CHUYÊN ĐỀ CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ÔN THI VAO 10(2010-2011)(HOT)

I S
Chủ đề I: rút gọn biểu thức
Ph ơng pháp:
- Phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử;
- Tìm ĐKXĐ (Nếu bài toán cha cho ĐKXĐ)
- Rút gọn từng phân thức(nếu đợc)
- Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất nh:
+ Quy đồng(đối với phép cộng trừ) ; nhân ,chia.
+ Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đơn ; đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức
+ Thu gọn: cộng, trừ các hạng tử đồng dạng.
+ Phân tích thành nhân tử rút gọn
Chú ý : - Trong mỗi bài toán rút gọn thờng có các câu thuộc các loại toán: Tính giá trị biểu
thức; giải phơng trình; bất phơng trình; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên;
tìm giá trị nhỏ nhất ,lớn nhấtDo vậy ta phải áp dụng các phơng pháp giải tơng ứng, thích
hợp cho từng loại bài.
*S dng cỏc hng ng thc ỏng nh:
CC HNG NG THC NG NH
1. (A+B)
2
=A
2
+2AB+B
2
2. (A

B)
2
=A
2

2AB+B

2
3. A
2

B
2
=(A+B)(A

B)
4. (A+B)
3
=A
3
+3A
2
B+3AB
2
+B
3
5. (A

B)
3
=A
3

3A
2
B+3AB
2

B
3
6. A
3
+B
3
=(A+B)(A
2

AB+B
2
)
7. A
3

B
3
=(A

B)(A
2
+AB+B
2
)
8.
2
0
0
AkhiA

A A
AkhiA


= =

<

*S dng cỏc phng phỏp phõn tớch thnh nhõn t:
+Phng phỏp t nhõn t chung
+Phng phỏp dựng hng ng thc
+Phng phỏp nhúm cỏc hng t
+Phng phỏp phi hp nhiu phng phỏp
*Cn bc hai: x l mt s khụng õm a
2
.x a x a = =
*iu kin xỏc nh ca biu thc
A
:Biu thc
A
xỏc nh
0A
.
*Hng ng thc cn bc hai:
2
0
0
AkhiA
A A
AkhiA

= =

<

*Cỏc phộp bin i cn thc

1

2
2
2
2
) . . ( 0; 0)
) ( 0; 0)
) ( 0)
1
) . ( . 0; 0)
.( )
) ( 0; )
( )
) ( 0; 0; )
m+n=A
2 2 . ( ) oi
m.n=B
A B A B A B
A A
A B
B

B
A B A B B
A
A B A B B
B B
m m A B
B A B
A B
A B
n n A B
A B A B
A B
A B
A B m m n n m n m n v
+ = ≥ ≥
+ = ≥ >
+ = ≥
+ = ≥ ≠
+ = ≥ ≠ +
−
±
+ = ≥ ≥ ≠
−
±

+ ± = ± + = ± = ±


m
m

+)
2 2
2 2
a a ;
a a ;
a a a .
a bv b
a bv ab b
bv ab b
+ −
+ − +
− + +
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Thu gọn, tính giá trị các biểu thức
( ) ( ) ( )
( )
2
A 3 3 2 3 3 3 1
3 2 3 2 2
B 2 3
3 2 1
C 3 2 2 6 4 2
D 2 3 2 3
= − − + +
+ +
= + − +
+
= − − +
= + + −
Giải

A 6 3 6 27 6 3 1 34= − + + + + =
( ) ( )
3 3 2 2 2 1
B 2 3 3 2 2 2 3 2
3 2 1
+ +
= + − − = + + − − =
+
( ) ( )
2 2
C 2 2 2 1 4 2 8 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1= − + − + + = + − + = + − − = −
(
)
( ) ( )
2 2
D. 2 2. 2 3 2 3 4 2 3 4 2 3 3 1 3 1
D. 2 3 1 3 1 2 3 D 6
= + + − = + + − = + + −
⇒ = + + − = ⇒ =
VD2.Cho biểu thức
2
x x 2x x
y 1
x x 1 x
+ +
= + −
− +

2
a)Rút gọn y. Tìm x để y = 2.

b)Cho x > 1. Chứng minh
y y 0− =
c)Tìm giá trị nhỏ nhất của y
Giải
a)
( )
( )
( )
3
x x 1
x 2 x 1
y 1 x x 1 1 2 x 1 x x
x x 1 x
 
+
+
 
 
= + − = + + − − = −
− +
( ) ( )
y 2 x x 2 x x 2 0 x 1 x 2 0
x 2 0 x 2 x 4
= ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ + − =
⇔ − = ⇔ = ⇔ =
(Ở đây ta có thể áp dụng giải phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ)
b) Có
y y x x x x− = − − −
Do x 1 x x x x 0 x x x x
y y 0

> ⇒ > ⇒ − > ⇒ − = −
⇒ − =
c) Có:
( ) ( )
2
2 2
1 1 1 1 1 1
y x x x x x 2. x. x
2 4 4 2 4 4
 
= − = − = − + − = + − ≥ −
 ÷
 
Vậy
1 1 1 1
Min y khi x x x
4 2 2 4
= − = ⇔ = ⇔ =
VD3.So sánh hai số sau
a 1997 1999= +
và
b 2 1998=
Giải
Có
( )
2
2 2
a 1998 1 1998 1 1998 1 1998 1
2.1998 2 1998 1 2.1998 2 1998 2 1998
= − + + = − + +

= + − < + =
Vậy a < b.
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Thực hiện phép tính, rút gọn biểu thức
A 4 3 2 2 57 40 2= + − +
B 1100 7 44 2 176 1331= − + −
( )
2
C 1 2002 . 2003 2 2002= − +
1 2
D 72 5 4,5 2 2 27
3 3
= − + +
( )
3 2 3 2
E 6 2 4 . 3 12 6 . 2
2 3 2 3
   
= + − − − −
 ÷ ÷
   

3
F 8 2 15 8 2 15= − − +
G 4 7 4 7= + − −
H 8 60 45 12= + + −
I 9 4 5 9 4 5= − − +
( ) ( )
K 2 8 3 5 7 2 . 72 5 20 2 2= + − − −
2 5 14

L
12
+ −
=
( ) ( )
5 3 50 5 24
M
75 5 2
+ −
=
−
3 5 3 5
N
3 5 3 5
+ −
= +
− +
3 8 2 12 20
P
3 18 2 27 45
− +
=
− +
( )
2
2
1 5 2 5
Q
2 5
2 3

 
−
= −
 ÷
−
 
+
R 3 13 48= + +
2.Tính giá trị của biểu thức
1 1 1 1
A khi a ; b
a 1 b 1
7 4 3 7 4 3
= − = =
+ +
+ −
2
1
B 5x 4 5x 4 khi x 5
5
= − + = +
1 2x 1 2x 3
C khi x
4
1 1 2x 1 1 2x
+ −
= + =
+ + − −
3.Chứng minh
a)

1 1 1 5 1 3
12 2
3 3 2 3 6
+ + − =
b)
3 3
2 5 2 5 1+ + − =
c)
2 3 2 3
2
2 2 3 2 2 3
+ −
+ =
+ + − −
d)
1 1 1
S
1 2 2 3 99 100
= + + +
+ + +
là một số nguyên.

4
4.Cho
( )
3
x x 2x 2
2x 3 x 2
A ; B
x 2 x 2

− + −
− −
= =
− +
a) Rút gọn A và B.
b) Tìm x để A = B.
5.Cho
x 1
A
x 3
+
=
−
. Tìm số nguyên x để A nhận giá trị nguyên.
6.Tìm x, biết:
( )
2
x x 1 x 5
a) 4 x . 81 36 b) 3 c) 1
x x 4
+ + −
− = = =
−
________________________________________________
Chủ đề II : HÀM S Ố y=ax+b và HÀM S Ố y= ax
2
Hàm số y=ax+b
-Vẽ đồ thị hàm số.
-Lập phương trình đường thẳng theo các điều kiện cho trước.
-Xác định các yếu tố liên quan đến tính chất và đồ thị hai hàm số trên.

Phương pháp:
(1) Hàm số y=ax+b (a #0) xác định trên với mọi x và có tính chất sau:
-Hàm số đồng biến trên R : khi a>o
-Hàm số nghịch biến trên R : khi a<o
-Đồ thị là đường thẳng nên khi vẽ chỉ cần xác định hai điểm của đồ thị.
+Trong trường hợp b=0, đồ thị hàm số luôn đi gốc tọa độ.
+Trong trường hợp b
≠
0, đồ thị hàm số luôn cắt trục tung tại điểm b. -Đồ thị hàm
số luôn tạo với trục hoành một góc
α
mà
tg a
α
=
.
-Đồ thị hàm số đi qua điểm A(x
A
,y
A
)
A
ax
A
y b⇔ = +
.
(2) Với hai đường thẳng :
ax+b (d)y =

, , ,

( )y a x b d= +

Ta có: -
, ,
a a (d) va (d )≠ ⇔
cắt nhau
+Nếu
,
b b=
thì chúng cắt nhau tại b trên trục tung;
-
, , ,
a = a ; d va (d )b b≠ ⇔
song song với nhau
-
, , ,
a = a ; d va (d )b b= ⇔
trùng nhau
-
, ,
a.a 1 d va (d )= − ⇔
vuông góc với nhau

5
+ng thng y=ax+b cú tung gc l b, honh gc l b/a
+Giao im ca hai ng thng y=kx+bv y=kx+b l nghim ca h:
y=kx+b = kx+b
y=kx+b
Hm s y=ax
2

(a

0)
*Hm s y=ax
2
(a

0) cú th l parabol (P),cú nh l(0;0)
-Nu a>0 thỡ (P) cú im thp nht l gc ta ;
-Nu a<0 thỡ (P) cú im cao nht l gc ta .
- Quay b lừm lờn trờn nu a>0; Hm s nghch bin khi x<0, ng bin
khi x>0
- Quay b lừm xung di nu a<0; Hm s ng bin khi x<0, nghch bin khi x>0.
*ng thng y=kx+b tip xỳc vi porabol y=ax
2
khi v ch khi phng trỡnh ax
2
=-kx-
b=0 cú nghim kộp.
*Honh giao im ca hai th y=kx+b v y=ax
2
l nghim phng trỡnh ax
2
=kx+b.
*V trớ ca ng thng v Parabol:
-Xột ng thng x=m v (P) y=ax
2
.Luụn cú giao im cú ta l (m;am
2
)

-Xột ng thng y=m v (P) y=ax
2
.Nu m=0 thỡ cú mt giao im l gc ta ;
.Nu am>0 thỡ cú hai giao im l honh l
m
x
n
=
.Nu am<0thỡ khụng cú giao im.
-Xột ng thngy=mx+n (m

0) v (P) y=ax
2
.Honh giao imca chỳng l nghim ca phng trỡnh honh : ax
2
=mx+n.
A/ Đồ thị
)0(&)0(
'2'
=+=
axayabaxy
và t ơng quan giữa chúng
I/ Tỡm h s a - im thuc hay khụng thuc th

2
x
y
a =
im A(x
A

; y
A
) thuc th hm s y = f(x) y
A
= f(x
A
).
Vớ d :
a/Tỡm h s a ca hm s: y = ax
2
bit th hm s ca nú i qua im A(2;4)
b/ Đồ thị hàm số trên có đi qua điểm B(3; 9) không?
Gii:
a/Do th hm s i qua im A(2;4) nờn: 4 = a.2
2
a = 1
b/ Vì a =1 nên ta có hàm số
2
xy =
Thay x = 3 vào hàm số ta đợc Y = 3
2
= 9 = 9. Vậy B thuộc đồ thị hàm số y = x
2
II/Quan h gia (d): y = ax + b v (P): y = a

x
2
(a

0).

1.Tỡm ta giao im ca (d) v (P).
Bc 1: Tỡm honh giao im l nghim ca phng trỡnh:
a

x
2
= ax + b

a

x
2
- ax b = 0 (1)

6
Bc 2: Ly nghim ú thay vo 1 trong hai cụng thc y = ax +b hoc y = ax
2
tỡm tung
giao im.
Chỳ ý: S nghim ca phng trỡnh (1) l s giao im ca (d) v (P).
2. Tỡm điều kiện (d) v (P) cắt;tiếp xúc; không cắt nhau:
Từ phơng trình (1) ta có:
baabaxxa .4)(0
'22'
+==
a) (d) v (P) ct nhau phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit
0>
b) (d) v (P) tip xỳc vi nhau phng trỡnh (1) cú nghim kộp
0
=

c) (d) v (P) khụng giao nhau phng trỡnh (1) vụ nghim
0<
3.Chứng minh (d) v (P) cắt;tiếp xúc; không cắt nhau với mọi giá trị của tham số:
+ Phơng pháp : Ta phải chứng tỏ đợc phơng trình: a

x
2
= ax + b có :
+
0>
với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức

về dạng:


=
mBA +
2
)(
với
0>m
thì đờng thẳng luôn cắt pa ra bol
+
0
=
với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức

về dạng:

=
2
)( BA
thì đờng thẳng luôn cắt pa ra bol
+
0
<
với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức

về dạng:


=
( )
[ ]
mBA +
2
với
0
>
m
thì đờng thẳng không cắt pa ra bol
Bài tập luyện tập:
Bài 1. cho parabol (p): y = 2x
2
.
1.Vẽ đồ thị hàm số (p)
2.Tìm giao điểm của (p) với đờng thẳng y = 2x +1.
Bài 2: Cho (P):
2

2
1
xy =
và đờng thẳng (d): y = ax + b .
1. Xác định a và b để đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1;0) và tiếp xúc với (P).
2. Tìm toạ độ tiếp điểm.
Bài 3: Cho (P)
2
xy =
và đờng thẳng (d) y = 2x + m
1. Vẽ (P)
2. Tìm m để (P) tiếp xúc (d)
3. Tìm toạ độ tiếp điểm.
Bài 4: Cho (P)
4
2
x
y =
và (d): y = x + m
1. Vẽ (P)
2. Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
Bài 5: Cho hàm số (P):
2
xy =
và hàm số(d): y = x + m
1.Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
2. Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 2
Bài 6: Cho điểm A(-2;2) và đờng thẳng (
1
d

) y = -2(x+1)
1. Điểm A có thuộc (
1
d
) không ? Vì sao ?
2. Tìm a để hàm số (P):
2
.xay =
đi qua A
Bài 7: Cho hàm số (P):
2
4
1
xy =
và đờng thẳng (d):
12 = mmxy

1. Vẽ (P)

7
2. T×m m sao cho (P) vµ (d) tiÕp xóc nhau.T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm
CHỦ ĐỀ III/ PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH
A/ Phương trình, Hệ phương trình, Bất phương trình: (Bậc nhất)
I-Phương pháp:
1-Phương trình ax+b=0(a
≠
0),với a,b là các số đã cho,x là ẩn số là phương trình bậc
nhất một ẩn.
+Biện luận:
.Nếu a

≠
0 phương trình có nghiệm
b
x
a
−
=
.Nếu a=0, b
≠
0 phương trình vô nghiệm.
.Nếu a=0, b=0 phương trình có vô số nghiệm.
*Phương trình bật nhất một ẩn:
-Quy đồng và khử mẫu
. -Đưa về dạng ax+b=0(a
≠
0).
-Nghiệm duy nghiệm duy nhất:
b
x
a
−
=
*Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
-Tìm điều kiện xác định của phương trình.
-Quy đồng và khử mẫu.
-Giải phương trình vừa nhận được.
-So sánh giá trị vừa tìm được với điều kiện xác định (ĐKXĐ) rồi kết luận.
*Phương trình tích:
Để giải phương trình tích ta cần giải các phương trình thành phần của nó.Chẳng hạn
với:Phương trình A(x).B(x).C(x)=0 khi và chỉ khi:A(x)=0 hoặc B(x)=0 hoặc C(x)=0.

*Phương trình có chứa hệ số chữ(Giải và biện luận phương trình).( Đã trình bày ở trên
rồi!)
*Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối(| |) của một biểu thức:
0
0
AkhiA
A
AkhiA
≥

=

− <



2-Bất phương trình bậc nhất ax+b>0(a#0) hoặc (
ax+b<0;ax+b 0;ax+b 0≥ ≤
)
.Nếu a>0 bất phương trình có nghiệm x>-b/a.
.Nếu a<0 bất phương trình có nghiệm x<-b/a.
*Chú ý khi nhân cả hai với cùng với một số âm thì phải đổi chiều bất phương trình.

8
3-Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
, , ,
ax+by=c
a x+b y c



=



*Cách giải:
+Phương pháp thế:
.Dùng quy tắc biến đổi hệ phương trình đã cho thành một hệ phương trình mới,trong
đó có một phương trình là một ẩn.
.Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
+Phương pháp cộng đại số:
.Nhân hai vế cua mỗi phương trình với một số thích hợp(nếu cần) sao cho các hệ số
của cùng ẩn bằng nhau hoặc đối nhau.
. Áp dụng quy tắc cộng(hoặc trừ) đại số để được một hệ phương trình mới trong
đó,một phương trình có hệ số của một trong hai ẩn bằng 0(tức là phương trình một ẩn).
.Giải phương trình một ẩn vừa có từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
*Chú ý phương pháp đặt ẩn phụ trong một số trường hợp xuất hiện các biểu thức
giống nhau ở cả hai phương trình
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Phương trình bậc nhất một ẩn
-Quy đồng khử mẫu.
-Đưa về dạng ax + b = 0 (a ≠ 0)
-Nghiệm duy nhất là
b
x
a
−
=
2.Phương trình chứa ẩn ở mẫu
-Tìm ĐKXĐ của phương trình.
-Quy đồng và khử mẫu.

-Giải phương trình vừa tìm được.
-So sánh giá trị vừa tìm được với ĐKXĐ rồi kết luận.
3.Phương trình tích
Để giái phương trình tích ta chỉ cần giải các phương trình thành phần của nó. Chẳng
hạn: Với phương trình A(x).B(x).C(x) = 0
( )
( )
( )
A x 0
B x 0
C x 0
=

⇔ =


=

4.Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải và biện luận phương trình)
Dạng phương trình này sau khi biến đổi cũng có dạng ax + b = 0. Song giá trị cụ thể
của a, b ta không biết nên cần đặt điều kiện để xác định số nghiệm của phương trình.
-Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất
b
x
a
−
=
.
-Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm.

9
-Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm.
5.Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cần chú ý khái niệm giá trị tuyệt đối của một biểu thức
A khi A 0
A
A khi A 0
≥

=

− <

6.Hệ phương trình bậc nhất
Cách giải chủ yếu dựa vào hai phương pháp cộng đại số và thế. Chú ý phương pháp
đặt ẩn phụ trong một số trường hợp xuất hiện các biểu thức giống nhau ở cả hai phương
trình.
7.Bất phương trình bậc nhất
Với bất phương trình bậc nhất thì việc biến đổi tương tự như với phương trình bậc
nhất. Tuy nhiên cần chú ý khi nhân và cả hai vế với cùng một số âm thì phải đổi chiều bất
phương trình.
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Giải các phương trình sau
a)
( ) ( )
2 x 3 1 2 x 1 9− + = + −
b)
( )
7x 20x 1,5
5 x 9

8 6
+
− − =
c)
2 2
13 1 6
2x x 21 2x 7 x 9
+ =
+ − + −
d)
x 3 3 x 7 10− + − =
(*)
Giải
( ) ( )
a) 2 x 3 1 2 x 1 9 2x 5 2x 7 5 7− + = + − ⇔ − = − ⇔ − = −
(Vô lý)
Vậy phương trình vô nghệm.
( )
7x 20x 1,5
b) 5 x 9 21x 120x 1080 80x 6 179x 1074 x 6
8 6
+
− − = ⇔ − + = + ⇔ − = − ⇔ =
Vậy phương trình có nghiệm x = 6.
c)
2 2
13 1 6
2x x 21 2x 7 x 9
+ =
+ − + −

( ) ( ) ( ) ( )
13 1 6
x 3 2x 7 2x 7 x 3 x 3
⇔ + =
− + + − +
ĐKXĐ:
7
x 3; x
2
≠ ± ≠ −
( ) ( ) ( ) ( )
2
13 x 3 x 3 x 3 6 2x 7 13x 39 x 9 12x 42⇒ + + − + = + ⇔ + + − = +
( ) ( )
2
x 3 DKXD
x x 12 0 x 3 x 4 0
x 4 DKXD
= ∉

⇔ + − = ⇔ − + = ⇔

= − ∈

Vậy phương trình có nghiệm x = - 4.
d) Lập bảng xét dấu
x 3 7
x – 3 - 0 + +

10

x - 7 - - 0 +
-Xét x < 3:
(*)
( )
7
3 x 3 7 x 10 24 4x 10 4x 14 x
2
⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ − = − ⇔ =
(loại)
-Xét
3 x 7≤ <
:
(*)
( )
x 3 3 7 x 10 2x 18 10 2x 8 x 4⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔ − = − ⇔ =
(t/mãn)
-Xét
x 7≥
:
(*)
( )
17
x 3 3 x 7 10 4x 24 10 4x 34 x
2
⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
(loại)
Vậy phương trình có nghiệm x = 4.
VD2.Giải và biện luận phương trình sau
a)
2 2

x a b x b a b a
a b ab
+ − + − −
− =
(1)
b)
( )
2
2
a x 1
ax 1 2
x 1 x 1 x 1
+
−
+ =
− + −
(2)
Giải
a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ 0.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
(1) b x a b a x b a b a
bx ab b ax ab a b a
b a x 2 b a b a
⇔ + − − + − = −
⇔ + − − − + = −
⇔ − = − +
-Nếu b – a ≠ 0

b a⇒ ≠
thì
( ) ( )
( )
2 b a b a
x 2 b a
b a
− +
= = +
−
-Nếu b – a = 0
b a⇒ =
thì phương trình có vô số nghiệm.
Vậy:
-Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a).
-Với b = a, phương trình có vô số nghiệm
b) ĐKXĐ:
x 1≠ ±
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2 2
(2) ax-1 x 1 2 x 1 a x 1
ax ax x 1 2x 2 ax a
a 1 x a 3
⇒ + + − = +
⇔ + − − + − = +
⇔ + = +
-Nếu a + 1 ≠ 0

a 1⇒ ≠ −
thì
a 3
x
a 1
+
=
+
-Nếu a + 1 = 0
a 1⇒ = −
thì phương trình vô nghiệm.
Vậy:
-Với a ≠ -1 và a ≠ -2 thì phương trình có nghiệm duy nhất
a 3
x
a 1
+
=
+

11
-Với a = -1 hoặc a = -2 thì phương trình vô nghiệm.
VD3.Giải các hệ phương trình sau
1 1 5
x 2y 3z 2
x 5y 7
x y x y 8
a) b) c) x 3y z 5
3x 2y 4 1 1 3
x 5y 1

x y x y 8

+ − =
+ =


+ =
+ −

 
− + =
  
− =

 
− =
− =


− +

Giải
( )
x 7 5y
x 5y 7 x 7 5y x 7 5y x 2
a)
3 7 5y 2y 4
3x 2y 4 21 17y 4 y 1 y 1
= −


+ = = − = − =
   
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
    
− − =
− = − = = =
   

hoặc
x 5y 7 3x 15y 21 17y 17 y 1
3x 2y 4 3x 2y 4 3x 2y 4 x 2
+ = + = = =
   
⇔ ⇔ ⇔
   
− = − = − = =
   
b) ĐK:
x y≠ ±
đặt
1 1
u; v
x y x y
= =
+ −
Khi đó, có hệ mới
5
1
2v 1
u v

v
8
2
5
1
3
u v
u
u v
8
88
 
=
+ =
=

 
  
⇔ ⇔
  
+ =
  
=
− + =





Thay trở lại, ta được:

x y 8 x 5
x y 2 y 3
+ = =
 
⇔
 
− = =
 
c)
x 2y 3z 2 x 1 5y x 1 5y x 6
x 3y z 5 1 5y 2y 3z 2 7y 3z 1 y 1
x 5y 1 1 5y 3y z 5 2y z 4 z 2
+ − = = + = + =
   
   
− + = ⇔ + + − = ⇔ − = ⇔ =
   
   
− = + − + = + = =
   
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Giải các phương trình sau

12
( ) ( ) ( )
( )
2
x 17 3x 7
a) 3 x 4 5 x 2 4 3x 1 82 b) 2
5 4

x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 7x 3
c) d)
65 64 63 62 x 3 x 3 9 x
x 2 1 2
e) f ) x 3 5
x 2 x x x 2
g) 3x 1 2x 6
+ −
+ − − = − + − = −
+ + + + − −
+ = + − =
+ − −
+
− = + =
− −
− = +
( ) ( ) ( )
h) 2 x 3 2x 1 4
4x 3 x 1 2x 3 x 2
i) 5 3x x 3 3x 1 x 2 k)
3 6 2 4
− − + =
+ − − +
+ + < − + − > −
2.Giải và biện luận các phương trình sau
( )
2
2
2
x a x b

a) b a
a b
b) a x 1 3a x
ax-1 x a a 1
c)
a+1 1 a a 1
a 1 a 1 a 1
d)
x a x 1 x a x 1
− −
+ = +
− − =
+ +
− =
− −
− +
+ = +
− + − +
3.Giải các hệ phương trình sau
2 2
2 2
m n p 21
x y 24
3x 4y 5 0 2u v 7 n p q 24
a) b) c) d)
x y 8
2x 5y 12 0 p q m 23
2
u 2v 66
9 7 9

q m n 22
+ + =

+ =



+ − = − = + + =

  
   
− + = + + =
+ =
+ =



 


+ + =

4.Cho hệ phương trình
( )
m 1 x y 3
mx y m
 + − =

+ =


a) Giải hệ với m = -
2
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x + y dương.
B/ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: ax
2
+bx+c=0(a
≠
0) (1)
II-Các dạng và cách giải:
Dạng 1: c=0 khi đó (1)
⇔
ax
2
+bx = 0

⇔
x(ax+b) = 0

x o
b
x
a
=


⇔
−

=


13
Dng 2:b=0 khi ú (1)

ax
2
+c=0

x=
c
a

-Nu
c
a


0 thỡ x=

c
a
-Nu
c
a

<0 thỡ phng trỡnh vụ nghim.
Cách giải ph ơng trình bậc hai khuyết (c) dạng: ax
2
+ bx = 0

+ Phơng pháp : Phân tích vế trái thành nhân tử , rồi giải phơng trình tích.
+ Ví dụ: giải phơng trình:

063
2
xx
202
003
0)2(3
==
==
=
xx
xx
xx
Cách giải ph ơng trình bậc hai khuyết (b) dạng: ax
2
+ c = 0
+ Phơng pháp:
-Biến đổi về dạng
mxmx ==
2
- Hoặc
mxmx
mxmx
mxmxmx
==
==+
=+=
0

0
0))((0
2
2
+ Ví dụ: Giải phơng trình:

22084
22
=== xxx
B
Bài tập luyện tập Gii cỏc phng trỡnh bc hai khuyt sau:
a) 7x
2
- 5x = 0 ; b) 3x
2
+9x = 0 ; c) 5x
2
20x = 0
d) -3x
2
+ 15 = 0 ; e) 3x
2
- 53 = 0 ; f) 3x
2
+ 6 = 0
g) 4x
2
- 16x = 0 h) -7x
2
- 21 = 0 h) 4x

2
+ 5 = 0
Dng 3: Cụng thc nghim tng quỏt,cụng thc nghim thu gn
CTN TNG QUT
2
4acb =
CTN THU GN
2
,
acb =
(
,
b =
2
b
)
0
>
: Phng trỡnh cú hai nghim
phõn bit:
1,2
2
b
x
a

=
0
=
: Phng trỡnh cú nghim kộp

1 2
2
b
x x
a

= =
0
<
:Phng trỡnh vụ nghim.
,
0 >
:Phng trỡnh cú hai nghim
phõn bit:
, ,
1,2
b
x
a

=
,
0 =
:Phng trỡnh cú nghim kộp

,
1 2
b
x x

a

= =
,
0 <
:Phng trỡnh vụ nghim.
Dng 4:Cỏc phng trỡnh a c v phng trỡnh bc hai:
*Chỳ ý:dng phng trỡnh trựng phng.Phng trỡnh vụ t v dng t n ph.
*Trong trng hp gii v bin lun, cn chỳ ý khi a = 0 phng trỡnh tr thnh bc
nht mt n
III-H thc Vi-ột v ng dng

14
-Nếu phương trình (1) có hai ghiệm thì:
1 2
1. 2
b
S x x
a
c
P x x
a
−

= + =




= =




-Nếu có hai số u và v sao cho:

.
u v S
u v P
+ =


=


2
( 4 )S P≥
thì u,v là hai nghiệm của phương trình:
2
0X SX P− + =
-Nếu a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm là:
1 2
1;
c
x x
a
= =

-Nếu a+b+c = 0 thì phương ttrình có nghiệm là:
1 2
1;

c
x x
a
−
= − =
IV-Điều kiện có nghiệm của phương trình ax
2
+bx+c=0 (a
≠
0)
-Pt (1) có hai nghiệm cùng dấu
0
0P
∆ ≥


>

-Pt (1) có hai nghiệm
0
∆ ≥
có hai nghiệm phân biệt
0
∆ >
-Pt(1) có hai nghiệm dương
0
0
0
P
S

∆ ≥


>


>

-Pt (1) có hai nghiệm âm
0
0
0
P
S
∆ ≥


>


<

-Pt (1) có hai nghiệm trái dấu ac<0 hoặc P<0.
V-Tìm điều kiện của tham số để hai nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện nào
đó:
*Các dạng cụ thể là 1;2;3:
2 2
1 2
1 2
2 2

1 2
1 1
x x m
n
x x
x x h
+ =
+ =
+ =

*Biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm là:

2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2
1, ( ) 2 2
2, ( ) 4 4
3, ( )( ).
x x x x x x S P
x x x x x x S P
x x x x x x
+ = + − = −
− = + − = −
− = + −

vÝ dô gi¶I p.t b»ng c«ng thøc nghiÖm:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:

043
2
=−− xx
( a =1; b = - 3; c = - 4)

15
Ta có:
25169)4.(1.4)3(
2
=+==

0525 >==
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt:

4
1.2
5)3(
1
=
+
=x

1
1.2
5)3(
2
=

=x
Bài tập luyện tập Dựng cụng thc nghim tng quỏt gii cỏc phng trỡnh sau:

Bài1:
a) 2x
2
- 7x + 3 = 0 ; b) y
2
8y + 16 = 0 ; c) 6x
2
+ x - 5 = 0
d) 6x
2
+ x + 5 = 0 ; e) 4x
2
+ 4x +1 = 0 ; f) -3x
2
+ 2x +8 = 0
Bài2:
a/ 2x
2
5x + 1 = 0 b/ 5x
2
x + 2 = 0 c/ -3x
2
+ 2x + 8 = 0
d/ 4x
2
4x + 1 = 0 e/ - 2x
2
3x + 1 = 0 f/ 5x
2
4x + 6 = 0

g/ 7x
2
- 9x + 2 = 0 h/ 23x
2
- 9x - 32 = 0 i/ 2x
2
+ 9x + 7 = 0
k/ 2x
2

- 7x + 2 = 0 l/ x
2
- 6x + 8 = 0 m/ x
2
+ 6x + 8 = 0
Bài3:
a/ (x + 2)
2
- 3x - 5 = (1 - x)(1 + x) b/ (x + 1)
2
- x + 1 = (x - 1)(x - 2)
c/ 10x
2
+ 17x + 3 = 2(2x - 1) 15 d/ x
2
+ 7x - 3 = x(x - 1) - 1
d/ 2x
2
- 5x - 3 = (x+ 1)(x - 1) + 3 e/ 5x
2

- x - 3 = 2x(x - 1) - 1 + x
2

Bài 4:
a, 2x
2
2
2
x + 1 = 0 b, 2x
2
(1-2
2
)x -
2
= 0
c,
1
3
x
2
- 2x -
2
3
= 0 d, 3x
2
+ 7,9x + 3,36 = 0
e, -7x
2
+ 4x = 3 f, 3x
2

2
2
x = ình: ax
2
+ bx + c = 0
Bài tập luyện tập Dùng công thức nghiệm thu gọn để giải các phơng trình sau:
a) 5x
2
- 6x - 1 = 0 ; b) -3x
2
+14x 8 =0 ; c) 4x
2
+ 4x + 1 = 0
d) 13x
2
12x +1 = 0 ; e) 3x
2
2x 5 = 0 ; f) 16x
2
8x +1 = 0
Cách giải ph ơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0) bằng P
2
đặc biệt:
1. Nếu phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có a + b + c = 0 thì phơng trình có một

nghiệm
x
1
= 1 và
a
c
x
=
2
2. Nếu phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có a - b + c = 0 thì phơng trình có một
nghiệm
x
1
= - 1 và
a
c
x

=
2
Nếu phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có a + b + c = 0 thì phơng trình có một
nghiệm
x
1
= 1 và
a

c
x
=
2
3. Ví dụ:
Giải phơng trình:
0352
2
=+ xx
Ta có:
2
3
;103)5(2
21
===++=++ xxcba
Giải phơng trình:
043
2
= xx
Ta có:
4
1
)4(
;10)4()3(1
21
=

===+=+ xxcba
Bài tập luyện tập Giải các phơng trình sau bằng phơng pháp đặc biệt:

16
a) 7x
2
- 9x + 2 = 0 ; b) 23x
2
9x 32 = 0 ;
c) x
2
39x 40 = 0 ; d) 24x
2
29x + 4 = 0 ;
* Các dạng toán về biện luận ph ơng trình bậc hai:
1. Tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình có hai nghiệm phân biệt:
+ Điều kiện:
0>
; (hoặc
0
/
>
)
+ Ví dụ: Cho phng trỡnh: x
2
+ 2x 2m = 0 (1)
Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt?
Giải:
mmmcba 84)2.(1.42)2;2;1(
2
+=====
Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biệt
2

1
480840

>>>+> mmm
Bài tập luyện tập
B i 1 . Tỡm m mi phng trỡnh sau cú 2 nghim.
a/ x
2
+ 3x + 3m + 5 = 0 b/ x
2
- 2x + 4m - 1 = 0
c/ - x
2
+ 4x + m + 2 = 0 d/ x
2
+ (2m + 1)x + m
2
+ 1 = 0
Bài 2: Cho phơng trình : x
2
+ 4mx + 4m - 1 = 0
a) Giải phơng trình với m = -2
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 3: Cho phng trỡnh: x
2
+ kx + 3 = 0
1/Tỡm k phng trỡnh cú hai nghim phân biệt?
2/Tỡm k phng trỡnh cú nghim bng 3. Tớnh nghim cũn li?
Bài 4: Cho phơng trình : x
2

- 2(m - 1 ) x + 2m
2
+ 1 = 0
a) Giải phơng trình với m = - 4
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 5: Cho phơng trình : (m 4)x
2
2mx + m

2 = 0
a) Giải phơng trình với m = - 1
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 6: Cho phơng trình : kx
2
+(2k+1)x +k -1 = 0
a) Giải phơng trình với k = 3
b) Với giá trị nào của k thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
2. Tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình có nghiệm kép:
+ Điều kiện:
0
=
; (hoặc
0
/
=
)
+ Ví dụ: Cho phng trỡnh: x
2
+ 2x k = 0 (1)
Tìm giá trị của kđể phơng trình có nghiệm kép ?

Giải:
kkkcba 44).(1.42);2;1(
2
+=====
Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biệt
1440440
===+=
mkk
Bài tập luyện tập
B i1 . Tỡm m mi phng trỡnh sau cú nghim kộp.
a/ x
2
4x + k = 0 b/ x
2
+ 5x + 8m + 4 = 0
c/ - x
2
- 5x + 3m + 1 = 0 d/ x
2
(k + 2)x + k
2
+ 1 = 0
Bài2: Cho phng trỡnh: 5x
2
+ 2x 2m 1 = 0
1/Gii phng trỡnh khi m = 1
2/Tỡm m phng trỡnh cú nghim kộp.
Bài3:: Cho phơng trình: x
2
- mx + 2m - 3 = 0

a) Giải phơng trình với m = -2
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép
Bài4:: Cho phơng trình: x
2
+ (m + 1)x + m
2
= 0
a) Giải phơng trình với m = - 1
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép
Bài5: Cho phng trỡnh: kx
2
(2k-1)x + k + 1 = 0

17
1/Gii phng trỡnh khi m = 1
2/Tỡm m phng trỡnh cú nghim kộp. Tỡm nghim kộp ú ?
3. Tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình vô nghiệm :
+ Điều kiện:
0<
; (hoặc
0
'
<
)
+ Ví dụ: Cho phng trỡnh: x
2
+ 2x +n = 0 (1)
Tìm giá trị của n để phơng trình vô nghiệm?
Giải:
nnncba 44.1.42);2;1(

2
=====
Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biệt
1440440 ><<= nnn
Bài tập luyện tập Tỡm m mi phng trỡnh sau vụ nghim ?
a/ x
2
+ 2x + m + 3 = 0 b/ - x
2
- 3x + 2m - 1 = 0
c/ mx
2
(2m 1)x + m + 1 = 0 d/ mx
2
2(m+2)x + m-1 = 0
4.Tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình bậc hai có một nghiệm x = x
1
cho tr ớc
.Tìm nghiệm thứ 2
Cách tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình bậc hai có một nghiệm x = x
1
cho tr ớc
+) Ta thay x = x
1
vào phơng trình đã cho, rồi tìm giá trị của tham số
Cách tìm nghiệm thứ 2
Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình
Ví dụ: Cho phng trỡnh: x
2
x + 2m 6 = 0. (1)

a/ Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm x
1
= 1.
b/ Tìm nghiêm còn lại.
Giải:
a/ Thay x
1
= 1 vào phơng trình (1) ta đợc:
36206211
2
===+ mmm
Vậy với m = 3 Thì phơng trình (1) có một nghiệm x
1
= 1.
b/ Thay m = 3 vào PT (1) ta có:
1
0
0)1(0
063.2
2
2
=
=

==
=+
x
x
xxxx
xx

Vậy nghiệm thứ hai của Pt (1) là x = 0
Bài tập luyện tập
Bài 1: Cho phơng trình : 2x
2
- 6x + m + 6 = 0
a) Giải phơng trình với m = -3
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có một nghiệm x = - 2
Bài 2 : Biết rằng phơng trình : x
2
- 2x + 5m - 4 = 0 ( Với m là tham số )
có một nghiệm x = 1. Tìm nghiệm còn lại
Bài 3 : Biết rằng phơng trình : x
2
- (3m + 1 )x - 2m - 7 = 0 ( Với m là tham số )
có một nghiệm x = -1 . Tìm nghiệm còn lại
Bài 4: Cho phơng trình: x
2
- 2(m- 1)x + 3m - 1 = 0
Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = 2. Tìm nghiệm còn lại
Bài 5: Cho phơng trình bậc hai
(m - 2)x
2
- 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0
a) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = 1.
(Có thể dùng Định lý Vi ét: Tổng hoặc tích của hai nghiệm để tìm nghiệm thứ hai của
phơng trình
Trình bày ở mục 6
1
)
5. chứng minh ph ơng trình luôn luôn có nghiệm :

Ph ơng pháp:

18
- Lập biểu thức

- Biện luận cho
0

với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức

về
dạng:


=
mBA +
2
)(
với
0m
Ví dụ: Cho phơng trình
05)2(
2
=+ mxmx
Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
Giải:
Ta có:
5);2(;1 === mcmba

[ ]

204)44()5.(1.4)2(
2
2
++== mmmmm

844 2248
222
++=+= mmmm

08)4(
2
>+= m
Vì
0
>
với mọi giá trị của m nên phơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt.
Bài tập luyện tập
B i 1 . Cho phng trỡnh: 2x
2
mx + m 2 = 0
Chng minh rng phng trỡnh cú nghim vi mi m.
Bài 2:
Cho phng trỡnh: x
2
(k 1)x + k 3 = 0
1/Gii phng trỡnh khi k = 2
2/Chng minh rng phng trỡnh luụn cú nghim vi mi k.
Bài 3:
Cho phng trỡnh: x
2

+ (m 1)x 2m 3 = 0

2.Chng t phng trỡnh luụn cú nghim vi mi m.
2 Toán ứng dụng định lý Viét
1. Tìm nghiệm thứ 2; biết ph ơng trình có một nghiệm
1
xx
=
Phơng pháp:
+Thay giá tị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm để tính nghiêm thứ hai.
Hoặc thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm,từ đó tìm đợc nghiệm
thứ 2
Ví dụ:
Biết rằng phơng trình : x
2
- 2x + 5m - 4 = 0 ( Với m là tham số )
có một nghiệm x = 1. Tìm nghiệm còn lại
Giải: Cách1:
Thay x = 1 vào pt ta có:
10451.21
==+
mm
Thay m = 1 vào pt ta đợc: x
2
- 2x + 5.1 - 4 = 0 x
2
- 2x + 1 = 0
Theo Định lý Vi ét ta có:
a
b

xx =+
21

121
22
==+ xx
Vậy nghiệm thứ hai của phơng trình là x = 1.
Cách2:
Thay x = 1 vào pt ta có:
10451.21 ==+ mm
Thay m = 1 vào pt ta đợc: x
2
- 2x + 5.1 - 4 = 0 x
2
- 2x + 1 = 0
Theo Định lý Vi ét ta có:
a
c
xx =
21
.

11.1
22
== xx
Vậy nghiệm thứ hai của phơng trình là x = 1.

19
Bµi tËp luyÖn tËp:
Bµi 1:

Cho phương trình: x
2
– 2x + m = 0
Tìm m biết rằng phương trình có nghiệm bằng 3. Tính nghiệm còn lại.
Bµi 2 BiÕt r»ng ph¬ng tr×nh : x
2
- 2x + 5m - 4 = 0 ( Víi m lµ tham sè )
cã mét nghiÖm x = 1. T×m nghiÖm cßn l¹i
Bµi 3 : BiÕt r»ng ph¬ng tr×nh : x
2
- (3m + 1 )x - 2m - 7 = 0 ( Víi m lµ tham sè )
cã mét nghiÖm x = -1 . T×m nghiÖm cßn l¹i
LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HA I Khi biÕt hai nghiÖm x
1
;x
2
Ví dụ : Cho
1
3x =
;
2
2x =
lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
Gi¶i:
Theo hệ thức VI-ÉT ta có
1 2
1 2
5
6
S x x

P x x
= + =


= =


Vậy
1 2
;x x
là nghiệm của phương trình có dạng:
2 2
0 5 6 0x Sx P x x− + = ⇔ − + =
Bµi tËp luÖn tËp:
LËp ph¬ng tr×nh bËc hai biÕt hai nghiÖm:
1/ x
1
= 8 vµ x
2
= -3
2/ x
1
= 36 vµ x
2
= -104
BTBS thêm phần Giải các phương trình sau
2 2 2
1
a) 3x 2x 0 b) x 8 0 c) x 3x 10 0
2

+ = − + = + − =
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
d) 2x 2 1 x 1 2 2 0 e) x 4 x 3 0 f ) x 1 x 2 x 3 x 4 3+ − + − = − + = + + + + =
Giải
( )
2
x 0
a) 3x 2x 0 x 3x 2 0
2
x
3
=


+ = ⇔ + = ⇔

= −

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …
2 2
1
b) x 8 0 x 16 x 4
2
− + = ⇔ = ⇔ = ±
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …
( )
2 2
1 2

c) a 1; b 3; c 10
b 4ac 3 4.1. 10 49 0
b 3 7 b 3 7
x 2; x 5
2a 2.1 2a 2.1
= = = −
∆ = − = − − = >
− + ∆ − + − − ∆ − −
= = = = = = −
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …
d) a 2; b 2 1; c 1 2 2= = − = −
Có
a b c 2 2 1 1 2 2 0+ + = + − + − =

20
Theo hệ thức Viet, có:
1 2
c 1 2 2 2 4
x 1; x
a 2
2
− −
= = = =
e) Đặt
t x 0= ≥
, ta có pt mới: t
2
– 4t + 3 = 0.
Có a + b + c = 1 + (-4) + 3 = 0.
Vậy t

1
= 1; t
2
= 3.
Suy ra: x
1
= 1; x
2
= 9.
f)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
x 1 x 2 x 3 x 4 3 x 5x 4 x 5x 6 3
+ + + + = ⇔ + + + + =
Đặt x
2
+ 5x + 4 = t, ta có:
t .(t + 2) = 3
( ) ( )
2
t 1
t 2t 3 0 t 1 t 3 0
t 3
=

⇔ + − = ⇔ − + = ⇔

= −


Suy ra:
2 2
1 2
2 2
x 5x 4 1 x 5x 3 0
5 13 5 13
x ; x
2 2
x 5x 4 3 x 5x 7 0
 

+ + = + + =
− + − −
⇔ ⇔ = =
 

+ + = − + + =

 
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt …
VD2.Cho phương trình x
2
+ 3x – m = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = 4.
b) Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình (1).
c) Tìm m để (1) có nghiệm x= -2. Tìm nghiệm còn lại.
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2

thỏa mãn một trong các điều kiện
sau:
1. 2x
1
+ 3x
2
= 13.
2. Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia ba đơn vị.
3. x
1
2
+ x
2
2
= 11.
e) Chứng tỏ rằng
1 2
1 1
;
x x
là nghiệm của phương trình mx
2
– 3x – 1 = 0. Trong đó x
1
,
x
2
là hai nghiệm của (1).
f) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu. Em có nhận xét gì về hai
nghiệm đó.

Giải
a) Với m = 4 ta có: x
2
+ 3x – 4 = 0 (a = 1; b = 3; c = -4)
Nhận thấy: a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0
Theo hệ thức Viet, có: x
1
= 1; x
2
=
c
4
a
= −
b) có:
2
b 4ac 9 4m∆ = − = +
1 2
9
0 9 4m 0 m
4
b 3 9 4m b 3 9 4m
x ; x
2a 2 2a 2
∆ > ⇔ + > ⇔ > −
− + ∆ − + + − − ∆ − − +
= = = =

21
1 2

9
0 9 4m 0 m
4
b 3
x x
2a 2
∆ = ⇔ + = ⇔ = −
−
= = = −
9
0 9 4m 0 m
4
∆ < ⇔ + < ⇔ < −
phương trình vô nghiệm.
c) Phương trình (1) có nghiệm x = -2, do đó:
(-2)
2
+ 3(-2) – m = 0
⇔
m = -2
-Tìm nghiệm thứ hai
cách 1: Thay m = -2 vào phương trình đã cho: x
2
+ 3x + 2 = 0
có a – b + c = 1 – 3 + 2 = 0 nên x
1
= -1; x
2
=
c

2
a
−
= −
Vậy nghiệm còn lại là x = - 1.
Cách 2: Ta có x
1
+ x
2
=
b
a
−

( )
2 1
b
x x 3 2 1
a
⇒ = − − = − − − = −
Cách 3: Ta có x
1
x
2
=
c
a

2 1
c m

x : x 1
a 2
−
⇒ = = = −
−
d) Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x
1
+ 3x
2
= 13
1 2
1 2
1 2
0
b
x x
a
c
x x
a
2x 3x 13
∆ ≥



+ = −

⇔



=


+ =

1 2
1 2
1 2
9
m
4
x x 3
x x m
2x 3x 13

≥ −



+ = −
⇔


= −

+ =


giải hệ tìm được x
1

= -22; x
2
= 19; m = 418.
-Tương tự ta tìm được (x
1
= -2; x
2
= -3; m = -6); (m=1)
e) Ta có
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 x x 3
x x x x m
1 1 1 1
.
x x x .x m
+

+ = =




= = −


mà
2
2 2

3 1 9 4 9 4m
4 0
m m m m m
+
   
− − = + = ≥
 ÷  ÷
   
Vậy
1 2
1 1
;
x x
là hai nghiệm của phương trình
2 2
3 1
x x 0 mx 3m 1 0
m m
− − = ⇔ − − =

22
f) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu
9
0
m
9
m 0
4
P 0
4

m 0

∆ ≥
≥ −


⇔ ⇔ ⇔ − ≤ <
 
>


− >

Hai nghiệm này luôn âm. Vì S = - 3.
MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Giải các phương trình sau
( )
2 2 2 2
a) x 5x 0 b) 2x 3 0 c) x 11x 30 0 d) x 1 2 x 2 0− = + = − + = − + + =
( )
2
4 2
e) x 7x 12 0 f ) x 2 5 x 2 6 0− + = − − − + =
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 1 x 4
g) 0 h) x 1 x 2 x 5 x 2 20
x 4 x x 2 x x 2
−

− + = + + + − = −
− − +
2 2 2
2
1 1
i) 2x 8x 3 2x 4x 5 12 k) x 4,5 x 7 0
x x
 
− − − − = + − + + =
 ÷
 
2.Cho phương trình
2
x 2 3x 1 0− + =
, có hai nghiệm x
1
, x
2
. Không giải phương trình. Hãy
tính giá trị các biểu thức sau:
2 2
2 2 3 3
1 1 2 2
1 2 1 2
3 3
1 2 1 2
3x 5x x 3x
A x x ; B x x ; C
4x x 4x x
+ +

= + = + =
+
3.Cho phương trình x
2
+ mx + m+3 = 0.
a) Giải phương trình với m = -2.
b) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình.
c) Tính x
1
2
+ x
2
2
; x
1
3
+ x
2
3
theo m.
d) Xác định giá trị của m để x
1
2
+ x
2
2
= 10.
e) Tìm m để 2x
1
+ 3x

2
= 5.
f) Tìm m để phương trình có nghiệm x = -3. Tính nghiệm còn lại.
g) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu dương.
4.Cho phương trình bậc hai: mx
2
– (5m-2)x + 6m – 5 = 0.
a) Giải phương trình với m = 2.
b) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau.
d) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm là nghịch đảo của nhau.
e) Tìm m để phương trình có nghiệm là x = 0. Tìm nghiệm còn lại.
f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm.
5.Cho phương trình x
2
– mx + m – 1 = 0, ẩn x, tam số m.
a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
với mọi m. Tính nghiệm kép (nếu có)
cùng giá trị tương ứng của m.
b) Đặt A = x
1
2
+ x
2
2
– 6x
1

x
2
.
+) Chứng minh A = m
2
– 8m + 8.
+) Tìm m để A = 8.

23
+) Tỡm giỏ tr nh nht ca A v giỏ tr tng ng ca m.
6*.Cho phng trỡnh bc hai: ax
2
+ bx + c = 0 vi abc 0.
a) Tỡm iu kin phng trỡnh cú hai nghim x
1
; x
2
.
b) Lp phng trỡnh nhn hai s
( ) ( )
1 2
x ; x+ +
lm nghim.
c) Lp phng trỡnh nhn hai s
1 2
x ; x
lm nghim.
d) Lp phng trỡnh nhn hai s
1 2
1 1

;
x x
lm nghim.
e) Lp phng trỡnh nhn hai s
1 2
2 1
x x
;
x x
lm nghim.

Chuyên đề Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT
A.Lý Thuyết.
I.Phơng pháp giải chung.
Bớc 1. Lập PT hoặc hệ PT:
-Chọn ẩn, đơn vị cho ẩn, điều kiện thích hợp cho ẩn.
-Biểu đạt các đại lợng khác theo ẩn ( chú ý thống nhất đơn vị).
-Dựa vào các dữ kiện, điều kiện của bài toán để lập phơng trình hoặc hệ
phơng trình.
Bớc 2 Giải PT hoặc hệ PT.
Bớc 3. Nhận định so sánh kết quả bài toán tìm kết quả thích hợp, trả lời ( bằng câu viết )
nêu rõ đơn vị của đáp số.
II.các dạng toán cơ bản.
1.Dạng toán chuyển động;
2.Dạng toán liên quan tới các kiến thức hình học;
3.Dạng toán công việc làm chung, làm riêng;
4.Dạng toán chảy chung, chảy riêng của vòi nớc;
5.Dạng toán tìm số;
6.Dạng toán sử dụng các kiến thức về %;
7.Dạng toán sử dụng các kiến thức vật lý, hoá học.

III.các Công thức cần lu ý khi gbt bc lpt hpt.
1.S=V.T; V=
T
S
; T =
V
S
( S - quãng đờng; V- vận tốc; T- thời gian );
2.Chuyển động của tàu, thuyền khi có sự tác động của dòng nớc;
V
Xuôi
= V
Thực
+ V
Dòng nớc
V
Ngợc
= V
Thc
- V
Dòng nớc
3. A = N . T ( A Khối lợng công việc; N- Năng suất; T- Thời gian ).
B.Bài tập áp dụng.
Bài toán 1.( Dạng toán chuyển động)

24
Một Ô tô đi từ A đến B cùng một lúc, Ô tô thứ hai đi từ B về A với vận tốc bằng
3
2

vận tốc Ô tô thứ nhất. Sau 5 giờ chúng gặp nhau. Hỏi mỗi Ô tô đi cả quãng đờng AB mất
bao lâu.
Lời Giải
Gọi thời gian ô tô đi từ A đến B là x ( h ). ( x>0 );
Ta có vận tốc Ô tô đi từ A đến B là :
x
AB
( km/h);
Vận tốc Ô tô đi từ B về A là:
3
2

x
AB
( km/h);
Sau 5 giờ Ô tô đi từ A đến B đi đợc quãng đờng là; 5.
x
AB
(km);
Sau 5 giờ Ô tô đi từ B đến A đi đợc quãng đờng là; 5.
3
2
.
x
AB
(km);
Vì sau 5 giờ chúng gặp nhau do đó ta có phơng trình: 5.
x
AB
+ 5.

3
2
.
x
AB
= AB;
Giải phơng trình ta đợc: x =
3
25
.
Vậy thời gian Ô tô đi từ A đến B là
3
25
, thời gian Ô tô đi từ B đến A là
2
25
.

Bài toán 2. ( Dạng toán chuyển động)
Một Ô tô du lịch đi từ A đến C. Cùng lúc từ địa điểm B nằm trên đoạn AC có một Ô tô
vận tải cùng đi đến C. Sau 5 giờ hai Ô tô gặp nhau tại C. Hỏi Ô tô du lịch đi từ A đến B mất
bao lâu , biết rằng vận tốc của Ô tô tải bằng
5
3
vận tốc của Ô tô du lịch.
Lời Giải
Gọi thời gian ô tô du lịch đi từ A đến B là x ( h ). ( 0 < x< 5 ).
Ta có thời gian ô tô du lịch đi từ B đến C là ( 5 x) ( h ).
Vận tốc xe ô tô du lịch là:
x

BC
5
( km/h).
Ta có vận tốc xe tải là:
5
BC
(km/ h).
Vì vận tốc của Ô tô tải bằng
5
3
vận tốc của Ô tô du lịch, nên ta có phơng trình:
5
BC
=
5
3
.
x
BC
5
Giải phơng trình ta đợc: x = 2.
Vậy Ô tô du lịch đi từ A đến B mất 2 giờ.

Bài toán 3 ( Dạng toán chuyển động)
Đờng sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đờng bộ 10 km để đi từ thành
phố A đến thành phố B Ca nô đi hết 3 giờ 20 phút Ô tô đi hết 2 giờ.Vận tốc Ca nô kém
vận tốc Ô tô 17 km /h. Tính vận tốc của Ca nô.
Lời Giải
Gọi vận tốc của Ca nô là x ( km/h).(x> 0).
Ta có vận tốc của Ô tô là x + 17 (km/h).

25