Đề thi mẫu THPT quốc gia năm 2015 môn toán Trường THPT Nghi Sơn Thanh Hóa

TR
ƯỜ
NG THPT NGHI SƠ
N - THANH HÓA
ĐỀ
THI TH
Ử
THPT QU
ỐC GIA 2015
T
Ổ
: T
Ự
NHIÊN I
MÔN THI: TOÁN


Th
ờ
i gian làm bài : 180 phút
Câu 1 (
4
đ
i
ể
m
)
Cho hàm s
ố
:

3 2
2 3 1 ( )
y x x C
= − +

a.
Kh
ả
o sát sự
bi
ến thiên và v
ẽ
đồ
th
ị hàm s
ố (C).
b.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) bi
ết tiếp tuyến đó có hệ số góc nhỏ nhấ
t.
Câu 2 (
2 đ
i
ểm
)
Giả
i ph
ương trình sau :
(
)

2
cos2x cos x 2tan x 1 2
+ − =

Câu 3 (
2
đ
i
ể
m
)
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau:
2
1
2
2log (2 1) log (3 1) 3
x x
− + + ≤
.
Câu 4 (
2
đ
i
ể

m
)
Tìm h
ệ
s
ố
c
ủ
a s
ố
h
ạ
ng ch
ứ
a
6
x
trong khai tri
ể
n nh
ị
th
ứ
c
10
2
3
1
3
x

x
 
−
 
 
.
Câu 5 ( 2
đi
ểm
) Cho hình chóp
S.ABCD có
đáy
ABCD là hình thoi tâm
O c
ạnh b
ằng a, Góc
0
120
DAB∠ =

.Hai mặ
t phẳng (SAC) và (SBD
) cùng vuông góc với đáy. Góc gi
ữa (SBC) và mặ
t đáy bằng
0
60
. Tính thể
tích kh
ố

i chóp S.ABCD
và kho
ả
ng cách t
ừ
A
đế
n (
SBC).
Câu 6(
2 đ
i
ểm
) Trong không gian v
ớ
i hệ
trụ
c t
ọa
độ Oxyz, cho
đường th
ẳ
ng (d) và mặ
t phẳ
ng (P) l
ần l
ượt
có phươ
ng trình là
1 2 1

( ) ,( ) 2 2 0
1 2 1
x y z
d P x y z
− + −
= = + + + =
−
. Tìm A là giao điểm củ
a (d) và (P), viết
phươ
ng trình đườ
ng thẳ
ng (d’) là hình chiế
u vuông góc c
ủa (d ) trên m
ặt ph
ẳng (P).
Câu 7 (
2
đ
i
ể
m
)
Trong m
ặt ph
ẳ
ng v
ớ
i h

ệ tr
ụ
c t
ọ
a
độ
Oxy, cho tam giác nhọ
n
ABC
.
Đườ
ng th
ẳng ch
ứ
a trung
tuy
ế
n kẻ t
ừ A
và đườ
ng thẳ
ng BC
lần l
ượt có ph
ương trình
3 5 8 0,x y
+ − = 4 0
x y− − =
. Đườ
ng thẳ

ng qua A

vuông góc với BC cắt đường tròn ngoại tiế
p tam giác ABC tại điểm thứ hai là
(4; 2)D −
. Viết phương trình
các
đường thẳ
ng AB,AC; bi
ết r
ằng hoành độ
củ
a đi
ểm
B không lớ
n hơ
n 3.
Câu 8 (
2
đi
ểm
)
Giả
i h
ệ ph
ươ
ng trình sau:
3 2
2 2
2 12 25 18 (2 9) 4

3 1 3 14 8 6 4
y y y x x
x x x y y

+ + + = + +


+ + − − = − −


.
Câu 9 ( 2 đ
iể
m)
Cho
1
1; , 1
4
x y z
≤ ≤ ≥
sao cho
1
xyz
=
. Tìm gía tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ

t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c:

1 1 1
1 1 1
P
x y z
= + +
+ + +
.
…………………… Hế
t……………………….
Ghi chú: - Thí sinh không s
ử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
12

TR
ƯỜ
NG THPT NGHI S
Ơ
N H
ƯỚ
NG D
Ẫ
N CH

Ấ
M MÔN TOÁN

THI T
H
Ử
THPT QU
Ố
C GIA 2015
Câu Ý N
ộ
i dung c
ầ
n
đạ
t
Đ
i
ể
m
1

a
Giám kh
ả
o t
ự
làm
đ
áp án

2
b
2 2
1 3 3
' 6 6 6( )
2 2 2
y x x x
= − = − − ≥ −

Ti
ế
p tuy
ế
n có h
ệ
s
ố
góc Min b
ằ
ng
3
2
−

khi
1 1
2 2
x y
=
⇒

=

Pttt :
3 1 1 3 5
2 2 2 2 4
y x x
 
= − − + = − +
 
 


1


0.5


0.5
2
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình :
(
)
2
cos2x cosx 2tan x 1 2
+ − =

(1)


2

Đ
i
ề
u ki
ệ
n
:
cos 0
x
≠

(1)
2
2sin
cos2 cos 2
cos
x
x x
x
⇔ + − =

2
2
2
2sin

cos 2 cos2 1 2sin
cos
1
2sin 1 1 cos
cos
x
x x x
x
x x
x
⇔ − = − = +
 
⇔ − = +
 
 

2
2(1 cos )(1 cos ) (1 cos )cos w . .
x x x x ww mathvn com
⇔ − − = +


(
)
2
1 cos 2(1 cos ) cos 0
x x x
 
⇔ + − − =
 

2
cos 1
cos 1
1
cos
2cos 5cos 2 0
2
2
3
x
x
x
x x
x k
x k
π π
π
π
= −

= −


⇔ ⇔


=
− + =



= +


⇔

= ± +



0.25


0.25



0.25

0.25



0.5



0.5
3
Giải phương bất phương trình sau:

2
1
2
2log (2 1) log (3 1) 3
x x
− + + ≤
.

2

ĐK
1
2
x >

2
2
1
2
2
2
2log (2 1) log (3 1) 3
log (2 1) log (3 1) 3
x x
x x
⇔ − + + ≤
⇔ − − + ≤


2

2 2
(2 1) (2 1)
log 3 0 8
3 1 3 1
x x
x x
− −
⇔ ≤ ⇔ < ≤
+ +

0.25



0.25



0.5


2
1
2
www.mathvn.com
4 28 7
0
3 1
x
x x

x

>


⇔

− −

≤

+


1 7 2 14
;
2 2
x
 
+
⇔ ∈
 
 
 


0.5

0.5
4

Tìm h
ệ
s
ố
ch
ứ
a
6
x
trong khai tri
ể
n nh
ị
th
ứ
c
10
2
3
1
3
x
x
 
−
 
 
.

2

Ta có
( )
10 10
10
2
2
10
3
3
0
1 1
3 3
k
k
k
x C x
x x
−
   
− = −
   
   
∑

( )
( ) ( )
10
1
(10 ) 2

2
3
1 10
10
3
1
3 3
k
k
k k k
k
k
k
T C x C x
x
−
− − +
+
 
= − = −
 
 

S
ố
h
ạ
ng ch
ứ
a

6
x
khi
1
(10 ) 2 6 4
3
k k k
− − + = ⇔ =

H
ệ số cần tìm bằng
4 4
10
3 www.dethithudaihoc.com
C



0.5



0.5


0.5

0.5
5
Cho hình chóp

S.ABCD
có
đ
áy
ABCD
là hình thoi tâm
O
c
ạ
nh b
ằ
ng a,
0
120
DAB
∠ =

.Hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (
SAC
) và (
SBD
) cùng vuông góc v
ớ
i
đ
áy. Góc gi

ữ
a (
SBC
) và m
ặ
t
đ
áy b
ằ
ng
0
60
. Tính th
ể
tich kh
ố
i chóp
S.ABCD
và kho
ả
ng cách t
ừ

A
đế
n (
SBC).

HS t
ự
v
ẽ
hình
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
SAC ABCD
SBD ABCD SO ABCD SO BC
SAC SBD SO
⊥


⊥
⇒
⊥
⇒
⊥


∩ =


K
ẻ

(
)

0
( ) ( ),( ) 60
OK BC BC SOK SBC ABCD SKO
⊥
⇒
⊥
⇒
= ∠ =

2
3
2
2
ABCD ABC
a
S S
= =

3
.
3 3 3
( )
4 4 8
S ABCD
a a a
OK SO V dvtt
=
⇒
=
⇒

=

( ) ( ,( )) 2 ( ,( ))
AO SBC C d A SBC d O SBC
∩ =
⇒ =


2 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ,( ))
1 1 1 3
www.mathvn.com
8
3
( ,( ))
4
SBC SOK
SBC SOK SK OH SBC d O SBC OH
OH SK
a
OH
OH OK OS
a
d A SBC
⊥


∩ =
⇒

⊥
⇒
=


⊥

= +
⇒
=
⇒
=




0.25

0.25

0.25

0.25

0.25


0.25

0.25


0.25

6

Trong không gian v
ớ
i h
ệ
tr
ụ
c t
ọ
a
độ
Oxyz, cho
đườ
ng th
ẳ
ng (d) và m
ặ
t ph
ẳ
ng (P)

l
ầ
n l

ượ
t có ph
ươ
ng trình là
1 2 1
( ) ,( ) 2 2 0
1 2 1
x y z
d P x y z
− + −
= = + + + =
−
.
Tìm A là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (d) và (P), vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng (d’) là hình chi
ế
u

vuông góc c
ủ
a (d ) trên m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) www.dethithudaihoc.com


1
2 2
( ) ( ) (0; 4;2)
1
2 2 0
x t
y t
A d P A
z t
x y z
= +


= − +

= ∩
⇒
−

= −



+ + + =



(1; 2;1) ( )
M d
− ∈

G
ọ
i H là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a M trên (P) www.mathvn.com
1 2
(1; 2;1)
( ) ( ) 2
(2;1;1)
1
x t
quaM
MH MH y t
vtcp
z t
= +

−



⇒
= − +
 


= +



1 2
2
5 1
( ) (0; ; )
1
2 2
2 2 0
x t
y t
H MH P H
z t
x y z
= +


= − +
−

= ∩
⇒ ⇒


= +


+ + + =


( )
0
(0; 4;2)
( ') ' 4
3 3
(0; ; )
2
2 2
x
qua A
d d y t
vtcp AH
z t
=

−

 
⇒
= − +
 
−
 

= −







0.5






0.5





0.5



0.5
7
Trong m
ặ
t ph

ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
tr
ụ
c t
ọ
a
độ
Oxy, cho tam giác nh
ọ
n
ABC
.
Đườ
ng th
ẳ
ng ch
ứ
a
trung tuy
ế
n k
ẻ
t
ừ
A
và

đườ
ng th
ẳ
ng
BC
l
ầ
n l
ượ
t có ph
ươ
ng trình
3 5 8 0,
x y
+ − =
4 0
x y
− − =
.
Đườ
ng th
ẳ
ng qua
A
vuông góc v
ớ
i
BC
c
ắ

t
đườ
ng tròn
ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác
ABC
t
ạ
i
đ
i
ể
m th
ứ
hai là
(4; 2)
D
−
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình các
đườ
ng
th
ẳng AB,AC; biết rằng hoành độ của điểm B không lớn hơn 3.

G
ọ
i M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BC,H là tr
ự
c tâm c
ủ
a tam giác ABC, K là giao c
ủ
a AD và
BC,E là giao c
ủ
a BH và AC www.mathvn.com
M là giao c
ủ
a AM và BC nên
7 1
( ; )
2 2
M
−

AD vuông góc BC và
đ
i qua D nên có ph
ươ
ng trình x+y-2=0
A là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ

3 5 8 0
(1;1)
2 0
x y
A
x y
+ − =

⇒

+ − =


K là nghi
ệ
m c
ủ
a h

ệ

4 0
(3; 1)
2 0
x y
K
x y
− − =

⇒
−

+ − =


T
ứ
giác HKCE n
ộ
i ti
ế
p nên
,
BHK KCE
∠ = ∠
mà

BDA KCE
∠ = ∠

Suy ra
BHK BDA
∠ = ∠

nên K là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a HD nên H(2 ;4) dethithudaihoc.com
Vì B thuôc BC
( ; 4) (7 ;3 )
B t t C t t
⇒ − ⇒ − −

Mặt khác HB vuông góc AC nên
7( )
. 0
2
t l
HB AC
t
=

= ⇔

=


 

0.25


0.25


0.25

0.25



0.25


0.25


(2; 2), (5;1)
:3 4 0, : 1 0
B C
AB x y AC y
⇒
−
⇒
+ − = − =

0.25

0.25

8

Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau.

3 2
2 2
2 12 25 18 (2 9) 4
3 1 3 14 8 6 4
y y y x x
x x x y y

+ + + = + +


+ + − − = − −



2

Đ
K :

2
1
3
6 4 0
x
y y

≥ −



− − ≥


Xét ph
ươ
ng trình
3 2
2 12 25 18 (2 9) 4
y y y x x
+ + + = + +
(1)
3 2
3
3 2
2 2
2 12 25 18 (2 9) 4 2( 2) ( 2) 2( 4) 4 4
( ) 2 '( ) 6 1 0
2 2

(1) ( 2) ( 4) 2 4
( 2) 4 4
y y y x x y y x x x
f t t t f t t
y y
f y f x y x
y x x y y
+ + + = + + ⇔ + + + = + + + +
= + ⇔ = + >
≥ − ≥ −
 
⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ ⇔
 
+ = + = +
 

( ) ( )
( )
( )
( )
( )
3 2
2
2
2 2
2
2
2
2
2 12 25 18 (2 9) 4

4
3 1 6 3 14 8 0
3 1 3 14 8 6 4
4 w . .
3 1 4 6 1 3 14 5 0
4
3 5 5
( 5)(3 1) 0
3 1 4 6 1
4
3
( 5)
3
y y y x x
x y y
x x x x
x x x y y
x y y ww mathvncom
x x x x
x y y
x x
x x
x x
x y y
x


+ + + = + +
= +



⇔ ⇔
 
+ − − + − − =
+ + − − = − −





= +

⇔

+ − − − − + − − =



= +


− −
⇔

+ + − + =

+ − − −


= +

⇔
−
( ) ( )
( ) ( )
5
1
1
(3 1) 0
1 4 6 1
3 1 1
(3 1) 0,
3
3 1 4 6 1
x
y
x
x x
x x
x x


=


 
⇔
 
 
=
+ + + =



 
+ − − −

 

+ + + > ∀ ≥ −
+ − − −


V
ậ
y h
ệ
có nghi
ệ
m x=5,y=1
0.25




0.25



0.25

0.25


0.25


0.25





0.25





0.25
9
Cho
1
1; , 1
4
x y z
≤ ≤ ≥
sao cho
1
xyz

=
. Tìm gía tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c

1 1 1
1 1 1
P
x y z
= + +
+ + +

2

Ta có
1 1 2 1 2 1 2
1
1 1 1
1 1 1
1

P
y z x
yz yz yz
yz
+ ≥
⇒
≥ + = +
+ + +
+ + +
+

Đặ
t
2
2
1 2
1 2 ( )
1 1
t
t yz t P f t
t t
x
=
⇒
≤ = ≤
⇒
= = +
+ +

0.5

0.5


0.5
Facebook.com/thithudaihoc
( )
( )
2 2
2
2 2
'( ) 0
1
1
22
( ) (2) www.dethithudaihoc.com
15
t
f t
t
t
f t f
= − ≤
+
+
≤ =

Suy ra

22 1
, 2
15 4
MinP x y z
= ⇔ = = =


0.25

0.25
Nế
u thí sinh giả
i theo cách khác nế
u đ
úng vẫ
n cho đi
ểm t
ối
đa