Đề thi - Đáp án thi tuyển sinh lớp 10 THPT tỉnh Nghệ An năm 2014 - 2015

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH NGHỆ AN



Môn thi:
TOÁN

Thời gian làm bài : 120 phút(không kể thời gian giao ñề)

Câu 1. (2,5 ñiểm)
Cho biểu thức
1 1
:
1
1 1
x
A
x
x x
 
= −
 
 
−
− +
 

a) Tìm ñiều kiện xác ñịnh và rút biểu thức A

b) Tìm tất cả các giá trị của x ñể
0
A
<
.
Câu 2. (1,5 ñiểm)
Một ô tô và một xe máy ở hai ñịa ñiểm A và B cách nhau 180 km, khởi hành
cùng một lúc ñi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Biết vận tốc của ô tô lớn
hơn vận tốc của xe máy 10 km/h. Tính vận tốc của mỗi xe.
Câu 3 . (2,0 ñiểm)
Cho phương trình
2 4 2
2( 1) 2 0
x m x m m
+ + − + =
(m là tham số)
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Câu 4. (3,0 ñiểm)
Cho ñiểm A nằm bên ngoài ñường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với
ñường tròn ñó (B, C là các tiếp ñiểm). Gọi M là trung ñiểm của AB. Đường thẳng
MC cắt ñường tròn (O) tại N (N khác C).
a) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh
2
.
MB MN MC
=
c) Tia AN cắt ñường tròn (O) tại D ( D khác N). Chứng minh:



MAN ADC
=
Câu 5. (1,0 ñiểm)
Cho ba số thực dương
, ,z
x y
thỏa mãn
x y z
+
≤
. Chứng minh rằng:

( )
2 2 2
2 2 2
1 1 1 27
2
x y z
x y z
 
+ + + + ≥
 
 


Hết


Họ và tên thí sinh Số báo danh

HƯỚNG DẪN GIẢI
ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1. a). Điều kiện
0
1
x
x
≥


≠



( )( ) ( )( )
1 1 1 1 1
: .
1
1 1
1 1 1 1
x x x
A
x x
x x x x
+ − +
= = =
+ −

+ − + −

b) A <0 thì: <=>
1
1
x
−
< 0
=>
x
- 1 < 0 =>
x
< 1 => x < 1
Kết hợp ĐK: ñể A < 0 thì 0 ≤ x < 1

Câu 2:

Gọi vận tốc của ô tô là x (km/h)
vân tốc của xe máy là y (km/h) ( Đk: x > y> 0, x > 10)
Ta có phương trình : x – y = 10 (1)
Sau 2 giờ ô tô ñi ñược quãng ñường là 2x (km)
Sau 2 giờ xe máy ñi ñược quãng ñường là: 2y (km)
thì chúng gặp nhau, ta có phương trình: 2x + 2y = 180 hay x + y = 90 (2)
Từ (1), (2) ta có hệ phương trình :
10 50
90 40
x y x
x y y
− = =
 

⇔
 
+ = =
 
(T/M ĐK)
Vậy vận tốc của ô tô là 50 km/h và vận tốc của xe máy là: 40 km/h

Câu 3. a). Khi m = 1 phương trình trở thành: x
2
+ 4x – 1 = 0
∆
’
= 2
2
+1 = 5 >0
=> Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

1 2
2 5; 2 5
x x= − − = − +
b). Ta có:

2 2
4 4 2 2 2
1 1 1 1
' 2m 2 1 2 2 2 2 2 2 0,
2 2 2 2
m m m m m m m m
   
∆ = + + = − + + + + = − + +

≥ ∀
   
   

Nếu:
2
1
0
2
' 0
1
0
2
m
m

− =


∆ = ⇔


+ =


vô nghiệm
Do ñó
' 0,
m
∆ > ∀

. Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Câu 4.

D
N
M
C
B
O
A

a). Xét tứ giác ABOC có :




90 90 180
ABO ACO+ = + =
o o o
nên tứ giác ABOC nội tiếp
b). Xét ∆MBN và ∆MCB có :


M
chung



MBN MCB
= (cùng chắn cung BN)

=> ∆MBN ∼ ∆MCB (g-g) nên
2
.
MB MN
MB MN MC
MC MB
= ⇔ =

c). Xét ∆MAN và ∆MCA có góc

M
chung.
Vì M là trung ñiểm của AB nên
MA MB
=
.
Theo câu b ta có:
2
.
MA MN MC
=
MA MC
MN MA
⇔ =

Do ñó : ∆MAN ∼ ∆MCA (c-g-c)
=>




MAN MCA NCA
= = (1)
mà:


NCA NDC
= ( cùng chắn cung NC) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:


MAN NDC
= hay


MAN ADC
= .

Câu 5. Ta có:
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
3
x y x y
VT x y z z
x y z z x y y x
   
+
= + + + + = + + + + +

   
   

Áp dụng bất ñẳng thức Cô si cho hai số dương ta có:
2 2 2 2
2 2 2 2
2 . 2
x y x y
y x y x
+
≥ =

2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
15 1 1
5
16 16 16
x z y z z
VT
z x z y x y
   
 
≥ + + + + + +
   
 
 
   

Lại áp dụng bất ñẳng thức Cô si ta có:
2 2 2 2

2 2 2 2
1
2 .
16 16 2
x z x z
z x z x
+
≥ =

2 2 2 2
2 2 2 2
1
2 .
16 16 2
y z y z
z y z y
+
≥ =

Và
2
2 2 2
1 1 2 2 8
( )
2
x y xy x y
x y
+ ≥ ≥ =
+
+

 
 
 
nên
2
2 2
2 2 2
15 1 1 15 8 15 15
.
16 16 ( ) 2 2
z z z
x y x y x y
   
+
≥ = =
   
+ +
   

(vì
x y z
+
≤
)
Suy ra :
1 1 15 27
5
2 2 2 2
VT ≥ + + + =
. Đẳng thức xảy ra khi

2
z
x y
= =
.
Vậy
( )
2 2 2
2 2 2
1 1 1 27
2
x y z
x y z
 
+ + + + ≥
 
 
.