Đề thi mẫu THPT quốc gia môn toán năm 2015 Trường THPT chuyên Vĩnh Phúc

0
Câu1(2,0điểm). Cho hàmsố.
2
1
x
y
x
=
-
a)Khảosátsựbiến thiênvàvẽđồth ị
( )
C
củahàmsố.
b)Xácđịnh
m
để đườngthẳng
: 2d y mx m = - +
cắt
( )
C
tạihaiđiểmphânbiệt
,A B
sao chođộdài AB ngắnnhất.
Câu2(1,0điểm).
Giảiphương trình:
sin 4 2 cos3 4sin cosx x x x + = + +
Câu3(1,0điểm).
Tính
ln 6
0
3 3 2 7

x
x x
e
I dx
e e
= ×
+ + +
ò
Câu4(1,0điểm).
a) Giảiphươngtrình:
1
3 18.3 29
x x + -
+ =
b) Tínhtổng
1 2 3 2015
2015 2015 2015 2015
1. 2. 3. 2015.S C C C C = + + + + L
Câu5(1,0điểm).
Chohìnhchóp .S ABCD cóđáy ABCD làhìnhvuôngcạnh a ,hìnhchiếuvuônggóccủa S lên
mặt phẳng
( )
ABCD trù ng với trọng tâm củ a tam giác ABD, cạnh SB tạo với mặt phẳng
( )
ABCD một góc
0
60 .Tínhtheo a thểtíchkhốichóp .S ABCD vàkhoảngcáchgiữahaiđường
thẳng SA vàCD .
Câu6(1,0điểm).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn

( )
2 2
: 9 18 0T x y x y + - - + = và hai điểm
( )
4;1A
( )
, 3; 1B - .Gọi ,C D làhaiđiểmthuộc
( )
T sao cho ABCD là mộthìnhb ìnhhành.Viết
phươngtrìnhđườngthẳng
CD
.
Câu7(1,0điểm).
Trongkhônggian Oxyz ,chohaimặtphẳng
( ) ( )
: 3 0, : 1 0P x y z Q x y z + + - = - + - =
Viếtph ươngtrìnhmặtphẳng
( )
R
vuônggócvới
( )
P
và
( )
Q
đồngthờikhoảngcáchtừgốctọa
độ
O
đến
( )

R
bằng 2.
Câu8(1,0điểm).
Giải hệ phươngtrình:
3 3 2
2
6 3 3 4
6 19 2 3 4 3 5 14
x y x y x
x y x y
ì
- + - = +
ï
í
+ + = + + +
ï
î
.
Câu9(1,0điểm).
Cho , ,a b c làcácsốthựcdương thỏamãn
2 2 2
1a b c + + =
.Chứngminhbấtđẳngthức:
( )
1 1 1
2 3a b c
a b c
æ ö
+ + - + + ³
ç ÷

è ø
 Hết
Thísinhkhô ngđượcsửdụngtàiliệu.Cánbộcoithikhôngg iải thíchgìthêm.
SỞGD&ĐT
TRƯỜNGTHPT
CHUYÊNVĨNHPHÚC
ĐỀKHẢOSÁTCHẤTLƯỢNG
CÁCMÔNTHITHPTQUỐCGIALẦN3NĂMHỌC2014 -2015
MÔN:TOÁNKHỐI:12D
Thờigian180phút(Khôngkểthờigiangiaođề)
Đềthigồm01trang
22
1
TRNGTHPTCHUYấNVNHPHC.
(Hngdnchmcú5trang)
HNGDNCHMKSCL LN3 NM2015
Mụn:TON 12D
I.LU íCHUNG:
Hngdnchmchtrỡnhbymtcỏc hgiivinhn gýcbnphicú.Khichmbihcsinhlm
theocỏchkhỏcnuỳngvýthỡvnchoimtia.
imton bitớnhn0,25vkhụnglmtrũn.
Vibihỡnhhckhụnggiannuthớsinhkhụngvhỡnhhocvhỡnhsaithỡkhụngchoimtng
ngviphnú.
II.PN:
Cõu í Nidungtrỡnhby im
a
Chohms.
2
1
x

y
x
=
-
a)Khosỏtsbinthiờnvvth
( )
C cahms
1,0
ồ
ã Tpxỏcnh:Hms
2
1
x
y
x
=
-
cútpxỏcnh D =
{ }
\ 1Ă
.
ã Chiubin thiờn.
ohm:
( )
2
2
' 0, 1
1
y x
x

-
= < " ạ ị
-
Hmsnghchbi ntrờncỏckhong
( )
1 -Ơ v
( )
1 . +Ơ
Hmskhụngcúcctr.
0,25
Giihn timcn:
1 1
2 2 2
lim 2 lim lim .
1 1 1
x
x x
x x x
x x x
+ -
đƠ
đ đ
= = +Ơ = -Ơ
- - -
thhmscú: timcnngang 2y = , timcn ng 1x =
Bngbinthiờn:
x
1 -Ơ + Ơ
y
Â

- -
y
2
+Ơ
-Ơ
2
0,25
0,25
ã th: (hcsinhtvhỡnh)
Nhnxột:giao im cahaitimcn
( )
11I l tõmixng.cat h
0,25
b
Xỏc nh
m
ngthng : 2d y mx m = - + ct
( )
C
tihaiimphõnbit ,A B sao
chodi AB ngnnht.
1, 0
ồ
Phngtrỡnhhonh giaoimchunggia
( ) ( )
&C d
l:
2
2
1

x
mx m
x
= - +
-
( ) ( )
2
1
2 2 0 *
x
g x mx mx m
ạ
ỡ
ù

ớ
= - + - =
ù
ợ
0,25
1
d ct
( )
C tihaiimphõnbit ,A B phngtrỡnh
( )
* cú
2
nghimphõnbitkhỏc
( )
( )

( )
2
0
1 2 0 0 **
1 2 2 0
m
m m m m
g m m m
ỡ
ạ
ù
Â
D = - - > >
ớ
ù
= - + - ạ
ợ
Khiú
( ) ( ) { }
C d A B ầ = ạ .Gi
( ) ( )
1 1 2 2
2 , 2A x mx m B x mx m - + - + vi
1 2
,x x l
0,25
2
nghiờmphngtrỡnh
( )
*

theonhlớviộttacú
1 2
1 2
2
2
.
x x
m
x x
m
+ =
ỡ
ù
ớ -
=
ù
ợ
( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2 2
1 2 1 2 1 2
1AB x x mx mx m x x ị = - + - = + -
( )
( )
2
2 2
1 2 1 2
1 4AB m x x x x

ộ ự
ị = + + -
ở ỷ
0,25
( ) ( )
2 2 2 2
2 8 1
1 2 4 1 8 16
m
AB m m m
m m m
ộ ự
-
ổ ử ổ ử
= + - = + = +
ỗ ữ ỗ ữ
ờ ỳ
ố ứ ố ứ
ở ỷ
4AB ị
dubngxyra
1m =
.
Vykhongcỏch AB ngnnhtbng
4 1m =
0,25
Giiphngtrỡnh : sin 4 2 cos3 4sin cosx x x x + = + +
1,0
ồ
Phng trỡnh 4sin cos cos 2 2 2cos 2 cos 4sinx x x x x x + = + 0,25

( )
2sin 1 cos 2 cos cos 2 cos 1 0x x x x x - + - =
( )( )
1
sin
2sin 1 1 cos 2 cos 0
2
1 cos 2 cos 0
x
x x x
x x
ộ
=
ờ
- - =
ờ
- =
ở
0,25
+
( )
1 5
sin 2 , 2 ,
2 6 6
x x k x k k
p p
= = + p = + p ẻÂ
+
( )
( )

3 2
1 cos2 cos 0 2cos cos 1 0 cos 1 2cos 2cos 1 0x x x x x x x - = - - = - + + =
( )
cos 1 0 cos 1 2 ,x x x k k - = = = p ẻÂ
0,25
2
Vyphng trỡnh cú ba hnghim:
( )
5
2 , 2 , 2 ,
6 6
x k x k x k k
p p
= + p = + p = p ẻÂ
0,25
Tớnh
ln6
0
3 3 2 7
x
x x
e
I dx
e e
= ì
+ + +
ũ
1,0
ồ
t 3

x
e t + = .Khiú
2
3 2
x x
e t e dx tdt = - ị = .
icnKhi 0 2x t = ị = ,khi ln 6 3x t = ị =
0,25
Suyra
( )
3 3
2
2
2 2
2
2
2 3 1
3 2 3 7
t t
I dt dt
t t
t t
= ì = ì
+ +
+ - +
ũ ũ
0,25
( )( )
3 3
2 2

1 1
2 2
1 2 1 1 2 1
t
I dt dt
t t t t
ổ ử
= ì = - ì
ỗ ữ
+ + + +
ố ứ
ũ ũ
0,25
3
( ) ( )
3 3
2 2
80
2ln 1 ln 2 1 2ln 4 2 ln 3 ln 7 ln 5 ln
63
t t = + - + = - - - =
0,25
a
Giiphngtrỡnh:
1
3 18.3 29
x x + -
+ =
0,5
ồ

PT
( )
2
18
3.3 29 3.3 29.3 18 0 1
3
x x x
x
+ = - + =
t
( )
3 0
x
t t = > . Thvopt
( )
1 tacphngtrỡnh:
( )
2
3 29 18 0 2t t - + =
Gii
( )
2
2
9,
3
t t ị = =
0,25
4
+
2

9 3 9 3 2
x
t x = ị = = =
+
3
2 2 2
3 log
3 3 3
x
t x = ị = =
0,25
3
Vyphng trỡnh cú hainghim
3
2
2, log
3
x x = =
b
Tớnhtng
1 2 3 2015
2015 2015 2015 2015
1. 2. 3. 2015.S C C C C = + + + + L
0,5
ồ
Shngtng quỏtcadóytrờn l
2015
k
k C ì
vi

1, 2015k =
, ta cú
( ) ( ) ( )
( )
1
2015 2014
2015! 2014!
2015 2015 , 1,2015
! 2015 !
1 ! 2014 1 !
k k
k C k C k
k k
k k
-
ì = ì = ì = ì " =
-
- - -
0,25
pdng:
( )
0 1 2 2014
2014 2014 2014 2014
2015S C C C C = ì + + + + L
( )
2014
2014
2015 1 1 2015 2S = ì + = ì
Chỳý. Hcsinh cú thựngohm cahmstớnhtng S
0,25

Chohỡnhchúp
.S ABCD
cúỏy
ABCD
lhỡnhvuụngcnh
a
,.Tớnhtheo
a
th
tớchkhichúp
.S ABCD
vkhongcỏchgiahaingthng
SA
v
CD
.
1,0
ồ
Hỡnh v( hcsinhtv)
Gi H ltrngtõmtam giỏc ABD
( )
ã
( )
( )
0
, , 60SH ABCD SBH SB ABCD ị ^ = =
Gi
{ }
O AC BD = ầ
.Ta cú

2 2
2 1 2 5
,
2 3 6 3
a a a
OA OB OH OA BH OB OH = = = = ị = + =
0,25
5
Trongtamg iỏc
SBH
ta cú
3
0 2
.
15 1 15
.tan 60 , .
3 3 9
ABCD S ABCD ABCD
a a
SH BH S a V SH S = = = ị = =
0,25
Xỡ
( )
AB CD CD SAB ị nờnta cú
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )

, , , 3 , d CD SA d CD SAB d D SAB d H SAB = = =
{ }
,DH AB M HM AB M ầ = ị ^
ltrungim AB
( ) ( ) ( )
AB SHM SAB SHM ị ^ ị ^
theogiaotuyn
SM
. K
HK SM ^ ị
( )
HK SAB ^
( )
( )
,HK d H SAB ị = ,( K SM ẻ )
0,25
1 1 1
2
3 3
2 2
a
HM HA a
ổ ử
= = =
ỗ ữ
ố ứ
,
2 2 2
15 1 1 1
3

a
SH
HK HM SH
= ị = +
2 2 2
1 9 16 15
15 12
a
HK
HK a a
ị = + ị = .
Võy khong cỏchgiahaingthng
SA
v
CD
bng
15
12
a
0,25
Trong mt phng ta Oxy cho ng trũn
( )
2 2
: 9 18 0T x y x y + - - + = sao
cho ABCD lmthỡnhbỡnhhnh.VitphngtrỡnhngthngCD .
1,0
ồ
Ta cú
( )
2 2

1 9 10
:
2 2 4
T x x
ổ ử ổ ử
- + - =
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
nờn
( )
T
cú tõm
1 9

2 2
I
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
bỏn kớnh
10
2
R =
0,25
6
( )
1 2 , 5AB AB = - - =
uuur
, v
( )

: 2 7 0AB x y - - =
.
ngthng
( )
: 2 0CD AB CD x y m ị - + = ( iukin 7m ạ - )
0,25
Khongcỏcht I n
CD
l
2 7
2 5
m
h
-
= v
( )
2
2 2
2 7
5
2 2
2 20
m
CD R h
-
= - = -
0,25
4
Ta có
( )

( )
2
2
6
2 7
5
2 5 2 7 25
1
2 20
m
m
CD AB m
m
=
-
é
= Û - = Û - = Û
ê
=
ë
thỏamãn
( )
6 :2 6 0m pt CD x y · = - + =
( )
1 : 2 1 0m pt CD x y · = - + =
Cóhaiđườngthẳngthỏamãn: 2 6 0; 2 1 0x y x y - + = - + =
0,25
…chohaimặtphẳng
( ) ( )
: 3 0, : 1 0P x y z Q x y z + + - = - + - = .Viếtphươngtrìnhmặt

phẳng
( )
R
vu ông góc với
( )
P
và
( )
Q
đồng thời khoảng cách từ gốc tọa độ
O
đến
( )
R
bằng 2.
1,0
å
( ) ( )
: 3 0, : 1 0P x y z Q x y z + + - = - + - =
VTPT củamặtphẳng
( )
P
là
( )
1
1;1;1n =
r
,VTPT củamặtphẳng
( )
Q

là
( )
2
1; 1;1n = -
r
,
VTPT củamặtphẳng
( )
R
là
n
r
.
0,25
7
Giảthiết
( ) ( )
( ) ( )
[ ]
( )
1
1 2
2
1
, 1;0; 1
2
R P
n n
n n n
n n

R Q
^ ì
^
ì
ï
Þ Þ = = -
í í
^
^
î ï
î
r r
r r r
r r
Dođó mặtphẳng
( )
: 0R x z m - + =
0,25
Mà
( )
( )
; 2 2 2 2
2
m
d O R m = Û = Û = ±
0,25
Khi 2 2m = ta cómặtphẳng
( )
: 2 2 0R x z - + =
Khi 2 2m = - ta có mặtphẳng

( )
: 2 2 0R x z - - =
0,25
Giảihệphươngtrình:
( )
( )
3 3 2
2
6 3 3 4 1
6 19 2 3 4 3 5 14 2
x y x y x
x y x y
ì
- + - = +
ï
í
+ + = + + +
ï
î
.
1,0
å
Đkiện
4
3
14
5
x
y
ì

³ -
ï
ï
í
ï
³ -
ï
î
.
pt
( )
1 Û
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2
3 2
0
1 3 1 3 1 1 1 3 0x x y y x y x x y y
>
é ù
ê ú
- + - = + Û - - - + - + + = é ù
ë û
ê ú
ë û
14444244443
( ) ( )
1 0 1 3x y y x Û - - = Û = -
0,25
8
Thế

( )
3 vào
( )
2 tađược:
2
6 13 2 3 4 3 5 9x x x x + + = + + +
( )
4 Đ/K
4
3
x ³ -
( )
4
( )
( ) ( )
2
2 2 3 4 3 3 5 9 0x x x x x x
é ù é ù
Û + + + - + + + - + =
ë û ë û
0,25
( )
2 2
2
2 3 0
2 3 4 3 5 9
x x x x
x x
x x x x
+ +

Û + + × + × =
+ + + + + +
( )
2
0
2 3
1 0
2 3 4 3 5 9
x x
x x x x
>
é ù
ê ú
Û + + + =
ê ú
+ + + + + +
ê ú
ë û
144444424444443
0,25
5
( )
( )
3
2
3
0 1
0
1 2
x y

x x
x y
é
= ¾¾® = -
Û + = Û
ê
= - ¾¾® = -
ê
ë
( thỏa mãnđiềukiện)
Vậyhệ phương trình cóhainghiệm
( ) ( ) ( )
{ }
; 0; 1 , 1; 2x y = - - -
0,25
Cho
, ,a b c
làcácsốthựcdươngthỏamãn
2 2 2
1a b c + + =
.Chứngminhbất đẳngthức
( )
1 1 1
2 3a b c
a b c
æ ö
+ + - + + ³
ç ÷
è ø
1,0

å
Nhậnxét:
( )
2
1 4 3
2 3 , 1
3
a a
a
- + ³ - + vớimọi
0 1a < <
dấubằngkhi
3
3
a =
thật
vậy
( )
( ) ( )
2
3 2
1 6 3 4 3 0 3 1 2 3 0a a a a a Û - - + ³ Û - + ³
luôn đúng với mọi
0 1a < <
dấubằngkhi
3
3
a =
0,25
0,25

9
Tươngtự:
( )
2
1 4 3
2 3 , 2
3
b b
b
- + ³ - + dấu bằngkhi
3
3
b =
( )
2
1 4 3
2 3 , 3
3
c c
c
- + ³ - + dấubằngkhi
3
3
c =
0,25
Từ:
( )
( )
2 2 2
1 1 1 4 3

2 3 3
3
a b c a b c
a b c
æ ö
- + + + + + ³ - + + + ×
ç ÷
è ø
( )
1 1 1
2 3a b c
a b c
æ ö
Û + + - + + ³
ç ÷
è ø
.Dấubằngxẩyrakhi
3
3
a b c = = =
0,25
Chúý: đểtìmravếphảicủa (1) tasửdụngphương pháptiếptuyến