Đề thi mẫu THPT quốc gia năm 2015 môn toán Trường THPT Gang Thép

SƠGIÁODỤCVÀĐÀOTẠOTHÁINGUYÊN
TRƯỜNGTHPTGANGTHÉP
ĐỀTHITHỬTHP TQUỐCGIALẦN1
Môn:Toán
Thờigian:180phút(khôngkểthờigiangiaođề)
Câu1(2điểm): Chohàmsố
1
2 1
x
y
x
+
=
-
a. Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthị(C)củahàmsố.
b. Tìmm đểđồthị(C)củahàmsốcắtđườngthẳng : 2y x m D = - + tạihaiđiểmA,Bphânbiệtsao
cho 2AB =
Câu2(1điểm): Giảiphươngtrình:
cos sinx sin 2 cos2 1x x x + - - =
Câu3(1điểm):
a. Giảibấtphương trình:
( )
( )
2
2 2
log 2 1 log 2 0x x x - - - ³
b. Mộtđồncảnhsátcó9ngườitrongđócóhaitrungtáAnvàBình.Trongmộtnhiệmvụcầnhuy
động3đồngchíthựchiệnởđịađiểmC,2đồngchíthựchiệnởđịađiểmDvà4đồngchícònlại
trựcởđồn.HỏicóbaonhiêucáchphâncôngsaochohaitrungtáAnvàBìnhkhôngởcùngkhu
vựclàmnhiệmvụ?
Câu4(1điểm): Tìmnguyênhàm:

( )
2. 2 1 .I x x dx = - -
ò
Câu5(1điểm): CholăngtrụABC.A’B’C’ cóđáylàtamgiácđềucạnh a.Điểm A’cáchđềubađiểmA ,B,
C.GócgiữaAA’vàmặtphẳng(ABC)là
0
60
.TínhtheoathểtíchkhốilăngtrụABC.A’B’C’vàkhoảng
cáchgiữahaiđườngthẳng A’BvàCC’.
Câu6(1điểm): Chonlàsốtựnhiênthỏamãn:
2 4 6 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2046
n n
n n n n n
C C C C C
- -
+ + + + + =
.Tìmsốhạng
chứa
4
x
trongkhaitriểnnhịthứcNewton:
5
3
2
n
P x
x
æ ö

= -
ç ÷
è ø
với
0x >
.
Câu7(1điểm): TrongmặtphẳngvớihệtọađộOxychođườngtròn
( )
2 2
: 2C x y x + = .TamgiácAB C
vuôngtạiAcóAClàtiếptuyếncủađườngtròn
( )
C
tạiA,chânđườngcaotừAcủatamgiácABClàđiểm
H(2;0).Tìmtọađộđỉnh BcủatamgiácbiếtBcótungđộdươngvàdiệntíchtamgiác ABClà
2
3
Câu8(1điểm): Giảihệphươngtrìnhsau:
( )
( )
3 3
2 3 2 4 2
3
3
4 3 2
2 2 1
1 1 1
x y y x x y y x x
x x x x y
ì

+ - + + = - +
ï
í
ï
+ - + = - +
î
Câu9(1điểm): Choa,b,clàđộdàibacạnhcủatamgiácthỏa
mãn:
( )( )( )
1a b c a b c b c a + - - + + - =
Chứngminhrằng
5
2 2 2
3 3
a b c a b c + + + +
æ ö
³
ç ÷
è ø
PNTHANGIM
Cõu S lcỏpỏn Thang
im
1a Hcsinhtthchincỏcbckhosỏtỳng:
TX
Sbinthiờn:
Chiubinthiờnvcctr
Giihnvtimcn
LpBBT
Vthhms
1

1b Phngtrỡnhhonh giaoimca(C)v D l:
( )
2
1
2
2 1
1
2
2 4 2 1 0 *
x
x m
x
x
x mx m
+
= - +
-
ỡ
ạ
ù

ớ
ù
- + + =
ợ
(C)v
D
ctnhautiA,Bphõnbitthỡ(*)cúhainghimphõnbitkhỏc
1
2

1 3 1 3

2 2
m
ổ ử ổ ử
- +
ẻ -Ơ ẩ +Ơ
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
Gis
( ) ( )
1 1 2 2
2 , 2A x x m B x x m - + - + .Khiútacú:
1 2
1 2
2
2 1
.
2
x x m
m
x x
+ =
ỡ
ù
ớ
+
=
ù

ợ
Tgithittacú:
( ) ( ) ( )
2 2
2
2 1 1 2 1 2
1
2 2 4 1 4 2 2 1 1 ( / )
2
x x x x x x m m m t m - = + - = - - = =
0,5
0,5
2
( )
( )( )
( )
sin 2 cos 2 sinx cos 1 0
2cos 1 s inx cos 0
1
cos
2
2 sin 0
4
2
3
4
x x x
x x
x
x

x k
k
x k

p
p
p
p
p

+ - + + =
- + =
ộ
=
ờ
ờ

ổ ử
ờ
+ =
ỗ ữ
ờ
ố ứ
ở
ộ
= +
ờ
ẻ
ờ
ờ

= - +
ờ
ở
Z
0,5
0,5
3a
TX:
( )
2D = +Ơ
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2 2 2
2
log 2 1 log 2 0 log 2 1 log 2
4 1 0 2 32 3
x x x x x x
x x x
- - - - -
ộ ự
- + Ê ẻ - +
ở ỷ
KthpviTXbtphngtrỡnhcúnghim
(
22 3x
ự
ẻ +

ỷ
0,25
0,25
3b
spxpbtk9ngchớvocỏcvtrớnhyờucucú
3 2 4
9 6 4
. . 1260C C C = cỏch
Nuhaitrungtỏcựng mtvtrớCcú
1 2
7 6
.C C
cỏch,haitrungtỏcựngvtrớDcú
3
7
C
cỏch,haitrungtỏcựng lincú
2 3
7 5
.C C cỏch.Nhvycútngs350cỏchxphai
trungtỏcựngvtrớ.
Doúcú
1260 350 910 - =
cỏchphõncụngsaochohaitrungtỏAnvBỡnhkhụng
cựngvtrớlmvic.
0,25
0,25
4
t
2

2 2 2t x t x tdt dx = - ị = - ị =
( ) ( )
( ) ( )
2 4 2 5 3
2
8
4 3 .2 8 6 2
5
8
2 2 2 2 2
5
I t t tdt t t dt t t c
x x x x c
= + = + = + +
= - - + - - +
ũ ũ
0,25
0,5
0,25
5
GọiGlàtrọngtâmtamgiácABC,MlàtrungđiểmAB.KhiđótacóA’.ABClàhình
chópđềunên
( )
'A G A BC ^
GócgiữaAA’và(ABC)làgóc
·
0
' 60A AG =
Tacó:
. ' ' '

' .
ABC A B C ABC
V A G S =
2 3
0
. ' ' '
3 3 3
' .tan60 ,
3 4 4
ABC ABC A B C
a a a
AG A G AG a S V = Þ = = = Þ =
Dựng ' , 'GH A M H A M ^ Î .Tacó
( )
( ' )
' '
'
AB A GM AB GH
GH ABB A
GH A M
^ Þ ^
ì
Þ ^
í
^
î
Tacó
( ) ( )
( )
( )

( )
( )
( )
' , ' ', ' ' , ' ' 3 , ' ' 3d A B CC d CC ABB A d C ABB A d G ABB A GH = = = =
Do
2 2
3 ' . 13
' ,
6 13
'
a A G GM a
A G a GM GH
A G GM
= = Þ = =
+
Vìvậy
( )
3 13
' , '
13
a
d A B CC =
0,5
0,5
6
2 4 6 2 4 2 2
2 2 2 2 2
0 2 4 2 2 2
2 2 2 2 2
2046

2048
n n
n n n n n
n n
n n n n n
C C C C C
C C C C C
- -
-
+ + + + + =
Û + + + + + =
Do
0 2 4 2 2 2 1 3 5 2 3 2 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

n n n n
n n n n n n n n n n
C C C C C C C C C C
- - -
+ + + + + = + + + + +
Nêntacó
1 2 3 2 1 2 2
2 2 2 2 2
4096 2 4096 6
n n n
n n n n n
C C C C C n
-
+ + + + + = Û = Û =
6 6

5 11
6 6
18
5 6
2 2
6 6
3 3
0 0
2 2
. 2 .
k
k
k
k k k
k k
P x C x C x
x x
-
-
-
= =
æ ö
æ ö æ ö
= - = =
ç ÷
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
è ø
å å
0,25

0,25
Sốhạngtổngquáttrongkhaitriểnlà
11
18
6
2
1 6
.2
k
k k
k
T C x
-
-
+
=
11
18
6
2
1 6
.2
k
k k
k
T C x
-
-
+
= chứa

4
x
thì
11
18 4 4
2
k
k - = Û =
Sốhạngchứa
4
x
cầntìmlà
4 2 4
5 6
.2T C x =
0,5
7
Đường tròn(C)cótâmI(1;0)vàbánkínhR=1.DễthấyHnằmtrênđườngtrònnên
ABlàđườngkínhcủađườngtròn.
TacóAB=2nêndựavàocôngthứcdiệntíchtacó
2
3
AC =
Bnằmtrênđườngtrònvàcótung độdươngnêntọađộcủaBlà
( )
2
, 2B x x x -
Tacó
·
1

tan
3
AC
ABC
AB
= = nên 3BH = .Tacó
( )
( )
2
2
1
2 2 3
2
x x x x - + - = Û =
Vậy
1 3
;
2 2
B
æ ö
ç ÷
ç ÷
è ø
0,25
0,25
0,5
8
( )
( )
( ) ( )

3 3
2 3 2 4 2
3
3
4 3 2
2 2 1 1
1 1 1 2
x y y x x y y x x
x x x x y
ì
+ - + + = - +
ï
í
ï
+ - + = - +
î
Điềukiện:
3 2
1
1 0
y
x x
³
ì
í
- + ³
î
Từ(1)tacó
0,25
( )

( ) ( )
( )
( )
3 32 3 2 4 2
3
2
2
3 3
2
3 3
2 2 1
2 1 1 0
1 0 1
x y y x x y y x x
x x y y x x y y
x x y y x x y y
+ - + + = - +
+ - - + + - =
ộ ự
+ - - = + = -
ở ỷ
t
3
, 1a x b y = = -
tacú
3 3
a a b b + = + .Dobkhụngõmnờnacngphikhụng
õm.Hms
( )
3

f t t t = +
ngbintrờn
[
)
0+Ơ
nờntacúa=bhaytacú
3
0, 1x y x - =
Thayvo(2)tacúphngtrỡnh:
( )
( ) ( )
4 3 2 3 3 3 2
2 3
3 2
3 2 3 2
3 2
1 1 1 1 1
1
1 1 0
1 1 1 1
0
1
1
0( 0)
1 1
x x x x x x x x
x x
x x x x x
x x x x
x

x
x vn do x
x x
+ - + = + - = - - +
ổ ử
-
- = - + =
ỗ ữ
+ - + + - +
ố ứ
ộ
ờ
=
ờ
=
ờ
ờ
ờ
+ =
ờ
+ - +
ở
x=0tacúy=1,x=1tacúy=2(thamón iukin)
vyhcúhainghim(01)v(12)
0,25
0,25
0,25
9
t , , , , 0 1x a b c y b c a z c a b x y z xyz = + - = + - = + - ị =
Tacú , ,

2 2 2
x z x y y z
a b c
+ + +
= = =
Btngthccnchngminhtrthnh
( ) ( )
2
5 5
2 2 2
3 6 3 6
x y z xy yz xz
x y z x y z xy yz xz x y z
+ + - + +
+ + + + + + + + +
ổ ử ổ ử

ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
TheoCụsitacú:
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
3
3
3 3
6 6
x y z xy yz xz x y z
xy yz xz x y z
+ + - + + + + -

+ + = ị Ê
Tacnchngminh
( ) ( )
2 2
5 5
1 1
0
3 6 2 3 6 2
x y z x y z
x y z x y z
+ + + +
+ + + +
ổ ử ổ ử
- - -
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
t
3
, 3 3 1
3
x y z
t do x y z xyz t
+ +
= + + = ị
Xộthms
0,25
0,25
( )
[
)

( )
[
)
( ) ( )
5 2
4
5 2
3 1
, 1;
2 2
' 5 3 0 1;
3 1
1 0
2 2
f t t t t
f t t t t
f t f hay t t
= - + Î +¥
= - > " Î +¥
Þ ³ - + ³
Vậytacóđiềuphảichứngminh.Dấubằngxảyranếux=y=z=1nêna=b=c=1
0,5