SKKN Sử dụng vectơ trong chứng minh bất đẳng thức THPT XUÂN TRƯƠNG A

Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ trong chứng minh bất đẳng thức”
A. PHẦN MỞ ĐẦU.
I. Lý do thực hiện đề tài.
1. Cơ sở lý luận.
Bất đẳng thức là một trong những phần rất quan trọng trong chương
trình toán phổ thông. Nó có mặt trong tất cả các bộ môn Số học, Hình
học, Đại số, Lượng giác và Giải tích. Các bài toán về bất đẳng thức tỏ
ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ từ tính độc đáo của các phương pháp giải
chúng. Chính vì thế, bất đẳng thức là chuyên đề được mọi người quan
tâm đến rất nhiều.
Tuy nhiên, việc giải quyết một bài toán về chứng minh bất đẳng
thức không hề đơn giản, yêu cầu không chỉ nắm vững các kiến thức cơ
bản, mà còn phải biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các phương pháp
đã học kết hợp với kỹ năng biến đổi, suy luận, dự đoán,
2. Cơ sở thực tiễn.
Khi học toán, học sinh thường thấy “sợ” khi nhắc đến bất đẳng
thức, cho rằng bất đẳng thức là một phần rất khó không thể giải được.
Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải
2
Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ trong chứng minh bất đẳng thức”
Nguyên nhân là học sinh không biết cách lựa chọn phương pháp thích
hợp để giải.Vì vậy một bài toán đơn giản cũng trở nên “ vô cùng khó”
đối với các em.
Với mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy và học
về bất đẳng thức, đem lại cho học sinh cách nhìn mới về bất đẳng
thức, tôi nghiên cứu đề tài: “Sử dụng vectơ trong chứng minh bất
đẳng thức”.
II. Phương pháp nghiên cứu.
1. Phương pháp nghiên cứu lý luận.
2. Phương pháp điều tra thực tiễn .
3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm.

4. Phương pháp thống kê.
III. Đối tượng nghiên cứu.
Các bài toán chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng tính
chất của vectơ.
IV. Tài liệu tham khảo.
Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải
3
Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ trong chứng minh bất đẳng thức”
1. Sách giáo khoa toán THPT.
2. Sách bài tập toán THPT.
3. Sách 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức của Giáo sư Phan
Huy Khải.
4. Báo toán học và tuổi trẻ.
V. Ứng dụng.
Dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong
việc dạy và học về bất đẳng thức.
B. PHẦN NỘI DUNG.
I. Nhắc lại các tính chất của vectơ.
1. Tính chất 1:
0)(
2
2
≥=
aa
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
0
=
a
2. Tính chất 2:

baba
+≥+
.
Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải
4
Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ trong chứng minh bất đẳng thức”
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a
và
b
cùng
chiều.
3. Tính chất 3:
baba
≤
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a
và
b
cùng
phương.
II. Sử dụng các tính chất của vectơ để chứng minh bất đẳng thức.
1. Sử dụng tính chất 1.
Ví dụ 1.
Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: cos2A + cos2B + cos2C
2
3
−≥
.

* Hướng giải quyết của bài toán: Để sử dụng được các tính chất của
véctơ vào bài toán này thì công thức nào có chứa vectơ và có chứa cả
côsin. Vậy đó sẻ là tích vô hướng của hai vectơ, đó là:

( )
. os ,OA OB OA OB c OA OB=
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
,
( )
. os ,OB OC OB OC c OB OC=
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải
5
Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ trong chứng minh bất đẳng thức”
( )
. os ,OA OC OA OC c OA OC=
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
và khi đó nếu ta gọi R là bán kính của
đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì
R OA OB OC= = =
uuur uuur uuur
. Từ đó, ta nghĩ tới
việc dùng tính chất 1 để chứng minh. Cụ thể như sau:
* Giải:
Gọi O, R lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC.
Ta có:

2 2 2

2
2
2 2
2
( ) 2( . . . ) 0
3 3
3 2 (cos2 cos2 cos2 ) 0 os2 os2 os2
2 2
OA OB OC OA OB OC OA OB OB OC OC OA
R
R R A B C c A c B c C
R
+ + = + + + + + ≥
⇔ + + + ≥ ⇔ + + ≥ − = −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuur uuur uuur uuur
Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 2 .
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
6cosA.cosB.cosC
≤
cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C (1).
* Hướng giải quyết bài toán. Ta thấy trong biểu thức cần chứng
minh xuất hện tổng các bình phương. Vì thế có thể sử dụng được tính
Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải

6
Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ trong chứng minh bất đẳng thức”
chất 1. Nhưng ở bài toán trên chúng ta cần lưu ý, phải xét các trường
hợp của tam giác ABC. Vì ở bài toán trên không nói đó là tam giác
như thế nào. Cụ thể, ta làm bài toán này như sau:
* Giải:
Nếu tam giác ABC là tam giác tù (có một góc tù) thì (1) hiển
nhiên đúng vì khi đó vế trái âm, còn vế phải dương.
Nếu tam giác ABC không phải là tam giác tù thì trên mặt phẳng
ta đặt các vectơ
OPONOM ,,
sao cho:







=
=
=
COP
BON
AOM
cos
cos
cos
và








−=
−=
−=
BOMOP
AOPON
CONOM
ˆ
),(
ˆ
),(
ˆ
),(
π
π
π
Áp dụng tính chất (1), ta có:
0)(
2
≥++ OPONOM
0.2.2.2
222
≥+++++⇔ MOOPOPNOONMOOPONOM
0)cos.cos.coscos.cos.coscos.cos.(cos2coscoscos
222

≥++−++⇔ CBACBACBACBA
2 2 2
os os os 6cos cos cosc A c B c C A B C⇔ + + ≥
. Điều phải chứng minh.
Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải
7
Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ trong chứng minh bất đẳng thức”
2. Sử dụng tính chất 2.
*
baba
+≥+
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a
và
b
cùng chiều
Ta thường sử dụng phương pháp này khi gặp các bài toán chứng
minh bất đẳng thức có chứa tổng của các căn bậc hai mà biểu thức
trong dấu căn bậc hai có thể đưa về tổng của các bình phương.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:

1
2
++ aa
+
1
2
+− aa
≥
2 (1) với mọi a thuộc R.

* Hướng giải quyết bài toán:
Bài toán này nếu đơn thuần chỉ sử dụng việc chứng minh BĐT
thông thường thì sẻ rất khó đối với hs, vì bài toán có hai căn bậc hai
nên việc biến đổi sẻ rất khó. Nhưng nếu chú ý các đối tượng trong bài
toán và biết khai thác tính chất 2 nêu trên thì bài toán trở nên dể dàng
hơn. Cụ thể, gv chỉ cho hs hướng suy nghĩ sau:
Hai biểu thức trong căn bậc hai có thể biến đổi thành tổng các
bình phương.
2
2
2
1 3
1
2 2
a a a
 
 
+ + = + +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
và
2
2
2
1 3
1
2 2

a a a
 
 
− + = − +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
. Từ
Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải
8
Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ trong chứng minh bất đẳng thức”
đó, ta có thể đặt:
1 3
;
2 2
u a
 
= +
 ÷
 ÷
 
r
;
1 3
;
2 2
v a
 

= −
 ÷
 ÷
 
r
, đến đây sử dụng tính chất
2 ta được diều phải chứng minh. Cụ thể như sau:
* Giải: BĐT (1)
⇔
22
)
2
3
()
2
1
( ++a
+
22
)
2
3
()
2
1
( +− a
≥
2
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt:
)

2
3
;
2
1
( += au
r
;
)
2
3
;
2
1
( av −=
r
Áp dụng tính chất 2, ta có:
2 2
2 2
1 3 1 3
2
2 2 2 2
u v a a u v
   
   
+ = + + + − + ≥ + =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   

   
r r r r

2 2
1 1 2a a a a⇔ + + + − + ≥
. Điều phải chứng minh.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng :
22
yxyx ++
+
22
zyzy ++
+
22
xzxz ++
)(3 zyx ++≥
với x,y,z > 0.
* Hướng giải quyết bài toán: Bài toán này về cơ bản không khác gì
nhiều so với bài toán trước. Nên ta làm như sau:
Giải: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ta đặt:
Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải
9
Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ trong chứng minh bất đẳng thức”
);
2
3
;
2
( y
y

xu +=
r
);
2
3
;
2
( z
z
yv +=
r
);
2
3
;
2
( x
x
zw +=
r
Từ tính chất
wvuwvu
rrrrrr
++≥++
ta có:

2 2 2 2 2 2
3 3 3
w ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2

y z x
u v x y y z z x+ + = + + + + + + + + ≥
r r uur

2 2
9 3
w ( ) ( ) 3( )
4 4
u v x y z x y z x y z+ + = + + + + + = + + ⇒
r r uur
điều phải chứng minh
Theo cách này ta có thể chứng minh rất nhanh được các bài toán sau
đây:
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi x ta có:

2 2
2sin 4 2sin 2 2 sin 5 17x x x+ + − + ≥
Ví dụ 4: Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng:

ab
ab
22
2+
+
bc
bc
22
2+
+
ca

ca
22
2+
3≥
3. Sử dụng tính chất 3.
Ví dụ 1. CMR với mọi a, b, c, d ta có bất đẳng thức:
))((
2222
dbcacdab ++≤+
(3)
Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải
10
Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ trong chứng minh bất đẳng thức”
Giải: Đặt
),( cau =
r
;
),( dbv =
r
.
Áp dụng tính chất 3, ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2
. . ( )( )u v ab cd u v a c b d a c b d= + ≤ = + + = + + ⇒
r r r r
điều phải chứng
minh
Ví dụ 2. Giả sử






=++
=++
16
3
22
22
zyzy
yxyx
có nghiệm. CMR: xy + yz + zx
8≤

Giải:
Đặt
)
2
3
;
2
( x
x
yu +=
r
,
)
2
;
2

3
(
z
yzv +=
r
Áp dụng tính chất (3), ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC. Điểm M thuộc mp(ABC). Chứng minh:
m
a
.MA + m
b
.MB + m
c
.MC
2
1
≥
(a
2
+ b
2
+ c
2
).
Giải: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
Ta có
2
GAMGGAMAGAMAGA +=≥
Tương tự
2

GBMGGBMBGB +≥
Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải
11
Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ trong chứng minh bất đẳng thức”

2
. GCMGGCMCGC +≥
222222
)( GCGBGAGCGBGAGCGBGAMGMCGCMBGBMAGA ++=+++++≥++⇒
⇔
m
a
.MA + m
b
.MB + m
c
.MC
2
1
≥
(a
2
+ b
2
+ c
2
)(Đpcm)
4. Sử dụng tính chất của vectơ đơn vị.
Ví dụ 1: Xét ví dụ 1 ở phần 1, ta có thể chứng minh bất đẳng thức
bằng cách khác như sau.:

Trên mặt phẳng ta dựng các vectơ
OPONOM ,,
thoả mãn:







=
=
=
1
1
1
OP
ON
OM
và







=
=
=

BOMOP
AOPON
CONOM
ˆ
2),(
ˆ
2),(
ˆ
2),(
Áp dụng tính chất (1), ta có:
0)(
2
≥++ OPONOM
0)
ˆ
2cos(2)
ˆ
2cos(2)
ˆ
2cos(2111 ≥+++++⇔ BAC
2
3
2cos2cos2cos −≥++⇔ CBA
(đpcm).
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC và các số thực x, y, z. Chứng minh rằng:
Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải
12
Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ trong chứng minh bất đẳng thức”
)(
2

1
2cos2cos2cos
222
zyxCxyBxzAyz ++−≥++

Giải : Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O, bán
kính bằng 1.
Ta có:
)2cos2cos2cos(2)()(
2222
AyzBxzCxyzyxOCzOByOAx +++++=++
0≥

Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 3.Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

4cos32cos2cos3 ≤++ CBA
Giải: Gọi
321
;; eee
rrr
theo thứ tự là vectơ đơn vị của các cạnh BC, CA,
AB.
Ta có:
(2134)32(
2
321
−++=++ eee
rrr
)cos32cos2cos3 CBA ++

0≥
=>
4cos32cos2cos3 ≤++ CBA
(Đpcm).
Theo cách này ta có thể chứng minh các bài toán sau:
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải
13
Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ trong chứng minh bất đẳng thức”

2
3
coscoscos ≤++ CBA
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC và số thực x. Chứng minh rằng:

1
2
)cos(coscos
2
+≤++
x
CBxA
.
C. PHẦN KẾT LUẬN.
I. Kết quả ứng dụng.
Việc sử dụng vectơ để chứng minh các bài toán về bất đẳng thức
đã được tôi vận dụng để giaỉ bài tập về bất đẳng thức khi tôi còn ôn thi
Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải
14
Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ trong chứng minh bất đẳng thức”

đại học và phương pháp này đã được truyền cho các em học sinh . Kết
quả là các em đã có thiện cảm hơn đối với chuyên đề này, không còn
lúng túng như trước nữa, một số em còn tỏ ra rất hào hứng khi làm các
bài toán về bất đẳng thức.
II. Lời kết.
Trên đây là những nghiên cứu và kinh nghiệm của bản thân tôi. Hy
vọng đề tài này sẽ góp phần để việc dạy và học về bất đẳng thức đạt
hiệu quả hơn.
Do thời gian có hạn nên việc nghiên cứu chưa được nhiều. Rất
mong sự đóng góp ý kiến của người đọc.
Xin chân thành cảm ơn!
Người viết:
Bùi Đình Tùng
Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải
15