Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán lần 2 năm 2015 trường THPT Chuyên Long An, Long An

ĐỀ THI THỬ THPTQG LẦN 2 - NĂM HỌC 2014-2015
Môn: Toán.
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1. (2,0 điểm). Cho hàm số:



x 2
y
2x 1
(C).
a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
d : y 5x 2 
.
Câu 2. (1,0 điểm).
a.Chứng minh rằng:
    
8 8 6 6 4
3(sin cos ) 4(cos 2sin ) 6sin 1x x x x x
.
b. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn:
    
1 i z 2 3i 1 2i 7 3i     
.
Câu 3. (0,5 điểm). Giải bất phương trình:
2x x
2 5.2 6 0  
.
Câu 4. (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:
 

2 2
2 2
2x x 3y 7
x 6xy y 5x 3y

 


   


Câu 5. (1,0 điểm). Tính tích phân:
 

 
  
 

2
0
I 2sin2x cosx ln 1 sinx dx.
Câu 6. (1,0 điểm).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a . Hình chiếu
vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB; Góc giữa đường thẳng SC và mặt
phẳng đáy bằng 60
0
. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và góc giữa hai đường thẳng SB và AC.
Câu 7. (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trung tuyến và phân giác trong kẻ
từ cùng một đỉnh B có phương trình lần lượt là
1

d : 2x y 3 0  
và
2
d : x y 2 0  
. Điểm
 
M 2;1
thuộc
đường thẳng AB, đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính bằng
5
. Biết đỉnh A có hoành độ dương,
hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Câu 8. (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng
(P) : x 2y 2z 1 0   
,
(Q): x y 2z 1 0   
và điểm
 
I 1;1; 2
. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I, tiếp xúc với (P) và phương trình
mặt phẳng (α) vuông góc với (P), (Q) sao cho khoảng cách từ I đến (α) bằng
29
.
Câu 9. (0,5 điểm). Trong một bình có 2 viên bi trắng và 8 viên bi đen. Người ta bốc 2 viên bi bỏ ra ngoài rồi bốc
tiếp một viên bi thứ ba. Tính xác suất để viên bi thứ ba là bi trắng.
Câu 10. (1,0 điểm). Cho hai số dương x, y phân biệt thỏa mãn:
2
x 2y 12 
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 
2
4 4
4 4 5
P
x y
8 x y
  

.
Hết
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LONG AN
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPT QG LẦN 2 NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN TOÁN
Câu Nội dung Điểm
1
a) Tập xác định:
1
\
2
D
 
 
 
 

Giới hạn và tiệm cận:
1 1
2 2

lim ; lim
x x
y y
 
   
   
   
   
   
. Suy ra TCĐ:
1
2
x  
1
lim lim
2
x x
y y
 
 
. Suy ra TCN:
1
2
y 
0,25đ
Sự biến thiên:
 
2
5
' 0,

2 1
y x D
x
   

Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
1
;
2
 
 
 
 
và
1
;
2
 
 
 
 
Hàm số không có cực trị (có thể bỏ ý này)
0,25đ
Bảng biến thiên 0,25đ
Bảng giá trị, vẽ đúng đồ thị, có nhận xét. 0,25đ
b) Gọi
a 2
M a;
2a 1


 
 

 
là tiếp điểm (
1
a
2
 
). Tiếp tuyến song song với đường thẳng
nên suy ra:
y'(a) 5
0,25đ
Giải được
a 0
hoặc
a 1 
0,25đ
+
a 0
. Phương trình tiếp tuyến là:
y 5x 2 
(loại vì trùng d) 0,25đ
+
a 1 
.Phương trình tiếp tuyến là:
y 5x 8 
(nhận)
Vậy:
y 5x 8 

0,25đ
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LONG AN
2
a)
    
8 8 6 6 4
3(sin cos ) 4(cos 2sin ) 6sin 1x x x x x
     
4 4 2 2 6 6 4
3(sin cos )(sin cos ) 4(cos 2sin ) 6sinVT x x x x x x x
      
6 4 2 4 2 6 6 6 4
3sin 3sin cos 3cos sin 3cos 4cos 8sin 6sinVT x x x x x x x x x
0,25đ
       
6 6 4 2 4 2 4
5sin cos 3sin (1 sin ) 3cos (1 cos ) 6sinVT x x x x x x x
   
4 4 6 6
3(sin cos ) 2(sin cos )VT x x x x
   
2 2 2 2
3(1 2sin cos ) 2(1 3sin .cos )VT x x x x
=1
0,25đ
b) Tìm được
 
1 3
2 2

z i
0,25đ
Phần thực:

1
2
a
. Phần ảo:

3
2
b
.
0,25đ
3
Bất phương trình tương đương
 2 2 3
x
0,25đ
  
2
1 log 3x
0,25đ
4
Đặt






 


 
  





2
2
u v
x
x y u
x y v u v
y
. Ta có hệ phương trình:

 


  


3 3
2 2
7(1)
2 4 (2)
u v

u u v v
0,25đ
Lấy (2) nhân với −3 rồi cộng với (1) ta được:
   
3 3
3 2 3 2
6 12 8 3 3 1 0 2 1 0u u u v v v u v            
1u v  
.
0,25đ
Thay vào phương trình (2), ta được:
2
2 0v v  
1
2
v
v

 




0,25đ
+
1v  
suy ra u = 2. Suy ra
 
1 3
, ,

2 2
x y
 

 
 
+
2v 
suy ra u = −1. Suy ra
 
1 3
, ,
2 2
x y
 
 
 
 
Chú ý: có thể sử dụng phuong pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế.
0,25đ
5
2
2
1
0
0
2sin2 cos2 2I xdx x


   


0,5đ
     
2 2
2
2
0
0 0
I cosx ln 1 sinx dx 1 sinx ln 1 sinx cosxdx 2ln2 1
 

        
 
Vậy
2ln2 1I  
0,5đ
6
Lí luận góc giữa SC và (ABCD) là góc

0
60SCH 
. Tính được:
6SH a
0,25đ
Tính được:
3
.
2 6
3
S ABCD

a
V 
0,25đ
5, 7AC a SB a 
,
 
2
. . . . 2SB AC SH HB AC HB AC AH AC a    
        
0,25đ
.
2
cos
.
35
SB AC
SB AC
  
 
0
70  
.
0,25đ
7 Tìm được: B(1;1) 0,25đ
N là điểm đối xứng của M qua phân giác trong góc B. N thuộc BC. Tìm được N(1;0).
BC:
 1 0x
, AC:
 1 0y
0,25đ

A(a;1) với a > 0, C(1;c). Trung điểm của AC:
 
 
 
 
1 1
;
2 2
a c
D
Tam giác ABC vuông tại B,ta có:
   

  


   


2 2
2 3 0
1 1 20
a c
a c
0,25đ
Giải hệ này và tìm được:
(3;1), (1; 3)A C
0,25đ
8
 

;( ) 2R d I P 
0,25đ
Phương trình mặt cầu:
     
2 2 2
1 1 2 4x y z     
0,25đ
 
2; 4;3n



,
 
: 2 4 3 0x y m    
0,25đ
 
;( ) 29 29d I m    
Vậy
 
: 2 4 3 29 0x y    
0,25đ
9
A là biến cố: “lần đầu lấy 2 viên bi đen, lần sau lấy 1 viên bi trắng”.
7
( )
45
P A 
B là biến cố: “lần đầu lấy 1 viên bi đen, 1 viên bi trắng và lần sau lấy 1 viên bi trắng”.
2

( )
45
P B 
.
0,25đ
C là biến cố “ viên bi thứ ba là bi trắng”.
1
( ) ( ) ( ) 0,2
5
P C P A P B   
0,25đ
10 Từ điều kiện, dùng bất đẳng thức côsi suy ra:
0 8xy 
. 0,25đ
Đánh giá
2 2
2 2
1 5 1
. .
16 64
2
x y
P
x y
y x
y x
 
  
 
 

 
0,25đ
Đặt
 
2
x y
t t
y x
  
. Khi đó
 
2
1 5 1
. 2 .
16 64 2
P t
t
  

0,25đ
Xét hàm số
2
1 5 1 1
( ) . .
16 64 2 8
f t t
t
  

(với t > 2)

Tính đạo hàm, vẽ bảng biến thiên, tìm được:
 
2;
5 27
2 64
min ( )
f
f t

 
 
 
 
Tìm được giá trị nhỏ nhất của P là
27
64
khi x = 2 và y = 4
0,25đ
Hết