trên .
Mô hình hoá hệ thống ,tính toán đáp ứng của hệ ,phân tích hoạt động
của hệ thống và thiết kế lại hệ thống cho phù hợp là các phần trong chu trình
hoàn thành một công cụ khoa học. Trừ các phần lí thuyết trìu tợng, không có
bớc đơn lẻ nào có giá trị nếu không hoàn thành theo chu trình đó. Sau khi
quá trình trên hoàn tất nêu đáp ứng của hệ thống không hiển thị đợc thì hệ và
mô hình của nó cần phải sửa chữa và các thành phần đang tồn tại cũng phải

điều chỉnh lại theo đầu ra của hệ thống .
1.2.2 Tiện ích của việc mô phỏng và mô hình hoá hệ thống
Thuận lợi chủ yếu của mô hình hoá một hệ thống và phân tích đáp ứng
của nó là cho phép ta biết trớc hoạt động của nó trớc khi tạo ra nó. Điều này
đôi khi gọi là nguyên mẫu thực. Chúng ta cũng có thể phân tích hoạt động
của một hệ thống đã tồn tại nhằm cải tiến những hoạt động tĩnh hay động
của hệ thống hay chúng ta có thể xác định điều gì xảy ra với hệ khi điều đầu
vào khác thờng hoặc xác định những điều kiện không làm cho hệ thống thực
bị nguy hiểm .
Ví dụ nếu chúng ta đang thiết kế một hệ thống mới và muốn có đợc
mức độ hoạt động chính xác, chúng ta có thể lựa chọn những thành phần có
kích thớc chính xác để cho ta kết quả mong muốn. Mặt khác nếu hệ thống đã
tồn tại và ta muốn cải tiến hoạt động của nó ,mô hình hoá và phân tích sẽ
giúp ta xác định những thành phần nào có thể thay đổi và khoảng thay đổi
cần thiết. Nếu chúng ta muốn giảm các thành phần tiêu biểu của hệ, mô hình
hoá không chỉ giúp ta biết đợc thành phần nào ảnh hơng đến mà còn chỉ cho
ta biết làm nh nào để thay đổi chúng sao cho đạt đợc kết quả mong muốn.
Nếu chúng ta đã tìm hiểu về những gì sẽ xảy ra đối với hệ thống khi đầu vào
hay điều kiện khác thờng nh sự không hoạt động của động cơ thuỷ lực phụ
trên hệ thông điều khiển của máy bay hay một phơng tiện đờng không sau đó
mô hình hoá và phân tích nó sẽ không làm cho chúng ta mất nhiều triệu $ khi
rủi ro trong việc xác định trạng thái hoạt động của hệ thống .
Một mô hình toán học tốt của hệ thống động học là có thể cung cấp
ngay cho chúng ta hoạt động của các bộ phận cấu thành nên hệ thống và các
- 7 -
thành phần động học tiêu biểu mà không phải phân tích nhiều. Nếu chúng ta
gặp những thành phần động học tiêu biểu quen thuộc thì ta có thể đoán nhận
đợc đáp ứng của hệ thống, đủ truyền đạt những gì cần biết của chúng ta về
đáp ứng của hệ, hay ta muốn tính toán tần số và đáp ứng thời gian của hệ để
cung cấp thêm những hiểu biết rõ về nó .

Tất nhiên nghiệm của phơng trình vi phân có thể không mô tả chính xác
hệ thống thực tế một cách rõ ràng, mặc dù vậy thì việc mô phỏng cũng chỉ ra
đợc phơng hớng của đáp ứng để chúng ta có thể biết đợc thành phần nào thay
đổi đợc hay xấp xỉ chúng nh thế nào để cho ta kết quả mong muốn .

- 8 -