Chọn hệ quy chiếu trong bài toán chuyển động cơ học

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
1. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài 1
2. Tính cấp thiết của đề tài 2
3. Mục tiêu đề tài 2
4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 2
5. Nội dung nghiên cứu 2
6. Phương pháp nghiên cứu 3
CHƯƠNG I : TỔNG QUAN VỀ HỆ QUY CHIẾU TRONG CHUYỂN ĐỘNG CƠ
HỌC 4
1. Định nghĩa và tính chất của hệ quy chiếu 4
1.1. Định nghĩa hệ quy chiếu 4
1.2. Tính chất của hệ quy chiếu 4
1.3. Phân loại các hệ quy chiếu 8
1.4. Nguyên lí tương đối Galileo 9
1.4.1. Phép biến đổi Galileo 9
1.4.2. Phép biến đổi Galileo 10
1.4.3. Nguyên lí tương đối Galileo 10
CHƯƠNG II: CHỌN HỆ QUY CHIẾU TRONG CHUYỂN ĐỘNG CƠ HỌC 13
2.1. Chọn hệ quy chiếu cho chuyển động cơ bản 13
2.1.1. Chọn hệ quy chiếu cho chuyển động thẳng 13
2.1.2. Chọn hệ quy chiếu cho chuyển động tròn 20
2.1.3. Chọn hệ quy chiếu cho chuyển động trong mặt phẳng 24
2.2. Chọn hệ quy chiếu cho chuyển động của hệ chất điểm 30
2.2.1 Chọn hệ quy chiếu cho bài toán va chạm 30
33
2.2.2 Chọn hệ quy chiếu cho bài toán bảo toàn động lượng 36
2.2.3. Chọn hệ quy chiếu cho bài toán của vật rắn 39
KẾT LUẬN 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO 49
MỞ ĐẦU

1. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài
Vật lí học chỉ ra rằng, chuyển động chỉ có tính chất tương đối, tức là nói vật
chuyển động phải gắn với hệ quy chiếu nào. Điều đó khiến cho việc chọn hệ quy
chiếu đặc biệt quan trọng khi nghiên cứu chuyển động cơ học, khi chọn hệ quy
chiếu thích hợp khiến bài toán trở nên đơn giản hơn. Thế nhưng, trong các giáo
trình Đại học và Cao đẳng, cũng như trong chương trình phổ thông mới chỉ đề cập
đến nguyên lí Galileo mà chưa đi sâu tìm hiểu để làm sáng tỏ những lí thuyết, kết
quả về vấn đề này. Các tài liệu trên chưa đưa ra cách chọn hệ quy chiếu phù hợp
với từng dạng chuyển động cơ học. Chính vì vậy mà nhóm đề tài muốn tập trung
nghiên cứu, kết hợp cùng những ví dụ nhằm phân loại các cách chọn hệ quy chiếu
đối với từng dạng bài toán cụ thể.
2. Tính cấp thiết của đề tài
Trong nghiên cứu chuyển động cơ học, các tài liệu hiện có thường chỉ đề
cập khái quát đến việc chọn hệ quy chiếu mà không đi sâu vào nghiên cứu, làm rõ
và phân loại các phương pháp chọn hệ quy chiếu. Điều đó gây khó khăn khi giải
bài tâp, do đó, nhóm nghiên cứu thực hiện đề tài: “Chọn hệ quy chiếu trong bài
toán chuyển động cơ học” nhằm góp phần đơn giản hóa việc nghiên cứu chuyển
động cơ học mà không mất quá nhiều phép biến đổi và thời gian.
3. Mục tiêu đề tài
Đề tài nghiên cứu phân loại ra các cách chọn hệ quy chiếu cho bài toán
chuyển động một cách hợp lí, phù hợp với từng dạng toán cụ thể.
4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
4.1. Đối tượng nghiên cứu
Hệ quy chiếu trong chuyển động cơ học.
4.2. Phạm vi nghiên cứu
Các cách chọn hệ quy chiếu quán tính.
5. Nội dung nghiên cứu
Chương 1: Tổng quan về hệ quy chiếu trong chuyển động cơ học
1.1.Định nghĩa và tính chất của hệ quy chiếu
1.2.Nguyên lí tương đối Galileo

Chương 2: Chọn hệ quy chiếu trong chuyển động cơ học
2.1.Chọn hệ quy chiếu cho chuyển động cơ bản.
2.1.1.Chọn hệ quy chiếu cho chuyển động thẳng.
2.1.2.Chọn hệ quy chiếu cho chuyển động tròn.
2.1.3.Chọn hệ quy chiếu cho chuyển động trong mặt phẳng.
2.2.Chọn hệ quy chiếu cho chuyển động của hệ chất điểm.
2.2.1.Chọn hệ quy chiếu cho bài toán va chạm.
2.2.2.Chọn hệ quy chiếu cho bài toán bảo toàn động lượng.
2.2.3.Chọn hệ quy chiếu cho bài toán của vật rắn.
6. Phương pháp nghiên cứu
6.1.Phương pháp nghiên cứu lí thuyết
Phương pháp nghiên cứu lí thuyết là phương pháp tiếp cận tài liệu một cách
trực tiếp, dựa trên cơ sở của các cách chọn hệ quy chiếu trong các bài toán chuyển
động thường gặp. Phương pháp này giúp chúng em có thể phân tích một cách cụ
thể, chi tiết từng dạng bài, đồng thời xác định được cơ sở lí thuyết để triển khai đề
tài.
6.2.Phương pháp thống kê, khảo sát
Phương pháp này giúp chúng em có thể thống kê, phân loại, khảo sát, đánh
giá hiện trạng, xác định kiểu loại của các dạng bài cũng như các cách chọn hệ quy
chiếu tương ứng sao cho thích hợp, từ đó góp phần thực hiện tốt hơn đề tài này.
6.3.Phương pháp phân tích
Phương pháp phân tích trước hết là phân chia toàn thể đối tượng nghiên cứu
thành những dạng bài khác nhau, phát hiện ra những đặc điểm, dấu hiệu của từng
dạng bài, từ đó giúp ta nắm rõ, có cái nhìn tổng quát, toàn diện hơn về vấn đề
nghiên cứu.
CHƯƠNG I : TỔNG QUAN VỀ HỆ QUY CHIẾU TRONG CHUYỂN ĐỘNG
CƠ HỌC
1. Định nghĩa và tính chất của hệ quy chiếu
1.1. Định nghĩa hệ quy chiếu
Trong cơ học, để nghiên cứu chuyển động của vật thể, người ta chọn những vật thể

khác nào đó mà ta quy ước là đứng yên. Hệ tọa độ gắn liền với vật làm mốc để xác
định vị trí của vật thể trong không gian và chiếc đồng hồ gắn với hệ này để chỉ thời
gian gọi là hệ quy chiếu. Thí dụ, xét một chiếc xuồng máy chạy trên một đoạn sông
có bờ sông song song với dòng chảy. Khi xuồng chạy xuôi dòng: Ta có thể chọn một
vật làm mốc gắn với bờ sông tại vị trí xuất phát, gắn một trục tọa độ Ox theo chiều
chuyển động của xuồng. Khi xuồng chạy vuông góc với dòng chảy, quỹ đạo là
đường xiên vuông góc với bờ sông. Chọn một vật mốc trên bờ sông tại vị trí xuất
phát và hai trục tọa độ Ox, Oy vuông góc với nhau. Khi đó, vị trí của xuồng được
xác định bằng tọa độ x và tọa độ y trên các trục tọa độ.
Như vậy, để nghiên cứu chuyển động của vật thể, người ta phải chọn một hệ quy
chiếu thích hợp. Hệ quy chiếu bao gồm hệ tọa độ gắn với vật mốc để xác định vị trí
của vật trong không gian và một đồng hồ gắn với hệ này để đo thời gian. Nói cách
khác, vật được quy ước là đứng yên dùng làm mốc để xác định vị trí của các vật
trong không gian được gọi là hệ quy chiếu. Ta gắn hệ quy chiếu với một đồng hồ để
xác định thời gian chuyển động của vật.
1.2. Tính chất của hệ quy chiếu
Hệ quy chiếu được chọn để nghiên cứu chuyển động của vật thể là hoàn toàn tùy ý,
phụ thuộc vào người quan sát. Chẳng hạn như khi xét chuyển động của một đoàn
tàu, ta có thể chọn hệ quy chiếu gắn với vật mốc là người ngồi trên tàu hoặc có thể
chọn hệ quy chiếu gắn với vật mốc là người đang đứng quan sát ở bên đường.
Việc quan sát chuyển động của một vật thể diển ra đơn giản hay phức tạp tùy thuộc
vào cách chọn hệ quy chiếu .Thí dụ trong hệ quy chiếu gắn với Trái Đất thì một hòn
đá vẫn nằm nguyên trên thảm cỏ nếu không có người động chạm đến nó. Nhưng nếu
quan sát hòn đá trong hệ quy chiếu của chiếc đu quay thì hòn đá chuyển động với
quỹ đạo cong rất phức tạp. Hoặc khi xét chuyển động của đầu van xe đạp, có thể
nhiều người cho rằng chuyển động này là đơn giản, vì nó chỉ là chuyển động tròn
xung quanh trục bánh xe. Nhưng thực ra không đơn giản như vậy, vì đầu van xe đạp
không chỉ chuyển động tròn xung quanh trục bánh xe mà còn cùng với xe đạp
chuyển động tịnh tiến trên đường. Do đó, đối với người đứng bên đường thì chuyển
động của đầu van xe đạp là khá phức tạp.

Khi xét một chuyển động cụ thể, người ta thường chọn hệ quy chiếu sao cho
chuyển động được mô tả một cách đơn giản nhất. Trong giải bài tập, ta nên chọn hệ
quy chiếu sao cho bài toán trở nên đơn giản nhất, nên chọn vật mốc ở vị trí xuất
phát, không nên làm vật mốc là vật đang chuyển động, đặc biệt là vật chuyển động
có quán tính (do phải cộng thêm các vận tốc kéo theo và lực kéo) làm cho bài toán
trở nên phức tạp hơn.
Mặt khác, trong bài toán khảo sát chuyển động tròn, nên chọn vật mốc nằm trên
đường tròn chứ không nên chọn vật mốc ở tâm quỹ đạo. Trong chuyển động thẳng
hoặc trên một mặt phẳng xác định, ta chọn hệ quy chiếu gắn với hệ trục tọa độ có
một trục song song với chuyển động của vật hoặc trong mặt phẳng chuyển động của
vật cũng nên chọn một trục tọa độ song song với nhiều lực tác dụng.
Tóm lại, việc chọn hệ quy chiếu thích hợp có ảnh hưởng không nhỏ đối với việc
giải một bài tập cơ học. Tùy vào cách chọn hệ quy chiếu mà bài toán trở nên đơn
giản hay phức tạp.
Việc chọn hệ quy chiếu quyết định nhiều bởi việc chọn hệ trục tọa độ để xác định
vị trí của vật.
* Hệ tọa độ Đề-các
Vì rằng chuyển động xảy ra trong không gian và trong thời gian nên để mô tả
chuyển động thì trước tiên ta phải tìm cách định vị vật trong không gian. Muốn vậy,
ta phải đưa thêm vào hệ quy chiếu một hệ tọa độ. Trong Vật lí, người ta sử dụng
nhiều hệ tọa độ khác nhau, ở đây, ta sẽ giới thiệu hệ tọa độ thường gặp là hệ tọa độ
Đề - các (Descartes):
Hình 1.1: Hệ tọa độ Đề-các
Hệ tọa độ Đề-các bao gồm ba trục Ox, Oy, Oz tương ứng vuông góc với nhau từng
đôi một, chúng tạo thành một tam diện thuận. Điểm O gọi là gốc tọa độ. Vị trí của
một điểm M bất kì được hoàn toàn xác định bởi bán kính vectơ , hay bởi tập hợp
của ba số (x,y,z). Trong đó, x, y, z là hình chiếu của điểm mút M của vectơ lên các
trục tương ứng Ox, Oy, Oz được gọi là ba trục tọa độ của điểm M trong hệ tọa độ Đề
- các.
Nếu gọi , , là các vectơ định hướng theo các trục Ox, Oy, Oz thì ta có thể viết:

= x + y + z (1.1)
* Hệ tọa độ trụ:
Trong hệ tọa độ trụ, vị trí của chất điểm M trong không gian được xác định bởi ba
tọa độ ρ, ϕ và z. Khi đó bán kính vectơ xác định vị trí chất điểm M được viết dưới
dạng:
= ρ (t). + z(t) (1.2)
Những tọa độ trụ ρ, ϕ, z của điểm M liên hệ với các tọa độ Đề-các của nó bằng các
hệ thức sau:
x = ρcosϕ (1.3)
y = ρsinϕ
z = z
Hình 1.2: Hệ tọa độ trụ
* Hệ tọa độ cầu :
Vị trí của chất điểm M trong hệ tọa độ cầu được xác định bằng ba tọa độ r, θ, ϕ.
Mối liên hệ giữa các tọa độ Đề-các và tọa độ cầu được xác định bằng công thức:
x = rsinθcosϕ
y = rsinθsinϕ
z = rcosθ
Hình 1.3: Hệ tọa độ cầu
*Hệ tọa độ cực
Toạ độ M(x;y) trong hệ toạ độ Đề-các và M(r;ϕ) trong hệ toạ độ cực có quan hệ
như sau :
và
Nếu trong hai góc ϕ∈ [0;2π) có tan ϕ = thì ta chọn ϕ sao cho sinϕ cùng dấu với y.
Hình 1.4: Hệ tọa độ cực
1.3. Phân loại các hệ quy chiếu
Trong cơ học, hệ quy chiếu có thể được phân ra làm hai loại:
- Hệ quy chiếu quán tính.
- Hệ quy chiếu phi quán tính.
* Hệ quy chiếu quán tính:

Hệ quy chiếu quán tính được định nghĩa là hệ quy chiếu trong đó không xuất hiện
lực quán tính (có một định nghĩa khác: Hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu mà
trong đó chuyển động của hạt tự do (hạt không chịu tác động của lực nào) là chuyển
động thẳng đều). Điều này có nghĩa là mọi lực tác động lên các vật thể trong hệ quy
chiếu này đều có thể quy về các lực cơ bản. Theo định luật I Newton, khi không bao
hàm lực quán tính, một vật trong hệ quy chiếu quán tính sẽ giữ nguyên trạng thái
đứng yên hay chuyển động thẳng đều khi tổng các lực cơ bản tác dụng lên vật bằng
0. Tương tự định luật II Newton hay các định luật cơ học khác, khi chỉ bao hàm lực
cơ bản, sẽ chỉ đúng trong hệ quy chiếu quán tính nơi không có lực quán tính.
* Hệ quy chiếu phi quán tính:
Trong cơ học, hệ quy chiếu phi quán tính là các hệ quy chiếu chuyển động có gia
tốc so với hệ quy chiếu quán tính. Trong hệ quy chiếu này, dạng của các định luật cơ
học cổ điển chỉ chứa các lực cơ bản có thể thay đổi so với trong các hệ quy chiếu
quán tính, do có thêm lực quán tính. Trong thực tế hầu như không có một hệ quy
chiếu nào gắn với các vật thể là hệ quy chiếu quán tính hoàn toàn cả do mọi vật thể
đều chuyển động có gia tốc so với nhau. Hệ quy chiếu gắn với Trái Đất cũng không
phải là hệ quy chiếu quán tính thực sự. Thí dụ, trọng lượng biểu kiến của mọi vật
trên Trái Đất cũng thay đổi do sự chuyển động quay của Trái Đất. Thông thường
một vật ở xích đạo sẽ nhẹ hơn vật ở hai cực 0.35%, do lực li tâm trong hệ quy chiếu
quay của bề mặt Trái Đất tại xích đạo. Tuy nhiên, ta có thể xem là hệ quy chiếu này
là gần quán tính nếu các lực quán tính rất nhỏ so với các lực khác.
1.4. Nguyên lí tương đối Galileo
1.4.1. Phép biến đổi Galileo
Xét hai hệ quy chiếu quán tính K và K’:
Trong đó: Hệ K đứng yên gắn với hệ trục Oxy
Hệ K’ gắn với hệ trục O’x’y’ chuyển động thẳng đều đối với hệ quán tính
K với vận tốc không đổi (chuyển động dọc theo trục Ox).
Để đơn giản,giả sử thời điểm ban đầu hệ K’ trùng với hệ K (t = 0 K = K’).
Thời điểm bất kỳ: Ox song song cùng chiều với O’x’.
Oy song song cùng chiều với O’y’.

Oz song song cùng chiều với O’z’.
Hình 1.5: Hệ K’ chuyển động so với hệ K
Xét chất điểm M:
Trong hệ K, M có tọa độ (x,y,z,t).
Trong hệ K’, M có tọa độ (x’,y’,z’,t’)
Thời gian: t = t’ (thời gian có tính chất tuyệt đối, không phụ thuộc vào hệ quy
chiếu).
Không gian: không gian có tính tương đối, phụ thuộc vào hệ quy chiếu.
Khoảng không gian: AB đặt dọc theo trục Ox.
+ Giả sử l là độ dài đoạn AB trong hệ K
l = x - x
Giả sử l là độ dài đoạn AB trong hệ K’
l = x’ - x’
Mặt khác, ta có: x = OO’ + x’
x - x = x’ - x’
l = l
(khoảng không gian có tính tuyệt đối, không phụ thuộc vào hệ quy chiếu).
1.4.2. Phép biến đổi Galileo
Mối liên hệ giữa các tọa độ không gian và thời gian trong các hệ K và K’ được xác
định bằng các hệ thức:
Hệ K’chuyển dịch dọc theo trục Ox với vận tốc không đổi
x = x’ + v’
y = y’
z = z’
t = t’
Hoặc: x’ = x - v
y’ = y
z’ = z
t’ = t
1.4.3. Nguyên lí tương đối Galileo

Mặc dù tọa độ và vận tốc của chất điểm tự do trong những hệ quán tính K và K’
là khác nhau nhưng gia tốc của nó trong cả 2 hệ đều bằng không. Trong ý nghĩa này
người ta nói rằng mọi hệ quy chiếu quán tính là tương đương với nhau đối với định
luật chuyển động thẳng đều của chất điểm tự do.
Căn cứ vào chuyển động tự do của các chất điểm thì không thể phân biệt được hệ
quy chiếu quán tính này với hệ quy chiếu quán tính khác. Mọi chuyển động cơ
học,mọi hiện tượng vật lý và tự nhiên khác đều xảy ra giống nhau,theo những quy
luật như nhau trong những hệ quy chiếu quán tính khác nhau. Nguyên lí tương đối
phủ nhận hoàn toàn sự tồn tại không gian tuyệt đối, của trạng thái đứng yên tuyệt
đối.
Kết hợp với tiên đề về khoảng thời gian trôi qua trong mọi hệ quy chiếu quán
tính là như nhau (t = t’) với nguyên lí tương đối ta có nguyên lí tương đối Galileo.
Theo nguyên lí này, tất cả các định luật cơ học đều giống nhau trong mọi hệ quy
chiếu quán tính.
Các quá trình cơ học trong các hệ quy chiếu quán tính khác nhau đều xảy ra giống
nhau.
Ví dụ: Một chiếc thuyền khối lượng m = 40kg được đẩy chuyển động với vận tốc
ban đầu v = 0,5m/s. Cho rằng khi vận tốc bé, lực cản của nước tỉ lệ bậc nhất với vận
tốc và thay đổi theo quy luật F = µv, trong đó hệ số µ = 9,1kg/s.
Hỏi sau thời gian bao lâu thì vận tốc của thuyền sẽ giảm một nửa và quãng đường
mà thuyền di chuyển được trong thời gian đó là bao nhiêu?
Giải
Đặt gốc tọa độ O tại vị trí ban đầu của thuyền và hướng trục Ox theo chiều chuyển
động. Khi đó điều kiện ban đầu sẽ là:
Khi t = 0, x = 0, v = v. Xét thuyền ở một vị trí bất kì, ta biểu diễn các lực tác
dụng lên thuyền là , và , ngoài ra không còn lực nào tác dụng lên thuyền nữa. Lực
đẩy chỉ tác dụng lên thuyền trước thời điểm t = 0. Kết quả của tác dụng này đã thể
hiện ở vận tốc ban đầu v do lực đẩy truyền cho thuyền.
Viết phương trình chuyển động của thuyền và chiếu xuống trục x. Ta có:
m = - F = - µv

Tích phân phương trình bằng cách tách biến ở hai vế rồi lấy tích phân xác định
tương ứng với cận dưới là giá trị của biến tích phân ở thời điểm ban đầu, còn cận
trên là giá trị của biến đó ở thời điểm bất kì.
Khi đó, theo điều kiện bài toán với t = 0, v = v, ta được:
= - dt
Hay:
lnv - lnv = - t
Cuối cùng ta được: t = ln
Cho v = 0,5v , ta có: t = ln2 = 3s
Để xác định quãng đường đi được ta viết phương trình chuyển động:
mv = - µv
Giản ước v rồi tách biến và x = 0 thì v = v, ta được:
dv = - dx
Hay: v - v = - x
Do đó: x = (v - v)
Thay v = 0,5v, ta có quãng đường cần tìm là:
x = = 1,1m.
4.3. Ý nghĩa:
Các thí nghiệm của Galileo như thí nghiệm về sự rơi tự do ở tháp nghiêng Pisa
đã dẫn đến một nguyên lí vô cùng quan trọng trong tự nhiên:
Mọi hệ quy chiếu quán tính đều tương đương nhau về phương diện cơ học. Ý nghĩa
thực tiễn của nguyên lí này là mọi hiện tượng vật lí đều xảy ra hoàn toàn như nhau
trong các hệ quy chiếu quán tính.
Nguyên lí trên có thể kiểm chứng bằng thực nghiệm sau: Cho những giọt nước rơi
xuống sàn từ một cái cốc treo trên trần khoang tàu. Trong cả hai trường hợp tàu
đứng yên hay chuyển động với vận tốc không đổi thì những giọt nước cũng rơi thẳng
đứng, không phải vì con tàu đang chuyển động mà chúng lại rơi lệch về phía cuối
con tàu.
CHƯƠNG II: CHỌN HỆ QUY CHIẾU TRONG CHUYỂN ĐỘNG CƠ HỌC.
2.1. Chọn hệ quy chiếu cho chuyển động cơ bản.

2.1.1. Chọn hệ quy chiếu cho chuyển động thẳng.
A. Đặc điểm của chuyển động thẳng
* Chuyển động thẳng đều có quỹ đạo là một đường thẳng và có vận tốc không đổi về
phương, chiều và độ lớn.
Vận tốc: v =
Phương trình chuyển động: x = x + v(t - t)
* Chuyển động thẳng biến đổi đều là chuyển động thẳng có gia tốc không đổi cả
về hướng và độ lớn, phương của là phương của đường thẳng quỹ đạo.
Vận tốc: v = v + at
Phương trình chuyển động: x = x + vt + at
Công thức tính đường đi (trường hợp chuyển động không đổi chiều):
s = =
Công thức liên hệ giữa vận tốc, gia tốc và độ dời, đường đi:
v - v = 2a. ∆x
v - v = 2as
* Sự rơi tự do: là sự rơi theo phương thẳng đứng chỉ dưới tác dụng của trọng lực.
Vận tốc: v = gt
Quãng đường: s = gt
Gia tốc rơi tự do ở các nơi có vĩ độ khác nhau trên Trái Đất thì khác nhau. Người a
thường lấy g = 9,8m/s hay g = 10m/s
B. Bài tập ví dụ
Bài toán 1: Lúc 6h sáng một xe mô tô xuất phát từ thị trấn A đi về phía thị trấn B
cách A 140km, với vận tốc 40km/h. Lúc 7h sáng một ô tô chạy từ thị trấn B về A với
vận tốc 60km/h. Hỏi hai xe sẽ gặp nhau lúc mấy giờ? Ở đâu?
Tóm tắt:
AB = 140km
v = 40km/h
t = 6h
v = 60km/h
t = 7h

→ t = ? , x = ?
Giải
* Cách 1:
Hình 2.1:
Chọn gốc tọa độ là thị trấn B, chiều dương là chiều từ B về A, gốc thời gian là lúc
6h sáng (thời gian xe mô tô xuất phát).
Khi đó: x = 140km; t = 0
x = 0; t = ∆t = (t - t) = 7 - 6 = 1(h)
Gọi t’ là khoảng thời gian mà xe mô tô xuất phát cho đến khi hai xe gặp nhau.
Phương trình chuyển động:
Xe 1: x = x + v(t’ - t)
= 140 - 40(t’ - 0)
= 140 - 40t’
Xe 2: x = x + v (t’ - t)
= x + v (t’ - ∆t)
= 0 + 60(t’ - 1)
A B
0x
(+)

= 60t’ - 60 (*)
Hai xe gặp nhau, tức là x = x ⇔ 140 - 40t’ = 60t’ - 60
⇔ 100t’ = 200
⇔ t’ = 2 (h)
→ hai xe gặp nhau lúc: t = t’ + 6 = 2 + 6 = 8(h)
Thay t’ = 2 vào (*), ta có:
x = 60.2 - 60 = 60km.
Vậy hai xe gặp nhau tại nơi cách B là 60km.
*Cách 2:
Hình 2.2

Chọn gốc tọa độ là thị trấn A, chiều dương là chiều chuyển động của mô tô; gốc
thời gian là lúc 0h sáng. Ta viết phương trình của hai xe.
Theo công thức x = x + v(t - t) thì:
Với mô tô: x = 0 + 40(t - 6) = 40t - 240 (a)
Với ô tô: x = 140 - 60(t - 7) = - 60t + 560 (b)
Hai xe gặp nhau: x = x ⇒ 40t - 240 = - 60t + 560
⇔ t = 8
Thay t = 8 vào (a): x = 40.8 - 240 = 80
Vậy hai xe gặp nhau lúc 8h tại nơi cách A là 80km.
Nhận xét: Đây là một ví dụ điển hình cho bài toán về lập phương trình chuyển động
của hai vật, từ đó xác định vị trí và thời điểm gặp nhau của hai vật. Để giải bài toán,
cần phải:
- Chọn chiều dương, gốc tọa độ và gốc thời gian, thông thường để thuận tiện, ta
chọn vị trí ban đầu của một trong hai vật làm gốc tọa độ, và chiều dương của trục tọa
độ là chiều chuyển động của một trong hai vật. Từ đó suy ra giá trị đại số của vận
tốc các vật và các giá trị khác tương ứng.

A
B
x
(+)
(0)
- Trong mọi trường hợp, cần phải lập đúng phương trình chuyển động sau khi đã
chọn gốc tọa độ, gốc thời gian, chiều dương của trục tọa độ.
- Trong bài toán này, nên sử dụng cách 2, vì khi chọn gốc thời gian như vậy thì
việc tìm ra thời điểm 2 xe gặp nhau sẽ đơn giản hơn. Đối với cách 1 thì ta phải chú ý
tới thời gian ta tìm được từ phương trình chuyển động chỉ là sau khoảng thời gian đó
2 xe sẽ gặp nhau nên để tìm thời điểm gặp nhau thì phải cộng thêm với thời điểm ta
lấy làm mốc.
Bài toán 2: Một viên đạn pháo nổ ở độ cao 100m thành hai mảnh: mảnh A có vận

tốc v = 60m/s hướng thẳng đứng lên trên, và mảnh B có vận tốc v = 40m/s hướng
thẳng đứng xuống dưới.
a. Hỏi sau 0,5s kể từ lúc đạn nổ, mảnh B cách mặt đất bao nhiêu?
b. Tính khoảng cách giữa hai mảnh đó sau 0,5s kể từ lúc đạn nổ?
Tóm tắt:
h = 100m
v = 60m/s
v = 40m/s
→ a. t = 0,5s thì h = ?
b. H = ?
Giải
Chọn gốc tọa độ tại vị trí đạn nổ, chiều dương hướng thẳng đứng lên trên và gốc thời
gian là lúc đạn nổ.
Phương trình chuyển động của mảnh A và B là:
y = - + vt + h = -5t + 60t + 100 (1)
y = - - vt + h = -5t - 40t + 100 (2)
a. Khoảng cách h từ mảnh B đến mặt đất lúc t = 0,5s bằng:
h = 100 -
Ta có: y (t=0,5s) = -5(0,5) - 40(0,5) = - 21,25m
Từ đó: h = 100 - 21,25 = 78,75m
b. Khoảng cách H giữa hai mảnh sau 0,5s:
H = = 100t = 100 . 0,5 = 50m
Nhận xét: Đối với bài toán này ta chỉ nên chọn 1 hệ trục tọa độ hướng lên (hướng
xuống) để xét chiều dương trong chuyển động của 2 vật. Nếu chọn 2 hệ trục khác
nhau thì quá trình chiếu phương trình chuyển động theo các hướng sẽ phức tạp
hơn,dẫn tới việc giải bài toán lâu hơn và có thể bị sai sót.
Bài toán 3: Trong thí nghiệm khảo sát sự ảnh hưởng của lực ma sát đối với chuyển
động của một vật, người ta cho một vật có khối lượng m = 5kg trượt trên mặt sàn
nghiêng hợp với mặt phẳng ngang một góc α = 30 . Biết hệ số ma sát giữa vật và
mặt sàn là k = 0,2. Xác định gia tốc của vật trong quá trình trượt? Lấy g = 9,8 m/s .

Tóm tắt:
m = 5kg
α = 30
k = 0,2
→ Tính a = ?
Giải
* Cách 1:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:
Hình 2.3
Các lực tác dụng lên vật gồm có: , , .
Áp dụng định luật II Newton, ta có:
+ + = m. (*)
Do hướng của trùng với hướng của , nên:
α
v
P
N
F
O
x
y
Chiếu (*) lên trục Ox: F .cosα - N.sinα = - m.a.cosα (1)
Chiếu (*) lên trục Oy: F .sinα - P + N.cosα = - m.a.sinα (2)
Từ (1) ta có: k.N.cosα - N.sinα = - m.a.cosα
→ a =
Từ (2), ta có: k.N.sinα - m.g + N.cosα = - m.a.sinα
→ a =
Khi đó:
=
⇔ + = + -

⇔ =
⇔ N =
= = = (N)
→ a = =
= 3,2 (m/s ).
* Cách 2: Chọn hệ trục tọa độ nghiêng theo mặt sàn như hình vẽ:
Hình 2.4
Các lực tác dụng: , , .
Áp dụng định luật II Newton, ta có: + + = m.
α
v
P
N
F
O
x
y
Chiếu lên trục Ox: - F + P.sinα = m.a (1)
Chiếu lên trục Oy: - P.cosα + N = 0 (2)
Từ (1) và (2), ta có: N = P.cosα
a =
Mặt khác: F = k.N
→ a = =
= g.(sinα - cosα)
= 9,8.(sin30 - cos30)
= 3,2 (m/s )
Nhận xét: Trong dạng bài chuyển động trong mặt phẳng nghiêng ta nên chọn hệ
trục tọa độ có một trục song song với mặt phẳng nghiêng. Điều này khiến việc giải
bài toán trở nên dễ dàng, thuận tiện hơn.
C. Bài tập vận dụng:

Bài 1: Một xe khởi hành từ địa điểm A lúc 6h sáng đi tới địa điểm B cách A 110km,
chuyển động thẳng đều với vận tốc 40km/h. Một xe khác khởi hành từ B lúc 6h30
phút sáng đi về A, chuyển động thẳng đều với vận tốc 50km/h.
a. Tìm vị trí của mỗi xe và khoảng cách giữa chúng lúc 7h và lúc 8h sáng.
b. Hai xe gặp nhau lúc nào và ở đâu?
Đáp số: a. Lúc 7h: hai xe cách nhau 45km
Lúc 8h: hai xe cách nhau 35km
b. Hai xe gặp nhau tại nơi cách A 60km, lúc 7h30p sáng
Bài 2: Từ một khí cầu đang bay lên cao theo phương thẳng đứng với vận tốc không
đổi bằng 5m/s, người ta thả nhẹ nhàng một vật nặng. Hỏi sau 2s, vật cách khí cầu
bao xa? Tính chiều dài tổng cộng đường đi của vật trong 2s đó. Cho biết khi thả vật
vận tốc khí cầu không đổi. Lấy g = 10m/s.
Đáp số: Khoảng cách d = 20m
Chiều dài tổng cộng s = 12,5m.
Bài 3: Từ điểm A cách mặt đất 20m, người ta ném thẳng đứng lên trên một viên bi
với vận tốc 10m/s.
a. Tính thời gian viên bi lên đến đỉnh cao nhất, viên bi rơi trở lại A và viên bi trở lại
đất.
b. Tính vận tốc viên bi khi nó rơi trở lại qua A và khi nó xuống tới đất. Lấy g =
10m/s.
Đáp số: a. Thời gian viên bi đến đỉnh cao nhất: t = 1s
viên bi rơi trở lại: t = 2s
viên bi rơi đến đất: t = 3,2s.
b. Vận tốc viên bi khi rơi trở lại A: v = - 10m/s
viên bi rơi đến đất: v = - 22m/s
Bài 4: Người ta vắt vào một chiếc ròng rọc một đoạn dây treo hai quả cân như hình
vẽ, quả cân 1 có khối lượng m = 260g; quả cân 2 có khối lượng m = 240g. Sau khi
buông tay, hãy tính vận tốc và quãng đường của vật sau 2s, lấy g = 10m/s , bỏ qua
khối lượng của ròng rọc và của dây.
Hình 2.5: Hệ hai vật và ròng rọc

Đáp số: v = 0,8 (m/s)
s = 0,8 (m).
2.1.2. Chọn hệ quy chiếu cho chuyển động tròn
A. Đặc điểm của chuyển động tròn
Chuyển động tròn là chuyển động có quỹ đạo là một đường tròn.
m
m
* Chuyển động tròn đều:
Hình 2.6:
- Tọa độ cong: s =
- Tọa độ góc: ϕ = ( ; )
- Vận tốc dài: v = = const
- Vận tốc góc: ω =
- Hệ thức liên hệ: s = R.ϕ ( R là bán kính quỹ đạo)
v = R.ω
- Chu kì: T = = (n là số vòng quay/giây)ω
- Tần số: f = = n
- Gia tốc: luôn hướng vào tâm quỹ đạo và độ lớn là:
a = = R.ω = const
* Chuyển động tròn biến đổi đều:
Hình 2.7
- Vectơ gia tốc: luôn hướng vào tâm quỹ đạo và được tách thành 2 thành
phần: = + với a = ; a =
- Gia tốc góc: α = = (rad/s )
- Các phương rình chuyển động:
+ Về chiều dài: a = const
v = a.t + v
s = a .t + v.t +s
v - v = 2.a.( s - s )
+ Về góc: α = const

ω = α.t + ω
ϕ = αt + ω.t + ϕ
ω - ω = 2.α.(ϕ - ϕ ).
B. Bài tập ví dụ
Bài toán 1: Bánh xe đạp có đường kính 0,66m. Xe đạp chuyển động thẳng đều với
vận tốc 12km/h. Tính vận tốc dài và vận tốc góc của một điểm trên vành bánh xe đối
với người ngồi trên xe.
Tóm tắt: d = 0,66m
v = 12km/h
ω = ?
Giải
Xét trong hệ quy chiếu gắn với hệ tọa độ cực ta có:
Vận tốc dài của xe cũng chính là vận tốc dài của 1 điểm bất kỳ nằm trên vành
bánh xe: v = 12km/h = = (m/s)
Tốc độ góc của 1 điểm nằm trên vành bánh xe:
ω = = : = 10,1 (rad/s)
Bài toán 2: Một chiếc tàu thủy neo tại một điểm trên đường xích đạo. Tính tốc đọ
góc và vận tốc dài của tàu đối với trục quay của Trái đất. Biết bán kính Trái đất là
6400km.
Tóm tắt: R = 6400km
Hỏi: v = ?, ω = ?
Giải
Tàu thủy đứng yên so với vị trí cắm neo nhưng lại chuyển động đều so với trục
quay của Trái đất. Do vậy, tốc độ góc và vận tốc dài của tàu cũng chính là tốc độ
góc và vận tốc dài của Trái đất. Ta có chu kỳ quay của Trái đất là: T= 24h =
86400s
Tốc độ góc của tàu:
ω = = = 726.10 (rad/s)
Vận tốc dài của tàu:
v = R.ω = 6400000.726.10 = 464,64 (m/s)

Nhận xét: : Trong chuyển động tròn đều ta nên chọn hệ quy chiếu gắn với hệ tọa độ
cực. Các lý thuyết của chuyển động tròn đều đều được xây dựng trong hệ quy chiếu
đó,nhưng chưa có một nghiên cứu nào nhấn mạnh điều này.
Tuy nhiên trong chuyển động tròn biến đổi, ta nên chọn vật mốc nằm trên đường
tròn, sử dụng hệ trục tọa độ đề các trùng với hướng của các thành phần gia tốc để dễ
dàng chiếu phương trình vectơ lên các trục tọa độ nhằm đơn giản hóa việc tính gia
tốc trong một số bài toán ta có thể sử dụng hệ tọa độ cực để việc tính toán nhẹ nhàng
hơn.
C. Bài tập vận dụng
Bài 1: Một quả bi - a, khối lượng m, đang nằm trên một mặt bàn bi - a có hệ số ma
sát trượt µ. Tại t = 0, quả bi - a trượt với vận tốc v và không quay. Tuy nhiên ngay
sau đó, tức t > 0, lực ma sát trượt với bàn bi - a làm cho nó quay và cuối cùng thì nó
lăn không trượt.
a. Viết các phương trình động lực học cho hai chuyển động thành phần, tịnh tiến và
quay. Giải hệ phương trình để tìm sự phụ thuộc vào thời gian của vận tốc dài và vận
tốc góc của quả bi - a.
b. Khi quả bi - a bắt đầu lăn không trượt thì vận tốc dài của nó bằng bao nhiêu?
Đáp số: a. v = v - µgt
ω = t
b. v = v = const.
Bài 2: Đoàn tàu chạy qua đường vòng bán kính 560m. Đường sắt rộng 1,4m và
đường ray ngoài cao hơn đường ray trong 10 cm. tàu phải chạy với vận tốc bao
nhiêu để gờ bánh không nén lên thành ray? Biết với α nhỏ, tanα ≅ sinα.
Đáp số: 72 km/h.
Bài 3: Một máy bay quân sự diễn tập nhào lộn một vòng tròn bán kính 400m trong
mặt phẳng thẳng đứng vớ vận tốc 540km/h.
a. Tìm lực do người lái có khói lượng 60kg nén lên ghế ngồi tại điểm cao nhất và
thấp nhất của vòng nhào?
b. Muốn phi công không nén lên ghế ngồi ở điểm cao nhất của vòng nhào, vận tốc
máy bay phải là bao nhiêu?

Đáp số: a. 2775 N; 3975 N
b. 63 m/s
2.1.3. Chọn hệ quy chiếu cho chuyển động trong mặt phẳng
A. Đặc điểm của chuyển động ném xiên (ném ngang)
Chuyển động ném ngang ( ném xiên) có thể được phân tích thành hai dạng chuyển
động là:
Hình 2.8: Chuyển động ném xiên
Chuyển động đều theo phương ngang Ox
= 0 ; =
x = t
Chuyển dộng nhanh dần đều (rơi tự do) theo phương thẳng đứng Oy
= g ; = gt
y = g
Quỹ đạo chuyển động của vật là đường cong parabol:
y = .

Thời gian vật rơi chạm đất bằng thời gian rơi tự do từ cùng một độ cao:
t =
Tầm xa: L = t =
B. Bài tập ví dụ
Bài toán 1:Từ đỉnh tháp cao 25m người ta ném một viên đá lên cao theo phương
hợp với phương ngang một góc 30 ,vận tốc ban đầu của hòn đá là 15m/s.
a. Tính thời gian chuyển động của hòn đá.
b.Hòn đá rơi xuống vị trí cách chân tháp một khoảng là bao nhiêu?
Tóm tắt:
H = 25m ; v = 15m/s
α = 30
→ Tính: t =? ;L =?
Giải
* Cách 1: Chọn gốc tính thế năng tại mặt đất,gốc thời gian khi bắt đầu ném hòn đá

và hệ trục tọa độ như hình vẽ: