Giải phương trình vô tỉ bằng cách chuyển về hệ phương trình hữu tỉ

Giải phương trình vô tỉ bằng cách chuyển về hệ phương trình hữu tỉ
Phần I : Lý do nghiên cứu
I. Cơ sở lý luận:
Trong quá trình phát triển , xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sự
nghiệp đào tạo con người . Chính vì vậy mà dạy toán không ngừng được bổ
sung và đổi mới để đáp ứng sự ra đời của nó và sự đòi hỏi của xã hội . Vì vậy
mỗi người giáo viên nói chung phải luôn luôn tìm tòi , sáng tạo , đổi mới
phương pháp dạy học để đáp ứng với chủ trương đổi mới của Đảng và nhà nước
đặt ra .
Trong chương trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về phương trình
vô tỉ không nhiều song lại rất quan trọng . Đó là một trong những tiền đề để học
sinh tiếp tục học lên ở THPT.
Khi giải toán về phương trình vô tỉ đòi hỏi học sinh phải năm vững các
kiến thức cơ bản về căn thức , phương trình , hệ phương trình , các phép biến
đổi đại số ….Học sinh biết vận dụng linh hoạt , sáng tạo các kiến thức , kỹ năng
từ đơn giản đến phức tạp.
Đặc biệt ,những năm gần đây trong các kỳ thi học sinh giỏi huyện , tỉnh hay
trong các kỳ thi tuyển sinh vào THPT các em thường gặp các bài toán về giải
phương trình vô tỉ. Song vì các em ít được tiếp xúc , số lượng bài tập trong sách
giáo khoa rất ít nên việc định hướng cho các em về phương pháp giải còn rất
khó khăn.
2. Cơ sở thực tiễn:
Phương trình vô tỉ là loại toán mà học sinh trung học cơ sở coi là loại toán
khó .
Các bài toán về phương trình vô tỉ là một dạng toán hay và khó . Tuy
nhiên , các tài liệu viết về vấn đề này rất hạn chế . Trong một số tài liệu , một số
phương pháp được các tác giả đưa ra như phương pháp nâng lê luỹ thừa ,
phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối , phương
pháp đặt ẩn phụ , phương pháp bất đẳng thức hay phương pháp đưa về phương
trình tích,…Song trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi , học sinh thi vào
trường THPT và thực tế một số dạng bài toán về phương trình vô tỉ, tôi nhận

thấy việc chuyển phương trình vô tỉ về hệ phương trình hữu tỉ có nhiều thuịân
lợi hơn cho các em .
Xuất phát từ những lý do trên , tôi đã suy nghĩ và qua thực tiễn quá trình
bồi dưỡng học sinh giỏi tôi đưa ra phương pháp “ giải phương trình vô tỉ bằng
cách chuyển phương trình vô tỉ về hệ phương trình hữu tỉ”. Mặc dù đã có một số
tác giả viết về vấn đề này song còn rất chung chung , học sinh khó vận dụng.
Do đó tôi chọn sáng kiến này nhằm đưa ra một phương pháp giải cụ thể giúp
các em trong quá trình học toán .
1
Giải phương trình vô tỉ bằng cách chuyển về hệ phương trình hữu tỉ
II. Mục đích nghiên cứu :
+ Nghiên cứu về “giải phương trình vô tỉ bằng cách chuyển phương trình
vô tỉ về hệ phương trình hữu tỉ” . Giúp giáo viên nâng cáo năng lực tự ngiên cứu
, đồng thời vận dụng tỏng hợp các tri thức đã học , mở rộng đào sâu . Từ đó có
phương phương pháp dạy có phần nào hiệu quả hơn.
+Nghiên cứu về vấn đề này để nắm được những thuận lợi , khó khăn khi
dạy phần phương trình vô tỉ trong bồi dưỡng học sinh khá giỏi , từ đó định
hướng nâng cao chất lượng dạy và học môn toán.
+Nghiên cứu vấn đề này còn giúp giáo viên có tư liệu tham khảo và dạy
thành công về phương trình vô tỉ.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu:
1. Nghiên cứu tình hình dạy học và học vấn đề này ở nhà trường.
2. Khái quát hoá một phương pháp giải phương trình vô tỉ.
3. Tìm hiểu mức độ và kết quả đạt được khi triển khai sáng kiến.
4. Phân tích rút ra bài học kinh nghiệm.
IV. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:
1. Đối tượng nghiên cứu:
a. Các tài liệu.
b. Giáo viên và học sinh giỏi ở đơn vị đã và đang công tác.
2. Phạm vi nghiên cứu:

Phương pháp giải phương trình vô tỉ thường gặp ở trường THCS.
V. Phương pháp nghiên cứu:
1. Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
2. Phương pháp điều tra , khoả sát .
3. Phương pháp thử nghiệm.
4. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
VI. Giả thuyết khoa học :
2
Giải phương trình vô tỉ bằng cách chuyển về hệ phương trình hữu tỉ
Nâng cao chất lượng dạy và học trong và sau khi nghiên cứu áp dụng sáng
kiến kinh nghiệm , giúp cho giáo viên dạy có hiệu quả hơn, học sinh ham thích
học dạng toán này hơn.
Phần II : Nội dung
Phương pháp giải phương trình vô tỉ “ chuyển phương trình vô tỉ về hệ
phương trình hữu tỉ”.
*. Khái niệm :
Phương trình vô tỉ là phương trình đại số chứa ẩn trong dấu căn thức (ở
đây tôi chỉ đề cập đến những phương trình mà ẩn năm dưới dấu căn bậc hai và
bậc ba , bậc bốn ).
Bài 1:
Giải phương trình :
2 2
25 10x x− − −
= 3
*Cách giải thông thường: “nâng lên luỹ thừa”:
Điều kiện bài toán :
10 10x− ≤ ≤
, khi đó hai vế của phương trình không âm ,
bình phương hai vế ta có :

( ) ( )
2 2 2 2
25 10 2 25 10 9x x x x− + − − − − =

⇔
( ) ( )
2 2 2
26 2 2 25 10x x x− = − −

( ) ( )
2 2 2
13 25 10x x x⇔ − = − −


⇔
2 4 2 4
169 26 250 35x x x x− + = − +

2
9 81x⇔ =

⇔
x =
3
±
( TM ĐK)
Vậy phương trình có hai nghiệm
1
x
=3 ;

2
x
= -3
Cách giải : Chuyển về hệ phương trình hữu tỉ
ĐKXĐ :
10 10x− ≤ ≤
*đặt
2
25 x−
= m ;
2
10 x−
=n ( m,n > 0)
Khi đó ta có : m – n = 3 (1)
* Bình phương mọi căn thức rồi lấy hiệu để khử ẩn ta được :
(
)
(
)
2 2
2 2 2 2
25 10m n x x− = − − −
= 15 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :
2 2
3
15
m n
m n
− =



− =


3
Giải phương trình vô tỉ bằng cách chuyển về hệ phương trình hữu tỉ
( ) ( )
3
15
m n
m n m n
− =


⇔

− + =



3
5
m n
m n
− =

⇔

+ =



4
1
m
n
=

⇔

=

(3)
Từ (3) ta có :
+,
2 2
25 4 25 2x x− = ⇔ − = ±
*
2 2
25 2 23x x− = ⇔ =

23x⇔ = ±
( không thoả mãn ĐKXĐ)
*
2 2
25 2 27x x− = − ⇔ =

3 3x⇔ = ±
(không thoả mãn ĐKXĐ)
+,

2 2
10 1 10 1x x− = ⇔ − = ±
*,
2 2
10 1 9x x− = ⇔ =

3x
⇔ = ±
(thoả mãn điều kiện )
*,
2
10 1x− = −
2
11 11x x⇔ = ⇔ = ±
(loại )
Vậy phương trình có hai nghiệm
1
x
=3 ;
2
x
= -3
Bài tập 2: Giải phương trình sau :
3 3
1 1 2x x+ + − =
Lưu ý: Nếu phương trình này chúng ta luỹ thừa bậc ba lên thì sẽ rất khó giải
, vì sẽ dẫn đến phương trình bậc cao chưa có phương pháp giải.
Bằng phương pháp mới ,ta có :
ĐKXĐ :
0x

≥
Đặt
3 3
1 ; 1x a x b+ = − =
, ta có phương trình :
a + b = 2 (1)
Ta có phương trình mối liên hệ giữa phương trình đã cho với điều kiện mới :
(
)
(
)
3 3
3 3
3 3
1 1 1 1 2a b x x x x+ = + + − = + + − =
hay
3 3
2a b+ =
(2) .
Từ (1) và (2) ta có hệ :
( )
( )
2 2
3 3
2
2
2(*)
2
a b
a b

a b a ab b
a b
+ =

+ =


⇔
 
+ − + =
+ =
 

4
Giải phương trình vô tỉ bằng cách chuyển về hệ phương trình hữu tỉ
( ) ( )
2 2
2
2
2
2
1
2
2 2 1
2
3 6 3 0
1
1
a b
a ab b

a b
b b b b
a b
b b
a
b
+ =

⇔

− + =

= −


⇔

− − − + =


= −

⇔

− + =

=

⇔


=

Suy ra :
0 0x x= ⇒ =
(TM)
Vậy phương trình có1 nghiệm : x = 0.
Bài 3: Giải phương trình :
4 4
97 5x x− + =
(3)
Giải :
ĐKXĐ :
0 97x≤ ≤
Đặt :
4 4
97 ; ( , 0)x m x n m n− = = ≥
Theo (3) ta có : m + n = 5
Ta lại có phương trình mới liên hệ giữa hai ẩn phụ là :
( ) ( )
4 4
4 4
4 4
97 97 97m n x x x x+ = − + = − + =
Ta có hệ phương trình :
( )
( )
( ) ( )
2
4 4
2 2 2 2

2
2
2 2
2
5
5
97
2 97
5
2 2 97
5
50 264 0 *
m n
m n
m n
m n m n
m n
m n mn m n
m n
mn mn
+ =

+ =


⇔
 
+ =
+ − =




+ =


⇔

 
+ − − =

 

+ =


⇔

− + =


Giải (*), ta có : đặt mn=t
≥
0 :
2
50 264 0t t− + =
(**)
( )
2
, 2 2
'

50 264 0 **
25 264 361 19 0
19
t t− + =
∆ = − = = 〉
⇒ ∆ =
Phương trình (**) có hai nghiệm :
1 2
44; 6t t= =
Xét các trường hợp :
+,
2
5
5
44
5 44 0(
m n
m n
mn
n n VN
+ =
+ =


⇔
 
=
− + =



Suy ra hệ vô nghiệm
5
Giải phương trình vô tỉ bằng cách chuyển về hệ phương trình hữu tỉ
+,
2
3
5
6
3
2
m
n
m n
mn
m
n
 =



=
+ =



⇔


=

=




=



Giải ra ta được phương trình có hai nghiệm : 81;16
Lưu ý : Trường hợp ta đặt ẩn , để đặt cái gì làm ẩn và có mấy ẩn phụ thì phải
biết nhận xét và tìm mối liên hệ giữa các biểu thức trong phương trình , liên
quan giữa các ẩn.
Ở bài toán trên , nếu chúng ta giải bằng phương pháp khác thì rất phức tạp.
ặc biệt hơn nữa nếu gặp phương trình vô tỉ chứa các căn thức có bậc khác
nhau thì cách giải trên khi áp dụng sẽ tỏ ra càng hiệu quả hơn như bài tập dưới
đây :
Bài 4 : Giải phương trình sau :
3
2 1 1x x− + − =
Giải :
ĐKXĐ :
1x
≥
đặt :
3
2 x a− =

( )
1 0x b b− = ≥

Ta có : a + b = 1
Ta thấy :
( ) ( )
3 2
3 2
3
2 1 1a b x x+ = − + − =
Chuyển về giải hệ :
( )
( )
( )
3 2
3
2
2
1
1
1
1 1
1
1 3 0
1
0
0
1
3
2
a b
a b

a b
b b
a b
b b b
b
a
b
a
b
a
+ =


+ =

= −


⇔

− + =


= −


⇔

− − =



 =



=



=


⇔

=



=




= −


Xét các trường hợp :
+, với a = 0 , b = 1 thì x = 2 ( thoả mãn ĐKXĐ )
6
Giải phương trình vô tỉ bằng cách chuyển về hệ phương trình hữu tỉ

+, với a=1 ; b =0 thì x = 1 (thoả mãn ĐKXĐ )
+, với a = -2 ; b =3 thì x =10 (thoả mãn ĐKXĐ )
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm :
1 2 3
2; 1; 10x x x= = =
Bài 5 : Giải phương trình sau :
2
1 1
2
2
x
x
+ =
−
(5)
Giải :
Điều kiện :
0
2 2
x
x
≠



− < <


Đặt
2 2 2

2 0 2x y x y− = > ⇒ + =
Ta có hệ :
(5)
2 2
2
1 1
2
x y
x y

+ =


+ =


đặt x + y =S ; xy = P
(5)
2
1, 2
2 2
1
, 1
2
2
P S
S P
P S
S P
= =



− =

⇔


= − = −
=


+ Trường hợp 1 : Ta được x = y = 1
+ Trường hợp 2 :
1 3
2
1 3
2
x
y

− +
=



− −

=



hoặc
1 3
2
1 3
2
x
y

− −
=



− +

=


Từ đó ta được : x = 1 ; x =
1 3
2
− −
là nghiệm.
Bài 6 : Giải phương trình sau :
4 1
2
4 1
x x
x
x

−
+ =
−
Từ các bài toán trên chắc hẳn chúng ta đã phần nào hình dung được những
bài toán tổng quát tương ứng và cách giải chúng :
Bài tập áp dụng :
1 .Giải các phương trình sau :
a.
10 2 2 3 1x x− + + =
b.
3 3
1 7 2x x+ + − =
c.
3
2 1 3x x− + + =
d.
3 3
48 35 13x x− + − =
7
Giải phương trình vô tỉ bằng cách chuyển về hệ phương trình hữu tỉ
e.
5 52 2
32 1 4x x− − − =
f.
3
4
1 3 82x x− + = −
g.
4
20 4x x+ − =

h.
2 2
17 17 9x x x x+ − + − =
k.
3
3
1 2 2 1x x+ = −
2. Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm duy nhất . a,
2 2
4 4x x m+ + − =
b.
6 2x x m− + + =

8
Giải phương trình vô tỉ bằng cách chuyển về hệ phương trình hữu tỉ

9