Tối ưu hóa với các hàm Lipschitz
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.19 MB, 56 trang )
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
BÙI VĂN DŨNG
TỐI ƯU HÓA VỚI CÁC HÀM LIPSCHITZ
ĐỊA PHƯƠNG
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2012
1
MỞ ĐẦU
Lớp các bài toán tối ưu với các hàm Lipschitz địa phương là một bộ phận quan
trọng của lớp các bài toán tối ưu không trơn. Bởi vì các hàm Lipschitz địa phương
xác định trên các không gian hữu hạn chiều là khả vi hầu khắp nơi nên ta có thể
xem các bài toán Lipschitz địa phương là lớp trung gian giữa các lớp bài toán với
các hàm khả vi và không khả vi.
Năm 1983 cuốn sách chuyên khảo “Optimization and Nonsmooth Analysis” của
F.H. Clarke
5
ra đời đánh dấu một bước tiến quan trọng của lí thuyết tối ưu
không trơn F.H. Clarke
5
đã xây dựng lí thuyết đạo hàm suy rộng theo phương
và gradient suy rộng cho hàm Lipschitz địa phương giá trị thực và jacobian suy
rộng cho hàm giá trị véc tơ và thiết lập các điều kiện cần tối ưu cho bài toán với
hàm theo phương và dưới vi phân cho hàm Lipschitz địa phương mà ta gọi là đạo
hàm theo phương Michel-Penot và dưới vi phân Michel-Penot. Chú ý rằng một
hàm khả vi Gâteaux thì dưới vi phân Michel-Penot là đạo hàm Gâteaux, trong khi
đó nếu hàm khả vi chặt thì đạo hàm chặt mới là gradient suy rộng Clarke. Mới đây
Đ.V.Lưu
12
đã thiết lập các điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối
ưu đa mục tiêu Lipschitz địa phương với ràng buộc nón, ràng buộc đẳng thức và
ràng buộc tập dưới ngôn ngữ dưới vi phân Michel-Penot. Đây là vấn đề đã và đang
được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Chính vì thế mà em chọn đề tài luận văn:
“Tối ưu hóa với các hàm Lipschitz địa phương”.
Luận văn trình bày các điều kiện cần tối ưu cho các bài toán với các hàm Lipschitz
địa phương đơn và đa mục tiêu dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke và dưới vi
phân Michel-Penot.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu
tham khảo.
Chương 1: điều kiện cần dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke.
Chương một trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích Lipschitz, điều kiện
cần tối ưu cho bài toán đơn mục tiêu với các hàm Lipschitz địa phương của
2
F.H.Clarke và điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương của bài toán tối ưu đa
mục tiêu với các hàm Lipschitz địa phương của B.D. Craven.
Chương 2: Điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu dưới ngôn ngữ dưới vi phân
Michel-Penot.
Chương 2 trình bày các điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của Đ.V.Lưu
12
cho
bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nón, ràng buộc đẳng thức và ràng buộc
tập.
Bài toán tối ưu đa mục tiêu ở đây bao gồm các hàm Lipschitz địa phương hoặc có
đạo hàm Fréchet (không nhất thiết lớp
1
C
). Với một trong sáu điều kiện chính qui
(CQ1) –(CQ6), các điều kiện cần Kuhn-Tucker được trình bày dưới ngôn ngữ
dưới vi phân Michel-Penot.
Ngày 26 tháng 09 năm 2012
Bùi Văn Dũng
3
Chương 1
ĐIỀU KIỆN CẦN TỐI ƯU DƯỚI
NGÔN NGỮ GRADIENT SUY RỘNG
CLARKE
Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích Lipschitz, điều kiện cần
tối ưu cho bài toán tối ưu đơn mục tiêu có ràng buộc với các hàm Lípschitz địa
phương của F.H.Clarke
5
và điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương của bài
toán tối ưu đa mục tiêu với các hàm Lipschitz địa phương của B.D.Craven
4.
Các kiến thức trình bày trong chương này được tham khảo từ các tài liệu
1 , 2 .
1.1 Một số kiến thức về giải tích Lipschitz
1.1.1 Đạo hàm suy rộng Clarke và gradient suy rộng Clarke
Giả sử
X
là không gian Banach,
*
X
là không gian đối ngẫu tôpô của
X
và
f
là
hàm Lipschitz địa phương tại
xX
.
Định nghĩa 1.1.1
Đạo hàm suy rộng của hàm
f
theo phương
vX
tại
x
, kí hiệu là
0
;f x v
được xác định như sau:
0
0
, limsup
xx
t
f y tv f x
f x v
t
, (1.1)
trong đó
, 0.x X t
Đây là khái niệm đạo hàm suy rộng theo phương của F.H. Clarke.
4
Định lí 1.1.1
Giả sử
f
Lipschitz địa phương với hằng số Lipschitz K tại
x
. Khi đó,
(i) Hàm
0
;v f x v
hữu hạn ,thuần nhất dương, dưới cộng tính trên
X
và
0
;f x v K v
;
(ii)
0
;f x v
nửa liên tục trên theo
,;xv
0
;.fx
Lipschitz( theo
v
) với hằng
số K trên
X
;
(iii)
0
0
; , .f x v f x v
Chứng minh
(i) Do
f
Lipschitz địa phương tại
x
với hằng số Lipschitz K, cho nên tồn tại lân
cận
U
của
x
sao cho với mọi
,,y z U
.f y f z K y z
Do đó, từ (1.1) ta có
0
0
, limsup ,
yx
t
K tv
f x v K v
t
bởi vì với
t
đủ nhỏ ,
yU
thì
y tv U
. Từ đó suy ra tính chất hữu hạn của hàm
0
,.fx
. Với
0
, ta có
0
;f x v
0
limsup
yx
t
f y t v f y
t
0
0
limsup ;
yx
t
f y t v f y
f x v
t
hàm
0
;.fx
thuần nhất dương.
Bây giờ ta kiểm tra tính dưới cộng tính:
0
;f x v
0
limsup
yx
t
f y tv t f y
t
5
00
00
limsup limsup ; ; ,
y x y x
tt
f y tv t f y tv f y tv f y
f x f x v
tt
bởi vì
y tv x
khi
yx
và
0.t
(ii) Lấy các dãy
i
x
và
i
v
hội tụ đến
x
và
v
tương ứng. Theo định nghĩa
limsup, với
, , 0
ii
i y X t
sao cho
1
,
i i i
y x t
i
0
1
,
i i i i
ii
i
f y t v f y
f x v
it
.
i i i i i i i i
ii
f y t v f y f y t v f y t v
tt
(1.2)
Để ý rằng
i i i i i
i
i
f y t v f y t v
K v v
t
với
i
đủ lớn. Khi đó, từ (1.2) ta có
00
limsup , , .
ii
i
f x v f x v
Do đó
0
.;.f
nửa liên tục trên.
Ta chứng minh
0
;.fx
Lipschitz trên
X
.
Với
,uX
, ta có
f y tv f y f y t f y K v t
(với
y
gần
x
,
t
dương gần
0
)
6
f y tv f y f y t f y
Kv
tt
00
;;f x v f x K v
(1.3)
Đổi vai trò của
v
và
ta nhận được
00
;;f x f x v K v
. (1.4)
Từ (1.3) và (1.4) ta suy ra
00
;;f x v f x K v
.
Như vậy là
0
;.fx
Lipschitz với hằng số
K
trên
X
.
(iii) Chứng minh
0
0
; ; .f x v f x v
0
;;
00
; lim sup limsup
x x u x
tt
f x tv f x f u tv f u
f x v
tt
0
;;
00
; lim sup limsup
x x u x
tt
f x tv f x f u tv f u
f x v
tt
(đặt
u x tv
)
0
,.f x v
Định nghĩa 1.1.2
Gradien suy rộng của hàm
f
tại
x
,
kí hiệu là
fx
là tập hợp sau đây trong
*
X
:
*0
: : ; , , .f x X f x u u u X
Đây là khái niệm gradient suy rộng của F.H. Clarke.
Nhận xét 1.1.1
;0 ,
c
f x f x
7
trong đó
0
;0
c
fx
là dưới vi phân của hàm lồi
;.
o
fx
tại 0.
Bây giờ ta lấy
*
X
. Khi đó, chuẩn của
được xác định bởi công thức
*
;1
: sup , .
v X V
v
Ký hiệu
*
B
là hính cầu đơn vị mở trong
*
.X
Định lí 1.1.2
Gỉả sử f là hàm Lipshitz địa phương với hằng số
K
tại
x
. Khi đó
a)
fx
, lồi compact *yếu trong
*
X
và
*
K
;fx
b) Với mọi
vX
, ta có
0
; ax , : .f x v m v f x
Chứng minh
a) Theo định lí 1.1.1
0
;.fx
là hàm dưới cộng tính, thuần nhất dương trên
X
.
Theo định lí Hahn-Banach, tồn tại hàm tuyến tính
: XR
sao cho
0
;,f x v v
vX
f x f x
Ta chứng minh
fx
lồi: lấy
12
, ,0 1.fx
Khi đó
0
;f x u
,
i
u
; 1,2u X i
0 0 0
; ; 1 ;f x u f x u f x u
12
, 1 ,uu
12
1,u
12
1 f x f x
lồi.
8
Bây giờ ta chứng minh
fx
compắc *yếu: với
*
*
, 0,f x K f x B K
, trong đó
*
0,BK
là hình cầu đóng tâm tại 0 với bán kính
.K
Mà hình cầu
*
0,BK
là compact *yếu trong
*
X
(định lí Alaoglu),
fx
là
đóng *yếu
fx
compact*yếu.
b) Theo định nghĩa 1.1.2
0
ax , : ; .m v f x f x v
Giả sử tồn tại
0
v
sao cho
0
00
ax , : ; .m v f x f x v
Theo định lí Hahn-Banach, tồn tại phiếm hàm tuyến tính
thảo mãn
,v
0
;f x v
vX
,
0
,v
0
0
;.f x v
0
0
;f x f x v
0
00
,,v f x v
Vô lí
!
.
Ví dụ 1.1.1
Xét trường hợp
XR
,
f x x
. Khi đó,
f
là hàm Lipschitz trên
R
với
hằng số Lipschitz
1K
Bây giờ, ta lấy
0x
. Khi đó
0
;0
; lim
y x t
y tv y
f x v v
t
: , 1f x R v v R
Tương tự, với
0v
, ta có
1
. Do đó,
1
.
Một cách tương tự, nếu
0x
,
1.fx
9
Xét trương hợp
0x
0
0; 0 : ,f v v f R v v v R
0 1,1f
1.1.2 Các phép tính của gradient suy rộng Clarke
Định nghĩa 1.1.3
Ánh xạ đa trị
được gọi là đóng, nếu
Gr
đóng trong
.XY
Định nghĩa 1.1.4
Ánh xạ đa trị
được gọi là nửa liên tục trên tại
x
, nếu với
0, 0
sao cho
X
x x B
,
Y
X X B
trong đó
X
B
và
Y
B
là các hình cầu đơn vị mở trong
X
và
.Y
Định lí 1.1.3
1
Giả sử
f
là hàm Lipschitz địa phương.
x
Ta có các khẳng định sau đây:
(i)
0
;,f x f x v v
vX
;
(ii) Giả sử các dãy
*
,
ii
x X X
thỏa mãn
;
ii
fx
i
x
hội tụ đến
x
,
là điểm giới hạn của
i
theo tô pô *yếu. Khi đó,
fx
(tức là ánh xạ đa trị
fx
đóng *yếu );
(iii)
0
;
y x B
f x f y
(iiii) Nếu
X
hữu hạn chiều thì
f
là nửa liên tục trên tại
.x
10
Nhắc lại
3
: cho hàm lối
f
trên tập lồi mở
U
,
:f U R
dưới vi phân của
hàm lồi
f
tại
xU
được định nghĩa như sau
*
: , , .
c
f X X f X f X X X X U
Định lí 1.1.4
1
Giả sử
f
là hàm lồi trên
U
, Lipschitz địa phương tại
.xU
Khi đó,
c
f x f x
,
0,
;;f x v f x v
,vX
trong đó
f
là gradient suy rộng của
f
;
'
;.fx
là đạo hàm theo
phương của
f
tại
.x
giả sử
f
là hàm Lipschitz trên tập con mở
U
trong
n
R
. Khi đó,
f
khả hầu khắp
nơi (theo độ đo Lebesgue) trên
.U
Ký hiệu
f
là tập tất cả các điểm mà tại đó hàm
f
không khả v (
:
n
f R R
).
Định lí 1.1.5
1
Giả sử
f
là hàm Lipschitz địa phương tại
;x
S
là tập tùy ý trong
n
R
có độ đo
Lebesgue bằng
0
. Khi đó
lim : , , ,
i i i i f
f x co f x x x x S x
(1.5)
trong đó
co
kí hiệu bao lồi.
1.1.3 Nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến
Cho tập
,C X C
. Ta xét hàm khoảng cách
:
C
d X R
được định nghĩa như
sau:
: inf : .
C
d x x c c C
11
Khi
C
là tập đóng ta có:
0
C
x C d x
.
Hàm
.
C
d
không khả vi. Tuy nhiên
.
C
d
là hàm Lipschitz trên
.X
Định nghĩa 1.1.5
Vectơ
vX
được gọi là tiếp xúc với tập
C
tại
xC
, nếu:
0
;0
C
d x v
.
Ký hiệu
C
Tx
là tập tất cả các véc tơ tiếp xúc với
C
tại
xC
:
0
: : ; 0
CC
T x v X d x v
.
Khi đó,
C
Tx
là một nón lồi đóng trong
X
.
C
Tx
được gọi là nón tiếp tuyến Clarke (tangent cone) của tập
C
tại
x
.
Nón pháp tuyến Clarke (normal cone) của tập
C
tại
x
được định nghĩa như sau:
: : , 0,
CC
N x X v v T x
.
Ta có
0
CC
N x T x
(nón cực của nón
C
Tx
,
C C C
N x T x T x
là nón đối ngẫu của
C
Tx
theo
1
0
CC
N x cl d x
,
trong đó
cl
ký hiệu bao đóng
*
yếu.
Định nghĩa 1.1.6
Giả sử
C
là một tập lồi. Vec tơ
X
được gọi là pháp tuyến của
C
tại
,x
nếu
,0x x x C
.
Định nghĩa 1.1.6 cho ta vec tơ pháp tuyến theo nghĩa giải tích lồi.
12
Chú ý rằng nếu
C
là một tập lồi thì
C
Nx
trùng với nón pháp tuyến theo định
nghĩa giải tích lồi.
Khi
C
là một tập lồi, ta có
.
C
d
là một hàm lồi.
Định nghĩa 1.1.7
Nón tiếp liên (contingent cone) của tập hợp
C
tại
x
được định nghĩa như sau:
: : 0, 0, ,
C
K x v X t v tB
.sao cho
.x t C
Nhận xét 1.1.2
a) Từ định nghĩa của
C
Kx
suy ra :
x clC
;
b) Định nghĩa 1.1.7 có thể viết dưới dạng:
C
Kx
: 0,
nn
v X t v
sao cho
:
nn
x t C
c) Ta có
CC
T x K x
;
d) Nón
C
Kx
có thể không lồi.
Định nghĩa 1.1.8
Tập
C
được gọi là chính qui tại
x
, nếu:
.
CC
T x K x
Định nghĩa 1.1.9
Trên đồ thị (epigraph) của hàm
:f X R
được định nghĩa như sau:
: , :epif x r X R f x r
.
Định lí 1.1.6
1
Giả sử
f
là hàm Lipschitz địa phương tại
x
. Khi đó
f
chính qui tại
x epif
chính quy tại
,x f x
.
13
1.2 Điều kiện cần tối ưu cho bài toán đơn mục tiêu
Giả sử
X
là không gian Banach,
: , : 1, , , : 1, , ,
ij
f X R g X R i n h X R j m C X
.
Xét bài toán:
Kí hiệu
mìn ,
0 1, , ,
1
0 1, , ,
.
i
i
x
g x i n
P
h x j m
xC
11
: , , , : , , ; , , , , :
nm
nm
g g g h h h L x r s k
X R R R R R
là hàm Lagrange của bài toán (P1):
, , , ,
, , , , ,
C
L x r s k
f x r g x s h x k r s d x
trong đó
.
C
d
là hàm khoảng cách đến tập
.C
Nếu
CX
thì hàm Lagrange có dạng:
, , , , , .L x r s f x r g x s h x
Định lý 1.2.1
(Qui tắc nhân tử Lagrange của F.H.Clarke)
Giả sử
x
là nghiệm của bài toán (P.1); tập
C
đóng và các hàm
, , 1, , ; 1, ,
ij
f g h i n j m
Lipschitz địa phương tại
xC
. Khi đó, với số
k
đủ lớn,
tồn tại
,,
nm
R r R s R
không đồng thời bằng
0, 0, 0r
sao cho:
0 , , , , ,
x
L x r s k
(1.6)
14
, 0,r g x
(1.7)
trong đó
x
L
là gradient suy rộng Clarke của hàm
L
theo biến
x
.
Vec tơ
,,rs
thỏa mãn (1.6), (1.7) được gọi là nhân tử Lagrange của bài toán
(P.1).
Nhận xét 1.2.1
Khẳng định của định lý 1.2.1 vẫn đúng cho trường hợp
x
là cực tiểu địa phương.
Thật vậy, vì
x
là cực tiểu địa phương, cho nên
0
sao cho
,f x f x x C x B
trong đó
B
là hình cầu đơn vị đóng trong
X
.
Thay
C
bằng tập
C x B
ta nhận được (1.6), (1.7).
Nhận xét 1.2.2
Khẳng định của định lý 1.2.1 vẫn đúng, nếu ta lấy
, , 1.rs
Thật vậy, nếu
,,rs
là nhân tử Lagrange, tức là thỏa mãn (1.6),(1.7) (với số
k
nào đó ), thì với
0t
, véc tơ
,,t tr ts
cũng là nhân tử Lagrange.
Lấy
1
,,t r s
, ta nhận được
( , , ) 1.t tr ts
Chứng minh định lí 1.2.1
Đặt :
1
: , , : 0, 0, ( , , ) 1 .
mn
T t r s R r r s
Với số
0,
ta xác định hàm
:F X R
,,
: ax , , . , , .
r s T
F x m r s f x f x g x h x
15
Chú ý rằng
F
là hàm Lipschitz địa phương tại
x
và
Fx
.
Ta có
0F x x C
. Thật vậy, nếu
:0y C F y
, thì
0, 0 1, , ; 1, ,
ij
g y h y i n j n
tức là
y
là điểm của bài toán (P.1) và
.f y f x
Điều này mâu thuẫn với tính cực tiểu của
!x
. Vì vậy ,
inf
C
F x F
Theo nguyên lí biến phân Ekeland
1
, tồn tại
u x B
sao cho:
xC
.F x x u F u
Nếu
k
là hằng số Lipschitz của hàm
,,f g h
trong lân cận của
x
, thì với
0
đủ
nhỏ ,
kk
cũng là hằng số Lipschitz của hàm
F x x u
trong một lân cận của
điểm
.xu
Do đó, u đạt cực tiểu trong một lân cận (của
u
) của hàm số sau đây (
5
, mệnh đề
2.4.3):
C
x F x x u kd x
ax , , , ,
T
m L x r s k f x x u
,G x x u
trong đó
: ax , , , , .
T
G x m L x r s k f x
Vì vậy, với
0
đủ nhỏ ta có
0 G u B
(1.8)
Ta chứng minh ánh xạ:
, , ,
x
t x L x t k
(1.9)
Là đóng theo định nghĩa 1.1.3
16
Lấy
12
,t t T
, xét hàm số:
1 2 1 2
, , , , , , .x L x t k L x t k t t f g h x
Hàm số này Lipschitz địa phương tại
x
với hằng số
12
.k t t
Vì vậy theo mệnh đề 1.1, ta có
1 2 2 1
, , , , .
xx
L x t k L x t k k t t B
Từ đó suy ra ánh xạ (1.9) là đóng,
Do
0,Fu
tồn tại véc tơ đơn vị
u
tT
đạt cực đại
ax , ,
tT
F u m t f u f x g u h u
(có nghĩa là
u
t
đạt cực đại cả
Gu
).
Áp dụng định lí 3.2
2
, từ ( 1.8) ta nhận được
0 , , .
xu
L u t k B
(1.10)
Chú ý: nếu
0
i
gu
, thì trong
u
t
ta có
0.
i
r
Nếu ta làm cho một chuỗi dãy
0,
i
thì có dãy tương ứng
,
i
ux
còn dãy con
i
u
t
hội tụ đến một phần tử của
.T
Từ (1.10) và tính đóng của ánh xạ (1.9), ta suy ra kết luận của định lí.
Hệ quả 1.2.1 :
Giả sử
x
là nghiệm của bài toán (P1); các giả thiết của định lí 1.2.1 thỏa mãn.
Khi đó , với số
k
đủ lớn , tồn tại
,,
nm
R r R s R
không đồng thời bằng
0, 0, 0r
sao cho
11
0 , , ,
nm
i i j j C
ij
f x r g x s h x k r s d x
, 0.r g x
17
Hệ quả 1.2.2
Giả sử
x
là nghiệm của bài toán (P1); các giả thiết của định lí 1.2.1 thỏa mãn,
khi đó, tồn tại
,,
nm
R r R s R
không đồng thời bằng
0, 0, 0r
sao cho
11
0,
nm
i i j j C
ij
f x r g x s h x N x
, 0,r g x
trong đó
C
Nx
là nón pháp tuyến Clarke của
C
tại
x
.
Chứng minh
Bởi vì
0
,
CC
N x cl d x
trong đó
cl
kí hiệu là bao đóng *yếu, cho nên áp dụng định lí 1.2.1 ta nhận được hệ
quả 1.2.2.
1.3 Điều kiện cần tối ưu cho bài toán qui hoạch đa mục tiêu
Giả sử
: , : , :
n p n m n r
F R R g R R h R R
là các hàm Lipschitz địa phương tại
;,
np
x R Q R
,mr
S R T R
là các nón lồi đóng với
intQ
và
intS
. Xét bài
toán tối ưu véc tơ
W,
2,
,
MINF x
P g x S
h x T
trong đó
WMIN
kí hiệu cực tiểu yếu địa phương mà ta sẽ định nghĩa dưới đây
Kí hiệu
là tập chấp nhận được của bài toán (P2):
: : ,
n
x R g x S h x T
18
Định nghĩa 1.3.1
(i) Điểm
x
được gọi là nghiệm pareto địa phương
(local Pareto solution) hay nghiệm hữu hiệu địa phương (local
efficient solution ) của bài toán (P2), nếu tồn tại số
0
sao cho:
,x B x
\ 0 ,F x F x Q
(1.11)
trong đó
,Bx
là hình cầu mở tâm
x
, bán kính
,
(ii) Điểm
x
được gọi là cực tiểu yếu địa phương
(local weak minimum) hay nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (local
weak- efficient solution) của bài toán (P2) nếu tồn tại số
0
sao
cho
int ( , );F x F x Q x B x
( ( 1.12)
(iii) Điểm
x
được gọi là cực tiểu mạnh địa phương
(local strong minimum)của bài toán (P2) nếu tồn tại số
0
sao
cho:
F x F x Q
( , );x B x
(1.13)
hay
Q
F x F x
( , );x B x
trong đó
1 2 1 2
.
Q
y y y y Q
Nhận xét 1.3.1
x
là cực tiểu mạnh
x
làcực tiểu Pareto
x
là cực tiểu yếu.
Với tập
m
ER
và điểm
cE
, ta định nghĩa
: : 0, ,
c
E x c x E
19
Trở lại với bài toán (P2), nón
Q
có
intQ
. Khi đó, nón liên hợp
*
Q
có một cơ
sở lồi compắc
B
.
Như vậy,
*
: 0,Q b b B
và
0.B
Cho
x
là cực tiểu yếu của bài toán (P2). Kí hiệu
A
là một cơ sở lồi compắc
của
*
gx
S
; cơ sở này tồn tại bởi vì
int S
và
.
gx
SS
Mệnh đề 1.3.1
Giả sử
Q
là nón lồi đóng ,
intQ
và
B
là cơ sở lồi compắc của nón
*
Q
; điểm
uX
thỏa mãn
, 0 .uB
Khi đó,
int .uQ
Chứng minh
Theo giả thiết,
,0uB
*
,0uQ
**
uQ
Mặt khác, theo mệnh đề 1.10
2
, do
Q
là nón lồi đóng, nên
**
.Q coQ Q
Vì vậy,
.uQ
Giả sử
u bdQ
(biên của
Q
). Theo định lí tách ,tồn tại
00
0
m
R
sao cho
0
,0u
0
,0v v Q
*
0
Q
: Mâu thuẫn với giả thiết (!)
Vậy,
int .uQ
20
Với
r
TR
, kí hiệu
LT
là không gian con tuyến tính sinh bởi
T
.
Mệnh đề 1.3.2
Giả sử
r
TR
là nón lồi đóng có
intT
. Khi đó,
r
R L T C
(tổng trực tiếp của
các không gian con), trong đó
T
có phần trong khác
trong
LT
. Do đó, ràng
buộc
h x T
tương đương với một cặp ràng buộc nón, trong đó một nón có
điểm trong (trong một không gian con cùng chiều với
LT
, còn nón kia bằng
0
.
Chứng minh
Giả sử
12
, , ,
j
x x x
là các vectơ độc lập tuyến tính trong
1
, ,
j
T L x x
là không gian
con tuyến tính sinh bởi
1
,
j
xx
.
Nếu
1
,
j
T L x x
thì
11
\ , ,
jj
x T L x x
. Khi đó, ta thêm
1j
x
vào
1
, , .
j
xx
Xuất phát từ
1
\0xT
, ta xây dựng được cơ sở
1
, ,
k
xx
cho
LT
. Nếu
r
L T R
,
cơ sở này được mở rộng thành cơ sở
1
, , , ,
kr
x x x
của
r
R
Ký hiệu
E
là đơn hình có các đỉnh là
1
0, , ,
k
xx
. Khi đó,
int E
trong
LT
, và
ET
, cho nên
intT
trong
LT
.
Bây giờ giả sử
V
là ánh xạ cơ sở
1
, ,
r
xx
thành các vectơ đon vị (1,0,…,0),
(0,1,0,…,0),… sinh ra
r
R
. Khi đó:
12
, 0 ,
h x T Vh x V T
V h x V T V h x
trong đó
1
Vh
gồm
k
thành phần đùa của
2
,Vh V h
gồm các thành phần còn lại, và
intVT
trong không gian con
V L T
.
Mệnh đề 1.3.3
2
21
Giả sử
,XY
là các không gian định chuẩn; tập
X
khác
;
DY
compắc,
0 ; : 0,D P d d D
:
:fY
R
liên tục,
.,fv
lồi
, ,.v Y f u
lõm và
thuần nhất dương
u
. Khi đó, có đúng một trong các hệ sau là tương thích:
\ 0 : , 0,
\ 0 : , 0.
i u v P f u v
ii v P u f u v
Nhận xét 1.3.2
Ta phủ nhận
i
và nhận được:
\ 0 : , 0iii u v P f u v
.
Khi đó,
iii ii
.
Mệnh đề 1.3.4
Giả sử
Q
là nón lồi;
B
là tập compắc,
0 , : 0,B Q ab b B
. Giả thiết tồn tại
phương
0
d
sao cho với mọi
B
, đạo hàm suy rộng Clarke:
0
0
;0F x d
.
Khi đó , tồn tại phương
d
và
0B
sao cho:
*
\0Q
'
0, 0B F x d F x
,
trong đó
có nghĩa là: với tất cả
trừ ra một tập có độ đo Lebesgue 0.
Chứng minh
Giả sử
0
00
\ 0 : ; 0
n
d X B F x d X R
. Hàm
0
;.Fx
Lipschitz,
nên liên tục trên
X
.
Vì vậy, với
0
dd
đủ nhỏ,
0
;0d X B F x d
.
Theo định lý Fubini, một phương d như vậy có thể chọn để sao cho với
1
0
nào đó,
F x d
tồn tại với
1
0,
trừ ra một tập có độ đo 0.
22
Đặt
:.F x d
Bởi vì
F x F x
, cho nên
0d X B M F x Md
.
Vì
fx
gồm tất cả tổ hợp lồi của giới hạn các gradient của
F
tại các điểm
xx
,
cho nên
2
0, : 0,
trong đó
21
0
. Vì vậy,
2
0, :B
0 0 0.d
Do B là compắc,
2
có thể thay bằng
B
không phụ thuộc vào
.B
Định lý1.3.1
Giả sử
:
np
F R R
là hàm Lipschtiz địa phương tại
,xx
là cực tiểu yếu địa phương
không ràng buộc của
Fx
. Khi đó, tồn tại
B
sao cho:
0 Fx
.
Chứng minh
Giả sử
0
00
: ; 0d X B F x d
. Từ mệnh đề 1.3.4, tồn tại phương
dX
sao cho với dãy
0
i
và
B
,
0
i
F x d F x
.
Theo mệnh đề 3.4,
1
int 1,2, F x d F x Q i
,
mâu thuẫn với
x
là cực tiểu yếu địa phương không ràng buộc của
Fx
. Do đó,
0
\ 0 ; 0d X Q F x d
.
Các giả thiết của mệnh đề 1.3.3 đúng với
ud
,
23
0
, , ;v f u v vF x u
, bởi vì hàm
f
lồi theo
u
, lõm và thuần nhất dương theo
v
:
0
; : limsup
x
t
v F tu F
f u v
t
(supermum của các hàm tuyến tính theo
v
). Do đó,
0
\ 0 ; 0Q d X F x d
.
0 Fx
với
\0Q
nào đó, và vì vậy với
B
.
Định lý 1.3.2
Giả sử
x
là cực tiểu yếu địa phương của bài toán (P2);
,Fg
và
h
là các hàm
Lipschitz địa phương tại
x
. Khi đó, tồn tại các nhân tử Lagrange
,,Q S T
không đồng thời bằng 0 thỏa mãn:
0,F g h x
0, 0.g x h x
Chứng minh
Từ mệnh đề 1.3.2 các ràng buộc của bài toán (P2) có thể thay bằng các ràng buộc
tương đương với
intS
và
0T
.
Đặt
: , , , : 0
gx
J F g h V Q S
.
Giả sử
0
00
\ 0 : ; 0.d X p V pJ x d
(1.14)
Khi thay
p
cho
, theo mệnh đề1.3.4, khi thay
p
cho
,
J
cho
F
, có tồn tại
dX
sao cho:
\ 0 0, 0p V p p J x d J x
.
a) Khi cố định
,BA
và đặt
,,p
với
0
ta nhận được:
24
1
0h x d O
, (1.15)
bởi vì
,Fg
Lipschitz địa phương tại
x
, và
p
bằng
không phụ thuộc
C
do
C
compact , trong đó
1
O
là đại lượng cùng bặc với
.
Giả sử
H
là orthant (góc phần tư)bất kỳ trong
, int
r
R e H
. Với
, 0,C H e
,
cho nên
12
O O e
.Vì vậy, từ (1.15) ta nhận được:
2
0h x d O e
2
0h x d O e C H C H H
Khi xét tất cả
2
r
orthant (trong
r
R
)ta nhận được:
3
4
0, : 0 .
,
h x d O
h x d o
trong đó
4
o
là vô cùng bé của
Nếu
hx
có hang cực đại: định lý hàm ẩn của Clarke (
5
hệ quả 7.1.1) chỉ ra
rằng: Nếu
h x d
với
đủ nhỏ,
thì
0hx
với
x x d O
nào đó.
Với
4
o
, ta nhận được
0h x d
trong đó
.o
b)Nếu ta lấy
,,
với
B
và
C
cố định
A
thì
0, g x d g x
0,
trong đó
không phụ thuộc vào
trong tập compắc
.A
Từ mệnh đề 1.3.1 suy ra
