TỔNG HỢP CÁC CHỦ ĐỀ ÔN TẬP THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM
SỐ
Vấn đề 1
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM XÉT TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH
BIẾN CỦA HÀM SỐ
1. Định lí : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a; b)
Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến)
trên (a; b) là f’(x) ≥ 0 (hoặc f’(x) ≤ 0), ∀ x ∈ (a; b), dấu đẳng thức xảy
ra tại một số hữu hạn điểm x
0
∈ (a; b) hoặc không xảy ra trên (a; b).
2. Các dạng bài toán thường gặp:
1. Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x)
trên tập xác định của nó.
Phương pháp: B1. Tìm tập xác định D của f(x)
B2. Tìm y’. Tìm các điểm
0
x
mà tại đó y’ = 0
hoặc không có đạo hàm.
Xét dấu y’. Lập bảng biến thiên của y trên D
B3. Dựa vào bảng biến thiên suy ra khoảng đồng
biến, nghịch biến của hàm số theo định lí ở phần tóm tắt.
2. Dạng 2. Tìm tham số m để hàm y = f(x; m) đồng biến, nghịch
biến hoặc không đổi trên các khoảng xác định của nó.
Phương pháp:
B1. Tìm TXĐ D của hàm số y = f(x; m)
B2. Tìm y’ = f’(x; m) theo x.
B3. * Nếu f(x) là hàm số đa thức bậc 3, 4 hoặc hàm số dạng
f(x) =

2
ax bx c
dx e
+ +
+
, ad ≠ 0 thì điều kiện để hàm số đồng biến (hoặc
nghịch biến) trên các khoảng xác định của nó là y’ ≥ 0, ∀x ∈D)
(hoặc y’ ≤ 0, ∀x ∈ D).
* Nếu f(x) =
ax b
cx d
+
+
thì điều kiện để hàm số đồng biến (hoặc
nghịch
biến) trên các khoảng xác định của D là y’> 0, ∀x ∈D (hoặc y’ < 0, ∀x
∈ D)
1

* Điều kiện để 1 hàm số bất kỳ nào đó là hàm số không đổi trên
từng khoảng xác định của nó là: y’ = 0, ∀x ∈ D.
B4. Từ điều kiện ở (B
3
) ta chuyển về bài toán đại số (thường là bài
toán tam thức bậc 2) để giải tìm m.
BÀI TẬP
Bài 1. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
3 2 3 2
2 2 4 2
a / y x 3x 2 ; b / y x 3x 2

c / y x (4 x ) ; d / y x 2x 3
= − − + = − +
= − = − +
Phương pháp: B1. Tìm tập xác định D của f(x)
B2. Tìm y’. Tìm các điểm
0
x
mà tại đó y’ = 0
hoặc không có đạo hàm.
Xét dấu y’. Lập bảng biến thiên của y trên D
B3. Dựa vào bảng biến thiên suy ra khoảng đồng
biến, nghịch biến của hàm số theo định lí ở phần tóm tắt.
Bài 2. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
2 2
2x 1 x 4
a / y ; b / y
x 2 x 2
x x 2 x 4
c / y ; d / y
2 x x
− +
= =
− − −
− + +
= =
−
Phương pháp làm như bài 1.
Bài 3. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
2
2

2
x 1
a / y 4 3x x ; b / y
x x 1
1
c / y ; d / y | x 3x 4 |
x 1
+
= − − =
− +
= = − −
+
Phương pháp làm như bài 1.
Bài 4. Tìm m để các hàm số sau đồng biến trên các khoảng xác định
của nó:
a/ y = 4x
3
+ (m + 3)x
2
+ mx (ĐS: m = 3)
b/
3
2
mx
y mx 4x 1
3
= − + −
(ĐS: 0 ≤ m ≤ 4)
c/
mx 1

y
x m
+
=
+
(ĐS: m < - 1 ∨ m > 1)
2

d/
2
x mx 1
y
x 1
+ −
=
−
(ĐS: -5 ≤ m ≤
1
3
)
Thực hiện theo các bước nêu ở dạng 2
Bài 5. Tìm m để hàm số
2 3 2
( 5 ) 6 6 1y m m x mx x= − + + + +
đồng biến trên
R.
HD: y’
≥
0,
x R∀ ∈

Bài 6. Tìm m để các hàm số sau nghịch biến trên các khoảng xác định
của nó.
a/ y = mx
3
+ 3x
2
+ 3mx (ĐS: m ≤ -1)
b/ y =
mx 1
x m
+
+
(ĐS: -1 < m < 1)
c/
2 2
x 2mx 3m
y
x 2m
− +
=
− +
(ĐS: m = 0)
Thực hiện theo các bước nêu ở dạng 2
Vấn đề 2
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
1. Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D và có đạo hàm
trên (a; b) ⊂ D (có thể trừ điểm x
0
)
* Nếu

( ) ( )
( ) ( )
0
0





f' x > 0 trên a; x
f' x < 0 trên x ; b
thì x
0
là điểm cực đại của hàm số
* Nếu
( ) ( )
( ) ( )
0
0





f' x < 0 trên a; x
f' x > 0 trên x ; b
thì x
0
là điểm cực tiểu của hàm số
2. Định lí 2: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D, có đạo hàm cấp 2

trên (a; b) ⊂ D và f’(x
0
) = 0
Khi đó a/ Nếu f”(x
0
) < 0 thì x
0
là điểm cực đại của hàm số
b/ Nếu f”(x
0
) > 0 thì x
0
là điểm cực tiểu của hàm số
3. Các dạng bài toán thường gặp:
1. Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số y = f(x)
Phương pháp 1:
B1. Tìm TXĐ D.
B2. Tìm y’. Tìm các điểm
0
x
mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo
hàm
3

, tìm giá trị của hàm số tại các điểm
0
x
, lập bảng biến thiên của y
trên D.
B3. Dựa vào bảng biến thiên và định lí 1 ⇒ các giá trị CĐ, CT.

Phương pháp 2:
Chỉ xét đối với các hàm số có đạo hàm các cấp liên tục trên miền
xác định của nó
B1. Tìm TXĐ D.
B2. Tìm y’, y”
B3. Giải phương trình y’ = 0 tìm các nghiệm x
1
, x
2
và tìm y”(x
1
),
y”(x
2
) …
* Nếu y”(x
i
) < 0 (hoặc y”(x
i
) > 0) thì hàm số đạt cực đại (hoặc đạt
cực tiểu) tại x
i
, i = 1, 2,
2. Dạng 2: Tìm m để hàm số y = f(x) đạt cực đại hay đạt cực tiểu tại
điểm x = x
0
cho trước nào đó.
Phương pháp 1: (Sử dụng đối với các hàm có đạo hàm cấp 2 phức
tạp)
B1. Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x)

B2. Tìm y’
B3. Để hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại x = x
0
điều kiện cần là
y’(x
0
) = 0 hay y’(x) không tồn tại tại điểm x
0
, từ điều kiện này ⇒ m.
B4. Thử lại ứng với các giá trị vừa tìm của m, ứng với giá trị m nào
bài toán thỏa mãn thì nhận giá trị m đó.
Phương pháp 2: (Sử dụng đối với hàm số đạo hàm cấp 2 đơn giản)
B1. Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x)
B2. Tìm y’, y”
B3. Dựa vào các điều kiện sau, tìm được 1 hệ phương trình đối với
m, giải tìm m.
* y đạt cực đại tại x = x
0
( )
( )
0
0
0
0

=

⇔

<



y' x
y" x
* y đạt cực tiểu tại x = x
0
( )
( )
0
0
0
0

=

⇔

>


y' x
y" x
3. Dạng 3: Tìm m để hàm số y = f(x) luôn luôn có cực đại hay có
cực tiểu.
Phương pháp:
4

1. Đối với hàm bậc 3 :
y = f(x; m) = ax
3

+bx
2
+ cx+d, a ≠ 0
Hay hàm:
( )
+ +
= =
+
2
ax bx c
y f x; m
dx e
, ad ≠ 0
B1. Tìm y’
B2. Vì dấu của y’ cùng dấu với (1 biểu thức bậc 2) nên để hàm số có
cực đại và cực tiểu thì y’ đổi dấu đúng hai lần ⇒ (tam thức bậc 2) = 0
có 2 nghiệm phân biệt thuộc tập xác định ⇒ m.
2. Đối với hàm bậc 4: y = f(x; m) = ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e, a≠ 0
B1. Tìm y’ (y’ là hàm bậc 3)
B3. *Vì y’ là 1 biểu thức bậc 3 nên để hàm số có cực đại và cực tiểu
thì y’ phải đổi dấu 3 lần.
⇒ y’ = 0 phải có 3 nghiệm phân biệt ⇒ m
* Để hàm số chỉ có cực tiểu không có cực đại thì y’ đổi dấu đúng 1
lần từ - sang +.

⇒ a > 0 ⇒ m
y’ = 0 có 1 nghiệm hoặc chỉ có 2 nghiệm
* Để hàm số chỉ có cực đại, không có cực tiểu thì y’ chỉ có một lần
đổi dấu từ + sang -
⇒ a < 0 ⇒ m
y’ = 0 có 1 nghiệm hoặc chỉ có 2 nghiệm.
4. Dạng 4: Tìm m để hàm số y = f(x) có cực đại hay có cực tiểu với
x
CĐ
, x
CT
hay y
CĐ
, y
CT
thỏa mãn một điều kiện hay một hệ thức cho trước.
Phương pháp: Sử dụng đối với hàm số bậc 3, hàm phân thức ;
B1. Tìm TXĐ D.
B2. Tìm y’, dấu y’ cùng dấu với một tam thức bậc 2.
B3. Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì y’ = 0 có hai nghiệm phân
biệt
⇔ biểu thức bậc 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa điều kiện.
a ≠ 0
⇔ ∆ > 0 (∆’ > 0) ⇒ tham số m (1)
nghiệm thỏa điều kiện
B4. * Khi đó nếu ∆ hay ∆’ = bình phương một biểu thức thì tìm

trực tiếp x
CĐ,
x
CT
.
5
(bậc 2)
(bậc 1)
(bậc 2)
(bậc 2)

* Nếu ∆ không như trên thì sử dụng định lí Viet tìm
{
1 2
1 2
x x
x .x
+
B5. Biến đổi hệ thức đã cho về hệ thức chỉ chứa tổng tích của x
1
, x
2
.
Rồi thay biểu thức tổng, tích ở bước 4 vào hệ thức ở bước 5 ta được
1 phương trình hay bất phương trình đối với m, giải tìm m. Kết hợp với
điều kiện m ở bước 3 suy ra các giá trị m cần tìm.
Chú ý: Cách tìm y
CĐ,
y
CT

của các hàm số thường gặp:
a/ Đối với hàm số dạng:
( )
( )
u x
y
v x
=
nếu có cực trị thì y
CĐ
=
( )
( )
( )
( )
=
CD CT
CT
CD CT
u' x u' x
; y
v' x v' x
Vì tại x
CĐ
, x
CT
có
2
0 0 0
u' v uv' u' u

y' u' v uv'
v' v
v
−
= ⇒ = ⇒ − = ⇒ =
b/ Đối với hàm số bậc 3:
y = f(x) = ax
3

+ bx
2
+ cx + d, a ≠ 0
Nếu x
CĐ
, x
CT
đơn giản thì thay x
CĐ
, x
CT
vào y = f(x) để tìm y
CĐ
,
y
CT
.
Nếu x
CĐ
, x
CT

phức tạp hoặc không tính cụ thể x
CĐ
, x
CT
để tìm y
CĐ
,
y
CT
như sau:
* Phân tích hàm số về dạng y = (Ax + B).y’ + Cx + D
(Bằng cách chia y cho y’, có thương là Ax + B và phần dư là
Cx+D)
* Nếu hàm số có cực trị thì y
CĐ
= Cx
CĐ
+ D; y
CT
= Cx
CT
+ D vì tại
x
CĐ
, x
CT
có y’ = 0.
BÀI TẬP
Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
3 2 4 2

4 2
3
2 3 12 5 4 5
2 2
3
4 1
= − − + = − − +
− +
= − + =
−
= = −
x
a / y x x x ; b / y x x
x x x
c / y x ; d / y
x
e / y x.e ; f / y lnx x
Phương pháp 1:
B1. Tìm TXĐ D.
6

B2. Tìm y’. Tìm các điểm
0
x
mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo
hàm, tìm giá trị của hàm số tại các điểm
0
x
, lập bảng biến thiên của y
trên D.

B3. Dựa vào bảng biến thiên và định lí 1 ⇒ các giá trị CĐ, CT.
Phương pháp 2:
Chỉ xét đối với các hàm số có đạo hàm các cấp liên tục trên miền
xác định của nó
B1. Tìm TXĐ D.
B2. Tìm y’, y”
B3. Giải phương trình y’ = 0 tìm các nghiệm x
1
, x
2
và tìm y”(x
1
),
y”(x
2
) …
* Nếu y”(x
i
) < 0 (hoặc y”(x
i
) > 0) thì hàm số đạt cực đại (hoặc đạt
cực tiểu) tại x
i
, i = 1, 2,
Bài 2. Tìm m để hàm số sau:
a/ y =x
3
+ 2mx
2
+ mx + 1 đạt cực đại tại x = -1 (ĐS: m =1)

b/ y = -3x
4
+ mx
2
- 1 đạt cực đại tại
3
3
=x
(ĐS: m = 2)
c/ y = x
3
- 3mx
2
+ (m - 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2 (ĐS: m = 1)
d/ y = x
3
- mx
2
+
2
3
 
−
 ÷
 
m
x + 5 đạt cực tiểu tại x =1 (ĐS: m=
7
3
)

e)
2
1+ +
=
+
x mx
y
x m
đạt cực đại tại x = 2 (ĐS: m = -3)
2
3
2
−
=
−
mx mx
f / y
x
đạt cực tiểu tại x = 1 (ĐS: không có m)
g/
2
2
2
2 2
+ +
=
− +
x x m
y
x x

đạt cực đại tại x =
2
(ĐS: m = 2)
Thực hiện các bước theo dạng 2
Bài 3. Tìm các giá trị của m, n sao cho hàm số:
( )
1
= = + +
+
n
y f x x m
x
đạt cực đại tại x = -2 và có f(-2) = -2.
HD:
'( 2) 0
''( 2) 0
( 2) 2
y
y
y
− =


− <


− = −

Bài 4. Cho haìm säú
( )

2
1 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
7

Chổùng minh rũng m R õọử thở haỡm sọỳ luọn coù cổỷc õaỷi, cổỷc tióứu vaỡ
khoaớng caùch giổợa hai õióứm õoù bũng
20
.
HD:
+ Xỏc nh m hm s cú cc i, cc tiu: y = 0 cú 2 nghim phõn
bit khỏc -1.
+ Chng minh
2 2
( ) ( ) 20
B A B A
AB x x y y= + =
, vi A, B l im
cc i, cc tiu.
Bi 5. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m hm s sau õy:
a/ y = x
3
- 3mx
2

+ 3(2m - 1)x + 1 cú cc i, cc tiu v tỡm ta
cỏc im cc i, cc tiu ca th hm s. Vit phng trỡnh ng
thng qua hai im cc i, cc tiu ca th hm s. (S: m 1)
b/ y = (x + m)
3
+ (x + 2m)
3
- x
3
cú cc i, cc tiu (S: m 0)
c/
( )
2
2
1
+ +
=
+
x m x m
y
x
cú cc i, cc tiu, tỡm ta ca im
cc i, cc tiu ca th hm s. Vit phng trỡnh ng thng qua
hai im cc i, cc tiu ca th hm s.
(S: m < -
1
2
, y = 2x + m +2)
Vn 3
GI TR LN NHT V GI TR NH NHT CA HM S

A. Túm tt lý thuyt:
1. S M gi l giỏ tr ln nht ca f(x) trờn tp I.
( )
( )
0 0
f x M, x I
x I:f x M




=


(Kớ hiu : M = Max f(x))
I
2. S m gi l giỏ tr nh nht ca f(x) trờn tp I.
( )
( )
0 0
f x m, x I
x I:f x m




=


(Kớ hiu : m = Min f(x))

B. Cỏc dng toỏn thng gp:
ng dng ca o hm tỡm GTLN v GTNN ca hm s:
y = f(x) trờn I.
8

Trường hợp 1: Tập I đã cho là 1 khoảng (a; b) hoặc nửa khoảng (a;
b]; [a; b) với a, b có thể là ± ∞
Phương pháp:
B
1
: Tìm y’
B
2
: Tìm các điểm mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm: x
1
, x
2
,
∈ I. Tìm giá trị f(x
1
), f(x
2
), và tính
( ) ( )
x a x b
,
lim limf x f x
+ −
→ →
B

3
: Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập I. Dựa vào bảng biến
thiên suy ra
( ) ( )
II
,
Max
Minf x f x
Trường hợp 2: Tập I đã cho là đoạn [a; b].
Phương pháp:
B
1
: Tìm y’
B
2
: Tìm các điểm thuộc (a; b) mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo
hàm: x
1
, x
2
∈ I (nếu có) và tìm các giá trị f(x
1
), f(x
2
), , f(a), f(b).
B
3
: So sánh các giá trị: f(x
1
), f(x

2
), , f(a), f(b) suy ra
[ ]
( )
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
1 2
x I
Max f x ,f x , ,f a ,f b
Max
f x
∈
=
[ ]
( )
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
1 2
x I
Min f x ,f x , ,f a ,f b
Minf x
∈
=
Trường hợp 3: Không cho biết tập I, tức là tìm giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất trên tập xác định D của hàm số: (Tức là I ≡ D).
B
1
: Tìm tập xác định D của hàm số.
B
2

: Chuyển bài tập về trường hợp 1 hoặc 2.
BÀI TẬP
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
3 4
( ) 4 3f x x x= −
.
HD: Tìm tập xác định
Sử dụng trường hợp 1
Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
4 2
( ) 2 3 3f x x x= + −
.
HD: Tìm tập xác định
Sử dụng trường hợp 1
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a.
]
3 2
( ) 6 9 , 0;4f x x x x x

= − + ∈

b.
]
3 2
( ) 6 9 , 2;4f x x x x x

= − + ∈

c.

]
4 2
( ) 2 3, 0;2f x x x x

= − + ∈

d.
]
4 2
( ) 2 3, 2;3f x x x x

= − + ∈ −

HD: Sử dụng trường hợp 2
9

Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = x
2
4 x
−
.
HD: Tìm tập xác định
Sử dụng trường hợp 2
Bài 5. Cho hàm số f(x) = x +
2
4 x
−
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất.
HD: Tìm tập xác định

Sử dụng trường hợp 2
Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a.
( ) sinx os2f x c x= +
HD: Đặt t = sinx
b.
( ) 2 osx os2f x c c x= +
HD: Đặt t = cosx
Vấn đề 4
ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Phương pháp tìm các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị hàm số
y = f(x)
(B
1
): Tìm tập xác định của hàm số đã cho.
(B
2
): Dựa vào các định nghĩa và định lí sau để tìm các đường tiệm
cận
(B
3
): Kết luận
1. Tiệm cận đứng : (⊥ Ox)
Nếu ∃x
0
(hữu hạn) sao cho
( )
0
x x
lim f x

+
→
= ±∞
(hoặc
( )
0
x x
lim f x
−
→
= ±∞
) thì đường thẳng có phương trình x = x
0
là tiệm
cận đứng bên phải (hoặc bên trái) của đồ thị hàm số.
2. Tiệm cận ngang: (⊥ Oy)
Nếu
( )
( )
0
x
x
f x y
lim
→−∞
→+∞
=
(hữu hạn) thì đường thẳng có phương trình y =
y
0

là tiệm cận ngang bên trái (hay bên phải) của đồ thị hàm số.
3. Tiệm cận xiên:
10

Nếu tồn tại đường thẳng có phương trình y = ax + b với a ≠ 0 sao
cho
( )
( ) ( )
x
x
f x ax b 0
lim
→−∞
→+∞
 
− + =
 
thì đường thẳng y = ax + b là tiệm cận
xiên của đồ thị hàm số y = f(x).
4. Nếu
( )
( )
x
x
f x
a
lim
x
→−∞
→+∞

=
(hữu hạn)
và
( )
( )
x
x
f x ax b
lim
→−∞
→+∞
 
− =
 
(hữu hạn) thì đường thẳng có phương trình
y = ax + b là tiệm cận xiên bên trái (hay bên phải) của đồ thị hàm số y
= f(x) nếu a ≠ 0 và nếu a = 0 là tiệm cận ngang bên trái (hay bên phải)
của đồ thị hàm số.
Chú ý:
1/ Nếu đường thẳng x = x
0
(hay y = y
0
hay y = ax + b, a ≠ 0) vừa là
tiệm cận đứng (hay ngang hay tiệm cận xiên) bên trái và bên phải của
đồ thị hàm số y = f(x) thì gọi chung là tiệm cận đứng (hay ngang hay
tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x).
2/ Đối với hàm số phân thức:
+ Nếu phương trình mẫu số = 0 có nghiệm thì đồ thị của nó có tiệm
cận đứng (số tiệm cận đứng = số nghiệm của phương trình mẫu số = 0)

+ Nếu (bậc tử) ≤ (bậc mẫu) thì đồ thị của nó có tiệm cận ngang.
+ Nếu (bậc tử) = (bậc mẫu) + 1 thì đồ thị của nó có tiệm cận xiên.
* Đối với hàm phân thức để tìm tiệm cận xiên ta thực hiện phép chia
tử cho mẫu sau đó dùng định lí 3.
3/ Đối với các hàm số vô tỉ hoặc hàm số khác để tìm tiệm cận xiên
(nếu có) ta sử dụng định lí 4.
BÀI TẬP
Bài 1. Tìm các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị của các hàm số
sau:
2 2
x 2 2x
a / y ; b / y
x 3 x 1
x 2x 1 x x 1
c / y ; d / y
x 1 x 1
+
= =
− −
− + + +
= =
+ −
Bài 2. Tìm các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị của các hàm số
sau:
11

3
2 2
3
2

x 2 x
a / y ; b / y
x 4x 5 x 1
2 x x 1
c / y x ; d / y
x 1
x
+
= =
+ − −
+ +
= + =
−
Bài 3. Tìm m để hàm số
1
y mx
x
= +
có cực trị và khoảng cách từ
điểm cực tiểu của đồ thị đến tiệm cận xiên của đồ thị bằng
1
2
Vấn đề 5
KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. KHẢO SÁT HÀM SỐ BẬC 3:
y = f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d, a ≠ 0

Phương pháp:
1) Tập xác định: D = R
2) Giới hạn:
( )
{
3 2
x
neu a 0
lim ax bx cx d
neu a 0
→±∞
±∞ >
+ + + =
∞ <m
3) Sự biến thiên:
* Tìm y’ = 3ax
2
+ 2bx + c
+ Nếu ∆ < 0 (∆ = 0): y’ = 0 vô nghiệm (hoặc có nghiệm kép).
Khi đó: * nếu a > 0 thì y’ > 0 (y’ ≥ 0), ∀x ∈ R ⇒ hàm số tăng trên R
* nếu a < 0 thì y’ < 0 (y’ ≤ 0), ∀x ∈ R ⇒ hàm số giảm trên
R
+ Nếu ∆ > 0
Khi đó y’ = 0 ⇔ 3ax
2
+ 2bx + c = 0
⇔ x = x
1
⇒ y = y
1

= f(x
1
)
x = x
2
⇒ y = y
2
= f(x
2
)
(Trong hai nghiệm x
1
, x
2
: y’ trái dấu a; ngoài hai nghiệm x
1
, x
2
: y’
cùng dấu a)
Hàm số có hai cực trị
Bảng biến thiên :
x
-∞ +∞
y' dấu của y’
12
(giả sử x
1
< x
2

)

y chiều biến thiên của y
4) Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số:
* Tìm y” = 6ax + 2b
y" = 0 ⇔ 6ax + 2b = 0 ⇔ x = -
b
3a
⇒ y =
CD CT
y y
2
+
Nhận xét : Vì
''y
đổi dấu khi qua điểm x = -
b
3a
nên đồ thị hàm số
nhận điểm
I(-
b
3a
;
CD CT
y y
2
+
) làm điểm uốn.
5) Điểm đặc biệt: x = 0 ⇒ y = d

* Nếu hàm số luôn tăng hoặc luôn giảm trên R tìm hai điểm đối
xứng qua điểm uốn, thường tìm thêm điểm đối xứng của điểm (0; d)
qua điểm uốn.
* Nếu hàm số có cực đại, cực tiểu thì tìm thêm hai điểm (x
3
; y
3
), (x
4
;
y
4
). với x
3
< x
1
< x
u
< x
2
< x
4
và x
3
, x
1
, x
u
, x
2

, x
4
tạo thành cấp số cộng).
Nếu a > 0 thì y
2
= y
CT
, y
1
= y
CĐ
Nếu a < 0 thì y
2
= y
CĐ
, y
1
= y
CT
6) Đồ thị:
* Vẽ hệ trục (có thể chọn đơn vị trên Ox, Oy không cần bằng nhau)
* Dựng điểm CĐ, CT (nếu có), điểm uốn.
* Dựng các điểm đặc biệt.
* Dựa vào bảng biến thiên vẽ đồ thị.
Chú ý: Đồ thị hàm số đa thức bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối
xứng nên cần vẽ hình sao cho điểm uốn là tâm của hình vẽ và nếu
y' = 0 có nghiệm kép (∆ = 0) thì tiếp tuyến tại điểm uốn // Ox.
*
* *
II . KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG:

y = ax
4
+ bx
2
+ c với a ≠ 0
Phương pháp:
13

1) Tập xác định: D = R. Hàm số đã cho là hàm số chẵn.
2) Giới hạn:
{
x
neua 0
y
lim
neua 0
→±∞
+∞ >
=
−∞ <
3) Sự biến thiên: y' = 4ax
3
+ 2bx
= 4ax
2
b
x
2a
 
+

 
 
A. Trường hợp: * Nếu a.b ≥ 0
Thì
2
b
x 0
2a
+ ≥
, ∀x ∈ R ⇒ y' cùng dấu 4ax ( y' = 0 ⇔ x = 0, (y =
c))
Bảng biến thiên
Nếu a > 0 Nếu a < 0
x
-∞
0
+∞
x
-∞
0
+∞
y' - 0 + y' + 0 -
y
+∞
CT
+∞
y
-∞
CĐ
-∞

4) Tìm điểm uốn của đồ thị:
y" = 12ax
2
+ 2b luôn cùng dấu a.
* Đồ thị hàm số không có điểm uốn.
5) Điểm đặc biệt:
Cho x = ± 1 ⇒ y = a + b + c
6) Đồ thị: (Dựa vào bảng biến thiên vẽ đồ thị)
B. Trường hợp: *Nếu a, b trái dấu: (a.b < 0)
y' = 0 ⇔
2
b
4ax x 0
2a
 
+ =
 
 
⇔ x = 0 ⇒ y = c
hoặc
1,2 1,2
b
x y ?
2a
= ± − ⇒ =
Bảng biến thiên:
x
-∞
x
1

0 x
2
+∞
y' (trái dấu a) 0
(cùng dấu
a)
0
(trái dấu
a)
0
(cùng dấu
a)
14

y chiều biến thiên của y
4) Tìm điểm uốn của đồ thị:
* y" = 12ax
2
+ 2b
y" = 0 ⇔ 12ax
2
+ 2b = 0 ⇒
b
x
6a
= ± −
⇒ y = ?
Lập bảng xét dấu của y". Tìm điểm uốn của đồ thị.
* Đồ thị hàm số có hai điểm uốn.
5) Điểm đặc biệt:

x 0
y c
b
x
a
=


= ⇒

= ± −


6) Đồ thị: (Dựa vào bảng biến thiên để vẽ đồ thị)
(Có thể chọn đơn vị trên Ox và Oy không cần bằng nhau)
Chú ý: Hàm số dạng này là hàm số chẵn nên đồ thị của nó nhận
Oy làm trục đối xứng nên vẽ đồ thị sao cho thỏa mãn tính chất này.
*
* *
III. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ DẠNG:
ax b
y
cx d
+
=
+
, c ≠ 0, ad - cb ≠ 0
Phương pháp:
1) Tập xác định: D = R \
d

c
 
−
 
 
2) Giới hạn, tiệm cận:
+ Ta có
x ( d/c)
limy
±
→ −
= ±∞
⇒ TCĐ : x =
d
c
−
và
x
a a
y TCN :y
lim
c c
→±∞
= ⇒ =
3) Sự biến thiên:
( ) ( )
2 2
a b
c d
ad cb

y'
cx d cx d
−
= =
+ +
+ Nếu ad - cb < 0 ⇒ y' < 0, ∀x ∈ D
⇒ Hàm số giảm trên từng khoảng của D.
+ Nếu ad - cb > 0 ⇒ y' > 0, ∀x ∈ D
15

⇒ Hàm số tăng trên từng khoảng của D
4) Bảng biến thiên:
Nếu y' < 0
x
-∞
-d/c
+∞
y' - -
y
a
c
-∞
+∞
a
c
Nếu y' > 0
x
-∞
-d/c
+∞

y' + +
y
a
c
+∞
-∞
a
c
5) Điểm đặc biệt:
* x = 0 ⇒
b
y
d
=
(nếu d ≠ 0)
* y = 0 ⇒ x =
b
a
−
(nếu a ≠ 0)
Tìm thêm tọa độ 2 điểm có hoành độ đối xứng qua tiệm cận đứng.
6) Đồ thị: Vẽ hệ trục - Vẽ đường tiệm cận - Dựng các điểm đặc biệt
(sao cho mỗi nhánh của đồ thị phải qua hai điểm). Vẽ đồ thị (vẽ hình
sao cho giao điểm 2 đường tiệm cận là tâm của hình vẽ). Phải chọn đơn
vị trên Ox, Oy bằng nhau.
BÀI TẬP
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
( )
2 3 2
3 2 3

3
3 2
a / y (1 x)(x 2) ; b / y x 4x 4x
1 1
c / y x x 2x ; d / y x x 2
3 3
e / y x 3x 3x ; f / y x 1
= − + = − +
= + + + = − − +
= − + − = −
16

Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
a/ y = x
3
- 3x + 2 ; b/ y = 2x
3
- 3x
2
+ 1
c/
3 2
1 5
y x x 3x
3 3
= − + + +
; d/
3
2
x

y 2x 3x 1
3
= − + +
e/ y = x
3

+ 4x
2
+ 4x ; f/ y = -x
3
+ 2x
2
- 8x - 1
3 2
1
g / y x 2x 3x
3
= − +
; h/ y = 2x
3
- 9x
2
+ 12x - 4
Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
4 2 4 2
4 2 4 2
1 1
a / y x 3x 2 ; b / y x x
4 4
1 1

c / y x x ; d / y x 2x 1
2 2
= + + = − − +
= + + = − − +
Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
a/ y = x
4
- 4x
2
+ 1 ; b/ y = -x
4
+ 2x
2
c/
4 2
1 3
y x 3x
2 2
= − +
; d/ y = -x
4
+ 10x
2
- 9
Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
x 3 x 4
a / y ; b / y
x 1 x 2
3x 2 x 2
c / y ; d / y

x 2 2x 1
+ −
= =
+ −
+ +
= =
+ +
2x 4 x 1
e / y ; f / y
x 3 x 2
x 2 3x 1
g / y ; h / y
2x 1 2x 2
− − +
= =
− +
+ +
= =
− + +
*
* *
Vấn đề 6
TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M
Định lý 1: Cho hàm số
( )y f x=
(C)
17

Phương trình tiếp tuyến tại điểm

0 0
( ; ) ( )M x y C∈
có dạng
0 0 0
'( ).( )y y x x x y= − +
Định lý 2: Cho hàm số
( )y f x=
(C) và đường thẳng d có phương trình
xy k m= +
Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
( ) x
'( )
f x k m
f x k
= +


=

Khi đó nghiệm x của hệ phương trình chính là hoành độ tiếp điểm
Bài toán 1 : Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị hàm
số
Cho hàm số
( )y f x=
(C)
Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết tọa độ
tiếp điểm
0; 0
( )x y
Phương pháp:

Bước 1: Tính
0
'( )y x
Bước 2: Thế vào phương trình
0 0 0
'( ).( )y y x x x y= − +
Bài tập 1: Cho hàm số
2x - 1
1
y
x
=
−
(C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số.
b.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;3)
HD:
2
1
'
( 1)
y
x
−
=
−
,
'(2)y =

Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hoành

độ tiếp điểm
0
x
Phương pháp:
Bước 1:Tính tung độ tiếp điểm
0
y
bằng cách thay
0
x
vào
phương trình của hàm số
Bước 2: Tính
0
'( )y x
Bước 3: Thế vào phương trình
0 0 0
'( ).( )y y x x x y= − +
Bài tập 2: Cho hàm số
3
y x x= −
(C)
18

Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của nó với
trục hoành
HD: Hoành độ giao điểm của (C) với Ox là nghiệm của phương trình
3
0
0

1
x
x x
x
=

− = ⇔

= ±

+ Tại x = 0…
+ Tại x = 1…
+ Tại x = -1…
Bài tập 3:Cho hàm số
4 2
1 9
2x ( )
4 4
y x C= − + +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tiếp điểm có hoành độ
x = 1.
HD : + x = 1 thì y = 4
+
(1) 3y
′
=
+ Phương trình tiếp tuyến:
3( 1) 4y x= − +

Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết tung
độ tiếp điểm
0
y
Phương pháp:
Bước 1:Tính hoành độ tiếp điểm
0
x
bằng cách giải phương
trình
0 0 0
( )y f x x= ⇒
Bước 2: Tính
0
'( )y x
Bước 3: Thế vào phương trình
0 0 0
'( ).( )y y x x x y= − +
Bài tập 4: Cho hàm số
4
2x 3y x= − + +
(C)
a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị(C) tại điểm có tung độ bằng
5.
HD:+ Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:
4
2
2x 3 5
2

x
x
x
=

− + + = − ⇔

= −

+ Tính
'( 2)y −
,
'(2)y
+ Viết phương trình tiếp tuyến
19

Bài toán 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ
số góc
Cho hàm số
( )y f x=
(C)
Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc k
Phương pháp:
Cách 1:
Bước 1:Tìm hoành độ tiếp điểm
0
x
bằng cách giải phương
trình
0 0

'( )y x k x= ⇒
Bước 2: Tính
0
y

Bước 3: Thế vào phương trình
0 0 0
'( ).( )y y x x x y= − +
Cách 2:
Bước 1: Đường thẳng (d) với hệ số góc k có phương trình
dạng
xy k m= +
Bước 2: Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị (C) khi và chỉ
khi hệ sau có nghiệm
( ) x
'( )
f x k m
m
f x k
= +

⇒

=

Bước 3: Thế vào phương trình
xy k m= +
Bài tập 5 : Cho hàm số
3
3y x x= −

(C)
Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc k =
1
Bài tập 6 : Cho hàm số
4 2
3y x x= − +

Lập phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị hàm số biết rằng:
a.Tiếp tuyến song song với đường thẳng
1
( ) : 2x 6 0y∆ − − =
b.Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
2
( ) : x 2 3 0y∆ − − =
HD: Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau
Hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số góc bằng -1
Đường thẳng
1
( ) : 2x 6 0y∆ − − =
có hệ số góc bằng 2
Đường thẳng
2
( ) : x 2 3 0y∆ − − =
có hệ số góc bằng 1
20

a. Tiếp tuyến (d) song song
1
( ) : 2x 6 0y∆ − − =
suy ra hệ số góc của

tiếp tuyến k = 2
b. Tiếp tuyến (d) vuông góc
2
( ) : x 2 3 0y∆ − − =
suy ra hệ số góc của
tiếp tuyến k = -2
Bài toán 3 : Lập phương trình tiếp tuyến đi qua điểm cho trước
Cho hàm số
( )y f x=
(C)
Để lập phương trình tiếp tuyến đi qua điểm
( ; )
A A
A x y
ta lựa chọn một
trong hai cách sau:
Cách 1:
Bước 1: Đường thẳng (d) qua
( ; )
A A
A x y
có phương trình:
( )
A A
y k x x y= − +
Bước 2: (d) tiếp xúcvới (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
( ) ( ) ( ) '( ).( ) (1)
'( ) '( )
A A A A
f x k x x y f x f x x x y

k
f x k f x k
= − + = − +
 
⇔ ⇒
 
= =
 
Bước 3: Kết luận về tiếp tuyến (d)
Chú ý: Số nghiệm phân biệt x của phương trình (1) bằng số tiếp tuyến
kẻ được từ A tới đồ thị (C)
Cách 2:
Bước 1: Giả sử tiếp điểm là
0 0
( ; )M x y
khi đó phương trình tiếp tuyến
có dạng:
0 0 0
'( )( )y y x x x y= − +
Bước 2: Điểm
( ; ) ( )
A A
A x y d∈
, ta được phương trình (2):
0 0 0 0
'( )( )
A A
y y x x x y x= − + ⇒
Bước 3: Kết luận về tiếp tuyến (d)
Chú ý: Số nghiệm phân biệt x của phương trình (2) bằng số tiếp tuyến

kẻ được từ A tới đồ thị (C)
Bài 7: Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
(H)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( H) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) qua A (0;1)
HD: Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến
Phương trình tiếp tuyến có dạng
x 1y k= +
(d)
21

(d) là tiếp tuyến (H)
⇔
hệ có nghiệm
2
1
x 1
1
2
( 1)
x
k

x
k
x
+

= +

−


−

=
−


x k⇒ ⇒
Bài 8: Cho hàm số
2x 1
1
y
x
+
=
+
(C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số.
b. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi
qua A(-1;3)
HD:Đường thẳng d đi qua A(-1;3) với hệ số góc k có phương trình

dạng
( 1) 3y k x= + +
d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
2
2x 1
( 1) 3
1
1
( 1)
k x
x
x k
k
x
+

= + +

+

⇒ ⇒


=
+


Bài 9: Cho hàm số
2
2

x
y
x
+
=
−
(C)
Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của nó với
trục tung, trục hoành
HD: Hoành độ giao điểm của (C) với Ox là nghiệm của phương trình
2
0 2
2
x
x
x
+
= ⇔ = −
−
Suy ra viết phương trình tiếp tuyến tại điểm
( 2;0) ( )M C− ∈
* Tọa độ giao điểm của (C) với Oy là nghiệm của hệ phương trình:
2
0
2
1
0
x
x
y

x
y
x
+

=
=


⇔
−
 
= −


=

Suy ra viết phương trình tiếp tuyến tại điểm
(0; 1) ( )N C− ∈
Bài 10: Cho hàm số
3 2
3x 3y x= − +
(C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm uốn.
c. Một đường thẳng đi qua gốc tọa độ O (0; 0)và điểm A (2; 2). Tìm tọa
độ các giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng OA.
22

HD : b. + Điểm uốn I (1;1)

+
(1) 3y
′
= −
+ Phương trình tiếp tuyến
c. + Phương trình đường thẳng OA y = kx, OA qua A(2; 2) nên
phương trình OA là y = x
Phương trình hoành độ giao điểm của OA và (C):
3 2 3 2
3x 3 3x 3 0x x x x− + = ⇔ − − + =
Bài 11: Cho hàm số
3
( 1)y x= +
(C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số
b. Gọi A là giao điểm của đồ thị (C) và trục tung. Viết phương trình
tiếp tuyến của (C) tại A
HD: A (0; 1),
( ) 3
A
y x
′
=
Bài 12: Cho hàm số
3 2
1
3
y x x= −
(C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số.

b. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua A (3; 0)
HD: Kiểm tra thấy A thuộc (C). Áp dụng Bài toán 1 suy ra kết quả
Bài 13 : Cho hàm số
3 2 3
3 4 ( )
m
y x mx m C= − +
, m là tham số
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C1) của hàm số khi m =1
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C1) tại điểm có hoành độ x
= 1
HD: Có x = 1. Thay vào (C1) Tìm y. Áp dụng Bài toán 1 ta được kết
quả
Bài 14: Cho hàm số
4 2
2xy x= −
(C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của nó với
trục hoành
HD: Giải pt y = 0 suy ra x. Áp dụng Bài toán 1 để suy ra kết quả
Bài 15: Cho hàm số
2x - 1
1
y
x
=
−
(C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số.

b. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A (2;3)
HD: Sử dụng Bài toán 1
Bài 16: Cho hàm số
3 2
3 3 3 4 ( )
m
y x x mx m C= − + + + −
, m là tham số
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C1) của hàm số khi m = 0
23

b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C1) biết tiếp tuyến đó đi
qua A (-1; -4)
HD: Kiểm tra thấy A không thuộc (C). Chọn một trong 2 cách của bài
toán 3 để giải
Bài 17:Cho hàm số
3 2
3x 1y x= + +
(C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số
b. Từ gốc tọa độ có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C)
HD: Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O(0;0) với hệ số góc k có
phương trình dạng
y kx=
d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
3
2
3x 1 x
3x 6x
x k

x k
k

+ + =

⇒ ⇒

+ =


(Số nghiệm phân biệt x của hệ phương trình bằng số tiếp tuyến kẻ
được từ gốc tọa độ O tới đồ thị (C))
Vấn đề 7
BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
BẰNG ĐỒ THỊ
Cho hàm số
( )y f x=
có đồ thị (
1
C
) và
( )y g x=
có đồ thị (
2
C
). Số
nghiệm của phương trình
( ) ( )f x g x=
bằng số giao điểm của (
1

C
)
và (
2
C
).
Bài 1: Cho hàm số
3
3x 1y x= − +
(C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình
3
3x 1 0x k− + − + =
HD: Phương trình
3 3
3x 1 0 3x 1x k x k− + − + = ⇔ − + =
Số nghiệm của phương trình
3
3x 1 0x k− + − + =
bằng số giao điểm của
đồ thị hàm số (C) và đường
thẳng y = k
Bài 2: Cho hàm số
3
( 1) 1y x k x= + + +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi k = -3
b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3
3x 3x m− − =

HD: Phương trình
3 3
3x 3 3x 2 1x m x m− − = ⇔ − − = +

24

Số nghiệm của phương trình
3
3x 3x m− − =
bằng số giao điểm của đồ
thị hàm số (C) và đường
thẳng y = m +1.
Bài 3: Cho hàm số
4
2
y
x
=
−
(C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Dùng đồ thị (C) biện luận số giao điểm của 2 đồ thị hàm số
4
2
y
x
=
−
và y = k+1
HD: Dựa vào đồ thị (C) ta có kết quả

Bài 4 : Cho hàm số
3 2
3x 4y x= + −
(C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Xác định m để phương trình
3 2
3x 2 5 0x m− − + + =
có 3 nghiệm phân
biệt
HD:
3 2
3x 2 5 0x m− − + + =
⇔
3 2
3 4 2 1x x m+ − = +
. Pt có 3 nghiệm
phân biệt khi (C) và đường thẳng d: y = 2m + 1 cắt nhau tại 3 điểm
Bài 5: Cho hàm số
3
2y x mx m= − + +
(Cm), m là tham số
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số khi m = 3
b. Dùng đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm phương trình:
3
3x 1 0x k− − + =
HD:
3
3x 1 0x k− − + =
⇔

3
3 5x x− +
= k + 4. Số nghiệm của pt là số
giao điểm của (C) và đường thẳng d: y = k + 4
Bài 6: Cho hàm số
4 2
2x 3y x= − + +
(C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Dựa vào đồ thị (C) xác định m để phương trình
4 2
2x 0x m− + =
có 4
nghiệm phân biệt
HD:
4 2
2x 0x m− + =
⇔
4 2
2x x− +
+ 3 = m + 3. Pt có 4 nghiệm phân
biệt
khi và chỉ khi (C) và đường thẳng d: y = m + 4 cắt nhau tại 4 điểm
phân.
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG
TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT.
I. TÓM TẮT CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
25