de thi dai hoc toan

TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG
ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC LẦN THỨ HAI

Năm học 2009 – 2010
Môn thi: TOÁN (Khối D)
Thời gian làm bài: 180 phút

A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 ñiểm)
Câu I (2 ñiểm )
Cho hàm số y =
1
x
x
−
(1)
1. Khả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

ñồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
(1).

2. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n d c
ủ
a (C) sao cho d và hai
ñườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a (C) c
ắ
t nhau t
ạ
o
thành m
ộ
t tam giác vuông cân.
Câu II

(2 ñiểm )
1. Gi

ả
i ph
ươ
ng trình: 3 – tanx (tanx + 2sinx) + 6cosx = 0.
2. Tìm m
ñể
h
ệ
ph
ươ
ng trình:
2 0
1
x y m
x xy
− − =



+ =


có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t.
Câu III

(1 ñiểm)

Tính tích phân:
2
3
1
1
dx
x x
Ι =
+
∫

Câu IV

(1 ñiểm)
Cho m
ộ
t l
ă
ng tr
ụ

ñứ
ng ABC.A’B’C’ có
ñ
áy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, AA’ = a
2
.
G
ọ
i M, N l

ầ
n l
ượ
t là trung
ñ
i
ể
m c
ủ
a
ñ
o
ạ
n AA’và BC’. Ch
ứ
ng minh MN là
ñườ
ng vuông góc chung
c
ủ
a các
ñườ
ng th
ẳ
ng AA’và BC’. Tính th
ể
tích c
ủ
a kh
ố

i t
ứ
di
ệ
n MA’BC’.
Câu V

(1 ñiểm)
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình :
2
2 1
log 1 2
x
x
x
x
−
= + −

B. PHẦN RIÊNG (3 ñiểm)
Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)
Phần 1
:
Theo chương tình chuẩn
Câu VI.a (2 ñiểm)
1. Trong m

ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
to
ạ

ñộ
Oxy, tìm to
ạ

ñộ
các
ñỉ
nh c
ủ
a tam giác ABC bi
ế
t r
ằ
ng
ñườ
ng
th
ẳ
ng AB,
ñườ

ng cao k
ẻ
t
ừ
A và
ñườ
ng trung tuy
ế
n k
ẻ
t
ừ
B l
ầ
n l
ượ
t có ph
ươ
ng trình là x + 4y – 2 = 0,
2x – 3y + 7 = 0, 2x + 3y – 9 = 0.
2. Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

ñộ
Oxyz cho hai
ñ

i
ể
m I(0;0;1), K(3;0;0). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t
ph
ẳ
ng
ñ
i qua hai
ñ
i
ể
m I, K và t
ạ
o v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (xOy) m
ộ
t góc b
ằ
ng

0
30

Câu VII.a (1 ñiểm)
Kí hi
ệ
u
k
n
C
là s
ố
t
ổ
h
ợ
p ch
ậ
p k c
ủ
a n ph
ầ
n t
ử
(
, ;
k n N k n
∈ ≤
). Ch
ứ

ng minh
ñẳ
ng
th
ứ
c:
0 2 2 4 4 2 2 2 1 2
2 2 2 2
.3 .3 .3 2 (2 1)
n n n n
n n n n
C C C C
−
+ + + + = +

Phần 2:

Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2ñiểm)

1. Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
to
ạ

ñộ
Oxy, cho
ñườ
ng tròn (C):
2 2
1.
x y
+ =

ðườ
ng tròn tâm (C’) tâm
I(2;2) c
ắ
t (C) t
ạ
i hai
ñ
i
ể
m A, B sao cho AB =
2
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
ñườ
ng th
ẳ

ng AB.
2. Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

ñộ
Oxyz cho
ñ
i
ể
m I(2;2;-2) và m
ặ
t ph
ẳ
ng (P): 2x + 2y + z + 5 = 0.
a. L
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S) có tâm là I sao cho giao c
ủ
a (S) và (P) là
ñườ

ng tròn (C) có chu
vi b
ằ
ng
8
π

b. Tìm to
ạ

ñộ
tâm c
ủ
a
ñườ
ng tròn (C)
Câu VII.b (1 ñiểm)
Cho t
ậ
p X g
ồ
m t
ấ
t c
ả
các s
ố
t
ự
nhiên có 3 ch

ữ
s
ố
khác nhau
( , , 6)
abc a b c
<
.Ch
ọ
n
ng
ẫ
u nhiên m
ộ
t s
ố
trong X. Tính xác su
ấ
t
ñể
k
ế
t qu
ả
ch
ọ
n
ñượ
c là m
ộ

t s
ố
chia h
ế
t cho 3.

H
ế
t
TR
ƯỜ
NG THPT CHUYÊN H
Ạ
LONG
ðÁP ÁN VÀ BIỂU ðIỂM

ðỀ

THI THỬ ðẠI HỌC LẦN THỨ HAI

N
ă
m h
ọ
c 2009 – 2010

Môn thi

: TOÁN ( khối D)

Câu N
ộ
i dung
ð
i
ể
m
I
2
ñ
’

1
1
ñ
’


•
TX
ð
:
{
}
\ 1
D R=

•
S
ự

bi
ế
n thiên
.
( )
2
1
' 0
1
y
x
= − <
−
v
ớ
i
x D
∀ ∈

.H/s ngh
ị
ch bi
ế
n trên các kho
ả
ng
(
)
(
)

;1 , 1;
−∞ +∞
và không có c
ự
c tr
ị

.Tìm
ñượ
c ti
ệ
m c
ậ
n
ñứ
ng :x=1 ,ti
ệ
m c
ậ
n ngang :y=1

◦
B
ả
ng bi
ế
n thiên:
x

−∞

1

+∞

y’
_
_
y 1



−∞

+∞






1

•
ðồ
th
ị
:
.
ðồ

th
ị
nh
ậ
n
ñ
i
ể
m I(1;1) là tâm
ñố
i x
ứ
ng và qua O(0;0)








0,25


0,25

0,25






0,25








2

1
ñ
’

•
ðồ
th
ị
(C) có 2
ñườ
ng ti
ệ

m c
ậ
n vuông góc v
ớ
i nhau ,trong
ñ
ó có 1ti
ệ
m c
ậ
n song
song v
ớ
i tr
ụ
c Ox nên YCBT
⇔
l
ậ
p pt ti
ế
p tuy
ế
n cúa (C) sao cho tt h
ợ
p v
ớ
i Ox 1
góc
0

45
và không
ñ
i qua giao
ñ
i
ể
m 2
ñươ
ng ti
ệ
m c
ậ
n
•

L
ậ
p lu
ậ
n
ñể
có h
ệ
s
ố
góc c
ủ
a tt là k=1 ho
ặ

c k=-1
•

Xét k=1 : pt hoành
ñộ
ti
ế
p
ñ
i
ể
m là y’=1 vô nghi
ệ
m nên không có tt
•

Xét k=-1: pt hoành
ñộ
ti
ế
p
ñ
i
ể
m là
,
0
1
2
x

y
x
=

= − ⇔

=



0 0, :
2 2, : 4
x y pttt y x
x y pptt y x
= ⇒ = = −
= ⇒ = = − +
(Tmãn không qua giao
ñ
i
ể
m 2
ñườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n )

LK:Có 2 pttt c
ầ

n tìm :y=-x và y=-x+4

0,25

0,25

0,25




0,25

1
1
x
y
O

1
1
ñ

•
ð
k: Cos
x
≠
0 (*) Khi
ñ

ó
( )
( )
2
2
2
2
sin 1 2 osx
3 1 2 osx 0
osx osx
sin
1 2 osx 3 0
os x
-1
osx=
( )
2
tan 3
( )
3
x c
pt c
c c
x
c
c
c
tmdk
x
x k k Z

π
π
+
 
⇔ + − =
 
 
 
⇔ + − =
 
 


⇔

=


⇔ = ± + ∈



0,25

0,25



0,25

0,25
II
(2
ñ
’)

2
1
ñ
’


•
H
ệ
pt
ñ
ã cho
( )
( )
2 2
1 0 1
2 2 (1)
2 1 0(2)
1
x x
y x m y x m
x m x

xy x


− ≥ ≤



⇔ = − ⇔ = −
 
 
+ − − =
= −




•
Yêu cầu bài toán
(2)
pt
⇔
có ñúng 1 nghiệm thoả mãn x
1
≤
(*)
•
Ta có pt(2)có 2 nghi
ệ
m trái d
ấ

u v
ớ
i
m
∀
(do a.c <0 )
(*) (2)
pt
⇒ ⇔
có 2nghi
ệ
m
2
1 2
(2 ) (2 ) 4
1 1
2
2
m m
x x
m
− − + − +
< < ⇔ >
⇔ >





0,25

0,25



0,5

III
(1ñ’)


•
Tính I=
2 2
2
3 3 3
1 1
1 1
dx x dx
x x x x
=
+ +
∫ ∫

•
ðặt
3 2
1 2 3
1 2, 2 3
x t tdt x dx

x t x t
+ = ⇒ =
= ⇒ = = ⇒ =

•
3 3
2
2 2
3
2
1 1 1 1
3 1 3 1 1
1 1 1 1 2 1 1 3 2 2
ln ln ln ln
3 1 3 2 3 2
2 1
dt
I dt
t t t
t
t
 
⇒ = = −
 
− − +
 
 
− − +
= = − =
 

 
+
+
 
∫ ∫


0,25


0,25


0,25


0,25
VI
(1
ñ
’)



•
NM c
ắ
t AA’ t
ạ
i M và BB’ t

ạ
i N, g
ọ
i H,K l
ầ
n l
ượ
t là trung
ñ
i
ể
m c
ủ
a BC và
B’C’ ta có H,N,K th
ẳ
ng hàng
+L
ậ
p lu
ậ
n
ñể
có MNKA’ là hcn
'
MN AA
⇒
⊥
t
ạ

i M
+ L
ậ
p lu
ậ
n
ñể
có
'
MN BC
⊥
t
ạ
i N

•
+L
ậ
p lu
ậ
n
ñượ
c AB là
ñườ
ng cao c
ủ
a chóp B.A’MC’
+Tính
ñượ
c di

ệ
n tích tam giác A’MC’=
2
2
4
a
( )
3
2
12
a
V dvtt
⇒
=


0,25
0,25


0,25
0,25
N
A
A'
B'
C'
B
C
H

K
M

V
(1
ñ
’)



•
ð
k
2 1
0
0
0
x
x
x
x

−
>

⇔ >


≠


• V
ớ
i
ð
k trên pt
( )
2 2 2
2 1
log 1 2 log 2 1 2 1 log
x
x x x
x x x
x
−
⇔ = − + ⇔ − + − = +
(1)
•
2
( ) log
f t t t
= +
là h/s
ñ
òng bi
ế
n trên
(
)
0;

+∞
nên
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2
. , 0
f t f t t t t t
= ⇔ = ∀ >

(1)
2 1 2 1 0
x x
x x
⇔ − = ⇔ − − =
(2) x 0 x
0
+
∞

•
ðặ
t
(
)
2 1
x
g x x
= − −

,xét CBT c
ủ
a g(x) trên(0;
)
+∞
g’ - 0 +
g’=
(
)
2 2 0
2 ln 2 1 0 log log
x
x e x
− = ⇔ = =
, g(0)=0 g
T
ừ
BBT ta có pt(2) có t
ố
i
ñ
a 1 nghi
ệ
m x>0 .Ta có x=1 là nghi
ệ
m c
ủ
a pt(2)
KL :pt
ñ

ã chocó 1 nghi
ệ
m duy nh
ấ
t x=1



0,25

0,25




0,25



0,25

Via
(2
ñ
’)




1

1
ñ
’

• To
ạ

ñộ
A là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ

( )
4 2 0 2
2;1
2 3 7 0 1
x y x
A
x y y
+ − = = −
 
⇔ ⇒ −
 
− + = =
 

• To

ạ

ñộ
B là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ

( )
4 2 0 6
6; 1
2 3 9 0 1
x y x
B
x y y
+ − = =
 
⇔ ⇒ −
 
+ − = = −
 

• .L
ậ
p lu
ậ
n
ñể

có pt c
ủ
a BC:3x+2y-16=0
.M là trung
ñ
i
ể
m c
ủ
a AC
2
2 2
1
2 2
A C C
M
A C C
M
x x x
x
y y y
y
+ − +

= =


⇔

+ +


= =


,L
ạ
i có M thu
ộ
c trung
tuy
ế
n qua B nên :
2 3 19 0
C C
x y
+ − =

• To
ạ

ñộ
c
ủ
a C tho
ả
mãn
( )
3 2 16 0 2
2;5
2 3 19 0 5

x y x
C
x y y
+ − = =
 
⇔ ⇒
 
+ − = =
 



0,25


0,25






0,25


0,25
2

1
ñ

’

•
Gi
ả
s
ử
(
)
; ;
n A B C
r
làvéct
ơ
pháp tuy
ế
n c
ủ
a mp’(P) c
ầ
n tìm (A,B,C không
ñồ
ng
th
ờ
i =0)



.Vì

, ( )
(3;0; 1) . 0 3 0 3
( )
K I P
IK IK n A C C A
n P
∈


− ⇒ = ⇔ − = ⇔ =


⊥

uur uur r
r
(1)
•
(P) h
ợ
p v
ớ
i (xOy) 1góc
0
30
0
2 2 2
3
os30 os(n, ) (2)
2

C
c c k
A B C
⇔ = ⇔ =
+ +
r r

•
T
ừ
(1) và (2)
2 2
2
2
2
B A
A B
B A

=
⇒ = ⇔

= −


.
.V
ớ
i
2

B A
=
ch
ọ
n A=1
⇒
B=
2
,C=3
(1; 2;3)
n⇒
r

.V
ớ
i
2
B A
=−
ch
ọ
n A=1
⇒
B=-
2
,C=3
(1; 2;3)
n⇒ −
r

•
mp’có vt
ơ
pt
(1; 2;3)
n
r
và qua I(0;0;1) có pt:
2 3 3 0
x y z
+ + − =

mp’có vt
ơ
pt
(1; 2;3)
n −
r
và qua I(0;0;1) có pt:
2 3 3 0
x y z
− + − =

C
ả
2 mp’ có pt trên tho
ả
mãn qua K và là mp’ c
ầ
n tìm

0,25



0,25





0,25



0,25
VIIa

(1
ñ
’)


•
( )
( ) ( )
2
2
2
2

0
2
2
2
2
0
4 1 3 3
2 1 3 1 3
n
n
n k k
n
k
n
n k
n k k
n
k
C
C
=
=
= + =
= − = −
∑
∑
V
ớ
i
,

,
k n
k n N
≤
∈

•
2 2
0 2 2 2 1 2
2 2 2
4 2
2 (2 1)
2
n n
n n n
n n n
C C C
−
+
⇒ + + + = = +

0,25


0,25


0,5

VIb

(2
ñ
)

1
1
ñ
’

•
ðườ
ng tròn (C) có tâm O(0;0) và bán kính R=1 ,
ñườ
ng tròn (C’) c
ắ
t (C) t
ạ
i A,B
nên
AB OI
⊥
t
ạ
i H là trung
ñ
i
ể
m c
ủ
a AB suy ra

(2;2)
OI
uur
là véc t
ơ
pháp tuy
ế
n
Pt AB có dang :2x+2y+C=0
•
2 2
2
( , ) 2
2
2 2
C
d O AB OH OB HB C
= = − ⇔ = ⇔ = ±

• KL: x+y+1=0 và x+y-1=0 là pt
ñườ
ng th
ẳ
ng c
ầ
n tìm


0,25

0,5

0,25


























2

1
ñ
’

• L
ậ
p lu
ậ
n
ñể
có bk c
ủ
a (C) là r =4, d(I,(P)) =11/3 suy ra bbk c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u
R=
265
3

Pt m
ặ
t c
ầ
u :
( ) ( ) ( )
2 2 2

265
2 2 2
9
x y z− + − + + = ……………………
• G
ọ
i H là tâm c
ủ
a
ñườ
ng tròn (C) thì H là hình chi
ế
u c
ủ
a I trên m
ặ
t ph
ẳ
ng(P)
( )
( )
11
9
2 2 5 0
4
2 2
4 4 29
9
; ;
2 2 4

9 9 9
9
2
29
9
H P
IH P
t
x y z
x
x t
H
y t
y
z t
z
∈


⇔

⊥



= −


+ + + =



= −

= +


 
⇔ ⇔ ⇔ ⇒ − − −
 
 
= +
 
 
= −
 
= −



= −

uuur



0,25

0,25

0,25




0,25
VIIb
(1
ñ
’)



• L
ậ
p lu
ậ
n
ñượ
c s
ố
ph
ầ
n t
ử
c
ủ

a không gian m
ẫ
u
5.5.4 100
Ω = =

• G
ọ
i bi
ế
n c
ố
A: “S
ố
l
ấ
y
ñượ
c chia h
ế
t cho 3”
{
}
3 ,
A
abc X abc n n N
⇒ Ω = ∈ = ∈

. L
ậ

p lu
ậ
n
ñượ
c
4.4 4.3! 40
A
Ω = + =

•
( )
40 2
100 5
A
A
P
Ω
⇒
= = =
Ω

0,25



0,5

0,25