ĐỀ CƯƠNG ÔN THI VÀO LỚP 10 NAM 2011-2012

Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012
Chủ Đề 1: tính giá trị của biểu thức chứa căn bậc hai.
(2 buổi)
A lý thuyết.
. Phơng pháp nhắc li lý thuyết thông qua học sinh làm nhanh một số bài tập
Câu 1 : Nêu định nghĩa căn bậc hai số học của một số a 0
+ áp dụng tính :
81
;
16,009,0 +
;
09,0
;
36
49
;
64,0
+ Nếu viết :
2
a
= a thì đúng hay sai ? vì sao ?
+ Tìm số tự nhiên A biết rằng căn bậc hai số học của nó bằng chính số đó
*
xx
2
=
khi .*
xx
2
=
khi

Câu 2 : Nêu điều kiện để
A
có nghĩa:
áp dụng tìm x để các căn thức bậc hai sau có nghĩa:
a.
x5
; b.
x51
; c.
1x
2
+
; d.
2
x1

e.
x
; f.
12x2x
2
+
g.
10x6x
2
+
Câu 3: trình bày quy tắc khai phơng một tích; nhân các căn thức bậc hai?
áp dụng tính: a.
25.36
;

121.81.16
;
225.4.7

b.
50.90
;
)9).(16(
;
2
a4
c.
2
.
50
;
3
.
27,0
;
83 +
.
83
Câu 4: nêu quy tắc khai phơng một thơng; chia hai căn thức bậc hai?
áp dụng tính: a.
64
25
;
25.0
16.0

;
9
4


b.
27
3
;
2
08,0
;
23
2412
+
+
Câu 5: viết công thức tổng quát: đa một thừa số ra ngoài dấu căn? đa một thừa số vào trong dấu
căn? khử mẫu của biểu thức dới dấu căn? trục căn thức ở mẫu?
áp dụng tính:
A. áp dụng
Bài 1
a. tính:
3
+
27
= ? ;
80
+
45
= ?

b. so sánh: 3
3
và
24
; 5
2
và 3
5
c. tính: :
32
+
2
1
-
23
1

= ?
Bài 2 : Tính :
a.
0025,0

2
9
;
2
)7(
;
4
)12(

42
5.2
;
b.
121.64
;
49
36
,
925
;
169 +
;
2
)43(
;
9
5
1

Bài 3 : Đa thừa số ở trong ra ngoài dấu căn.
a.
72
;
162
;
54
; ;
75

b.
48.32
;
44.128

Bài 3 : Tính
a.
28
+
7
; b.
50
+
32
-
162
b .
20
-
125.10
+
48
Bài 4 : Khử mẫu của biểu thức dới dấu căn
4
5
;
2
3
;
7

1
;
1x
5
+
(với x > -1)
Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thai-QuảNG xơng Thanh hoa
1
Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012
Bài 5 : Tính a.
3
2
+
2
3
; b.
7
1
+
7
9
+
28
25

Bài 6 : Trục căn thức ở mẫu
a.
11
11
;

9
2
b.
15
3

;
27
12
+

;
12
714


;
31
515


Bài 7 : Tính: a.
15
1
+
+
15
1

; b.

23
3
+
-
23
3


Bài 8 : Thực hiện phép tính:
22823.)1
+
2872783.)2
+
)83)(83.)(3
+
3:)753125272.)(4
+
2).5083182.)(5
+
)343)(532.)(6

22
)32()32.)(7
++

13
1
13
1
.)8

+
+
27
12
27
12
.)9

+
+
+


57
1
:)
31
515
21
714
.(10

+
+



15
15

35
35
35
35
.)11

+
+

+
+
+


48533523802.)12


13.
( )
75:182123

14.
( )
3.108475548
+
15.
( )( )
531252
+
16.

2
3
72
2
1
2 ++

17.
( )
132322 +
18.
( )
200732625625 ++

Bài 9 : Tính :
a)
( ) ( )
22
2323
++
b)
( ) ( )
22
3232
+
c)
( )
( )
2
2

3535 ++
d)
1528 +
-
1528
e)
(
)
625 +
+
1528
g)
83
5
223
5
324324
+


++
Bài 10 : Giải phơng trình:
21212 =++ xxxx
Bài 11 : Cho các số x 0 : y 0 hãy phân tích các đa thức sau thành nhân tử
x-y ,
yyxx +
,
1xx
,
12 ++ xx

,
44 + xx
,
yyxx
,
xyyx
,x + y + 2
xy

Bài 12:Tính:
Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thai-QuảNG xơng Thanh hoa
2
Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012
A=
2524
1

32
1
21
1
+
++
+
+
+
B =
1009999100
1

4334
1
.
3223
1
2112
1
+
++
+
+
+
+
+
C=
22222222
100
1
99
1
1
5
1
4
1
1
4
1
3
1

1
3
1
2
1
1
++++++++++++
Chủ Đề 2: rút gọn và tính giá trị của biểu thức
(3 buổi)
I. Ph ơng pháp.
1. Phơng pháp rút gọn bằng cách phân tích thành nhân tử.
- Sử dụng HĐT.
- Sử dụng các phơng pháp phân tích thành nhân tử.
2. Phơng pháp nhân với biểu thức liên hợp.
Các biểu thức liên hợp thờng gặp:
ba +
và
ba
; a + b và a
2
- ab + b
2
; a - b
và a
2
+ ab + b
2
.
3.Nhắc kiến thức chơngII :Đại Số 8 (Phân thức đại số)
ii. bài tập. Rút gọn biểu thức

Bài 1 : Rút gọn các biểu thức sau :
1) A=
xy
xyyx +
2) B =
nm
mnnm
nm
nm
+
++



Bài 2 : Cho biểu thức : A=
xx
xx
x
x




2
1
a) Tìm x để A có nghĩa
b) Rút gọn A
c) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 3+
8
d) Tìm các số nguyên x để A nhận giá trị nguyên

Bài 3: Cho biểu thức A =
2
44
)4(3
16
2

+
+


x
xx
x
x
-
2
4
+

x
x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A
c) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên
Bài 4 : Cho biểu thức : B =
62
3
62
3

+



+
a
a
a
a
1) Tìm a để B có nghĩa
2) Rút gọn B
3) Tìm a để B < 1
4) Tìm a để B = 4
Bài 5 : Cho biểu thức : P =
3
3
1
2
32
1926
+

+


+
+
x
x
x

x
xx
xxx
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi x = 7- 4
3
c) Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính GTNN đó.
Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thai-QuảNG xơng Thanh hoa
3
Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012
Bài 6 : Cho biểu thức: M=








+

+



13
23
1:
91
8
13
1
13
1
a
a
a
a
aa
a
a) Rút gọn M
b) Tìm a để M =
5
1
1
Bài 7 : Cho biểu thức: E=

+
+











1
2
1
1
:
1
1
x
xxxx
x
a) Rút gọn biểu thức E

b) Tìm x để E =
15
c) Tính giá trị của biểu thức E khi x = 3+
22
Bài 8 : Cho M =








+

+

+








+
+
+

1
1
1
1111
a
a
a
a
a
a
aa
aa
aa
aa
a) Rút gọn biểu thức M
b) Tìm a để M = 7
c) Tìm a để M > 6
Bài 9 : Cho biểu thức: A=








+
+

+


+

+








+

6m5m
2m
m3
2m
2m
3m
:
m1
m
1
a) Tìm m để A có nghĩa
b) Rút gọn A
c) Tìm m để A nhận giá trị âm
Bài 10 : Rút gọn các biểu thức sau :

A =
ba
abba
bab
a
aba
b

+



.
Bài 11: Cho biểu thức : R
2 3 6
2 3 6 2 3 6
a b ab
ab a b ab a b

+
=
ữ
ữ
+ + + +


a) Rút gọn R
b) Chứng minh rằng nếu R =
81
81

+
b
b
thì khi đó
a
b
là một số nguyên chia hết cho 3.
Bài 12 : Cho biểu thức: B=
x2
1
6xx
5
3x
2x
2

+
+

+
+
a. Rút gọn B
b. Tìm giá trị nguyên của x để B nhận giá trị nguyên
c.Tính giá trị của B biết x =
32
2
+
Bài 13: Cho biểu thức : K =
3x

3x2
x1
x3
3x2x
11x15
+
+


+
+

a. Tìm x để K có nghĩa
b. Rút gọn K
c. Tìm x khi K=
2
1
d. Tìm giá trị lớn nhất của K
Bài 14 : Cho biểu thức: G=
2
1x2x
.
1x2x
2x
1x
2x
2
+

++
+



1. Xác định x để G tồn tại
2. Rút gọn biểu thức G
Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thai-QuảNG xơng Thanh hoa
4
Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012
3. Tính số trị của G khi x = 0,16
4. Tìm gía trị lớn nhất của G
5. Tìm x Z để G nhận giá trị nguyên
6. Chứng minh rằng : Nếu 0 < x < 1 thì M nhận giá trị dơng
7. Tìm x để G nhận giá trị âm
Bài 15 : Cho biểu thức: P=
2
1x
:
x1
1
1xx
x
1xx

2x










+
++
+

+
Với x 0 ; x 1
a. Rút gọn biểu thức trên
b. Chứng minh rằng P > 0 với mọi x 0 và x 1
Bài 16 : cho biểu thức Q=






+

+


+
+
a
1
1.
a1
1a
a22
1
a22
1
2
2
B i 17 N=

+





+












3
2
2
3
6
9
:1
9
3
x

x
x
x
xx
x
x
xx
a)Rút gọn N=
2
3
x
b)Tìm x để N<0 c)Tìm GTLN của N d)Tìm x
Z
để N
Z
e)Tính
N tại x=7-4
3

B i 18 P=

+


+
+
1
3
22
:
9
33
33
2
x
x
x
x
x
x
x

x
a)Rút gọn P=
3
3
+

x
c)Tìm x
Z
để P
Z
c)Tìm GTNN của P d)Tính P tại x =
25 4 6
B i 19 R=1:










++
+
+

+
1

1
1
1
1
2
xxx
x
xx
x
a)Rút gọn R=
x
xx 1++
b)So sánh R với 3
c)Tìm GTNN , GTLN của R d)Tìm x

Z để R>4 e) Tính R tại
x=11-6
2
B i 20 S=








+

+
+
1
2
1
1
:
1
1
aaaa
a
a
a
a
a)Rút gọn S=
1
1

++
a
aa
b)Tìm a để S=2a c)Tìm GTNN của S với a>1

d)Tính S tại a=1/2 e)Tìm a
Z
để S
Z
B i 22 Y=











+
+
+

+

1
1
1
.
2
2
1
2

333
xx
x
x
x
xx
xx

a)Rút gọn Y=
2
2
+

x
x
b)Tìm x để Y=x
c)Tìm x

Z để Y

Z d)Tìm GTLN của Y
B i 23 P =
3 6 4
1
1 1
x x
x
x x

+

+
a) Rút gọn P=
1
1
+

x
x
Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thai-QuảNG xơng Thanh hoa
5
Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012
c)Tìm x
Z
để P
Z
d)Tìm GTNN của P e) Tính P tại
x=6-2
5
Bài 24: Cho biểu thức :

+
+

+
+
=
6
5
3

2
aaa
a
P
a2
1
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P<1
Bài 25: Cho biểu thức:
P=








+
+
+

+
+

+

+

65
2
3
2
2
3
:
1
1
xx
x
x
x
x
x
x
x
a) Rút gọn P
b)Tìm giá trị của a để P<0
Bài 26: Cho biểu thức:
P=

+











+
+



13
23
1:
19
8
13
1
13

1
x
x
x
x
xx
x

a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P=
5
6
Bài 27: Cho biểu thức :
P=








+

+
+
1
2
1
1
:
1
1
aaaa
a
a
a
a

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P<1
c) Tìm giá trị của P nếu
3819 =a
Bài 27: Cho biểu thức:
P=

+
+










+
1
1:
1
1
1
2
x
x
xxxxx
x
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P

0
Chủ Đề 3: bất đẳng thức

(1 buổi)
I. Ph ơng pháp.
HS nắm vững:
1. Các tính chất cơ bản của BĐT.
1.1: a > b

a + c > b + c.
1.2: a > b




<<
>>
0,
0,
cbcac
cbcac
1.3: a > b, b> c

a > c.
1.4: a > b, c > d

a + c > b + d.
Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thai-QuảNG xơng Thanh hoa
6
Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012
1.5: a > b > 0, c > d > 0

ac > bd.

1.6: a > b > 0

a
n
> b
n
.
1.7: a > b > 0


a
>
b
.
2. Bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm, bất đẳng thức Bunhiacopxki và một số bất đẳng thức
khác.
2.1: Bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm: Với a

0, b

0 khi đó:
ab
ba

+
2
. Dấu = xảy
ra

a = b

2.2: Bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ax + by)
2


(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
). Dấu = xảy ra

tồn tại số k
sao cho x = ka, y = kb (*), nếu a, b

0 thì (*) đợc viết là:
b
y
a
x
=
.
ii. bài tập.
Bài 1: Cho hai số dơng a, b. CMR: a + b


ab
ab

+1
4
.
HD giải: Ta có:





+
+
abab
abba
21
2
(BĐT Cosi)

(a + b)(1 + ab)

4ab suy ra ĐPCM. Dấu = xảy
ra khi và chỉ khi



=
=
ab
ba
1
hay a = b = 1.

Bài 2: Cho 4 số a, b, c, d. CMR: (a
2
+ b
2
)(c
2
+ d
2
)

(ac + bd)
2
(Bất đẳng thức Bunhiacopxki)
HD giải: Khai triển hai vế và đa về: (bc - ad)
2


0 (luôn đúng) suy ra BĐT cần chứng minh luôn
đúng.
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi bc = ad


d
c
b
a
=
.
Bài 3: Tìm hai số a, b biết rằng:

=+
=+
532
532
22
ba
ba
HD giải: Ta có: 25 = (2a + 3b)
2
= (
aa 3.32.2 +
)
2


[(
2
)
2
+ (
3
)
2
].[(
a2
)
2
+ (

a3
)
2
] = 5.
(2a
2
+ 3a
2
)
Suy ra 2a
2
+ 3a
2


5. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
ba 3
3
2
2
=
hay a = b. Vậy a = b = 1.
Bài 4: Cho a, b, k là các số dơng, a < b. CMR:
<
b
a

kb
ka
+

+
(1).
HD giải: Xét hiệu VT - VP ta đợc: k(a - b) < 0

a < b. BĐT này đúng, vậy (1) đúng.
Bài 5: CMR: a
2
+ b
2
+ 4

ab + 2(a + b) (1).
HD giải: Xét hiệu VT - VP ta đợc: (a - b)
2
+ (a - 2)
2
+ (b - 2)
2

0 đúng. Dấu = xảy ra khi a = b =
2.
Bài 6: CMR

a > b > 0, m > n, ta có:
nn
nn
mm
mm
ba
ba

ba
ba
+

>
+

(1).
HD giải: (1)

nn
n
nn
nn
mm
m
mm
mm
ba
b
ba
ba
ba
b
ba
ba
+

+
+

>
+

+
+ 22

mm
m
nn
n
ba
b
ba
b
+
>
+
22
. Chia VT cho b
n
, chia
VP cho b
m
Ta đợc
m
m
n
n
b
a

b
a
<


nm
b
a
b
a






>






.
Bài 7: (TH 04 - 05). Cho 0 < x < 1.
1. CMR: x(1 - x)


4
1

(1). 2. Tìm GTNN của A =
)1(
14
2
2
xx
x

+
.
Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thai-QuảNG xơng Thanh hoa
7
Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012
HD giải. 1. (1)

0
2
1
2







x
luôn đúng.
2. Từ x(1 - x)

4
1


x
2
(1 - x)


4
1
x suy ra A


x
x
4
1
14
2
+
.
A

16x +
x
4

2.
x
x
4
.16
= 2.8 = 16 (BĐT Cosi). Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 16x =
x
4


x =
2
1

, mà
Cho 0 < x < 1 suy ra x =
2
1
.
Bài 8. (TH 09 - 10). Cho x, y, z thoả mãn y
2
+ yz + z
2
= 1 -
2
3
2
x
.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A = x + y + z.

HD giải. y
2
+ yz + z
2
= 1 -
2
3
2
x


2y
2
+ 2yz + 2z
2
= 2 - 3x
2


(x + y + z)
2
+ (x - y)
2
+ (x - z)
2
=
2

(x + y + z)
2

= -[(x - y)
2
+ (x - z)
2
] + 2

2. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y = z

-
2


x + y + z


2
. Vậy GTLN là
2
, GTNN là -
2
khi x = y = z.
Bài 9: (TH 05 - 06). Cho x - y

0. CMR x
2
+ y
2
+
2
1

2











yx
xy
.
HD giải. x
2
+ y
2
+
2
1

yx
xy
= x
2
- 2xy + y
2
+ 2(xy - 1) +
2
1
2
+










yx
xy
= (x - y +
yx
xy

1

)
2
+ 2

2.
Bài 10: (TH 06 - 07). Cho b > 0. CMR:
b
b
b
b
2
)1(3
1
2
2
+
+
+

2
7

HD giải. Ta có:
b
b
b
b
2
)1(3
1

2
2
+
+
+
=
b
b
b
b
b
b
4
)1(5
4
1
1
22
2
+
+
+
+
+
.
Ta có
1
4
1
.

1
4
1
1
2
2
2
2
=
+
+

+
+
+
b
b
b
b
b
b
b
b
(BĐT Cosi). Lại có b
2
+ 1

2b

2
5
4
2.5
4
)1(5
2
=
+ b
b
b
.
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi b = 1. Vậy
b
b
b
b
2
)1(3
1
2
2
+
+
+


1 +
2
5

=
2
7
.
Bài 11: CMR: a = 4b


ab
ab
41
16
+
với a, b dơng. (Sử dụng các tính chất của BĐT).
Bài 12: CMR: (a
2
+ 1)(b
2
+ 4)

(2a + b)
2
. (Chuyển vế và chứng minh vế trái không âm).
Bài 13: CMR nếu 0 < x < b thì
2010
2010
+
+
<
b
a

b
a
. (Tơng tự bài 4)
Bài 14: CMR nếu a, b > 0 thì:
20092009
20092009
20102010
20102010
ba
ba
ba
ba
+

>
+

. (Tơng tự bài 6)
Chuyên đề 4
PHNG TRèNH - H PHNG TRèNH - BT PHNG TRèNH (Bc nht)
(2 buổi)
A.KIN THC C BN
1.Phng trỡnh bc nht mt n
Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thai-QuảNG xơng Thanh hoa
8
Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012
-Quy ng kh mu.
-a v dng ax + b = 0 (a 0)
-Nghim duy nht l
b

x
a

=
2.Phng trỡnh cha n mu
-Tỡm KX ca phng trỡnh.
-Quy ng v kh mu.
-Gii phng trỡnh va tỡm c.
-So sỏnh giỏ tr va tỡm c vi KX ri kt lun.
3.Phng trỡnh tớch
giỏi phng trỡnh tớch ta ch cn gii cỏc phng trỡnh thnh phn ca nú. Chng hn:
Vi phng trỡnh A(x).B(x).C(x) = 0
( )
( )
( )
A x 0
B x 0
C x 0
=


=


=

4.Phng trỡnh cú cha h s ch (Gii v bin lun phng trỡnh)
Dng phng trỡnh ny sau khi bin i cng cú dng ax + b = 0. Song giỏ tr c th ca a,
b ta khụng bit nờn cn t iu kin xỏc nh s nghim ca phng trỡnh.
-Nu a 0 thỡ phng trỡnh cú nghim duy nht

b
x
a

=
.
-Nu a = 0 v b = 0 thỡ phng trỡnh cú vụ s nghim.
-Nu a = 0 v b 0 thỡ phng trỡnh vụ nghim.
5.Phng trỡnh cú cha du giỏ tr tuyt i
Cn chỳ ý khỏi nim giỏ tr tuyt i ca mt biu thc
A khi A 0
A
A khi A 0


=

<

6.H phng trỡnh bc nht
Cỏch gii ch yu da vo hai phng phỏp cng i s v th. Chỳ ý phng phỏp t n
ph trong mt s trng hp xut hin cỏc biu thc ging nhau c hai phng trỡnh.
7.Bt phng trỡnh bc nht
Vi bt phng trỡnh bc nht thỡ vic bin i tng t nh vi phng trỡnh bc nht.
Tuy nhiờn cn chỳ ý khi nhõn v c hai v vi cựng mt s õm thỡ phi i chiu bt phng
trỡnh.
B.MT S V D
VD1.Gii cỏc phng trỡnh sau
a)
( ) ( )

2 x 3 1 2 x 1 9 + = +
b)
( )
7x 20x 1,5
5 x 9
8 6
+
=
c)
2 2
13 1 6
2x x 21 2x 7 x 9
+ =
+ +
d)
x 3 3 x 7 10 + =
(*)
HDGii :d) Lp bng xột du
x 3 7
x 3 - 0 + +
x - 7 - - 0 +
-Xột x < 3:
Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thai-QuảNG xơng Thanh hoa
9
Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012
(*)
( )
7
3 x 3 7 x 10 24 4x 10 4x 14 x
2

+ = = = =
(loi)
-Xột
3 x 7 <
:
(*)
( )
x 3 3 7 x 10 2x 18 10 2x 8 x 4 + = + = = =
(t/món)
-Xột
x 7
:
(*)
( )
17
x 3 3 x 7 10 4x 24 10 4x 34 x
2
+ = = = =
(loi)
Vy phng trỡnh cú nghim x = 4.
VD2.Gii v bin lun phng trỡnh sau
a)
2 2
x a b x b a b a
a b ab
+ +
=
(1)
b)
( )

2
2
a x 1
ax 1 2
x 1 x 1 x 1
+

+ =
+
(2)
Gii
a) K: a 0; b 0.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
(1) b x a b a x b a b a
bx ab b ax ab a b a
b a x 2 b a b a
+ + =
+ + =
= +
-Nu b a 0
b a

thỡ
( ) ( )
( )
2 b a b a
x 2 b a

b a
+
= = +

-Nu b a = 0
b a
=
thỡ phng trỡnh cú vụ s nghim.
Vy:
-Vi b a, phng trỡnh cú nghim duy nht x = 2(b + a).
-Vi b = a, phng trỡnh cú vụ s nghim
b) KX:
x 1

( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2 2
(2) ax-1 x 1 2 x 1 a x 1
ax ax x 1 2x 2 ax a
a 1 x a 3
+ + = +
+ + = +
+ = +
-Nu a + 1 0
a 1

thỡ
a 3

x
a 1
+
=
+
-Nu a + 1 = 0
a 1
=
thỡ phng trỡnh vụ nghim.
Vy:
-Vi a -1 v a -2 thỡ phng trỡnh cú nghim duy nht
a 3
x
a 1
+
=
+
-Vi a = -1 hoc a = -2 thỡ phng trỡnh vụ nghim.
VD3.Gii cỏc h phng trỡnh sau
Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thai-QuảNG xơng Thanh hoa
10
Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012
1 1 5
x 2y 3z 2
x 5y 7
x y x y 8
a) b) c) x 3y z 5
3x 2y 4 1 1 3
x 5y 1
x y x y 8

+ =
+ =


+ =
+


+ =

=


=
=


+

Gii
( )
x 7 5y
x 5y 7 x 7 5y x 7 5y x 2
a)
3 7 5y 2y 4
3x 2y 4 21 17y 4 y 1 y 1
=

+ = = = =

=
= = = =


hoc
x 5y 7 3x 15y 21 17y 17 y 1
3x 2y 4 3x 2y 4 3x 2y 4 x 2
+ = + = = =



= = = =

b) K:
x y

t
1 1
u; v
x y x y
= =
+
Khi ú, cú h mi
5
1
2v 1
u v

v
8
2
5
1
3
u v
u
u v
8
8
8


=
+ =
=






+ =

=
+ =

Thay tr li, ta c:
x y 8 x 5
x y 2 y 3
+ = =



= =

c)
x 2y 3z 2 x 1 5y x 1 5y x 6
x 3y z 5 1 5y 2y 3z 2 7y 3z 1 y 1
x 5y 1 1 5y 3y z 5 2y z 4 z 2
+ = = + = + =


+ = + + = = =


= + + = + = =

C.MT S BI TP C BN
1.Gii cỏc phng trỡnh sau
( ) ( ) ( )
( )
2
x 17 3x 7
a) 3 x 4 5 x 2 4 3x 1 82 b) 2

5 4
x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 7x 3
c) d)
65 64 63 62 x 3 x 3 9 x
x 2 1 2
e) f) x 3 5
x 2 x x x 2
g) 3x 1 2x 6
+
+ = + =
+ + + +
+ = + =
+
+
= + =

= +
( ) ( ) ( )
h) 2 x 3 2x 1 4
4x 3 x 1 2x 3 x 2
i) 5 3x x 3 3x 1 x 2 k)
3 6 2 4
+ =
+ +
+ + < + >
2.Gii v bin lun cỏc phng trỡnh sau
Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thai-QuảNG xơng Thanh hoa
11
Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012
( )

2
2
2
x a x b
a) b a
a b
b) a x 1 3a x
ax-1 x a a 1
c)
a+1 1 a a 1
a 1 a 1 a 1
d)
x a x 1 x a x 1

+ = +
=
+ +
=

+
+ = +
+ +
3.Gii cỏc h phng trỡnh sau
2 2
2 2
x y 24
3x 4y 5 0 2u v 7
a) b) c) d)
x y 8
2x 5y 12 0

2
u 2v 66
9 7 9
+ =


+ = =



+ =
+ =
+ =





Chuyên đề 5 : Hàm số và đồ thị
(2 buổi)
i.Kiến thức cơ bản
1.Hàm số
a. Khái niệm hàm số
- Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác
định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số tơng ứng của x và x đợc
gọi là biến số
- Hàm số có thể cho bởi bảng hoặc công thức
b. Đồ thị hàm số
- Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả những điểm M trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa
mãn phơng trình y = f(x) (Những điểm M(x, f(x)) trên mặt phẳng tọa độ)

c. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
* Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R
- Nếu x
1
< x
2
mà f(x
1
) < f(x
2
) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R
- Nếu x
1
< x
2
mà f(x
1
) > f(x
2
) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R
1.1Hàm số bậc nhất
a. Khái niệm hàm số bậc nhất
- Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số cho trớc
và a

0
b. Tính chất
Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau:
- Đồng biến trên R khi a > 0
- Nghịch biến trên R khi a < 0

c. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a

0)
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a

0) là một đờng thẳng
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
- Song song với đờng thẳng y = ax, nếu b

0, trùng với đờng thẳng y = ax, nếu b = 0
* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a

0)
Bớc 1. Cho x = 0 thì y = b ta đợc điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.
Cho y = 0 thì x = -b/a ta đợc điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành
Bớc 2. Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm P và Q ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b
d. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng
Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a

0) và (d): y = ax + b (a

0). Khi đó
+
'
// '
'
a a
d d
b b
=

Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thai-QuảNG xơng Thanh hoa
12
Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012
+
{ }
' ' 'd d A a a
=
+
'
'
'
a a
d d
b b
=



=

+
' . ' 1d d a a
=
e. Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b (a

0)
Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox.
- Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là
giao điểm của đờng thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b và
có tung độ dơng
Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b
- Hệ số a trong phơng trình y = ax + b đợc gọi là hệ số góc của đờng thẳng y = ax +b
f. Một số phơng trình đờng thẳng
- Đờng thẳng đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
)có hệ số góc k: y = k(x x
0
) + y
0
- Đờng thẳng đi qua điểm A(x
0
, 0) và B(0; y
0
) với x
0
.y
0


0 là
0 0

1
x y
x y
+ =
1.2 Hàm số bậc hai
a. Định nghĩa
- Hàm số có dạng y = ax
2
(a

0)
b. Tính chất
- Hàm số y = ax
2
(a

0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:
+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0
+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax
2
(a

0)
- Đồ thị hàm số y = ax
2
(a

0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối
xứng

+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dời trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị
2.Kiến thức bổ xung
2.1 Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng
Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x
1
, y
1
) và B(x
2
, y
2
). Khi đó
- Độ dài đoạn thẳng AB đợc tính bởi công thức
2 2
( ) ( )
B A B A
AB x x y y
= +
- Tọa độ trung điểm M của AB đợc tính bởi công thức
;
2 2
A B A B
M M
x x y y
x y
+ +
= =
2.2 Quan hệ giữa Parabol y = ax
2

(a

0) và đờng thẳng y = mx + n (m

0)
Cho Parabol (P): y = ax
2
(a

0) và đờng thẳng (d): y = mx + n. Khi đó
- Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phơng trình
2
y ax
y mx n

=

= +

- Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phơng trình
ax
2
= mx + n (*)
- Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phơng trình (*)
+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung
+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau
+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
II. Bài tập mẫu:
Bài 1: Cho hàm số: y = (m + 4)x m + 6 (d).
a. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến.

Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thai-QuảNG xơng Thanh hoa
13
Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012
b. Tìm các giá trị của m, biết rằng đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2). Vẽ đồ thị của hàm
số với giá trị tìm đợc của m.
c. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.
d. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
e. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đờng thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố
định.
Bài 2: Cho hai đờng thẳng: y = (k 3)x 3k + 3 (d
1
) và y = (2k + 1)x + k + 5 (d
2
).
Tìm các giá trị của k để:
a. (d
1
) và (d
2
) cắt nhau.
b. (d
1
) và (d
2
) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
c. (d
1
) và (d
2
) song song với nhau.

d. (d
1
) và (d
2
) vuông góc với nhau.
e. (d
1
) và (d
2
) trùng nhau.
Bài 3: Cho hàm số: y = (2m-5)x+3 với m có đồ thị là đờng thẳng d .
Tìm giá trị của m để :
a. Góc tạo bởi (d) và trục Ox là góc nhọn, góc tù ( hoặc hàm số đồng biến , nghịch biến)
b. (d) đi qua điểm (2;-1)
c. (d)// với đờng thẳng y =3x-4
d. (d) // với đờng thẳng 3x+2y = 1
e. (d) luôn cắt đờng thẳng 2x-4y-3 =0
f. (d) cắt đờng thẳng 2x+ y = -3 tại điểm có hoành độ bằng -2
g. Chứng tỏ (d) luôn đi qua 1 điểm cố định trên trục tung
Bài 4: cho (p) y = 2x
2
và đờng thẳng (d) y = (2m-1)x m
2
-9 . Tìm m để :
a. Đờng thẳng(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b. (d) tiếp xúc với (P)
c. (d) và (P) không giao nhau.
Bi 5: Cho hm s:
2
1

2
y = x

cú th (P).
a) Tỡm cỏc im A, B thuc (P) cú honh ln lt bng 1 v 2.
b) Vit phng trỡnh ng thng AB.
c) Vit phng trỡnh ng thng song song vi AB v tip xỳc vi (P). Tỡm ta tip
im.
Bi 6: Cho hm s: y = (m + 1)x
2
cú th (P).
a) Tỡm m hm s ng bin khi x > 0.
b) Vi m = 2. Tỡm to giao im ca (P) vi ng thng (d): y = 2x 3.
c) Tỡm m (P) tip xỳc vi (d): y = 2x 3. Tỡm ta tip im.
Bi 7: Chng t ng thng (d) luụn tip xỳc vi Parabol (P) bit:
a) (d): y = 4x 4; (P): y = x
2
.
b) (d): y = 2x 1; (P): y = x
2
.
Bi 8:
8.1) Chng t rng ng thng (d) luụn ct Parabol (P) ti 2 im phõn bit:
a) (d): y = 3x + 4; (P): y = x
2
.
b) (d): y = 4x + 3; (P): y = 4x
2
.
8.2) Tỡm ta giao im ca (d) v (P) trong cỏc trng hp trờn.

Bi 9: Cho Parabol (P) cú phng trỡnh: y = ax
2
v hai ng thng sau:
(d
1
):
4
1
3
y x
=
(d
2
): 4x + 5y 11 = 0
a) Tỡm a bit (P), (d
1
), (d
2
) ng quy.
b) V (P), (d
1
), (d
2
) trờn cựng h trc ta vi a va tỡm c.
Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thai-QuảNG xơng Thanh hoa
14
Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012
c) Tỡm ta giao im cũn li ca (P) v (d
2
).

d) Vit phng trỡnh ng thng tip xỳc vi (P) v vuụng gúc vi (d
1
).
Bi 10: Cho Parabol (P):
2
1
2
y x=
v ng thng (d): y = 2x + m + 1.
a) Tỡm m (d) i qua im A thuc (P) cú honh bng 2.
b) Tỡm m (d) tip xỳc vi (P). Tỡm ta tip im
c) Tỡm m (d) ct (P) ti hai im cú honh cựng dng.
d) Tỡm m sao cho (d) ct th (P) ti hai im cú honh x
1
x
2
tha món:
2 2
1 2
1 1 1
2x x
+ =
Bi 11: Cho hm s: y = ax
2
cú th (P) v hm s: y = mx + 2m + 1cú th (d).
a) Chng minh (d) luụn i qua mt im M c nh.
b) Tỡm a (P) i qua im c nh ú.
c) Vit phng trỡnh ng thng qua M v tip xỳc vi Parabol (P).
Chuyên đề 6: phơng trình bậc hai
(3 buổi)

PHN I. KIN THC CN NM VNG
1. Cụng thc nghim:
Phng trỡnh ax
2
+bx+c = 0 (a 0) cú = b
2
- 4ac
+Nu < 0 thỡ phng trỡnh vụ nghim
+Nu = 0 thỡ phng trỡnh cú nghim kộp: x
1
= x
2
=
a
b
2

+Nu > 0 thỡ phng trỡnh cú 2 nghim phõn bit:
x
1
=
a
b
2
+
; x
2
=
a
b

2

2. Cụng thc nghim thu gn:
Phng trỡnh ax
2
+bx+c = 0 (a 0) cú

=b
2
- ac ( b =2b

)
+Nu

< 0 thỡ phng trỡnh vụ nghim
+Nu

= 0 thỡ phng trỡnh cú nghim kộp: x
1
= x
2
=
a
b

+Nu

> 0 thỡ phng trỡnh cú 2 nghim phõn bit:
x
1

=
a
b
'
+
; x
2
=
a
b
'

3. H thc Vi-ột
a) nh lớ Vi-ột:
Nu x
1
; x
2
l nghim ca phng trỡnh ax
2
+bx+c = 0 (a0)
thỡ : S = x
1
+x
2
=
a
b

; P = x

1
.x
2
=
a
c
b) ng dng:
+H qu 1:
Nu phng trỡnh ax
2
+bx+c = 0 (a 0) cú: a+b+c = 0 thỡ phng trỡnh cú nghim: x
1
= 1; x
2
=
a
c
+H qu 2:
Nu phng trỡnh ax
2
+bx+c = 0 (a 0) cú: a- b+c = 0 thỡ phng trỡnh cú nghim: x
1
= -1; x
2
=
a
c

c) nh lớ: (o Vi-ột)
Nu hai s x

1
; x
2
cú x
1
+x
2
= S ; x
1
.x
2
= P thỡ x
1
; x
2
l nghim ca phng trỡnh : x
2
- S x+P = 0
(x
1
; x
2
tn ti khi S
2
4P 0)
Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thai-QuảNG xơng Thanh hoa
15
Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012
Chỳ ý:
+ nh lớ Vi-ột ch ỏp dng c khi phng trỡnh cú nghim (tc l 0)

+ Nu a v c trỏi du thỡ phng trỡnh luụn cú 2 nghim trỏi du
Phần II. Bài tập áp dụng
LOI TON RẩN K NNG P DNG CễNG THC VO TNH TON
Bi 1: Gii phng trỡnh
a) x
2
- 49x - 50 = 0
b) (2-
3
)x
2
+ 2
3
x 2
3
= 0
Gii:
a) Gii phng trỡnh x
2
- 49x - 50 = 0
+ Li gii 1: Dựng cụng thc nghim
(a = 1; b = - 49; c = 50)
= (- 49)
2
- 4.1.(- 50) = 2601;

= 51
Do > 0 nờn phng trỡnh cú hai nghim phõn bit:

1

2
51)49(
1
=

=
x
;
50
2
51)49(
2
=
+
=
x
+ Li gii 2: ng dng ca nh lớ Viet
Do a b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0
Nờn phng trỡnh cú nghim: x
1
= - 1; x
2
=
50
1
50
=


+ Li gii 3: = (- 49)

2
- 4.1.(- 50) = 2601
Theo nh lớ Viet ta cú :




=
=




===
+==+
50
1
50).1(5049.
50)1(49
2
1
21
21
x
x
xx
xx
Vy phng trỡnh cú nghim: x
1
= - 1; x

2
=
50
1
50
=


b) Gii phng trỡnh (2-
3
)x
2
+ 2
3
x 2
3
= 0
Gii:
+ Li gii 1: Dựng cụng thc nghim
(a = 2-
3
; b = 2
3
; c = 2
3
)
= (2
3
)
2

- 4(2-
3
)( 2
3
) = 16;

= 4
Do > 0 nờn phng trỡnh cú hai nghim phõn bit:

1
)32(2
432
1
=

+
=
x
;
)347(
)32(2
432
2
+=


=
x
+ Li gii 2: Dựng cụng thc nghim thu gn
(a = 2-

3
; b

=
3
; c = 2
3
)


= (
3
)
2
- (2-
3
)( 2
3
) = 4;

= 2
Do

> 0 nờn phng trỡnh cú hai nghim phõn bit:

1
32
23
1
=

+
=x
;
)347(
32
23
2
+=


=x
+ Li gii 3: ng dng ca nh lớ Viet
Do a + b + c = 2-
3
+ 2
3
+ (- 2 -
3
) = 0
Nờn phng trỡnh cú nghim:
x
1
= 1; x
1
=
)347(
32
32
+=

*Yờu cu:
+ Hc sinh xỏc nh ỳng h s a, b, c v ỏp dng ỳng cụng thc
Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thai-QuảNG xơng Thanh hoa
16
Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012
+ p dng ỳng cụng thc (khụng nhm tt vỡ d dn n sai sút)
+ Gv: cn chỳ ý rốn tớnh cn thn khi ỏp dng cụng thc v tớnh toỏn
* Bi tng t: Gii cỏc phng trỡnh sau:
1. 3x
2
7x - 10 = 0
2. x
2
3x + 2 = 0
3. x
2
4x 5 = 0
4. 3x
2
2
3
x 3 = 0
5. x
2
(1+
2
)x +

2
= 0
6.
3
x
2
(1-
3
)x 1 = 0
7.(2+
3
)x
2
- 2
3
x 2 +
3
= 0
Bi 2: Tỡm hai s u v v bit: u + v = 42 v u.v = 441
Gii
Du u+v = 42 v u.v = 441 nờn u v v l nghim ca phng trỡnh
x
2
42x + 441 = 0 (*)
Ta cú:

= (- 21)
2
- 441 = 0
Phng trỡnh (*) cú nghim x

1
= x
2
= 21
Vy u = v = 21
*Bi tng t:
1. Tỡm hai s u v v bit:
a) u+v = -42 v u.v = - 400 b) u - v = 5 v u.v = 24
c) u+v = 3 v u.v = - 8 d) u - v = -5 v u.v = -10
2. Tỡm kớch thc mnh vn hỡnh ch nht bit chu vi bng 22m v din tớch bng 30m
2
Bi 3: Gii cỏc phng trỡnh sau
(phng trỡnh quy v phng trỡnh bc hai)
a) x
3
+ 3x
2
2x 6 = 0
b)
)4)(1(
8
1
2
2
+
+
=
+ xx
xx
x

x
c) 5x
4
+ 2x
2
-16 = 10 x
2
d) 3(x
2
+x) 2 (x
2
+x) 1 = 0
Gii
a) Gii phng trỡnh x
3
+ 3x
2
2x 6 = 0 (1)
(1) (x
2
- 2)(x + 3) = 0 (x

+
2
)(x

-
2
)(x + 3) = 0
x = -

2
; x =
2
; x = - 3
Vy phng trỡnh (1) cú nghim x = -
2
; x =
2
; x = - 3
b) Gii phng trỡnh
)4)(1(
8
1
2
2
+
+
=
+ xx
xx
x
x
(2)
Vi K: x -1; x 4 thỡ
(2) 2x(x- 4) = x
2
x + 8 x
2
7x 8 = 0 (*)
Do a b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nờn phng trỡnh (*) cú nghim x

1
= -1(khụng tho món K) ; x
2
= 8
(tho món K)
Vy phng trỡnh (2) cú nghim x = 8
c) Gii phng trỡnh 5x
4
+ 2x
2
-16 = 10 x
2
(3)
Ta cú: (3) 5x
4
3x
2
26 = 0
t x
2
= t (t 0) thỡ (3) 5t
2
3t 26 = 0
Xột = (-3)
2
4.5.(-26) = 529.

= 23
Nờn: t
1

=
5
13
5.2
23)3(
=
+
(tho món t 0) ;
t
2
=
2
5.2
23)3(
=

(loi)
Vi t =
5
13
x
2
=
5
13
x =
5
13

Vy phng trỡnh (3) cú nghim x

1
=
5
13

; x
2
=
5
13
Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thai-QuảNG xơng Thanh hoa
17
Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012
d) Gii phng trỡnh 3(x
2
+x) 2 (x
2
+x) 1 = 0 (4)
t x
2
+x = t . Khi ú (4) 3t
2
2t 1 = 0
Do a + b + c = 3 + (- 2) + (- 1) = 0 . Nờn t
1
= 1; t
2
=
3
1

t
1
= 1 x
2
+x = 1 x
2
+ x 1 = 0

1
= 1
2
- 4.1.(-1) = 5 > 0. Nờn x
1
=
2
51
; x
2
=
2
51+
t
2
=
3
1

x
2

+x =
3
1

3x
2
+ 3x + 1 = 0 (*)

2
= 3
2
- 4.3.1 = -3 < 0 . Nờn (*) vụ nghim
Vy phng trỡnh (4) cú nghim x
1
=
2
51

; x
2
=
2
51
+
* Bi tng t: Gii cỏc phng trỡnh sau:
1. x
3
+3x
2
+3x+2 = 0

2. (x
2
+ 2x - 5)
2
= (x
2
- x + 5)
2
3. x
4
5x
2
+ 4 = 0
4. 0,3 x
4
+ 1,8x
2
+ 1,5 = 0
5. x
3
+ 2 x
2
(x - 3)
2
= (x-1)(x
2
-2
6.
3
1

.10
1
=
+

+
x
x
x
x
7. (x
2
4x + 2)
2
+ x
2
- 4x - 4 = 0
8.
03
1
4
1
2
=+

+






+
x
x
x
x
9.
xx
x

=+

+
2
6
3
5
2
Bi 4: Cho phng trỡnh x
2
+
3
x -
5

= 0 cú 2 nghim l x
1
v x
2
.
Khụng gii phng trỡnh hóy tớnh giỏ tr ca biu thc sau:
A =
22
11
xx
+
; B = x
1
2
+ x
2
2
; C =
2
2
2
2
11
xx
+
; D = x
1
3
+ x
2

3
Gii
Do phng trỡnh cú 2 nghim l x
1
v x
2
nờn theo nh lớ Viet ta cú:
x
1
+ x
2
=
3

; x
1
.x
2
=
5

A =
15
5
1
5
3
.
11
21

21
22
=


=
+
=+
xx
xx
xx
;
B = x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+x
2
)
2
- 2x
1
x
2
=
523)5(2)3(

2
+=
C =
)523(
5
1
)5(
523
.
2
2
2
2
1
2
2
2
1
+=

+
=
+
xx
xx
;
D = (x
1
+x
2

)( x
1
2
- x
1
x
2
+ x
2
2
) =
)15333()]5(523)[3( +=+
* Bi tng t:
Cho phng trỡnh x
2
+ 2x - 3 = 0 cú 2 nghim l x
1
v x
2
.
Khụng gii phng trỡnh hóy tớnh giỏ tr ca biu thc sau:
A =
22
11
xx
+
; B = x
1
2
+ x

2
2
; C =
2
2
2
2
11
xx
+
; D = x
1
3
+ x
2
3
E =
2
3
1
3
21
2
221
2
1
55
6106
xxxx
xxxx

+
++
; F =
2
2
1
2
21
2
221
2
1
44
353
xxxx
xxxx
+
++
LOI TON RẩN K NNG SUY LUN
(Phng trỡnh bc hai cha tham s)
Bi 1: (Bi toỏn tng quỏt)
Tỡm iu kin tng quỏt phng trỡnh ax
2
+bx+c = 0 (a 0) cú:
1. Cú nghim (cú hai nghim) 0
2. Vụ nghim < 0
3. Nghim duy nht (nghim kộp, hai nghim bng nhau) = 0
Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thai-QuảNG xơng Thanh hoa
18
Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012

4. Cú hai nghim phõn bit (khỏc nhau) > 0
5. Hai nghim cựng du 0 v P > 0
6. Hai nghim trỏi du > 0 v P < 0 a.c < 0
7. Hai nghim dng(ln hn 0) 0; S > 0 v P > 0
8. Hai nghim õm(nh hn 0) 0; S < 0 v P > 0
9. Hai nghim i nhau 0 v S = 0
10.Hai nghim nghch o nhau 0 v P = 1
11. Hai nghim trỏi du v nghim õm cú giỏ tr tuyt i ln hn a.c < 0 v S < 0
12. Hai nghim trỏi du v nghim dng cú giỏ tr tuyt i ln hn
a.c < 0 v S > 0
( ú: S = x
1
+ x
2
=
a
b

; P = x
1
.x
2
=
a
c
)
* Giỏo viờn cn cho hc sinh t suy lun tỡm ra iu kin tng quỏt, giỳp hc sinh ch ng khi gii loi
toỏn ny
Bi 2: Gii phng trỡnh (gii v bin lun): x
2

- 2x+k = 0 ( tham s k)
Gii


= (-1)
2
- 1.k = 1 k
Nu

< 0 1- k < 0 k > 1 phng trỡnh vụ nghim
Nu

= 0 1- k = 0 k = 1 phng trỡnh cú nghim kộp x
1
= x
2
=1
Nu

> 0 1- k > 0 k < 1 phng trỡnh cú hai nghim phõn bit
x
1
= 1-
k

1
; x
2
= 1+
k

1
Kt lun:
Nu k > 1 thỡ phng trỡnh vụ nghim
Nu k = 1 thỡ phng trỡnh cú nghim x=1
Nu k < 1 thỡ phng trỡnh cú nghim x
1
= 1-
k

1
; x
2
= 1+
k

1

Bi 3: Cho phng trỡnh (m-1)x
2
+ 2x - 3 = 0 (1) (tham s m)
a) Tỡm m (1) cú nghim
b) Tỡm m (1) cú nghim duy nht? tỡm nghim duy nht ú?
c) Tỡm m (1) cú 1 nghim bng 2? khi ú hóy tỡm nghim cũn li(nu cú)?
Gii
a) + Nu m-1 = 0 m = 1 thỡ (1) cú dng 2x - 3 = 0 x =
2
3
(l nghim)
+ Nu m 1. Khi ú (1) l phng trỡnh bc hai cú:

=1
2
- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) cú nghim

= 3m-2 0 m
3
2
+ Kt hp hai trng hp trờn ta cú: Vi m
3
2
thỡ phng trỡnh cú nghim
b) + Nu m-1 = 0 m = 1 thỡ (1) cú dng 2x - 3 = 0 x =
2
3
(l nghim)
+ Nu m 1. Khi ú (1) l phng trỡnh bc hai cú:

= 1- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) cú nghim duy nht

= 3m-2 = 0 m =
3
2
(tho món m 1)
Khi ú x =
3
1
3

2
1
1
1
=

=


m
+Vy vi m = 1 thỡ phng trỡnh cú nghim duy nht x =
2
3
vi m =
3
2
thỡ phng trỡnh cú nghim duy nht x = 3
Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thai-QuảNG xơng Thanh hoa
19
Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012
c) Do phng trỡnh cú nghim x
1
= 2 nờn ta cú:
(m-1)2
2
+ 2.2 - 3 = 0 4m 3 = 0 m =
4
3
Khi ú (1) l phng trỡnh bc hai (do m -1 =
4

3
-1=
4
1

0)
Theo inh lớ Viet ta cú: x
1
.x
2
=
612
4
1
3
1
3
2
==


=


x
m
Vy m =
4
3
v nghim cũn li l x

2
= 6
* Giỏo viờn cn khc sõu trng hp h s a cú cha tham s (khi ú bi toỏn tr nờn phc tp vhc
sinh thng hay sai sút)
Bi 4: Cho phng trỡnh: x
2
-2(m-1)x 3 m = 0 ( n s x)
a) Chng t rng phng trỡnh cú nghim x
1
, x
2
vi mi m
b) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim trỏi du
c) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim cựng õm
d) Tỡm m sao cho nghim s x
1
, x
2
ca phng trỡnh tho món x
1
2
+x
2
2


10.
e) Tỡm h thc liờn h gia x
1
v x

2
khụng ph thuc vo m
f) Hóy biu th x
1
qua x
2
Gii
a) Ta cú:

= (m-1)
2
( 3 m ) =
4
15
2
1
2
+






m
Do
0
2
1
2

m
vi mi m;
0
4
15
>
> 0 vi mi m
Phng trỡnh luụn cú hai nghim phõn bit
Hay phng trỡnh luụn cú hai nghim (pcm)
b) Phng trỡnh cú hai nghim trỏi du a.c < 0 3 m < 0 m > -3
Vy m > -3
c) Theo ý a) ta cú phng trỡnh luụn cú hai nghim
Khi ú theo nh lớ Viet ta cú: S = x
1
+ x
2
= 2(m-1) v P = x
1.
x
2
= - (m+3)
Khi ú phng trỡnh cú hai nghim õm S < 0 v P > 0

3
3
1
0)3(
0)1(2
<



<
<




>+
<
m
m
m
m
m
Vy m < -3
d) Theo ý a) ta cú phng trỡnh luụn cú hai nghim
Theo nh lớ Viet ta cú: S = x
1
+ x
2
= 2(m-1) v P = x

1.
x
2
= - (m+3)
Khi ú A = x
1
2
+x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= 4(m-1)
2
+2(m+3) = 4m
2
6m + 10
Theo bi A 10 4m
2
6m 0 2m(2m-3) 0

0
2
3
2
3
0
2
3
0
032
0
032

0
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
Vy m
2
3
hoc m 0
e) Theo ý a) ta cú phng trỡnh luụn cú hai nghim
Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thai-QuảNG xơng Thanh hoa
20
Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012
Theo nh lớ Viet ta cú:



=
=+




+=

=+
62.2
22
.
)3(.
)1(2
21
21
21
21
mxx
mxx
mxx
mxx
x
1
+ x
2
+2x
1
x
2
= - 8
Vy x
1
+x
2
+2x
1
x

2
+ 8 = 0 l h thc liờn h gia x
1
v x
2
khụng ph thuc m
f) T ý e) ta cú: x
1
+ x
2
+2x
1
x
2
= - 8 x
1
(1+2x
2
) = - ( 8 +x
2
)
2
2
1
21
8
x
x
x
+

+
=
Vy
2
2
1
21
8
x
x
x
+
+
=
(
2
1
2

x
)
Bi 5: Cho phng trỡnh: x
2
+ 2x + m-1= 0 ( m l tham s)
a) Phng trỡnh cú hai nghim l nghch o ca nhau
b) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim x
1
; x
2
tho món 3x

1
+2x
2
= 1
c) Lp phng trỡnh n y tho món
2
11
1
x
xy +=
;
1
22
1
x
xy +=
vi x
1
; x
2
l nghim ca phng trỡnh
trờn
Gii
a) Ta cú

= 1
2
(m-1) = 2 m
Phng trỡnh cú hai nghim l nghch o ca nhau

2
2
2
11
02
1
0
'
=



=





=





=

m
m
m
m

m
P
Vy m = 2
b) Ta cú

= 1
2
(m-1) = 2 m
Phng trỡnh cú nghim 0 2 m 0 m 2 (*)
Khi ú theo nh lớ Viet ta cú: x
1
+ x
2
= -2 (1); x
1
x
2
= m 1 (2)
Theo bi: 3x
1
+2x
2
= 1 (3)
T (1) v (3) ta cú:
1 2 1 2 1 1
1 2 1 2 1 2 2
2 2 2 4 5 5
3 2 1 3 2 1 2 7
x x x x x x
x x x x x x x

+ = + = = =

+ = + = + = =



Th vo (2) ta cú: 5(-7) = m -1 m = - 34 (tho món (*))
Vy m = -34 l giỏ tr cn tỡm
d) Vi m 2 thỡ phng trỡnh ó cho cú hai nghim
Theo nh lớ Viet ta cú: x
1
+ x
2
= -2 (1) ; x
1
x
2
= m 1 (2)
Khi ú:
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 2 2
2
1 1
x x m
y y x x x x
x x x x m m
+
+ = + + + = + + = + =

(m1)

2
1 2 1 2 1 2
2 1 1 2
1 1 1 1
( )( ) 2 1 2
1 1
m
y y x x x x m
x x x x m m
= + + = + + = + + =

(m1)
y
1
; y
2
l nghim ca phng trỡnh: y
2
-
m
m

1
2
.y +
1
2

m
m
= 0 (m1)
Phng trỡnh n y cn lp l: (m-1)y
2
+ 2my + m
2
= 0
*Yờu cu:
+ HS nm vng phng phỏp
+ HS cn thn trong tớnh toỏn v bin i
+ Gv: cn chỳ ý sa cha nhng thiu sút ca hc sinh, cỏch trỡnh by bi v khai thỏc nhiu cỏch
gii khỏc
* Bi tng t:
1) Cho phng trỡnh: (m 1)x
2
+ 2(m 1)x m = 0 ( n x)
a) nh m phng trỡnh cú nghim kộp.
Tớnh nghim kộp ny
b) nh m phng trỡnh cú hai nghim phõn bit u õm.
2) Cho phng trỡnh : x
2
4x + m + 1 = 0
Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thai-QuảNG xơng Thanh hoa
21
Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012
a) nh m phng trỡnh cú nghim.
b) Tỡm m sao cho phng trỡnh cú 2 nghim x
1

, x
2
tho món: x
1
2
+ x
2
2
= 10
3) Cho phng trỡnh: x
2
(2m 3)x + m
2
3m = 0
a) C/m , phng trỡnh luụn luụn cú hai nghim
khi m thay i
b) nh m phng trỡnh cú 2 nghim x
1
, x
2
tho món: 1 < x
1
< x
2
<6
4) Cho phng trỡnh bc hai cú n x: x
2
2mx + 2m 1 = 0
a) Chng t rng phng trỡnh cú nghim x
1

, x
2
vi mi m.
b) t A = 2(x
1
2
+ x
2
2
) 5x
1
x
2
a) C/m A= 8m
2
18m + 9
b) Tỡm m sao cho A=27
c) Tỡm m sao cho phng trỡnh cú nghim ny bng 2 ln
nghim kia
5) Cho phng trỡnh ; x
2

-2(m + 4)x + m
2
8 = 0. Xỏc nh m phng trỡnh cú 2 nghim x
1
, x
2
tho
món:

a) A = x
1
+ x
2
3x
1
x
2
t giỏ tr ln nht.
b) B = x
1
2
+ x
2
2
x
1
x
2
t giỏ tr nh nht.
c) Tỡm h thc gia x
1
, x
2
khụng ph thuc vo m
6) Cho phng trỡnh : x
2
4x (m
2
+ 3m) = 0

a) C/m phng trỡnh luụng cú 2 nghim x
1
, x
2
vi mi m
b) Xỏc nh m : x
1
2
+ x
2
2
= 4(x
1
+ x
2
)
c) Lp phng trỡnh bc hai n y cú 2 nghim y
1
v y
2
tho món:
y
1
+ y
2
= x
1
+ x
2
v

3
11
1
2
2
1
=

+

y
y
y
y
7) Cho phng trỡnh : x
2
+ ax + 1 = 0. Xỏc nh a phng trỡnh cú 2 nghim x
1
, x
2
tho món :
2
1
2
2
2
1

+








x
x
x
x
> 7
8) Cho phng trỡnh : (m 1)x
2
2(m + 1)x + m = 0 (1)
a) Gii v bin lun phng trỡnh (1) theo m
b) Khi phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit x
1
, x
2
:
* Tỡm mt h thc gia x
1

, x
2
c lp i vi m
* Tỡm m sao cho
2
21

xx
D ng toán : Tỡm m phng trỡnh ax
2
+ bx + c = 0 cú 2 nghim x
1
, x
2
tho món ng thc cho
trc.
Bi 1: Tỡm m phng trỡnh :
.0m3mx)1m(2x
22
=+
cú 2 nghim x
1
,x
2
tho món x
1
2
+ x
2
2

= 8.
Bi 2: Tỡm m phng trỡnh :
.03m4x)1m2(x
2
=
cú 2 nghim x
1
,x
2
tho món x
1
2
+ x
2
2
= 10.
Bi 3: Tỡm m phng trỡnh :
.02m5x)4m(2x)1m2(
2
=+++
cú 2 nghim x
1
,x
2
tho món
.16xx2xx
21
2
2
2

1
+=+
Bi 4: Tỡm m phng trỡnh :
.01mmx2x)1m(
2
=++
cú 2 nghim x
1
,x
2
tho món
.0
2
5
x
x
x
x
1
2
2
1
=++
Bi 5: Tỡm m phng trỡnh :
.0m2x)4m(mx
2
=+
cú 2 nghim x
1
,x

2
tho món
.0xx5)xx(2
21
2
2
2
1
=+
Bi 6: Tỡm m phng trỡnh :
.05mx)2m(x
2
=++
cú 2 nghim x
1
,x
2
tho món
.10xx
2
2
2
1
=+
Bi 7: Tỡm m phng trỡnh :
.0m2x)2m(x
2
=
cú 2 nghim x
1

,x
2
tho món
.8xx
2
2
2
1
=+
Bi 8: Tỡm m phng trỡnh :
.0m3x)3m(x
2
=++
cú 2 nghim x
1
,x
2
tho món
.10xx
2
2
2
1
=+
Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thai-QuảNG xơng Thanh hoa
22
Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012
Bi 9: Tỡm m phng trỡnh :
.05m4x)2m(2x
2

=+
cú 2 nghim x
1
,x
2
tho món
.1
x
x
x
x
1
2
2
1
=+
Bi 10: Tỡm m phng trỡnh :
.03mx)1m2(x)2m(
2
=++
cú 2 nghim x
1
,x
2
tho món x
1
=
2x
2
.

Bi 11: Tỡm m phng trỡnh :
.03m4x)1m(2x
2
=++
cú 2 nghim x
1
,x
2
tho món 2x
1
+ x
2
= 5.
D ng toán : lp h thc liờn h gia x
1
, x
2
khụng ph thuc vo m.
Bi 1: Gi x
1
, x
2
l nghim ca phng trỡnh:
.0m3x)1m(2x)2m(
2
=++
Hóy lp h thc liờn h
gia x
1
, x

2
khụng ph thuc vo m.
Bi 2: Gi x
1
, x
2
l nghim ca phng trỡnh:
.03mx)1m(2x
2
=+
Hóy lp h thc liờn h gia x
1
,
x
2
khụng ph thuc vo m.
Bi 3: Gi x
1
, x
2
l nghim ca phng trỡnh:
.05mx)1m(2x)3m(
2
=+
Hóy lp h thc liờn h
gia x
1
, x
2
khụng ph thuc vo m.

Bi 4: Gi x
1
, x
2
l nghim ca phng trỡnh:
.02m2x)1m(3x)3m4(
2
=+++
Hóy lp h thc liờn h gia x
1
, x
2
khụng ph thuc vo m.
Bi 5: Gi x
1
, x
2
l nghim ca phng trỡnh:
.01mmx)1m2(x
22
=+++
Hóy lp h thc liờn h
gia x
1
, x
2
khụng ph thuc vo m.
Bi 6: Gi x
1
, x

2
l nghim ca phng trỡnh:
.0mx)1m(2x)1m(
2
=++
Hóy lp h thc liờn h
gia x
1
, x
2
khụng ph thuc vo m.
Chủ đề 7:CHNG MINH T GIC NI TIP
(3 buổi)
A.KIN THC C BN
Phng phỏp chng minh
-Chng minh bn nh ca t giỏc cựng cỏch u mt im.
-Chng minh t giỏc cú hai gúc i din bự nhau.
-Chng minh hai nh cựng nhỡn on thng to bi hai im cũn li hai gúc bng nhau.
-Chng minh tng ca gúc ngoi ti mt nh vi gúc trong i din bự nhau.
-Nu MA.MB = MC.MD hoc NA.ND = NC.NB thỡ t giỏc ABCD nt tip. (Trong ú
M AB CD; N AD BC
= =
)
-Nu PA.PC = PB.PD thỡ t giỏc ABCD ni tip. (Trong ú
P AC BD=
)
-Chng minh t giỏc ú l hỡnh thang cõn; hỡnh ch nht; hỡnh vuụng;
Nu cn chng minh cho nhiu im cựng thuc mt ng trũn ta cú th chng minh ln lt 4
im mt lỳc. Song cn chỳ ý tớnh cht Qua 3 im khụng thng hng xỏc nh duy nht mt ng
trũn

B. BI TP TNG HP:
Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại
H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P.
Chứng minh rằng:
1. Tứ giác CEHD, nội tiếp .
2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn.
3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
4. H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF.
Lời giải:
1. Xét tứ giác CEHD ta có:
CEH = 90
0
( Vì BE là đờng cao)
CDH = 90
0
( Vì AD là đờng cao)
=> CEH + CDH = 180
0
Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thai-QuảNG xơng Thanh hoa
23
Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012

Mà CEH và CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp
2. Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE AC => BEC = 90
0
.
CF là đờng cao => CF AB => BFC = 90
0
.

Nh vậy E và F cùng nhìn BC dới một góc 90
0
=> E và F cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BC.
Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn.
3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: AEH = ADC = 90
0
; Â là góc chung
=> AEH ADC =>
AC
AH
AD
AE
=
=> AE.AC = AH.AD.
* Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: BEC = ADC = 90
0
; C là góc chung
=> BEC ADC =>
AC
BC
AD
BE
=
=> AD.BC = BE.AC.
4. Ta có C
1
= A
1
( vì cùng phụ với góc ABC)
C

2
= A
1
( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
=> C
1
= C
2
=> CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB HM => CHM cân tại C
=> CB cũng là đơng trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn
=> C
1
= E
1
( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp
C
1
= E
2
( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)
E
1
= E
2
=> EB là tia phân giác của góc FED.
Chứng minh tơng tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là
tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF.
Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đờng tròn

ngoại tiếp tam giác AHE.
1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .
2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn.
3. Chứng minh ED =
2
1
BC.
4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.
Lời giải:
1. Xét tứ giác CEHD ta có:
CEH = 90
0
( Vì BE là đờng cao)

CDH = 90
0
( Vì AD là đờng cao)
=> CEH + CDH = 180
0
Mà CEH và CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp
2. Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE AC => BEA = 90
0
.
AD là đờng cao => AD BC => BDA = 90
0
.
Nh vậy E và D cùng nhìn AB dới một góc 90
0
=> E và D cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AB.

Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn.
Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thai-QuảNG xơng Thanh hoa
24
Tài liệu ôn thi vào lớp 10. năm học 2011-2012
3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đờng cao nên cũng là đờng trung tuyến
=> D là trung điểm của BC. Theo trên ta có BEC = 90
0
.
Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE =
2
1
BC.
4.Vì O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác
AOE cân tại O => E
1
= A
1
(1).
Theo trên DE =
2
1
BC => tam giác DBE cân tại D => E
3
= B
1
(2)
Mà B
1
= A
1

( vì cùng phụ với góc ACB) => E
1
= E
3
=> E
1
+ E
2
= E
2
+ E
3

Mà E
1
+ E
2
= BEA = 90
0
=> E
2
+ E
3
= 90
0
= OED => DE OE tại E.
Vậy DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại E.
5. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. áp dụng định lí Pitago cho
tam giác OED vuông tại E ta có ED
2

= OD
2
OE
2
ED
2
= 5
2
3
2
ED = 4cm
Bài 3 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc
nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lợt ở C và D. Các đờng thẳng AD và BC
cắt nhau tại N.
1.Chứng minh AC + BD = CD.
2.Chứng minh COD = 90
0
.
3.Chứng minh AC. BD =
4
2
AB
.
4.Chứng minh OC // BM
5.Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính CD.
5.Chứng minh MN AB.
6.Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ
nhất.
Lời giải:
1.Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM.

Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD
2.Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân giác
của góc BOM, mà AOM và BOM là hai góc kề bù => COD = 90
0
.
3.Theo trên COD = 90
0
nên tam giác COD vuông tại O có OM CD ( OM là tiếp tuyến ).
áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuông ta có OM
2
= CM. DM,
Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R
2
=> AC. BD =
4
2
AB
.
4. Theo trên COD = 90
0
nên OC OD .(1)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD là trung trực của
BM => BM OD .(2). Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc với OD).
5.Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác COD đờng kính CD có IO là
bán kính.
Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC AB; BD AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình thang. Lại
có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đờng trung bình của hình thang ACDB

IO // AC , mà AC AB => IO AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đờng tròn đờng kính CD
6. Theo trên AC // BD =>

BD
AC
BN
CN
=
, mà CA = CM; DB = DM nên suy ra
DM
CM
BN
CN
=
=> MN // BD mà BD AB => MN AB.
7. ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy ra chu vi
tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất , mà CD
nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By. Khi đó CD // AB => M
phải là trung điểm của cung AB.
Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc
A , O là trung điểm của IK.
1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn.
2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
3. Tính bán kính đờng
tròn (O) Biết AB =
Gv: trần Văn thuân. Trờng thcs quảng thai-QuảNG xơng Thanh hoa
25