HƯỚNG dẫn GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cơ bản và đơn GIẢN

HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN
I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
Bài 1. Giải các phương trình sau :
a.
2
sin os 3 osx=2
2 2
x x
c c
 
+ +
 ÷
 
b.
( )
( ) ( )
1 2sin osx
3
1 2sin 1 sinx
x c
x
−
=
+ −
c.
( )
3
sinx+cosxsin2x+ 3 os3x=2 cos4x+sinc x
d.
3 os5x-2sin3xcos2x-sinx=0c
Giải

a.
2
1 3 1
sin os 3 osx=2 1+sinx+ 3 osx=2 sinx+ osx=
2 2 2 2 2
x x
c c c c
 
+ + ⇔ ⇔
 ÷
 
( )
2
2
3 6
6
sin sin
5
3 6
2 2
3 6
2
x k
x k
x k Z
x k x k
π π
π
π
π

π π
π π
π
π π


+ = +
= − +


 
⇔ + = ⇔ ⇔ ∈


 ÷
 


+ = + = +




b.
( )
( ) ( )
1 2sin osx
3
1 2sin 1 sinx
x c

x
−
=
+ −
. Điều kiện :
2
6
1
sinx -
7
2
2
6
sinx 1
2
2
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
π

≠ − +




≠
 
⇔ ≠ +
 
 
≠


≠ +


Khi đó :
( )
( ) ( )
2
1 2sin osx
3 osx-sin2x=1-sinx+2sinx-2sin
1 2sin 1 sinx
x c
c x
x
−
= ⇔
+ −
osx-sinx=sin2x+cos2x 2 os 2x- 2 os
4 4
c c c x
π π
   
⇔ ⇔ = +

 ÷  ÷
   
( )
2
2 2
2
2
4 4
2
3
2 2
3
4 4
x k
x x k
x k k Z
k
x
x x k
π
π π
π
π
π
π
π π
π


= +

− = + +


⇔ ⇔ ⇒ = ∈




=
− = − − +




c.
( )
3
sin3x+sinx 3sinx-sin3x
sinx+cosxsin2x+ 3 os3x=2 cos4x+sin sinx+ 3 os3x=2cos4x+
2 2
c x c⇔ +
3sinx sin 3 2 3 os3x=4cos4x+3sinx-sin3xx c⇔ + +
1 3
2sin 3 2 3 os3x=4cos4x sin 3 os3x=cos4x
2 2
x c x c⇔ + ⇔ +
( )
4 3 2 2
6 6
os4x=cos 3x+

2
6
4 3 2
6 42 7
x x k x k
c k Z
k
x x k x
π π
π π
π
π π π
π
 
= + + = +
 
 
⇔ ⇔ ⇔ ∈
 
 ÷
 
 
= − − + = − +
 
 
d.
( )
3 os5x-2sin3xcos2x-sinx=0 3 os5x- sin5x+sinx sinx=0c c⇔ −
3 1
3 os5x-sin5x=2sinx os5x- sin 5 sinx

2 2
c c x⇔ ⇔ =
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 1
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN
( )
5 2
6 2 18 3
os 5x+ sinx=cos
6 2
5 2
6 2 6 2
k
x x k x
c x k Z
k
x x k x
π π π π
π
π π
π π π π
π
 
+ = − + = +
 
   
⇔ = − ⇔ ⇒ ∈
 
 ÷  ÷

   
 
+ = − + = − +
 
 
Bài 2. Giải các phương trình sau :
a.
( )
4 4
4 sin os 3sin 4 2x c x x+ + =
b.
( )
2 2 sinx+cosx osx=3+cos2xc
c.
( )
cos2 3 sin 2 2 sinx+cosxx x= +
d.
4 4
sin os 2 3sinxcosx+1x c x− =
Giải
a.
( )
4 4 2
1
4 sin os 3sin 4 2 4 1 sin 2 3 sin 4 2
2
x c x x x x
 
+ + = ⇔ − + =
 ÷

 
( )
2
3 1 2sin 2 3sin 4 2 os4x+ 3 sin 4 1x x c x⇔ + − + = ⇔ = −
1 3 1 1 2
os4x+ sin 4 os 4x- os
2 2 2 3 2 3
c x c c
π π
 
⇔ = − ⇔ = − =
 ÷
 
( )
2
4 2
3 3
4 2
2
4 2
3 3 12 2
k
x k
x
k Z
k
x k x
π π
π π
π

π π π π
π


− = +
= +


⇔ ⇔ ∈




− = − + = − +




b.
( )
2
2 2 sinx+cosx osx=3+cos2x 2sin 2 2 2 os 3 os2xc x c x c⇔ + = +
( )
( )
2 sin 2 2 1 os2x 3 os2x 2 sin 2 2 1 os2x=3- 2x c c x c⇔ + + = + ⇔ −
Ta có :
( ) ( )
2 2
2 2 2
2 2 1 5 2 2, 3 2 11 6 2a b c+ = + − = − = − = −

. Do đó :
( ) ( )
2 2 2
11 6 2 5 2 2 6 4 2 36 32 0 c a b− − − = − = − > ⇒ > +
. Phương trình vô nghiệm .
c.
( )
cos2 3 sin 2 2 sinx+cosx os2x- 3 sin 2 2sin
4
x x c x x
π
 
= + ⇔ = +
 ÷
 
1 3
os2x- sin 2 sin sin 2 sin
2 2 4 6 4
c x x x x
π π π
     
⇔ = + ⇔ − = +
 ÷  ÷  ÷
     
( )
5
2 2
2
6 4
12

11 2
3
2 2
36 3
6 4
x x k
x k
k Z
k
x
x x k
π π
π
π
π
π π
π π
π


− = + +
= +


⇔ ⇔ ∈




= +

− = − +




d.
4 4
sin os 2 3sinxcosx+1 cos2x+ 3sin 2 1x c x x− = ⇔ = −
1 3 2
os2x+ sin 2 1 os 2x- os 2 2
2 2 3 3 3
c x c c x k x k
π π π
π π π π
 
⇔ = − ⇔ = ⇔ − = + ⇒ = +
 ÷
 
Bài 3. Giải các phương trình sau :
a.
2 4
4sin sin sin 4 3 osx cos os 2
3 3 3 3
x x x c x c x
π π π π
       
+ − + + + =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
b.

3
2sin 4 16sin . osx 3cos 2 5x x c x+ + =
c.
6 6
3
1 sin 4 os sin
8
x c x x+ = +
Giải
a.
2 4
4sin sin sin 4 3 osx.cos os 2
3 3 3 3
x x x c x c x
π π π π
       
+ − + + + =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 2
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN
( )
2 2
2sin os2x-cos 2 3 osx os 2 2 os 2
3 3
x c c c x c
π π
π
 

   
⇔ + + + =
 ÷  ÷
 
   
 
1 1
2sin os2x+2sinx. 2 3 osx. os2x-2 3 osx. 2
2 2
xc c c c⇔ + =
( )
sin 3 sinx+sinx 3 os3x+ osx - 3 osx 2x c c c⇔ − + =
1 3 2
sin 3 3 os3x= 2 sin3 os3x= os 3x- os
2 2 2 6 4
x c x c c c
π π
 
⇔ + ⇔ + ⇔ =
 ÷
 
( )
2
36 3
2
36 3
k
x
k Z
k

x
π π
π π

= +

⇒ ∈


= − +


b.
3
2sin 4 16sin . osx 3cos 2 5x x c x+ + =
Ta có :
( )
3
16sin osx 4cos 3sin sin 3x 6sin 2 2.2sin 3 . osxxc x x x x c= − = −
( )
=6sin2x-2 sin4x+sin2x 4sin 2 2sin 4x x= −
Cho nên (1) :
2sin 4 4sin 2 2sin 4 +3cos2x=5 4sin2x.+3cos2x=5x x x
+ − ⇔

( ) ( )
4 3
sin 2 os2x=1 cos 2x- 1 2 2
5 5 2
x c x k x k k Z

α
α α π π
⇔ + ⇔ = ⇔ − = ⇒ = + ∈
Và :
3 4
os = ;sin
5 5
c
α α
=
c.
6 6
3
1 sin 4 os sin
8
x c x x+ = +
Do :
6 6 2
3 3 1 os4x 5 3
sin os 1 sin 2 1 os4x
4 4 2 8 8
c
x c x x c
−
 
+ = − = − = +
 ÷
 
Cho nên (c) trở thành :
3 5 3

1 sin 4 os4x cos4x-sin4x=1 2 os 4x+ 1
8 8 8 4
x c c
π
 
+ = + ⇔ ⇔ =
 ÷
 
( )
4x+ 2
2
2
4 4
os 4x+ os
4 2 4
4x+ 2
8 2
4 4
k
x
k
c c k Z
k
x
k
π
π π
π
π π
π π

π π
π


=
= +


 
⇔ = = ⇔ ⇔ ∈


 ÷
 


= − +
= − +




Bài 4. Giải các phương trình sau :
a.
( )
sin8 os6x= 3 sin 6 os8xx c x c− +
b.
( )
os7x-sin5x= 3 os5x-sin7xc c
c.

3
3sin 3 3 os9x=1+4sin 3x c x−
d.
3 os5x+sin5x-2cos2x=0c
Giải
a.
( )
sin8 os6x= 3 sin 6 os8x sin8 3 os8x= 3sin 6 os6xx c x c x c x c− + ⇔ − +
Chia hai vế ơhw[ng trình cho 2 ta có :
1 3 3 1
sin8 os8x= sin 6 os6x sin 8x- sin 6
2 2 2 2 3 6
x c x c x
π π
   
⇔ − + ⇔ = +
 ÷  ÷
   
( )
8 6 2
2 2
3 6
2 4
7
5
14 2
8 6 2
6 12 7
3 6
x x k

x k x k
k Z
k
x k x
x x k
π π
π π
π
π π
π π π
π π
π
π

 
− = + +
= + = +

 
⇔ ⇔ ⇔ ∈

 

 
= + = +
− = − + +

 
 


b.
( )
os7x-sin5x= 3 os5x-sin7x os7x+ 3sin 7 3 os5x+sin5xc c c x c⇔ =
Chia hai vế phương trình cho 2 ta có kết quả :
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 3
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN
1 3 3 1
os7x+ sin 7 os5x+ sin5x cos 7x+ os 5x-
2 2 2 2 3 6
c x c c
π π
   
⇔ = ⇔ =
 ÷  ÷
   
( )
7 5 2
2 2
3 6
2 4
12 2
7 5 2
6 72 6
3 6
x x k
x k x k
k Z
k
x k x

x x k
π π
π π
π
π π
π π π
π π
π
π

 
+ = − +
= − + = − +

 
⇔ ⇔ ⇔ ∈

 

 
= − + = − +
+ = − + +

 
 

c.
3
3sin 3 3 os9x=1+4sin 3x c x− ⇔
Từ công thức nhân ba :

3
sin 9 3sin 3 4sin 3x x x= −
cho nên phương trình (c) viết lại :
3
1 3 1
3sin 3 4sin 3 3 os9x=1 sin 9 3 os9x=1 sin9 os9x=
2 2 2
x x c x c x c− + ⇔ + ⇔ +
( )
2
9x- 2
1
6 3 18 9
os 9x- = os
2
6 2 3
9x- 2
6 3 27 9
k
k x
c c k Z
k
k x
π π π π
π
π π
π π π π
π
 
= = +

 
 
⇔ = ⇔ ⇔ ∈
 
 ÷
 
 
= − + = − +
 
 
d.
3 1
3 os5x+sin5x-2cos2x=0 os5x+ sin5x=cos2x cos 5x- os2x
2 2 6
c c c
π
 
⇔ ⇔ =
 ÷
 
( )
2
5 2
6 3 30 5
2
5 2
6 3 10 5
k
x k x
k Z

k
x k x
π π π π
π
π π π π
π
 
− = − + = − +
 
⇔ ⇔ ∈
 
 
− = + = +
 
 
II. PHƯƠNG TRÌNH : BẬC NHẤT - BẬC HAI
ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Bài 1. Giải các phương trình sau :
a.
cos3x+sin3x
5 sinx+ 3 os2x
1 2sin 2
c
x
 
= +
 ÷
+
 
b.

2 2
cos 3 . os2x-cos 0x c x =
c.
4 4
3
cos sin os x- .sin 3 0
4 4 2
x x c x
π π
   
+ + − − =
 ÷  ÷
   
d.
2
4.sinxcosx+3sin 6sinx x=
Giải
a.
cos3x+sin3x
5 sinx+ 3 os2x
1 2sin 2
c
x
 
= +
 ÷
+
 
. Điều kiện :
1

sin 2
2
x ≠ −
(*)
Phương trình (a) trở thành :
sinx+2sinx.sin2x+cos3x+sin3x sinx+cosx-cos3x+cos3x+sin3x
5 3 os2x 5 3 os2x
1 2sin 2 1 2sin 2
c c
x x
   
⇔ = + ⇔ = +
 ÷  ÷
+ +
   
( ) ( )
sinx+sin3x osx osx 1+2sin2x
sinx+cosx+sin3x 2sin 2 . osx+cosx
osx
1 2sin 2 1 2sin 2 1 2sin 2 1 2sin 2
c c
x c
c
x x x x
+
⇔ = = = =
+ + + +
Cho nên (a)
2 2
1

osx=
5cos 2 2cos 2cos 5cos 2 0
2
osx=2>1
c
x x x x
c


⇔ = + ⇔ − + = ⇔


Vậy :
2
1
3
cos
2
2
2
x k
x
x k
π
π
π
π

= +


= ⇒


= − +


. Kiểm tra điều kiện :
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 4
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN
-
2 1
2sin 4 1 2. 1 2 0
3 2
k
π
π
 
+ + = + = ≠
 ÷
 
. Cho nên nghiệm phương trình là
2
3
x k
π
π
= +
-
2 1

2sin 4 1 2. 1 0
3 2
k
π
π
   
− + + = − + =
 ÷  ÷
   
Vi phạm điều kiện , cho nên loại .
Tóm lại phương trình có một họ nghiệm :
2
3
x k
π
π
= +
b.
2 2 2
1+cos2x
cos 3 . os2x-cos 0 cos 3 . os2x- 0
2
x c x x c= ⇔ =
( ) ( )
2
2cos 3 . os2x- 1+cos2x 0 os2x 1+cos6x 1 os2x=0 cos6x.cos2x=1x c c c⇔ = ⇔ − − ⇔
2
cos4x=1
os8x+cos4x=2 2cos 4 os4x-3=0
3

cos4x=- 1
2
c x c


⇔ ⇔ + ⇔

< −

Do đó :
( )
cos 4 1 4 2
2
k
x x k x k Z
π
π
= ⇔ = ⇒ = ∈
c.
4 4 2
3 1 1 3
cos sin os x- .sin 3 0 1 sin 2 sin 4 sin 2 0
4 4 2 2 2 2 2
x x c x x x x
π π π
 
     
+ + − − = ⇔ − + − + − =
 ÷  ÷  ÷
 

     
 
[ ]
( )
2 2 2
1 1 3
1 sin 2 os4x sin 2 0 2 sin 2 1 2sin 2 sin 2 3 0
2 2 2
x c x x x x
 
⇔ − + − + − = ⇔ − + − − + − =
 
2
sin2x=1
sin 2 sin 2x-2=0
sin2x=-2<-1
x

⇔ + ⇔


( )
sin 2 1 2 2
2 4
x x k x k k Z
π π
π π
⇒ = ⇔ = + ⇒ = + ∈
d.
( )

2
sinx=0
4.sinxcosx+3sin 6sin sinx 4cosx+3sinx-6 0
4 osx+3sinx=6
x x
c

= ⇔ = ⇔


- Với sinx =0
( )
x k k Z
π
⇒ = ∈
- Do :
2 2 2
4 3 25 6 36+ = < =
. Cho nên phương trình
4 osx+3sinx=6c
vô nghiệm .
Bài 2. Giải các phương trình sau
a.
2 2 2 2
sin 3 os 4 sin 5 os 6x c x x c x− = −
b.
2 2 2
sin tan os 0
2 4 2
x x

x c
π
 
− − =
 ÷
 
c.
tan 2 tan 2 2
2 2
x x
π π
   
− + + =
 ÷  ÷
   
d.
( )
2
5.sinx-2=3 1-sinx .tan x
Giải
a.
2 2 2 2
sin 3 os 4 sin 5 os 6x c x x c x− = −
( ) ( )
1 os6x 1 os8x 1 os10x 1 os12x
os8x+cos6x os10x+cos12x
2 2 2 2
c c c c
c c
− + − +

⇔ − = − ⇔ =
( )
2
2
cosx=0
2 os7xcosx 2 os11xcosx 11 7 2
cos11x=cos7x
2
11 7 2
9
x k
x k
k
c c x x k x k Z
x x k
k
x
π
π π
π
π
π
π
π

= +


= +






⇔ = ⇔ ⇔ = + ⇔ = ∈





= − +



=



b.
2 2 2
sin tan os 0
2 4 2
x x
x c
π
 
− − =
 ÷
 
. Điều kiện : cosx khác không .

Khi đó phương trình trở thành :
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 5
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN
( )
( )
( )
2
2
2
2
1 os x-
1 os
1 sinx
sin 1 osx 1 osx
2
0 0
2 os 2 2 2
1 sin
c
c x
x c c
c x
x
π
 
−
 ÷
−
−

+ +
 
⇔ − = ⇔ − =
−

( ) ( )
( )
( )
( )
1 osx 1 os 1 osx
1 osx 1 osx
0 1 0
2 1 sin 2 2 1 sinx
c c x c
c c
x
 
− + −
+ +
⇔ − = ⇔ − =
 
+ +
 
( )
( )
( )
2
osx=-1 osx=-1
osx-sinx
1 osx

0
sinx+cosx= t anx 1
2 1 sinx
4
x k
c c
c
c
k Z
x k
π π
π
π
= +

 
−
 
+

⇔ = ⇔ ⇔ ⇔ ∈
 
 

= −
+
= − +
 
 


c.
tan 2 tan 2 2
2 2
x x
π π
   
− + + =
 ÷  ÷
   
. Điều kiện :
( )
sinx 0 sinx 0
sin 2 0 cosx 0
2
x k k Z
x
π
≠ ≠
 
⇔ ⇒ ≠ ∈
 
≠ ≠
 
Phương trình (c)
2
osx 2 os2x 2cos os2x
cot 2cot 2 2 2 2
sinx sin 2 sinx.cosx
c c x c
x x

x
−
⇔ − = ⇔ − = ⇔ =
( ) ( )
2
2cos os2x sin 2 1 os2x os2x=sin2x sin2x=1 x=
4
x c x c c k k Z
π
π
⇔ − = ⇒ + − ⇔ ⇔ + ∈
Nghiệm này thỏa mãn điều kiện .
d.
( )
2
5.sinx-2=3 1-sinx .tan x
. Điều kiện :
( )
cos 0
2
x x k k Z
π
π
≠ ⇔ ≠ + ∈
d
( )
( )
2
2 2 2
2 2

3 1 sinx sin
sin 3sin 3sin
5.sinx-2=3 1-sinx . 5.sinx-2=
os 1 sin 1 sinx 1 sinx
x
x x x
c x x
−
⇔ = = ⇒
− + +
( ) ( )
2 2
1
sinx=-
5.sinx-2 1 sinx =3sin 2sin 3sin 2 0
2
sinx=2>1
x x x


⇔ + ⇔ + − = ⇔


Vậy phương trình có nghiệm :
( )
2
1
6
sin
7

2
2
6
x k
x k Z
x k
π
π
π
π

= − +

= − ⇔ ∈


= +


( Thỏa mãn diều kiện )
Bài 3. Giải các phương trình sau :
a.
1 1
2sin 3 2cos3
sinx osx
x x
c
− = +
b.
( )

2
osx 2sinx+3 2 2cos 1
1
1 sin 2
c x
x
− −
=
+
c.
x x x 3 1
cos . os . os sinx.sin .sin
2 2 2 2 2
x
x c c − =
d.
3
4cos 3 2 sin 2 8cosx x x+ =
Giải
a.
1 1
2sin 3 2cos3
sinx osx
x x
c
− = +
. Điều kiện :
( )
sinx 0
cosx 0

2
x k k Z
π
≠

⇒ ≠ ∈

≠

Khi đó :
1 1 2sin 3 .sinx-1 2cos3 . osx 1
2sin 3 2cos3
sinx osx sinx osx
x x c
x x
c c
+
− = + ⇔ =
2 2
os2x-cos4x-1 os4x+cos2x 1 os2x-2cos 2 os2x+2cos 2
sinx osx sinx osx
c c c x c x
c c
+
⇔ = ⇔ =
( )
cosx-sinx-2cos2x cosx-sinx
1-2cos2 1+2cos2
os2x 0 os2x 0
sinx osx sinx.cosx

x x
c c
c
 
⇔ − = ⇔ =
 
 
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 6
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN
( ) ( )
4 2
os2x=0
1-2cos2x
4 2
os2x cosx-sinx 0 tanx=1
sinx.cosx 4
1
cos2x=
6
2
6
k
x
k
c
x
c x k k Z
x k
x k

π π
π π
π
π
π
π
π
π

= +





= +


 

⇔ = ⇔ ⇔ = + ⇒ ∈

 ÷


 


= ± +






= ± +



Các họ nghiệm này thỏa mãn điều kiện .
b.
( )
2
osx 2sinx+3 2 2cos 1
1
1 sin 2
c x
x
− −
=
+
. Điều kiện :
( )
sin 2 1
4
x x k k Z
π
π
≠ ⇔ ≠ + ∈
(*)
Khi đó :

( )
2
2
osx 2sinx+3 2 2cos 1
1 sin 2 +3 2 osx 2cos 1 1 sin 2
1 sin 2
c x
x c x x
x
− −
= ⇔ − − = +
+
2
2
osx=
2
2cos 3 2 osx 2 0 osx= 2
2
2 4
osx= 2 1
c
x c c x k
c
π
π


⇔ − + = ⇔ ⇒ ⇔ = ± +



>

Nhưng do điều kiện (*) Ta chỉ có nghiệm :
2
4
x k
π
π
= − +
, thỏa mãn .Đó cũng là nghiệm
c.
( ) ( )
x 3x x 3 1
cos . os . os sinx.sin .sin osx cos2x+cosx sinx cosx-cos2x 1
2 2 2 2 2
x
x c c c− = ⇔ − =
( ) ( )
2 2
os2x cosx+sinx os sin osx 1 os2x cosx+sinx sinxcosx-sin 0c c x xc c x⇔ + − = ⇔ − =
( ) ( ) ( ) ( )
os2x cosx+sinx sinx cosx+sin 0 osx+sinx os2x-sinx 0c x c c⇔ − = ⇔ =
( )
( )
( )
4
t anx=-1
osx+sinx 0
2
cos2x=sinx=cos

6 3
os2x-sinx 0
2
2
2
x k
c
k
x k Z
x
c
x k
π
π
π π
π
π
π

= − +



=


⇔ ⇔ ⇔ = + ∈

 



−
=
  ÷



 


= − +


d.
( )
3 2
4cos 3 2 sin 2 8cos 2cos 2cos 3 2 sinx-4 0x x x x x+ = ⇔ + =
.
( )
2
2
osx=0
2cos 0
osx=0
2
sinx=
2 1 sin 3 2 sinx-4=0
2
2sin 3 2 sinx+2=0
sinx= 2 1

c
x
c
x
x


=



⇔ ⇔ ⇔



− +
−




>


Do đó Phương trình có nghiệm :
( )
2
osx=0
2
2

4
sinx=
2
3
2
4
x k
c
x k k Z
x k
π
π
π
π
π
π

= +





⇔ = + ∈







= +


Bài 4. Giải các phương trình sau :
a.
( )
cos 2 os 2x- 4sin 2 2 1 sinx
4 4
x c x
π π
   
+ + + = + −
 ÷  ÷
   
b.
( )
2 2
3cot 2 2 sin 2 3 2 osxx x c+ = +
c.
2 2
4sin 2 6sin 9 3cos2
0
osx
x x x
c
+ − −
=
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 7
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN

d. Cho :
1 2
( ) sinx+ sin 3 sin5
3 5
f x x x= +
. Hãy giải phương trình : f'(x)=0.
Giải
a.
( )
( )
cos 2 os 2x- 4sin 2 2 1 sinx
4 4
2cos 2 . os 4sin 2 2 1 sinx
2
x c x
x c x
π π
π
   
⇒ + + + = + −
 ÷  ÷
   
⇔ + = + −
( )
( )
2
2+ 2
sin 4 2 2 2 sinx= sin
2
4 2

x k
x k Z
x k
α π
α
π α π
= +

⇔ + = + ⇔ = ⇔ ∈

= − +
+

b.
( )
2 2
3cot 2 2 sin 2 3 2 osxx x c+ = +
. Điều kiện :
sin 0x x k
π
≠ ⇒ ≠
Chia hai vế phương trình cho :
2
sin 0x ≠
. Khi đó phương trình có dạng :
( ) ( )
2
2 2
2 2
osx osx

3cot 2 2 sin 2 3 2 osx 3 2 2 2 3 2
sin sin x
c c
x x c
x
   
⇒ + = + ⇔ + = +
 ÷  ÷
   
Đặt :
( )
2
2
2
osx
3 2 3 2 2 2 0
2
sin
3
t
c
t t t
x
t

=

= ⇒ − + + = ⇔

=



2
2
2
2
osx=- 2 1
2
2
osx= 2 sin
osx=
osx=
2 os osx- 2 0
2
2
2
1
osx= sin
2cos 3cos 2 0
1
osx=
osx=
3
2
2
osx=-2<-1
c
c x
c
c

c x c
c x
x x
c
c
c

< −






+ =



⇔ ⇔ ⇔ ⇔




+ − =











Do đó phương trình có nghiệm :
( )
2
2
osx=
4
2
1
2
osx=
3
2
x k
c
k Z
x k
c
π
π
π
π


= ± +




⇔ ⇔ ∈



= ± +




c.
2 2
4sin 2 6sin 9 3cos2
0
osx
x x x
c
+ − −
=
. Điều kiện :
( )
osx 0 x
2
c k k Z
π
π
≠ ⇒ ≠ + ∈
Khi đó :
( )
( )

2 2
2
4sin 2 6sin 9 3cos2
0 4 1 os 2 3 1 os2x 9 3cos2 0
osx
x x x
c x c x
c
+ − −
= ⇔ − + − − − =
2
2
os2x; t 1
1
os2x; t 1
1
4 os 2 6cos 2 2 0
1
2 3 1 0
1
2
2
t c
t
t c
t
c x x
t
t t
t

 = ≤
= −


 = ≤
 
= −


⇔ + + = ⇔ ⇔ ⇔
 


= −
+ + =





= −



os2x 1
2
1
os2x
2
3

c
x k
c
x k
π
π
π
π

= −
= +



⇔ ⇔


= −

= ± +



. Nhưng nghiệm :
2
x k
π
π
= +
vi phạm điều kiện .

Vậy phương trình có nghiệm :
( )
2
3
x k k Z
π
π
= ± + ∈
d. Cho :
1 2
( ) sinx+ sin 3 sin5
3 5
f x x x= +
. Hãy giải phương trình : f'(x)=0.
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 8
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN
Ta có :
( ) ( ) ( )
' osx+cos3x+2cos5x=0 cos5x+cosx oss5x+cos3x 0f x c c= ⇔ + =

( ) ( ) ( )
2
3 2 2
osx; t 1
2cos3 os2x 2cos4 cos 0
4 3 2 1 2 2 1 1 0
t c
xc x x
t t t t t

 = ≤

⇔ + = ⇔

 
− − + − − =

 
 

( )
4 2
2 2
5 3
0 osx 0
osx; t 1
osx; t 1
9 17 9 17
2 8 9 2 0
2cos
16 18 4 0
16 8
t c
t c
t c
t t t
t x
t t t
= =
 

 = ≤

= ≤
 
 
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
 
± ±
 
− + =
= =
− + =




 
 
osx 0 osx 0
9 17 9 17 1 17
os2x 1 os2x 1
8 8 8
c c
c c
= =
 
 
⇔ ⇔
± ± ±
 

= − = − =
 
 
- Trường hợp : cosx=0
2
x k
π
π
⇒ = +
- Trường hợp :
( )
1- 17
os2x= os
x= +k
2x= +k2
8
2
2x= 2
1+ 17
x=
cos2x= os
2
2
c c
k Z
k
k
c
α
α

π
α π
β π β
π
β


=
±


±


⇔ ⇔ ⇔ ∈


± +



± +
=




Bài 5. Giải các phương trình sau :
a.
2

5
sin 5cos .sin
2 2
x x
x=
b.
( )
2
sin 2 cot tan 2 4cosx x x x+ =
c.
2
6
2cos 1 3cos
5 5
x x
+ =
d.
3
tan t anx-1
4
x
π
 
− =
 ÷
 
Giải
a.
2
5

sin 5cos .sin
2 2
x x
x=
Đặt :
2
2
x
t x t= ⇒ =
. Khi đó phương trình trở thành :
2
sin 5 5cos 2 sint t t=
(2)
Nhan hai vế với 2cost ta được :
2 2
2sin5 . ost=5cos 2t.2cost.sint sin6t+sin4t=5cos 2 .sin 2t c t t⇔ ⇔
5 5
sin6t+sin4t= cos2 .2cos 2 sin 2 sin 4 . os2t
2 2
t t t t c⇔ =
3 2
3sin 2 4sin 2 2sin 2 . os2t- 5 os 2t.sin2t=0t t t c c⇔ − +
( ) ( )
( )
2 2 2 2
sin 2 3 4sin 2 2. os2t- 5 os 2t =0 sin 2 3 4 1 os 2 2. os2t- 5 os 2t =0t t c c t c t c c⇔ − + ⇔ − − +
( )
2
sin2t=0 2 2
sin 2 1 2. os2t+ os 2t =0 2

cos2t=1 2 2
t k
t c c x k
t k
π
π
π
=
 
⇔ − ⇔ ⇔ ⇒ =
 
=
 
b.
( )
2
sin 2 cot tan 2 4cosx x x x+ =

Điều kiện :
sin 0
os2t 0
t
c
≠


≠

. Khi đó phương trình trở thành :
2 2

os sin 2 cos os2x+sin2x.sinx
sin 2 4cos sin 2 4cos
sinx os2x sinxcos2x
c x x xc
x x x x
c
   
⇔ + = ⇔ =
 ÷  ÷
   
2 2
osx 1
2sin . osx 4cos 2 os x 2 0
sinxcos2x cos2x
c
x c x c
   
⇔ = ⇔ − =
 ÷  ÷
   
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 9
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN
( )
2
2 os x=0
2
1
cos2x=
2

6
x k
c
k Z
x k
π
π
π
π


= +


⇔ ⇔ ∈



= ± +




Các nghiệm thỏa mãn điều kiện .
c.
2
6
2cos 1 3cos
5 5
x x

+ =
. Đặt :
5
5
x
t x t= ⇒ =
. Khi đó phương trình có dạng :
2
2cos 6 1 3cos 2 os12t=3cost 3cost-cos12t=2t t c⇔ + = ⇔ + ⇔
Chỉ xảy ra khi :
2
ost=1 2
cos12t=1 12 2
6
t k
c t k
l
t l
t
π
π
π
π
=

=
 

⇔ ⇔
  

=
=
 


. Nếu phương trình có nghiệm thì tồn
tại k,l thuộc Z sao cho hệ có nghiệm chung . Có nghĩa là :
( )
2 ,
6
l
k k l Z
π
π
= ∈ ⇔
( )
12
2 , 12 2
6 6
l k
k k l Z k l x k
π π
π π
= ∈ ⇔ = ⇒ = =
d.
3
tan t anx-1
4
x
π

 
− =
 ÷
 
Điều kiện :
( )
os x- 0
*
4
osx 0
c
c
π

 
≠

 ÷
 


≠

. Khi đó phương trình trở thành :
( ) ( )
tan tan
t anx=1
tanx-1 1
4
t anx-1 t anx-1 0 tanx-1 1 0

tanx=0
tanx+1 tanx+1
1 t anx.tan
4
x
π
π
−

 
⇔ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔
 ÷

 

+
=
4
x=k
x k
π
π
π

+

⇔


Nghiệm này thỏa mãn điều kiện (*)

Bài 6. Giải các phương trình sau :
a.
4 4
4
sin 2 os 2
os 4
tan tan
4 4
x c x
c x
x x
π π
+
=
   
− +
 ÷  ÷
   
b.
( )
4 2
1 2
48 1 cot 2 .cot 0
os sin
x x
c x x
− − + =
c.
( )
8 8 10 10

5
sin os 2 sin os os2x
4
x c x x c x c+ = + +
d.
2
os2x 1
cot 1 sin sin 2
1+tanx 2
c
x x x− = + −
Giải
a.
4 4
4
sin 2 os 2
os 4
tan tan
4 4
x c x
c x
x x
π π
+
=
   
− +
 ÷  ÷
   
.

Do :
tan tan tan cot 1
4 4 4 4
x x x x
π π π π
       
− + = + + =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
. Cho nên mẫu số khác không .
Phương trình trở thành :
4 4 4 2 4
1
sin 2 os 2 os 4 1 sin 4 os 4
2
x c x c x x c x+ = ⇔ − =

Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 10
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN
( )
2
2 4
2
1
os 4 .0 1
2 1 os 4 2 os 4
1
0
2 1 0

2
t
t c x t
c x c x
t
t t
=


= ≤ ≤
 
⇔ − − = ⇔ ⇔
 
= − <
− − =




Vậy :
2
1 os 4 1 sin 4 0
4
k
t c x x x
π
= ⇔ = ⇔ = ⇒ =
.
Đối chiếu với điều kiện để
tan a tan

4 4
x v x
π π
   
− +
 ÷  ÷
   
có nghĩa thì ta phải bỏ đi các nghiệm
ứng với k là lẻ :
2 1 os 0
4 4
2 1 os 0
4 4
k n x n c x
k n x n c x
π π
π
π π
π

 
= + ⇒ = + ↔ + =
 ÷

 


 
= − ⇒ = − + ⇔ − =


 ÷
 

. Do đó phương trình chỉ có
nghiệm ứng với k là chẵn : x=
( )
2
n
n Z
π
∈
b.
( )
4 2
1 2
48 1 cot 2 .cot 0
os sin
x x
c x x
− − + =
. Điều kiện :
osx 0
sinx 0
2
c
x k
π
≠

⇔ ≠


≠

(*)
Phương trình
4 2
1 2 os2 cos
48 1 . 0
os sin sin2x sinx
c x x
c x x
 
⇔ − − + =
 ÷
 
4 2 4 2 2
1 2 sin 2 sinx os2 cos 1 2 osx
48 . 0 48 0
os sin sin2x sinx os sin 2sin . osx
x c x x c
c x x c x x x c
+
 
⇔ − − = ⇔ − − =
 ÷
 
4 4 4 4
4 4
1 1
48 0 48sin cos sin os 0

os sin
x x x c x
c x x
⇔ − − = ⇔ − − =
2
4 2
2
2
0
sin 2 ;0 1
1
3
3sin 2 1 sin 2 0
1
2
6 2 0
2
t
t x t
x x
t t
t

= − <


= ≤ ≤

 
⇔ − − = ⇔ ⇔



 ÷
+ − =
 



=


Do đó :
2 2
1
sin 2 1 2sin 2 0 os4x=0 x=
2 8 4
k
x x c
π π
= ⇔ − = ⇔ ⇒ +
. Thỏa mãn điều kiện (*)
c.
( )
( ) ( )
8 8 10 10
8 10 8 10
5
sin os 2 sin os os2x
4
5

sin 2sin os 2cos os2x=0
4
x c x x c x c
x x c x x c
⇔ + = + +
⇔ − + − −
( ) ( )
8 2 8 2
5
sin 1 2sin os 1 2cos os2x=0
4
x x c x x c⇔ − + − −
8 8 8 8
5 5
sin os2x- os os2x os2x=0 cos2x sin os 0
4 4
xc c xc c x c x
 
⇔ − ⇔ − − =
 ÷
 
- Trường hợp :
cos2 0
4 2
k
x x
π π
= ⇒ = +
- Trường hợp :
( ) ( )

8 8 4 4 4 4
5
sin os 4 sin os sin os 5 0
4
x c x x c x x c x− − ⇔ − + − =

( )
2 2 2 2
1 1
4 sin os 1 sin 2 5 0 4 os2x 1 sin 2 5 0
2 2
x c x x c x
   
⇔ − − − = ⇔ − − − =
 ÷  ÷
   
( )
2
4 os2x+2cos2x 1 os 2 5 0c c x⇔ − − − =
3
2 os 2x+2cos2x+5 0c⇔ =
Đặt :
[ ] [ ]
3 2
os2x t -1;1 ( ) 2 2 5 '( ) 6 2 0 1;1t c VT f t t t f t t t= ⇒ ∈ ⇒ = = + + → = + > ∨ ∈
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 11
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN
Chứng tỏ f(t) đồng biến . Khi đó tại f(-1)=1 và f(1)=9 cho nên với mọi
[ ]

1;1 ( ) 0t f t∈ ⇒ >
Vậy phương trình vô nghiệm .
d.
2
os2x 1
cot 1 sin sin 2
1+tanx 2
c
x x x− = + −
. Điều kiện :
( )
osx 0
*
tanx -1
c ≠


≠

Phương trình trở thành :
( )
2 2
cos os sin
1 sin sinx os
sinx
sinx
1+
cosx
x c x x
x c x

−
⇔ − = + −
( )
( )
2
tan 1
t anx=1
1
osx sin osx sin 0
osx cosx-sinx 0
sinx
cos sinx.cosx=0
c x c x
c
x
= −


 
⇔ − − + = ⇔ ⇔


 ÷
=
−
 


Do
osx 0c

≠ ⇒
Phương trình chỉ có nghiệm :
( )
t anx=-1 x=-
4
k k Z
π
π
⇔ + ∈
Bài 7. Giải các phương trình sau :
a.
sin 2 2 tan 3x x+ =
b.
2
cot t anx+4sin2x=
sin2x
x −
c.
( ) ( )
1 t anx 1 sin 2 1 t anxx− + = +
d.
sin 4 t anxx =
Giải
a.
sin 2 2 tan 3x x+ =
. Điều kiện :
osx 0c ≠
. Khi đó phương trình viết lại :
( )
( )

2
2
3 2
t anx
2 tan
2 tan 3 1 2 3 0 1
1 tan
2t 3 4 3 0
t
x
x t t t t
x
t t
=

⇔ + = ⇔ ⇔ − − + = ↔ =

+
− + − =

Vậy phương trình có nghiệm là :
( )
1 t anx=1 x=
4
t k k Z
π
π
= ⇔ ⇒ + ∈
b.
2

cot t anx+4sin2x=
sin2x
x −
. Điều kiện :
( ) ( )
sinx 0
*
cosx 0
x m m Z
π
≠

⇒ ≠ ∈

≠

Phương trình
cos sinx 2 2cos2 2
+4sin2x= 4sin 2
sinx cosx sin2x sin 2 sin 2
x x
x
x x
⇔ − ⇔ + =
( )
2 2 2
os2x 2sin 2 2 os2x=2 1-sin 2 2cos 2 os2x=0c x c x x c⇔ + = ⇔ ⇔ −
2 sin 2 sin 1 0
os2x=0
2 2

4 2
1
cos2x=
2 2
2
6
3
k
x k x k
c
x
x k
x k
π π
π π
π π
π
π
π
π

 

= + → = + = ± ≠
= +

 ÷


 



⇔ ⇔ ⇒




= ± +
= ± +





.
Thỏa mãn (*)
c.
( ) ( )
1 t anx 1 sin 2 1 t anxx− + = +
. Điều kiện :
osx 0c ≠
Khi đó phương trình trở thành :
( )
2
2 t anx
1 t anx 1 1 t anx
1+tan x
 
⇔ − + = +
 ÷

 
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2 2 2
1 t anx
1 tan 2tan
1 t anx 1 t anx 1 t anx 1 0 1 t anx 0
1+tan 1 tan 1 tan
x x
x x x
+
 
− −
⇔ − = + ⇔ + − = ⇔ + =
 ÷
+ +
 
( )
t anx=1
4
tanx=0
x k
k Z
x k
π
π
π


= +


⇔ ⇔ ∈



=

. Thỏa mãn điều kiện (*).
d.
sin 4 t anxx =
. Điều kiện :
osx 0c ≠
(*)
Có 2 phương pháp giải :
Cách 1.
sinx
sin 4 t anx sin 4 2sin 4 . osx=2sinx sin5x+sin3x=2sinx
cosx
x x x c= ⇔ = ⇔ ⇔
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 12
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN
( ) ( )
sin5x-sinx + sin3x-sinx 0 2cos3 sin 2 2cos 2 sin 0x x x x⇔ = ⇔ + =
( )
( )
2

2sin os4x+cos2x+cos2x 0 2sin 2cos 2x+2cos2x-1 0x c x⇔ = ⇔ =
( )
2
sinx=0
sinx=0
sinx=0
-1- 3
cos2x= 1
3 1
2
2cos 2cos 2 1 0
cos2x=
2
2
3 1
os2x=
2
x k
k Z
x k
x x
c
π
α
π




=






⇔ ⇔ < − ⇒ ⇔ ∈

−



= ± +
+ − =





−



Cách 2.
( )
2
sinx=0
sinx
2sin 2 os2x sinx 4cos2x.cos 1 0
2cos2x(1+cos2x)-1=0
cosx

xc x

⇔ = ⇔ − = ⇔


2
sinx=0
sinx=0
3 1
2cos 2x+2cos2x-1=0
cos2x=
2



⇔ ⇔

−




. ( Như kết quả trên )
Bài 8. Giải các phương trình sau :
a.
4 4 4
9
sin sin sin
4 4 8
x x x

π π
   
+ + + − =
 ÷  ÷
   
b.
( )
2
sinx 3 2 2cos 2sin 1
1
1 sin 2
x x
x
− − −
=
−
c.
4
4cos 3 2 sin 2 8cosx x x+ =
d.
2
4
cos os
3
x
c x=
Giải
a.
2 2
4 4 4 4

1 os 2x+ 1 os 2x-
9
2 2
sin sin sin 8sin 8 9
4 4 8 2 2
c c
x x x x
π π
π π
 
   
   
− −
 
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
   
 
 ÷  ÷
+ + + − = ⇔ + + =
 ÷  ÷
 
 ÷  ÷
   
 
 ÷  ÷
   
 
( )

[ ]
2
2 2
4
1 os2x
1 os2 1 sin 2 1
8 8 9 sin 2 2 3 2cos2 2sin 2 9
4 2 2 2
c
c x x
x x x
 
−
+ −
   
⇔ + + = ⇔ + + − =
 
 ÷  ÷
   
 
 
2 2
-2- 6
sin2x= 1
2
2cos 2 4sin 2 1 0 2sin 2 4sin 2 1 0
2 6
sin 2
2
x x x x

x

< −


⇔ − − = ⇔ + − = ⇔

− +
=


Vậy phương trình có nghiệm :
( )
6 2
2
sin 2 sin
2
2 2
x k
x k Z
x k
α
π
α
π α
π

= +

−

= = ⇔ ∈


= − +


b.
( )
2
sinx 3 2 2cos 2sin 1
1
1 sin 2
x x
x
− − −
=
−
. Điều kiện : sin2x khác 1 (*)
Phương trình trở thành :
( )
2 2
sinx 3 2 2cos 2sin 1 1 sin 2 3 2 sinx sin 2 2sin 1 1 sin 2x x x x x x⇔ − − − = − ⇔ − − − = −
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 13
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN
( )
2
2
2
sinx=

2
4
2sin 3 2 sinx 2 0 sinx=
2
3
2
2
sinx= 2 1
4
x k
x k Z
x k
π
π
π
π


= +


⇔ − + = ⇔ ⇒ ⇔ ∈



= +

>




Đối chiếu với điều kiện (*) thì với
sin 2 sin 2 1
4 2
x k x k
π π
π π
 
= + ⇒ = + =
 ÷
 
vi phậm điều
kiện . Cho nên phương trình chỉ còn nghiệm :
3
2
4
x k
π
π
= +
c.
( )
4 2
4cos 3 2 sin 2 8cos 2cos 2cos 3 2 sinx-4 0x x x x x+ = ⇔ + =
( )
2
2
osx=0
2cos 2 1 sin 3 2 sinx-4 0
2sin 3 2 sinx+2=0

c
x x
x

 
⇔ − + = ⇔

 
−

( )
osx=0
2
2
sinx=
3
2
2 2
4 4
sinx= 2 1
c
x k
k Z
x k x k
π
π
π π
π π




= +


⇔ ⇔ ∈



= + ∨ = +



>


d.
2
2x
1 os3 2 3
4 2x
3
cos os os2
3 2
3 3 2
2cos 2 1 os3t
c x
t x t
x
c x c
t c

 
+

 ÷
= → =

 
 
= ⇔ = ⇔

 ÷
 

= +

. Do đó :
( )
( )
( )
2 3 2
3
ost
2 2cos 1 1 4cos 3cos 1 4 4 3 0
4u 4 3 3 0
u c
t t t u u u
u u
=

⇒ − = + − ⇔ ⇒ − + − =


− − + =

( )
( )
( )
2
1
2 3
ost=1
1 0
3
1
1
2
2 3
cost=
4 4 3 0
3 6
2
1
2
u
t k x k
c
u
u k Z
t k x k
u u
u

π π
π π
π π


=
= =
 


− =
 



⇔ ⇔ = − < − ⇔ ⇔ ⇔ ∈
 


= ± + = ± +
+ − =



 


=

Bài 9. Giải các phương trình sau :

a.
sin 2 2 sin 0
4
x x
π
 
+ − =
 ÷
 
b.
2
3 4
2cos 1 3cos
5 5
x x
+ =
c.
2
3cos 4 2cos 3 1x x− =
d. 3tan2x-4tan3x=
2
tan 3 .tan 2x x
Giải
a.
sin 2 2 sin 0 sin 2 sinx-cosx=0
4
x x x
π
 
+ − = ⇔ +

 ÷
 
.
2
2 2
1 5
2 sin
t=sinx-cosx; t 2 sin 2 1
4 2
1 5 1 5
1 5
1 0 1 0
2 sin
2 2
4 2
x
x t
t t t t t t
x
π
π

−
 

+ =
≤ → = −

 ÷
  


⇔ ⇔

− +

+
 
− + = ↔ − − = ↔ = ∨ =


+ =

 ÷

 

( )
1 5
3
sin sin
2 2
4
2 2
3 4
3
1 5
2 2
sin sin
3 4
4

2 2
x
x k x k
k Z
x k x k
x
π
π π
α
α π α π
π π
π
β π β π
β

−
 

+ = =
= − + ∨ = − +

 ÷

 

⇔ ⇔ ∈


+


 
= − + ∨ = − +

+ = =
 ÷



 

Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 14
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN
b.
2
3 4 6x 4 2x 2
2cos 1 3cos 1 os 1 3cos os3 2 3cos2
5 5 5 5 5 3
x x x x
c c
   
+ = ⇔ + + = ⇔ + =
 ÷  ÷
   
( )
( )
( )
3 2
2
2 3

ost
4cos 3cos 3 2cos 1 2 0
3 2
u-1 4 2 5 0
os3t 2 3cos2
x
u c
t x t
t t t
u u
c t

=

= ⇒ =
 
⇔ ⇒ − − − + = ⇔
 
− − =



+ =

5
1 ost=1
2
5 1- 21
1 21 1 21 1- 21
arxcos 5

2
1 cost=
2 4
4 4 4
x k
u c
t k
x k
t k
u u
π
π
π
α π
=

=
 
=


 
 
⇔ ⇔ ⇔ ⇒
− +


 
= ± +
= ± +

 ÷
= ∨ = >

 ÷

 
 
 


c.
( )
2
3cos 4 2cos 3 1 3cos2.2 1 os6x 1 0x x x c− = ⇔ − + − =
( ) ( )
( )
( )
2 3 2
3 2
os2x
3 2cos 2 1 4cos 2 3cos2 2 0 1 4 2 5 0
4t 6 3 5 0
t c
x x x t t t
t
=

⇔ − − − − = ⇔⇔ ⇔ − − − =

− − − =


1 1 os2x=1
1- 21
1 21 1 21 1 21 1- 21
arccos
1 cos2x=
4
4 4 4 4
x k
t t c
x k
t t t
π
π
=

= =
  

  
 
⇔ ⇒ ⇔ ⇔
− + −

  
= ± +
 ÷
= ∨ = > =
 ÷


  
  
 


d. 3tan2x-4tan3x=
2
tan 3 .tan 2x x
Điều kiện :
( )
os2x 0
*
cos3x 0
c ≠


≠

Phương trình trở thành :
( ) ( )
2
3tan 2 4 tan 3 tan 3 .tan 2 3 tan 2 tan 3 tan 3 tan 3 .tan 2 1x x x x x x x x x⇔ − = ⇔ − = +
( )
( )
( )
tan 2 tan 3
1
tan3 3tan tan 3 2tan tan3 t anx 0
tan3 .tan 2 1 3
x x

x x x x x
x x
−
⇔ = ⇔ − = ⇔ + + =
+
sin sin 4 sin 4sin cos cos2
2 0 2 0
osx os3x.cosx osx os3x.cosx
x x x x x x
c c c c
⇔ + = ⇔ + =
1 2cos 2 os3x+2cos2x.cosx
2sinx 0 2sinx 0
osx os3x osx.cos3x
x c
c c c
   
⇔ + = ⇔ =
 ÷  ÷
   
( )
3
3
sinx=0
2 4cos 3cos osx=0
cos3x+cos3x+cosx=0
8cos 5cos 0
x k
x k
x x c

x x
π
π
=

=


⇔ ⇔ ⇔



− +
− =




osx=0 x=
2
5
5
cosx= os
x= arccos 2
8
8
x k
x k
c k
c

k
π
π
π
π
α
π



=

=



⇔ ⇔ +




=


± +


Đối chiếu với điều kiện ta thấy nghiệm
os3x=cos 3 3 0
2 2

x k c k
π π
π π
 
= + ⇔ + =
 ÷
 
. Vi phạm điều kiện , nên bị loại .
Vậy phương trình còn có nghiệm là :
( )
5
x= arccos 2
8
x k
k Z
k
π
π
=


⇔ ∈

± +

Bài 10. Giải các phương trình sau :
a.
6 6 2
13
os sin os 2

8
c x x c x+ =
b
3 1 3
sin sin
10 2 2 10 2
x x
π π
   
− = +
 ÷  ÷
   
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 15
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN
c.
6 6
2 2
os sin 1
tan 2
os sin 4
c x x
x
c x x
+
=
−
d.
2 2 2 2
os os 2 os 3 os 4 2c x c x c x c x+ + + =

Giải
a.
( ) ( )
6 6 2 2 2
1 os4x 1 os4x
13 3 13 3 13
os sin os 2 1 sin 2 os 2 1
8 4 8 4 2 8 2
c c
c x x c x x c x
− +
+ = ⇔ − = ⇔ − =
( ) ( )
3 1 3
16 6 1 os4x 13 1 os4x 7cos4 3 os4x=- arccos
7 4 7 2
k
c c x c x
π
 
⇔ − − = + ⇔ = − ⇔ ⇒ = ± − +
 ÷
 
b.
3 1 3 3 3
sin sin 2sin sin
10 2 2 10 2 10 2 10 2
x x x x
π π π π
       

− = + ⇔ − = +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
Đặt :
( )
3 3
3 3
3 3
2 10 10 10
10 2 2 10
3
2 *
5
x
y y
x x
y y
x y
π π π
π
π π
π

 
+ = − + = −
 ÷

 

= − ⇒ = − ⇒


= −


Do đó phương trình đã cho trở thành :
( )
3
2sin sin 3 sin 3 3sin 4siny y y y y
π
= − = = −
( )
3
2
sin 0
sin 0
sin 0
4sin sin 0
1
2 1 os2y 1 0
cos2
4sin 1 0
2
y
y
y
y y
c
y
y
=


=
=



⇔ − = ⇔ ⇔ ⇔



− − =
=
− =



3
2
3
5
2
5
4
3 2
15
2 2
4
3 6
19
5 3

4
15
x k
y k y k
x k
x k
y k y k
x k
x k
π
π
π
π π
π
π
π
π π
π π
π π
π
π
π

= −


= =

= −
 



 
⇔ ⇔ ⇒ ⇔ = − +


 
= ± + = ± +

= ± +

 



= +


c.
6 6
2 2
os sin 1
tan 2
os sin 4
c x x
x
c x x
+
=
−

. Điều kiện :
( )
os2x 0 x
4 2
k
c k Z
π π
≠ ⇒ ≠ + ∈
.
Khi đó PTd/ trở thành :
2
2
2
3
1 sin 2
sin 2
1 sin 2
4
4 3sin 2 sin 2
os2x 4 os2x
3 4 0
x
t x
x
x x
c c
t t
−
=


= ⇔ − = ⇔

+ − =

1
sin 2 1
1
4
os2x=0
1
3
t
x
t x
c
t
=

=


⇔ ⇒ = ⇔ ⇒ ∈∅


= − < −


. Phương trình vô nghiệm .
d.
2 2 2 2

1 os2x 1 os4x 1 os6x 1 os8x
os os 2 os 3 os 4 2 2
2 2 2 2
c c c c
c x c x c x c x
+ + + +
+ + + = ⇔ + + + =
( ) ( )
os8x+cos2x os6x+cos4x 0 2cos5 . os3x+2cos5xcosx=0c c x c⇔ + = ⇔
( )
( )
( )
10 5
os5x=0
2cos5 os3x+cosx 0
cos3x=-cosx=cos -x
4 2
2
k
x
c
k
x c x k Z
x k
π π
π π
π
π
π


= +




⇔ = ⇔ ⇔ = + ∈





= − +


Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 16
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN
III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX
Bài 1. Giải các phương trình sau :
a.
2 3
sinx+sin os 0x c x+ =
b.
3 3
3
sin os 1 sin 2
2
x c x x+ − =
c.
( )

2 sinx+cosx t anx+cotx=
d.
( ) ( )
3 cot osx 5 tanx-sinx 2x c− − =
Giải
a.
2 3
sinx+sin os 0x c x+ =
.
( )
( )
2 3 2
sinx+sin os 0 sinx 1 sinx os 1 sin 0x c x c x x⇔ + = ⇔ + + − =
( ) ( )
( )
2
2
sinx=1
1 sinx sinx+cosx 1-sinx 0
2
sinx+cosx-sinxcosx=0
2 1 0
x k
t t
π
π

= +



⇔ + = ⇔ ⇔



+ − =


( )
1 2 2
2 1
2 sin 2 1 sin sin
4 4
2
2 1
t l
x x
t
π π
α

= − − < −
−
   
⇔ ⇔ + = − ⇔ + = =

 ÷  ÷
   

= −


Do đó :
( )
2
4
3
2
4
x k
k Z
x k
π
α π
π
α π

= − +

∈


= − +


b.
( ) ( )
3 3
3
sin os 1 sin 2 sinx+cosx 1 sinxcosx 1 3sin osx
2
x c x x xc+ − = ⇔ − − =

(1)
Đặt :
( )
( )
2
2 2 2
2 3 1
1 1 3
sinx+cosx; t 2 1 1 1 3
2 2 2 2
t
t t t
t t t
+ −
     
− − −
= ≤ ⇒ ⇔ − = + ⇔ =
 ÷  ÷  ÷
     
( )
( )
( )
3 2 2
1
3 3 1 0 1 4 1 0 2 3 2
2 3
t
t t t t t t t l
t
= −


⇔ + − − = ⇔ + + + = ⇔ = − − < −


= − +

. Do đó phương trình :
1
sin
2 sin 1
2 2
4
4
2
2
3
3 2
2 2
2 sin 3 2
sin sin
4 4
4
4
2
x
x
x k x k
x k x k
x
x

π
π
π
π π
π π
π
π
α π α π
α

  
 

+ =
+ =
= ∨ = +
 ÷

 ÷


 
 


⇔ ⇔ ⇔



−

 
 

= − + ∨ = − +
+ = −
+ = =


 ÷
 ÷


 
 



c.
( )
2 sinx+cosx t anx+cotx=
. Điều kiện :
( )
sinx 0
*
cosx 0
2
x k
π
≠


⇒ ≠

≠

. Khi đó phương trình
(c) trở thành :
( ) ( )
sinx cosx 1
2 sinx+cosx + 2 sinx+cosx sinxcosx=1
cosx sinx sinx.cosx
⇔ = = ⇔
Đặt :
2
sinx+cosx t 2
t 1
sinxcosx=
2
t

= ↔ ≤


−


. Thay vào phương trình ta được :
( ) ( )
2
3 3 2
1

2 1 2 2 2 0 2 0 2 2 1 0
2
t
t t t t t t t t
 
−
⇔ = ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ − + + =
 ÷
 
( )
2 2 sin 2 sin 1 2
4 4 4
t x x x k k Z
π π π
π
   
⇒ = ⇔ + = ⇔ + = ⇒ = + ∈
 ÷  ÷
   
Thỏa mãn điều kiện .
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 17
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN
d.
( ) ( )
3 cot osx 5 tanx-sinx 2x c− − =
. Điều kiện :
( )
sinx 0
*

cosx 0
2
x k
π
≠

⇒ ≠

≠

.
Khi đó :
cos sin x 1
3 sinx- osx 2 2sin 1
sinx osx osx
x
c x
c c
   
⇒ − + = + −
 ÷  ÷
   
( )
osx+sinx 1 osx sinx+cosx-sinxcosx
3 osx-sinx 1 2 sinx 1 2
sinxcosx osx osx
c c
c
c c
 − 

     
⇔ − = + =
 ÷  ÷  ÷
 
     
 
( )
osx+sinx-sinxcosx sinx+cosx-sinxcosx
3 osx-sinx 2 0
sinxcosx osx
c
c
c
   
⇔ − =
 ÷  ÷
   
( ) ( )
( )
osx+sinx-sinxcosx=0
osx+sinx-sinxcosx 3 osx-sinx
2 0
3 cosx-sinx 0
cosx sinx
c
c c

 
⇔ − = ⇔
 ÷


=
 

Trường hợp :
( )
osx-sinx=0 tanx=1 x=
4
c k k Z
π
π
⇔ ⇒ + ∈
Trường hợp : sinx+cosx-sinx cosx=0 .
Đặt :
2
sinx+cosx t 2
t 1
sinxcosx=
2
t

= ↔ ≤


−


Cho nên phương trình :
( )
2

2
1 2 2
1
0 2 1 0 2 sin 2 1
2 4
2 1
t l
t
t t t x
t
π

= − − < −
−
 
⇔ + = ⇔ + − = ⇔ ⇔ + = −

 ÷
 

= −

( )
2
2 1
4
sin sin
3
4
2

2
4
x k
x k Z
x k
π
α π
π
α
π
α π

= − +

−
 
⇔ + = = ⇒ ∈

 ÷
 

= − +


Bài 2. Giải các phương trình sau :
a.
( )
3 2
2
3 1+sinx

3tan t anx+ 8cos
os 4 2
x
x
c x
π
 
− = −
 ÷
 
b.
3 3
2sin sinx=2cos osx+cos2xx x c− −
c.
2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin osx+cos os osx x x x c x c x c x+ + + = + +
Giải
a.
( )
3 2
2
3 1+sinx
3tan t anx+ 8cos
os 4 2
x
x
c x
π
 
− = −

 ÷
 
. Điều kiện : cosx khác 0 . Khi đó phương
trình trở thành :
( )
( ) ( )
( )
2
2
3 1+sinx
sin
t anx 3 1 + 4 1 os 4 1 sinx
os 1 sinx 1 osx 2
x
c x
c x c
π
 
 
 
⇔ − = + − = +
 ÷
 ÷
 
− +
 
 
 
( )
( )

( )
( )
2
2 2
2 2
3-4 1-sin
3 4cos 3 3 4cos
t anx + 4 1 sinx 0 t anx + 0
os 1 sinx os 1 sinx
x
x x
c x c x
   
− −
⇔ − + = ⇔ =
 ÷  ÷
− −
   
( )
( )
2
2
2 3
3 2 1 os2x 0
t anx 1
3 4cos 0
cos 1 sinx
sinx-sin os 0
c
x

x
x c x
 − + =
 
⇔ − + = ⇔

 ÷
−
 
+ =


( )
( )
1
os2x=-
2
1 sinx 0
sinx+cosx-sinxcosx 0
c



⇔ − =


=


Vì sinx=1 làm cho cosx=0 vi phậm điều kiện . Do đó

Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 18
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN
( )
( )
1
os2x=-
3
2
sinx+cosx-sinxcosx 0
sinx+cosx-sinxcosx 0
x k
c
π
π


= ± +


⇔ ⇔


=
=


 
Trường hợp : sinx+cosx-sinx cosx=0 .
Đặt :

2
sinx+cosx t 2
t 1
sinxcosx=
2
t

= ↔ ≤


−


Cho nên phương trình :
( )
2
2
1 2 2
1
0 2 1 0 2 sin 2 1
2 4
2 1
t l
t
t t t x
t
π

= − − < −
−

 
⇔ + = ⇔ + − = ⇔ ⇔ + = −

 ÷
 

= −

( )
2
2 1
4
sin sin
3
4
2
2
4
x k
x k Z
x k
π
α π
π
α
π
α π

= − +


−
 
⇔ + = = ⇒ ∈

 ÷
 

= − +


Vậy nghiệm của phương trình là :
( )
2
4
3
2
4
3
x k
x k k Z
x k
π
α π
π
α π
π
π

= − +




= − + ∈



= ± +


b.
( )
( )
( )
3 3 3 3 2 2
2sin sinx=2cos osx+cos2x 2 sin os sinx-cosx os sin 0x x c x c x c x x− − ⇔ − − − − =
( ) ( ) ( )
sinx=cosx
sinx-cosx 1 sinxcosx os sin 0
sinx+cosx+sinxcosx+1=0
c x x

⇔ + + + = ⇔ 

 

Trường hợp :
( )
sin osx tanx=1 x=
4
x c k k Z

π
π
= ⇔ ⇒ + ∈
Trường hợp : sinx+cosx+sinxcosx+1=0
( )
2
2
2
2
t 1
sinx+cosx; t 2 sinxcosx=
2
1
1 0 2 1 1 0
2
t
t
t t t t

−
= ≤ →


⇔

−

+ + = ↔ + + = + =



Do đó phương trình có nghiệm :
( )
2
1
1 os x- os
2
4 4
2
2
x k
t c c k Z
x k
π
π
π π
π

= +
 

= ⇔ = = ⇔ ∈
 ÷

 
=


c.
2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin osx+cos os osx x x x c x c x c x+ + + = + +

( )
( ) ( ) ( )
2 2 3 3 4 4
osx-sinx os sin os sin os sin 0c c x x c x x c x x⇔ + − + − + − =
( ) ( ) ( )
osx-sinx 1 osx+sinx 1 sinxcosx osx+sinx 0c c c⇔ + + + + = 
 
( )
2
2
t anx=1
osx-sinx=0
t anx=1
t 1
2 sinx+cosx sinxcosx+2=0
t 4 3 0
2t+ 2 0
2
c
t




⇔ ⇔ ⇔

− 

+
+ + =

+ =




( )
4
4
2
1 3
os x- os
4 4
2
2
2
x k
x k
x k k Z
c c
x k
π
π π
π
π π
π π
π
π

= +



= +



⇔ ⇔ = + ∈

   


= − =
 ÷  ÷

= − +

   


. ( Đã bỏ nghiệm t=-3 <-
2
)
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 19
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN
Bài 3 . Giải các phương trình sau :
a.
( )
2 3 3
tan 1 sin os 1 0x x c x− + − =
b.

2sin cot 2sin 2 1x x x
+ = +
c. Cho phương trình :
( )
sinx+cosx+1 1 sin 2m x= +
.
Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn
0;
2
π
 
 
 
Giải
a.
( )
2 3 3
tan 1 sin os 1 0x x c x− + − =
. Điều kiện :
osx 0c ≠
. Khi đó phương trình trở thành :
( )
2
3 3
2
sin
1 sin os 1 0
os
x
x c x

c x
↔ − + − =
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2
2
1 osx 1 osx 1 sinx 1 sinx+sin
osx-1 1 osx+cos 0
1 sinx 1 sinx
c c x
c c x
− + − +
⇔ + + =
− +
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
1 osx 1 sinx+sin
1 osx 1 osx+cos 0
1 sinx
c x
c c x
 

+ +
 
⇔ − − + =
+
 
 
( )
( )
( )
2 2
sin os sinxcosx cosx-sinx
1 osx 0
1+sinx
x c x
c
 
− +
 
⇔ − =
 
 
( ) ( ) ( )
2
osx=1
sinx+cosx-sinxcosx
1 osx sinx-cosx 0
sinx=cosx
1 sinx
4
x k

c
c k Z
x k
π
π
π
=



⇔ − = ⇔ ⇔ ∈


+
= +


Còn trường hợp :
( )
2
2
2
2
t 1
t=sinx+cosx; t 2,sinxcosx=
2
sin osx-sinxcosx=0
1
0 2 1 1 0
2

x c
t
t t t t

−
≤


+ ⇔

+

− = ↔ − + = − =


Do đó :
( )
2
1
1 2 os x- 1 os x- os
2
4 4 4
2
2
x k
t c c c k Z
x k
π
π
π π π

π

= +
   

= ⇔ = ⇔ = = ↔ ∈
 ÷  ÷

   
=

b.
2sin cot 2sin 2 1x x x+ = +
. Điều kiện : sinx khác 0 . Khi đó phương trình trở thành :
( )
( )
2
osx 1-4sin
cos
2sin 1 4sin osx 0 2sin 1 0
sinx sinx
c x
x
x xc x⇔ − + − = ⇔ − + =
( )
( )
( )
1
2
osx 2sinx+1

sinx=
6
2sin 1 1 0
2
5
sinx
sinx-cosx-sin2x=0
2
6
x k
c
x k Z
x k
π
π
π
π

= +


 

⇔ − − = ⇔ ⇔ ∈

 


 
= +




* Trường hợp :
sinx-cosx-sin2x=0
( )
2
2 2
1 5
t=sinx-cosx; t 2 sin 2 1
1 5
2
2
1 0 1 0
1 5
1( )
2
t
x t
t
t t t t
t l

−
=


≤ → = −
−



⇔ ⇔ → =


− − = ↔ − − =
+


= >


Với :
( )
2
1 5 1 5
4
sin sin
5
2 4
2 2
2
4
x k
t x k Z
x k
π
α π
π
α
π

α π

= + +

− −
 
= ⇔ − = = ⇒ ∈

 ÷
 

= − +


Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 20
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN
c. Cho phương trình :
( ) ( ) ( )
2
sinx+cosx+1 1 sin 2 sinx+cosx sinx+cosxm x m= + ⇔ =
.
Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn
0;
2
π
 
 
 
Giải . Đặt :

2
sinx+cosx t 2 sin 2 1t x t= → ≤ ↔ = −
. Thay vào phương trình ta được :
2 2
sinx+cosx=0
1 1
sinx+cosx=m
mt t t

⇔ = + − = ⇔


Nếu :
[ ]
3
0; sinx,cosx 0;1 ; ; sin 0; 2
2 4 4 4 4
x x x
π π π π π
     
 
∈ → ∈ + ∈ ⇔ + ∈
 ÷
   
 
     
Hay :
[ ]
sinx+cosx= 2 sin 0;2
4

x
π
 
+ ∈
 ÷
 
. Để phương trình có nghiệm
0;
2
π
 
∈
 
 
thì
[ ]
;2m ∈
Bài 4. Cho phương trình :
3 3
os sin sin cosc x x m x x+ =
a. Giải phương trình khi m=
2
b. Tìm m để phương trình có nghiệm .
Giải
a. Giải phương trình khi m=
2
:
( ) ( )
3 3
os sin 2 sin cos sinx+cosx 1 sinxcosx 2 sinxcosxc x x x x⇔ + = ⇔ − =

( ) ( )
2
2 2
2
t 1
2
sinx+cosx; t 2 sinxcosx=
2
2 1 2( )
1 1
1 2 0 2 2 2 1 0
2 1
2 2
t
t
t l
t t
t t t t
t

−

=
= ≤ →



⇔ ⇔ = − − < −



   
− −


− − = ↔ − + + =
 ÷  ÷
= − +



   

Do đó :
os x- 1
2
4
1 2
4
os = ;
2
1 2
2
os x-
4
4
2
c
x k
c k Z
x k

c
π
π
π
α
π
π
α π

 

=
= +
 ÷


 
 
−

⇒ ⇔ ∈

 ÷
 ÷

−
 

 
= ± +

=

 ÷


 

b/
2
2 2 3
2
t 1
sinx+cosx; t 2 sinxcosx=
2
1 1 3
1 0 (*) 2; 2
2 2 1
t
t t t t
t m m t
t

−
= ≤ →


⇔

   
− − − +


 
− − = ↔ = ∈ −
 ÷  ÷
 

−
   

Xét hàm số :
( ) ( )
3 2 2
2 2
2 2
2 2
3 2 1 2
( ) '( ) 1 2 1 0 2; 2
1 1
1 1
t t t t t
f t t f t t
t t
t t
 
− + − −
 ÷
 
= = − + ⇒ = − + = − − < ∀ ∈ −
 
 ÷

− −
− −
 
Do vậy để phương trình có nghiệm thì :
( ) ( )
2 2f m f− ≤ ≤ ⇔
2 2 2; 2m m
 
− ≤ ≤ ⇔ ∈ −
 
Bài 5. Cho phương trình :
( )
1 1 1
sinx+cosx 1 t anx+cotx+ 0
2 sinx osx
m
c
 
+ + + =
 ÷
 
.
a. Giải phương trình với m=1/2
b. Tìm m để phương trình có nghiệm trên khoảng
0;
2
π
 
 ÷
 

Giải
a. Giải phương trình với m=1/2. Khi đó phương trình trở thành :
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 21
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN
( )
1 sinx cosx 1 1
sinx+cosx 1 + + 0
2 cosx sinx sinx osx
m
c
 
⇔ + + + =
 ÷
 
( )
1 1 sinx+cosx
sinx+cosx 1 + 0
2 cosxsinx sinxcosx
m
 
⇔ + + =
 ÷
 
( )
sin 2 sinx+cosx sin 2 1 sinx+cosx 0m x x⇔ + + + =
( )
[ ] [ ]
( )
[ ] [ ]

( )
2
sinx+cosx sin 2 1 sin 2 1 0 sinx+cosx sin 2 1 sinx+cosx 0 *m x x m x⇔ + + + = ⇔ + + =
Khi m=
( ) ( )
( )
2
2
2 2
sinx+cosx; t 2 sin 2 1
0
1
1 0
1
1
2
1 1 1 1 0
2
t x t
t
t t
t
t t t

= ≤ → = −
=


⇒ ⇔ + = ⇒



 
= −
 
− + + + − =


 ÷
 
 

( )
4
2 sin 0 sin 0
4 4
2
2
1
2 sin 1 sin
2
4 4
2
x k
x x
x k k Z
x x
x k
π
π
π π

π
π
π π
π π

= − +

 
   
+ = + =

 ÷  ÷
 
   

 
⇒ ⇔ ⇔ = − + ∈

 
   
+ = − + = −

 
 ÷  ÷
= +
   
 




b/ Từ (*) Nếu :
( ) ( )
3
0; ; sin 2;1 sinx+cosx 2;2
2 4 4 4 4
x x x
π π π π π
     
∈ → + ∈ ⇔ + ∈ ↔ ∈
 ÷  ÷  ÷
     
Do đó để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì ta tìm m dể phương trình (*) có nghiệm
( )
2;2∈
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0t m t t t m t t t t t m t
 
⇔ − + + = ⇔ − + + + = ⇔ + − + =   
   
 
- Với t=0 và t=-1 ta đã có nghiệm như câu a .
- Còn phương trình : m(t-1)=-1 , t=1 không là nghiệm ( vì : 0=-1 vô lý ) . Cho nên ta xét
hàm số
( )
2
1 1
( ) '( ) 0
1

1
f t m f t
t
t
= − = ⇒ = >
−
−
. F(t) đồng biến , cho nên phương trình có
nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán thì :
( )
( )
1 1
2 2 1 ; 1
1 2 1 2
f m f m m
 
< < ⇔ < < − ⇔ ∈ −
 ÷
− −
 
Bài 6. Cho f(x)=
( )
3
2
os 2 2 sinx+cosx 3sin 2c x x m+ − +
.
a. Giải phương trình f(x)=0 khi m=-3
b. Tìm GTLN và GTNN của f(x) theo m . Tìm m để
[ ]
2

( ) 36f x x R≤ ∀ ∈
Giải
a. Giải phương trình f(x)=0 khi m=-3
Phương trình :
( ) ( ) ( ) ( )
3 3
2 2
os 2 2 sinx+cosx 3sin 2 0 sin 2 2 sinx+cosx 3 1 sin 2 3 0 1c x x m x x m⇔ + − + = ⇔ − + − + + + =
Khi m=-3. Đặt :
( )
2
2
0
sinx+cosx; t 2 sin 2 1
1 0
1
0
t
t x t
t t
t

=
= ≤ → = −


⇒ ⇔ + = ⇒


= −

=



Chú ý :
( ) ( )
2 2
2
os 2 osx-sinx osx+sinxc x c c=
Cho nên :
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 2
2
os 2 2 sinx+cosx osx+sinx osx-sinx 2 sinx+cosxc x c c
 
+ = + =
 
( ) ( )
2
osx+sinx 1 sin 2 2 sinx+cosxc x− + 
 
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 22
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN
Vậy : f(x)=
( ) ( ) ( )
3 3
2 2
os 2 2 sinx+cosx 3sin 2 os 2 2 sinx+cosx 3 1 sin 2 3c x x m c x x m+ − + = + − + + +
.

( ) ( )
( ) osx+sinx 1 sin 2 2 sinx+cosx 3 3f x c x m⇔ = − + − + + 
 
( ) ( ) ( )
{ }
( ) osx+sinx 1 sin 2 2 sinx+cosx 1 3f x c x m⇔ = − + − + + + = 
 
.Do :
( )
2
1 sin 2 sinx+cosxx+ =
. Cho nên f(x) viết lại thành :
( ) ( )
2 2
( ) sinx+cosx sinx+cosx-1 3f x m⇔ = − + +
- Khi m=-3 thì
( ) ( )
sinx+cosx=0
( ) 0 sinx+cosx sinx+cosx-1 0
sinx+cosx=1
f x

= ⇔ − = ⇔


( )
t anx=-1
t anx=-1
4
2

2
2 sin 1
sin x+ sin
4
4 2 4
2
2
x k
x k k Z
x
x k
π
π
π
π
π π
π
π

= − +






⇔ ⇔ ⇔ = ∈
 
 




+ =
= =
 ÷
 ÷



 
 


= +


- Đặt :
( )
( )
2
2
2
2
0
sinx+cosx; t 2,sin 2 1
'( ) 2 2 3 1 0
1
1
( ) ( ) 1 3
2

t
t x t
g t t t t
t t
f x g t t t m
=


= ≤ = −


⇒ = − − + = ⇔


= ∨ =
= = − − + +



Ta có bảng biến thiên :
t -
2
0
1
2
1
2
g'(t) + 0 - 0 + 0 -
g(t) m+3 m+3
m+3-

( )
2
2 2 1+
m+3-
1
16
m+3-2
( )
2
2 1−
Từ bảng biến thiên ta có maxf(x)=m+3 và min f(x)=m+3-
( )
2
2 2 1−
Do đó :
( )
( )
2
2
2
6 3 2 2 1
( ) 36 6 ( ) 6 9 2 2 1 3
3 6
m
f x f x x m
m

− ≤ + − −

≤ ⇔ − ≤ ≤ ∀ ⇒ ⇔ − + + ≤ ≤



+ ≤

Bài 7. Giải các phương trình :
a.
( ) ( )
cos 2 5 2 2 osx sinx-cosxx c+ = −
b.
3 3
os sin os2xc x x c+ =
c.
2 2
3tan 4tan 4cot 3cot 2 0x x x x+ + + + =
d.
2 2 3 3
tan cot tan cot tan cot 6x x x x x x+ + + + + =
Giải
a.
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
cos 2 5 2 2 osx sinx-cosx 2 2 osx sinx-cosx sin os 5 0x c c x c x+ = − ⇔ − + − − =
( ) ( ) ( ) ( )
sinx-cosx 4 2cos sin os 5 0 sinx-cosx 4 sin os 5 0x x c x x c x⇔ − + + − = ⇔ + − − =   
   
( ) ( )
( )
2
sinx-cosx=1

sinx-cosx 4 sin os 5 0
sinx-cosx=-5<- 2
x c x
l

⇔ + − − = ⇔



Vậy :
( )
2
2
sin osx=1 2 sin 1 sin sin
2
4 4 2 4
2
x k
x c x x k Z
x k
π
π
π π π
π π

= +
   

− ⇔ − = ⇔ − = = ⇒ ∈
 ÷  ÷


   
= +

Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 23
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN
b.
( ) ( )
3 3
os sin os2x cosx+sinx 1 sinxcosx- cosx-sinx 0c x x c+ = ⇔ − = 
 
( )
( )
2
2
t anx=-1
osx+sinx=0
4
1-t
cosx-sinx+sinxcosx-1=0
t+ 1 0 osx-sinx
1 0
2
x k
c
t c
t
π
π



= − +



⇔ ⇔ ⇔



− = =

+ =




Do vậy :
( )
2
2
1 2 sin 1 sin sin
3
4 4 2 4
2
4
x k
t x x k Z
x k
π

π π π
π
π
=

     

= − ⇔ − = − ⇔ − = − = − ⇔ ∈
 ÷  ÷  ÷

= +
     

c.
2 2
3tan 4tan 4cot 3cot 2 0x x x x+ + + + =
. Điều kiện :
( )
sinx 0
cosx 0
x k k Z
π
≠

⇒ ≠ ∈

≠

Phương trình viết lại :
( )

( ) ( )
2 2
3 tan cot 4 t anx+cotx 2 0 1x x+ + + =
Đặt :
( )
2 2 2
2
t anx+cotx= 2 * tan cot 2
sin2x
t t x x t= ⇒ ≥ ⇒ + = −
. Thay vào (1)
( )
2 2
2
1
1
1
sin 2
sin 2
3 2 4 2 0 3 4 4 0
2
2
2 2
sin 2 3 1( )
3
sin 2 3
t
x
x
t t t t

t
x l
x

= −
= −



= −


⇒ − + + = ⇔ + − = ⇔ ⇔ ⇒



=

= >
=




Vậy :
( )
2 2
6
12
sin 2 sin

5 5
6
2 2
6 12
x k
x k
x k Z
x k x k
π
π
π
π
π
π π
π π


= − +
= − +


 
= − ⇔ ⇔ ∈


 ÷
 


= + = +





d.
2 2 3 3
tan cot tan cot tan cot 6x x x x x x+ + + + + =
. Điều kiện :
( )
sinx 0
cosx 0
x k k Z
π
≠

⇒ ≠ ∈

≠

Phương trình viết lại :
( )
( ) ( )
( )
2 2 3 3
t anx+cotx tan cot tan cot 6 0 1x x x x+ + + + − =
Vì :
( ) ( )
3
3 3 3 3 3
t anx+cotx tan cot 3tan cot t anx+cotx tan cot 3.1.x x x x t x x t= + + ⇔ = + +

3 3 3
tan cot 3x x t t⇒ + = −
. Cho nên phương trình trở thành :
( ) ( )
2 3
2 3 6 0t t t t⇔ + − + − − =
( )
( )
( )
2
2
2 3 4 0 2 2 sin 2 1 2 2
sin 2 2 4
t t t t x x k x k k Z
x
π π
π π
⇔ − + + = ⇒ = ⇔ = ⇒ = ⇔ = + ⇒ = + ∈
Bài 8. Cho phương trình :
3 3
cos sinx x m− =
a. Giải phương trình với m=1
b. Tìm m sao cho phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn
;
4 4
π π
 
−
 
 

Giải
a. Giải phương trình với m=1
Đặt :
( ) ( )
2
2
3 3
1-t
osx-sinx; 2 sinxcosx=
2
1
os sin osx-sinx 1 sinxcosx 1
2
t c t
t
c x x c t m

= ≤ →



 
−

− = + = + =
 ÷

 

Xét :

( )
2 3
2
1 3 3
( ) 1 '( ) 1 0 1
2 2 2
t t t
f t t f t t t
 
− − +
= + = ⇒ = − − = → = ±
 ÷
 
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 24
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN
a/ Nếu m=1. Phương trình là :
( )
( )
3
3 2
1
3
1 3 2 0 1 2 0
2
2
t
t t
t t t t t
t

=

− +
= ⇔ − + = ⇔ − + − = ⇔

= −

Với t=-2 (loại ) do đó t=1
( )
2
2
sin sin
2
4 2 4
2
x k
x k Z
x k
π
π
π π
π π

= +
 

⇔ − = = ⇔ ∈
 ÷

 

= +

b/ Nếu phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc
;
4 4
π π
 
−
 
 
, ta tìm điều kiện cho t :
- Từ :
0 1 sin 0 2 0
4 4 2 4 4
x x x t
π π π π π
 
− ≤ ≤ ⇒ − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤
 ÷
 
Do đó phương trình có đúng 2 nghiệm x thuộc
;
4 4
π π
 
−
 
 
, thì phương trình :
3

3
( )
2
t t
f t m
− +
= =
có 2 ngiệm , hay đường thẳng d: y=m cắt đồ thị (C) :
3
3
( )
2
t t
f t
− +
=
tại
hai điểm với t thuộc
2;0
 
−
 
Ta có :
( )
2
'( ) 3 1 0 1f t t t= − = ⇔ = ±
. Lập bảng biến thiên :
t -
2
-1 0 1

f'(t) - 0 + 0
f(t) -
2
0
1
Qua bảng ta thấy : với -
2
<m<1 thì d cắt f(t) tại 2 điểm , và phương trình có 2 nghiệm
thuộc
;
4 4
π π
 
−
 
 
Bài 9. Cho phương trình :
( )
2 2
2cos 2 sin cos sinxcos sinx+cosxx x x x m+ + =
a. Giải phương trình với m=2
b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
0;
2
π
 
 
 
Giải
Phương trình viết lại :

( )
( ) ( )
2 2
2 cos sin sin cos sinx os sinx+cosxx x x x c x m⇔ − + + =
( ) ( )
osx+sinx=0
sinx os 2 cos sin sin cos 0
cosx-sinx+sinxcosx-m=0
c
c x x x x x m

⇔ + − + − = ⇔ 

 

(*)
a. Giải phương trình với m=2. Đặt :
2
1-t
osx-sinx; t 2 sinxcosx=
2
t c= ≤ →
( )
2
2
2
t anx=-1
osx+sinx=0
4
4

1-t
cosx-sinx+sinxcosx-2=0
t+ 2 0
2 3 0
1 2 2
2
x k
x k
c
t t
t
π
π
π
π

 
= − +
= − +


 
⇔ ⇔ ⇔ ⇔


 
− =

− + =
− + ≥


 
 

.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhât :
4
x k
π
π
= − +
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 25