Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm 2010-2011

Đề & Đáp án thi HSG Toán 9 Năm Học 2010-2011
SỞ GD & ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
QUẢNG TRỊ MÔN: TOÁN (BẢNG A)
NĂM HỌC 2010 - 2011
Thời gian: 150 phút (không kể giao đề)
Bài 1.(4 điểm)
Cho biểu thức:
1 2 2 5
4
2 2
x x x
P
x
x x
+ +
= + +
−
− +
với
0; 4x x≥ ≠
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P=2.
Bài 2 (4 điểm)
1. Rút gọn biểu thức
8 15 8 15
2 2
A
+ −
= +
2. Giải phương trình
2

3 3x x+ + =
Bài 3 (4 điểm)
1. Cho bốn số thực bất kì a, b, c, d. Chứng minh:
( ) ( )
2 2 2 2
.ab cd a b c d+ ≤ + +
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
2. Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. M là điểm chuyển động
trên nửa đường tròn.
Xác định vị trí điểm M để
3MA MB+
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 4: ( 4 điểm)
Tìm tất cả các bộ ba số nguyên (x;y;z) thỏa mãn:
3 3 2
2
2 1 (1)
2 (2)
y x x
xy z

= + +


= +


Bài 5 (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A với BC =a, AB=AC=b (a>b). Đường phân giác
BD của góc

ˆ
ABC
cắc AC tại D và có độ dài bằng cạnh bên (BD=b).
1. Tính CD theo a, b.
2. Chứng minh rằng
1 1
a a b
b b a
  
+ − =
 ÷ ÷
  
HẾT
Trang 1
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề & Đáp án thi HSG Toán 9 Năm Học 2010-2011
SỞ GD & ĐT ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI
QUẢNG TRỊ MÔN: TOÁN – LỚP 9 (BẢNG A)
NĂM HỌC 2010 - 2011

BÀI Ý NỘI DUNG ĐIỂM
1
4đ
a
(3đ)
Với
0; 4x x≥ ≠
, ta có
( ) ( )
( ) ( )

( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
1 2 2 2
2 5
4
2 2 2 2
3 2 2 4 2 5
2 2
3 2
3 6 3
2 2 2 2 2
x x x x
x
P
x
x x x x
x x x x x
x x
x x
x x x
x x x x x
+ + −
+
= + −
−
− + + −

+ + + − − −
=
− +
−
−
= = =
− + − + +
0,5
1.0
1,5
b
(1)
P=2 khi và chỉ khi
( )
3
2 3 2 4 4 16
2
x
hay x x x x
x
= = + ⇔ = ⇔ =
+
1.0
2
1(2)
Ta có :
( ) ( )
2 2
2 16 2 15 16 2 15
15 1 15 1 2 15 15.

A
A
= + + −
= + + − = ⇒ =
2.0
2(2)
Giải phương trình
2
3 3x x+ + =
Điều kiện:
3x
≥ −
Đặt:
2
3, 0 3u x u u x= + ≥ ⇔ = +
Ta có hệ:
2
2
3 (1)
3 0 (2)
u x
x u

= +


+ − =


Từ (1) và (2) ta có:

( ) ( )
2 2
0 1 0u x x u u x u x− − − = ⇔ + − − =
Với u=-x, ta có : x
2
-x-3=0
1 13 1 13
;
2 2
x x
+ −
⇔ = =
Chỉ nhận giá trị nghiệm
( )
1 13
ì u 0
2
x v
−
= ≥
Với u=x+1, ta có :
2
2 0 1 2x x x hay x+ − = ⇔ = = −
Ta chỉ nhận nghiệm x=1
( )
ì 0v u ≥
Vậy phương trình có hai nghiệm là
1 13
; 1
2

x x
−
= =
2
Trang 2
O
A
B
M
Đề & Đáp án thi HSG Toán 9 Năm Học 2010-2011
3
a
(2)
Ta có
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
0
2
2 0 0
ab cd a c b d ab cd a c b d
a b c d adbc a b c b a d c d
ad bc ad bc ad bc
≤ + ≤ + + ⇔ + ≤ + +
⇔ + + ≤ + + +

⇔ + − ≥ ⇔ − ≥
Đúng với 4 số thực a, b, c, d bất kì.
Vậy:
( ) ( )
2 2 2 2
0 , , , ,ab cd a c b d a b c d≤ + ≤ + + ∀ ∈¡
Dấu đảng thức xãy ra khi
( )
0 0; 0
c d
ad bc hay a b
a b
− = = ≠ ≠
2
b
(2)
Ta có:
0
ˆ
90AMB =
( góc nội
tiếp chắn nửa đường tròn)
Tam gics MAB có
0
ˆ
90M =

nên theo định lý Pytago ta
có MA
2

+MB
2
=AB
2
=4R
2
.
Áp dụng bất đẳng thức
( ) ( )
2 2 2 2
ax by a b x y+ ≤ + +
T
a có:
( )
( )
2 2 2
3 1 3 4.4 4MA MB MA MB R R+ ≤ + + = =
Dấu “=” xảy ra
3MA MB⇔ =
⇔
tam giác ABC là nửa tam giác đều.
0
60sdMA⇔ =
)
2
4
(4)
4
Tìm tất cả các số nguyên (x; y; z) thỏa mãn
( )

( )
3 3 2
2
2 1 1
2 2
y x x
xy z

= + +


= +


Do 2x
2
+1>0 nên từ (1) ta có:
3 3
y x y x> ⇔ >
Vì
( )
{ }
3
3
3 2 3 2
2
ì , ê 1 1
2 1 3 3 1
3 0 3 0
ê 3; 2; 1;0

V x y n n y x y x
x x x x x
x x x
Do x n n x
∈ ≥ + ⇔ ≥ +
⇔ + + ≥ + + +
⇔ + ≤ ⇔ − ≤ ≤
∈ ∈ − − −
¢
¢
Từ (2) ta có xy=>0 do đó x và y cùng dấu.
Ta tìm được cặp (x;y) thỏa mãn là (-3;-2). Thay vào (2) ta được
bộ ba (x;y;z) cần tìm là (-3;-2;-2), (-3;-2;2).
4
Trang 3
Đề & Đáp án thi HSG Toán 9 Năm Học 2010-2011
5
(4)
a
(1)
Theo tính chất đường phân
giác ta có:
( )
1
DA BA DA DC
DC BC DC
BA BC b a b
hay
BC DC a
ab

DC
a b
+
= ⇒
+ +
= =
⇒ =
+
1
b
(3)
Lấy E thuộc BC sao cho BE=b, các tam giác ABD, DBE cùng
cân tại B và bằng nhau.
Từ đó suy ra :
0 0
1 2 3 2 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
180 180D D D D E B= − − = − − =
Suy ra tam giác CED đồng dạng với tam gics CDB.
2
. (2)
CE CD
CE CB CD
CD CB
⇒ = ⇒ =
Từ (1), (2) và CE=a-b, ta có:
( )
2
2 2
1

1 1
ab
a b a
a b
a b a b
b ab
a a b
b b a
 
− =
 ÷
+
 
+ −
⇔ × =
  
⇔ + − =
 ÷ ÷
  

3
Trang 4
b
b
a
b
a-b
2
1
3

2
1
1
E
D
A
B
C
Đề & Đáp án thi HSG Toán 9 Năm Học 2010-2011
SỞ GD & ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
QUẢNG TRỊ MÔN: TOÁN (BẢNG B)
NĂM HỌC 2010 - 2011
Thời gian: 150 phút (không kể giao đề)
Bài 1.(4 điểm)
Cho biểu thức:
1 2 2 5
4
2 2
x x x
P
x
x x
+ +
= + +
−
− +
với
0; 4x x≥ ≠
c) Rút gọn P
d) Tìm x để P=2.

Bài 2 (4 điểm)
3. Rút gọn biểu thức
1 1
1 1
A
a b
= +
+ +
với
1 1
à .
2 3 2 3
a v b= =
+ −
4. Giải phương trình
20 3 2 2 3x x− − = −
Bài 3 (4 điểm)
1. Chứng minh bất đẳng thức:
2 2
1x y xy x y+ + ≥ + +
với mọi x, y.
2. Tìm số tự nhiên n để n+18 và n-41 là hai số chính phương.
Bài 4: ( 4 điểm)
Giải hệ phương trình
64
1 1 1
4
xy
x y
= −




− =


Bài 5 (4 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn,
0
ˆ
45A =
. Gọi M và N lần lượt là
chân đường cao kẻ từ B và C của tam gics ABC.
a) Chứng minh rằng tam giác AMN đồng dạng với tam giác ABC;
Tính tỉ số
MN
BC
b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam gics ABC.
Chứng minh rằng
.OA MN⊥
HẾT
Trang 5
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề & Đáp án thi HSG Toán 9 Năm Học 2010-2011
SỞ GD & ĐT ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI
QUẢNG TRỊ MÔN: TOÁN – LỚP 9 (BẢNG A)
NĂM HỌC 2010 - 2011

BÀI Ý NỘI DUNG ĐIỂM
1

4đ
a
(3đ)
Với
0; 4x x≥ ≠
, ta có
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
1 2 2 2
2 5
4
2 2 2 2
3 2 2 4 2 5
2 2
3 2
3 6 3
2 2 2 2 2
x x x x
x
P
x
x x x x
x x x x x
x x

x x
x x x
x x x x x
+ + −
+
= + −
−
− + + −
+ + + − − −
=
− +
−
−
= = =
− + − + +
0,5
1.0
1,5
b
(1)
P=2 khi và chỉ khi
( )
3
2 3 2 4 4 16
2
x
hay x x x x
x
= = + ⇔ = ⇔ =
+

1.0
2
1(2)
Ta có :
1 1
2 3; 2 3
2 3 2 3
a b= = − = = +
+ −
Do đó
1 1 1 1 3 3 3 3
1
1 1 9 3
3 3 3 3
A
a b
+ + −
= + = + = =
+ + −
− +
2.0
2(2)
Giải phương trình
20 3 2 2 3x x− − = −
Điều kiện:
3
3 2 0
2
x x− ≥ ⇔ ≤
( )

2
2
20 3 2 2 3
3
20 3 2 3 2
2
3 2 17 2
17 2 0
3 2 17 2
17
2
2 35 143 0
x x
x x x
x x
x
x x
x
x x
− − = −
 
⇔ − − = − ≤
 ÷
 
⇔ − = +
+ ≥


⇔


− = +



≥ −

⇔


+ + =

13
2
x⇔ = −
( thảo mãn điều kiện) cho.
2
Trang 6
x
O
M
N
C
A
B
Đề & Đáp án thi HSG Toán 9 Năm Học 2010-2011
Vậy
13
2
x = −
là nghiệm của phương trình đã cho.

3
1
(2)
Ta có :
2 2
2x y xy+ ≥
( bất đẳng thức Cô si)
2
2
2 2
2 2
1 2
1 2
2 2 2 2 2 2
1
x x
y y
x y xy x y
x y xy x y
+ ≥
+ ≥
⇒ + + ≥ + +
⇔ + + ≥ + +
2
2
(2)
Để n+18 và n-41 là hai số chính phương
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2

2 2
18 à 41 ,
18 41 59 59
n p v n q p q
p q n n p q p q
⇔ + = − = ∈
⇒ − = + − − = ⇔ − + =
¥
Nhưng 59 là số nguyên tố nên:
1 30
59 29
p q p
p q
− = =
 
⇔
 
+ =
 
Từ n+18=p
2
=30
2
=900 suy ra n=882
Thay vào n-41, ta được 882-41=841=29
2
=q
2
.
Vậy với n=882 thì n+18 và n-41 là hai số chính phương.

2
4
(4)
4
Do xy=-64 nên
0 à 0x v y≠ ≠
Hệ đã cho
( )
( )
64
64
64 1
1
1
16 2
4
64 4
xy
xy
xy
y x
y x
x y
xy
= −

= −


= −

  
⇔ ⇔ ⇔
−
−
  
=
=
− =

 

−


Thay (2) vào (1) ta được :
( )
2
16 64 16 64 0 8y y y y y+ = − ⇔ + + = ⇔ = −
Thay vào (1) ta dduwwocj x=8.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (8;-8).
4
5
(4)
a
(1)
Ta có
0
ˆ ˆ
90BNC BMC= =
nên bốn điểm

B,C,M,N cùng nằm trên một đường
tròn đường kính BC, suy ra
ˆ ˆ
AMN ABC=
( cùng bù với góc
CMN)
ˆ
ˆ
ANC ACB=
( cùng bù với góc
MNB)
AMN⇒ ∆
đồng dạng với
ABC∆

(góc-góc)
MN AM
BC AB
⇒ =
Vì tam gics MAB vuông cân tại M nên :
( )
2
2
2
AM
AB
=
Vậy
2
.

2
MN
BC
=
1
b
(3)
Kẻ tia Ax tiếp xúc với đường tròn (O)
Ta có
ˆ
ˆ ˆ
Ax=ABC=AMNM
Suy ra MN//Ax
Mà
Ax, ê .OA n n OA MN⊥ ⊥
3
Trang 7