- Trang chủ >>
- Tuyển sinh lớp 10 >>
- Toán
Tuyển Tập 300 Đề Thi Bồi Dưỡng HSG Toán 9 Cấp Tỉnh
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (13.91 MB, 214 trang )
Ti Liu Bi Dưng HSG Ton 9
Câu I 1) Giải phương trình
1213 =−++ xx
2) Giải hệ phương trình
+=
++
=+++
xy
xy
y
x
yx
yx
11
2
3
4
1
2
911
Câu II 1) Giả sử a; b; c là các số thực khác 0 thỏa mãn (a+b)(b+c)(c+a)=8abc
Chứng minh rằng
( )( ) ( )( ) ( )( )
baac
ca
accb
bc
cbba
ab
ca
c
cb
b
cb
a
++
+
++
+
++
+=
+
+
+
+
+ 4
3
2) Có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số
abcde
sao cho
( )
edabc +− 10
chia hết cho
101?
Câu III Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) và AB<AC.Đường phân giác của góc BAC cắt (O)
tại D khác A .Gọi M là trung điểm AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O.Giải sử đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khác A
1) Chứng minh rằng tam giác BDM và tam giác BFC đồng dạng
2)Chứng minh
ACEF ⊥
Câu IV Giả sử a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc+bcd+cda+dab=1
Tìm giá trị nhior nhất cảu biểu thức
( )
3333
94 ccbaP +++=
Câu I 1) Giải hệ phương trình
=−+
+−+=+
77
1
33
yxxy
xyxyyx
2) Giải phương trình
xxxx −++=−++ 11313
2
Câu II 1) Giải phương trình nghiệm nguyên (x,y) :
2041285
22
=+ yx
2) Với x, y là các số thực dương thỏa mãn
1≤+ yx
.Tìm giá trị cực tiểu của biểu thức
22
1
11
yx
yx
P +
+=
Câu III . Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) có trực tâm H.Gọi P là điểm nằm trên đường tròn
ngoại tiếp tam giác HBC ( P khác B,C,H ) và nằm trong tam giác ABC .PB cắt (O)tại M khác B.
PC cắt (O) tại N khác C.BM cắt AC tại E, CN cắt AB tại F .Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME
và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt nhau tại Q khác A
1) Chứng minh rằng M,N,Q thẳng hàng
2) Giả dụ AP là phân giác góc MAN .Chứng minh PQ đi qua trung điểm của BC
Câu IVGiả dụ dãy số thực có thứ tự
192321
xxxx ≤≤≤≤
Thỏa mãn điều kiện
=++++
=++++
2013
0
192321
321
xxxx
xxxx
n
Chứng minh rằng
96
2013
1192
≥− xx
Câu I. 1) Giải phương trình
( )( )
692012620129
+++=+++
xxxx
2)Giải hệ phương trình
=++
=++
42
42
22
xyyx
yyx
1
1
Ti Liu Bi Dưng HSG Ton 9
Câu II. 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên
( )
yx;
thỏa mãn đẳng thức:
( )( ) ( )
yxyxxyyx
++=++++
251
2) Giả sử x, y la các số thực dương thỏa mãn điêu kiện
( )( )
411
≥++
yx
Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
x
y
y
x
P
22
+=
Câu III.Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O .Gọi M là một điểm trên cung nhỏ
BC ( M khác B,C và AM không đi qua O).Giả sử P là một điểm thuộc đoạn thẳng AM sao cho
đường tròn đường kính MP cắt cung nhỏ BC tại điểm N khác M.
1)Gọi D là điểm đối xứng với điểm M qua O .Chứng minh rằng N,P,D thẳng hàng
2)Đường tròn đường kính MP cắt MD tại Q khác M.Chứng minh rằng P là tâm đườn tròn
nội tiếp tam giác AQN.
Câu IV. Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn
cbabccba
≥++≥≤≤≤
;1;3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
)1)(1)(1(
)1(2
+++
−+++
=
cba
abcbaab
Q
Câu 3: Cho tam giác nhọn ABC(AB>AC) nội tiếp đường tròn tâm (O). Giả sử M,N là 2 điểm trên
cung nhỏ BN thỏa mãn MN song song với BC và AN là tia nằm giữa 2 tia AM,AB. P là hình
chiếu vuông góc của C trên AN, Q là h/c vuông góc of M trên AB
a/ Giả sử CP giao QM tại T. C./m T nằm trên (O)
b/ NQ giao (O) tại R khác N. Giả sử AM giao PQ tại S. C.m: A,R,Q,S thuộc 1 dường tròn
!"#$!%&'
Câu I. 1) Giải hệ phương trình
( )
2
2
1 3
( 2) 1 .
x y x y
y x y x
− + + =
− + = +
2
2
Ti Liu Bi Dưng HSG Ton 9
2) Giải phương trình
2
3 7
.
2( 1)
x
x
x x
+
+ =
+
Câu II. 1) Chứng minh rằng không tồn tại các bộ ba số nguyên
( , , )x y z
thỏa mãn đẳng
thức
4 4 4
7 5.x y z+ = +
2) Tìm tất cả các cặp số nguyên
( , )x y
thỏa mãn đẳng thức
4 4 3
( 1) ( 1)x x y+ − − =
.
Câu III. Cho hình bình hành
ABCD
với
·
90 .BAD <
o
Đường phân giác của góc
·
BCD
cắt
đường tròn ngoại tiếp tam giác
BCD
tại
O
khác
C
. Kẻ đường thẳng
( )d
đi qua
A
và
vuông góc với
CO
. Đường thẳng
( )d
lần lượt cắt các đường thẳng
,CB CD
tại
,E F
.
1) Chứng minh rằng
OBE ODC
∆ = ∆
.
2) Chứng minh rằng
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
CEF
.
3) Gọi giao điểm của
OC
và
BD
là
,I
chứng minh rằng
. . . .IB BE EI ID DF FI
=
.
Câu IV. Với
,x y
là những số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3
3 3 3 3
4
8 ( )
x y
P
x y y x y
= +
+ + +
.
Câu I. 1) Giải phương trình
( ) ( )
1 13 1xx x − ++ − =
.
2) Giải hệ phương trình
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
1 .
2
4x y xy
x y x y
x y
+ +
+ =
=
Câu II. 1) Với mỗi số thực
a
ta gọi phần nguyên của
a
là số nguyên lớn nhất không vượt quá
a
và ký hiệu là
[ ]
a
. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương
n
, biểu thức
2
3
1 1
27 3
n n
+ − +
không biểu diễn được dưới dạng lập phương của một số nguyên
dương.
2) Với
, ,x y z
là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức
5xy yz zx+ + =
, tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
.
3 3 2
6( 5) 6( 5) 5
x y z
x y z
P
+ +
+ + + + +
=
Câu III. Cho hình thang
ABCD
với
BC
song song
.AD
Các góc
·
BAD
và
·
CDA
là các góc nhọn.
Hai đường chéo
AC
và
BD
cắt nhau tại
.I
P
là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng
BC
(
P
không trùng với
,B C
). Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác
BIP
cắt đoạn thẳng
PA
tại
M
khác
P
và đường tròn ngoại tiếp tam giác
CIP
cắt đoạn thẳng
PD
tại
N
khác
.P
1) Chứng minh rằng năm điểm
, , , ,A M I N D
cùng nằm trên một đường tròn. Gọi
đường tròn này là
( ).K
2) Giả sử các đường thẳng
BM
và
CN
cắt nhau tại
,Q
chứng minh rằng
Q
cũng nằm
trên đường tròn
( ).K
3) Trong trường hợp
, ,P I Q
thẳng hàng, chứng minh rằng
.
PB BD
PC CA
=
Câu IV. Giả sử
A
là một tập con của tập các số tự nhiên
.¥
Tập
A
có phần tử nhỏ nhất là
1,
phần tử lớn nhất là
100
và mỗi
x
thuộc
A
( )
1 ,x ≠
luôn tồn tại
,a b
cũng thuộc
A
sao cho
x a b= +
(
a
có thể bằng
b
). Hãy tìm một tập
A
có số phần tử nhỏ nhất
3
3
Ti Liu Bi Dưng HSG Ton 9
Câu IGiải hệ phương trình
=+
=++
.2
231283
22
22
yx
xyyx
1) Giải phương trình
.183124312
32
++=+−++ xxxx
Câu II Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức
( )( )
( )( )
.2512411
22
=++++++ xyyxxyyx
1) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a
và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có.
( )
n
nn
nn
=
+
++
++
1
1
3.2
7
2.1
3
2
Câu III
Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng tiếp xúc với đương tròn
(O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc
0
30=ACB
. Gọi H là giao điểm thứ hai của đường thăng BC
với đường tròn (O).
1) Tính độ dài đương thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BC theo R.
2) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại điểm N
(khác B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một đường tròn và
tâm đường tròn đó luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên đoạn
thẳng AC.
Câu IVVới a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức
4
9
)1)(1( =++ ba
, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
44
11 baP +++=
.
Câu IGiải phương trình
4133 =+++ xx
1) Giải hệ phương trình
( )( )
=−++
=++
.1123
26225
22
yxyxx
xyyx
Câu II Tìm tất cả các số nguyên dương n để
391
2
+n
là số chính phương.
1) Giả sử x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện
1=++ zyx
. Chứng minh
rằng
.1
1
22
22
≥
+
+++
xy
yxzxy
Câu III
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là điểm nằm trong tam giác. Kí hiệu H là hình
chiếu của M trên cạnh BC và P, Q, E, F lần lượt là hình chiếu của H trên các đường thẳng MB,
MC, AB, AC. Giả sử bốn điểm P, Q, E, F thẳng hàng.
1) Chứng minh rằng M là trực tâm của tam giác ABC.
2) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp.
Câu IV
Trong dãy số gồm 2010 số thực khác 0 được sắp xếp theo thứ tự
201021
, ,, aaa
, ta đánh dấu
tất cả các số âm và tất cả các số mà tổng của nó với một số liên tiếp liền ngay sau nó là một số
dương. (Ví dụ với dãy số -8,-4,-1,2,-1,2,-3, ,-2005 thì các số được đánh dấu là
2,1,4,4
5432
=−==−=
aaaa
).
Chứng minh rằng nếu trong dãy số đã cho có ít nhất một số dương thì tổng của tất cả các số
được đánh dấu là một số dương.
(
4
4
Ti Liu Bi Dưng HSG Ton 9
Câu I.1) Giải phương trình
122
22
+−=+−
xxxx
2) Giải hệ phương trình
+=+
=+−
33
1
2
22
yyx
xyyx
Câu II.1) Tìm chữ số tận cùng của chữ số
2009613
2009613 ++
2) Với a, b là những chữ số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
)54()54( abbbaa
ba
P
+++
+
=
Câu III.
Cho hình thoi ABCD. Gọi H là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Biết rằng bán
kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng a và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD
bằng b.
1) Chứng minh rằng
b
a
BH
AH
=
2) Tính diện tích hình thoi ABCD theo các bán kính a, b
Câu IV.
Với a, b, c là những số thực dương, chứng minh rằng
5
148314831483
22
2
22
2
22
2
cba
caac
c
bccb
b
abba
a
++
≥
++
+
++
+
++
(
Câu I.1) Giải phương trình
353684163514
2
+++=+++
xxxx
2) Chứng minh rằng
14)12(4
12
34
3
14
1
2
2
444
+
=
−+
−
++
+
+
+ n
n
n
n
Với mọi n
nguyên dương
Câu II.
1) Tìm chữ số nguyên dương n sao cho tất cả các số
n + 1, n + 5, n + 7, n + 13, n + 17, n + 25, n + 37 Đều là nguyên tố
2) Mỗi lần cho phép thay thế cặp số (a,b) thuộc tập hợp
{ }
)8,78(),62,6(),32,4(),2,16(=M
bằng cặp số (a + c, b + d)
trong đó cặp số (c, d) cũng thuộc M. Hỏi sau một số hữu hạn lần thay thế ta có thể nhận được tập
hợp các cặp số
{ }
)912,2240(),2176,1056(),2104,844(),702,2018(
1
=M
hay không?
Câu III.
Cho đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Trên đường thẳng
AB ta lấy một điểm M bất kỳ sao cho điểm A nằm trong đoạn BM
( )
AM ≠
.Từ điểm M kẻ tới
đường tròn (O’) các tiếp tuyến MC và MD (C và D là các tiếp điểm, C nằm ngoài (O)). Đường
thẳng AC cắt lần thứ hai đường tròn (O) tại điểm P và đường thẳng AD cắt lần thứ hai đường tròn
(O) tại Q. Đường thẳng CD cắt PQ tại K.
1) Chứng minh rằng hai tam giác BCD và BPQ đồng dạng
2) Chứng minh rằng khi M thay đổi thì đường tròn ngoại tiếp tam giác KCP luôn đi qua
điểm cố định.
Câu IV. Giả sử x,y,z là những số thực thoả mãn điều kiện
2,,0 ≤≤ zyx
và x+ y + z = 3
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức :
( )
)1)(1(112
444
zyxzyxM
−−−+++=
5
5
Ti Liu Bi Dưng HSG Ton 9
)*+
6
6
Ti Liu Bi Dưng HSG Ton 9
,)*+
Câu 1 (2 điểm). Cho biểu thức P = + ∙ với a > b > 0.
a) Rút gọn P. b/ Biết a − b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Câu 2 (2 điểm). Trên quãng đường AB dài 210 km, tại cùng một thời điểm, một xe máy
khởi hành từ A đi về B và một ô tô khởi hành từ B đi về A. Sau khi gặp nhau, xe máy đi
tiếp 4 giờ nữa thì đến B và ô tô đi tiếp 2 giờ 15 phút nữa thì đến A. Biết rằng xe máy và ô
tô không thay đổi vận tốc trên suốt chặng đường. Tính vận tốc của xe máy và của ô tô.
Câu 3 (2 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y = − x và đường thẳng
(d) : y = mx − n − 2 (m là tham số).
a)
Chứng minh rằng khi m thay đổi, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có
hoành độ x, x .
b)
Tìm m để |x − x| = .
Câu 4 (3 điểm). Cho tam giác ABC. Đường tròn (
ω
) có tâm O và tiếp xúc với các đoạn
thẳng AB, AC tương ứng tại K, L. Tiếp tuyến (d) của đường tròn (
ω
) tại điểm E thuộc
cung nhỏ KL, cắt các đường thẳng AL, AK tương ứng tại M, N. Đường thẳng KL cắt OM
tại P và cắt ON tại Q.
a) Chứng minh góc MON = 90 − góc BAC.
b) Chứng minh rằng các đường thẳng MQ, NP và OE cùng đi qua một điểm.
c) Chứng minh KQ.PL = EM.EN
Câu 5 (1 điểm). Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện (x − y) = x + y.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y.
7
7
Ti Liu Bi Dưng HSG Ton 9
Câu 1(1,5 điểm): Giải phương trình:
2 2 2
2 2 2 1 2 4 4 0x x x x x x
+ + + − + + − =
Câu 2(2 điểm):
a) Cho các số a,b,c đôi một phân biệt thỏa mãn:
2 2
( ) ( ) 2012a b c b a c+ = + =
Tính giá trị của biểu thức:
2
( )M c a b
= +
b) Cho 5 số nguyên dương đôi một phân biệt sao cho mỗi số dương trong chúng không có ước số
nguyên tố nào khác 2 và 3. Chứng minh rằng trong 5 số đó tồn tại 2 số mà tích của chúng là một
số chính phương.
Câu 3(2 điểm):
Cho n số thực
1 2
, , ,
n
x x x
với
3n
≥
. Kí hiệu
}
{
1 2
, , ,
n
Max x x x
là số lớn nhất trong các số
1 2
, , ,
n
x x x
.Chứng minh rằng:
}
{
1 2 2 3 1 1
1 2
1 2
, , ,
2
n n n
n
n
x x x x x x x x
x x x
Max x x x
n n
−
− + − + + − + −
+ + +
≥ +
Câu 4(1,5 điểm):
Trong một lớp học có 36 bàn học cá nhân, được xếp thành 4 hàng và 9 cột(Các hàng được đánh số
từ 1 đến 4, các cột được đánh số từ 1 đến 9). Sĩ số học sinh của lớp là 35. Sau một học kì cô giáo
chủ nhiệm xếp lại chỗ ngồi cho các bạn học sinh trong lớp. Đối với mỗi học sinh của lớp, giả sử
trước khi chuyển chỗ, bạn ngồi ở hàng thuộc hàng thứ m , cột thứ n và sau khi chuyển chỗ, bạn
ngồi ở hàng thuộc hàng
m
a
, cột thứ
n
a
, ta gắn cho bạn đó số nguyên(
m
a
+
n
a
)
( )
m n
− +
. Chứng
minh tổng của 35 số nguyên gắn với 35 bạn học sinh không vượt quá 11.
Câu 5: Cho chình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O). Điểm M thuộc cung nhỏ CD của (O), M
khác C và D. MA cắt DB, DC theo thứ tự tại X,Z; MB cắt CA, CD theo thứ tự tại Y, T; CX cắt
DY tại K.
a) Chứng minh rằng:
·
·
·
·
MXT TXC,MYZ ZYD
= =
và
·
0
CKD 135=
.
b) Chứng minh rằng:
1
KX KY ZT
MX MY CD
+ + =
c) Gọi I là giao điểm của MK và CD. CMR: XT, YZ, OI cùng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác KZT.
/01
Câu 1: Cho biểu thức
xxyyx
yxx
xxyy
yyx
xy
yx
A
+++
−++
−+
−++
+
−
−
=
2
224
22
22
444
:
2
2
2
.
Với
2
22;2;0;0 xyyxyx −≠≠>>
1. Rút gọn biểu thức A 2. Cho y = 1 hãy tính x để
5
2
=A
Câu 2: Một nhóm công nhân đặt kế hoạch sản xuất 200 sản phẩm. Trong 4 ngày đầu họ thực hiện
đúng mức đề ra, những ngày còn lại họ làm vượt mức mỗi ngày 10 sản phẩm, nên đó hoàn thành
sớm 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày nhóm công nhân cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm.
Câu 3 :
Cho Parabol (P) : y= x
2
và đường thẳng (d) y=mx - m
2
+ 3 (m là tham số ). Tính tất cả các giá trị
m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x
1
; x
2
. Với giá trị nào
của m thỡ x
1
; x
2
là độ dài cạnh góc vuông của tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng
2
5
.
8
8
Ti Liu Bi Dưng HSG Ton 9
Câu 4 : Cho đường tròn (O) đường kính AB=10. Dây cung CD vuông góc với AB tại điểm E sao
cho AE =1. Các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại K, AK và CE cắt nhau tại
M. 1.Chứng minh tam giác AEC đồng dạng với tam giác OBK .Tính BK
2. Tính diện tích tam giác CKM.
Câu 5:Cho hình thoi ABCD có
·
BAD
=120
0
. Các điểm M, N chạy trên cạnh BC và CD tương ứng
sao cho
·
MAN
=30
0
. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MAN chạy trên đường
thẳng cố định.
Câu 6: Chứng minh bất đẳng thức:
1 1 1 1
4
1 2 3 4 5 6 79 80
+ + + + >
+ + + +
#-*23
.4
Câu 1 Cho
8
2
8
1
2
2
1
−+=
a
1.Chứng minh rằng
0224
2
=−+
aa
2. Tính giá trị của biểu thức
1
42
+++=
aaaS
Câu 2
1.Giải hệ phương trình
−=+
=
+
++
yxyx
yx
xy
yx
2
22
1
2
2. Cho 2 số hữu tỷ a,b thỏa mãn đẳng thức :
01222
2233
=+++++ babaabba
Chứng minh rằng 1-ab là bình phương của một số hưũ tỷ.
Câu 3 Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng
222
cbap ++=
với a, b, c là các số nguyên dương sao
cho
444
cba
++
chia hết cho p
Câu 4 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) , BE và CF là các đường cao .Các tiếp
tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại S các đường thẳng BC và OS cắt nhau tại M
1.Chứng minh
ME
BS
AE
AB
=
2. Chứng minh tam giác AEM đồng dạng với tam giác ABS
3.Gọi N là giao điểm của AM và EF ,P là giao điểm của AS và BC .
Chứng minh NP vuông góc với BC
Câu 5 Trong một hộp có chứa 2011 viên bi màu ( mỗi viên bi có đúng 1 màu) ,trong đó có 655 viên bi
màu đỏ ,655 viên bi màu xanh , 656 viên bi màu tím và 45 viên bi còn lại là viên bi màu vàng hoặc màu
trắng ( mỗi màu ít nhất 1 viên). Người ta lấy ra từ hộp 178 viên bi bất kì .Chứng minh rằng trong số các
viên bi lấy ra luôn có ít nhất 45 viên bi cùng màu .Nếu người ta chỉ lấy ra 177 viên bi bất kì thì kết quả
bài toán còn đúng không ?
(
Câu 1: Cho biểu thức
64169220
24
++++= aaaA
B=a
4
+20a
3
+102a
2
+40a+200
a-Rút gọn A b- Tìm a để A+B=0
Câu 2:Hai công nhân cùng làm một công việc 18 h xong.Nếu người thứ nhất làm 6h và người thứ 2 làm
12 h thì được 50% công việc.Hỏi nếu làm riêng mỗi người hoàn thành công việc trên bao lâu?
Câu 3 : Cho Parabol y= x
2
và đường thẳng (d) có phương trình y=mx+1
9
9
Ti Liu Bi Dưng HSG Ton 9
a- Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A;B với mọi m
b- Gọi A(x
1
;y
1
) và B(x
2
;y
2
) .Tìm giá trị lớn nhất của
M=(y
1
-1)(y
2
-1)
Câu 4:Cho tam giác ABC với
10;53;5 === BCACAB
.Phân giác BK góc ABC cắt
đường cao AH;trung tuyến AM của tam giác ABC tại O và T (K
∈
AC;H, M
∈
BC)
a-Tính AH
b-Tính diện tích tam giác AOT
Câu 5: Các số thực x , y thoả mãn đẳng thức :
(
)
(
)
111
22
=++++
yyxx
Chứng minh x+y=0
(
Câu 1 Các số thực x, y thoả mãn
2≠xy
và
2−≠xy
. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ
thuộc vào x, y
333
3
3
22
3
22
2
.
222
2
4
22
−
−
+
+
−
+
−
=
xy
xy
xy
xy
xy
xy
yx
xy
P
Câu 2
1) Cho phương trình
0
2
=++ cbxx
, trong đó cá tham số b và c thoả mãn
đẳng thức b + c = 4. Tìm các giá trị của b và c để phương trình có hai nghiệm phân biệt
21
, xx
sao cho
2
2
21
xxx +=
Giả sử (x, y, z) là một nghiệm của hệ phương trình:
=++
=−+
1
3510
1
4123
zyx
zyx
Hãy tính giá trị của A = x + y + z
Câu 3 Ba số nguyên dương a, p, q thỏa mãn các điều kiện:
i) ap + 1 chia hết cho q.
ii) aq + 1 chia hết cho p.
Chứng minh
)(2 qp
pq
a
+
>
Câu 4
Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn (C không trùng với A, B và trung
điểm cung AB). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB. Đường tròn (O
1
) đường kính AH cắt CA
tại E, đường tròn (O
2
) đường kính BH cắt CB tại F.
1) Chứng minh tứ giác AEFB là tứ giác nội tiếp.
2) Gọi (O
3
) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB, D là điểm đối xứng của C qua O. Chứng
minh ba điểm H, O
3
, D thẳng hàng.
3) Gọi S là giao của các đường thẳng EF và AB, K là giao điểm thứ hai của SC với đường tròn
(O). Chứng minh KE vuông góc với KF.
Câu 5
Một hình vuông có độ dài bằng 1 được chia thành 100 hình chữ nhật có chu vi bằng nhau (hai hình
chữ nhật bất kỳ không có điểm chung). Kí hiệu P là chu vi của mỗi hình chữ nhật trong 100 hình chữ nhật
này.
1) Hãy chỉ ra một cách để chia P = 2,02.
2) Hãy tìm giá trị lớn nhất của P.
Câu 1:
4 3 2
4
2 7 6 2
3 1 (4 1) 4 29 78
2 1 6 6 3 12 36
x x x x x x
A x
x x x x x x
+ − − − + +
= − − ÷
÷ ÷ ÷
+ + − − + −
1. Rút gọn biểu thức A
2. Tìm tất các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên
Câu 2:
10
10
Ti Liu Bi Dưng HSG Ton 9
Cho hai đường thẳng (d1 ): y = (2m
2
+ 1 )x + 2m – 1 ,(d2): y = m
2
x + m – 2 Với m là tham số
1. Tìm toạ độ giao điểm I của d1 và d2 theo m
2. Khi m thay đổi, hãy chứng minh điểm I luôn thuộc đường thẳng cố định.
Câu 3 :
Giả sử cho bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn hệ
=+−+
+=+
)2(0107
)1(1
2
zzxy
zyx
1. Chứng minh x
2
+ y
2
= -z
2
+ 12z – 19
2. Tìm tất cả bộ số x,y,z sao cho x
2
+ y
2
= 17
Câu 4 :
Cho hình vuông ABCD có độ dài bằng cạnh a. Trong hình vuông đo lấy điểm K sao cho tam giác
ABK đều. Các đường thẳng BK và AD cắt nhau ở P.
1. Tính độ dài KC theo a
2. Trên AD lấy I sao cho
. 3
3
a
DI =
CI cắt BP ở H.
Chứng minh CHDP là nội tiếp.
3. Gọi M và L lần lượt là trung điểm CP và KD. Chứng minh LM =
2
a
Câu 5: Giải phương trình : (x
2
-5x + 1)(x
2
- 4) = 6(x-1)
2
Câu 1: 1.Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thoả mãn
22
11 abba −−−=−
Chứng minh rằng
1
22
=+
ba
2.Chứng minh rằng số
2222
20102010.20092009
++
là số nguyên dương
Câu 2:
Giả sử 4 số thực a , b, c, c, d đôi 1 khác nhau và thoả mãn hai điều kiện sau
i) Phương trình
052
2
=−−
dcxx
có 2 nghiêm a và b
ii) Phương trình
052
2
=−−
baxx
có 2 nghiêm c và d
Chứng minh rằng:
1. a – c = c – b = d - a
2. a + b + c + d = 30
Câu 3 Giả sử m và n là những số nguyên dương với n>1 .Đặt
nmnmS 44
22
+−=
Chứng minh rằng:
1. Nếu m>n thì
( )
422
2
2
2 nmSnmn
<<−
2. Nếu S là số chính phương thì m=n
Câu 4 Cho tam gíac ABC với AB>AC ,AB >BC.Trên cạnh AB của tam giác lấy
các điểm M và N sao cho BC=BM và AC=AN
1.Chứng minh điểm N thuộc đoạn thẳng BM
2.Qua M và N ta kẻ đường thẳng MP song song với BC và NQ song song
với CA
);( CBQCAP
∈∈
.Chứng minh CP=CQ.
3.Cho góc ACB = 90
0
, góc CAB = 30
0
và AB = a .
Tính diện tích tam giác MCN theo a.
Câu 5 Trên bảng đen viết ba số
2
1
;2;2
.Ta bắt đầu thực hiện trò chơi như sau :
Mỗi lần chơi ta xoá hai số nào đó trong ba số trên bảng ,giả sử là a và b rồi viết vào 2 vị trí vừa xoá hai
số mới
2
ba +
và
2
ba −
đồng thời giữ nguyên số còn lại .Như vậy sau mỗi lần chơi trên bảng luôn có ba
11
11
Ti Liu Bi Dng HSG Ton 9
s .Chng minh rng dự ta cú chi bao nhiờu ln i chng na thỡ trờn bng khụng ng thi cú ba s
21;2;
22
1
+
.
(
Cõu 1+%56/'Cho biu thc
3
3 2
3 2
3
3
3
3
3 2
3
2
4
.
2
2
2
2:
2
8
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
A
+
++
+
+
+
=
(
)0;8;8 xxx
Chng minh A khụng ph thuc bin s
Cõu 2 : (56/'
Cho phng trỡnh bc 2 : x
2
-2(m+1)x+4m-m
2
=0 ( tham s m)
1-Chng minh PT cú 2 nghim phõn bit vi mi m
2-Gi x
1
;x
2
l 2 nghim ca phng trỡnh .Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
21
xxM =
Cõu 3: %56/'
Gii h phng trỡnh
=+++
=++++
0424
0)(2
22
22
yxyx
xyyxyx
Cõu 4:(56/'
Trờn (O;R) ly 2 im A;B tu ý ;C thuc on AB (C khỏc A;B). K ng kớnh AD Cỏt
tuyn i qua C vuụng gúc vi AD ti H,ct (O) ti M; N. .ng thng i Qua Mv D ct AB ti
E.K EG vuụng gúc vi AD ti G
a-
Chng minh t giỏc BDHC,AMEG ni tip.
b-
Chng minh AM
2
=AC.AB
c-
Chng minh AE.AB+DE.DM=4R
2
Cõu 5: %56/' Vi x,y l s thc tho món: x + y + xy = 8
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P = x
2
+ y
2
7879:
;
Câu 1: (2điểm) Cho biểu thức
yxxy
yyxxyx
yxyxyx
A
33
33
:.
11211
+
+++
++
+
+=
1) Rút gọn A 2) Tìm x ; y biết
5;
36
1
==
Axy
Câu 2 : ( 2 điểm)
1) Giải hệ phơng trình :
( )( )
=++
=+
27452
54
22
xyyx
yx
2) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
xxy
++=
63
Câu 3: ( 2 điểm)
Cho phơng trình bậc 2 : x
2
- 2(m+1)x + 2m+10 =0 ( m là hằng số)
1)Tìm m để phơng trình có nghiệm .
2) Giả sử phơng trình có 2 nghiệm x
1
; x
2
.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
21
2
2
2
1
8 xxxxP ++=
Câu 4:(3 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O). Cho P là điểm bất kì trên đoạn BC sao cho
đờng tròn ngoại tiếp tam giác OBP cắt đoạn AB tại N khác B và đờng tròn ngoại tiếp tam giác
OCP cắt đoạn AC tại M khác C.
12
12
Ti Liu Bi Dng HSG Ton 9
1)
Chứng minh rằng
OMP=
OAC
2)
Chứng minh rằng
MPN=
BAC và
OBC+
BAC=90
0
3)
Chứng
minh rằng O là trực tâm tam giác PMN
Câu 5: ( 1 điểm) Giải phơng trình:
2
2
2
2
4
3
4
3
12 x
x
x
x
=+
Cõu 1 ( 2,0 im )
Cho biu thc
x 2x x 1 2
P : .
9 x
3 x x 3 x x
= +
ữ ữ
ữ ữ
+
1) Tỡm iu kin ca x P cú ngha v rỳt gn P.
2) Tỡm giỏ tr ca x P
4
3
=
Cõu 2 ( 2,0 im )
1) Tỡm cỏc s nguyờn x, y tha món x
2
+ 4x + 1 = y
4
.
2) Gii h phng trỡnh:
2 2
3
x xy y 3
x 3(y x) 1
+ + =
+ =
.
Cõu 3 ( 2,0 im )
Cho phng trỡnh n x: (m-10)x
2
+ 2(m-10)x + 2 =0
1) Tỡm m phng trỡnh trờn cú hai nghim x
1
; x
2
.
2) Chng minh rng khi ú ta cú:
3 3 2 2
1 2 1 2 1 2
x x x x x x 4+ + + <
Cõu 4 ( 3,0 im )
Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn v AB<AC v ng cao AD v ng phõn giỏc AO
ca tam giỏc ABC (D, O
BC) V ng trũn tõm O tim xỳc vi AB, AC ln lt ti M v N.
1) Chng minh rng D, O, M, N, A cựng thuc mt ng trũn.
2) Chng minh
ã
ã
BDM CDN
=
3) ng thng qua O vuụng gúc vi BC ct MN ti I. ng thng AI cỏt BC ti K. Chng
minh K l trung im ca BC.
Cõu 5 ( 1,0 im )
Cho a, b, c l cỏc s dng tha món iu kin a+b+c+ab+bc+ca=6. Chng minh rng:
3 3 3
2 2 2
a b c
3
b c a
+ + + + a b c
<=
Cõu 2: Cho a thc f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d. vi a l s nguyờn dng, bit: f(5) -
f(4) = 2012 . Chng minh: f(7) - f(2) l hp s.
Cõu 4:Cho t giỏc ABCD ni tip (O; R) cú AC vuụng gúc BD ti H. Trờn cnh AB ly im
M sao cho: AM = 1/3 AB. Trờn cnh HC ly trung im N. Chng minh MH vuụng gúc vi
DN.
Cõu 5: Cho ng trũn tõm O v ng trũn tõm I ct nhau ti hai im A v B(O v I khỏc
phớa i vi A v B). IB ct (O) ti E: OB ct (I) ti F. Qua B v MN // EF( M thuc (O) v N
thuc (I).
13
13
Ti Liu Bi Dng HSG Ton 9
a) Chng minh: T giỏc OAIE ni tip.
b) Chng minh: AE + AF = MN
Cõu 6: Trờn mt phng cho 2013 im tựy ý sao cho khi 3 im bt k thỡ tn ti 2 im m
khong cỏch
gia 2 im ú luụn bộ hn 1. Chng minh rng tn ti mt ng trũn cú bỏn kớnh bng 1
cha ớt nht 1007 im( k c biờn). .
.
>?
Bài 1: (2,0 điểm) Cho phơng trình
( )
2 2
2 1 2 0x m x m + =
(1) (ẩn x)
a) Tìm các nghiệm của phơng trình (1) khi m là số tự nhiên
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm mà hiệu của chúng bằng 2.
Bài 2: (2,0 điểm)
a) Giải hệ phơng trình
2 2
2 2
2 5 2 0
4 0
x y xy y x
x y x y
+ + + =
+ + + =
b) Cho Parabol (P)
2
1
4
y x=
và điểm M
( )
1; 2
. Tìm phơng trình đờng thẳng đi qua M và
cắt (P) tại một điểm duy nhất.
Bài 3: (2,0 điểm)
a) Tìm số nguyên tố p và q sao cho các số 7p + q và pq + 11 cũng là các số nguyên tố.
b) Cho x, y là các số thực không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2 2011P x y xy y= + +
Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn tâm O. Trên cung nhỏ AB của đờng tròn
(O) lấy điểm E sao cho E khác A và B. Đờng thẳng AE cắt các tiếp tuyến tại B, C của đờng tròn (O)
lần lợt tại M và N. Gọi F là giao điểm của MC và BN. Chứng minh:
a) Hai tam giác CAN, tam giác MBA đồng dạng với nhau và BM. CN = BC
2
.
b) BC là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác MBF.
c) EF luôn đi qua một điểm cố định khi E thay đổi trên cung nhỏ AB của (O) (E khác A và B)
Bài 5: (1,0 điểm) Trên mặt phẳng cho 2011 điểm sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Xét tất
cả các đoạn thẳng nối các cặp điểm trong 2011 điểm này. Vẽ đờng thẳng d không đi qua điểm nào
trong số 2011 điểm nói trên. Chứng minh rằng nếu đờng thẳng d cắt một số đoạn thẳng xét ở trên
thì số đoạn thẳng bị đờng thẳng d cắt là một số chẵn.
>@A
Bi 1. (2,0 im) Cho phng trỡnh:
( )
2
x 2 m 2 x 6m 1 0
+ + + =
vi x l n, m l tham s.
a/ Chng minh rng phng trỡnh luụn cú hai nghim phõn bit vi mi giỏ tr ca m.
b/ Tỡm iu kin ca m phng trỡnh trờn cú hai nghim phõn bit ln hn 2.
Bi 2. (3,0 im)a/ Cho a, b l hai s thc dng tha món
a ab 6b 0
=
.
14
14
Ti Liu Bi Dưng HSG Ton 9
Tính giá trị của biểu thức:
a b
P .
a ab b
+
=
+ +
b/ Giải hệ phương trình:
2
2
x 3y 2
9y 8x 8
− =
− =
Bi 3. (1,5 điểm)
a/ Cho các số thực a, b thỏa mãn
a b 0
+ ≠
. Chứng minh rằng:
2
2 2
1 ab
a b 2
a b
+
+ + ≥
÷
+
.
b/ Cho các số thực a, b, c dương thỏa mãn
a b c 1
+ + =
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2 2
M a abc b abc c abc 9 abc.
= + + + + + +
Bi 4. (3,0 điểm)
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Vẽ đường thẳng (d) qua A
cắt (O) tại C và cắt (O’) tại D sao cho A nằm giữa C và D. Tiếp tuyến của (O) tại C và tiếp tuyến
của (O’) tại D cắt nhau tại E.
a/ Chứng minh rằng tứ giác BDEC nội tiếp.
b/ Chứng minh rằng
BE.DC CB.ED BD.CE.= +
Bi 5. (0,5 điểm) Cho tam giác ABC, trên tia BA lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm
N sao
BM CN
=
. Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định.
>BC@D
EF
Bi 1 (2 điểm).
1) Cho
3
3
1
2 3 .
2 3
a = + +
+
Chứng minh a là nghiệm của phương trình
3
3 4 0.a a− − =
2) Tìm các số tự nhiên n để
3 2
4 2 15n n n− − +
là số nguyên tố.
Bi 2 (2 điểm). 1) Giải phương trình
10 4.x x+ − =
2) Giải hệ phương trình
2 2
2 2
2 2 0
.
6 12 0
x y xy y x
x y x
− − + − =
− + + =
Bi 3 (3 điểm).
1) Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao AH và BK có độ dài lần lượt là 10(cm) và 12(cm). Tính
độ dài các cạnh của tam giác ABC.
2) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn
2
2 3 2 5 0x xy x y− + − − =
.
3) Chứng minh rằng:
2
2
5 6
5 0, 0x x
x x
+ − + > ∀ ≠
Bi 4 (2 điểm).
15
15
Ti Liu Bi Dng HSG Ton 9
Cho ng trũn (O) cú ng kớnh CD; dõy cung AB vuụng gúc vi CD ti im I. Ly im E thuc
cung nh BC, ni EI ct ng trũn ti F (
F E
). Gi M, N ln lt l giao im ca AB vi CF v ED.
Chng minh rng: DI.DC = DN.DE. IM = IN.
Bi 5 (1 im). Cho cỏc s t nhiờn a, b, c tha món
2 2 2
2051.a b c+ + =
Chng minh rng tớch
abc
chia ht cho 3 nhng khụng chia ht cho 12.
<CGCHC
Câu1 (2 điểm) Cho biểu thức A
3
32
1
23
32
1115
+
+
+
+
=
x
x
x
x
xx
x
1.Rút gọn biểu thức A (với x
0
,x
1
) 2. Chứng minh rằng A
3
2
Câu 2(2 điểm)
Cho parabol (P):
2
2
1
xy =
và đờng thẳng (d): y= mx m +2 (với m là tham số)
1. Tìm m để (d) cắt (P ) tại điểm có hoành độ x=4
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Câu 3 : (2 điểm)
1. Giải hệ phơng trình :
=+
=+
19
25
12
32
yx
yx
2. Giải phơng trình
26
9
3
2
=
+
x
x
x
Câu 4: (3 điểm) Gọi C là một điểm nằm trên đoạn thẳng AB (
BCAC ,
). Trên nửa mặt phẳng có
bờ là đờng thẳng AB, kẻ tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm I (I
A). Đờng
thẳng vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K ; đờng tròn đờng kính IC cắt IK tại P.
1.Chứng minh rằng:
a) Tứ giác CPKB nội tiếp đợc trong đờng tròn. Xác định tâm của đờng tròn đó.
b)Tam giác ABP là tam giác vuông.
2. Cho A, I, B cố định. Tìm vị trí của điểm C trên đoạn thẳng AB sao cho tứ giác ABKI có diện tích
lớn nhất.
Câu 5: (1 điểm)Cho a, b, c là ba số thực dơng thỏa mãn a+b+c = 2. Tính giá trị lớn nhất của biểu
thức: P=
bca
ca
abc
bc
cab
ab
222 +
+
+
+
+
I?GJ8
Cõu 1 (2,0 im)Cho biu thc:
x
x
x
x
xx
x
P
+
+
+
=
3
12
2
3
65
92
1) Tỡm x P cú ngha Rỳt gn P Tỡm x P<0
Cõu 2 (2,0 im)1)Gii phng trỡnh :
1
2
1
2
+=
x
x
x
x
16
16
Ti Liu Bi Dng HSG Ton 9
2)Gii h phng trỡnh
=
+
+
=
+
+
4
3
1
3
1
1
4
9
1
1
1
2
yx
yx
Cõu 3 (2,0 im)
Cho hm s y=-2x
2
cú th (P)
1) Vit phng trỡnh ng thng i qua 2 im M ,N bit M,N thuc P cú honh ln
lt l -1 v 2
2) Lp phng trỡnh ng thng d song song vi MN ct P ti 2 im cú honh x
1
; x
2
tha món
5
21
= xx
Cõu 4 (3,0 im)
Trờn ng trũn (O) ng kớnh AB ly im M (khỏc A v B).Gi H l trung im MB .
E,F l chớnh gia cung nh AM v BM ca ng trũn (O).Tip tuyn ca (O) ti F ct AM ti P
1)
Chng minh t giỏc HFPM l hỡnh ch nht
2)
Chng minh gúc EFH=45
0
3)
Qua A k ng thng (d) song song vi PH .ng thng 9d) ct ng trũn (O) ti
ti D ( D khỏc A) .Chng minh D, O, H thng hng
Cõu 5 (1,0 im) Cho cỏc s thc dng a, b tha món a+b=4ab .Chng minh rng
2
1
1414
22
+
+
+
a
b
b
a
KLMNO?G
1) Cho ba số
, , 0a b c
;
2+ + =a b c
và
1 1 1
2+ + =
a b c
. Chứng minh rằng trong ba số
, ,a b c
có ít nhất một số bằng 2.
2) Tính giá trị biểu thức
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 2 2 3 2011 2012
= + + + + + + + + +S
Câu 2: (2 điểm)
1) Giải phơng trình:
2
4 3 3 6+ + = +x x x
2) Giải hệ phơng trình:
2 2
2 2
2 2
1
4
7
+ + =
+ + =
+ + =
x xy y
y yz z
z zx x
Câu 3: (2 điểm)
1) Giả sử
a
và
b
là các số nguyên dơng sao cho
( )
2
+ + +a b a b
ab
là một số nguyên.
Gọi
d
là một ớc số chung bất kì của
a
và
b
. Chứng minh rằng
+
d a b
(Kí hiệu
[ ]
x
là số nguyên lớn nhất không vợt quá
x
).
2) Cho
x
và
y
là các số hữu tỉ và thoả mãn đẳng thức
( ) ( )
3
3 3 2+ = + +x y xy x y
.
Chứng minh rằng
1 xy
là một số hữu tỉ.
Câu 4: (3 điểm)
17
17
Ti Liu Bi Dng HSG Ton 9
Từ một điểm D nằm ngoài đờng tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến DA và DB đến đờng
tròn (A và B là các tiếp điểm). Tia
Dx
nằm giữa hai tia DA và DO;
Dx
cắt đờng tròn tại hai
điểm C và E (E nằm giữa C và D), đoạn thẳng OD cắt đoạn thẳng AB tại M.
Chứng minh rằng:
1) Tứ giác OMEC nội tiếp.
2)
ã
ã
CMA=EMA
3)
2
MB DE
=
MC DC
ữ
Câu 5: (1 điểm)
Giả sử
, ,a b c
là các số dơng thoả mãn
1=abc
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2 2 2 2 2
= + +
+ + + + + +
a b c
M
b c a c a b a b c
>PBC:
Bi 1(2)
1. Khụng dựng mỏy tớnh cm tay, tớnh giỏ tr biu thc
2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3A = + + + + + + + +
2. Cho x, y l cỏc s khỏc 0 v tha món x + y = 1. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc :
3 3
1
P
x y xy
=
+ +
Bi 2 (2)
1. Gii phng trỡnh
( ) ( )
2 2
3 4 6 24x x x x
+ + =
2. Vi x, y, z l cỏc s dng, gii h phng trỡnh
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
187
154
238
x y y z
y z z x
z x x y
+ + =
+ + =
+ + =
Bi 3. (2)
1. Cho ba s a, b, c tha món
1 , , 2, 0a b c a b c
+ + =
.
Chng minh:
3ab bc ca
+ +
.
2. Cho a, b l cỏc s nguyờn dng sao cho
1 1a b
b a
+ +
+
l 1 s nguyờn. Gi d l c
ca s a v b.
Chng minh
d a b +
Bi 4.(3) Trờn na ng trũn (O) ng kớnh AB = 2R (R l di cho trc) ly hai
im M. N (M. N khỏc A v B) sao cho M thuc cung
ằ
AN
v tng cỏc khong cỏch t A,
B n ng thng MN bng
3R
.
1. Tớnh di on thng MN theo R.
2. Gi I l giao im ca AN v BM, K l giao im ca AM v BN. Chng minh bn
im M, N, I, K cựng nm trờn mt ng trũn. Tớnh bỏn kớnh ca ng trũn ú
theo R.
3. Tỡm GTLN ca din tich tam giỏc KAB theo R khi M, N thay i trờn na ng
trũn (O) nhng vn tha món gi thit bi toỏn.
18
18
Ti Liu Bi Dưng HSG Ton 9
Bài 5. (1đ) Cho hình thoi ABCD có
·
0
120BAD =
. Tia Ax tạo với tia AB một góc
·
0
15BAx =
và
cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N. Tính giá trị của biểu thức
2
2 2
1 1
T AB
AM AN
= +
÷
C@;Q:RC
:
Câu Câu 1 (7,0 điểm).a) Giải phương trình:
( 1 1)(5 ) 2 .x x x+ + − =
b) Giải hệ phương trình:
2
2 2
2 2 3 0
2 2 2 0.
x xy x y
y x xy x
− + − + =
− + + − =
Câu 2 (3,0 điểm).Tìm các số tự nhiên
x
và
y
thoả mãn
2
2 1 .
x
y+ =
Câu 3 (2,0 điểm).Cho ba số dương
, ,x y z
thoả mãn
1 1 1
1.
x y z
+ + =
Chứng minh rằng:
.x yz y zx z xy xyz x y z+ + + + + ≥ + + +
Câu 4 (6,0 điểm).Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm D khác A và
·
0
DAB 60 .>
Trên đường kính AB lấy điểm C (C khác A, B) và kẻ CH vuông góc với AD tại H. Phân
giác trong của góc DAB cắt đường tròn tại E và cắt CH tại F. Đường thẳng DF cắt đường tròn tại điểm thứ
hai N. a) Chứng minh tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn và ba điểm N, C, E thẳng hàng.
b) Cho AD = BC, chứng minh DN đi qua trung điểm của AC.
Câu 5 (2,0 điểm). Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh đều là số tự nhiên sao cho tổng ba số bất kì trong
chúng chia hết cho số còn lại. Chứng minh rằng tứ giác đó có ít nhất hai cạnh bằng nhau.
;
Bi I (2điểm)Với a ≠ ±b giải phương trình: (a
4
– b
4
)x
2
– 2(a
3
– b
3
)x + a
2
– b
2
= 0
1) Giải hệ phương trình:
2 2
x - y - xy = 2 + 3 2
x + y = 6
Bi II(2,0điểm)
1) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n
2
– 9n – 3 chia hết cho n – 11
2) Với ba số x, y, z không âm thỏa mãn x + y + z = 6. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
biểu thức : A = x
2
+ y
2
+ z
2
Bi III (3,5 điểm)
Trên đường tròn tâm O đường kính AB = 2R lấy điểm N sao cho AN = R nà M là một
điểm bất kì trên cung nhỏ BN( M không trùng với B, N). Gọi I là giao điểm của AM và BN.
Đường thẳng đi qua I và vuông góc với AB tại H, cắt tia AN tại điểm C.
1) Chứng minh ba điểm B, M, C thẳng hàng.
2) Xác định vị trí của điểm M để chu vi tứ giác ABMN lớn nhất.
3) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNH luôn thuộc một đường thẳng cố
định khi M thay đổi trên cung nhỏ BN của đường trong (O; R).
4) Gọi P là điểm chình giữa của cung AB không chứa điểm N cảu đường tròn (O; R). Đường
thẳng MP cắt AB tại D. Chứng minh
MD MD
MA MB
+
không đổi khi M thay đổi trên cung nhỏ
BN của đường tròn (O; R).
19
19
Ti Liu Bi Dưng HSG Ton 9
Bi IV(1,5điểm)Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương (x; y; z) thỏa mãn: xyz = x
2
– 2z + 2
Bi V(1,0điểm)Chứng minh rằng từ 53 số tự nhiên bất kì luôn chọn được 27 số mà tổng của
chúng chia hết cho 27.
>SJ
%-*23TU'
Câu 1 % 56/', Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đồ thị (P) của hàm số:
2 2
(2 1) 1y x m x m= − + + −
và đường thẳng (D):
3
2
m
y x= +
; trong đó
m
là tham số.
a) Cho
1m
=
, tìm hoành độ các giao điểm của (P) và (D).
b) Tìm tt c các giá tr của tham s!
m
để (P) và (D) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt
có hoành độ không âm.
Câu 2 % 56/',
a) Gii phương trình:
5
5 9 3
5 4
x
x
x
= + −
+
.
b) Cho hai số
,x y
liên hệ với nhau bởi đẳng thức
2 2
2 7( ) 2 10 0x xy x y y+ + + + + =
. Tìm giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1S x y= + +
.
Câu 3 % 56/'. Tìm tất cả các số nguyên dương
1 2
, , , ,
n
x x x nK
thỏa mãn:
1 2
5 4
n
x x x n+ + + = −L
và
1 2
1 1 1
1
n
x x x
+ + + =
L
Câu 4 % 56/'. Cho tam giác
ABC
có
.AB AC
=
Trên các cạnh
,AB AC
lần lượt lấy các điểm
,E D
sao cho
.DE DC
=
Giả sử đường thẳng đi qua
D
và trung điểm của đoạn thẳng
EB
cắt
đường thẳng
BC
tại
.F
a) Chứng minh rằng đường thẳng
EF
chia đôi góc
·
.AED
b) Chứng minh rằng
·
·
.BFE CED
=
Câu 5 % 56/'. Trong một hộp có 2010 viên sỏi. Có hai người tham gia trò chơi, mỗi người lần
lượt phải bốc ít nhất là 11 viên sỏi và nhiều nhất là 20 viên sỏi. Người nào bốc viên sỏi cuối cùng
sẽ thua cuộc. Hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc đầu tiên luôn là người thắng cuộc.
>SJ
%-*23T.4U'
Câu 1 % 56/'. Cho phương trình :
4 3 2 2
( 1) ( 1) ( 1) 0 (1)x mx m x m m x m− + + − + + + =
(trong đó x là ẩn, m là tham số)
1. Giải phương trình (1) với
2.m
= −
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
sao cho phương trình (1) có bốn nghiệm đôi một phân
biệt.
Câu 2 % V56/'. Tìm tất cả các cặp hai số nguyên
( ; )x y
thỏa mãn
4 3 2
1x x y− + =
Câu 3 % 56/'. Cho tam giác
ABC
với
BC CA AB
> >
nội tiếp trong đường tròn
( )O
. Trên cạnh
BC
lấy điểm
D
và trên tia
BA
lấy điểm
E
sao cho
.BD BE CA
= =
Đường tròn ngoại tiếp
tam giác
BDE
cắt cạnh
AC
tại điểm
,P
đường thẳng
BP
cắt đường tròn
( )
O
tại điểm thứ
hai
.Q
1. Chứng minh rằng tam giác AQC đồng dạng với tam giác EPD.
2. Chứng minh rằng
.BP AQ CQ
= +
20
20
Ti Liu Bi Dưng HSG Ton 9
Câu 4 % V56/'. Cho các số thực dương
, , .a b c
Chứng minh rằng
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
3
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 4 4 4
54 abc
c a b a b c b c a
a b c ab bc ca
+ + + + + ≥ ×
+ + + +
Câu 5 % 56/'. Cho đa giác lồi
1 2 100
A A AK
. Tại mỗi đỉnh
k
A
(
1,2, ,100k =
), người ta ghi một
số thực
k
a
sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu hai số trên hai đỉnh kề nhau chỉ bằng 2 hoặc 3.
Tìm giá trị lớn nhất có thể được của giá trị tuyệt đối của hiệu giữa hai số ghi trên mỗi cặp
đỉnh của đa giác đã cho, biết rằng các số ghi tại các đỉnh đã cho đôi một khác nhau.
>S
Câu 1: a) Giải phương trình: x
2
+2x+3=
2 2 3x x +
b) Giải hệ phương trình:
2
( 2)(2 ) 6
( 3) 2 10
x x x y
x y
− − =
− + =
Câu 2: a) Cho a,b,c là các số thực khác 0, thoả mãn: ab+bc+ca=0
Tính tổng:
2 2 2
bc ca ab
T
a b c
= + +
b) Tìm tất cả các số nguyên x,y,z thoả mãn: 3x
2
+6y
2
+z
2
+3y
2
z
2
-18x=6
Câu 3: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
1 4 2
2 1 1
x x
F
x x
−
= −
+ +
b) Tìm các giá trị a, b sao cho:
2 2
1 1 1
. ( 1)
1 1 2
a b
ab
a b
+ +
= +
− −
Câu 4: Cho đường tròn tâm O đường kính BC cố định, A là một điểm thuộc tròn (A không trùng
B, C). H là hình chiếu của A trên BC. Đường tròn tâm I đường kính AH cắt AB, AC theo thứ tự
tại M, N.
a) Chưng minh MN là tiếp tuyến chung của đường tròn ngoại tiếp tam giác BHM và CHN.
b) Xác định vị trí của A để bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN lớn nhất.
Câu 5: Lấy 2011 điểm thuộc miền trong của tứ giác để cùng với 4 đỉnh ta được 2015 điểm, trong
đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Biết diện tích của tứ giác ban đầu là 1cm
2
. Chứng minh rằng
tồn tại một tam giác có 3 đỉnh lấy từ 2015 điểm đã cho có diện tích không vượt quá
1
4024
cm
2
.
>P@D
C©u 1.(3®iÓm).
1). Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
3
1 1
2 1 0
x y
x y
x y
− = −
− + =
21
21
Ti Liu Bi Dng HSG Ton 9
2 ). Giải phơng trình:
2 2
3 5 6 2 3x x x x x + = +
Câu 2.(2điểm).
1). Cho phơng trình :
2 2 2
2( 1) 2 1 0x m x m
+ + =
. ( m là tham số)
Tìm các giá trị nguyên của m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt
1 2
,x x
và P
1 2
1 1
x x
=
+
đạt giá trị nguyên.
2). Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn phơng trình :
4 2 2
4 0x x y y
+ + + =
Câu 3.(3,5điểm).
Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định, B và C thay đổi trên đờng thẳng d cố định sao cho nếu gọi H
là hình chiếu vuông góc của A trên d thì B, C nằm khác phía đối với H. Đờng tròn đờng kính AH
cắt AB, AC lần lợt tại điểm thứ hai là M và N. Gọi P, D lần lợt là giao điểm của AH với MN và đ-
ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC,(D khác A).
1).Chứng minh rằng tứ giác MPDB nội tiếp đờng tròn.
2).Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu :
CN BM
AB CA
=
.
3).Khi B, C thay đổi trên d sao cho các tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN tiếp
điểm là M và N cắt nhau tại K và tớch HB.HC là không đổi. Chứng minh rằng K thuộc đờng thẳng
cố định.
Câu 4.(1điểm). Cho a, b, c là các số dơng thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
3 3 3
3
( ) ( ) ( ) 2
a b c
b c a c a b a b c
+ +
+ + +
Câu 5.(0,5điểm). Tại mỗi đỉnh của đa giác đều 100 cạnh ta đánh một số bất kì trong các số tự
nhiên liên tiếp sau 1, 2, 3, 4, 5, , 49. Chứng minh rằng tồn tại 4 đỉnh của đa giác (kí hiệu các đỉnh
A, B, C, D với các số tơng ứng a, b, c, d) sao cho tứ giác ABCD là hình chữ nhật và a + b = c + d.
I?GJ8
%-*23.4'
Câu 1. (3,0 im)
1) Cho a, b, c là các số thực thoả mãn : a
2
+ b
2
+ c
2
= ab + bc + ca.
Tính giá trị biểu thức:
22 6 2011
22 6 2011
a b c
P = + +
b c a
2) Cho
3 3 3 3
3 6
x = ;y = .
4 - 2 +1 4 + 4 + 16
Chứng minh rằng x + y là một số tự nhiên.
Câu 2. (2,0 điểm)
1) Giải phơng trình:
2
x 3 8 x 11x x 24 1. + = +
2) Giải hệ phơng trình :
( ) ( )
4 1
2
2x y 3x y
4x 12y 7 2x y 3x y
+ =
+
+ = +
Câu 3. (1,0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên n sao cho
( ) ( ) ( )
A n 2010 n 2011 n 2012=
là một số
chính phơng.
Câu 4. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn (O). Gọi D là điểm thay đổi trên cung
nhỏ AB của đờng tròn (O), (D không trùng với A, B).
1) Trong trờng hợp ACBD là tứ giác ngoại tiếp một đờng tròn, chứng minh rằng
AC + BD = AD + BC.
22
22
Ti Liu Bi Dng HSG Ton 9
2) Trong trờng hợp ABC là tam giác đều, chứng minh rằng DA + DB = DC.
3) Trong trờng hợp tam giác ABC có AB là cạnh nhỏ nhất, trên cạnh AC và BC lấy
các điểm M, N tơng ứng sao cho AM = BD và BN = AD. Chứng minh rằng khi D
thay đổi trên cung nhỏ AB của đờng tròn (O) thì trung điểm I của đoạn thẳng MN
luôn thuộc một đờng tròn cố định.
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho a, b, c là số thực dơng, chứng minh rằng:
2ab 3bc 3ca a 2b 3c
.
3a 8b 6c 3b 6c a 9c 4a 4b 9
+ +
+ +
+ + + + + +
I?GJ8
%CWW-X-'
Cõu 1 (2,0 im) Cho biu thc:
x
x
x
x
xx
x
P
+
+
+
=
3
12
2
3
65
92
2) Tỡm x P cú ngha Rỳt gn P Tỡm x P<0
Cõu 2 (2,0 im)
1)Gii phng trỡnh :
1
2
1
2
+=
x
x
x
x
2)Gii h phng trỡnh
=
+
+
=
+
+
4
7
1
3
1
1
4
9
1
1
1
2
yx
yx
Cõu 3 (2,0 im)
Cho hm s y=-2x
2
cú th (P)
3) Vit phng trỡnh ng thng i qua 2 im M ,N bit M,N thuc P cú honh ln
lt l -1 v 2
4) Lp phng trỡnh ng thng d song song vi MN ct P ti 2 im cú honh x
1
; x
2
tha món
5
21
= xx
Cõu 4 (3,0 im)
Trờn ng trũn (O) ng kớnh AB ly im M (khỏc A v B).Gi H l trung im MB .
E,F l chớnh gia cung nh AM v BM ca ng trũn (O).Tip tuyn ca (O) ti F ct AM ti P
4)
Chng minh t giỏc HFPM l hỡnh ch nht
5)
Chng minh gúc EFH=45
0
6)
Qua A k ng thng (d) song song vi PH .ng thng (d) ct ng trũn (O) ti
ti D ( D khỏc A) .Chng minh D, O, H thng hng
Cõu 5 (1,0 im)
Cho cỏc s thc dng a, b tha món a+b=4ab .Chng minh rng
2
1
1414
22
+
+
+
a
b
b
a
@LYC:Z
Bi 1: (3.0 im)
1) Rỳt gn biu thc :
1
1
11
2
3
+
+
+
=
x
x
x
x
x
x
P
1=+ xyyx
2)Gii h phng trỡnh:
22 =+ xyyx
Bi 2: (2.5 im)
Cho phng trỡnh x
2
2x + m = 0 (1), vi m l tham s.
23
23
Ti Liu Bi Dưng HSG Ton 9
1) Tìm tất cả giá trị ngun của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x
1
,x
2
thỗ x
1
0≥
,
x
2
0≥
và
21
11 xx +++
= 1+
3
.
2) Tìm tất cả các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệmx
1,
x
2
sao cho N=(x
1
2
+x
2
)(x
2
2
+x
1
)
là một số chính phương.
Bi 3: (1.0 điểm)
Cho các số dương a,b,c thay đổi và thỗ mãn 3a+4b+5c=12. tính giá trị lớn nhất của
biểu thức:
cbbc
bc
caac
ac
baab
ab
S
++
+
++
+
++
=
32
.
Bi 4: (2.5 điểm)
Cho hình vng ABCD. Trên cạnh CD lấy điểm M tuỳ ý khác hai điểm C,D. Đường thẳng d qua
m và vng góc AM; d cắt các đường thẳng AB,BC,DA lần lượt tại các điểm E,F,G.
1) Chứng minh rằng:
MBCMAF ∠=∠
và tg
MAF∠
+ tg
MBC∠
=1.
2) đường tròn ngoại tiếp tam giác DEG còn cắt đường thẳng AB tại H khác điểm E. Chứng
minh rằng đường thẳng MH vng góc AB.
Bi 5: (1.0 đểm)
Cho tam giác ABC, điểm O cố định nằm trong tam giác ( O khơng thộc các cạnh của tam giác).
điểm M di động trên tia OA (M khác O và A) sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giácABM còn
cắt tia OB tại đểm N khác B và đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM còn cắt tia OC tại điểm P
khác C.
1) Chứng minh rằng
OP
ON
khơng đổi.
2) Gọi I và J lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tam giác MNP.
Chứng minh rằng O,I,J thẳng hàng.
[8\V]
Bài 1 :(3 điểm)
a/ Cho a,b là các số thực không âm tùy ý.
Chứng tỏ rằng :
ba
+
≤
a
+
b
≤
)(2 ba
+
. Khi nào có dấu đẳng thức ?
b/ Xét u, v, z, t là các số thực không âm thay đổiù có tổng bằng 1.
Hãy tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của S =
u
+
v
+
z
+
t
Bài 2: (2 điểm)
Cho tam giác vuông DEH có độ dài hai cạnh góc vuông là DE = 5cm và EH =12cm.
a/ Tính độ dài bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác vuông DEH .
b/ Trong tam giác vuông DEH có hai đường tròn có cùng bán kính r, tiếp xúc ngoài nhau
và tiếp xúc với các cạnh tam giác vuông DEH như hình dưới. Tính độ dài của r .
r
r
H
E
D
Bài 3:(2 điểm)
24
24
Ti Liu Bi Dưng HSG Ton 9
a/ Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình : 2x + 9y = 2005 (*).
b/ Chứng minh rằng : x.y
≤
55833 trong đó (x,y ) là nghiệm nguyên bất kì của (*)
Bài 4 : (2 điểm)
Với mỗi giá trò của tham số m, xét hàm số : y = x
2
– 2mx – 1 – m
2
a/ Chứng tỏ với giá trò m tuỳ ý, đồ thò hàm số trên luôn cắt trục tung tại một điểm A, cắt
trục hoành tại hai điểm phân biệt B, C và các giao điểm này đều khác gốc tọa độ O.
b/ Đường tròn đi qua các giao điểm A, B, C cắt trục tung thêm một điểm K khác A .
Chứng minh rằng khi m thay đổi, K là một điểm cố đònh.
Bài 5: (1 điểm)
Có 8 cái hộp, mỗi hộp chứa 6 trái banh. Chứng tỏ rằng có thể ghi số trên tất cả các trái
banh sao cho thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau :
1/ Mỗi banh được ghi đúng một số nguyên, chọn trong các số nguyên từ 1 đến 23.
2/ Trong mỗi hộp, không có hai banh nào được ghi cùng một số.
3/ Với hai hộp bất kì, có nhiều nhất một số xuất hiện đồng thời ở cả hai hộp.
[8\(
Bi 1 : (2 điểm)
Cho phương trình :
2
1 0
− − − =
x mx m
(
m
là tham số).
a) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm thực phân biệt
1
x
,
2
x
.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2 2
1 2
2
2
+
=
+ +
m m
S
x x
.
Bi 2 : (3 điểm)
a) Cho phương trình
2
0ax bx c
+ + =
có hai nghiệm dương phân biệt.
Chứng minh rằng phương trình
2
0
+ + =
cx bx a
cũng có hai nghiệm dương phân biệt.
b) Giải phương trình :
2 4
2 1 0
4 2
x x
x x
− +
− + =
+ −
c) Chứng minh rằng có duy nhất bộ số thực (x ; y ; z) thỏa mãn điều kiện :
1
2008 2009 2010 3012 ( )
2
x y z x y z− + − + − + = + +
Bi 3 : (2,5 điểm)
Cho góc xOy có số đo bằng 60
o
. Đường tròn có tâm K nằm trong góc xOy tiếp xúc với
tia Ox tại M và tiếp xúc với tia Oy tại N. Trên tia Ox lấy điểm P sao cho OP = 3OM.
Tiếp tuyến của đường tròn (K) qua P cắt tia Oy tại Q khác O. Đường thẳng PK cắt đường
thẳng MN ở E. Đường thẳng QK cắt đường thẳng MN ở F.
a) Chứng minh tam giác MPE đồng dạng với tam giác KPQ.
b) Chứng minh tứ giác PQEF nội tiếp được trong đường tròn.
c) Gọi D là trung điểm của đoạn PQ. Chứng minh tam giác DEF là một tam giác đều.
Bi 4 : (1,5 điểm) Tìm tất cả các cặp số ngun (a ; b) nghiệm đúng điều kiện :
25
25
