CÁC DẠNG TOÁN VỀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.
Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục toạ độ vuông
góc Oxyz trong không gian z



r
k


r
i
O
r
j
y
x

• O ( 0;0;0) gọi là góc toạ độ .
• Các trục tọa độ:
• Ox : trục hoành.
• Oy : trục tung.
• Oz : trục cao.
• Các mặt phẳng toạ độ:
• (Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi một
vuông góc với nhau.
•
, ,
r r r
i j k

là các véctơ đơn vị lần lượt
nằm trên các trục Ox, Oy, Oz.
•
i
r
= (1;0;0),
j
r
= (0;1;0),
k
r
= (0;0;1).
•
1i j k= = =
r r r
và
2 2 2
1i j k= = =
r r r
.
•
i j⊥
r r
,
j k⊥
r r
,
k i⊥
r r
.

•
. 0i j =
rr
,
. 0j k =
r r
,
. 0k i =
rr
.
•
,i j k
 
=
 
r r r
,
,j k i
 
=
 
r r r
,
,k i j
 
=
 
r r r
CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT CẦN NHỚ
• M

∈
Ox
⇔
M(x;0;0)
• M
∈
Oy
⇔
M(0;y;0)
• M
∈
Oz
⇔
M(0;0;z)
• M
∈
(Oxy)
⇔
M(x;y;0)
• M
∈
(Oyz)
⇔
M(0;y;z)
• M
∈
(Oxz)
⇔
M(x;0;z)
• Tọa độ của điểm:

. . . ( ; ; )
= + + ⇔
uuuuur r r r
O M x i y j z k M x y z
• Tọa độ của vectở:
1 2 3 1 2 3
. . . ( ; ; )
= + + ⇔ =
r r r r r
a a i a j a k a a a a
CÁC TÍNH CHẤT CẦN NHỚ.
Cho
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
; ; , ; ;= =
r r
a x y z b x y z
và số k tuỳ ý, ta có:
1. Tổng hai vectơ là một vectơ.
•
( )
1 2 1 2 1 2
; ;
+ = + + +
r r
a b x x y y z z
2. Hiệu hai vectơ là một vectơ.
•
( )
1 2 1 2 1 2

; ;
− = − − −
r r
a b x x y y z z
3. Tích của vectơ với một số thực là một vectơ.
•
( ) ( )
1 1 1 1 1 1
. . ; ; ; ;= =
r
k a k x y z kx ky kz
4. Độ dài vectơ. Bằng
( ) ( ) ( )
2 2 2
hoaønh tung cao+ +

1
•
2 2 2
1 1 1
= + +
r
a x y z
.
5. Vectơ không có tọa độ là:
•
( )
0 0;0;0=
r
.

6. Hai vectơ bằng nhau: Tọa độ tương ứng bằng nhau.
•
1 2
1 2
1 2
=


= ⇔ =


=

r r
x x
a b y y
z z
7. Tích vô hướng của hai vectơ: Bằng: hoành.hoành+tung.tung+cao.cao.
•
1 2 1 2 1 2
. . . .
= + +
r r
a b x x y y z z
. 0⊥ ⇔ =
r r r r
a b a b
8. Góc giữa hai vectơ: Bằng tích vô hướng chia tích độ dài.
•
( )

.
os a,
.
=
r r
r r
r r
a b
c b
a b
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
. . .
.
x x y y z z
x y z x y z
+ +
=
+ + + +
CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ
Trong hệ trục toạ độ Oxyz: Cho A( x
A
; y
A
; z
A
) , B( x
B
, y

B
, z
B
). Khi đó:
1) Tọa độ vectơ
uuur
AB
là:
( )
; ;
B A B A B A
AB x x y y z z
= − − −
uuur
.
2) Độ dài đoạn thẳng AB bằng đồ dài
uuur
AB
:
( ) ( ) ( )
2 2 2
= = − + − + −
uuur
B A B A B A
AB AB x x y y z z
.
Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay còn gọi là khoảng cách giữa hai điểm A và B.
3) Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:
A B
I

A B
I
A B
I
x x
x
2
y y
y
2
z z
z
2
+

=


+

=


+

=



( )

; ;
⇒
I I I
I x y z
4) Tọa độ trọng tâm của tam giác:
Cho
∆
ABC với A(x
A
; y
A
; z
A
),B( x
B
, y
B
, z
B
), C( x
C
, y
C
, z
C
).

2
Khi đó toạ độ trọng tâm G của
∆

ABC là:
( )
3
; ;
3
3
+ +

=


+ +

= ⇒


+ +

=


A B C
G
A B C
G G G G
A B C
G
x x x
x
y y y

y G x y z
z z z
z
5) Tích có hướng và tính chất của tích có hướng:
Cho
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
; ; , ; ;= =
r r
a x y z b x y z
. Khi đó:
•
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
, ; ;
 
 
=
 ÷
 
 
r r
y z z x x y
a b
y z z x x y

• Hai vectơ
r
a
,

r
b
cùng phương
, 0
 
⇔ =
 
r r r
a b
.
• Hai vectơ
r
a
,
r
b
không cùng phương
, 0
 
⇔ ≠
 
r r r
a b
• Ba vectơ
, ,c
r r r
a b
đồng phẳng
, .c 0
 

⇔ =
 
r r r
a b
.
• Ba vectơ
, ,c
r r r
a b
không đồng phẳng
, .c 0
 
⇔ ≠
 
r r r
a b
.
6) Chứng minh hai vectơ cùng phương.
• C
ách 1:
•
r
a
và
r
b
cùng phương
.⇔ =
r r
a k b

.
• C
ách 2:
•
r
a
và
r
b
cùng phương
1 1 1
2 2 2
⇔ = =
x y z
x y z
với
( )
2 2 3
x ,y ,z 0≠
•
r
a
và
r
b
cùng phương
2 2 2
1 1 1
⇔ = =
x y z

x y z
với
( )
1 1 1
x ,y ,z 0≠
• Cách
3:
•
r
a
và
r
b
cùng phương
a,b 0
 
⇔ =
 
r r r
.
CÁC DẠNG BÀI TẬP CHỨNG MINH
Vấn đề1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng. Ba điểm không thẳng hàng.
Dạng 1: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng:
Cần nhớ Phương pháp
C
B
A
Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta
thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính

( )
( )
; ;
; ;
=
=
uuur
uuur
AB
AC
.

3
Ba điểm A, B, C thẳng hàng
⇔
hai vectơ
,
uuur uuur
AB AC
cùng phương
, 0
 
⇔ =
 
uuur uuur r
AB AC
.
Chú ý: Ba điểm A, B, C thẳng hàng
là ba điểm nằm trên 1 đường thẳng.
Bước 2: Tính

( )
, 0;0;0 0
 
= =
 
uuur uuur r
AB AC
.
Bước 3: Kết luận hai vectơ
,
uuur uuur
AB AC
cùng
phương, nên ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Dạng 2: Chứng minh ba điểm A, B, C KHÔNG thẳng hàng:
Cần nhớ Phương pháp
C
B
A
Ba điểm A, B, C không thẳng hàng
⇔
hai vectơ
,
uuur uuur
AB AC
không cùng
phương
, 0
 
⇔ ≠

 
uuur uuur r
AB AC
Để chứng minh ba điểm A,B,C KHÔNG
thẳng hàng ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính
( )
( )
; ;
; ;
=
=
uuur
uuur
AB
AC
.
Bước 2: Tính
( )
, ; ; 0
 
= ≠
 
uuur uuur r
AB AC
.
Bước 3: Vậy hai vectơ
,
uuur uuur
AB AC

không cùng
phương, nên ba điểm A, B, C không thẳng
hàng.
Chú ý: Ba điểm không thẳng hàng chính là
ba đỉnh của một tam giác.
Vấn đề 2: Chứng minh bốn điểm đồng phẳng, bốn điểm không đồng phẳng.
Dạng 1: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D KHÔNG đồng phẳng.
Cần nhớ Phương pháp
D
C
B
A
Bốn điểm A, B, C, D không đồng
phẳng
⇔

, ,
uuur uuur uuur
AB AC AD
đồng phẳng
Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D không
đồng phẳng ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính
( )
( )
( )
; ;
; ;
; ;
=

=
=
uuur
uuur
uuur
AB
AC
AD
.
Bước 2: Tính
( )
, ; ;
, . 0
 
=
 
 
= ≠
 
uuur uuur
uuur uuur uuur
AB AC
AB AC AD
.
Bước 3: Vậy ba vectơ
, ,
uuur uuur uuur
AB AC AD
không
đồng phẳng, nên bốn điểm A, B, C, D không

đồng phẳng.

4
⇔
, . 0
 
=
 
uuur uuur uuur
AB AC AD
.
Chú ý:
• A, B, C, D không đồng phẳng khi đó A, B, C, D là bốn đỉnh của 1 tứ diện
ABCD.
• Vậy để chứng minh bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện ta đi
chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng
Dạng 3: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.
Cần nhớ Phương pháp
D
C
B
A
Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng
⇔

, ,
uuur uuur uuur
AB AC AD
đồng phẳng
⇔

, . 0
 
=
 
uuur uuur uuur
AB AC AD
.
Chú ý: Bốn điểm A, B, C, D đồng
phẳng là bốn điểm thuộc một mp.
Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D đồng
phẳng ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính
( )
( )
( )
; ;
; ;
; ;
=
=
=
uuur
uuur
uuur
AB
AC
AD
.
Bước 2: Tính
( )

, ; ;
, . 0
 
=
 
 
=
 
uuur uuur
uuur uuur uuur
AB AC
AB AC AD
.
Bước 3: Vậy ba vectơ
, ,
uuur uuur uuur
AB AC AD
đồng
phẳng, nên bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.
Vấn đề 3: Hình chiếu vuông góc.
Hình chiếu vuông góc lên trục tọa độ Hình chiếu vuông góc lên mp tọa độ
1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của
điểm M(x
0
;y
0
;z
0
) trên các trục tọa độ.
Phương pháp

• Hình chiếu vuông góc của điểm
M(x
0
;y
0
;z
0
) trên trục Ox là: M(x
0
;0;0)
• Hình chiếu vuông góc của điểm
M(x
0
;y
0
;z
0
) trên trục Oy là: M(0;y
0
;0)
• Hình chiếu vuông góc của điểm
M(x
0
;y
0
;z
0
) trên trục Oz là: M(0;0;z
0
)

2. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của
điểm M(x
0
;y
0
;z
0
) trên các phẳng tọa độ.
Phương pháp
• Hình chiếu vuông góc của điểm
M(x
0
;y
0
;z
0
) trên (Oxy) là: M(x
0
;y
0
;0)
• Hình chiếu vuông góc của điểm
M(x
0
;y
0
;z
0
) trên (Oyz) là: M(0;y
0

;z
0
)
• Hình chiếu vuông góc của điểm
M(x
0
;y
0
;z
0
) trên (Oxz) là: M(x
0
;0;z
0
)
Vấn đề 4: Thể tích khối tứ diện.
Cần nhớ Phương pháp
Thể tích của khối tứ diện ABCD
A
 
 
uuur uuur uuur
1
V = AB, AC .AD
6
Bước 1: Tính
( )
( )
( )
; ;

; ;
; ;
=
=
=
uuur
uuur
uuur
AB
AC
AD
.

5
D
B

C
Bước 2: Tính
( )
, ; ;
, .
 
=
 
 
=
 
uuur uuur
uuur uuur uuur

AB AC
AB AC AD
Bước 3:
 
 
uuur uuur uuur
1
V = AB, AC .AD
6
Chú ý: Thể tích không âm.
Vấn đề 5: Diện tích tam giác.
Diện tích tam giác ABC


∆
 
 
ABC
1
S = AB , AC
2
uuur uuur
A

B C
Chú ý: Diện tích không âm.
Bước 1: Tính
( )
( )
; ;

; ;
=
=
uuur
uuur
AB
AC
.
Bước 2: Tính
( )
, ; ;
 
=
 
uuur uuur
AB AC
.
Bước 3: Tính
2 2 2
AB,AC h t c
 
= + +
 
uuur uuur
.
Bước 4: ADCT

∆
 
 

ABC
1
S = AB , AC
2
uuur uuur
MẶT CẦU
Vấn đề 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu.
Dạng 1 Dạng 2
MC (S):
( ) ( ) ( )
− + − + − =
2 2 2
2
x a y b z c R
Có tâm I(a;b;c) và bán kính R
Mặt cầu (S):
2 2 2
x y z 2ax-2by-2cz+d=0+ + −
Có tâm I(a;b;c) với
he ä soá x
a
-2
he ä soá y
b
-2
he ä soá z
c
-2

=




=



=


Bán kính:
= + + −
2 2 2
R a b c d
Vấn đề 2: Lập phương trình mặt cầu.
Dạng 1: Lập phương trình mặt cầu dạng
( ) ( ) ( )
− + − + − =
2 2 2
2
x a y b z c R
Loại 1: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và bán kính R=m (với m là số thực).
Phương pháp:
• Pt mặt cầu (S):
( ) ( ) ( )
− + − + − =
2 2 2
2
x a y b z c R
(*).

• Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính R=m.
• Thế tâm I và bán kính R vào pt (*).
Loại 2: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và đường kính bằng n (với n là số thực).

6
Phương pháp:
• Pt mặt cầu (S):
( ) ( ) ( )
− + − + − =
2 2 2
2
x a y b z c R
(*).
• Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính R=
n
2
.
• Thế tâm I và bán kính R vào pt (*).
Loại 3: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và đi qua điểm A.
Phương pháp:
• Pt mặt cầu (S):
( ) ( ) ( )
− + − + − =
2 2 2
2
x a y b z c R
(*).
• Mặt cầu có tâm I(a;b;c)
• Bán kính R=
IA IA=

uur
.
• Thế tâm I và bán kính R vào pt (*).
Chú ý: Điểm A thuộc mặt cầu nên khoảng cách từ A đến tâm bằng với bán kính R hay
độ dài đoạn thẳng IA bằng với bán kính R.
Loại 4: Mặt cầu có đường kính AB.
Phương pháp:
• Pt mặt cầu (S):
( ) ( ) ( )
− + − + − =
2 2 2
2
x a y b z c R
(*).
• Gọi I trung điểm AB
( )
I ; ; ⇒
• Mặt cầu có tâm I(a;b;c)
• Bán kính R=
IA IA=
uur
.
• Thế tâm I và bán kính R vào pt (*).
Chú ý:
 Đường kính là AB nên A và B thuộc mặt cầu nên IA=IB là bán kính.
 Ta có thể tính R theo 2 cách sau: R=
IB IB=
uur
hoặc R=
AB

AB
2 2
=
uuur
.
Loại 5: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và tiếp xúc mp (P): Ax+By+Cz+D=0.
Phương pháp:
• Pt mặt cầu (S):
( ) ( ) ( )
− + − + − =
2 2 2
2
x a y b z c R
(*).
• Mặt cầu có tâm I(a;b;c).
• Do mặt cầu tiếp xúc mp(P) nên:
( )
+ + +
= =
+ +
0 0 0
2 2 2
Ax By Cz D
R d I,(P)
A B C
• Thế tâm I và bán kính R vào pt (*).
Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu dạng:
2 2 2
x y z 2ax-2by-2cz+d=0+ + −
.

Loại 1: Lập phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D.
Phướng pháp.
• Pt mặt cầu (S) có dạng:
2 2 2
x y z 2ax-2by-2cz+d=0+ + −
(*)

7
Vỡ A, B, C, D thuc (S):
theỏ toùa ủoọ ủieồm A vaứo pt (*).
theỏ toùa ủoọ ủieồm B vaứo pt (*).
theỏ toùa ủoọ ủieồm C vaứo pt (*)
theỏ toùa ủoọ ủieồm D vaứo pt (*)








Gii h phng trỡnh bng phng phỏp th, ta tỡm c a, b, c, d.
Sau ú th a, ,b , c, d vo pt (*).
Chỳ ý: bi cú th hi thờm xỏc nh tõm, tớnh bỏn kớnh, tớnh din tớch xung quanh
v th tớch khi cu ngoi tip hỡnh chúp.
Loi 2: Lp Pt mt cu qua ba im A, B, C v cú tõm thuc mp (P):
Ax+By+Cz+D=0.
Phng phỏp.
Pt mt cu (S) cú dng:
2 2 2

x y z 2ax-2by-2cz+d=0+ +
(*)
Vỡ A, B, C thuc (S):
theỏ toùa ủoọ ủieồm A vaứo pt (*).
theỏ toùa ủoọ ủieồm B vaứo pt (*).
theỏ toùa ủoọ ủieồm C vaứo pt (*)






Vỡ tõm I(a;b;c) thuc (P) nờn th ta a;b;c vo pt ca (P) ta c phng
trỡnh th t. Ta gii h bn pt, ta tỡm c a,b,c,d.
VN 3: PHNG TRèNH MT PHNG
Dng 1: Vit pt mp bit im thuc mp v vect phỏp tuyn.
Loi 1: Mt phng (P) qua im
( )
0 0 0
M x ;y ;z
v cú
vect phỏp tuyn
( )
n A;B;C=
r
.
Phng phỏp:
Mt phng (P) qua im
( )
0 0 0

M x ;y ;z
.
Mt phng (P) cú VTPT
( )
n A;B;C=
r
.
Ptmp (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0 + + =
.
Loi 2: Mt phng (P) qua im
( )
0 0 0
M x ;y ;z
v
song song hoc cha giỏ ca hai vect
a , b
r r
.
Phng phỏp:
Mt phng (P) qua im
( )
0 0 0
M x ;y ;z
.
Hai vect cú giỏ song song hoc nm trờn
mp(P) l
( ) ( )

a= , b =
r r
Mt phng (P) cú VTPT
n a,b

=

r r r
.
Ptmp(P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0 + + =
.

8
M
n
r
P)
a
r
b
r
,n a b

=

r r r
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm

M và vuông góc với đường thẳng d.
Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) đi qua M.
• Mặt phẳng (P) có VTPT:
( )
P d 1 2 3
n a a ;a ;a= =
uur uur
.
• Ptmp(P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm
A, B, C.
Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) đi qua A.
• Mặt phẳng (P) có VTPT:
n AB,AC
 
=
 
r uuur uuur
.
• Pt(P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai
điểm A, B và vuông góc với mp(Q).

Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) qua điểm A.
• Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên
mp(P) là:
Q
AB n = =
uuur uur
.
• Nên mp(P) có VTPT:
Q
n AB,n
 
=
 
r uuur uur
.
• Ptmp(P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =

Dạng 6:
 Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d và d’.
 Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với đường
thẳng d’.
Phương pháp:

Dạng 2: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và
song song với mp(Q).
Phương pháp:

• Mặt phẳng (P) qua điểm
( )
0 0 0
M x ;y ;z
.
• Do mp(P) song song mp(Q) nên mặt phẳng (P)
có VTPT
=
uur uur
P Q
n n
.
• Ptmp(P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.
• Chú ý: Hai mp song song cùng vectơ pháp
tuyến.
9
P)
Q)
M
Q
n
uur
M
uur
d
a

d
P)
•
,n AB AC
 
=
 
r uuur uuur
A
B
C
B
Q
n
uur
P
)
Q
)
A
• Mặt phẳng (P) qua điểm
M d∈
.
• Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là:
d d'
a a = =
uur uur
.
• Mp(P) có VTPT:
d d'

n a ,a
 
=
 
r uur uur
.
• Ptmp(P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d.
Phương pháp:
• Chọn điểm M thuộc đt d.
• Mặt phẳng (P) qua điểm A.
• Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là:
d
AM a = =
uuuur uur
.
• Nên mp(P) có VTPT:
d
n AM,a
 
=
 
r uuuur uur
.
• Ptmp(P):
( ) ( ) ( )
0 0 0

A x x B y y C z z 0− + − + − =
Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) là mp trung
trực của đoạn thẳng AB.
Phương pháp:
• Gọi I là trung điểm AB
⇒
( )
I =
• Mặt phẳng (P) qua điểm I.
• Mặt phẳng (P) có VTPT
n AB=
r uuur
.
• Ptmp (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.
Dạng 9: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và vuông góc với hai mp (Q) và
(R).
Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) qua điểm M.
• Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là:
Q R
n ,n = =
uur uur
.
• Nên mp(P) có VTPT:
Q R
n n ,n

 
=
 
r uur uur
.
• Ptmp(P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
Vấn đề 4: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S):
Dạng 1: Lập phương trình mp(P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm A.
Phương pháp:
• Xác định tâm I của mc(S).
• Mặt phẳng (P) qua điểm A.
• Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
n IA=
r uur
.

10
P)
A
I
B
• Ptmp(P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
Dạng 2: Viết pt mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
( )

n m;n;p=
r
và tiếp xúc mặt cầu
(S).
Phương pháp:
• Trước tiên: Ta xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu.
• Ptmp(P) có dạng: Ax+By+Cz+D=0.
Vì mp(P) có VTPT
( )
n m;n;p=
r
mx ny pz 0⇒ + + + =D
.
• Do mp(P) tiếp xúc mc(S)
⇔
( )
( )
=d I; P R

Chú ý:
A B
A B
A B
=

= ⇔

= −

.

Điều kiện tiếp xúc:
Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S)

( ,( ))d I P R
⇔ =

Điều kiện tiếp xúc:
Đường thẳng d tiếp xúc mặt cầu (S)
( , )d I d R
⇔ =

Vấn đề 5: Khoảng cách:Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M(x
0
;y
0
;z
0
) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là

0 0 0
2 2 2
A
( ,( ))
x By Cz D
d M P
A B C
+ + +
=
+ +

VẤN ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG.
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A,B.
Phương pháp:
• Đường thẳng d đi qua điểm A.
• Đường thẳng d có VTCP:
a AB=
r uuur
.
• Pt tham số:
0
0
0
= +


= +


= +

x x at
y y bt
z z ct
.
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường
thẳng d’.
Phương pháp:
• Đường thẳng d đi qua điểm M.
• Đường thẳng d có VTCP:

d d'
a a=
uur uur
.
• Pt tham số:
0
0
0
= +


= +


= +

x x at
y y bt
z z ct
.
Chú ý: Hai đường thẳng song song cùng vectơ chỉ phương.

11
r = d(I,(P))
I
P)
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P).
Phương pháp:
• Đường thẳng d đi qua điểm M.
• Đường thẳng d có VTCP:

d P
a n=
uur uur
.
• Pt tham số:
0
0
0
= +


= +


= +

x x at
y y bt
z z ct
.
VẤN ĐỀ 7: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Tìm giao điểm của đường thẳng d:
0
0
0
= +


= +



= +

x x at
y y bt
z z ct
và mp(P): Ax+By+Cz+D=0.
Phương pháp:
• Gọi H là giao điểm của d và (P).
• Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ pt:
0
0
0
Ax+By+Cz+D=0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +



• Xét pt:
( ) ( ) ( )
0 0 0

A +B +C +D=0+ + +x at y bt z ct
(*).Giải pt (*) tìm t
⇒
x, y, z
⇒
H.
VẤN ĐỀ 8: XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M LÊN MP(P).
Phương pháp:
• Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M
và vuông góc với mp(P).
• Tìm giao điểm H của d và (P).
• Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên
(P).
Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên (P) chính là giao điểm của đường thẳng
d đi qua M và vuông góc với (P).
VẤN ĐỀ 9: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA MP(P).
Phương pháp:
• Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và
vuông góc với mp(P).
• Tìm giao điểm H của d và (P).
• Do M và M’ đối xứng qua (P) nên H là trung điểm
của đoạn thẳng MM”.

12
M
H
)P
d
M
H

)P
d
M
/
Chú ý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
nhận VTPT của mặt phẳng làm VTCP.
/
/
/
/
/
/
2
2
2
2
2
2
+

=


= −

+


⇔ = ⇒ = −
 

 
= −
+


=


M
M
H
H M
M
M
M
H H M
M
H M
M
M
M
H
x x
x
x x x
y y
y y y y
z z z
z z
z

⇒
M’=
Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng nhau qua (P) khi đó H là trung điểm của
đoạn thẳng MM’
VẤN ĐỀ 10: XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M LÊN đường
thẳng d.
Phương pháp:
• Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M
và vuông góc với đường thẳng d.
• Tìm giao điểm H của d và (P).
• Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên
d.
Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d chính là giao điểm của
đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P).
VẤN ĐỀ 11: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA đường thẳng d.
Phương pháp:
• Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và
vuông góc với đường thẳng d.
• Tìm giao điểm H của d và (P).
• Do M và M’ đối xứng qua d nên H là trung điểm
của đoạn thẳng MM’.
/
/
/
/
/
/
2
2
2

2
2
2
+

=


= −

+


⇔ = ⇒ = −
 
 
= −
+


=


M
M
H
H M
M
M
M

H H M
M
H M
M
M
M
H
x x
x
x x x
y y
y y y y
z z z
z z
z
⇒
M’=
Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng nhau qua d khi đó H là trung điểm của đoạn
thẳng MM’.
VẤN ĐỀ 12: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG.
Phương pháp:

13
•
M
•
H
P)
(d)
M

M
/
•
H
P)
(d)
Bước 1:
• Xác định điểm M thuộc d và VTCP
a
r
của d.
• Xác định điểm M’ thuộc d và VTCP
a'
ur
của d’.
Bước 2:
• Xét sự cùng phương của hai vectơ chỉ phương bằng cách tính
a,a'
 
=
 
r ur
• Nếu
a,a' 0
 
=
 
r ur r
thì
a,a'

r ur
cùng phương khi đó d song song với d hoặc d trùng với
d’.
o Nếu M thuộc d mà không thuộc d’ thì d song song d’.
o Nếu M thuộc d và cũng thuộc d’ thì d trùng với d’.
• Nếu
a,a' 0
 
≠
 
r ur r
thì
a,a'
r ur
không cùng phương khi đó d cắt d’ hoặc d và d’ chéo
nhau.
o Nếu
a,a' .MM' 0
 
=
 
r ur uuuuur
thì d và d’ cắt nhau.
o Nếu
a,a' .MM' 0
 
≠
 
r ur uuuuur
thì d và d’ chéo nhau.

VẤN ĐỀ 13: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MP.
Phương pháp: Để xét vị trí tường đối của đt d:
0
0
0
= +


= +


= +

x x at
y y bt
z z ct
và mp(P):
Ax+By+Cz+D=0.
Ta làm như sau:
• Xét pt:
( ) ( ) ( )
0 0 0
A +B +C +D=0
+ + +
x at y bt z ct
(*).Giải pt tìm t.
o Pt(*) có một nghiệm t
⇔
d cắt mp(P) tại một điểm.
o Pt (*) vô nghiệm

⇔
d song song với (P).
o Pt(*) có vô số nghiệm t
⇔
d nằm trong (P).
Chú ý:
•
0t 1 voâ nghieäm.
0t =-2 voâ nghieäm.
=

0t 0 voâ soá nghieäm=
VẤN ĐỀ 14: CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH.

14
1/ Chứng tam giác ABC là tam giác vuông
tại A.
Cần nhớ: Tam giác ABC vuông tại A
AB AC AB AC AB.AC 0⇔ ⊥ ⇔ ⊥ = =
uuur uuur uuur uuur
Phương pháp:
• Tính
AB ,AC = =
uuur uuur
• Tính
AB.AC H.H T.T C.C 0= + + =
uuur uuur
• Suy
AB AC⊥
uuur uuur

• Suy ra
AB AC⊥
.
• Kết luận tam giác ABC vuông tại A
Chú ý:
• Nếu tam giác ABC vuông tại B
BC BA BC BA.BC 0⇔ ΒΑ ⊥ ⇔ ⊥ = =
uuur uuur uuur uuur
• Nếu tam giác ABC vuông tại C
C CB CA CB CA.CB 0⇔ Α ⊥ ⇔ ⊥ = =
uuur uuur uuur uuur
2/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’
VUÔNG GÓC với nhau.
Cần nhớ:
d d' d d'
d d' a a a .a 0⊥ ⇔ ⊥ ⇔ =
uur uur uur uur
Phương pháp:
• Đường thẳng d có VTCP:
a
r
=
• Đường thẳng d’ có VTCP:
a'
ur
=
• Tính
a.a H.H T.T C.C 0= + + =
r r
• Suy ra:

a a⊥
r r
.
• Kết luận d và d’ vuông góc với nhau.
3/ Tìm tham số để đường thẳng d VUÔNG GÓC đường thẳng d’.
Phương pháp:
Do
d d' d d'
d d' a a a .a 0 ⊥ ⇔ ⊥ ⇔ = ⇔ ⇔
uur uur uur uur
ta giải pt tìm được tham số.
4/ Chứng minh đường thẳng d SONG SONG với
đường thẳng d’.
Cần nhớ:
• Hai đường thẳng song song không có điểm
chung tức là mọi điểm thuộc đường thẳng này nhưng
không thuộc đường thẳng kia.
• Hai đường thẳng song song khi hai vectơ chỉ
phương cùng phương với nhau.
Phương pháp chứng minh hai đường thẳng d và d’ SONG SONG với nhau:
Cách 1:
Bước 1: Chứng minh hai vectơ chỉ phương
a,a'
r ur
cùng phương:

15
• Ta chứng minh
a,a' 0
 

=
 
r ur r
.
Bước 2: Chọn điểm M thuộc d rồi chứng minh M không thuộc d’. Rồi kết luận.
Cách 2:
Bước 1: Lập tỉ số: Tức là
( )
( )
1 2 3
1 2 3
a a ;a ;a
a' a' ;a' ;a'
=
=
r
ur
cùng phương
3
1 2
1 2 3
a
a a
a' a' a'
⇔ = =
.
Bước 2: Chọn điểm M thuộc d rồi chứng minh M không thuộc d’. Rồi kết luận.
5/ Tìm tham số m để đường thẳng d SONG SONG đường thẳng d’.
Phương pháp:
Bước 1: Chỉ ra hai vectơ chỉ phương

( )
( )
1 2 3
1 2 3
a a ;a ;a
a' a' ;a' ;a'
=
=
r
ur
.
Bước 2: Vì d //d’ nên
a,a'
r ur
cùng phương
3
1 2
1 2 3
a
a a
a' a' a'
⇔ = =
, lập pt hoặc hệ pt để tìm
m.
6/ Tìm giao điểm của hai đường thẳng:
d:
0
0
0
= +



= +


= +

x x at
y y bt
z z ct
và d’:
0
0
0
' ' '
' ' '
' ' '
= +


= +


= +

x x a t
y y b t
z z c t
Cách tìm:
Bước 1:

• Gọi I là giao điểm của d và d’.
• Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ pt:
0 0
0 0
0 0
' ' ' (1)
' ' ' (2)
' ' ' (3)
+ = +


+ = +


+ = +

x at x a t
y bt y b t
z ct z c t
(*)
Bước 2: Để giải hệ (*) ta đi giải hệ gồm pt (1) và (2), rồi thế t và t’ vào pt(3) thử lại.
• Giải hệ pt
0 0
0 0
' ' ' (1)
' '
' ' ' (2) ' '
+ = +
− =



⇔
 
+ = + − =


x at x a t
at a t m
y bt y b t bt b t n
. Tìm t và t’.
• Thế t và t’ vào pt (3) nếu thỏa thì t và t’ là nghiệm của hệ (*), nếu không thỏa thì
hệ
(*) vô nghiệm.
• Thế t và t’ vào pt của d hoặc của d’ để tìm tọa độ giao điểm I.

16
7/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ CẮT nhau.
Cách 1:
• Chỉ ra một điểm M thuộc d và một vectơ chỉ phương
a
r
của d.
• Chỉ ra một điểm M’ thuộc d’ và một vectơ chỉ phương
a'
ur
của d’.
• Chứng minh:
a,a' 0
a,a' .MM' 0


 
≠
 

 
=

 

r ur r
r ur uuuuur
.
Cách 2: Tìm giao điểm của d và d’.
8/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ CHÉO nhau.
• Chỉ ra một điểm M thuộc d và một vectơ chỉ phương
a
r
của d.
• Chỉ ra một điểm M’ thuộc d’ và một vectơ chỉ phương
a'
ur
của d’.
• Chứng minh:
a,a' .MM' 0
 
≠
 
r ur uuuuur
.
VẤN ĐỀ 15: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG.

Cách tính:
Để tính khoảng cách giữa hai mp song song (P) và (Q) ta làm như sau:
• Chọn điểm M thuộc (P).
•
( ) ( )
( )
( )
( )
0 0 0
2 2 2
Ax By Cz D
d P , Q d M, Q
A B C
+ + +
= =
+ +
.
VẤN ĐỀ 16: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.
• Chọn điểm M thuộc d.
•
( ) ( )
d d,d' d M,d'=
.
VẤN ĐỀ 17: ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG
Cho đường thẳng d có phương trình tham số:
0
0
0
= +



= +


= +

x x at
y y bt
z z ct
.
• Đường thẳng là tập hợp vô số điểm.
• Nếu chọn điểm M thuộc d thì điểm M có tọa độ là:
( )
0 0 0
M x at;y bt;z ct+ + +
.
VẤN ĐỀ 18: GÓC.
1/ Góc giữa hai đường thẳng là góc giữa hai vectơ chỉ phương.

( )
a.a'
cos = cos a,a'
a . a'
α =
r ur
r ur
r ur
Chú ý:
0 0
0 90≤ α ≤

.
2/ Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến.

17

( )
n.n'
cos = cos n,n'
n . n'
α =
r ur
r ur
r ur
Chú ý:
0 0
0 90≤ α ≤
.
3/ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp
tuyến.

( )
a.n
sin = cos a,n
a . n
α =
r r
r r
r r
Chú ý:
0 0

0 90≤ α ≤
.
VẤN ĐỀ 19: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG (P) VÀ MẶT CẦU (S).
• Xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).
• Tính khoảng cách d từ tâm I đến mp(P):
( )
( )
d d I, P
=
.
o TH1:
d r (P) (S)= .> ⇔ ∩ ∅
(hay (P) và (S) khơng có điểm chung).
o TH2:
d r (P) tiếp xúc cới mặt cầu (S).= ⇔
o TH3:
d r (P) cắt (S) theo thiết diện là một đường tròn (C).< ⇔

CÁC DẠNG TỐN ƠN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2012
Vấn đề 1: Phương trình mặt phẳng.

18
• Cách xác định tâm và bán kính đường tròn(C).
- Gọi H là tâm của (C).
Khi đó H chính là giao điểm của đường thẳng d đi
qua tâm I và vng góc mp(P).
- Gọi r’ là bán kính của (C).
Khi đó:
= − ⇔ = −
2 2 2 2 2

r R d r R d
.
Cần nhớ: H là hình chiếu vng góc của I lên (P)
nên tam giác IMH vng tại H.
Với: R=IM, d=IH=
( )
( )
d I, P
và r=MH.
1. Kiến thức cần nhớ:
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ
n 0≠
r
đgl vectơ pháp tuyến của
mp(P) nếu giá của
n
r
vng góc với (P), viết tắt là
n (P)⊥
r
.
- Nếu hai vectơ
a, b
r r
khơng cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mp(P)
thì mp(P) có một vectơ pháp tuyến là:
P
n a,b
 
=

 
uur r r
.
- Phương trình tổng qt của mp có dạng: Ax+By+Cz+D=0 với
2 2 2
A B C 0+ + ≠
- Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm
0 0 0
M(x ;y ;z )
có vectơ pháp tuyến
( )
P
n A;B;C=
uur
có dạng:
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.
Cần nhớ:
- Để viết phương trình mặt phẳng ta cần tìm:
( )
0 0 0
P
một điểm M(x ;y ;z ) thuộc mp
một VTPT n A;B;C



=



uur
2. Các dạng toán.
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua một điểm
0 0 0
M(x ;y ;z )
và vuông
góc với đường thẳng d.
0 0 0
HD
P d
Ñieåm ñi qua M(x ;y ;z )
VTPT n a


→

=


uur uur

Cần nhớ: MP vuông góc đường thẳng nhận VTCP của đt làm VTPT.
Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đt d:
x 1 2t
y 3t
z 2
= +



= −


=

Bài giải
HD
P d
Ñieåm ñi qua A(2;2-1)
VTPT n a


→

=


uur uur
- Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
( )
P d
n a 2; 3;0= = −
uur uur
.
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =

( ) ( ) ( )
⇒ − − − + + =
⇔ − − + =
⇔ − + =
2 x 2 3 y 2 0 z 1 0
2x 4 3y 6 0
2x 3y 2 0
Cần nhớ:
- Mp(P) vuông góc đường thẳng d nhận vectơ
d
a
uur
làm vectơ pháp tuyến.
Bài 2: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đường
thẳng
d:
x 1 y 2 z
1 2 2
− +
= =
−
Bài giải
HD
P d
Ñieåm ñi qua A(2;2-1)
VTPT n a


→


=


uur uur
- Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
( )
P d
n a 1;2; 2= = −
uur uur
.
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =

19

( ) ( ) ( )
⇒1 − + − − + =
⇔ − + − − − =
⇔ + − − =
x 2 2 y 2 2 z 1 0
x 2 2y 4 2z 2 0
x 2y 2z 8 0
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng d nhận vectơ
d
a
uur

làm vectơ pháp tuyến.
Bài 3: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2).
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B vuông góc với AC.
Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua B(0;2;0)
VTPT n AC


→

=


uur uuur
- Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
( )
P
n AC 2;0;2= = −
uur uuur
.
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =

( ) ( ) ( )
⇒ −2 − + − + − =

⇔ −2
⇔ −
x 0 0 y 2 2 z 0 0
x + 2z = 0
x+z=0
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng AC nhận vectơ
AC
uuur
làm vectơ pháp
tuyến.
2. Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với BC tại B.
Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua B(0;2;0)
VTPT n BC


→

=


uur uuur
- Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
( )
P
n BC 0; 2;2= = −
uur uuur

.
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =

( ) ( ) ( )
⇒ 0 − − − + − =
⇔ −2
⇔ −2
x 0 2 y 2 2 z 0 0
y+4+2z=0
y+2z+4=0
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng BC nhận vectơ
BC
uuur
làm vectơ pháp
tuyến.
Bài 4: Cho hai điểm A(1;1;1), B(3;3;3). Viết phương trình mặt phẳng trung
trực của đoạn thẳng AB.
Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua laø trung ñieåm I(2;2;2)
VTPT n AB


→

=



uur uuur
- Gọi (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB.
- Gọi I là trung điểm của AB
( )
I 2;2;2⇒
- Mặt phẳng (P) qua điểm I(2;2;2).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
( )
P
n AB 2;2;2= =
uur uuur
.

20
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =

( ) ( ) ( )
⇒ 0 − − − + − =
⇔ −2
⇔ −2
x 0 2 y 2 2 z 0 0
y+4+2z=0
y+2z+4=0
Cần nhớ: Mp trung trực của đoạn thẳng AB là mp vuông góc với đoạn thẳng AB
tại trung điểm I của đoạn thẳng AB.

Kiến thức cần nhớ:
- Trục Ox có VTCP là
( )
i 1;0;0=
r
.
- Trục Oy có VTCP là
( )
j 0;1;0=
r
.
- Trục Oz có VTCP là
( )
k 0;0;1=
r
.
- Mp (Oxy) có VTPT:
( )
n i, j k 0;0;1
 
= = =
 
r r r r
.
- Mp (Oyz) có VTPT:
( )
n j,k i 1;0;0
 
= = =
 

r r r r
- Mp (Oxz) có VTPT:
( )
 
= = =
 
r r r r
n k,i j 0;1;0
.
Bài 5: Cho điểm M(1;2;3).
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Ox.
Bài giải
( )
HD
P
Ñieåm ñi qua M(1;2;3)
VTPT n i 1;0;0


→

= =


uur r
- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
( )
P
n i 1;0;0= =

uur r
.
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =

( ) ( ) ( )
⇒1 − + − + − =
⇔
x 1 0 y 2 0 z 3 0
x-1=0
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Ox nhận vectơ
i
r
làm vectơ pháp tuyến.
2. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oy.
Bài giải
( )
HD
P
Ñieåm ñi qua M(1;2;3)
VTPT n j 0;1;0


→

= =



uur r
- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
( )
P
n j 0;1;0= =
uur r
.
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =

( ) ( ) ( )
⇒ 0 − + − + − =
⇔
x 1 1 y 2 0 z 3 0
y-2=0
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oy nhận vectơ
j
r
làm vectơ pháp tuyến.
3. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oz.

21
Bài giải
( )
HD
P
Ñieåm ñi qua M(1;2;3)

VTPT n k 0;0;1


→

= =


uur r
- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
( )
P
n k 0;0;1= =
uur r
.
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =

( ) ( ) ( )
⇒ 0 − + − + − =
⇔ − 3
x 1 0 y 2 1 z 3 0
z =0
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oz nhận vectơ
k
r
làm vectơ pháp tuyến.

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua ba điểm A, B, C

0 0 0
HD
P
Ñieåm ñi qua A(x ;y ;z )
VTPT n AB,AC


→

 
=

 

uur uuur uuur

Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1).
Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua A
VTPT n AB,AC


→

 
=


 

uur uuur uuur
- Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;0;0).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
P
n AB,AC
 
=
 
uur uuur uuur
Với
( )
( )
AB 1;1;0
AC 1;0;1
= −
= −
uuur
uuur

( )
P
n AB,AC 1;1;1
 
⇒ = =
 
uur uuur uuur

-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =

( ) ( ) ( )
⇒1 − + − + − =
⇔ − + + =
⇔ + + − =
x 1 1 y 0 1 z 0 0
x 1 y z 0
x y z 1 0
Bài 2: Cho hai điểm M(1;1;1), N(1;-1;1). Viết phương trình mp(OMN).
Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua O, VTPT n OM,ON
 
→ =
 
uur uuuur uuur
- Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
P
n OM,ON
 
=
 
uur uuuur uuur
Với

( )
( )
OM 1;1;1
ON 1; 1;1
=
= −
uuuur
uuur

( )
P
n OM,ON 2;0; 2
 
⇒ = = −
 
uur uuuur uuur

-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =

22

( ) ( ) ( )
⇒ 2 − + − − − =
⇔ 2 − =
x 0 0 y 0 2 z 0 0
x 2z 0
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua một điểm

0 0 0
M(x ;y ;z )
và song
song với mp(Q)
0 0 0
HD
P Q
Ñieåm ñi qua M(x ;y ;z )
VTPT n n


→

=


uur uur

Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(1;2;3) và song song với
mp(Q): 2x+2y+z=0.
Bài giải
HD
P Q
Ñieåm ñi qua A(1;2;3)
VTPT n n


→

=



uur uur
- Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
( )
P Q
n n 2;2;1= =
uur uur
.
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =

( ) ( ) ( )
⇒ 2 − + − − − =
⇔ 2 − + − − + =
⇔ 2 + − − =
x 1 2 y 2 1 z 3 0
x 2 2y 4 z 3 0
x 2y z 3 0
Cần nhớ: Hai mp song song cùng VTPT.
Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết phương trình mp(P) qua
điểm M(1;2;3) và song song với mp(ABC)
Bài giải
HD
P ABC
Ñieåm ñi qua M
VTPT n n AB,AC



→

 
= =

 

uur uuuur uuur uuur
- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
P
n AB,AC
 
=
 
uur uuur uuur
Với
( )
( )
AB 1;1;0
AC 1;0;1
= −
= −
uuur
uuur

( )
P

n AB,AC 1;1;1
 
⇒ = =
 
uur uuur uuur

-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =

( ) ( ) ( )
⇒1 − + − + − =
⇔ − + − + − =
⇔ + + − =
x 1 1 y 2 1 z 3 0
x 1 y 2 z 3 0
x y z 6 0
Cần nhớ: Mp(ABC) có VTPT là
ABC
n AB,AC
 
=
 
uuuur uuur uuur
.
Bài 3: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxy).
Bài giải
( )
HD

P
Ñieåm ñi qua M(1;2;3)
VTPT n i,j k 0;0;1


→

 
= = =

 

uur rr r
- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).

23
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
( )
P
n i,j k 0;0;1
 
= = =
 
uur r r r
.
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =

( ) ( ) ( )
⇒ 0 − + − + − =
⇔
x 1 0 y 2 1 z 3 0
z-3=0
Bài 4: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxz).
Bài giải
( )


→

 
= = =

 

uur r r r
HD
P
Ñieåm ñi qua M(1;2;3)
VTPT n k,i j 0;1;0
- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
( )
P
n i,k j 0;1;0
 
= = =
 

uur r r r
.
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =

( ) ( ) ( )
⇒ 0 − + − + − =
⇔
x 1 1 y 2 0 z 3 0
y-2=0
Bài 5: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oyz).
Bài giải
( )
HD
P
Ñieåm ñi qua M(1;2;3)
VTPT n j,k i 1;0;0


→

 
= = =

 

uur r r r
- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).

- Mặt phẳng (P) có VTPT là
( )
P
n j,k i 1;0;0
 
= = =
 
uur r r r
.
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =

( ) ( ) ( )
⇒1 − + − + − =
⇔
x 1 0 y 2 0 z 3 0
x-1=0
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua hai điểm A, B và vuông góc với
mp(Q)
HD
P Q
Ñieåm ñi qua A
VTPT n AB,n


→

 

=

 

uur uuur uur

Bài 1: Viết pt mp(P) qua 2 điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp
(Q): 2x-y+3z-1=0
Bài giải
HD
P Q
Ñieåm ñi qua A
VTPT n AB,n


→

 
=

 

uur uuur uur
- Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;-1).
- Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là:

( )
( )
Q
AB 1; 2;5

n 2; 1;3
= − −
= −
uuur
uur
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
( )
P Q
: n AB,n 1;13;5
 
= = −
 
uur uuur uur
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =

24

( ) ( ) ( )
1 + + + =

x 3 13 y 1 5 z 1 0
x-13y-5z+5=0
Bi 2: Vit pt mp(P) qua 2 im A(3;1;-1), B(2;-1;4) v vuụng gúc vi mp(Oxy)
Bi gii
HD
P
ẹieồm ủi qua A

VTPT n AB,k





=



uur uuur r
- Mt phng (P) qua im A(3;1;-1).
- Hai vect khụng cựng phng cú giỏ song song hoc nm trờn (P) l:

( )
( )
AB 1; 2;5
k 0;0;1
=
=
uuur
r
- Mt phng (P) cú VTPT l
P
n AB,k

=

uur uuur r
=(-2;1;0)

-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0 + + =

( ) ( ) ( )
2 + + + =
2
x 3 1 y 1 0 z 1 0
x+y+5=0
Bi 3: Vit pt mp(P) qua gc ta , im A(1;1;1) v vuụng gúc vi mp(Oyz)
Bi gii
HD
P
ẹieồm ủi qua O
VTPT n OA,i





=



uur uuur r
- Mt phng (P) qua im O(0;0;0).
- Hai vect khụng cựng phng cú giỏ song song hoc nm trờn (P) l:

( )

( )
OA 1;1;1
i 1;0;0
=
=
uuur
r
- Mt phng (P) cú VTPT l
P
n OA,i

=

uur uuur r
=(0;1;-1)
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0 + + =

( ) ( ) ( )
0 + =

x 0 1 y 0 1 z 0 0
y-z=0
Vn 2: Phng trỡnh ng thng.

25
Kin thc cn nh:
- Vect ch phng ca ng thng l vect cú giỏ song song vi ng thng hoc

trựng vi ng thng.
- ng thng d qua im
0 0 0
M(x ;y ;z )
cú vect ch phng
( )
d
a a;b;c=
uur
:
Cú pt tham s:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +

.
Cú phng trỡnh chớnh tc:
0 0 0
x x y y z z
, a.b.c 0

a b c

= =
- Cn nh: vit pt ng thng ta tỡm:
( )
0 0 0
d
moọt ủieồm M(x ;y ;z ) thuoọc ủửụứng thaỳng
moọt VTCP a a;b;c



=


uur