Tổng hợp bộ đề thi Lý thuyết tương tự chọn lọc

Phần 1: Các kiến thức toán cơ bản

Bài 1.1:

Xét V là khối ñược bao bởi mặt kín S hình bán cầu bán kính R
như trên hình vẽ và hàm véc-tơ
2
sin cos cos
r
r r r
θ ϕ
ϕ ϕ θ
= + +
v i i i
  

.
a)

Tính
(
)
div
v

và
( ).
V
div d
τ
∫

v


b)

Tính
S
d
∫
v a


i




Bài 1.2:

Xét mặt S hình bán cầu hở bán kính R ñược căng trên ñường
tròn (P) như trên hình vẽ và hàm véc-tơ
2
sin cos cos
r
r r r
θ ϕ
ϕ ϕ θ
= + +
v i i i
  


.
a)

Tính
(
)
rot
v

và
(
)
S
rot d
∫
v a


i

b)

Tính
P
d
∫
v l



i



Bài 1.3:
Xét mặt S hình bán trụ như trên hình vẽ và hàm
véc-tơ
2
sin cos
s z
s z z
ϕ
ϕ ϕ
= + +
v i i i
  

. Bán kính ñáy
trụ là R, khoảng cách hai ñáy là 2L. Tính
(
)
rot
v

và
(
)
S
rot d
∫

v a


i

.



Bài 1.4:

Biết trong hệ toạ ñộ trụ có
1
s
ϕ
=
A i
 
. Tính
S
d
⋅
∫
A a


với S là mặt tam giác giới hạn bởi 3
ñiểm
(
)

2,0,1
M ,
(
)
1,0,2
N và
(
)
2,0,2
P (các tọa ñộ cho trong hệ toạ ñộ trụ)



Bài 1.5:

Biết trong hệ toạ ñộ trụ có
1
s
ϕ
=
A i
 
. Tính
S
d
⋅
∫
A a



với S là mặt tam giác giới hạn bởi 3
ñiểm
(
)
1,0,1
M ,
(
)
2,0,1
N và
(
)
2,0,2
P (các tọa ñộ cho trong hệ toạ ñộ trụ).

Bài 1.6:

Biết trong hệ toạ ñộ trụ có
1
s
ϕ
=
A i
 
. Tính
S
d
⋅
∫
A a



với S là mặt bình hành giới hạn bởi 4
ñiểm
(
)
1,0,1
M ,
(
)
2,0,2
N ,
(
)
2,0,5
P và
(
)
1,0,4
Q (các tọa ñộ cho trong hệ toạ ñộ trụ).

Bài 1.7:

Biết trong hệ toạ ñộ trụ có
1
s
ϕ
=
A i
 

. Tính
S
d
⋅
∫
A a


với S là mặt tam giác giới hạn bởi 3
ñiểm
(
)
1,0,1
M ,
(
)
1,0,2
N và
(
)
2,0,2
P (các tọa ñộ cho trong hệ toạ ñộ trụ)

Bài 1.8:

Biết
2
sin 13 2
r
r r

θ ϕ
θ ϕ= + +
A i i i
   
. Tính
(
)
div
A

tại
(
)
1, /3, / 4
π π
.

Bài 1.9:

Biết
2
sin 2 cos 2
s z
s s z
ϕ
ϕ ϕ= + +
A i i i
   
. Tính
(

)
div
A

tại
(
)
1, ,3
π
.

Bài 1.10:

Biết
2 5
sin cos 2
z
s z
s s se
ϕ
ϕ ϕ
−
= + +
A i i i
   
. Tính
(
)
div
A


tại
(
)
1/2, /2,0
π
.

Bài 1.11:

Xét 4 ñiểm
( ,0,0)
A R
,
( ,0, )
B R R
,
(0, , )
C R R
và
(0, ,0)
D R
(tọa ñộ cho trong hệ tọa ñộ ðề
các). Kiểm tra tính chất thế của hàm
2 2 2
x y z
y z z x x y
= + +
v i i i
  


thông qua việc lấy hai tích
phân ñường sau:
A B C
d
→ →
∫
v l


i
và
A D C
d
→ →
∫
v l


i
trong ñó hai ñoạn
A B
→
và
D C
→
ñi
theo ñường thẳng, còn hai ñoạn
B C
→

và
A D
→
ñi theo một phần tư ñường tròn bán
kính R tâm thuộc Oz và nằm trong mặt phẳng song song với mặt xOy.

Bài 1.12:

Xét 3 ñiểm
( ,0,0)
A R
,
( ,0, )
B R R
và
(0, , )
C R R
(tọa ñộ cho trong hệ tọa ñộ ðề các), hàm
véc-tơ
( ) ( ) ( )
x y z
y z z x x y
= + + + + +
v i i i
  

. Tính tích phân ñường sau:
A B C
d
→ →

∫
v l


i
trong
ñó ñoạn
A B
→
ñi theo ñường thẳng, còn ñoạn
B C
→
theo một phần tư ñường tròn bán
kính R tâm thuộc Oz và nằm trong mặt phẳng song song với mặt xOy.

Bài 1.13:

Kiểm tra tính chất thế của hàm
x y z
y z x
= + +
v i i i
  

thông qua việc lấy hai tích phân
ñường sau:
A B C
d
→ →
∫

v l


i
và
A D C
d
→ →
∫
v l


i
trong ñó hai ñoạn
A B
→
và
D C
→
ñi theo
ñường thẳng, còn hai ñoạn
B C
→
và
A D
→
ñi theo một phần tư ñường tròn bán kính
R tâm thuộc Oz và nằm trong mặt phẳng song song với mặt xOy.

Bài 1.14:

Cho mặt S ñược giới hạn bởi ñường kín
P A B O A
= → → →

như trên hình vẽ với bán kính
1
R
=
, góc
45
xOA
=

∡
. Tính
(
)
S
rot d
∫
F a


i

biết
2
5 2cos
r
r r

θ ϕ
ϕ
= + +
F i i i
  

.



Bài 1.15:
Cho mặt S ñược giới hạn bởi ñường kín
P A C B A
= → → →
như trên hình vẽ với bán
kính
2
R
=
. Tính biết
d
a

hướng theo
Oz
và
2
3 cos
r
r r

ϕ
ϕ
= +
F i i
 










Bài 1.16:
Tính tích phân ñường
P
v dl
⋅
∫


với
2 2
2
x y z
x yz y
= + +
v i i i

  

ñường P từ A=(0,0,0) ñến
B=(1,1,1) theo các ñường:
a)

ñường thẳng nối A và B.
b)

(0,0,0) (1,0,0) (1,1,0) (1,1,1)
→ → →



Bài 1.17:

Tính tích phân ñường
P
v dl
⋅
∫


với
2 2
2
x y z
y yz x
= + +
v i i i

  

ñường P từ A=(0,0,0) ñến
B=(1,1,1) theo các ñường:
a)

ñường thẳng nối A và B.
b)

(0,0,0) (0,0,1) (0,1,1) (1,1,1)
→ → →



Bài 1.18:
Tính tích phân ñường
P
v dl
⋅
∫


với
2 2
2
x y z
y yz x
= + +
v i i i
  


ñường P từ A=(0,0,0) ñến
B=(1,1,1) theo các ñường:
a)

ñường thẳng nối A và B.
b)

(0,0,0) (0,0,1) (0,1,1) (1,1,1)
→ → →


Bài 1.19:
Cho ñường kín
P A B C D A
= → → → →
như trên hình vẽ
với bán kính
10
R
=
, chiều cao mặt trụ
12
h
=
.
a)

Tính
P

d
⋅
∫
F l
 

biết
2
sin 5 2 cos
s z
s z sz
ϕ
ϕ ϕ
= + +
F i i i
  


b)

Tính
(
)
rot
F


Bài 1.20:
Cho ñường kín
P A B O A
= → → →
như trên hình vẽ với
bán kính
10
R
=
, góc
45
xOA
=

∡
.
a)

Tính
P
d
⋅
∫
F l
 

biết
2
sin 5 2 cos
r

r r r
θ ϕ
ϕ ϕ
= + +
F i i i
  


b)

Tính
(
)
rot
F





Bài 1.21:
Cho ñường kín
P A C B A
= → → →
như trên hình
vẽ với bán kính
7
R
=
.

a)

Tính
P
d
⋅
∫
F l
 

biết
2
sin 2 cos
r
r r
ϕ
ϕ ϕ
= +
F i i
 


b)

Tính
(
)
rot
F


Bài 1.22:
Cho ñường kín
P A B C D A
= → → → →
như trên hình
vẽ với bán kính
5
R
=
.
a)

Tính
P
d
⋅
∫
F l
 

biết
2
2
x y
x xy
= +

F i i
 


b)

Tính
(
)
rot
F




Bài 1.23:
Xét khối V là một phần tư khối cầu bán kính R ñược bao
bởi mặt kín S như trên hình vẽ và hàm véc-tơ
2
sin cos cos cos
r
r r r
θ ϕ
θ ϕ ϕ θ
= + +
v i i i
  

.
a)

Tính
S
d
∫
v a


i


b)

Tính
(
)
div
v

và
( ).
V
div d
τ
∫
v


Bài 1.24:
Xét 3 ñiểm
( ,0,0)
A R
,
( ,0, )
B R R
và
(0, , )
C R R
(tọa ñộ cho trong hệ tọa ñộ ðề
các), hàm véc-tơ
2 2 2 2 2 2
x y z
y z z x x y
= + +
v i i i
  

. Tính tích phân ñường sau:
A B C
d
→ →
∫
v l


i

trong ñó ñoạn
A B
→
ñi theo ñường thẳng, còn ñoạn
B C
→
ñi theo một phần tư ñường
tròn bán kính R tâm thuộc Oz và nằm trong mặt phẳng song song với mặt xOy.

Bài 1.25:

Xét 4 ñiểm
( ,0,0)
A R
,
( ,0, )
B R R
,
(0, , )
C R R
và
(0, ,0)
D R
(tọa ñộ cho trong hệ tọa ñộ ðề
các). Kiểm tra tính chất thế của hàm
x y z
yz zx xy
= + +
v i i i
  


thông qua việc lấy hai tích
phân ñường sau:
A B C
d
→ →
∫
v l


i
và
A D C
d
→ →
∫
v l


i
trong ñó hai ñoạn
A B
→
và
D C
→
ñi
theo ñường thẳng, còn hai ñoạn
B C
→

và
A D
→
ñi theo một phần tư ñường tròn bán
kính R tâm thuộc Oz và nằm trong mặt phẳng song song với mặt xOy.




Phần 2: ðiện trường tĩnh

Bài 2.1:
Xác ñịnh véc-tơ cường ñộ ñiện trường và ñiện thế tại các ñiểm
nằm trên trục của một trụ (chỉ có ñáy dưới) với mật ñộ phân bố
ñiện tích ñều trên mặt bên và mặt ñáy là
ρ
. Bán kính ñáy trụ là
R, chiều cao trụ là h.



Bài 2.2:

Tính
(
)
r
E

của một tụ ñiện trụ gồm hai trụ dài vô hạn hình trụ bán kính

a
và
b
(a<b) ñặt
ñồng trục, ñiện tích phân bố ñều trên hai mặt với mật ñộ
(
)
/
d
C m
ρ
và
(
)
/
d
C m
ρ
−
. Với r
– khoảng cách tới trục hai trụ. Xét 3 trường hợp
; ;
r a a r b b r
< < < <
.

Bài 2.3:
Trong một phần khối cầu có giới hạn
0,1 0,15
r m

≤ ≤
;
(
)
/3 / 2
rad
π θ π
≤ ≤
;
(
)
0 / 2
rad
ϕ π
≤ ≤
có ñiện tích phân bố theo mật ñộ khối
2 3
0,2 ( / )
k
r C m
ρ θ µ
=
. Tính
ñiện tích tổng cộng bên trong khối.


Bài 2.4:

Trong một phần khối cầu có giới hạn
0,1 0,15

r m
≤ ≤
;
(
)
0 / 2
rad
θ π
≤ ≤
;
(
)
0 / 2
rad
ϕ π
≤ ≤
có ñiện tích phân bố theo mật ñộ khối
2 3
30 ( / )
k
r C m
ρ θ µ
=
. Tính ñiện
tích tổng cộng bên trong khối.


Bài 2.5:

Tính ñiện dung riêng (C/m) của một tụ ñiện trụ gồm hai trụ dài vô hạn hình trụ bán kính

a và b (a<b) ñặt ñồng trục, ñiện tích phân bố dọc ñều trên hai mặt với mật ñộ
(
)
/
d
C m
ρ

và
(
)
/
d
C m
ρ
−
.


Bài 2.6:

Tính ñiện dung riêng (C/m) của hai ñoạn dây dẫn dài vô hạn hình trụ bán kính a ñặt
song song, khoảng cách 2 trục là d, ñiện tích phân bố ñều trên hai dây với mật ñộ
(
)
/
d
C m
ρ
và

(
)
/
d
C m
ρ
−
.

Bài 2.7:

Trong một khối giữa hai mặt trụ với giới hạn
0,1 0,1
m s m
− ≤ ≤
;
(
)
/3 /2
rad
π ϕ π
≤ ≤
;
1 3
z m
≤ ≤
có ñiện tích phân bố theo mật ñộ khối
2 3
3 ( / )
k

sz C m
ρ µ
=
. Tính ñiện tích
tổng cộng bên trong khối.


Bài 2.8:

Tính
(
)
V r
của một tụ ñiện trụ gồm hai trụ dài vô hạn hình trụ bán kính a và b (a<b) ñặt
ñồng trục, ñiện tích phân bố ñều dọc trên hai mặt với mật ñộ
(
)
/
d
C m
ρ
và
(
)
/
d
C m
ρ
−
.

Với r – khoảng cách tới trục hai trụ. Xét 3 trường hợp
; ;
r a a r b b r
< < < <
.

Bài 2.9:

Trong không gian có ñiện tích phân bố theo mật ñộ khối
(
)
0
/
2 3
0
2
0
cos ( / )
/
r r
k
e C m
r r
ρ
ρ ϕ µ
−
= . Tính ñiện tích tổng bên trong quả cầu bán kính r
0
.

Bài 2.10:

Tính
(
)
V r
của một tụ ñiện trụ gồm hai trụ dài vô hạn hình trụ bán kính a và b (a<b) ñặt
ñồng trục, ñiện tích phân bố ñều dọc trên hai mặt với mật ñộ
(
)
/
d
C m
ρ
và
(
)
/
d
C m
ρ
−
.
Với r – khoảng cách tới trục hai trụ. Xét 3 trường hợp
; ;
r a a r b b r
< < < <

Bài 2.11:

Trong một khối có giới hạn
0 1
x m
≤ ≤
;
1 0
y m
− ≤ ≤
;
0 1
z m
≤ ≤
có ñiện tích phân bố
theo mật ñộ khối
2 3
30 ( / )
k
x y C m
ρ µ
=
. Tính ñiện tích tổng cộng bên trong khối.


Bài 2.12:

Tính ñiện dung riêng (C/m) của một tụ ñiện trụ gồm hai trụ dài vô hạn hình trụ bán kính
a và b (a<b) ñặt ñồng trục, ñiện tích phân bố dọc ñều trên hai mặt với mật ñộ
(

)
/
d
C m
ρ

và
(
)
/
d
C m
ρ
−
.

Bài 2.13:

Trong không gian có ñiện tích phân bố theo mật ñộ khối
(
)
0
/
2 3
0
2
0
cos ( / )
/
r r

k
e C m
r r
ρ
ρ ϕ µ
−
= . Tính ñiện tích tổng cộng bên trong toàn không gian.


Bài 2.14:

Trục Oz có ñiện tích phân bố ñều
(
)
9
0,5.10 /
d
C m
ρ
−
=
. Tính U
AB
biết trong hệ tọa ñộ
trụ có
(
)
2, /2,0
A
π

và
(
)
4, ,5
B
π
.

Bài 2.15:

Tính
(
)
r
E

của một tụ ñiện trụ gồm hai trụ dài vô hạn hình trụ bán kính a và b (a<b) ñặt
ñồng trục, ñiện tích phân bố ñều trên hai mặt với mật ñộ
(
)
2
/
m
C m
ρ
và
(
)
2
/

m
C m
ρ
−
.
Với r – khoảng cách tới trục hai trụ. Xét 3 trường hợp
; ;
r a a r b b r
< < < <
.

Bài 2.16:

Trong một khối giữa hai mặt trụ với giới hạn
0,1 0,2
m s m
≤ ≤
;
(
)
0 / 2
rad
ϕ π
≤ ≤
;
0 1
z m
≤ ≤
có ñiện tích phân bố theo mật ñộ khối
2 3

3 ( / )
k
s z C m
ρ µ
=
. Tính ñiện tích
tổng cộng bên trong khối.


Bài 2.17:
Xét 3 ñường dây dài vô hạn hình trụ bán kính R
1
, ñặt song song với trục Oz, các trục cắt
mặt phẳng xOy tại 3 ñiểm
(0,0,0)
A
,
( ,0,0)
B R
và
(0,3 ,0)
C R
(R>2R
1
). Xác ñịnh hiệu ñiện
thế giữa các bề mặt trụ của các ñường dây khi có 3 ñường dây ñược tích ñiện với mật ñộ
ñiện dài lần lượt là
1 2
,
ρ ρ

và
3
ρ
(C/m).

Bài 2.18:

Tính ñiện dung của hệ gồm 2 quả cầu bán kính R
1
và R
2
, khoảng cách giữa hai tâm cầu
là d. Xét hai trường hợp:
a)

d=0
b)

d>R
1
+R
2
.



Bài 2.19:

Trong một khối có giới hạn
0 1

x m
≤ ≤
;
0 1
y m
≤ ≤
;
0 1
z m
≤ ≤
có ñiện tích phân bố
theo mật ñộ khối
2 3
30 ( / )
k
x y C m
ρ µ
=
. Tính ñiện tích tổng cộng bên trong khối.



Bài 2.20:

Tính ñiện dung riêng (C/m) của hai ñoạn dây dẫn dài vô hạn hình trụ bán kính a ñặt
song song, khoảng cách 2 trục là d, ñiện tích phân bố ñều trên hai dây với mật ñộ
(
)
/
d

C m
ρ
và
(
)
/
d
C m
ρ
−
.

Bài 2.21:
Xét 3 quả cầu bán kính R
1
, R
2
và R
3
ñặt tại 3 ñỉnh của một tam giác ñều cạnh R
(R>max{R
1
+R
2
, R
1
+R
3
,R
2

+R
3
}). Xác ñịnh hiệu ñiện thế giữa các bề mặt của các quả cầu
khi 3 quả cầu ñược tích ñiện với mật ñộ ñiện mặt lần lượt là
1 2
,
ρ ρ
và
3
ρ
(C/m
2
).

Bài 2.22:
Xét 3 ñường dây dài vô hạn hình trụ bán kính R
1
, ñặt song song với trục Oz, các trục cắt
mặt phẳng xOy tại 3 ñiểm
(0,0,0)
A
,
( ,0,0)
B R
và
(0,3 ,0)
C R
(R>R
1
). Xác ñịnh véc-tơ

cường ñộ ñiện trường tại các trung ñiểm các cạnh của tam giác ABC khi có 2 ñường dây
qua A, B ñược tích ñiện với cùng mật ñộ ñiện dài
( / )
d
C m
ρ
, ñường dây qua C ñược tích
ñiện với mật ñộ ñiện dài
( / )
d
C m
ρ
−
.

Bài 2.23:
Xét 3 ñường dây dài vô hạn hình trụ bán kính R
1
, ñặt song song với trục Oz, các trục cắt
mặt phẳng xOy tại 3 ñiểm
(0,0,0)
A
,
( ,0,0)
B R
và
(0,3 ,0)
C R
(R>R
1

). Xác ñịnh véc-tơ
cường ñộ ñiện trường tại các trung ñiểm các cạnh của tam giác ABC khi có 3 ñường dây
ñược tích ñiện với cùng mật ñộ ñiện dài
( / )
d
C m
ρ


Bài 2.24:

Tính ñiện dung riêng của hai ñường dây dài vô hạn có tiết diện là ñường tròn bán kính
R
1
và R
2
ñặt song song, khoảng cách giữa hai trục là d.





Bài 2.25:
Trong không gian có 1 dây dẫn dài vô hạn hình trụ có trục trùng với Oz, tiết diện có bán
kính R
1
. ðường dây ñược có tích ñiện với mật ñộ dài
( / )
d
C m

ρ
. Tính cường ñộ ñiện
trường
E

,
(
)
div
E

và
(
)
rot
E

trong không gian bên ngoài dây dẫn.

Bài 2.26:
Xác ñịnh véc-tơ cường ñộ ñiện trường
( )
P
E

tại P (là
tâm của cung tròn). Biết hai ñoạn dây dẫn thẳng có
chiều dài vô hạn, cung một phần tư ñường tròn nối
hai dây có bán kính R. Các dây dẫn ñược tích ñiện
với mật ñộ ñiện dài

ρ
.


Bài 2.27:
Xác ñịnh véc- tơ cường ñộ ñiện trường
( )
P
E

tại P (là
tâm của cung tròn). Biết hai ñoạn dây dẫn thẳng có
chiều dài vô hạn, cung một nửa ñường tròn nối hai
dây có bán kính R. Các dây dẫn ñược tích ñiện với
mật ñộ ñiện dài
ρ
.


Bài 2.28:

Trong một ñiện trường có
(
)
(
)
(
)
2 2 2
x y z

yz zx xy= + + + + +
E i i i
  

. Tính
AB
U
cho
(3;4;5)
A
=
và
(1;1;1)
B
=
.

Bài 2.29:
Trong một vùng không gian có véc-tơ cường ñộ ñiện trường cho bởi
( )
2 5sin cos
r
r
ϕ
θ ϕ
+
=
i i
E r
 



Tính mật ñộ ñiện tích trong vùng không gian ñó.

Bài 2.30:
Trong một vùng không gian có ñiện trường, ta có lưới với
các ñiện thế tại các ñiểm biên (khoanh chấm ñen) cố ñịnh
như hình bên.
a)

Xác ñịnh ñiện thế tại 6 ñiểm nút còn lại (khoanh tròn
trắng) với sai số không quá 1V.
b)

Cường ñộ ñiện trường tại ñiểm nào là bé nhất?



Bài 2.31:

Trong một vùng không gian có ñiện trường, ta có lưới với
các ñiện thế tại các ñiểm biên (khoanh chấm ñen) cố ñịnh
như hình bên.
a)

Xác ñịnh ñiện thế tại 6 ñiểm nút còn lại (khoanh tròn
trắng) với sai số không quá 1V.
b)

Cường ñộ ñiện trường tại ñiểm nào là lớn nhất?

Bài 2.32:

Trong một vùng không gian có véc-tơ cường ñộ ñiện trường cho bởi
( )
2 5sin cos
r
r
ϕ
θ ϕ
+
=
i i
E r
 


Tính mật ñộ ñiện tích trong vùng không gian ñó.

Bài 2.33:

Trong một vùng không gian có ñiện trường, ta có lưới với
các ñiện thế tại các ñiểm biên (khoanh chấm ñen) cố ñịnh
như hình bên.
a)

Xác ñịnh ñiện thế tại 6 ñiểm nút còn lại (khoanh tròn

trắng) với sai số không quá 1V.
b)

Cường ñộ ñiện trường tại ñiểm nào là bé nhất?



Bài 2.34:
Trong vùng không gian giữa hai mặt cầu có bán kính a và b
(a<b) có ñiện tích phân bố với mật ñộ khối
2
5
k
r
ρ = . Vẽ ñồ
thị cường ñộ ñiện trường
( )
E r
phụ thuộc vào khoảng cách
r tới gốc tọa ñộ (ñặt tại tâm chung của hai mặt cầu).



Bài 2.35:
Trong một vùng không gian có ñiện trường, ta có lưới với
các ñiện thế tại các ñiểm biên (khoanh chấm ñen) cố ñịnh
như hình bên.
a)

Xác ñịnh ñiện thế tại 6 ñiểm nút còn lại (khoanh tròn

trắng) với sai số không quá 1V.
b)

Cường ñộ ñiện trường tại ñiểm nào là lớn nhất?



Bài 2.36:
Cho hệ hai dây dẫn trụ bán kính
0
R
song song, có khoảng cách hai trục là L như hình
vẽ, ñộ dài l coi như rất lớn. Một dây ñược tích một ñiện tích +Q, dây còn lại ñược tích
một ñiện tích –Q (coi các ñiện tích phân bố ñều trên mặt dây).
a)

Tính ñiện thế tại ñiểm A nằm trên ñường nối hai trục và cách trục dây bên trái
một ñoạn bằng d.
b)

Tính ñiện dung riêng (ñiện dung trên một ñơn vị ñộ dài) của hệ.



Bài 2.37:
Cho hệ hai quả cầu bán kính
0
R
có khoảng cách hai tâm cầu là L như hình vẽ. Một
quả cầu ñược tích một ñiện tích +Q, quả còn lại ñược tích một ñiện tích –Q.

a)

Tính ñiện thế tại ñiểm A cách tâm quả cầu bên trái một ñoạn bằng d.
b)

Tính ñiện dung của hệ.


Bài 2.38:
Trong một ñiện trường có
x y z
yz zx xy
= + +
E i i i
  

. Tính
AB
U
cho
(0;22,7;99)
A
=
và
(1;1;1)
B
=
.

Bài 2.39:
Kết quả tính toán ñiện thế bằng phương pháp Laplace cho một lưới (có kích thước
mắt lưới bằng 1mm) như sau:
V= 0 0 0 0 0 0 0
0 4.40 8.07 9.25 6.98 3.58 0
0 9.56 18.65 22.00 15.13 7.37 0
0 15.19 35.00 45.00 24.23 10.82 0
0 16.21 35.00 45.00 26.02 11.72 0
0 14.66 35.00 45.00 23.17 10.07 0
0 7.44 15.09 17.93 11.63 5.42 0
0 0 0 0 0 0 0
Tính và vẽ các véc-tơ cường ñộ ñiện trường cho các ñiểm có ñiện thế khác 0 biết giá
trị ñiện thế ño bằng mV.


Bài 2.40:
Cho một nửa hình trụ như trên hình vẽ. ðáy trụ là nửa
ñường tròn bán kính R, khoảng cách giữa hai ñáy là
2L. Xác ñịnh véc-tơ cường ñộ ñiện trường tại các ñiểm
nằm trên trục Oz (có tọa ñộ (0,0,z) với z>L). Biết trong
khối trụ có mật ñộ ñiện tích khối ñều và bằng
ρ
.



Bài 2.41:
Trong một vùng không gian có ñiện trường, ta có lưới với
các ñiện thế tại các ñiểm biên (khoanh chấm ñen) cố ñịnh
như hình bên.

a)

Xác ñịnh ñiện thế tại 6 ñiểm nút còn lại (khoanh tròn
trắng) với sai số không quá 1V.
b)

Cường ñộ ñiện trường tại ñiểm nào là bé nhất?



Bài 2.42:
Kết quả tính toán ñiện thế bằng phương pháp Laplace cho một lưới (có kích thước mắt
lưới bằng 1mm) như sau:
V= 0 0 0 0 0 0 0
0 6.61 12.36 14.84 11.38 5.87 0
0 14.11 28.03 35.67 24.85 12.16 0
0 21.83 50.00 75.00 40.27 17.97 0
0 23.21 50.00 75.00 43.32 19.50 0
0 21.02 50.00 75.00 38.55 16.75 0
0 10.88 22.51 29.17 19.17 8.98 0
0 0 0 0 0 0 0
Tính và vẽ các véc-tơ cường ñộ ñiện trường cho các ñiểm có ñiện thế khác 0 biết giá trị
ñiện thế ño bằng mV.

Bài 2.43:

Trong vùng không gian giữa hai ống trụ dài vô hạn có bán kính
tương ứng là a và b (a>b) và khoảng cách giữa hai trục là c
(như hình bên) có ñiện tích phân bố ñều với mật ñộ
(

)
3
0
/
C m
ρ
.
Xác ñịnh cường ñộ ñiện trường trong vùng không gian bên
trong trụ nhỏ bán kính b (Vùng không có ñiện tích).


Bài 2.44:
Trong một vùng không gian có ñiện trường, ta có lưới với
các ñiện thế tại các ñiểm biên (khoanh chấm ñen) cố ñịnh
như hình bên.
a)

Xác ñịnh ñiện thế tại 6 ñiểm nút còn lại (khoanh tròn
trắng) với sai số không quá 1V.
b)

Cường ñộ ñiện trường tại ñiểm nào là lớn nhất?



Bài 2.45:
Trong không gian có 1 quả cầu bán kính R
1
có tích ñiện với mật ñộ ñiện mặt
2

( / )
m
C m
ρ

có tâm trùng với gốc tọa ñộ. Tính cường ñộ ñiện trường
E

,
(
)
div
E

và
(
)
rot
E

cho
vùng không gian bên ngoài quả cầu.


Phần 3: Từ trường tĩnh
Bài 3.1:
a)

Xác ñịnh từ thông chuyển qua mặt khung dây dẫn ñơn
như trên hình vẽ. Biết ñáy lớn bằng a, chiều cao bằng h,

khoảng cách từ ñáy lớn tới dây dẫn có dòng I chạy qua là
d, góc bên của hình thang bằng 60
o
.
b)

Xác ñịnh dòng cảm ứng chạy trong khung dây khi khung
dây dịch ra xa khỏi dây dẫn thẳng với vận tốc v không
ñổi. Biết ñiện trở khung dây là
0,1
Ω
.



Bài 3.2:
Tính véc-tơ cảm ứng từ
( )
P
B

tại P (là tâm của cung tròn). Biết
hai ñoạn dây dẫn thẳng có chiều dài vô hạn, cung một phần tư
ñường tròn nối hai dây có bán kính R, cường ñộ dòng ñiện trong
dây dẫn là I.


Bài 3.3:
a)

Xác ñịnh từ thông chuyển qua mặt khung dây dẫn ñơn
như trên hình vẽ. Biết ñáy lớn bằng a, chiều cao bằng h,
khoảng cách từ ñáy nhỏ tới dây dẫn có dòng I chạy qua
là d, góc bên của hình thang bằng 60
o
.
b)

Xác ñịnh dòng cảm ứng chạy trong khung dây khi khung
dây dịch ra xa khỏi dây dẫn thẳng với vận tốc v không
ñổi. Biết ñiện trở khung dây là
0,1
Ω
.



Bài 3.4:
Trên một lõi hình xuyến (có tiết diện hình vuông cạnh a, khoảng cách từ tâm
xuyến ñến tâm tiết diện là R) làm từ vật liệu có hệ số từ thẩm
µ
, ta có hai cuộn dây
ñược cuốn phân bố ñều thành
1
N
và
2
N
vòng. Tính ñiện cảm của hai cuộn dây và hệ số
hỗ cảm giữa hai cuộn dây.

Bài 3.5:
Trên một lõi hình trụ bán kính R, có ñộ dài L (
L R
≫
) làm từ vật liệu có hệ số
từ thẩm
µ
, ta có hai cuộn dây ñược cuốn phân bố ñều thành
1
N
và
2
N
vòng. Tính ñiện
cảm của hai cuộn dây và hệ số hỗ cảm giữa hai cuộn dây.


Bài 3.6:

Cho một vùng hình chữ nhật có từ trường ñều
B

như
hình vẽ. Một khung dây hình tam giác vuông cân có
cạnh bên R song song với các cạnh giới hạn của vùng
có từ trường, ñiện trở khung
0,1
Ω

, quay xung quay
trục với tần số góc không ñổi là
ω
. Xác ñịnh cường
ñộ của dòng ñiện cảm ứng.



Bài 3.7:

Xét 3 ñường dây dài vô hạn, ñặt song song với trục Oz, cắt mặt phẳng xOy tại 3
ñiểm
(0,0,0)
A
,
(2 ,0,0)
B R
và
(0, ,0)
C R
. Xác ñịnh véc-tơ cảm ứng từ tại các trung ñiểm
các cạnh của tam giác ABC khi có 3 dòng ñiện cùng cường ñộ I chạy qua. Dòng qua C
ngược chiều với hai dòng qua A và B.


Bài 3.8:

Tính véc-tơ cảm ứng từ
( )
P

B

tại P (là tâm của cung
tròn). Biết hai ñoạn dây dẫn thẳng có chiều dài vô hạn,
cung một nửa ñường tròn nối hai dây có bán kính R,
cường ñộ dòng ñiện trong dây dẫn là I.


Bài 3.9:

Tính véc-tơ cảm ứng từ
( )
P
B

tại P (là tâm của cung
tròn). Biết hai ñoạn dây dẫn thẳng có chiều dài vô
hạn, cung một phần tư ñường tròn nối hai dây có
bán kính R, cường ñộ dòng ñiện trong dây dẫn là I,
dây dẫn trên nghiêng 45
o
so với dây dẫn dưới.


Bài 3.10:
Cho mạch từ như hình bên. Biết
1
12
mWb
Φ =

và
3
2
mWb
Φ =
. Tính
2
B
.



Bài 3.11:

Cho mạch từ như hình bên. Biết tiết diện của lõi sắt từ là
hình chữ nhật kích thước
1 1,5
cm cm
×
, khe hở 0,3
g
l mm
=

và
600
N
=
vòng. Tính dòng I ñể trong khe hở có
0,426

g
B T
=
. ðặc tính B-H của sắt từ (cast iron) như hình
dưới. Trong không khí ta có
(
)
7
0
4 .10 /( )
Wb Atm
µ π
−
=




Bài 3.12:
Cho mạch từ như hình bên. Biết
2
0,6
B T
=
.
Tính
1
B
và
3

B
.


Bài 3.13:

Cho mạch từ như hình bên. Lập chu
trình dò ñể giải mạch từ biết cấu trúc
hình học ñối xứng qua trục ngang.



Bài 3.14:

Cho mạch từ như hình bên. Lập hệ phương
trình ñể giải mạch từ.



Bài 3.15:

Cho một vùng hình chữ nhật có từ trường
B

có cường ñộ phụ thuộc vị trí
0
( )
x
B x B
d

=
như hình vẽ. Một khung dây hình vuông có
cạnh R song song với các cạnh giới hạn của
vùng có từ trường, ñiện trở khung
0,1
Ω

chuyển ñộng ngang ñều với vận tốc
v

. Tại
thời gian
0
t
=
khung dây bắt ñầu ñi vào
vùng có từ trường. Xác ñịnh cường ñộ của
dòng ñiện cảm ứng trong khoảng
(0, )
t T
∈

với T – thời ñiểm khung dây hoàn toàn ra
khỏi từ trường.



Bài 3.16:

Cho một vùng hình chữ nhật có từ trường

ñều
B

như hình vẽ. Một khung dây hình
tam giác vuông cân có cạnh bên R song
song với các cạnh giới hạn của vùng có từ
trường, ñiện trở khung
0,1
Ω
chuyển ñộng
ngang ñều với vận tốc
v

. Tại thời gian
0
t
=
khung dây bắt ñầu ñi vào vùng có từ
trường. Xác ñịnh cường ñộ của dòng ñiện
cảm ứng trong khoảng
(0, )
t T
∈
với T –
thời ñiểm khung dây hoàn toàn ra khỏi từ
trường.



Bài 3.17:

Cho một vùng hình chữ nhật có từ trường
B

có
cường ñộ phụ thuộc vị trí
0
( )
d x
B x B
d
−
= như
hình vẽ. Một khung dây hình vuông có cạnh R
song song với các cạnh giới hạn của vùng có
từ trường, ñiện trở khung
0,1
Ω
chuyển ñộng
ngang ñều với vận tốc
v

. Tại thời gian
0
t
=

khung dây bắt ñầu ñi vào vùng có từ trường.
Xác ñịnh cường ñộ của dòng ñiện cảm ứng
trong khoảng
(0, )

t T
∈
với T – thời ñiểm
khung dây hoàn toàn ra khỏi từ trường.



Bài 3.18:

Xác ñịnh từ thông chuyển qua mặt khung dây dẫn ñơn như
trên hình vẽ.
a) Biết ñáy lớn bằng a, chiều cao bằng h, khoảng cách từ
ñiểm gần nhất của ñáy lớn tới dây dẫn có dòng I chạy qua
là d, góc bên nhọn của hình thang bằng 60
o
, góc bên còn lại
là vuông.
b) Xác ñịnh dòng cảm ứng chạy trong khung dây khi dòng
ñiện qua dây dẫn thẳng là dòng ñiều hòa biên ñộ 2A, tần số
f=50Hz. Biết ñiện trở khung dây là
0,1
Ω
.



Bài 3.19:

a)

Xác ñịnh từ thông chuyển qua mặt khung dây dẫn ñơn
như trên hình vẽ. Biết ñáy lớn bằng a, chiều cao bằng h,
khoảng cách từ ñiểm gần nhất của ñáy lớn tới dây dẫn có
dòng I chạy qua là d, góc bên nhọn của hình thang bằng
60
o
, góc bên còn lại là vuông.
b)

Xác ñịnh dòng cảm ứng chạy trong khung dây khi dòng
ñiện qua dây dẫn thẳng là dòng ñiều hòa biên ñộ 2A, tần
số f=50Hz. Biết ñiện trở khung dây là
0,1
Ω
.



Bài 3.20:
Xác ñịnh từ thông chuyển qua mặt khung dây dẫn ñơn
như trên hình vẽ.
a) Biết ñáy lớn bằng a, chiều cao bằng h, khoảng cách từ
ñiểm gần nhất của ñáy lớn tới dây dẫn có dòng I chạy
qua là d, góc bên của hình thang bằng 60
o
.
b) Xác ñịnh dòng cảm ứng chạy trong khung dây khi
khung dây dịch ra xa khỏi dây dẫn thẳng với vận tốc v.
Biết ñiện trở khung dây là
0,1

Ω



Bài 3.21:


Cho một vùng hình chữ nhật có từ
trường ñều
B

như hình vẽ. Một khung
dây hình tròn, bán kính R, ñiện trở
khung
0,1
Ω
chuyển ñộng ngang ñều
với vận tốc
v

. Tại thời gian
0
t
=

khung dây bắt ñầu ñi vào vùng có từ
trường. Xác ñịnh cường ñộ của dòng
ñiện cảm ứng trong khoảng
(0, )
t T

∈

với T – thời ñiểm khung dây hoàn toàn
ra khỏi từ trường.





Phần 4: ðiện – từ trường dừng

Bài 4.1:

Xác ñịnh ñiện trở của hệ sau. Biết ñối
tượng bao gồm hai lớp cầu có ñiện dẫn
suất lần lượt là:
1
σ
(
2 3
R r R
< <
) và
2
σ

(
1 2
R r R
< <

). Phần lõi bán kính R
1

rỗng không dẫn ñiện.



Bài 4.2:
Xác ñịnh ñiện trở của hệ sau. Biết ñộ dày
hai lớp ñiện môi với ñiện dẫn suất
0
1,5
σ

bằng nhau và bằng 2d
, ñộ dày lớp vật liệu
giữa (ñiện dẫn suất
0
σ
) là
d
. Diện tích bản
cực là
A
.



Bài 4.3:
Tính

ñiện dẫn dò riêng
giữa hai ñường dây dài vô hạn có tiết diện là ñường
tròn bán kính
R
1
và
R
2

ñặt song song, khoảng cách giữa hai trục là
d
.


Bài 4.4:
Xét một dây dẫn ñồng trục chiều dài
l
ñủ lớn có bán kính
lõi trong là
1
0,5
R cm
=
, bán kính vỏ ngoài là
2
2
R cm
=
,
giữa hai lõi có một lớp ñiện môi có thể chịu ñược cường ñộ

ñiện trường cực ñại là
max
200 /
E kV cm
=
.
a)

Tính
( )
E r
khi có ñiện tích Q ở lõi trong và –Q ở vỏ
ngoài (ñiện tích phân bố ñều trên mặt).
b)
Tính
AB
U
theo Q. ðiện áp
AB
U
có thể có giá trị lớn
nhất bằng bao nhiêu ñể lớp ñiện môi không bị phá
hủy.


Bài 4.5:
Xét một dây dẫn ñồng trục chiều dài l ñủ lớn có
bán kính lõi trong là
1
R

, bán kính vỏ ngoài là
2
R
,
giữa hai lõi có một lớp cách ñiện không lý tưởng
có ñiện dẫn suất
σ
.
Tính ñiện trở dò giữa hai lớp vỏ của ñoạn dây
dẫn.



Bài 4.6: Tính ñiện dẫn dò riêng giữa hai ñường dây dài vô hạn có tiết diện là ñường
tròn bán kính R
1
và R
2
ñặt song song, khoảng cách giữa hai trục là d.