Bài tập về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian quan hệ song song

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932
E mail:
Trang 17

CHƯƠNG II: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG
GIAN. QUAN HỆ SONG SONG
Bài 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG
KHÔNG GIAN
Chủ đề 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Bài tập 124: Cho tứ diện ABCD. Trên AB và AC lấy hai điểm M và N sao cho
1
AM
BM
=
và
2
AN
CN
=
. Hãy xác định giao tuyến cảu mặt phẳng
(
)
AMN
với các mặt phẳng
(
)
(
)
(
)

(
)
,,,
ABDACDABCBCD

Bài tập 125. Cho S là một điệm không thuộc mặt phẳng chứa hình bình hành ABCD. Tìm giao
tuyến của hai mặt phẳng
(
)
SAC
và
(
)
SBD

Bài tập 126: Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là một điểm trên
cạnh BD sao cho
KDKB
<
. Tìm giao tuyến của mặt phẳng
(
)
IJK
với các mặt phẳng
(
)
ACD
và
(
)

ABD
.
Bài tập 127: Trong mặt phẳng
(
)
a
cho tứ giác ABCD. Ab cắt Chủ đề tại E. AC cắt BD tại F. S là
một điểm nằm ngoài mặt phẳng
(
)
a
.
a. Tìm giao tuyến của mặt phẳng
(
)
SAB
và mặt phẳng
(
)
SCD
;mặt phẳng
(
)
SAC
và mặt phẳng
(
)
SBD

b. Tìm giao tuyến của mặt phẳng

(
)
SEF
với các mặt phẳng
(
)
SAD
và mặt phẳng
(
)
SBC

Bài tập 128 Cho hình chóp S.ABCD; đáy là hình thang, đáy lớn AB. Trêm SD lấy điểm M
a. Tìm giao tuyến của mặt phẳng
(
)
MBC
và mặt phẳng
(
)
SAC

b. Tìm giao tuyến của mặt phẳng
(
)
MBC
và mặt phẳng
(
)
SAD

Chủ đề 2: Tìm giao tuyến của đường thẳng và mặt phẳng
Bài tập 129 Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J là các điểm trên cạnh AB, AD với I là trung điểm của AB
và
2
3
AJAD
=
. Tìm giao tuyến của đường thẳng và mặt phẳng
(
)
BCD

Bài tập 130: Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J và K là các điểm trên cạnh AB, AD với I là trung điểm
của AB, BC và Chủ đề sao cho
124
;;
335
AIABBJBCCKCD
===. Tìm giao tuyến của đường thẳng
AD và mặt phẳng
(
)
IJK

Bài tập 131: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi I, J là trung điểm
của SA, SB. M là một điểm tùy ý thuộc đoạn SAU ĐÂY.
a. Tìm giao tuyến của mặt phẳng
(
)

SAD
và mặt phẳng
(
)
SBC

b. Tìm giao tuyến đường thẳng IM và mặt phẳng
(
)
SBC

c. Tìm giao tuyến của đường thẳng SAO CHO và mặt phẳng
(
)
IJM

Bài tập 132: Cho tứ diện ABCD. Trên AC và AD lần lượt lấy các điểm M,N sao cho MN không
song song với CD. Gọi O là một điểm bên trong tam giác BCD.
a. Tìm giao tuyến của mặt phẳng
(
)
OMN
và mặt phẳng
(
)
BCD

b. Tìm giao điểm của BC và BD với mặt phẳng
(
)

OMN

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932
E mail:
Trang 18

Bài tập 133: Cho I,J lần lượt là hai điểm bên trong tam giác ABC và ABD của tứ diện ABCD. M là
một điểm thùy ý trên CD. Tìm giao tuyến của IJ với mặt phẳng
(
)
ABM

Bài tập 134: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC .
a. Tìm giao điểm I của AM với mặt phẳng
(
)
.
ABD
Chứng minh rằng
2
IAIM
=

b. Tìm giao điểm F của SD với mặt phẳng
(
)
ABM
. Chứng minh rằng F là trung điểm của SD
c. Gọi N là một điểm tùy ý trên AB. Tìm giao điểm của MN với mặt phẳng
(

)
SBD

Chủ đề 3: Chứng minh nhiều điểm thẳng hàng
Bài tập 135: Cho mặt phẳng
(
)
a
và ba điểm A,B,C không thẳng hàng và không thuộc mặt phẳng
(
)
a
. Giả sử các đường thẳng AB ,AC, BC cắt mặt phẳng
(
)
a
lần lượt tại D,E,F. Chứng minh rằng
D,E,F thẳng hàng
Bài tập 136: Cho hai điểm cố đinh A,B nằm ngoài mặt phẳng
(
)
a
sao cho AB cắt mặt phẳng
(
)
a
. S
là một điểm di động nằm trên đường thẳng AB, và không nằm trong mặt phẳng
(
)

a
sao cho SA, SA
cắt mặt phẳng
(
)
a
tại C và D. Chứng minh rằng CD đi qua một điểm cố định
Bài tập 137: Cho một đường thẳng cắt trục Ox, Oy và hai điểm A, B không nằm trong mặt phẳng
(Ox, Oy) có điểm chung. Một mặt phẳng
(
)
a
thay đổi luôn luôn chứa AB và cắt trục Ox, Oy lần
lượt tại M và N. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi mặt phẳng
(
)
a
thay đổi .
Bài tập 138: Cho tứ diện ABCD. I là một điểm nằm trên đường thẳng BD nhưng không thuộc đoạn
thẳng BD. Trong một mặt phẳng
(
)
ABD
dựng một đường thẳng qua I và cắt AB, AD tại K và L.
Trong mặt phẳng
(
)
BCD
dựng đường thẳng qua I cắt CB, CD tại M và N. Giả sử KM và LN cắt
nhau tại H. Chứng minh rằng A, C,H thẳng hàng .

Bài tập 139: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi E là giao điểm của AB và CD trên các cạnh SA, SB, SC
và SD lần lượt lấy các đỉem Q, M, N, P sao cho MN cắt DN tại I và BQ cắt CD tại J. Chứng minh
rằng S, E, I ,J thẳng hàng
Chủ đề 4: Chứng minh ba đường thẳng đồng qui
Bài tập 140: Cho ba đường thẳng
123
;;
ddd
không còng nằm trên một mặt phẳng và đôi một cắt
nhau. Chứng minh rằng đường thẳng trên đồng qui
Bài tập 141: Cho hình chóp S.ABCD sao cho AB và CD không song song và M là trung điểm của
SC
a. Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mặt phẳng
(
)
MAB

b. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng ba đường thẳng SO,AM và BN đồng qui
Bài tập 142: Cho tứ diện ABCD. Gọi E,F,G lần lượt là ba điểm trên các cạnh AB,AC và BD sao
cho EF cắt BC tại Q, EG cắt AD tại H. Chứng minh rằng CD, IG,HF đồng qui
Bài tập 143: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I,M,J là ba điểm trên SA, SB và SC. Giả sử
(
)
IJM
cắt
SD tại N. Chứng minh rằng IJ,SO và MN đồng qui ( với O là giao điểm của AC và BD). Suy ra
cách dựng điểm N

Chủ đề 5: Thiết diện

Bài tập 144: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi M,N lần lượt là
trung điểm của các cạnh SB và SC .
a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
(
)
SAD
và
(
)
SBC

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932
E mail:
Trang 19

b. Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng
(
)
AMN

c. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
(
)
AMN

Bài tập 145: Cho hình chóp S. ABCD. Gọi M là điểm thuộc miền trong tam giác SCD
a. Tìm giao tuyến của mặt phẳng
(
)
SBM

và mặt phẳng
(
)
SAC

b. Tìm giao điểm của BM và mặt phẳng
(
)
SAC

c. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
(
)
ABM

Bài tập 146: Cho hình chóp S. ABCD. Có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N,P lần lượt là
trung điểm của các cạnh BC, CD và SA.
a. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
(
)
MNP

b. Trên cạnh SC lấy một điểm I bất kỳ ( khác với S và C). Xác định giao điểm của AI vói mặt
phẳng
(
)
MNP

Bài tập 147: Cho tứ diện ABCD, trên cạnh AB lấy điểm I và các điểm J,K lần lượt là các điểm
thuộc miền trong tam giác BCD và ACD. Gọi L là giao điểm của JK với mặt phẳng

(
)
ABC
.
a. Hãy xác định điểm L
b. Tìm giao tuyến của mặt phẳng
(
)
IJK
và với các mặt của tứ diện
Bài tập 148: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác hai cạnh đối diện không song
song. Lấy điểm M thuộc miên trong tam giác SCD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
a. Mặt phẳng
(
)
SBM
và mặt phẳng
(
)
SCD

b. Mặt phẳng
(
)
ABM
và mặt phẳng
(
)
SCD

c. Mặt phẳng
(
)
ABM
và mặt phẳng
(
)
SAC

Bài tập 149: Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong tam giác ACD. Gọi I, J tương ứng là
hai điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD
a. Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
(
)
IJM
và
(
)
ACD

b. Lấy N là điểm thuộc miền trong tam giác ABD sao cho JN cắt đoạn thẳng AB tại L. Tìm giao
tuyến của hai mặt phẳng
(
)
MNJ
và
(
)
ABC

Bài tập 150: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành gọi MN lần lượt là trung điểm
của SB, SD. P là một điểm trên SC sao cho SP > PC. Tìm giao tuyến của mặt phẳng
(
)
MNP
với các
mặt phẳng
(
)
SAC
,
(
)
SAB
,
(
)
SAD
,
(
)
ABCD

Bài tập 151: Cho tứ diện ABCD, dáy ABCD là hình bình hành. Họi M,N lần lượt là các điểm thuộc
miền trong tam giác BCD và ACD. Gọi L là giao điểm cua JK với mặt phẳng
(
)
ABC

a. Hãy xác định điểm L

b. Tìm giao tuyến của mặt phẳng
(
)
IJK
với các mặt phẳng của tứ diện
Bài tập 152: Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là một điểm trên cạnh
BD và không trùng với trung điểm của BD. Tìm giao điểm của CD và AD với mặt phẳng
(
)
MNK

Bài tập 153: Cho tứ diện ABCD, M và N là hai điểm lần lượt trên AC và AD, O là một điểm thuộc
miền trong của tam giác BCD. Tìm giao điểm của :
a. Đường thẳng MN và mặt phẳng
(
)
ABO

b. Đường thẳng AO và mặt phẳng
(
)
BMN

Bài tập 154: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang cạnh đáy lớn là AB. Gọi I,J,K là ba
điểm lần lượt thuộc SA,AB,BC.
a. Tìm giao điểm của đường thẳng IK với mặt phẳng
(
)
SBD

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932
E mail:
Trang 20

b. Tìm các giao điểm của mặt phẳng
(
)
IJK
với SD và SC
Bài tập 155: Cho tứ diện ABCD, các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Lấy điểm
K thuộc đoạn thẳng (K không trùng với trung điểm của canh BD ). Tìm giao điểm của đường thẳng
AD và mặt phẳng
(
)
MNK

Bài tập 156: Cho hình chóp S. ABCD, lấy điểm M,N,P lần lượt là các điểm trên các đoạn
SA,AB,BC sao cho chúng không trùng với các trung điểm các đoạn thẳng ấy. Tìm giao điểm của
một mặt phẳng
(
)
MNP
với các cạnh của hình chóp đó
Bài tập 157: Cho hình chóp S.ABCD, Mvà N tương ứng là cách điểm thuộc SB và BC. Tìm giao
điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng
(
)
AMN

Bài tập 158: Cho hình chóp S.ABCD. I và J tương ứng là cách điểm thuộc cạnh AD và SD

a. Tìm các giao điểm K ,L của các cạnh AJ và DJ với mặt phẳng
(
)
SAC

b. AD cắt BC tại O, OJ cắt SC tại M. Chứng minh rằng A,K,L,M thẳng hàng
Bài tập 159: Cho tứ diện SABC. Trên SA, SB,SC lần lượt lấy các điểm D,E và F sao cho DE cắt
AB tại I, EF cắt BC tại J, FD cắt CA tại K. Chứng minh rằng ba điểm I,J,K thẳng hàng
Bài tập 160: Cho mặt phẳng
(
)
a
và
(
)
b
cắt nhau theo giao tuyến d. Trong
(
)
a
lấy hai điểm A và B
sao cho AB cắt d tại I .O là một điểm nằm ngoài mặt phẳng
(
)
a
và
(
)
b
sao cho OA và OB lần lượt

cắt
(
)
b
lần lượt tại A’ và B’.
a. Chứng minh rằng ba điểm I, A’,B’ thẳng hàng
b. Trong
(
)
a
lấy điểm C sao cho A,B,C không thẳng hàng. Giả sử OB cắt
(
)
b
tại C’. BC cắt B’C’
tại J, CA cắt C’A’ tại K. Chứng minh rằng I,J,K thẳng hàng
Bài tập 161: Cho tứ diện SABC có D, E lần lượt là trung điểm của AC và BC và G là trọng tâm của
tam giác ABC. Mặt phẳng
(
)
a
qua AC cắt SE, SB cắt lần lượt tại M và N. Một mặt phẳng
(
)
b
qua
BC cắt SD cà SA lần lượt tại P và Q
a. Gọi
;
IAMDNJBPEQ

=Ç=Ç
. Chứng minh rằng bốn điểm S,I,J,G thẳng hàng
b. Giả sử
;
ANDMKBQEPL
Ç=Ç=
. Chứng minh rằng ba điểm S,K,L thẳng hàng
Bài tập 162: Cho tứ diện ABCD, Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và CD trên đoạn AD lấy
điểm J sao cho AD =3JD
a. Xác định giao điểm F của IJ và mặt phẳng
(
)
BCD

b. Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng
(
)
IJK
và
(
)
ABC

c. Chứng minh rằng bà đường thẳng AC,KJ và
(
)
d
đồng qui
d. Gọi O là trung điểm của IK, G là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng A,O,G thẳng hàng
Bài tập 163: Cho hình chóp S.ABCD. Trên SC lấy điểm M sao cho không trùng với S và C

a. Tìm giao điểm N của SD với mặt phẳng
(
)
ABN

b. Giả sử AB và CD không song song với nhau. Chứng minh rằng ba đường thẳng AB,CD và MN
đồng qui
Bài tập 165: Cho tứ diện ABCD, Kéo dài BC một đoạn CE = BC. Kéo dài BD một đoạn DF = BD.
Gọi M là trung điểm của AB Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng
(
)
MEF

Bài tập 166: Cho hình chóp S.ABCD. Trong tam giác SBC lấy một đièm M, trong tam giác SCD
lấy một điểm N.
a. Tìm giao điểm của MN và SAC
b. Tìm giao điểm của SC mặt phẳng
(
)
AMN

c. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
(
)
AMN

Bài tập 167:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC.
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932
E mail:
Trang 21

a. Tìm giao điểm I của AM với mặt phẳng
(
)
ABD
. Chứng minh rằng
2
IAIM
=

b. Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng
(
)
ABM
. Chứng minh rằng S là trung điểm của SD. Xác
định thiết diện và hình tính thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
(
)
ABM


Bài 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG
CHÉO NHAU
Chủ đề 1: Chứng minh hai đường thẳng song song

Bài tập 168: Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AC,BC và P,Q lần lượt là
trung điểm Của AD, BD. Chứng minh rằng
//
MNPQ

Bài tập 169: Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J lần lượt là trong tâm các tam giác ABC và ABD. Chứng
minh rằng IJ//CD
Bài tập 170: Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,AC. Mặt phẳng
(
)
a
chứa
MN cắt DC, DB tại E và F .
a. Chứng minh rằng: MNEF là hình thang
b. Xác định vị trí của mặt phẳng
(
)
a
đê MNEF là hình bình hành
Bài tập 171: Cho hình chóp S.ABCD có đay là hình bình hành. Gọi M,N,P,Q là các điểm lần lượt
thuộc các cạnh BC,SC,SD,AD sao cho MN//BS, NP//CD, MQ//CD
a. Chứng minh rằng: PQ//SA
b. Gọi K là giao điểm cuae MN và PQ. Chứng minh rằng SK//AD//BC

Chủ đề 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Bài tập 172: Cho hình chóp S.ABCD
a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
(
)
SAD
và
(
)
SBC

b. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
(
)
SAB
và
(
)
SCD

Bài tập 173: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H và K lần lượt là trung
điểm của SA và SB
a. Chứng minh rằng: HK//CD
b. Gọi M là một điểm trên cạnh SC không trùng với S. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
(
)
HKM

và mặt phẳng
(
)
SCD

c. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
(
)
SAB
và mặt phẳng
(
)

SCD

Bài tập 174: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, I,J lần lượt là trung điểm của AC,BC. Gọi K là một
điểm trên cạnh BD với
2
KBKD
=
.
a. Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng
(
)
IJK
. Chứng minh rằng thiết diện là hình thang
cân
b. Tính diện tích thiết diện theo a .
Chủ đề 3: Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau
Bài tập 175: Cho
1
d
và
2
d
là hai đường thẳng chéo nhau. Trên
1
d
, lấy hai điểm phân biệt A và B,
trên
2
d
lấy hai điểm phân biệt C và D. Chứng minh rằng AC và BD chéo nhau

(Sao chép có bản quyền tại xuctu.com
®
. Phiên bản miễn phí 5 trang đầu. Xuctu: Website chuyên nghiệp về toán học)

Bài tập tự làm