KIẾN THỨC TOÁN ÔN THI TN THPTQG-ĐẠI HỌC ĐẦY ĐỦ

KIẾN THỨC TỐN ƠN THI TN THPTQG- ĐẠI
HỌC ĐẦY ĐỦ
NHỚ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BẬT NHẤT
Ax = B
• A ≠ 0 : phương trình có nghiệm duy nhất
A
B
x =
• A = 0 và B ≠ 0 : phương trình vô nghiệm
• A = 0 và B = 0 : phương trình vô số nghiệm
Ax > B
• A > 0 :
A
B
x >
• A < 0 :
A
B
x <
• A = 0 và B ≥ 0 : vô nghiệm
• A = 0 và B < 0 : vô số nghiệm
NHỚ 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT HAI ẨN SỐ
1/. Dạng :



=+
=+
///
cybxa

cbyax
2/. Cách giải :
baab
ba
ba
D
//
//
−==
bccb
bc
bc
D
x
//
//
−==
caac
ca
ca
D
y
//
//
−==
∗ D ≠ 0 : hệ có nghiệm duy nhất








=
=
D
D
y
y
D
D
x
x
∗ D = 0 và D
x
≠ 0
Hệ vô nghiệm
D = 0 và D
y
≠ 0
∗ D = D
x
= D
y
= 0 : Hệ vô số nghiệm hay vô nghiệm tùy
thuộc a, b, c, a
/
, b
/
, c

/
Trang 1
Sơ đồ: a c b
a’ c’ b'
D
D
y
D
x
NHỚ 3 : PHƯƠNG TRÌNH BẬT HAI MỘT ẨN
ax
2
+ bx + c = 0 ( a ≠ 0)
∗ ∆ = b
2
– 4ac
∆ > 0
a
b
x
2
1
∆+−
=
,
a
b
x
2
2

∆−−
=
∆ = 0 Nghiệm kép
a
b
xx
2
21
−==
∆ < 0 Vô nghiệm
∗ ∆
/
= b
/ 2
– ac
∆
/
> 0
a
b
x
//
1
∆+−
=
,
a
b
x
//

2
∆−−
=
∆
/
= 0
Nghiệm kép
a
b
xx
/
21
−==
∆
/
< 0 Vô nghiệm
Chú ý: a + b + c = 0 : nghiệm x
1
= 1, x
2
=
a
c
a – b + c = 0 : nghiệm x
1
= –1, x
2
=
a
c

−
NHỚ 4 : DẤU NHỊ THỨC
f(x) = ax + b ( a ≠ 0)
x
– ∞
a
b
−

+∞
f(x) Trái dấu a 0 cùng
dấu a
Trang 2
NHỚ 5 : DẤU TAM THỨC
f(x) = ax
2
+ bx + c ( a ≠ 0) ( Nhớ : TRONG TRÁI
NGOÀI CÙNG)
Nếu Thì



>
<∆
0
0
a




<
<∆
0
0
a
f(x) > 0, ∀x
f(x) < 0, ∀x



>
=∆
0
0
a



<
=∆
0
0
a
f(x) > 0, ∀x ≠
a
b
2
−
f(x) < 0, ∀x ≠
a

b
2
−
∆ > 0
x – ∞ x
1
x
2

+∞
f(x) cùng 0 trái 0
cùng
dấu a
NHỚ 6 : SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC
HAI VỚI
CÁC SỐ
Cho: f(x) = ax
2
+ bx + c ( a ≠ 0) và α, β là hai số thực
1/. Muốn có x
1
< α < x
2
ta phải có af(x) < 0
2/. Muốn có x
2
> x
1
> αta phải có








>−
>
>∆
0
2
0)(
0
α
α
S
af
3/. Muốn có x
1
< x
2
< αta phải có







<−

>
>∆
0
2
0)(
0
α
α
S
af
Trang 3
4/. Muốn có x
1
< α < β < x
2
ta phải có



<
<
0)(
0)(
β
α
af
af
5/. Muốn có x
1
< α < x

2
<β ta phải có



>
<
0)(
0)(
β
α
af
af
6/. Muốn có



<<<
<<<
21
21
xx
xx
βα
βα
ta phải có
0)()( <
βα
ff
7/. Muốn có α < x

1
< x
2
<β ta phải có









<<
>
>
>∆
βα
β
α
2
0)(
0)(
0
S
af
af
 Chú ý:
1/. Muốn có x
1

< 0 < x
2
ta phải có P < 0
2/. Muốn có x
2
> x
1
> 0 ta phải có





>
>
>∆
0
0
0
S
P
3/. Muốn có x
1
< x
2
< αta phải có






<
>
>∆
0
0
0
S
P
NHỚ 7 : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
1/.



=
≥
⇔=
K
K
BA
B
BA
2
2
0
2/.



≥≥

=
⇔=
)0(0
22
hayBA
BA
BA
KK
NHỚ 8 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
1/.





<
>
≥
⇔<
K
K
BA
B
A
BA
2
2
0
0
2/.











>
≥



≥
<
⇔>
K
K
BA
B
A
B
BA
2
2
0
0
0

Trang 4
3/.
12
12
+
+
<⇔<
K
K
BABA
NHỚ 9 : PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT
ĐỐI
1/.










≥
−=



≥
=

⇔=
0
0
B
BA
B
BA
BA

2/.



−=
=
⇔=
BA
BA
BA
Chú ý:











≤
=−



≥
=
⇔=
0
)()(
0
)()(
)()(
x
xgxf
x
xgxf
xgxf
NHỚ 10 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT
ĐỐI
1/.



>
<<−
⇔<
0B
BAB
BA

2/.













≥
−<



≥
>
<
⇔>
0
0
0
B
BA
B
BA

B
BA
3/.
22
BABA >⇔>
NHỚ 11 : BẤT ĐẲNG THỨC
1/. Đònh nghóa :
Trang 5
Dạng : A > B, A ≥ B
A < B, A ≤ B
2/. Tính chất :
a)
abba
<⇔>
b)
ca
cb
ba
>⇒



>
>
c)
cbcaba
+>+⇔>
d)




<<
>>
⇔>
0,
0,
cbcac
cbcac
ba
e)
dbca
dc
ba
+>+⇒



>
>
f)
bdac
dc
ba
>⇒



>>
>>
0

0
g)






<>
><
⇒>
0;
11
0;
11
abkhi
ba
abkhi
ba
ba
3/. BĐT Cô Si :
Cho n số tự nhiên không âm a
1
, a
2
, a
3
, , a
n
n

n
n
aaaa
n
aaaa


321
321
≥
++++
hay
n
n
n
n
aaaa
aaaa






++++
≤


321
321

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a
1
= a
2
= a
3
= = a
n
4/. BĐT Bunhia Côp ski :
Cho a
1
, a
2
, a
3
, , a
n
, b
1
, b
2
, b
3
, , b
n
là những số tực khi
đó:
) )( () (
22
2

2
1
22
2
2
1
2
2211 nnnn
bbbaaabababa ++++++≤+++
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a
i
= k.b
i
, i = 1 , 2 , 3, , n
5/. BĐT BecnuLi :
Cho : a > –1, n ∈ N Ta có : (1 + a)
n
≥ 1 + na
Đẳng thức xảy ra



=
=
⇔
1
0
n
a
6/. BĐT tam giác :

BABA +≤+
Đẳng thức xảy ra ⇔ AB ≥ 0
Trang 6
NHỚ 12 : CÔNG THỨC LƯNG GIÁC
A.HỆ THỨC CƠ BẢN ( 6 công thức )
1/.
1
22
=+ xCosxSin
2/.
Cosx
Sinx
Tanx =
3/.
Sinx
Cosx
Cotx =
4/.
1.
=
CotxTanx
5/.
xCos
xTan
2
2
1
1 =+
6/.
xSin

xCot
2
2
1
1 =+
Điều kiện tồn tại :
• Tanx là x ≠ π/ 2 + kπ , k ∈ Z
• Cotx là x ≠ kπ , k ∈ Z
• Sinx là – 1 ≤ Sinx ≤ 1
• Cosx là – 1 ≤ Cosx ≤ 1
Chú ý :
• a
2
+ b
2
= ( a + b)
2
– 2ab
• a
3
+ b
3
= ( a + b)
3
– 3ab( a + b)
B. CÔNG THỨC CỘNG ( 8 công thức )
7/.
SinaSinbCosaCosbbaCos −=+ )(
8/.
SinaSinbCosaCosbbaCos +=− )(

9/.
CosaSinbSinaCosbbaSin +=+ )(
10/.
CosaSinbSinaCosbbaSin −=− )(
11/.
TanaTanb
TanbTana
baTan
−
+
=+
1
)(
12/.
TanaTanb
TanbTana
baTan
+
−
=−
1
)(

13/.
CotbCota
CotaCotb
baCot
+
−
=+

1
)(
14/.
CotbCota
CotaCotb
baCot
−
+
=−
1
)(
Trang 7
C.CÔNG THỨC NHÂN
I. NHÂN ĐÔI : ( 3 công thức)
15/.
SinaCosaaSin 22
=
16/.
aSinaCosaSinaCosaCos
2222
21122 −=−=−=
17/.
aTan
Tana
aTan
2
1
2
2
−

=
II.NHÂN BA : ( 3 công thức)
18/.
CosaaCosaCos 343
3
−=
19/.
aSinSinaaSin
3
433 −=
20/.
aTan
aTanTana
aTan
2
3
31
3
3
−
−
=
III. HẠ BẬC : ( 4 công thức)
21/.
2
21
2
aCos
aSin
−

=
⇒
aSinaCos
2
221 =−
22/.
2
21
2
aCos
aCos
+
=
⇒
aCosaCos
2
221 =+
23/.
4
33
3
aSinSina
aSin
−
=
24/.
4
33
3
aCosCosa

aCos
+
=
IV. GÓC CHIA ĐÔI : ( 3 công thức)
25/.
2
1
2
t
t
Sinx
+
=
26/.
2
2
1
1
t
t
Cosx
+
−
=
, với
2
x
Tant =
27/.
2

1
2
t
t
Tanx
−
=
D.TỔNG THÀNH TÍCH : ( 8 công thức)
28/.
22
2
ba
Cos
ba
CosCosbCosa
−+
=+
29/.
22
2
ba
Sin
ba
SinCosbCosa
−+
−=−
30/.
22
2
ba

Cos
ba
SinSinbSina
−+
=+
31/.
22
2
ba
Sin
ba
CosSinbSina
−+
=−
32/.
CosaCosb
baSin
TanbTana
)( +
=+
33/.
CosaCosb
baSin
TanbTana
)( −
=−
Trang 8
34/.
SinaSinb
baSin

CotbCota
)( +
=+
35/.
SinaSinb
baSin
CotbCota
)( −−
=−
E. TÍCH THÀNH TỔNG : ( 3 công thức)
36/.
( )
[ ]
)(
2
1
baCosbaCosCosaCosb ++−=
37/.
[ ]
)()(
2
1
baCosbaCosSinaSinb +−−=
38/.
[ ]
)()(
2
1
baSinbaSinSinaCosb ++−=
F. CUNG LIÊN KẾT :

Cos đối
Cos(–
α
) = Cos
α
; Sin(–
α
) = –
Sin
α
Sin bù
Sin(
π
–
α
) = Sin
α
; Cos(
π
–
α
) = –
Cos
α
Phụ chéo
Sin(
π
/2 –
α
) = Cos

α
; Cos(
π
/2 –
α
)
= Sin
α
Khác
π
Tan
Tan(
π
+
α
) = Tan
α
; Cot(
π
+
α
)
= Cot
α

Sai kém
π
/ 2
Sin(
π

/2 +
α
) = Cos
α
; Cos(
π
/2 +
α
)
= – Sin
α
NHỚ 13 : PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
A.CƠ BẢN :
Sinu = Sinv



+−=
+=
⇔
ππ
π
2
2
kvu
kvu
k
∈
Z
Cosu = Cosv

π
2kvu
+±=⇔
Tanu = Tanv
π
kvu
+=⇔
Cotu = Cotv
π
kvu
+=⇔
Sinu = 0
π
ku
=⇔
Sinu = 1
ππ
22/ ku +=⇔
Sinu = –1
ππ
22/ ku +−=⇔
Cosu = 0
ππ
ku
+=⇔
2/
Cosu = 1
π
2ku =⇔
Cosu = – 1

ππ
2ku +=⇔
Trang 9
B. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin và Cos
Dạng aSinx + bCosx = c ( a
2
+ b
2
≠ 0 )
Phương pháp :
Cách 1: Chia hai vế cho
22
ba +
Đặt :
αα
Sin
ba
b
Cos
ba
a
=
+
=
+
2222
;

Ta có
22

)(
ba
c
xSin
+
=+
α
(*)
(*) Có nghiệm khi
1
22
≤
+ ba
c
222
cba ≥+⇔
(*) Vô nghiệm khi
222
cba <+⇔
Cách 2:
• Kiểm chứng x = (2k + 1)π có phải là nghiệm của
phương trình hay không?
• Xét x ≠ (2k + 1)π Đặt :
2
x
Tant =
Thế
2
2
2

1
1
;
1
2
t
t
Cosx
t
t
Sinx
+
−
=
+
=
Vào phương trình ⇒ t ?
⇒ x ?
C.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:
1/. Đối với một hàm số lượng giác:
Giả sử a≠ 0
0
2
=++ cbSinxxaSin
( đặt
1, ≤= tSinxt
)
0
2
=++ cbCosxxaCos

(đặt
1, ≤= tCosxt
)
0
2
=++ cbTanxxaTan
( đặt
π
π
kxTanxt +≠=
2
,
)
0
2
=++ cbCotxxaCot
( đặt
π
kxCotxt ≠= ,
)
2/. Phương trình đẳng cấp đối với Sinx, Cosx
Dạng:
0
22
=++ xcCosbSinxCosxxaSin
(1)
0
3223
=+++ xdCosxcSinxCosxCosxbSinxaSin
(2)

Phương pháp :
Cách 1:
Trang 10
∗ Kiểm x = π/ 2 + kπ có phải là nghiệm của phương
trình ?
∗ Chia hai vế cho Cos
2
x ( dạng 1), chia Cos
3
x ( dạng 2)
để đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc
hai, bậc ba đối với Tanx.
Cách 2:
Dạng (1) có thể sử dụng công thức hạ bậc và
2
2xSin
SinxCosx =
thế vào
3/. Phương trình đối xứng của Sinx, Cosx:
Dạng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*)
Phương pháp: Đặt :
2),
4
(2 ≤+=+= txSinCosxSinxt
π
0
2
1
(*)
2

=+
−
+⇔ c
t
bat
t⇒
( nếu có)
x⇒
Chú ý: Dạng a(Sinx – Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*)
giải tương tự :
Đặt :
2),
4
(2 ≤−=−= txSinCosxSinxt
π
0
2
1
(*)
2
=+
−
+⇔ c
t
bat
⇒ t ? ( nếu có) ⇒ x ?
D.PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT :
1/. Tổng bình phương :
• A
2

+ B
2
+ + Z
2
= 0 ⇔ A = B = = Z
= 0
• A ≥ 0, B ≥ 0, , Z ≥ 0
Ta có : A + B + + Z = 0 ⇔ A = B = = Z
= 0
2/. Đối lập :
Giả sử giải phương trình A = B (*)
Nếu ta chứng minh



≥
≤
KB
KA




=
=
⇔
KB
KA
(*)
Trang 11

3/.





+=+
≤
≤
klBA
kB
lA




=
=
⇔
kB
lA
4/.
1,1 ≤≤ BA




=
=
⇔=

1
1
1
B
A
AB
hay



−=
−=
1
1
B
A
NHỚ 14: HỆ THỨC LƯNG
Tam giác thường ( các đònh lý)
Hàm số Cosin
•
bcCosAcba 2
222
−+=
•
bc
acb
CosA
2
222
−+

=
Hàm số Sin
•
R
SinC
c
SinB
b
SinA
a
2===
•
R
a
SinARSinAa
2
,2 ==
Hàm số Tan
•
ba
ba
BA
Tan
BA
Tan
+
−
=
+
−

2
2
Các chiếu •
cCosBbCosCa +=
Trung tuyến
•
4
)(2
222
2
acb
m
a
−+
=
Phân giác
•
2 .
2
a
A
bc Cos
l
b c
=
+
Diện tích
Diện tích
•
cba

chbhahS
2
1
2
1
2
1
===
•
abSinCacSinBbcSinAS
2
1
2
1
2
1
===
•
prS =
•
R
abc
S
4
=
•
))()(( cpbpappS −−−=
Chú ý:
•
2

)(
2
)(
2
)(
C
Tancp
B
Tanbp
A
Tanap
p
S
r −=−=−==
Trang 12
H
B
C
A
•
SinC
c
SinB
b
SinA
a
S
abc
R
2224

====
• a, b, c : cạnh tam giác
• A, B, C: góc tam giác
• h
a
: Đường cao tương ứng với cạnh a
• m
a
: Đường trung tuyến vẽ từ A
• R, r : Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam
giác.
•
2
cba
p
++
=
Nữa chu vi tam giác.
Hệ thức lượng tam giác vuông:
•
ACABBCAH
CHBHAH

.
2
=
=
•
BCBHAB .
2

=
•
CBCHAC .
2
=
•
222
ACABBC +=
NHỚ 15: MỘT SỐ BÀI TÓAN CẦN NHỚ
Cho tam giác ABC :
1/.
222
4
C
Cos
B
Cos
A
CosSinCSinBSinA =++
2/.
222
41
C
Sin
B
Sin
A
SinCosCCosBCosA +=++
3/.
TanCTanBTanATanCTanBTanA =++

( tam giác
ABC không vuông)
4/.
2
.
2
.
2222
C
Cot
B
Cot
A
Cot
C
Cot
B
Cot
A
Cot =++
5/.
1
2
.
22
.
22
.
2
=++

A
Tan
C
Tan
C
Tan
B
Tan
B
Tan
A
Tan
6/.
CosCCosBCosACSinBSinASin 22
222
+=++
7/.
CosCCosBCosACCosBCosACos 21
222
−=++
8/.
SinCBASin =+ )(
CosCBACos −=+ )(
;
22
C
Cos
BA
Sin =
+

22
C
Sin
BA
Cos =
+
;
22
C
Cot
BA
Tan =
+
9/.
8
33
≤SinCSinBSinA
Trang 13
222
111
ACABAH
+=
10/.
8
1
≤CosCCosBCosA
11/.
8
33
2

.
2
.
2
≤
C
Cos
B
Cos
A
Cos
12/.
8
1
2
.
2
.
2
≤
C
Sin
B
Sin
A
Sin
13/.
4
3
222

≥++ CCosBCosACos
14/.
9
4
222
≤++ CSinBSinASin
15/.
9
222
≥++ CTanBTanATan
16/.
1
2224
3
222
<++≤
C
Sin
B
Sin
A
Sin
17/.
4
9
222
2
222
≤++<
C

Cos
B
Cos
A
Cos
18/.
1
222
222
≥++
C
Tan
B
Tan
A
Tan
19/.
9
222
222
≥++
C
Cot
B
Cot
A
Cot
20/.
2
33

222 ≤++ CSinBSinASin

21/.
2
3
222 −≥++ CCosBCosACos
NHỚ 16 : HÀM SỐ LIÊN TỤC
Đònh nghóa 1: Hàm số
)(xfy =
gọi là liên tục tại điểm x = a
nếu :
1/.
)(xf
xác đònh tại điểm x = a
2/.
)()(lim afxf
ax
=
→
Đònh nghóa 2:
)(xf
liên tục tại điểm x = a
)()(lim)(lim afxfxf
axax
==⇔
−+
→→
Đònh lý : Nếu
)(xf
liên tục trên [a, b] và

0)().( <bfaf
thì tồn tại ít
nhất một điểm c∈ (a, b) sao cho
0)( =cf
NHỚ 17 : HÀM SỐ MŨ
1/. Đònh nghóa : Cho a > 0, a
≠
1 ( cố đònh). Hàm số mũ là
hàm số xác đònh bởi công thức : y = a
x

( x
∈
R)
2/. Tính chất :
a) Hàm số mũ liên tục trên R
b) y = a
x
> 0 mọi x ∈ R
Trang 14
c) a > 1 : Hàm số đồng biến
21
21
xxaa
xx
<⇔<
d) 0 < a < 1 : Hàm số nghòch biến
21
21
xxaa

xx
>⇔<
Chú ý :
)10(
21
21
≠<=⇔< axxaa
xx
3/. Đồ thò :
(a> 1) y ( 0 < a < 1)
y

1
1
0 x
0 x



NHỚ 18 : HÀM SỐ LOGARIT
1/. Đònh nghóa :
a) Cho
0,1,0 >≠> Naa

Logarit cơ số a của N là số mũ M sao cho : a
M

= N
Ký hiệu : log
a

N = M
b) Hàm số logarit theo cơ số a ( a > 0, a
≠
1 ) của đối số x
là hàm số được cho bởi công thức: y = log
a
x ( với x >
0, a > 0, a
≠
1)
2/. Tính chất và đònh lý cơ bản về logarit :
Giả sử logarit có điều kiện đã thỏa mãn
TC1 : log
a
N = M ⇔ a
M
= N
TC2 : log
a
a
M
= M ,
Ma
M
a
=
log
TC3 : log
a
1 = 0, log

a
a = 1
TC4 : log
a
(MN) = log
a
M + log
a
N
TC5 :
NM
N
M
aaa
logloglog −=
Trang 15
TC6 : Đổi cơ số
a
b
a
N
N
b
a
c
c
a
log
1
log;

log
log
log ==
3/. Đồ thò :
(a> 1) y ( 0 < a < 1)
y

1
1
0 x
0 x

4/. Phương trình Logarit :
)()()(log)(log xgxfxgxf
aa
=⇔=

( f(x) hoặc g(x) > 0 , 0 < a
≠
1 )
5/. Bất phương trình Logarit :
(*))(log)(log xgxf
aa
<




<
>

→←
>
)()(
0)(
(*)
1
xgxf
xf
a




>
>
 →←
<<
)()(
0)(
(*)
10
xgxf
xg
a

NHỚ 19 : ĐẠO HÀM
I/. Đònh nghóa đạo hàm :
Cho hàm số y = f(x) , xác đònh trên ( a, b) , x
0

∈
( a, b). Ta
nói f(x) có đạo hàm tại x
0
nếu giới hạn
0→∆
∆
∆
xkhi
x
y
tồn
tại.
x
xfxxf
x
y
xf
xx
∆
−∆+
=
∆
∆
=
→∆→∆
)()(
limlim)(
00
00

0
'
∗ Đạo hàm bên trái :
x
y
xf
x
∆
∆
=
−
→∆
−
0
0
'
lim)(
( tồn tại )
∗ Đạo hàm bên phải :
x
y
xf
x
∆
∆
=
+
→∆
+
0

0
'
lim)(
( tồn tại )
Trang 16
 Cho y = f(x) xác đònh trên (a, b)
y = f(x) có đạo hàm tại x
0

∈
(a, b)
⇔
f
‘
(x
0
+
) = f
’
(x
0
–
)
II/. Qui tắc tính đạo hàm :
1/.
''''
) ( cbacba +++=+++
2/.
'''
)( babaab +=

''''
)( cbacbacbaabc ++=
3/.
2
''
'
b
abba
b
a −
=






( b
≠
0)

)(.)(
''
Rcuccu ∈=

2
'
'
1

u
u
u
−=






III/. Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản :
TT Hàm số Đạo hàm
1
y = c y
’
= 0
2
y = x y
’
= 1
3
α
xy =
α
uy =
1'
.
−
=
α

α
xy
'1'
uuy
−
=
α
α
4
x
y
1
=
xy =
uy =
2
'
1
x
y −=
x
y
2
1
'
=
u
u
y
2

'
'
=
5
Sinuy
Sinxy
=
=
Cosuuy
Cosxy
.
''
'
=
=
6
Cosxy =
Cosuy =
Sinxy −=
'
Sinuuy .
''
−=
7
Tanxy =
xCos
y
2
'
1

=
uCos
u
y
2
'
'
=
Trang 17
Tanuy =
8
Cotxy =
Cotuy =
xSin
y
2
'
1
−=
uSin
u
y
2
'
'
−=
9
arcSinxy =
2
'

1
1
x
y
−
=
10
arcCosxy =
2
'
1
1
x
y
−
−=
11
arcTanxy =
2
'
1
1
x
y
+
=
12
arcCotxy =
2
'

1
1
x
y
+
−=
13
x
ay =
u
ay =
Lnaay
x
=
'
Lnaauy
u

''
=
14
u
ey =
u
ey =
x
ey =
'
u
euy

''
=
15
Lnxy =
Lnuy =
x
y
1
'
=
u
u
y
'
'
=
16
xLny =
uLny =
x
y
1
'
=
u
u
y
'
'
=

17
xy
a
log=
xLna
y
1
'
=
NHỚ 20 : ĐỊNH LÝ LAGRĂNG
Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và có đạo hàm trên khoảng
(a, b) thì tồn tại ít nhất một điểm x = c , c
∈
(a, b)
f(b) – f(a) = f
‘
(c)(b – a)
NHỚ 21 : BẢNG TÍCH PHÂN
1/. Công thức NewTon _ Leibnitz :
Trang 18
[ ]
∫
−==
b
a
b
a
aFbFxFdxxf )()()()(
với F(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a, b}
2/. Tích phân từng phần :

∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduvuudv ].[
với u, v liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a, b]
3/. Đổi cơ số :
[ ]
∫∫
=
β
α
ϕϕ
dtttfdxxf
b
a
)(.)()(
'
với x =
ϕ
(t) là hàm số liên tục và có đạo hàm
ϕ
’
(t) liên
tục trên [a, b] ,
α

≤
t
≤

β

a =
ϕ
(
α
), b =
ϕ
(
β
), f[
ϕ
(t)] là hàm số liên tục trên [
α
,
β
]
4/. Tính chất :
a)
∫ ∫
−=
b
a
a
b

dxxfdxxf )()(
b)
0)( =
∫
a
a
dxxf
c)
∫∫∫
+=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
d)
∫ ∫∫
±=±
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
e)
∫ ∫
∈=

b
a
b
a
RKdxxfKdxxKf ,)()(
f) Nếu m ≤ f(x) ≤ M thì
)()()( abMdxxfabm
b
a
−≤≤−
∫
5/. Bảng tích phân :
TT Công thức
1
)1(
1
1
−≠+
+
=
+
∫
α
α
α
α
c
x
dxx
2

c
bax
a
dxbax +
+
+
=+
∫
+
1
)(
.
1
)(
1
α
α
α
3
∫
≠+
−
−=
−
)1(
)1(
11
1
α
α

αα
c
x
dx
x
Trang 19
4
∫
≠+
+−
−=
+
−
)1(
))(1(
1
)(
1
α
α
αα
c
baxabax
dx
5
∫
+= cxLn
x
dx
6

∫
++=
+
cbaxLn
abax
dx 1
7
∫
∈+= RKcKxKdx ,
8
∫
+= cedxe
xx
9
∫
+=
++
ce
a
dxe
baxbax
1
10
∫
+= c
Lna
a
dxa
x
x

11
∫
+−= cCosxSinxdx
12
∫
++−=+ cbaxCos
a
dxbaxSin )(
1
)(
13
∫
+= cSinxCosxdx
14
∫
++=+ cbaxSin
a
dxbaxCos )(
1
)(
15
∫
+= cTanx
xCos
dx
2
16
∫
+−= cCotx
xSin

dx
2
17
∫
+=
+
carcTanx
x
dx
1
2
18
∫
+=
+
c
a
x
arcTan
a
ax
dx 1
22
19
∫
+
+
−
=
−

c
ax
ax
Ln
a
ax
dx
2
1
22
20
∫
+
−
+
=
−
c
xa
xa
Ln
a
xa
dx
2
1
22
21
∫
>+=

−
)0(
22
ac
a
x
arcSin
xa
dx
22
chxxLn
hx
dx
+++=
+
∫
2
2
23
∫
>++−=− )0(
22
2
2222
ac
a
x
arcSin
a
xa

x
dxxa
24
chxxLn
h
hx
x
dxhx +++++=+
∫
222
22
NHÔÙ 22 : HOAÙN VÒ _ TOÅ HÔÏP _ CHÆNH HÔÏP
Trang 20
1/. Hoán vò :
!nP
n
=
2/. Tổ hợp :
)!(!
!
KnK
n
C
K
n
−
=

Kn
n

K
n
CC
−
=

1
0
==
n
n
n
CC

K
n
K
n
K
n
CCC =+
−
−−
1
11

nn
nnn
CCC 2
10

=+++
3/. Chỉnh hợp :
)0(
)!(
!
nK
Kn
n
A
K
n
≤≤
−
=
NHỚ 23 : SỐ PHỨC
1/. Phép tính :
∗ Cho z = a + bi
z’ = a’ + b’i
z
±
z’ = ( a
±
a’) + ( b
±
b’)i
z.z’ = (a.a’ – b.b’) + ( a.b’ + a’.b)i
∗ z = r.(Cos
α
+ i.Sin
α

)
z’ = r’(Cos
β
+ i.Sin
β
) z, z’
≠
0
z.z’ = r.r’[Cos(
α
+
β
) + i.Sin(
α
+
β
)]
)]()([
''
βαβα
−+−= iSinCos
r
r
z
z
2/. MoaVrơ :
)()]([
αααα
iSinnCosnriSinCosr
nn

+=+
3/. Căn bậc n của số phức z = r.( Cos
α
+ i.Sin
α
) :
)
2
.
2
(
n
K
Sini
n
K
CosrZ
n
K
παπα
+
+
+
=
với K = 0, 1, 2, , n – 1
Trang 21
NHỚ 24 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT
PHẲNG
A.VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :
•

→→→
+=⇔
21
),( yexeOMyxM
• Cho A( x
A
, y
A
)
B( x
B
, y
B
)
1).
),(
ABAB
yyxxAB −−=
→
2).
2
),(
ABAB
yyxxAB −−=
3). Tọa độ trung điểm I của AB :








+
=
+
=
2
2
BA
BA
yy
y
xx
x
4). Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k ≠ 1 :







−
−
=
−
−
=
k
yky

y
k
xkx
x
BA
BA
1
.
1
.
• Phép toán : Cho
),(
21
aaa =
→
),(
21
bbb =
→
1).



=
=
⇔=
→→
22
11
ba

ba
ba
2).
),(
2211
bababa ±±=±
→→
3).
),(.
21
mamaam =
→
4).
2211
bababa +=
→→
5).
2
2
2
1
aaa +=
→
6).
0
2211
=+⇔⊥
→→
bababa
7).

2
2
2
1
2
2
2
1
2211
.
,
bbaa
baba
baCos
++
+
=






→→
B. ĐƯỜNG THẲNG
1/. Phương trình tham số :



+=

+=
tayy
taxx
20
10
Vectơ chỉ phương
),(
21
aaa =
→
Trang 22
2/. Phương trình tổng quát : Ax + By + C = 0 ( A
2
+ B
2

≠
0)
• Pháp vectơ
),( BAn =
→

y

• Vectơ chỉ phương
),( ABa −=
→
( hay
),( ABa −=
→

)
• Hệ số góc
)0( ≠−= B
B
A
K

0

x
3/. Phương trình pháp dạng :
0
222222
=
+
+
+
+
+ BA
C
y
BA
B
x
BA
A
4/. Phương trình đường thẳng qua M( x
0
, y
0

) có hệ số góc
K :
)(
00
xxKyy −=−
5/. Phương trình đường thẳng qua A(x
A
, y
A
) và B(x
B
, y
B
) :
(x – x
A
)(y
B
– y
A
) = (y – y
A
)(x
B
– x
A
)
hay
AB
A

AB
A
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
6/. Phương trình đường thẳng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( đọan
chắn)
1=+
b
y
a
x
7/. Phương trình chính tắc :
b
yy
a
xx
00
−
=
−







=
→
),(),,(
00
baayxM
* Quy ước :
0
0
0
00
=−⇔
−
=
−
xx
b
yyxx
0
0
0
00
=−⇔
−
=
−
yy
yy

a
xx
8/. Phương trình đường thẳng qua A(a, 0), B(0, b) ( đoạn
chắn ) :
1=+
b
y
a
x

9/. Khoảng cách từ một điểm M(x
0
, y
0
) đến Ax + By + C =
0 :
22
00
BA
CByAx
+
++
Trang 23
10/. Vò trí tương đối của hai đường thẳng : d
1
: A
1
x + B
1
y +

C
1
= 0
d
2
: A
2
x + B
2
y + C
2
= 0
2
1
2
1
B
B
A
A
D =
2
1
2
1
B
B
C
C
D

x
−
−
=
2
1
2
1
C
C
A
A
D
y
−
−
=
* d
1
cắt d
2

0≠⇔ D
*



≠
=
⇔

0
0
//
21
x
D
D
dd
hay



≠
=
0
0
y
D
D
*
0
21
===⇔≡
yx
DDDdd
Chú ý : A
2
, B
2
, C

2

≠
0
d
1
cắt d
2

2
1
2
1
B
B
A
A
≠⇔
2
1
2
1
2
1
21
//
C
C
B
B

A
A
dd ≠=⇔
2
1
2
1
2
1
21
C
C
B
B
A
A
dd ==⇔≡
11/. Góc của hai đường thẳng d
1
và d
2
:
Xác đònh bởi công thức :
2
2
2
2
2
1
2

1
2121
BABA
BBAA
Cos
++
+
=
ϕ
12/. Phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi d
1

và d
2
:
2
2
2
2
222
2
1
2
1
111
BA
CyBxA
BA
CyBxA
+

++
±=
+
++
* Chú ý :
Dấu của
→→
21
nn
Phương trình đường
phân giác góc nhọn
tạo bởi d
1
, d
2
Phương trình đường
phân giác góc tù tạo
bởi d
1
, d
2
– t
1
= t
2
t
1
= – t
2
+ t

1
= – t
2
t
1
= t
2
C.ĐƯỜNG TRÒN :
1/. Đònh nghóa : M ∈ (c) ⇔ OM = R
Trang 24
2/. Phương trình đường tròn tâm I( a, b) bán kính R :
Dạng 1 :
2 2 2
( ) ( )x a y b R− + − =
Dạng 2 :
2 2
2 2 0x y ax by c+ − − + =
Với
2 2 2
0R a b c= + − ≥
3/. Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại M( x
0
, y
0
)
(x
0
– a).(x – a) + (y
0
– b).(y – b) = R

2
( Dạng 1)
x
0
x + y
0
y – a(x
0
+ x) – b(y
0
+ y) + c = 0 ( Dạng 2)
D.ELIP
PT chính
tắc
Lý thuyết
2 2
2 2
2 2
1
( )
x y
a b
a b
+ =
>
2 2
2 2
2 2
1
( )

x y
a b
a b
+ =
<
Trục lớn, độ
dài
Ox, 2a Oy, 2b
Trục nhỏ, độ
dài
Oy, 2b Ox, 2a
Liên hệ a, b, c c
2
= a
2
– b
2
c
2
= b
2
– a
2
Tiêu điểm F
1
(– c, 0), F
2
( c, 0) F
1
(0,– c), F

2
( 0, c)
Đỉnh
A
1,2
( ± a, 0)
B
1,2
(0, ± b)
A
1,2
( ± a, 0)
B
1,2
(0, ± b)
Tâm sai
c
e
a
=
c
e
b
=
Đường chuẩn
a
x
e
= ±
b

y
e
= ±
Bán kính qua
tiêu
MF
1
= a + ex
MF
2
= a – ex
MF
1
= b + ey
MF
2
= b – ey
Pt tiếp tuyến
tại M(x
0
, y
0
)
0 0
2 2
1
x x y y
a b
+ =
0 0

2 2
1
x x y y
a b
+ =
Pt hình chữ
nhật cơ sở
x a
y b
= ±


= ±

x a
y b
= ±


= ±

Điều kiện tiếp
xúc với Ax +
By + C = 0
A
2
a
2
+ B
2

b
2
= C
2
A
2
a
2
+ B
2
b
2
= C
2
Trang 25