Đề thi mẫu THPT quốc gia môn toán năm 2015 Trường THPT Nguyễn Trung Thiên

SỞGDĐTHÀTĨNH
THPTNGUYỄNTRUNGTHIÊN
TỔTOÁN 
ĐỀTHITHỬKÌTHITHPTQUỐCGIANĂM2015
MônTOÁN(Lần2)
Thờigianlàmbài:180phút
Câu1(2,0điểm).Chohàmsố
3 2
6 9 1y x x x = - + -
(1)
a)Khảosát sựbiếnthiênvàvẽđồthịcủahàmsố(1).
b)T ìmcá cgiá trịcủathamsốm đểph ươngtrìnhsaucónghiệmduynhất:
3 2
1 9
3 0
2 2
x x x m - + - =
.
Câu2(1,0điểm).
a) Giảiphươngtrình:
sin3 3 cos3 2sin 0x x x + - =
.
b)Giảiphươngtrình:
1
1
3 9. 4 0
3
x
x
+
æ ö

+ - =
ç ÷
è ø
.
Câu3(1,0điểm).Tínhtíchphân
( )
( )
1
2
0
1 2
x
I x e dx = - +
ò
.
Câu4(1,0điểm).
a)Tìm phầnthự cv àph ần ảocủasốphức z,biết:
( )
1 2 10 4z i z i - + = - .
b)Chosố nguyênd ương n thoảmãn:
1 2
2 0
n n
C C n - + = .Tìmsốhạngchứa
5
x trongkhaitr iển
3
2
n
x

x
æ ö
-
ç ÷
è ø
,với
( )
0x ¹ .
Câu5(1,0điểm).Chohìnhchóp
.S ABC
cóđáylàtamgiácvuôn gtại B ,
3BC a =
,
10AC a =
.
Cạnhbên SAvuônggócv ớiđáy.Góc giữamặtphẳng
( )
SBC vàmặtphẳng
( )
ABC bằng
0
60 .
TínhthểtíchkhốichópS.ABCvàkho ảngcáchgiữahai đườngthẳng SM và AC theo a ,biết M
làđiểmtrênđoạn
BC
saocho
2MC MB =
.
Câu6(1,0điểm).Trongmặt phẳngvớihệtọađộOxy.Viếtphương trìnhcáccạnhcủahìnhvuông
ABCD ,biếtr ằngcácđườngthẳng AB,

CD
, BC và ADlầnlượtđiquacá cđiểm
( )
2;4M ,
( )
2; 4N - ,
( )
2;2P ,
( )
3; 7Q - .
Câu7(1,0điểm).TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,cho mặtcầu
( )
:S
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 2 9x y z - + - + + =
vàmặtphẳng
( )
: 2 11 0P x y z + - - =
.Chứngminhrằngmặtphẳng
( )
P cắtmặtcầu
( )
S .Tìmtoạđộtâm H củađườngtròngiaotuyếncủa
( )
P và
( )
S .
Câu8(1,0điểm). Giảihệphươngtrình:
2 2

3 2 2 3
2 7 2 6 0
7 12 6 2 2 0.
x y x y
x x y xy y x y
ì
- - + + =
ï
í
- + - + - + =
ï
î
( )
,x y Î ¡ .
Câu9(1,0điểm).Chocácsốthựckhôngâm , ,a b cthoảmãn
2 2 2
3 0a b c b + + - £ .Tìmgiátrịnhỏ
nhấtcủabiểuthứcsau :
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 4 8
1 2 3
P
a b c
= + +
+ + +
.
46
2
SGDTHTNH

THPTNGUYNTRUNGTHIấN
TTON
PNTHITHKèTHITHPTQUCGIANM2015
MụnTON(Ln2)
ỏp ỏngm04trang
CU PN IM
1
(2,0)
a)(1 im)
ã Tpxỏcnh:
D = Ă
.
ã Sbinth iờn:
Chiub inthiờn:Tacú:
2
' 3 12 9y x x = - +
' 0y = 1x = hoc 3x = .
0.25
Hmsngbintrờncỏckhong
( )
1 -Ơ v
( )
3+Ơ ,nghchbintrờnkhong
( )
13 .
Cctr:Hmtcc iti 1x = , 3
CD
y = .Hmtcctiuti 3x = , 1
CT
y = - .

Giihn:
lim
x
y
đ-Ơ
= -Ơ
,
lim
x
y
đ+Ơ
= +Ơ
.
0.25
Bngbinthiờn:
x
-Ơ
1 3
+Ơ
'y
+
0
-
0
+
y
-Ơ
3
1 -
+Ơ

`
0.25
ã th:th(C)cahmsiquaim
( )
43A vcttrctungtiim
( )
0 1B - .
0.25
b)(1im)
Phngtrỡnh óchotngngviphngtrỡnh:
3 2
6 9 1 2 1 (1)x x x m - + - = - 0.25
Snghimcaphngtrỡnh(1)bngsgiaoimcangthng 2 1y m = - vith(C)
0.25
Davoth,phngtrỡnhcúnghimduynhtthỡ: 2 1 3m - > hoc 2 1 1m - < - .
0.25
Hay 2m > hoc 0m < .Vy phngtrỡnhcúnghimduynht khi 2m > hoc 0m < .
0.25
2
(1,0)
a.
sin3 3cos3x 2sin 0x x + - =
1 3
sin 3 cos3x sin
2 2
x x + = sin 3 si n
3
x x

p

ổ ử
+ =
ỗ ữ
ố ứ
.
0.25
Suyraphngtrỡnhcúcỏcnghim:
6
x k

p
p
= - +
6 2
x k

p p

= + (vi k ẻÂ ). 0.25
b.Phngtrỡnhtngng:
1
3 3. 4 0
3
x
x
+ - = .t
3 ,( 0)
x
t t = >

phngtrỡnhtrthnh:
2
4 3 0t t - + =
.Phngtrỡnhnycúc ỏcnghim:
1t =
v
3t =
.
0.25
3
1, 3 1 0
x
t x = ị = =
.
3, 3 3 1
x
t x = ị = =
.Vyphngtrỡnhcú2nghim 0 1x x = = .
0.25
3
(1,0)
( )
( )
( ) ( )
1 1 1
2 2
0 0 0
1 2 2 1 1
x x
I x e dx x dx x e dx = - + = - + -

ũ ũ ũ
.
0.25
Tớnh
( ) ( )
( )
1 1
1
2
1
0
0 0
2 1 2 2 2 1I x dx x dx x x = - = - = - =
ũ ũ
.
0.25
Tớnh
( )
1
2
2
0
1
x
I x e dx = -
ũ
.t
2
2
1

2
x
x
du dx
u x
e
dv e dx
v
= -
ỡ
= -
ỡ
ù
ị
ớ ớ
=
=
ợ
ù
ợ
( )
1
1
2
1
2 2 2 2
2
0
0
0

1
1 1 1 3
0
2 2 2 4 2 4 4 4
x
x x
x e
e e e e
I dx
-
-
ổ ử
ị = + = - + = - + - =
ỗ ữ
ố ứ
ũ
.
0.25
Vy
2 2
1 2
3 1
1
4 4
e e
I I I
- +
= + = + =
.
0.25

4
(1,0)
a.Gi z a bi = + , ( , )a bẻĂ .Tgithittacú:
( )( )
1 2 10 4a bi i a bi i + - + - = -
0.25
( )
2 2 10 4a b ai i + - = -
( )
2 10
2
3
2
a b
a
b
a
ỡ + =
=
ỡ
ù

ớ ớ
=
=
ù
ợ
ợ
.Vy phnthcl2,phnol3.
0.25

b.Tỡmnthomón:
1 2
2 0 (*)
n n
C C n - + =
.iukin: 2, .n n ẻÂ
! ! ( 1)
(*) 2 0 2 0 7.
( 1)! ( 2)! 2
n n n n
n n n n
n n
-
- + = - + = =
- -
0.25
Tacú:
7
7
3 21 4
7
0
2
.( 2) .
k k k
k
x C x
x
-
=

ổ ử
- = -
ỗ ữ
ố ứ
ồ
.Suyrashngcha
5
x ngvi 21 4 5 4k k - = = .
Vyshngcha
5
x l
( )
4
4 5 5
5 7
. 2 . 560T C x x = - = .
0.25
5
(1,0)
Vỡ
BC SA ^
v
BC AB ^
nờn
BC SB ^
.
Vygúcgiamp
( )
SBC vmp
( )

ABC l
ã
0
60SBA = .Tacú:
2 2
AB AC BC a = - = .
Dintớch
ABC D
l
2
1 3
.
2 2
ABC
a
S AB BC = = .
0.25
0
.tan 60 3SA AB a = = .Thtớchkhichúp
2 3
.
1 1 3 3
. . 3.
3 3 2 2
S ABC ABC
a a
V SA S a = = =
.
0.25
K MN songsong AC ctAB ti N,

( )
AC SMN ị P
.Vy
( ) ( )
( )
, ,d SM AC d A SMN = .
GiIlhỡnhchiucaimAlờn MN,Hlhỡnhc hiuca Alờn SI , ( )MI SAI ị ^ ,
MI AH ị ^
.Mtkhỏc
AH SI ^
nờn
( )
AH SMI ^
.Vy
( ,( ))d A SMN AH =
.
0.25
AIN D
ngdngvi
MBN D
,
. 2
10
AN MB a
AI
MN
ị = =
.Xột
SAI D
vuụngtiAvcúAHl

ngcao
. 102
17
AI SA a
AH
SI
ị = = .Vy
( )
102
,
17
a
d SM AC =
.
0.25
6
Gi
( )
n a b
r
lvectphỏptuyncangthng AB.Vỡ AB iquaim
( )
24M
nờnphng 0.25
4
(1,0)
trỡnhtngquỏtcaABl:
2 4 0ax by a b + - - =
.ng BCiqua
( )

22P
vvuụnggúcvi
ABnờncúphngtrỡnh BCl: 2 2 0bx ay a b - + - + = .
ABCDlhỡnhvuụngnờn
( ) ( )
, ,d N AB d Q BC = hay
2 2 2 2
2 4 2 4 3 7 2 2a b a b b a a b
a b a b
- - - - - - +
=
+ +
9 9
9 7
a b
a b
= -
ộ

ờ
=
ở
.
0.25
TH1:Chn 1, 1a b = ị = - .
Phngtrỡnh AB: 2 0x y - + = ,phngtrỡnh BC:
4 0x y + - =
.
ng CDiqua
( )

2 4N -
vsongsongviABnờn
phngtrỡnh CDl:
6 0x y - - =
.
ng ADiqua
( )
3 7Q - vsongsongviBC ịAD
cúphngtrỡnh:
4 0x y + + =
.
0.25
TH2:Chn 7 9a b = ị = .
Phngtrỡnh ABl: 7 9 50 0x y + - = ,phngtrỡnhBC:
9 7 4 0x y - + + = .
Tú phngtrỡnh CDl:7 9 22 0x y + + = ,phng
trỡnh ADl : 9 7 76 0x y - + + = .
0.25
7
(1,0)
Mtcu
( )
S
cútõm
( )
11 2I -
vbỏnkớnh
3R =
.
0.25

Khongcỏcht I nmtphng
( )
P l:
( )
( )
( )
( )
2
2 2
1 2.1 2 11
6
, 6
6
1 2 1
d I P
+ - - -
-
= = =
+ + -
.
Vỡ
( )
( )
,d I P R < nờnmtphng
( )
P ctmtcu
( )
S
.
0.25

Gi
( )
C lngtrũngiaotuyncamp
( )
P
vmc
( )
S thỡHlhỡnhchiuvuụnggúcca
I
lờnmp
( )
P
.Tacúphngtrỡnh ngthng
IH
l:
1
1 2
2
x t
y t
z t
= +
ỡ
ù
= +
ớ
ù
= - -
ợ
,ị

( )
1 1 2 2H t t t + + - - .
0.25
Mtkhỏc
( )
H P ẻ nờntacú:
( ) ( )
1 2 1 2 2 11 0t t t + + + - - - - =
hay
1t =
.Vy
( )
23 3H -
.
0.25
8
(1,0)
Tacú:
3 2 2 3
7 12 6 2 2 0x x y xy y x y - + - + - + =
( ) ( ) ( )
2
2
2 2 2 0y x x x y x y x
ộ ự
- - - + - + =
ở ỷ
.
( )
2

0.25
Vỡ
( ) ( ) ( )
2
2
2 2
3
2 2 2 2 2 0, ,
2 4
x
x x y x y x y x x x y
ổ ử
- - + - + = - - + + > "
ỗ ữ
ố ứ
nờn:
( )
2 0x y - = hay x y = .
0.25
ị
Htngng:
2 2
2 7 2 6 0
y x
x y x y
=
ỡ
ớ
- - + + =
ợ

2
5 6 0
y x
x x
=
ỡ

ớ
- + =
ợ
2
3.
y x
x
x
=
ỡ
ù

=
ộ
ớ
ờ
ù
=
ở
ợ
0.25
Vyhcú2nghim
( ) ( )

22x y = hoc
( ) ( )
33x y = .
0.25
9
(1,0)
Tathy:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 4 2 6 1 2 1 0a b c a b c a b c + + - - - + = - + - + - ,theogithitthỡ
2 2 2
3a b c b + + Ê .Suyra3 2 4 2 6 0b a b c - - - + hay 2 2 10 16a b c + + + Ê .
0.25
5
Vớihaisố , 0x y > thì
( )
2
2 2
1 1 8
x y
x y
+ ³
+
.Ápdụngnhậnxéttrêntacó:
( ) ( )
2 2 2
1 4 8
1 2
2

2
a b b
a
+ ³
+ +
æ ö
+ +
ç ÷
è ø
;
( )
2 2 2
1 1 8
3
2 5
2 2
cb b
a a c
+ ³
+
æ ö æ ö
+ + + + +
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
.
0.25
( ) ( )
2
2 2 2 2
8 8 8 16

8.
3 2 2 10
2 5
2 2
P
c a b cb b
a a c
Þ ³ + ³ =
+ + + +
æ ö æ ö
+ + + + +
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
.
Theogiảthiếtvàchứngminhtrênthì 0 2 2 10 16a b c < + + + £ , 1P Þ ³ .
0.25
Khi
1, 2, 1a b c = = =
thì 1P = .Vậy
min
1P =
.
0.25