Đề thi mẫu THPT quốc gia năm 2015 môn toán Trường THPT Quảng Xương 1

TRƯỜNGTHPTQUẢNGXƯƠNGI
ĐỂKIỂMTRACHẤTLƯỢNGCÁCMÔNTHIĐẠIHỌC
MÔNTOÁNLẦNI NĂMHỌC20142015
Đềthigồm8câu
(Thờigianlàmbài:180phútkhôngkểthờigianphátđề)
==================================
Câu1(4,0điểm): Chohàmsố: 43
23
+ - = xxy
1. Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthị(C)củahàmsố.
2. Viếtphươngtrìnhtiếptuyếncủađồthị(C)biếttiếptuyếnđóvuônggóc với
đường thẳngdcóphươngtrình
3
9
1
+ - = xy .
Câu2(2,0điểm):
1. Giảibấtphươngtrình: 1log)2(log
3
13
£ - + xx
2. Tìmgiátrịlớnnhấtvànhỏnhấtcủahàmsố xxxexf
x
2)(
2
+ + = trênđoạn
[ ]
0;2 - .
Câu3(2,0điểm): Giảiphươngtrình: 2cos3sinsin4
2
= + + xxx

Câu4(2,0điểm): Mộtchiếchộpđựng6quảcầutrắng,4quảcầuđỏvà2quảcầuđen.
Chọnngẫunhiên6quảcầutừhộp.Tínhxácsuấtđể6quảcầu đượcchọncó3quả cầu
trắng,2quảcầu đỏvà1quảcầu đen.
Câu5(4,0điểm):Chohìnhchóp
A BCS.
cóđáy
A BC
làtamgiácvuôngcântại B ,
aAB =
,
SA
vuônggócvớimặtphẳng )(ABC .Gócgiữamặtphẳng )(SBC vàmặtphẳng
)(ABC bằng
0
60 .Gọi Mlàtrungđiểmcủa AB .
1.Tínhtheo a thểtíchcủakhốichóp
A BCS.
2.Tính khoảngcáchgiữa haiđườngthẳng
SM
và
AC
theoa.
Câu6(2,0điểm):TrongmặtphẳngtọađộOxy,chohìnhvuôngABCDcóđỉnhA(2;2).
BiếtđiểmM(6;3)thuộccạnhBC,điểmN(4;6)thuộccạnhCD.TìmtọađộđỉnhC.
Câu7(2,0điểm): Giảihệphươngtrình:
4 3 4 2
3 2 2
4 ( 1) 4 1
( , )
8 4 1 6 2

x y x y y
x y
y x x y
ì
+ + - + =
ï
Î
í
+ + = + +
ï
î
¡
Câu8(2,0điểm): Chobasốthựcdương , ,x y z thoảmãn: 3x y z + + ³
Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức
2 2 2
3 3 3
8 8 8
x y z
P
yz x zx y xy z
= + +
+ + + + + +
11
TRƯỜNGTHPTQUẢNGXƯƠNGI
ĐÁPÁNĐỂKIỂMTRACHẤTLƯỢNGCÁCM ÔNTHIĐẠIHỌC
MÔNTOÁNLẦNI NĂMHỌC20142015
Câu ý Nộidung Điểm
1.
Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthị(C)củahàmsố 43
23

+ - = xxy Họcsinhtựlàm
2,0
GọiđiểmM( );
00
yx làtiếpđiểm.Tacó:
2
' 3 6y x x = -
Đườngthẳngdcóhệsốgóc
9
1
1
- =k nêntiếptuyếncóhệsốgóc 9
2
=k
0,5
Từđótasuyra:
0
2
0 0 0
0
3
'( ) 9 3 6 9 0
1
x
y x x x
x
=
é
= Û - - = Û
ê

= -
ë
0,5
Với )0;1(01
00
- Þ = Þ - = Myx Phươngtrìnhtiếptuyếntạiđiểm Mlà: 99 + = xy
Với )4;3(43
00
Myx Þ = Þ = Phươngtrìnhtiếptuyếntạiđiểm Mlà: 239 - = xy
0,5
1
(4,0đ)
2.
Vậycó2tiếptuyếnthỏamãn 99 + = xy và 239 - = xy
0,5
đk
0 >x
.BPT
[ ]
3
log ( 2) 1x x Û + £
130323)2(
2
£ £ - Û £ - + Û £ + Û xxxxx
0,51.
Kếthợpvớiđiềukiệntađược:
10 £ <x 
.VậyBPTcótậpnghiệm:T=
(
]

1;0
0,5
Xéthàmsố: xxxexf
x
2)(
2
+ + = trênđoạn
[ ]
0;2 -
Tacó:
[ ]
'( ) ( 1)( 2) '( ) 0 1 2;0
x
f x x e f x x = + + Þ = Û = - Î -
0,5
2
(2,0đ)
2.
Tính:
2
2
( 2)f
e
- = - ;
1
( 1) 1f
e
- = - - ; (0) 0f =
Từđósuyra:
[ ]

2;0
ax ( ) (0) 0
x
m f x f
Î -
= = và
[ ]
2;0
1
min ( ) ( 1) 1
x
f x f
e
Î -
= - = - -
0,5
Phươngđãchotươngđươngvới: xxx 2cos2cos3sin = +
0,5
<=>
2 2
6
cos( ) cos 2
6
2 2
6
x x k
x x
x x k

p

p
p
p
p

é
= - +
ê
- = Û
ê
ê
= - + +
ê
ë
0,5
<=>
2
2 ;
6 18 3
k
x k x

p p p
p

-
= + = + ,
k ΢
0,5
3

(2,0đ)
Vậyphươngtrìnhcónghiệm: 2
6
x k

p
p

-
= + ;
2
18 3
k
x

p p

= + ,
k ΢
0.5
PhépthửT:“Chọn6quảcầutừ12quảcầu”
Sốphầntửcủakhônggianmẫu Wlà W=
6
12
C =924
0,5
GọiAlàbiếncố:“6quảcầuđượcchọncó3quảtrắng,2quảđỏ,1quảđen”.
Chọn3quảtrắngtừ6quảcầutrắng:có
3
6

C cách
Chọn2quảđỏtừ4quảcầuđỏ:có
2
4
C cách
Chọn1quảđentừ2quảcầuđen:có
1
2
C cách
0,5
Suyra,sốphầntửcủa
A
W là:
A
W =
3
6
C .
2
4
C .
1
2
C =240
0,5
4
(2,0đ)
VậyxácsuấtcủabiếncốAlàP(A)=
A
W

=
W
240 20
294 77
=
0,5
5
(4,0đ)
1.
Vì
( )
,B C SA BC AB BC SAB ^ ^ Þ ^
Þ
Gócgiữamặtphẳng( )SBC vàmặtphẳng )(ABC làgóc
·
SBA
0,5
I
M
N
E
D
C
A
B
A
ã
0
60SBA ị = ABSA = ị
tan60

0
3a =
0,5
0,5
0,5
GiNltrungimcaBC. / / / /( )MN AC AC SMN ị ị .
Suyra ( , ) ( ,( )) ( ,( ))d AC SM d AC SMN d A SMN = =
K ( )AK MN MN SAK ^ ị ^ ( ) ( )SAK SMN ị ^ theogiaotuynSK
K ( )AH SK AH SMN ^ ị ^ .Doú ( ,( ))d A SMN AH =
0,5
Do D ABCvuụngcõntiBsuyra D AKMvuụngcõntiK.
Suyra
0
2 2
cos 45
2 4
AM a
AK KM AM = = = =
0,5
TrongtamgiỏcvuụngSAK,tacú:
( )
2 22 2 2 2
1 1 1 1 1 25 3
3 5
23
4
a
AH
AH SA AK a
aa

= + = + = ị =
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
0,5
2.
Vy
5
3
),(
a
ACSMd =
0,5
Gi
9
(5 )
2
I ltrungimcaMN.Do
ã
0
90MCN =
nờnCthucngtrũntõmIng
kớnhMN.VỡCAlphõngiỏccagúc
ã
MCN
nờnCAgiaovingtrũntiimEl
imchớnhgia
ẳ
MN
khụngchaC(AvEnmcựngphớasoviMN).SuyraElgiao

imcangtrũn(I)vtrungtrccaMN.
0,5
Phngtrỡnh ngtrũn
( )
2
2
9 13
( ) : 5
2 4
I x y
ổ ử
- + - =
ỗ ữ
ố ứ
Phngtrỡnh ngtrungtrccaMN:
7
2 3 0
2
x y - + =
0,5
TaimElnghimcah
( )
2
2
9 13
5
2 4
7
2 3 0
2

x y
x y
ỡ
ổ ử
- + - =
ù
ỗ ữ
ù
ố ứ
ớ
ù
- + =
ù
ợ
Tacú:
1 2
13 11 7 7
( ) ( )
2 2 2 2
E E .VỡA,EcựngphớasoviMNnờnchn
7 7
( )
2 2
E .
0,5
6
(2,0)
PhngtrỡnhAE: 0x y - = .DoClgiaoimthhaica(I)vAEnờntaC(66)
0,5
H

K
N
M
C
B
A
S
3
.
1 3

3 6
S ABC ABC
a
V SA S ị = =
Chỳý:Cỏch2
.
GivộctphỏptuyncaBCl
( )
( )
2 2
, 0n a b a b = + ạ
r
ị
ptBC: 6 3 0ax by a b + - - =
CDiqua (46)N vvuụnggúcviBCsuyraptCD: 6 4 0bx ay a b - + - =
Tacú:
2 2 2 2
04 4 2
( , ) ( , ) 4 4 2

8 0
ba b a b
d A BC d A CD a b a b
a b
a b a b
= + -
ộ
= = + = -
ờ
- =
+ +
ở
*TH1)Nu
0b =
chn
1a =
khiúptBC:
6 0x - =
vptCD: 6 0y - =
(66)C BC CD C = ầ ị .PhngtrỡnhMN:3 2 24 0x y + - = .KimtraAvCkhỏc
phớaivingthngMNnờn (66)C thamónbitoỏn.
*TH2)Nu
8 0a b - =
chn 1, 8a b = = khiúptBC: 8 30 0x y + - = vptCD:
8 26 0x y - - = Suyra
238 214
( )
65 65
C loidoAvCcựngphớaivingthng
MN.VyimCcntỡml: (66)C

4 3 4 2
3 2 2
4 ( 1) 4 1
8 4 1 6 2
x y x y y
y x x y
ỡ
+ + - + =
ù
ớ
+ + = + +
ù
ợ
( )
( )
1
2
4 2 4 2
4 2
1
(1) ( 1) 4 ( 1) 1 ( 4 1)( 1) 0
4 1
y
x y y y y x y y
x y
= -
ộ
+ + + = + + - + =
ờ
+ =

ở
0,5
1: 1TH y = - thayvo(2)tacú:
2 2
4 1 4 0 2 2x x x x + = + = =
0,5
4 2
1 1
2 : 4 1
1 1
2 2
x
TH x y
y
- Ê Ê
ỡ
ù
+ = ị
ớ
- Ê Ê
ù
ợ
( )
3 2 2
(2) 8 6 2 4 1 0 3y y x x - - + + - =
Xộthms
[ ]
[ ]
2 2
11

( ) 4 1 , 11 , min ( ) (0) 4
x
f x x x x f x f
ẻ -
= + - ẻ - = =
Xộthms
3
1 1

2 2
1 1 1
( ) 8 6 2, , min ( ) ( ) 4
2 2 2
y
g y y y y g y g
ộ ự
ẻ -
ờ ỳ
ở ỷ
ộ ự
= - - ẻ - = = -
ờ ỳ
ở ỷ
Doú: ( ) ( ) 0f x g y +
[ ]
1 1
11 ,
2 2
x y
ộ ự

" ẻ - " ẻ -
ờ ỳ
ở ỷ
.Du= khi
1
( ) (0 )
2
x y =
0,5
7
(2,0)
Vynghimcahphngtrỡnh ócho( )x y l:
1
(0 )(0 1)(2 2 1)( 2 2 1)
2
- - - -
0,5
8
(2,0)
pdngb:Vi
2 2 2
, , 0a b c > thỡ
( )
2
2 2 2
1 1 1
1 1 1
2 2 2 2 2 2
a b c
a b c

a b c a b c
+ +
+ +
+ +
Tacú:
( )
2
3 3 3
8 8 8
x y z
P
xy yz zx x y z
+ +

+ + + + + + + +
Chỳý:CMb:Vi
2 2 2
, , 0a b c > thỡ
( )
2
2 2 2
1 1 1
1 1 1
2 2 2 2 2 2
a b c
a b c
a b c a b c
+ +
+ +
+ +

pdngBTBunhiacopskivi2dóy
1 1 1
2 2 2
, ,
a b c
a b c
v
2 2 2
, ,a b c tacú:
( ) ( )
2 2 2
2
1 1 1
2 2 2 1 1 1
2 2 2
a b c
a b c a b c
a b c
ổ ử
+ + + + + +
ỗ ữ
ố ứ
.
Do
2 2 2
0a b c + + > nờncú:
( )
2
2 2 2
1 1 1

1 1 1
2 2 2 2 2 2
a b c
a b c
a b c a b c
+ +
+ +
+ +
suyrapcm.
0,5
Dấubằngxảyra
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
2 2 2
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
Û = = Û = =
Lạicó
2
3 2
6
8 (2 )(4 2 )
2
x x
x x x x

- +
+ = + - + £ .Dấubằngxảyrakhi
1
2
x
x
=
é
ê
=
ë
2
3 2
6
8 (2 )(4 2 )
2
y y
y y y y
- +
+ = + - + £ .Dấubằngxảyrakhi
1
2
y
y
=
é
ê
=
ë
2

3 2
6
8 (2 )(4 2 )
2
z z
z z z z
- +
+ = + - + £ .Dấubằngxảyrakhi
1
2
z
z
=
é
ê
=
ë
0,5
( )
( )
( )
( )
2 2
2
2 2 2
2. 2.
2 ( ) 18
( ) 18
x y z x y z
P

xy yz xz x y z x y z
x y z x y z
+ + + +
³ =
+ + - + + + + + +
+ + - + + +
Đặtt x y z = + + điềukiện
3t ³
.Tacó
2
2
2
18
t
P
t t
³
- +
với
3t ³
0,5
Xéthàmsố
( )
2
2
2
18
t
f t
t t

=
- +
trên
[
)
3;+¥
Tacó:
( )
( )
2
2
2
36
' 2.
18
t t
f t
t t
- +
=
- +
0
'( ) 0
36
t
f t
t
=
é
= Û

ê
=
ë
,lim ( ) 2
x
f t
®+¥
=
BBTcủa ( )f t trênnửakhoảng
[
)
3;+¥
Tacó
[
)
3;
3
min ( ) (3)
4
t
f t f
Î +¥
= =
VậyMinP=
3
4
khi 1x y z = = =
t 3 36
+¥
'( )f t

+ 0 -
( )f t
144
71
3
4
2
0,5
Chúý:
1)Nếuthí sinhlàmbàikhôngtheocáchnêutrongđápánnhưngđúngthìchođủsốđiểmtừng phần
nhưhướngdẫnquyđịnh.
2)Việcchitiếthóa(nếucó)thangđiểmtronghướngdẫnchấmphảibảođảmkhônglàmsailệch
hướngdẫn chấmvàphảiđượcthốngnhấtthựchiệntrongtổchấm.
3)Điểm bàithilàtổngđiểmkhônglàmtròn.