- Trang chủ >>
- THPT Quốc Gia >>
- Toán
Đề thi mẫu THPT quốc gia năm 2015 môn toán Trường THPT Hậu Lộc 2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (603.3 KB, 7 trang )
Họ và tên thí sinh: ……………………………………………… Số báo danh: ………….
SỞ GD&ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2
Câu 1
(2 điểm). Cho hàm số = −
+ 3−2.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường thẳng
:= −−2.
Câu 2 (1 điểm).
1. Giải phương trình: sin2+2cos−sin−1=0
2. Giải phương trình: 3
−4.3
+ 27 = 0
Câu 3 (1 điểm). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
3
3 2y x x
và 2y x
Câu 4 (1 điểm).
1. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa
mãn:
|
2−1
|
=
√
5.
2. Trong một cái hộp có 40 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 40. Lấy ngẫu nhiên 3 tấm
thẻ trong hộp đó. Tính xác suất để tổng các số trên 3 tấm thẻ lấy được là một số
chia hết cho 3.
Câu 5 (1 điểm). Cho hình chóp . có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3. Chân
đường cao hạ từ đỉnh S lên mp() là điểm H thuộc cạnh AB sao cho =3.;
góc tạo bởi đường thẳng và mp() bằng 60
. Tính theo a thể tích của khối
chóp . và khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
Câu 6 (1 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ cho hình thang cân có hai đáy là và
BC; biết = , = 7. Đường chéo AC có phương trình −3−3 = 0; điểm
(−2;−5) thuộc đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng biết rằng
đỉnh (1;1).
Câu 7 (1 điểm). Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng
(
)
:−++2= 0 và
điểm (1;−1;2). Tìm tọa độ điểm ′ đối xứng với điểm qua mặt phẳng ().
Viết phương trình mặt cầu đường kính ′.
Câu 8 (1 điểm). Giải hệ phương trình:
2
2 2
2 2 3 2
1
( 1) 2 1
4 ( 3 2)( 2 1)
y
x y
x
y y x x x
Câu 9 (1 điểm). Cho các số thực dương ,, thỏa mãn ≥1,≥1. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
3
2
1 1 3( 1)
x y z
P
y x xy
.
Đ
Ề
THI TH
Ử
THPT QU
Ố
C GIA
LẦN 2 - NĂM HỌC 2014-2015
MÔN: TOÁN HỌC
Thời gian làm bài: 180 phút
H
Ế
T
- Cán bộ coi thi không
gi
ải thích gì thêm
- Thí sinh không được dùng tài liệu
33
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu Nội dung Điểm
1.1
(1đ)
- Khảo sát và vẽ đồ thị
1/ TXĐ :
=
ℝ
2/ Sự biến thiên:
Giới hạn:
lim
→±
= lim
→±
(
−
+ 3−2
)
= ∓∞
Chiều biến thiên:
= −3
+ 3 ⟹
= 0 ⟺= ±1
Bảng biến thiên
x
-1 1
y’
−
0
+
0
−
y
0
-4
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;−1) và (1;+∞)
Hàm số đồng biến trên khoảng (−1;1)
Hàm số đạt cực tiểu tại = −1,
= −4
Hàm số đạt cực đại tại
= 1,
Đ
= 0
3/ Đồ thị:
- Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm
(0;−2), cắt trục Ox tại các điểm (−2;0)
và (1;0).
- Đồ thị hàm số nhận điểm uốn
(0;−2) làm tâm đối xứng.
0,25đ
0,5đ
\
0,25đ
1.1
(1đ)
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường thẳng
:
=
−
−
.
- Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:
−
+
3
−
2
=
−
−
2
⟺
−
4
=
0
⟺
=
0
= ±2
Suy ra các tiếp điểm là:
(
0;−2
)
,
(
2;−4
)
,(−2;0)
Ta có:
= −3
+ 3
Suy ra các tiếp tuyến là: =3−2
=
−
9
+
14
=
−
9
+
18
0,25đ
0,25đ
0,5đ
2.1
(0,5đ)
Giải phương trình:
+
−
−
=
sin
2
+
2
cos
−
sin
−
1
=
0
⟺
2
sin
.
cos
+
2
cos
−
sin
−
1
=
0
⟺2cos.
(
sin+ 1
)
−
(
sin+ 1
)
= 0
⟺
(
sin+ 1
)(
2cos−1
)
= 0
⟺
sin
=
−
1
cos
=
⟺
= −
+ 2
=
±
+
2
(
∈
ℤ
)
0,25đ
0,25đ
2.2
(0,5đ)
Giải phương trình:
−
.
+
=
3
−
4
.
3
+
27
=
0
⟺3
(
)
−12.3
+ 27 = 0
Đặt = 3
,(> 0),tađượcphươngtrình:
−12+27 = 0
⟺
=3
=9
⟺
3
= 3
3
= 9
⟺
2+4 = 1
2+4 = 2
⟺
= −
3
2
= −1
Vậyphươngtrình có 2 nghiệm là:
=
−
3
2
;
=
−
1
0,25đ
0,25đ
3.
(1đ)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
3
3 2
y x x
và
2
y x
- Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị các hàm số đã cho:
−
+ 3−2 = −−2 ⟺
−4= 0 ⟺
=
0
= ±2
Suy ra diện tích của hình phẳng cần tính là:
=
|(
−
+ 3−2
)
—(−−2
)
|
.
+
|(
−
+ 3−2
)
—(−−2
)
|
.
=
|
−4
|
+
|
−
+ 4
|
=
(
−4
)
+
(
−
+ 4
)
=
4
−2
+
−
4
+ 2
=
4
+
4
=
8
Vậy
=
8
(
đ
)
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
4.1
(0,5đ)
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn:
|
−
|
=
√
.
Giả sử
=
+
,
(
,
∈
ℝ
)
Suy ra:
|
2−1
|
= √5 ⟺
|
2
(
+
)
−1
|
= √5 ⟺
|
−2−1 −2
|
= √5
⟺
(
−2−1
)
+
(
−2
)
= √5
⟺4
+ 4
+ 4+1 =√5
⟺
+
+ −1 = 0
⟺
+ +
1
2
=
5
4
Vậy tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức đã cho là một
đường tròn có tâm
0
;
−
và bán kính
=
√
.
0,25đ
0,25đ
4.2
(0,5đ)
Trong một cái hộp có 40 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 40. Lấy ngẫu nhiên 3 tấm thẻ
trong hộp đó. Tính xác suất để tổng các số trên 3 tấm thẻ lấy được là một số chia hết
cho 3.
Giải:
- Số cách lấy ngẫu nhiên 3 tấm thẻ trong hộp là:
.
- Trong 40 tấm thẻ đó có :
+ 1 = 13 tấm thẻ mang số chia hết cho 3
+ 1 = 14 tấm thẻ mang số chia 3 dư 1
+ 1 = 13 tấm thẻ mang số chia 3 dư 2
- Để tổng 3 số ghi trên 3 tấm thẻ là số chia hết cho 3 thì phải xảy ra
các trường hợp sau:
i. Cả 3 số đều chia hết cho 3: có
cách lấy
ii. Cả 3 số đều chia 3 dư 1: có
cách lấy
iii. Cả 3 số đều chia 3 dư 2: có
cách lấy
iv. Có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2:
có
.
.
cách lấy.
- Suy ra xác suất cần tính là:
=
+
+
+
=
127
380
≈
0
,
33
0,25đ
0,25đ
5.
(1đ)
Cho hình chóp
.
có đáy là tam giác
đều cạnh bằng
. Chân đường cao hạ
từ đỉnh
lên mp
(
)
là điểm
thuộc cạnh
sao cho
=
.
; góc tạo bởi
đường thẳng và mp() bằng
. Tính theo thể tích của khối chóp . và
khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
+ Nhận thấy
⊥
(
)
⇒
là hình chiếu của
trên mặt phẳng (ABC)
⇒
=
60
là góc giữa SC và mp(ABC).
Ta có:
=
+
−2...cos60
= 9
+
−2.3..
= 7
⇒=
√
7 ⇒= .tan60
= .
√
21
Lại có:
=
√
Nên:
.
=
.
=
.
√
21
.
√
=
√
0,25đ
0,25đ
+ Dựng
⃗
=
⃗
⇒
//
⇒
//
(
)
⟹
(
;
)
=
;
(
)
=
;
(
)
=
3
.
(
;
(
)
)
+ Dựng ⊥ tại E ⇒⊥
(
)
⇒
(
)
⊥() (theo giao tuyến )
+ Dựng ⊥ tại ⇒⊥
(
)
⇒= (;
(
)
)
Ta có: = .sin60
=
√
1
=
1
+
1
=
4
3
+
1
21
=
29
21
⟹=
√
21
√
29
⟹
;
(
)
=
3
√
21
√
29
Vậy
(
;
)
=
√
√
0,25đ
0,25đ
6.
(1đ)
Trong mặt phẳng tọa độ
cho hình thang cân
có hai đáy là
và BC; biết
=
,
=
. Đường chéo AC có phương trình
−
−
=
; điểm
(
−
;
−
)
thuộc đường thẳng
. Viết phương trình đường thẳng
biết rằng
đỉnh
(
;
)
.
Giải
+ Do ABCD là hình thang cân nên
ABCD là hình thang nội tiếp
đường tròn.
Do = = nên AC là
đường phân giác trong góc
.
+ Gọi E là điểm đối xứng của B
qua AC ⟹∈.
Ta có phương trình là:
3+−4= 0.
Gọi =∩⟹ tọa độ F là nghiệm của hệ:
−3−3 = 0
3+−4= 0
⟺
=
3
2
=−
1
2
⟹=
3
2
;−
1
2
Do F là trung điểm của BE nên = (2;−2)
Lại do ∈ nên phương trình AD là: 3−4−14 = 0
+ Điểm = ∩⟹tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:
3−4−14 = 0
−3−3 =0
⟺
= 6
=1
⟹=(6;1)
+ Gọi =(2 + 4;−2 + 3) ∈
Do =7 ⟹
= 49 ⟺
(
4−4
)
+
(
3−3
)
= 49 ⟺25
(
−1
)
= 49
⟺
(
−1
)
=
49
25
⟺
−1 =
7
5
−1 =−
7
5
⟺
=
12
5
=−
2
5
⟹
=
58
5
;
26
5
=
2
5
;−
16
5
Tuy nhiên, điểm B và điểm D luôn nằm về 2 phía của đường thẳng AC do đó kiểm
tra vị trí tương đối của điểm B và 2 điểm D đó ta thấy chỉ có điểm
thỏa mãn.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Do đó
=
;
−
.
+ Do BC//AD nên phương trình đường thẳng BC là: 3−4+ 1 = 0
Điểm = ∩⟹tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:
3−4+ 1 = 0
−3−3 =0
⟺
= −3
=−2
⟹= (−3;−2)
Tuy nhiên ta tính được
=
5
,
=
√
13
⇒
không phải là hính thang
cân, mâu thuẫn với giả thiết. Vậy bài toán vô nghiệm.
0,25đ
7.
(1đ)
Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng
(
)
:
−
+
+
=
và điểm
(
;
−
;
)
. Tìm tọa độ điểm
′
đối xứng với điểm
qua mặt phẳng
(
)
. Viết
phương trình mặt cầu đường kính
′
.
+ Gọi
Δ
là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P), khi đó
Δ
nhận vectơ pháp
tuyến
⃗
=
(
1
;
−
1
;
1
)
của mp(P) là vec tơ chỉ phương. Do đó phương trình tham
số của Δlà:
= 1 +
=−1 −
= 2 +
+ Gọi = Δ∩() ⟹ tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:
= 1 +
=−1 −
= 2 +
−+ +2 = 0
⟺
=−2
= −1
= 1
= 0
⟹= (−1;1;0)
+ Gọi
là điểm đối xứng của A qua mp(P) khi đó I là trung điểm của ′
⟹
= (−1;3;−2)
+ Mặt cầu đường kính ′ có tâm là =(−1;1;0) và bán kính = =
√
12
Suy ra phương trình mặt cầu đường kính
′
là:
(
+
1
)
+
(
−
1
)
+
=
12
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
8.
(1đ)
Giải hệ phương trình:
2
2 2
2 2 3 2
1
( 1) 2 1 (1)
4 ( 3 2)( 2 1) (2)
y
x y
x
y y x x x
+ ĐK:
≠
0
,
−
√
2
≤
≤
√
2
PT(1)
⟺
(
+
1
)
+
=
2
(
+
1
−
)
⟺
(
+ 1
)(
+ −2
)
+
(
+ 2
)
= 0
⟺
(
+ 2
)(
+ 1
)(
−1
)
+
(
+2
)
= 0
⟺
(
+ 2
)(
+
−1
)
= 0
⟺
+2 = 0(ạ)
+
= 1
+ Với
+
= 1 ⟹
= 1−
, thay vào PT(2) ta được PT:
4
=
(
−
+ 3−2
)
+ 1 + 1
⟺4
(
+ 1 −1
)
=
(
−
+ 3−2
)
+ 1 + 1
⟺4
+ 1 + 1
+ 1 −1=
(
−
+ 3−2
)
+ 1 + 1
⟺4
+ 1 −1=
−
+ 3−2
⟺
−3−2 =
−4
+ 1 (3)
0,25đ
0,25đ
+ Do
+
= 1⟹
0 ≤
≤1
0 ≤
≤1
⟹
−1 ≤≤1
−1 ≤≤1
+ Xét hàm số:
(
)
=
−3−2 trên đoạn
[
−1;1
]
Có
(
)
= 3
−3 ⟹
(
)
= 0 ⟺= ±1
Do hàm số () liên tục trên đoạn
[
−1;1
]
và
(
−1
)
= 0,
(
1
)
= −4
Suy ra
min
∈[;]
() =−4, max
∈[;]
(
)
= 0
Hay
(
)
≥−4,∀∈[−1;1] (a)
+ Xét hàm số:
(
)
=
−4
+ 1
trên đoạn [−1;1]
Có
(
)
= 2−
⟹
(
)
= 0 ⟺
=0 ∈(−1;1)
= ±
√
3 ∉[−1;1]
Do hàm số () liên tục trên đoạn
[
−1;1
]
và
(
−1
)
=
(
1
)
= 1 −4
√
2,
(
0
)
= −4
Suy ra
max
∈[;]
() =−4, min
∈[;]
() = 1 −4
√
2
Hay
(
)
≤−4,∀∈[−1;1] (b)
+ Từ (a) và (b) suy ra PT(3) ⟺
(
)
=
(
)
= −4 ⟺
= 1
=0
(thỏa mãn PT(1))
Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất
(
;
)
= (1;0)
0,25đ
0,25đ
9.
(1đ)
Cho các số thực dương ,, thỏa mãn ≥,≥. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
3
2
1 1 3( 1)
x y z
P
y x xy
.
+ Trước hết ta chứng minh kết quả sau:
Với ,> 0 thỏa mãn: ≥1 ta có:
+
≥
√
(1)
Thật vậy:
(
1
)
⟺
(
+ + 2
)
1 +
≥2
(
+ +
)
⟺
(
+
)
+ + + 2
+ 2 ≥2+ 2
(
+
)
+ 2
⟺
(
+
)
−1
≥2
−1
⟺
−1
+ −2
≥0
⟺
−1
√
−
≥0 luôn đúng do ≥1 (đpcm)
+ Mặt khác, theo BĐT AM-GM ta có:
+ 2 =
+ 1 + 1 ≥3≥3
⟹≥
+1
+ 1 +
+ 1
+ 1 +
1
+1
−2
=
(
++ 1
)
+
+
−2 ≥
2
+ 1
√
+
−2 (do (1))
+ Đặt =
,(≥1) ta được:
≥
(
)
=
(
2+ 1
)
.
2
+1
+
1
+ 1
−2 =
2
+ 1
+
1
+ 1
Ta có:
(
)
=
(
)
−
(
)
=
(
)
(
)
(
)
(
)
≥0,∀≥1
⟹
(
)
đồng biến trên
[
1;+∞
]
⟹
(
)
≥
(
1
)
=
,∀≥1 ⟹≥
Vậy
=
⟺= == 1.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Chú ý: - Thí sinh làm theo cách khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
- Câu 5 nếu không vẽ hình hoặc vẽ sai cơ bản thì không chấm điểm.
CảmơnbạnVìSaoLặngLẽ ()đãgửitới www.laisac.page.tl
