Đề thi mẫu THPT quốc gia môn toán năm 2015 Trường THPT chuyên Hạ Long

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (319.55 KB, 9 trang )

1

CHUYÊN H
Ạ
LONG
ĐỀ
CHÍNH TH
Ứ
C
(
Đề
thi g
ồ
m 01 trang)
ĐỀ
KI
Ể
M TRA KI
Ế
N TH
Ứ
C L
Ầ
N 1
Môn: TOÁN
Th
ời gian làm bài:: 180 phút
Câu 1
(4 đi
ểm). Cho hàm s
ố:

3 2
2 6 5y x x= − + −

1. Khả
o sá
t sự
biế
n thiên và vẽ đồ thị hà
m số (C)
củ
a hàm số
đă
cho.
2.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trì
nh ti
ế
p tuy
ế
n
của
đồ thị
(C)
bi
ế
t ti

ếp tuy
ế
n
đó đ
i qua
A(-1;-13)

Câu 2

(2
đ
i
ể
m).
Tí
nh nguyên hàm
dx
x
e
x
x
∫






+
+

1
1
2
3

Câu 3
(2
điểm).

1.

Giả
i phương trình: 0
10
27
log3
log
3
=
−
+
x
x

2.
Một đội văn nghệ có 15 người gồm 9
nam
và 6 nữ. Chọn ngẫu nhiên 8
ng
ười đi hát đồng ca. Tính

xác suất để trong 8 người được chọn có số nữ nhiều hơn số nam.
Câu 4
(2
điểm). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
x
xxf
−
++
=
63
1
3)(

Câu 5
(2
điểm).
Cho
hình chóp
S.ABC
có các mặt
ABC
và SBC là những tam giác đều cạnh
a.
Góc giữa
hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là 60
0
. Hình chiếu vuông góc của S xuống (ABC)
n
ằm trong tam giác
ABC. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a.

Câu 6
(2
điểm).
Trong không gian v
ới hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
A(2;1;1), B(3;2;2) và m
ặt phẳng

(P): x + 2y – 5z – 3 = 0.
Vi
ết phương trình mặt phẳng
(
)
α
đi qua
A, B và vuông góc v
ới mặt phẳng
(P).
Xác
định hình chiếu vuông góc của A
xu
ống (P).

Câu 7 (2 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;6),
B(1;1), C(6;3).
1. Vi
ết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
2.

Tìm trên các cạnh AB
, BC
, CA
các điểm K
, H
, I
sao cho chu vi tam
giác KHI nhỏ nhất.
Câu 8 (2 điểm). Giải hệ phương trình





−
+=−
−
+−=
+++
xxy
yxy
xyy
xxy
26
825
123
1028
23
32
3

Câu 9 (2 điểm). Chứng minh rằng: Với mọi
ABC
∆
ta đều có

9 3
sin sin sin cot cot cot
2 2 2 2 2 2 2
A B C A B C
  
+ + + + ≥
  
  

HẾT
24
2

S
Ơ
L
ƯỢ
C
Đ
ÁP ÁN VÀ BI
Ể
U
Đ

I
Ể
M
Câu N
ộ
i dung
Đ
i
ể
m

Câu 1
Cho
hà
m s
ố
:
)
(
5
6
2
2
3
C
x
x
y
−
+

−=

1.

Kh
ả
o sát và v
ẽ

đồ
th
ị
hàm s
ố

5
6
2
23
−
+
−
=
x
x
y

TX
Đ
= R

+∞
=
−∞
=
−∞→
∞→=
y
y
x
x
lim
;
lim




=
=
⇔
=
+
−=
2
0
0
'
12
6
'

2
x
x
y
x
x
y

…………………………………………………………………………………
x
∞
−
0 2

∞
+

y’ -

0 + 0 -
y
∞
+

3
-5

∞

−

……………………………………………………………………………………
….
Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên
)2;0(
, hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên
)2;
(
−∞
và
(
)
+∞
;2

Đồ
th

ị
hàm s
ố
có
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i là A(2;3), có
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u là B(0;-5)
1
0
12
12
"
=
⇔
=
+
−

=
x
x
y

y”
đổ
i d
ấ
u khi x qua 1

đồ
th
ị
hàm s
ố
có
đ
i
ể
m u
ố
n U(1;-1)
Chính xác hóa
đồ
th
ị
:
x 0 2 1 3 -1
y -5 3 -1 -5 3

Đồ
th
ị
hàm s
ố
nh
ậ
n U(1;-1) làm tâm
đố
i x
ứ
ng

0,5

0.5

0,5

3

0,5

2.

Vi
ế
t ph
ươ
ng
trì
nh ti
ế
p tuy
ế
n
củ
a
đồ thị
(C) bi

ế
t ti
ế
p tuy
ế
n
đó đ
i qua
A(-1;-13)

Gi
ả
s
ử
ti
ế
p tuy
ế
n c
ầ
n tìm ti
ế
p xúc v
ớ
i
đồ
th
ị

hàm s
ố
t
ạ
i
))
(
;
(
0
0
xf
x
B

Phương trình tiếp tuyến tại B:
(
)
(
)
(
)
∆
−
+
−
−
+
−
=

5
6
2
12
6
2
0
3
0
0
0
2
0
x
x
x
x
x
x
y

đ
i qua A(-1;-13)
( ) ( )



−=
=

⇔
=
+
−
⇔
2
1
0
2
1
0
0
0
2
0
x
x
x
x

…………………………………………………………………………………….
Có hai tiếp tuyến cần tìm:
61
48
:
7
6
:
2
1

−
−
=
∆
−
=
∆
x
y
x
y

0,5

0,5

1
Câu 2
Tí
nh nguyên hàm
dx
x
e
x
x

∫






+
+
1
1
2
3

A=
dx
x
e
x
x
∫






+
+
1

1
2
3
3
2
1
x
x
xe dx dx
x
= +
+
∫ ∫

TÍnh A
1
=
∫
dx
xe
x
3

đặ
t






=
=
⇒



=
=
x
x
e
v
dx
du
dv
dx
e
x
u
3
3
3
1

1
3
3
3
3
9

1
3
1
3
1
3
1
C
e
xe
dx
e
xe
x
x
x
x
+
−
=
−
=
∫

…………………………………………………………………………………….

Tính A
2
=
2

2
2
2 2
1 ( 1) 1
ln 1
1 2 1 2
xdx d x
x C
x x
+
= = + +
+ +
∫ ∫

V
ậy
3 3 2
1 1 1
ln 1
3 9 2
x x
A xe e x C
= − + + +

0,25

0,25

0,5

0,5

0,5
4

Câu 3
1.

Giả
i ph
ươ
ng
trì
nh
0
10
27
log
3
log
3
=
−
+

x
x

Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
1
0
≠
<
x

Ph
ư
ng trình tr
ở
thành:
0
10
log
9
log
3
3
=
−
+

x
x




=
=
⇔



=
=
⇔
9
3
3
3
3
9
log
1
log
x
x
x
x

0,25

0.25

0.5

2.

M
ộ
t
độ
i v
ă
n ngh
ệ có
15 ng
ườ
i g
ồ
m 9 nam
và
6 n
ữ
.
Chọ

n ng
ẫ
u nhiên 8
ng
ườ
i
đ
i
há
t
đồ
ng ca.
Tí
nh
xá
c su
ấ
t d
ể
trong 8 ng
ườ
i
đượ
c
chọ
n
có
s
ố
n

ữ
nhi
ề
u h
ơ
n s
ố
nam.

S
ố
cách ch
ọ
n ra 8 ng
ườ
i là:
6435
8
15
=
C

S
ố
cách ch
ọ
n ra 8 ng
ườ
i mà s
ố

n
ữ
nhi
ề
u h
ơ
n s
ố
nam là:
540
.
.
2
9
6
6
3
9
5
6
=
+
C
C
C
C

…………………………………………………………………………………….
Xác su
ấ

t
để
ch
ọ
n
đượ
c 8 ng
ườ
i th
ỏ
a mãn là:

143
12
6435
540
=

0,25
0.5

0,25
Câu 4
Tì

m
giá trị
l
ớ
n nh
ấ
t,
giá trị nhỏ
nh
ấ
t
củ
a
hà
m s
ố
x
x
xf
−
+
+
=
6
3
1
3
)(

TX
Đ
=






−
6;
3
1

x
x
x
f
−
−
+
=
6
2
3
1
3

2
3
)('
xác
đị
nh trên






−
6;
3
1







−
∈
=
⇔

=
6;
3
1
4
5
0
)('
x
x
f

…………………………………………………………………………………….

( )
19
2
4
5
19
6
57
3
1
=







=
=






−
f
f
f

V
ậ
y
19
)6(
)(
min
6;
3
1
=
=







−∈
f
x
f
x

19
2
4
5
)(
max
6;
3
1
=






=







−∈
f
x
f
x

0,25

0,5

0,25

0,5

0,5

Câu 5

Cho
hì
nh
chó
p S.ABC
có cá
c m
ặ
t ABC
và
SBC
là
nh
ữ
ng tam
giá
c
đề
u
cạ
nh a.
Gó
c gi
ữ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng

(
SBC
)
và
(
ABC
)
là
60
0
hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a S

5

xu
ố
ng (ABC) n
ằ
m trong tam giác ABC.
Tí
nh th
ể tí
ch kh
ố

i
chó
p S.ABC theo a
và
tí
nh
khoả
ng
cá
ch t
ừ
B
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (SAC).

Gọi M là trung điểm của BC
L
ậ
p lu
ậ
n
đượ
c góc gi
ữ
a (SBC) và (ABC) là góc
∠

SMA = 60
0

SAM
đề
u c
ạ
nh b
ằ
ng
16
3
3
2
3
2
a
SAM
dt
a
=
∆
⇒

16
3
.
.
3
1

3
.
a
SAM
dt
BC
V
ABCS
=
∆
=

…………………………………………………………………………………….

16
39
2
3
.
4
13
.
2
1
2
a
a
a
SAC
dt

=
=
∆

13
13
3
16
39
.16
3
.3
3
))
(;(
2
3
.
a
a
a
SAC
dt
V
SAC
B
d
SACB
=
=

∆
=

0,5

0,5

0,5

0,5

Câu 6
Cho A(2;1;1), B(3;2;2) và m
ặ
t ph
ẳ
ng (P): x + 2y – 5z – 3 = 0. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
α

đ
i qua AB và vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (P). Xác
đị
nh hình chi
ế

u
vuông góc c
ủ
a A xu
ố
ng (P).

Ch
ọ
n
)1;6;7
(
−
=
∧
=
β
α
n
AB
n

⇒
phương trình mặt phẳng
(
)

(
)
(
)
(
)
0111627:
=
−
+
−
+
−
−
zyx
α

Hay
0
7
6
7
=
+
+
+
−
z
y
x

……………………………………………………………………………………

G
ọ
i A’(x
0
;y
0
;z
0
) là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a A xu
ố
ng m
ặ
t ph
ẳ
ng (P),Ta có:
' ( )
A P
∈ và ',
P
AA n
 
cùng ph
ươ

ng.






⇒





−
−
=
−
=
−
=
−
−
+
⇔
3
1
;
15
19
;

15
32
'
5
1
2
1
1
2
0
3
5
2
0
0
0
0
0
0
A
z
y
x
z
y
x

0,5

0,5

0,5

0,5
6

Câu 7
Cho tam
giá
c ABC
có
A(2;6), B(1;1), C(6;3).
a)Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế

p tam giác ABC.
G
ọ
i ph
ươ
ng trình
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác ABC là

2 2
2 2
2 2 0,( 0).
x y ax by c a b c
+ + + + = + − >

Ta có

4 36 4 12 0
1 1 2 2 0
36 9 12 6 0
139 147 240
; ;
46 46 23
a b c
a b c
a b c

a b c
+ + + + =


+ + + + =


+ + + + =

− −
⇒
= = =
(th
ỏa mãn)
V
ậy pt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
2 2
139 147 240
0.
23 23 23
x y x y
+ − − + =

b) Tìm trên các cạnh AB, BC, CA các điểm K, H, I sao cho chu vi tam giác KHI
nhỏ nhất.

A(2;6), B(1;1), C(6;3)

Ta có:
( 1; 5); (4; 3); (5;2) 26; 5; 29AB AC BC AB AC BC− − − ⇒ = = =
  




BC AB AC A C B
> >
⇒ > >
, mà
cos 0
A
>

ABC nhọn.

G
ọi E, F lần lượt đối xứng với H qua AB, AC. Ta có:
AE AH AF
= =
, suy ra tam giác AEF cân tại A và


2
EAF A
=
.
Chu vi

HIK KE KJ IF EF
∆ = + + ≥
.
G
ọi M là trung điểm EF, trong tam giác vuông AME, ta có
.sin sin
ME AE A AH A
= =
,
Suy ra: Chu vi tam giác HKI là

0,5

0,25

0,25

0,25

7

KE KJ IF EF
+ + ≥
2
EF 2sin . 2sin . ( , )

dt ABC
A AH A d A BC
R
∆
= ≥ =

D
ấ
u “=” x
ả
y ra
⇔
H là chân
đườ
ng cao k
ẻ
t
ừ
A xu
ố
ng BC và K,I là giao
đ
i
ể
m
c
ủ
a EF v
ớ
i AB, AC.

……………………………………………………………………………………
Ta ch
ứ
ng minh:



IHF CHF A
+ =
.
Có:









0 0
1
(180 2 ) 90
2
IHF AHF AHI AHF AFI AHF A C A
= − = − = − − = − +




0
90
FHC C
= −
, suy ra :



IHF CHF A
+ =
, suy ra t
ứ giác ABHI nội tiếp, suy
ra


0
90
AIB AHB
= =
, suy ra I là chân
đường cao tam giác ABC kẻ từ B. Tương
t
ự có K là chân đường cao của C xuống AB.

Ph
ương trình các đường thẳng
( ):5 4 0;( ):3 4 30 0;( ):2 5 3 0
( ):5 2 22 0;( ):4 3 1 0;( ): 5 21 0

AB x y AC x y BC x y
AH x y BI x y CK x y
− − = + − = − + =
+ − = − − = + − =

Suy ra:


















25
117
;
25
94
26

101
;
26
41
29
59
;
29
104
I
K
H

0,25

0,25

0,25
Câu 8
Giả
i h
ệ
ph
ươ
ng
trì
nh





−
+
=
−
−
+
−
=
+
+
+
x
xy

y
x
y
xy
y
x
x
y
2
6
8
2
5
12
3
10
2
8
2
3
3
2
3

Đ
iều kiện:
[
]
2;2
−

∈
x

Nh
ận xét y = 0 không thỏa mãn phương trình (2)
( )
(*)
2
3
2
2
3
2
)2(
3
3








+









=
−
+
−
⇔
y
y
x
x

Xét hàm s
ố
tttf 3)(
3
+=
trên R hàm số đồng biến trên R
(
)
y
x
y
f
x

f
2
2
2
2
(*)
=
−
⇔








=
−
⇔
thế vào (1)

(**)
0
10
3
4
4

2
6
2
3
2631022423
12
3
10
2
8
2
3
)1(
2
=
−
+
−
+
−
−
+
⇔
−+−=−+++⇔
+
−
=
+
+
+

⇔
x
x
x
x
xxxxx
xy
y
x
x
y

Đặt
2
2
4
4
3
10
2
2
2
x
x
t
t

x
x
−
−
−
=
⇒
=
−
−
+

0,5

0,5

0,5

8

Ph
ươ
ng trình (**) tr
ở
thành



=
=
⇔
=
−
3
0
0
3
2
t
t
t
t

-

V
ớ
i t=0:
5
5
6
=
=
y
x

-

V
ớ
i t=3:
2 2 2 3
x x
+ − − =
, ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m, vì v
ế
trái

2
≤

0,25

0,25
Câu 8
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng: V
ớ
i
mọ
i
ABC
∆
ta
đề
u
có
2
3
9
2
cot
2

cot
2
cot
2
sin
2
sin
2
sin
≥






+
+






+
+
C
B
A
C

B
A

Ta có :
, , 0;
2 2 2 2
A B C
π
 
∈
 
 
nên
sin ,sin ,sin ,cos , os ,cos 0
2 2 2 2 2 2
A B C A B A
c
>

0
2
sin
2
sin
2
sin
3

2
sin
2
sin
2
sin
3
≥
≥
+
+
C
B
A
C
B
A

……………………………………………………………………………………

cot cot cot
2 2 2
sin (sin cos sin cos )
2 2 2 2 2
2sin sin sin
2 2 2
sin (sin cos sin cos )
2 2 2 2 2
2sin sin sin
2 2 2

sin (sin cos sin cos )
2 2 2 2 2
2sin sin sin
2 2 2
sin cos sin cos sin cos
2 2 2 2 2 2
2sin sin sin
2 2
A B C
A B C C B
A B C
B A C C A
A B C
C A B B A
A B C
A A B B C C
A B C
+ +
+
=
+
+
+
+
+ +
=
3
2
sin cos .sin cos .sin cos
2 2 2 2 2 2

3
2sin sin sin
2 2 2
A A B B C C
A B C
≥

………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………….
3
2
cot
2
cot
2
cot
2
9
2
cot
2
cot
2
cot
2
sin
2
sin
2
sin