Đề thi và đáp án HSG Toán 8-Thanh Chương

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG

ĐỀ THI KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG.
NĂM HỌC 2010 – 2011. Môn thi: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1:
a) Phân tích đa thức thành nhân tử:
201120102011
24
+++ xxx
b) Tìm các số nguyên
yx;
sao cho:
33
3
=+ xyx
.
c) Tìm các hằng số a và b sao cho
baxx ++
3
chia cho
1+x
dư 7; chia cho
2−x
dư 4.
Câu 2:
a) Tính giá trị biểu thức:
A=
xyyxyxyx 2)1(425
222

+−+−−−+++
với
5032011
16;2 == yx
b) Tìm
x
để B có giá trị nhỏ nhất: B
2
2
2 2011x x
x
− +
=
với
x
> 0.
Câu 3: Chứng minh rằng
a)
20002011
112011
20002011
112011
33
33
+
+
=
+
+
b) Nếu

;m n
là các số tự nhiên thỏa mãn :
nnmm +=+
22
54
thì :

m n−
và
5 5 1m n+ +
đều là số chính phương.
Câu 4 :
Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình thang ABCD
(AB//CD). Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh OM=ON.
b) Chứng minh
MNCDAB
211
=+
.
c) Biết
.;
22
bSaS
CODAOB
==
Tính
ABCD
S
?

d) Nếu
0
90
ˆ
ˆ
<< CD
. Chứng minh BD > AC.
HẾT./.
ĐỀ CHÍNH THỨC
UBND HUYỆN THANH CHƯƠNG
PHÒNG GIÁO DỤC&ĐÀO TẠO
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG KHỐI 8
NĂM HỌC 2010 – 2011. Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu: Nội dung Điểm
1a
0,75đ
a/
201120102011
24
+++ xxx
=
)1()1(2010
32234
−−+++++ xxxxxx
0,5
=
( )( )
20111
22

+−++ xxxx
0,25
b/
33
3
=+ xyx
( )
33
2
=+⇔ yxx
. Do
yx;
là các số nguyên nên ta có:
0,25
0,75đ
TH1:



=
=
⇔



=+
=
0
1
33

1
2
y
x
yx
x
(thỏa mãn) hoặc
2
3
3
26
3 1
x
x
y
x y
=
=


⇔
 
= −
+ =


(thỏa mãn)
0,25
TH2:




−=
−=
⇔



−=+
−=
6
1
33
1
2
y
x
yx
x
(thỏa mãn) hoặc
2
3
3
28
3 1
x
x
y
x y
= −

= −


⇔
 
= −
+ = −


(thỏa mãn)
0,25
0,75đ
c/ Vì
baxx ++
3
chia cho
1
+
x
dư 7 nên ta có:
baxx ++
3
=
( )
7)(.1 ++ xQx
do đó với
1
−=
x
thì

-1-a+b=7, tức là a-b = -8 (1).
0,25
Vì
baxx ++
3
chia cho
2
−
x
dư 4 nên ta có:
baxx ++
3
=
( )
4)(.2 +− xPx
do đó với
2
=
x
thì
8+2a+b=4, tức là 2a+b=-4 (2).
0,25
Từ (1) và (2) suy ra a=-4;b=4. 0,25
2.
a.
0,75đ
a/ Ta có:
( ) ( )
021425
22

22
≥−++=−+++ yxyxyx
với mọi
yx;
nên ta có:
0,25
A=
( )
xyyxyxyx 21425
2
22
+−+−−+++

=
4)2(242422221425
2222
+−=+−=+++−−−−−+++ yxyxxyyxxyyxyxyx
0,25
Thay
( )
2012
503
45032011
2216;2 ==== yx
vào A ta có: A=
( )
4422.2.2
20122011
=+−
0,25

b
1,0đ
b/ B=
2
2
20112
x
xx +−
=
2
22
2011
20112011 22011
x
xx +−
0,5
=
( ) ( )
2011
2010
2011
2011(
2011
2010
2011
20112010
2
2
2
2

2
≥
−
+=
−+
x
x
x
xx
. 0,25
Dấu “=” xẩy ra khi
2011
=
x
.
0,25
Vậy GTNN của B là
2011
2010
đạt được khi
2011=x
.
3. a/ Đặt a=2011; b=11; c=2000. Khi đó ta có a=b+c. 0,25
1,0đ
Xét vế phải đẳng thức ta có:
( )
( )
( )
( )
22

22
33
33
33
33
20002011
112011
cacaca
bababa
ca
ba
+−+
+−+
=
+
+
=
+
+
0,25
Thay a=b+c vào
( ) ( )
222
2
22
cbcbbbcbcbbaba ++=++−+=+−
0,25

( ) ( )
222

2
22
cbcbcccbcbcaca ++=++−+=+−
0,25
Nên
2222
cacababa +−=+−
.
0,25
Vậy:
( )
( )
( )
( )
20002011
112011
20002011
112011
22
22
33
33
33
33
+
+
=
+
+
=

+−+
+−+
=
+
+
=
+
+
ca
ba
cacaca
bababa
ca
ba
N
M
O
D
C
A
B
1,0đ
b/Ta có
nnmm +=+
22
54
( )
( )( )
2222
1555 mnmnmmnmnm =++−⇔=−+−⇔

(*)
0,5
Gọi d là ƯCLN(m-n;5m+5n+1)
⇒
(5m+5n+1)+5m-5n

d
⇒
10m+1

d
Mặt khác từ (*) ta có:
2
m

d
2
⇒
m

d. Mà 10m+1

d nên 1

d
⇒
d=1
0,25
Vậy m-n;5m+5n+1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng đều là
các số chính phương.

0,25
4.
hình vẽ 0,25
1,0đ
a/ Ta có
BD
OB
AC
OA
=
Do MN//DC
⇒
DC
ON
DC
OM
=
⇒
OM=ON.
0,5
0,5
1,0đ
b/ Do MN//AB và CD
⇒
AD
AM
CD
OM
=
và

AD
DM
AB
OM
=
. Do đó:
1
OM OM AM MD
DC AB AD
+
+ = =
(1)
0,25
Tương tự:
1=+
AB
ON
DC
ON
(2)
0,25
Từ (1);(2)
⇒
2=+
AB
MN
DC
MN
0,25
⇒

MNABDC
211
=+
0,25
1,0
0,75
c/ Hai tam giác có cùng đường cao thì tỉ số diện tích 2 tam giác bằng tỉ số giữa 2 cạnh đáy
tương ứng. Do vậy :
OD
OB
S
S
AOD
AOB
=
và
OC
OA
S
S
COD
AOD
=

0,25
Nhưng
OC
OA
OD
OB

=
⇒
COD
AOD
AOD
AOB
S
S
S
S
=
⇒
222
baSSS
CODAOB
AOD
==
nên
abS
AOD
=
.
Tương tự
abS
BOC
=
.Vậy
( )
2
baS

ABCD
+=
0,5
0,25
d/ Hạ AH, BK vuông góc với CD tại H và K
Do
0
90
ˆ
ˆ
<< CD
nên H, K nằm trong đoạn CD
Ta có
AEADDCDCBDEA >⇒>==
ˆ
ˆˆ
ˆ
.
Tứ giác BCEA là hình bình hành nên BC=AE
Vậy AD>BC
⇒
DH>KC
⇒
DK > CH.
0,25
0,25
Theo định lý pitago cho tam giác vuông BKD ta có :
2 2 2 2 2 2
DB BK DK AH CH AC= + > + =
0,25

E
K
H
D
C
A
B
(Do
2 2
)AH BK BD AC= ⇒ >
HS làm các cách khác đúng vẫn chấm điểm tối đa