ĐỀ THI THỬ ĐH LÊ QUÝ ĐÔN QT LẦN 1

TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011
Môn thi: TOÁN - Khối A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I: (2.0 điểm) Cho hàm số
23
2
−
=
−
x
y
x
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B và diện
tích tam giác OAB bằng 2.
CâuII: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
()
2 sin 2 sin 2 sinx 1
44
xx
ππ
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞
+
−−= +
⎜⎟⎜⎟
⎢⎥

⎝⎠⎝⎠
⎣⎦

2. Giải hệ phương trình:
32 0
551
xy xy
xy
⎧
−− =
⎪
⎨
4
−
+−=
⎪
⎩

CâuIII : (1,0 điểm) Tính tích phân:
2
2
6
cot x
1sin
Id
x
π
π
=
+

∫
x
.
Câu IV: (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Biết khoảng cách
từ tâm của tam giác A’B’C’ đến mặt phẳng (AB’C’) bằng
6
a
. Tính theo a thể tích của lăng trụ.
Câu V: (1,0điểm) Cho 3 số thực dương x,y,z thoả mãn:
111
1
x
yz
+
+=.
Chứng minh rằng:
222
xxy4
x
yzxy
xyz yz z
z
+
+
++≥
+++

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A, hoặc B).
A. Theo chương trình Chuẩn:
Câu VI.a (2,0 điểm)

1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho: A(1 ; 2), B(3 ; 0) . Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm
A, B và cắt trục Oy theo một dây cung có độ dài bằng
210 .
2. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): x + y – 2z – 1 = 0 , ( β) : 3x + y – 5 = 0 và điểm
A( 3 ; -1 ;0). Tìm toạ độ các điểm M thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (α), ( β) sao cho M cách đều
A và mặt phẳng Oxz.
Câu VII.a (1,0điểm)
Tìm m để phương trình:
ln 1 .ln 0xmx++ = có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; e
3
].
B.Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ∆ABC có điểm C thuộc đường thẳng: x + y – 3 = 0, phương trình
cạnh AB: 2x - 3y + 11 = 0, đường cao AH: 4x - 3y + 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC biết
diện tích tam giác ABC bằng
17
2
và B có hoành độ âm.
2. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x - 3)
2
+ y
2
+ (z + 2)
2
= 4. Viết phương trình mặt
phẳng (α) chứa trục Oz và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Câu VII.b (1,0điểm) Tìm m để hàm số
2
1x

y
x
m
−
=
+
có 2 điểm cực trị x
1
, x
2
thuộc khoảng (- ∞; 1).
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh : ; Số báo danh :

Chữ kí giám thị 1 : ; Chữ kí giám thị 2 :
Đ 011
Câu Hướng dẫn & Đáp án Điểm
ÁP ÁN+THANG ĐIỂM CHẤM TOÁN THI THỬ ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2

1. (1,0 điểm) Học sinh khảo sát đầy đủ các bước và vẽ đúng chính xác đồ thị 1đ
2. (1,0 điểm) Ta có:
2x,
2x
3x2
0
⎞
⎛
−

;xM
0
0
0
≠
⎟
⎟
⎠
⎜
⎜
⎝
−
,
()
2
0
0
2x
1
)x('y
−
−
=

Phương trình tiếp tuyến (∆) của ( C) tại M :
()
0
0
2
0

0
23
1
()
2
2
x
yxx
x
x
−
−
=−+
−
−




0,25đ

Giao điểm A, B của (∆) với hai trục toạ độ:
()
()
2
2
00
00
2
0

266
2 6 6;0 ; 0;
2
xx
Ax x B
x
⎛⎞
−
+
−+
⎜⎟
⎜
−
⎝

⎟
⎠

,25đ 0

S
∆OAB
= 2 ⇔ OA .OB = 4 ⇔
()
()
2
2
00
2
0

266
4
2
xx
x
−+
=
−


0,25đ
I
Giải ra x
0
= 1. Kết luận : (∆) : y = - x + 2
0,25đ
1. (1,0 điểm)
()
2 sin 2 sin 2 sinx 1
44
xx
ππ
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞
+− − = +
⎜⎟⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠
⎣⎦

⇔ ( sin2x + cos2x) – ( sinx - cosx) = 2 (sinx + 1)
,25đ


0

⇔ 2sinx.cosx – 2sin
2
x – 3sinx + cosx – 1 = 0
0,25đ
⇔ cosx(2sinx + 1) – sinx(2sinx + 1) – (2sinx +1) = 0 ⇔ (2sinx +1).( cosx – sinx – 1) = 0
0,25đ
7
2 2 2 2
66 2
x
kx kxkx k
π
ππ
π
ππ π
−+ ∨ = + ∨ = ∨ =−+

⇔=
,25đ

0
2. (1,0 điểm)
3 2 0 (1)
5 5 1 4 (2)

xy xy
xy
⎧
−− =
⎪
⎨
−+ −=
⎪
⎩

ĐK: x ≥ 5 , y ≥ 1/5
(1)
()
()
2xy y⇔−− 0y x+ =

,25đ





0

()()
30yxx y⇔+ − =
⇔ x = 9y
0,25đ
Thay x = 9y vào (2) ta được:
()()

95 514 9551117yy yy−+ −= ⇔ − − = −

y
0,25đ
II
9 ( loại) . Kết luận: Nghiệm của hệ: (x ; y) = (9; 1) 0,25đ Giải ra được: y = 1 hoặc y = 2

(1,0 điểm)
2
2
6
cot x
1sin
Idx
x
π
π
=
+
∫
=
2
2
6
cos x
sinx(1 sin )
dx
x
π
π

+
∫
=
1
2
1
2
dt
(1 )tt+
∫


,5đ

0
=
()
22
1
2
1
2
1- t
dt
(1 )
t
tt
+
+
∫

=
1
2
1
2
1
dt
1
t
tt
⎛⎞
−
⎜⎟
+
⎝⎠
∫


,25đ 0
III
=
18
ln2 - ln
25


,25đ 0
IV (1,0 điểm)
∆A’B’C’, M là trung điểm B’C’
)⊥mp(AB’C’).

∆ đồ ạng nên:
Gọi G’ là tâm
Chứng tỏ được B’C’⊥mp(AB’C’)→ mp(AB’C’
Dựng G’H ⊥ AM (H∈ AM)→ d(G’;(AB’C’)) = G’H = a /6
∆AA’M & G’HM ng d
''
'
A
AGH
A
MGM
=

⇒AA’=
6
4
a
.V
ABC.A’B’C’
= S
∆ABC
. AA’=
3
32
16
a



0,25đ

,25đ
,25đ
0,25đ

0

0
G'
M
C'
B'
C
B
A
A'
H
(1,0 điểm)
* ĐK :
111
1
x
yz
++= ⇔ xy + yz + xz = xyz
*VT =
33
222
xyz
xyz
3
xyz y xyz z

++
+++x





0,25đ
=
()()()()()
33
x(z+y)
xy
xxyzxy yxyzxy zzy
++
++ + ++ + ++
3
z

=
()()()()()
33

xyz
xy xz yx yz zy
++
++ ++ +
3
.(z + x)

0,25đ
* Mà:
()()
3
3
.884
x
xy xz x
xy xz
++
++≥
++
; Tương tự

0,25đ
V
Cộng vế theo vế, suy ra điều cần chứng minh. 0,25đ
1.(1,0 điểm)
*Gọi I(a; b) là tâm đường tròn (C), d(I, Oy) = ⎢a⎥
Từ giả thiết suy ra: IA
2
= IB
2
= a
2
+ 10

0,25đ
Hay:
()( )()
()
22 2
2
2
2
22
123
444
61
3 = a 10
abab
ab
ab
ab
⎧
−+−=−+
−
=
⎧
⎪
⇔
⎨⎨
−
+=
−+ +
⎩

⎪
⎩


0,25đ

1; a = 0
b
=7; a =8
b =−
⎡
⇔
⎢
⎣


0,25đ
KL: (C
1
): x
2
+ (y + 1)
2
= 10, (C
2
): (x - 8)
2
+ (y - 7)
2
= 74 0,25đ

2.(1,0 điểm)
* Gọi M(x; y; z) là điểm thoả đề bài , ta có:
210
350
(;(Ox))
xy z
xy
M
AdM z
+− −=
⎧
⎪
+−=
⎨

⎪
=
⎩



0,25đ
()( )
22
22
210
350
31
xy z
xy

x
yzy
⎧
+− −=
⎪
⎪
⇔+−=
⎨
⎪
−+−−+=
⎪
⎩
22
53
2
62 10
yx
zx
xxyz
⎧
=−
⎪
⇔=−
⎨
⎪
0
−
+++=
⎩

0,5đ
VIa
2
210 2 6
350 1
04
8120
xy z x x
x y y hay y
zz
xx
⎧
+− −= = =
⎧⎧
⎪⎪
⇔+−= ⇔=− =−
⎨⎨
⎪⎪
==
−+=
⎩⎩
⎩
13
⎪
⎨
⎪
−
. KL: M

1
(2; -1; 0), M
2
(6; -13; - 4)


0,25đ
(1,0 điểm) ln 1 .ln 0xmx
+
+= (1)
* Đặt :
3
ln 1, (x 1; t [1; 2] ) tx e
⎡⎤
=+∈ →∈
⎣⎦
. Pt (1) trở thành: t + m(t
2
– 1) = 0 (2)


0,25đ
VIIa
* (2) ⇔ m =
2
1
t
t−
( t = ± 1 không thoả (2) ).Xét sự biến thiên của f(t) =
2

1
t
t−
trên (1; 2]

* f ’(t) =
()
2
2
2
1
0, x (1; 2]
1
t
t
+
>∀∈
−
,
*BBT: Dựa vào BBT, kết luận: m ≤ - ⅔ thì (1)

có ít nhất một nghiệm thuộc đoan [1; 3]


t 1 2
f’(t) +
f(t) - ∞ - ⅔

0,25đ

0,25đ



0,25đ


1.(1,0 điểm)
* A = AB ∩ AH → A(2 ; 5)
* B ∈AB :
()
23
23 ; 52
52
xt
B
tt
yt
=+
⎧
→+ +
⎨
=+
⎩




0,25đ

* C ∈(d) : x + y - 3 = 0 → C(k ; 3 - k)
*
(
)
(
)
ABC
3324 22
17
BC AH & S
2
.( ; ) 17
kt kt
AB d C AB
∆
−
−− = −−−
⎧
⎪
⊥=⇔
⎨
=
⎪
⎩



0,25đ

()

17 14 0
5217
kt
tk
+
+=
⎧
⎪
⇔
⎨
+
=
⎪
⎩


0,25đ
VIb
2
2
1
85 68 17 0 ( )
1
(loai)
85 68 17 0
5
t
tt VN
t
tt

=−
⎡
⎡
++=
⎢
⇔⇔
⎢
⎢
=
+−=
⎣
⎣
→ B(-1 ; 3)
KL: Pt BC : 3x + 4y – 9 = 0


0,25đ
2.(1,0 điểm)
*Mặt cầu (S) có tâm I(3 ; 0 ; - 2), bán kính R = 2

0,25đ
* Mp(α) chứa trục Oz nên pt có dạng: ax + by = 0 (a
2
+ b
2
≠ 0)
0,25đ
* Mp(α) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên: d(I,(α)) = R
22
22

3
25 4
a
ab
ab
⇔=⇔=
+


0,25đ

* Lập luận để chọn b =
52a→=±.
KL: PT mp(α) : 2x +
5 y = 0 hay – 2x + 5 y = 0

0,25đ
.(1,0 điểm)
2
1x
y
x
m
−
=
+
(1) ( x ≠ - m),
()
2
2

21
'
x
mx
y
xm
+
+
=
+



0,25đ
y’ = 0 ⇔ x
2
+ 2mx + 1 = 0 (2) ( x ≠ - m).
Hàm số (1) có hai điểm cực trị thuộc (- ∞ ; 1) khi: Pt (2) có hai nghiệm x
1
, x
2
khác –m và
x
1
< x
2
< 1 hay: .
()()
'
12

12
22
0
11
2
210
xx
xx
mm
⎧
∆>
⎪
−−>
⎪
⎨
+<
⎪
⎪
−+≠
⎩
0




0,25đ

2
10
1(2)1 0

22
m
m
m
⎧
−>
⎪
⇔−− +>
⎨
⎪
−<
⎩


0,25đ
VIIb
1 m > 1
2 2 0 1
22
m
mm
m
<− ∨
⎧
⎪
⇔+> ⇔>
⎨
⎪
−<
⎩

0,25đ

(Học sinh giải theo cách khác, quý Thầy Cô tự xem xét và phân theo thang điểm thích hợp)