Đề thi mẫu THPT quốc gia môn toán năm 2015 Trường THPT Lý Tự Trọng

SỞ GD & ĐT KHÁNH HOÀ
TRƯỜNG THPT LÝ TỰ TRỌNG

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I - NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề



Câu I:
(2đ) Cho hàm số
2 1
( )
1
x
y f x
x
−
= =
−

1. Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
.
2. G
ọ
i I là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a
đồ
th
ị
(C) , hãy tìm trên
đồ

th
ị
(C)
đ
i
ể
m M có
hoành
độ
d
ươ
ng sao cho ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i
đ
i
ể
m M c
ắ
t

đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng , ti
ệ
m c
ậ
n
ngang l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i A và B th
ỏ
a mãn: 2IA
2
+ IB
2
= 12 .

Câu II:

(2đ)
Gi

ả
i các ph
ươ
ng trình sau :
1.
(1 s inx)(2sin 2 6 cosx 2sinx 3)
2
2cos 1
x
x
− + + +
=
+

2.
3 2
27 3
3
1
log log ( 4) log ( 2)
4
x x x+ + = −


Câu III:

(1đ)
Tính tích phân :
1
2

0
( )
2
x
x
x x e
I dx
x e
−
+
=
+
∫


Câu IV:

(1đ)
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ

Oxy ,cho hai
đ
i
ể
m A(1;2); B(4;1) và
đườ
ng th
ẳ
ng
d: 3x-4y+5=0. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng tròn (C)
đ
i qua A,B và c
ắ
t d t
ạ
i C, D sao cho CD = 6.

Câu V:

(1đ)
Trong m
ộ
t chi
ế

c h
ộ
p có ch
ứ
a 6 viên bi
đỏ
, 5 viên bi vàng và 4 viên bi tr
ắ
ng. L
ấ
y
ng
ẫ
u nhiên trong h
ộ
p ra 4 viên bi. Tính xác su
ấ
t
để
trong 4 viên bi l
ấ
y ra không có
đủ
c
ả
3 màu.

Câu VI:

(1đ)

Cho hình chóp
đề
u S.ABCD có
độ
dài c
ạ
nh
đ
áy b
ằ
ng a, m
ặ
t bên c
ủ
a hình chóp t
ạ
o
v
ớ
i m
ặ
t
đ
áy m
ộ
t góc 60
0
. Mp(P) ch
ứ
a AB và

đ
i qua tr
ọ
ng tâm G c
ủ
a
∆
SAC c
ắ
t SC , SD l
ầ
n l
ượ
t
t
ạ
i M,N . Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp S.ABMN theo a

Câu VII:

(1đ)
Gi
ả
i h
ệ
ph

ươ
ng trình :
3 2 3
3 2
6 13 10
2 5 3 3 10 6
x x x y y
x y x y x x y

− + = + +


+ + − − − = − − +




Câu VIII:

(1đ)
Cho
0,, ≥zyx và 3=++ zyx .Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức:

xzzyyx
P
−++
+
−++
+
−++

=
)1ln(24
1
)1ln(24
1
)1ln(24
1





H
ẾT
25
Trang 1
ĐÁP ÁN MÔN TOÁN THI THỬ LẦN I – NĂM HỌC 2014-2015 - KHỐI 12
Câu Đáp án Điểm
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) :
2 1
( )
1
x
y f x
x
−
= =
−
: (1đ)
+ Tập xác định : D = R \ {1}

+
( )
2
1
' 0;
1
y x D
x
−
= < ∀ ∈
−
: Hàm số nghịch biến trên các khoảng
( ;1)−∞

và
(1; )+∞



0.25
+
1 1
lim ; lim
x x
y y
− +
→ →
= −∞ = +∞
: TC
Đ

x = 1
+ lim 2
x
y
+
−
→ ∞
=
: TCN y = 2


0.25
+ B
ả
ng bi
ế
n thiên:
x -
∞
1 +
∞

y' - -
y 2 +
∞


-
∞
2

0.25
+
Đ
i
ể
m
đặ
c bi
ệ
t : (0;1) ;
1
;0
2
 
 
 

+
Đồ
th
ị
:
x
y
2
1

I
1








0.25
2. (1đ)
+ I(1;2) . G
ọ
i M(x
0
;
0
0
2 1
1
x
x
−
−
) ∈ (C) , x
0
> 0 ;
0
1x ≠

+ Pttt v
ớ
i (C) t
ạ
i M :
0
0
2
0 0
2 11
: ( )
( 1) 1
x
d y x x
x x
−
= − − +
− −




0.25
+ A là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a d và TC

Đ

⇒
A(1;
0
0
2
)
1
x
x −

+ B là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a d và TCN
⇒
B(2x
0
-1; 2)


0.25
+ Tính
đượ
c IA
2

=
( )
2
0
4
1x −
; IB
2
= 4(x
0
– 1)
2

+ 2IA
2
+ IB
2
= 12
⇔

2 4 2
0 0 0
2
0
2
( 1) 3 ( 1) 3( 1) 2 0
( 1)
x x x
x
+ − = ⇔ − − − + =

−

0 0
2
0 0
0
2
0 0
0
0 0
1 1 2
1 1 0 (loai)
( 1) 1
1 2 1 2
( 1) 2
1 2 1 2 (loai)
x x
x x
x
x x
x
x x
− = =
 
 
− = − =

− =
 
⇔ ⇔ ⇔


 
− = = +
− =


 
 
− = − = −
 









0.25


Câu I
(2đ)

+ KL: V
ậ
y có 2
đ
i
ể
m c
ầ
n tìm: M
1
(2;3) ; M
2
(1+
2
; 2+
2
2
)

0.25
Trang 2
1. Giải phương trình:
(1 sinx)(2sin 2 6cosx 2sinx 3)
2
2cos 1
x
x
− + + +
=

+
(1)

+
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
1 2
cos 2 ;
2 3
x x k k Z
π
π
+
−
≠ − ⇔ ≠ + ∈


0.25
(1)
(1 sinx)(4sin cos 6cos 2sin 3)
2
2cos 1
x x x x
x
− + + +
⇔ =

+


(1 sinx)(2sin 3)(2cosx 1)
2
2cos 1
x
x
− + +
⇔ =
+



0.25
(1 sinx)(2sin 3) 2
x
⇔ − + =
2
2sin sinx 1 0
x
⇔ + − =
0.25

2
2
sinx 1
2
1
6

sinx
2
5
2
6
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
π

= − +

= −




⇔ ⇔ = +


=



= +



th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n




0.25
2.

Giải phương trình:
3 2
27 3
3
1
log log ( 4) log ( 2)
4
x x x+ + = −
(1)

+
Đ

K :
0 2x< ≠

V
ớ
i
Đ
K trên, (1)
3 3 3
log log ( 4) log 2x x x⇔ + + = −


[ ]
3 3
log ( 4) log 2x x x⇔ + = − ( 4) 2x x x⇔ + = −



0.25

2
( 4) 2
2
( 4) 2
x
x x x
x
x x x
 >




+ = −


⇔

<



+ = − +




2
2
2
3 2 0
2
5 2 0
x
x x
x
x x
 >




+ + =


⇔

<




+ − =






0.25

2
1 2
5 33
2
2
5 33
2
x
x x
x
x

x
+
−
+
−
 >



= − ∨ = −


−

⇔ ⇔ =
<





−
=





0.25



Câu II:

(2đ)
Đố
i chi
ế
u
đ
k , nghi
ệ
m c
ủ
a pt :
5 33
2
x
− +
=

0.25

1
2
0
( )

2
x
x
x x e
I dx
x e
−
+
=
+
∫
=
1
2
0
( 1)
2
x
x
x x e
dx
xe
+
+
∫


Đặ
t t = xe
x

⇒
dt = (x+1)e
x
dx
0.25

Đổ
i c
ậ
n: x = 0
⇒
t =0 , x=1
⇒
t=e
0.25
0 0
2
(1 )
2 2
e e
t
I dt dt
t t
= = −
+ +
∫ ∫

0.25

Câu III:

(1đ)
= (t-2ln|t+2|)
0
|
e
= e+2ln
2
2e +

0.25
Trang 3
y
x
C
D
A
D
O
I
B
I

Nh
ậ
n xét A thu

ộ
c d nên A trùng v
ớ
i C hay D . (Gi
ả
s
ử
A trùng C)
G
ọ
i I(a;b) là tâm
đườ
ng tròn (C), bán kính R>0.
(C)
đ
i qua A,B nên IA=IB=R
2 2 2 2
(1 ) (2 ) (4 ) (1 )a b a b R⇔ − + − = − + − =

3 6b a⇔ = −








0.25
Suy ra I(a;3a-6) và R =

2
10 50 65a a
− +
(1)
G
ọ
i H là trung
đ
i
ể
m CD IH CD
⇒ ⊥
và IH = d(I;d) =
9 29
5
a− +

R=IC=
( )
2
2 2
9 29
9
25
a
CH IH
−
+ = +
(2)

0.25
T
ừ
(1) và (2) , có:
2
10 50 65a a− +
=
( )
2
9 29
9
25
a −
+


2
1
13 56 43 0
43
13
a
a a
a
=


⇔ − + = ⇔


=







0.25
Câu IV
(1đ)
+ a=1
(1; 3); 5I R
⇒
− =
. Pt
đườ
ng tròn (C): (x-1)
2
+(y+3)
2
=25
+
43
13
a =

43 51 5 61
( ; );

13 13 13
I R⇒ =
.
Pt
đườ
ng tròn (C):
2 2
43 51 1525
13 13 169
x y
   
− + − =
   
   





0.25
S
ố
cách ch
ọ
n 4 viên bi b
ấ
t k
ỳ
trong h
ộ

p :
4
15
1365C = cách
0.25
+ Ch
ọ
n 2 bi
đỏ
, 1 bi tr
ắ
ng , 1 bi vàng:
2 1 1
6 5 4
. .C C C
+ Ch
ọ
n 1 bi
đỏ
, 2 bi tr
ắ
ng , 1 bi vàng:
1 2 1
6 5 4
. .
C C C

+Ch
ọ
n 1 bi

đỏ
, 1 bi tr
ắ
ng , 2 bi vàng:
1 1 2
6 5 4
. .C C C
S
ố
cách ch
ọ
n 4 viên bi có
đủ
3 màu :

2 1 1
6 5 4
. .
C C C
+
1 2 1
6 5 4
. .
C C C
+
1 1 2
6 5 4
. .
C C C
= 720 cách

0.25
S
ố
cách ch
ọ
n 4 viên bi không
đủ
c
ả
3 màu : 1365-720 = 645 cách
0.25





Câu V
(1đ)



Xác su
ấ
t c
ầ

n tìm : P =
645 43
1365 91
=
0.25
Trang 4

J
I
N
M
G
O
C
A
D
B
S

G
ọ
i O là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a AC và BD
S.ABCD là hình chóp t
ứ

giác
đề
u nên SO
⊥
(ABCD)
G
ọ
i I, J l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB và CD , xác
đị
nh
đượ
c góc gi
ữ
a m
ặ
t bên
(SCD) và m
ặ
t
đ

áy (ABCD) là

0
60
SJI
= .


0.25
Nh
ậ
n xét
∆
SIJ
đề
u ; SO =
3
2
a
; V
S.ABCD
=
3
1 3
.
3 6
ABCD
a
SO S
=

(
đ
vtt)

0.25
Trong (SAC) , AG c
ắ
t SC t
ạ
i M , M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a SC
C/minh
đượ
c MN// AB và N là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a SD
.
1 1
2 4
SABM
SABM S ABCD

SABC
V
SM
V V
V SC
= = ⇒ =

.
1 1
4 8
SAMN
SAMN S ABCD
SACD
V
SM SN
V V
V SC SD
= ⋅ = ⇒ =





0.25
Câu VI
(1đ)
3
. . . .
3 3
8 16

S ABMN S ABM S AMN S ABCD
a
V V V V
⇒ = + = =
(
đ
vtt)
0.25
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình :
3 2 3
3 2
6 13 10 (1)
2 5 3 3 10 6 (2)
x x x y y
x y x y x x y

− + = + +


+ + − − − = − − +



(1đ)

3 3
(1) ( 2) ( 2)
x x y y
⇔ − + − = +

Xét hàm s
ố
f(t) = t
3
+t , t
R
∈
có f ’(t) = 3t
2
+1>0,
t R∀ ∈

⇒
f(t)
đồ
ng bi
ế
n trên R và
(1) 2
x y⇔ − =
(3)
0.25
Thay (3) vào (2):
3 2
5

3 3 5 2 3 10 26 (4); 1
2
x x x x x x+ − − = − − + − ≤ ≤

0.25
+ Ch
ứ
ng minh g(x) =
3 3 5 2x x+ − −

đồ
ng bi
ế
n trên
đ
o
ạ
n
5
1;
2
 
−
 
 

+ Ch
ứ
ng minh h(x) =
3 2

3 10 26x x x− − +
ngh
ị
ch bi
ế
n trên
đ
o
ạ
n
5
1;
2
 
−
 
 

g(2) = h(2) = 2
⇒
x=2 là nghi
ệ
m duy nh
ấ
t c
ủ
a pt (4)
0.25

Câu VII
(1đ)
Đ
áp s
ố

( ) ( )
; 2;0x y =

0.25
Cho 0,,
≥zyx
và 3
=++ zyx
.Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ế
u th
ứ

c:

xzzyyx
P
−++
+
−++
+
−++
=
)1ln(24
1
)1ln(24
1
)1ln(24
1



Câu VIII
(1đ)
V
ớ
i
cba
,, >0,áp d
ụ
ng b
ấ
t

đẳ
ng th
ứ
c Côsi ta có :
1 1 1 1 1 1 9
( ) 9a b c
a b c a b c a b c
 
+ + + + ≥ ⇒ + + ≥
 
+ +
 
(1)
D
ấ
u “=” x
ả
y ra
cba ==⇔

Áp d
ụ
ng (1) ta có
zzyyxx
P
−++−++−++
≥
)1ln(2)1ln(2)1ln(212
9

0.25








Trang 5
Xét
[ ]
3;0,)1ln(2)( ∈−+= ttttf


t
t
t
tf
+
−
=−
+
=
1
1
1
1
2

)(' ;
10)('
=⇔=
ttf


32ln4)3(,14ln)1(,0)0(
−=−==
fff

14ln)(32ln4
−≤≤−⇒
tf

0.25
12ln 2 9 ( ) ( ) ( ) 3ln 4 3
12ln 2 3 ( ) ( ) ( ) 12 9 3ln 4
f x f y f z
f x f y f z
⇒ − ≤ + + ≤ −
⇒ + ≤ + + + ≤ +



9 9 3
12 ( ) ( ) ( ) 9 3ln 4 3 ln 4
P
f x f y f z
⇒ ≥ ≥ =
+ + + + +

V
ậ
y
3
1
3 ln 4
MinP x y z
= ⇔ = = =
+

0.25

Mọi cách giải khác đúng của hs đều cho điểm tương ứng với mỗi phần của câu