Tổng hợp các chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 12

Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước
Năm học 2009-2010

I-Bất đẳng thức cô si
1.Chứng minh rằng
222
2
abcabc
bc ca ab
++
++≥
++ +
với a,b,c>0
2.Chứng minh rằng
()()()
333
1113
2
abc bca cab
++≥
++ +
với a,b,c>0 và abc =1
3.Cho a,b,c>0 và abc=1.Cm:
()()()()()()
333
a3
11 11 11 4
bc
bc ca ab
++≥
++ ++ ++

4.Cho k số không âm
12
, , ,
k
aa a thoả
12
1
k
aa a =
Cm:
12 12

mm mnn n
kk
aa a aa a+++≥+++ với ;,mnmnN≥∈
5.Cho 3 số thực x,y,z thoả mãn:
2004 2004 2004
3xyz++=
.Tìm GTLN của biểu thức
333
A
xyz=++
6.Cho a+b+c =0 .Chứng minh rằng 888222
abc abc
++≥++
7.Cho số tự nhiên 2k ≥ .
12
, , ,
k

aa a
là các số thực dương
Cmr:
12
12
23 1

m
mm
mn mn mn
k
n
nn n
a
aa
aa a
aa a
−− −
+++≥ + ++
8.Cho x,y,z là ba số thực thoả mãn
111
1
x
yz
++=
.Tìm GTNN của biểu thức
2006 2006 2006
2007 2007 2007
xyz
A

yzx
=++

9.Tìm GTNN của
20 20 20
11 11 11
x
yz
A
yzx
=++
với 1
x
yz++=
10.Cho n số thực
12
, , ,
n
x
xxthuộc đoạn
[
]
,, 0ab a>
Cmr:
()
()
()
2
12
12

11 1

4
n
n
na b
xx x
xx x ab
+
⎛⎞
+++ + ++ ≤
⎜⎟
⎝⎠

11.Cho n là số nguyên dương;lấy
[
]
2000;2001
i
x ∈ với mọi i=1,2…,n
Tìm GTLN của
()( )
12 1 2
2 2 2 2 2 2
nn
x
x
xx x x
F
−

−−
=+++ + ++
12.Xét các số thực
1 2 2006
, , ,xx x
thoả
1 2 2006
, , ,
62
xx x
ππ
≤≤
Tìm GTLN của biểu thức
()
1 2 2006
1 2 2006
11 1
sin sin sin
sin sin sin
Axx x
xx x
⎛⎞
=+++ +++
⎜⎟
⎝⎠

13.Cho n số dương
12
, , ,
n

aa a Đặt :
{
}
{
}
12 12
min , , , , ax , , ,
nn
maaaMMaaa==
11
1
,
nn
i
ii
i
AaB
a
==
==
∑∑
.Cmr:
()
1
B
nm M A
mM
≤+−⎡⎤
⎣⎦

Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước
Năm học 2009-2010
14.Cho
0, 0, 1,
ii
ab in≥≥∀=.Chứng minh rằng:
()( )( )
11 2 2 12 12

nn
n
nn n n
abab ab aaa bbb++ +≥ +
15.Cho
0, 1,
i
ain≥∀=
.Chứng minh rằng:
()()( )
()
12 12
1 1 1 1
n
n
nn
aa a aaa++ +≥+
16.Chứng minh
()
1.2 1 1 1.2
n

n
nn+≥+ với 2,nnN≥∈
17.Chứng minh trong tam giác ABC ta có :
1/
3
111 2
111 1
sin sin sin
3
ABC
⎛⎞
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
+++≥+
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎝⎠

2/
3
111 2
111 1
BC
3
os os os
222
A
ccc
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟

⎛⎞
+++≥+
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠

3/
3
111 2
111 1
3
abc
mmm R
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎛⎞
+++≥+
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠⎝⎠⎝⎠

18.Cho a,b,x,y,z > 0 và x+y+z = 1.Chứng minh:

()
4
44
4
33

bbc
aaa ab
xyz
⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
+++++≥+
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠

19.Cho
1
,0, 0 1, ; 1
n
ii
i
ab x i n x
=
>>∀= =
∑
. Cmr:

()
12

m
mm
m
n

bb b
aa ananb
xx x
⎛⎞
⎛⎞⎛⎞
++++++ ≥+
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎝⎠
với m > 0
20.Cho , , 0, 1abc a b c>++=
.Chứng minh rằng:
3
111
1118
ab bc ca
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
−−−≥
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠

21.Cho
[
]
;∈
x
ab
.Tìm GTLN của biểu thức
() ( )( )

mn
F
xxabx=- -
với
*
, ΝmnÎ

22.Cho
0
2
;x
π
é
ù
ê
ú
Î
ê
ú
ë
û
.Tìm GTLN của biểu thức
()
p
sin . os
q
Fx xc x= với
*
, ΝpqÎ
23.Cho a,b,c không âm và có a + b + c =1.Tìm GTLN của biểu thức

()
30 4 2004
,,F abc a bc=
24.Cho , 0, 6xy x y³+£ .Tìm GTLN của các biểu thức sau :
1/
() ( )
2002
, 6Fxy x y x y=
2/
() ( )
2002
, 4Fxy x y x y=
25.Xét các số thực dương thỏa mãn a + b +c =1.Tìm GTNN của biểu thức
222
1111
P
ab bc ca
abc
=+++
++


26.Xét các số thực dương thỏa mãn a +b +c + d =1.Tìm GTNN của biểu thức
222 2
11111
P
acd abd abc bcd
abcd
=++++
+++

27.Giả sử
12
, , ,
n
x
xx>0 thỏa mãn điều kiện
1
1
1
n
i
i
i
x
x
=
=
å
+
. Cmr:
()
1
1
1
n
i
n
i
x

n
=
£
Õ
-

28.Giả sử a,b,c >0 thỏa mãn
23
1
111
abc
abc
++=
+++
. Cmr:
23
6
1
5
ab c £

Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước
Năm học 2009-2010
29. Giả sử
12
, , ,
n
x
xx>0 thỏa mãn điều kiện
1

1
n
i
i
x
=
=
å
.Cmr:
()
1
1
1
1
n
i
n
i
i
x
x
n
=
£
Õ
-
-

30. (QG-98) Giả sử
12

, , ,
n
x
xx>0 thỏa mãn điều kiện
1
11
1998 1998
n
i
i
x
=
=
å
+

Cmr:
12
.
1998
1
n
n
xx x
n
³
-

31.Cho n số dương thỏa mãn điều kiện
1

1
n
i
i
a
=
<
å

Cmr:
()
()
()()
()
1
12 1 2
12 1 2
1
1
1 1 1
n
nn
nn
aa a a a a
aa a a a a n
+
éù
-+++
æö
ëû

÷
ç
£
÷
ç
÷
ç
èø
+++ - - -

33.Cmr: ,2nNn"Î ³ ta có 112
nn
nn
nn
nn
-++<

34.Cho
[]
,, 0;1xyzÎ .Cmr:
(
)
(
)
333222
23xyz xyyzzx++ - + + £
35. Cho
[]
,, 0;2xyzÎ .Cmr:
(

)
(
)
666 424242
2 192xyz xyyzzx++ - + + £
36.Cho
[]
1; 2
i
x Î với i=1,…,2000.Thỏa mãn
2000
1
2005
i
i
x
=
=
å
Tìm GTLN của
2000
3
1
i
i
Ax
=
=
å

37.Chứng minh :
222
111
3.2abc
ab bc ca
ααα
α
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
+++++≥
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
Trong đó , , , 0abc
α
>
38.Cho số dương a .Xét bộ số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện:xy + yz + zx = 1
Tìm GTNN của biểu thức
()
22 2
Pax y z=++
39.Xét các số thực x,y,z thỏa mãn :
222 2
16
25
x
yz xya+++ =.Trong đó a là một số dương
cho trước .Tìm GTLN của biểu thức :P = xy + yz + zx
40.Xét các số thực a,b,c,d thỏa mãn :

222 2
1

1
2
abcd≤+++≤

Tìm GTLN và GTNN của :
()()()()
2222
2222Pabc bcd b a c d=−+ +−+ +− +−

41.Cho hàm số
()
fx thỏa mãn pt
()
44
2cot
f
tgx tgx gx=+
Cmr:
()()
sinx cosx 196ff+³ ( OLP-30-4-99)


II. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC

1.Cho
a,b,c,d
là các số thực thoả mãn
22
4ab+= và c+d=4 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=ac+bd+cd

2.Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn
22
1ab+= và
c+d=3
Cmr:
962
ac+bd+cd
4
+
≤

3(HSG-NA-2005) a,b,c,d là các số thực thoả mãn
22
1ab+= và c-d=3
Cmr:
962
ac+bd-cd
4
+
≤

4.Cho các số a,b,c,d,x,y thỏa mãn :
22 2 2
40 8 10 ; 12 4 6 ;3 2 13ab a bcd cdx y++=+ ++=+ =+
Tìm GTNN của
()()()( )
22 2 2
Pxayb xcyd= − +− + − +−

Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước

Năm học 2009-2010
5.Cho hai số a,b thỏa mãn điều kiện a - 2b + 2 = 0
Chứng minh rằng :

22 22
61034 1014746ab a b ab a b+−− + + +− − + ≥
6.Cho bốn số a,b,c,d thỏa mãn điều kiện:a + 2b = 9;c + 2d = 4
Cmr:
22 222 2 2 2
12 8 52 2 2 4 8 20 4 5ab ab abcd acbd cd cd+− −+ + +++ − − + +−+ + ≥

7.Cho bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn :
22
6; 1cd a b+= + =
Cmr:
22
221862c d ac bd+− − ≥−
8.Cho a,b,c,d là bốn số thỏa mãn điều kiện :
() ( )
22 2 2
2; 4 1ab abcd cd+= + + = +−
Cmr:
()
422 2422abcd−≤+++≤+
9. .Cho a,b,c,d là bốn số thỏa mãn điều kiện :
22 2 2
5abcd+=+=
Cmr:
330
52525

2
a b c d ac bd
−− + −− + − − ≤ .Xét dấu bằng xẩy ra khi nào?
10.Cmr với mọi x,y ta đều có:
22 22
469 4212105xyx xyxy+++++−−+≥

11.Cho a,b,c,d là bốn số thực thỏa mãn
() ()
22 2 2
12 ; 3612ab abcd cd++= + + += +

Cm:
()
()()
()
66
22
21 21ac bd−≤−+− ≤ +
12.Cho x,y là hai số thực thỏa mãn :
23 2
39
0, 0
xy
xy
xy
+≥
⎧
⎪
+≤

⎨
⎪
≥≥
⎩

Cmr:
22
35
48 45
2
xy xy−≤+−−≤
13.Cho các số x,y thỏa mãn :
280
20
240
xy
xy
yx
−+ −≤
⎧
⎪
++≥
⎨
⎪
−−≥
⎩

Cm:
22
16

20
5
xy≤+≤

III. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
1Chứng minh rằng với mọi
α
ta có
22
17 os 4 os +6 os 2 os +3 2 11cc cc
αα αα
≤+ +− ≤+

2.Tìm GTNN của hàm số
22
412 23yxx xx=−++−−++
3.a)Chứng minh bất đẳng thức: sin 2 ; 0;
2
tgt t t t
π
⎡
⎞
+≥∀∈
⎟
⎢
⎣
⎠

b)Cho tam giác ABC có các góc là A,B,C .
Chứng minh :

ABC
1os 1os 1os
222
33
ABC
ccc+++
++>
( A,B,C đo bằng rađian)
4.Cho
[
]
,0;1ab∈
Chứng minh rằng
()()()
111 1
111
xba
xab
ab xa xb
+++−−−≤
++ ++ ++
với
[
]
0;1x∀∈
5.Cho hàm số
2
2
os -2x+cos
x2os+1

xc
y
xc
αα
α
=
−
với
()
0;
απ
∈
Chứng minh : 11;yx−≤ ≤ ∀
Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước
Năm học 2009-2010
6.Chứng minh sin sin sin 2
A B C tgA tgB tgC
π
+++++>.với A,B,C là ba góc
của một tam giác.
7.Chứng minh
sinx 1
222;0
2
tgx x
x
π
+
+> <<
8.Giả sử f(x) là một đa thức bậc n thỏa mãn điều kiện

()
0,
f
xx≥∀
Cmr:
() () ()
()
()
,,,
0,
n
f
xfxfx fx x++ ++ ≥∀
9.Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có
111
cot cot cot 3 3 2
sin sin sin
gA gB gC
ABC
⎛⎞
+++≤ ++
⎜⎟
⎝⎠

10.Cho tam giác ABC không tù ,thỏa mãn hệ thức:
()()
11 5
os3A+cos3B os2A+cos2B osA+cosB=
32 6
ccc−+.Chứng minh tam giác ABC đều

11.Cho
0
2
ab
π
<<<
.Chứng minh rằng :
()
a.sina-bsinb>2 cosb-cosa
12.Cho
a1
0qpq+1
≥
⎧
⎨
≤≤≤
⎩
.Chứng minh rằng
()
()
1
pq p q
apqaa
+
−≥ + −
13.Cho
π
<<0
2
x .Chứng minh rằng :

3
sinx
osx
x
c
⎛⎞
>
⎜⎟
⎝⎠

14.Cho tam giác ABC nhọn .Cmr:
()
6 sin sin sin 12 3tgA tgB tgC A B C+++ + + ≥
15.Cho a,b,c là các số không âm thỏa
222
1abc++=.
Chứng minh rằng:
22 22 22
33
2
abc
bc ca ab
++≥
++ +

16.Chứng minh trong tam giác nhọn ABC ta có
()()
21
sin sin sin
33

A B C tgA tgB tgC
π
++ + ++>
17.Cho
π
<<0
2
x .Cmr:
3
1
2sinx
2
222
x
tgx
+
+>
18Cho số nguyên lẻ 3n ≥ .Cmr: 0x∀≠ta luôn có :
23 23
1 1 1
2! 3! ! 2! 3! !
nn
xx x xx x
xx
nn
⎛⎞⎛⎞
++ + + + −+ − + − <
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

19.với giá trị nào của m thì
33
sin os ,
x
cxmx+≥∀
20.Cho x,y >0 .Chứng minh rằng :
2
3
22
41
8
4
xy
xx y
≤
⎛⎞
++
⎜⎟
⎝⎠

21.Cho
0, 0xy≠≠
là hai số thực thay đổi thỏa mãn
()
22
x
yxy x y xy+=+−
Tìm GTLN của biểu thức
33

11
A
x
y
=+

22.Cho a,b,c là các số thỏa mãn điều kiện
3
,,
4
abc≥−

Chứng minh ta có bất đẳng thức
222
9
10
111
abc
abc
++≤
+++

Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước
Năm học 2009-2010
23
.(HSG Bà Rịa12-04-05)
1/Tìm cực trị của hàm số
2
1
1

x
y
xx
+
−+

2/ Cho các số x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3
Tìm GTNN của
222
111Pxx yy zz=−++−++−+
24.Tìm GTNN của
()
222
31 1 12Px y z xyz
⎛⎞
=+++++−++
⎜⎟
⎝⎠

25. Cho ,, 0abc> và 6abc++=. Cmr:
444 333
2( )abc abc++≥ ++
26. Cho ,, 0abc> và
222
1abc++=
. Cmr:
111
()()23abc
abc
++ − ++ ≥

27Cho a,b,c>0 .Cmr :
222
9
4( )
()()()
abc
abc
bc ca ab
++≥
++
++ +

28. (Olp -2006)Cho ,, 0abc> .Cmr:
222222
() () () 6
5
() () ()
ab c bc a ca b
abc bca cab
++ +
++≤
++ ++ ++

39.(Olp nhật 1997)Cho ,, 0abc> .Cmr:
222
22 22 22
()()()3
5
() () ()

bca cab abc
bc a ca b ab c
+− +− +−
++≥
++ ++ ++

40.xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện :
4
2
xyz
xyz
++=
⎧
⎨
=
⎩
.
Tìm GTLN và NN của biểu thức
444
Px y z=++ (QG -B-2004)
41. xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện
()
3
32
x
yz xyz++ =
Tìm GTLN và GTNN của
()
444
4

x
yz
P
x
yz
++
=
++
(QG-A-2004)
42.Các số thực dương a,b,c,d thỏa mãn abcd≤≤≤và bc a d≤ .Chứng minh rằng
bcd a d ab c
abc d a bcd≥
43.Xét các số thực x,y thỏa mãn điều kiện: 313 2
x
xyy−+=+−
Tìm GTLN và GTNN của P = x + y ( QG –B-2005)
44.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn
()
cotgx sin 2 os2xfxc=+
,
()
0;x πÎ Tìm GTNN và GTLN của hàm số
()
(
)
(
)
22
sin osgx f xfc x= QG –B-2003 )
45.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn

()
cotgx sin 2 os2xfxc=+,
()
0;x πÎ
Tìm GTNN và GTLN của hàm số
() () ( ) [
]
1, 1;1gx f xf x x=-Î-
( QG –A-2003)
46.Cho x>0 và
,0;;
2
π
ab a b
æö
÷
ç
ι
÷
ç
÷
ç
èø
Cmr:
sin sin
sina sin
sin sin
x
bb
xa

xb b
+
æö æö
+
÷÷
çç
>
÷÷
çç
÷÷
çç
èø èø
+


IV-ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ LA GRĂNG

1.Chứng minh rằng nếu 0 < b < a thì
ln
ab a ab
abb
−−
<<
2.Chứng minh rằng nếu
0
2
ab
π
<<< thì
22

os os
ba ba
tgb tga
ca cb
−−
<−<

Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước
Năm học 2009-2010
3.Chứng minh
()
1
1;0;1
2
n
xx x
ne
−< ∀∈
4.Cho m > 0 còn a,b,c là 3 số bất kỳ thỏa mãn điều kiện
0
21
abc
mmm
++=
++
.Chưng minh pt
2
0ax bx c++=có ít nhất một nghiệm
thuộc khoảng
()

0;1
5.Cho pt bậc n:
1
110
0
nn
nn
ax a x ax a
−
−
++++=trong đó
110
0, , , ,
nn
aa aa
−
≠
là số thực thỏa mãn :
11
0
0
12
nn
aa a
a
nn
−
++++=
+
.Chứng minh pt đã cho có

ít nhất một nghiệm thuộc khỏang
()
0;1

6.Cho các số thực a,b,c và số nguyên n > 0 thỏa mãn
()()
526 0cn a b++ +=
Chứng minh pt : sin cos sin 0
nn
axb xcxc+++= có nghiệm thuộc khoảng 0;
2
π
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

7.Cho hàm số liên tục :
[
]
[
]
:0;1 0;1f → có đạo hàm trên khoảng
()
0;1 Thỏa mãn
() ()
00,11ff==.Chứng minh tồn tại
()
,0;1ab∈ sao cho ab≠ và
() ()
,,

1fafb=
8.Giải các pt sau :
a)
35 2.4
x
xx
+=
b)
osx osx
32 osx
cc
c−=
c)
()
()
osx osx
1osx24 3.4
cc
c++=
d) 2003 2005 4006 2
xx
x+=+
9.Xét phương trình :
22
11 1 11

14 1 2
11
xx
kx nx

+++ ++ =
−−
−−

Trong đó n là tham số nguyên dương
a)Cmr với mối số nguyên dương n ,pt nêu trên có duy nhất nghiệm lớn hơn 1
Kí hiệu nghiệm đó là
n
x

b)Cmr dãy số
{
}
n
x
có giới hạn bằng 4 khi n →+∞
(QG-A-2002)
10.Cho hàm số
()
fx và
()
,
fx đồng biến trên đoạn
[]
;ab ,với
() ()()()
,
11
,
22

f
aabfbba=- =-
Chứng minh rằng tồn tại
,,αβδ
phân biệt trong
()
;ab sao cho
() () ()
1
,,,
fffαβδ=
11.Cho
[][]
01 01:; ;f ®
thoả mãn các điều kiện
() [
]
001
,
;;fx x>"Î
và
() ()
0011,ff==

Cm:tồn tại dãy số
12
0 1
n
aa a£ < < < £ sao cho
()

1
1
,
n
i
i
fa
=
³
Õ

(n là số nguyên dương 2n ³)
12.Cho a,b,c,d là độ dài các cạnh của một tứ giác
CMR:

3
46
abc abd bcd acd ab ac ad bd cd+++ ++++
£




Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước
Năm học 2009-2010
V .DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐỂ TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1.Tính đạo hàm các hs sau tại các điểm đã chỉ ra:
a)

()

2
1 osxcos2x cosnx
khi x 0
0 khi x=0
c
fx
x
−
⎧
≠
⎪
=
⎨
⎪
⎩
tại x=0
b)

()
ln osx
khi 0
x
0 khi 0
c
x
fx
x
⎧
≠
⎪

=
⎨
⎪
=
⎩
tại x=0
2.Xác định a,b để hàm số :

()
()
2
khi 0
1 khi 0
bx
xae x
fx
ax bx x
−
⎧
+<
⎪
=
⎨
⎪
++ ≥
⎩
có đạo hàm tại x=0
3.Cho hàm số
()
p cosx +qsinx khi 0

px+q+1 khi 0
x
fx
x
≤
⎧
=
⎨
>
⎩

Chứng tỏ rằng mọi cách chọn p,q hàm số f(x) không thể có đạo hàm tại x=0

VI. ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1.Giải bpt :

32
23616234
x
xx x+++> +−
2.Xác định a để bất pt sau có nghiệm duy nhất
22
1
2
log 11 log ax 2 3.log ax 2 1 1 0
aa
xx
⎛⎞
+−+ −++≤

⎜⎟
⎝⎠

3. Xác định a để bất pt sau có nghiệm duy nhất
()
22
15
log 3 log x ax+5 1 .log ax+6 0
a
a
x
⎛⎞
+++ +≥
⎜⎟
⎝⎠

4.Tìm mọi giá trị của tham số a soa cho với mối giá trị đó pt sau có đúng 3 nghiệm
phân biệt.
()
()
2
22
1
3
3
4 log 2 3 2 log 2 2 0
xa
xx
xx xa
−−

−+
−++ −+=
5.Tìm những giá trị của a để với mỗi giá trị đó pt:
()()
22 2
3192
x
aax+=− −
có số nghiệm không nhiều hơn số nghiệm của pt
()
()
2
3
3
1
32.3 84log3 3
2
xa a
x
ax
⎛⎞
+− =− −−
⎜⎟
⎝⎠

6. Tìm những giá trị của a để pt:
()
22 42
15 2 6 1 3 2 0xmxmm−+−+=có số nghiệm không nhiều
hơn số nghiệm của pt :

()
()
2
368
31.12 2 6 3 92 0,25
xmm
axx−++=− −
7.Giải pt :
()
3
32
3log 1 2log
x
xx++ =
8.Giải hệ
5
23
4
tgx tgy y x
xy
π
−=−
⎧
⎪
⎨
+=
⎪
⎩

9.Giải bất pt

()
73
log log 2
x
x>+
Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước
Năm học 2009-2010
10.Giải pt :

22
11
1
22
xx
aa
aa
⎛⎞⎛⎞
+−
−=
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
với tham số
()
0;1a∈
11. Giải hệ:
(1)
1 1 8 (2)
tgx tgy y x
yxy

−=−
⎧
⎪
⎨
+−= − +
⎪
⎩

12
Giải pt:
2
osx=2 +
tg x
ec với ;
22
x
ππ
⎛⎞
∈−
⎜⎟
⎝⎠

13 Giải pt:
22
3(2 9 3) (4 2)(1 1) 0xx x xx+++++++=
14.Giải pt: =+ + +
3
31 log(12)
x
x

x

VII.TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PT CÓ NGHIỆM
1.Tìm m để pt sau có nghiệm :
22
11
x
xxxm++− −+=
2. Tìm tất cả các giá trị của a để pt:
2
1cosax x+= có đúng một nghiêm 0;
2
x
π
⎛⎞
∈
⎜⎟
⎝⎠

3.Cho hàm số =− + + +()()
y
xxaxb với a,b là hai số thực dương khác nhau cho trước .Cmr
với mọi
()
∈ 0;1s đều tồn tại duy nhất số thực
αα
⎛⎞
+
>=
⎜⎟

⎝⎠
1
0: ( )
2
ss
s
ab
f

(QG-A-2006)
4.Cho pt :
()
2
cos2x= m+1 cos 1
x
tgx+
a)Giải khi m = 0
b)Tìm m để pt có nghiệm trong đoạn
0;
3
π
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦

5.Tìm m để pt sau có nghiệm:
() ()
43 3341 10mx m xm−++−−+−=
6.Tìm m để tồn tại cặp số (x;y) không đồng thời bằng 0 thỏa mãn pt:
()()()

22
43 34 1 0mxm ym xy−+− +− +=

7.Tìm m để pt :
1cos8
62cos4
x
m
x
+
=
+
có nghiệm.
8.Tìm a đ pt :

2
2cos 2ax x+= đúng 2 nghiệm thuộc 0
2
;
π
é
ù
ê
ú
ê
ú
ë
û

9.Cho hàm số:

()
2
2
x
sinx+
x
fx e=-
a) Tìm GTNN của hàm số
b) Cm pt
()
3fx= có đúng hai nghiệm.
10.Chứng minh pt
()
1
1
x
x
xx
+
=+ có một nghiệm dương duy nhất
11. Cho
() ( )
32
x0;0f x ax bx c a=+ ++= ¹
có 3 nghiệm phân biêt
a)Hỏi pt:
() () ()
2
,, ,
20fxf x f x

éù
-=
êú
ëû
có bao nhiêu nghiệm
Phan Ngc Vit Gian nan khụng lựi bc
Nm hc 2009-2010
b)Chng minh rng:
()
3
32
27 2 9 2 3ca ab a b+- < -
12.Cho pt :

2
0
2
22
n

tg x tg x tg x
ổử ổử
ổử
ữữ
ỗỗ
ữ
ỗ
++ + ++ + =
ữữ
ữ

ỗỗ
ỗ
ữữ
ữ
ỗ
ỗỗ
ữữ
ốứ
ốứ ốứ
( n l tham s)
a) Cmr v i mi s nguy ờn 2n ,pt c ú mt nghim duy nht trong khong
0
4
;

ổử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
.k ớ hiờ ng ú l
n
x

b)Cm dóy s (
n
x

) cú gii hn
13.Chng minh pt
()
432
421210fx x x x x=+ - - += cú 4 nghim phõn bit
14;,
i
xi=

v hóy tớnh tng
()
2
4
2
1
21
1
i
i
i
x
S
x
=
+
=
ồ
-

VIII MT S BI TON V H PHNG TRèNH

1.Tỡm a ủeồ heọ sau coự nghieọm duy nhaỏt:
23 2
23 2
4ax
x4
yx x
yyay

= +


= +



2. Tỡm m h pt sau cú nghim

2x+ y-1
21
m
yx m

=


+=

3.Gii h
2
2
2
1
2
1
y
x
y
x
y
x

=





=




4.Chng t rng vi mi
0a
thỡ h sau cú nghim duy nht
2

2
2
2
2
2
a
xy
y
a
yx
x

=+




=+



5.Tỡm a h
sinx=a
si n
x
y
y
ya
x

+




+=


cú nghim duy nht 02,02xy

< <
6.Gii h:

++ +=


++ +=


++ +=


32
32
32
33ln( 1)
33ln( 1)
33ln( 1)
x
xxxy

y
yyyz
z
zzzx

Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước
Năm học 2009-2010
7.Giải hệ:

2
3
2
3
2
3
26log(6)
26log(6)
26log(6)
x
xyx
yy zy
zz xz
⎧
−+ −=
⎪
⎪
−+ −=
⎨
⎪
−+ −=

⎪
⎩
( QG – A- 2006)
8.Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (HSG12-2006)

23 2
12 2 2
23 2
23 3 3
23 2
111
4ax
4ax

4ax
n
xx x
xx x
xx x
⎧
=− +
⎪
=− +
⎪
⎨
⎪
⎪
=− +
⎩

6.Giải hệ:
()
()
212 21
22
14 .5 12
41ln 2 0
xy xy xy
yx yx
−−+ −+
⎧
+=+
⎪
⎨
⎪
+++ + =
⎩
( HSGQG 1999)
7.Giải hệ:
()()
()()
23
23
log 1 3 osx log sin 2
log 1 3sin log osx 2
cy
yc
+= +⎧
⎪
⎨

+= +
⎪
⎩
(THTT)
8.Gọi
()
;
x
y là nghiệm của hệ pt:
24
31
x
my m
mx y m
ì
-=-
ï
ï
í
ï
+= +
ï
î
( m là tham số)
Tìm GTLN của biểu thức
22
2Ax y x= + - , khi m thay đổi

Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước
Năm học 2009-2010

HƯỚNG DẤN GIẢI


I.Bất đẳng thức


4.

()
, 1, ,
mn
ii
na m n ma i k+−≥ ∀=
7.

()
()
1
21
2
1
12
2
*:

*:
*:

m
mn mn
n
m
mn mn
n
a
mnmn na ma
a
mncsi

a
mnnm ma na
a
−−
−−
>− + ≥
=
<− + ≥

20.
()()()
()
2
111
111
111
ab bc ca
A
ab bc ca
abc
−−−
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
=− − −=
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠

Ta có:
()()()
()()()()()()
2

111 111
22
11
44 4 2
abc cab
ab ab ab
ab
+++ + + + +
⎡⎤
+++−−
⎣⎦
−≥− = = ≥
Tương tự suy ra:
2
1111
111
8
A
abc
⎛⎞
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
≥+++
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎝⎠

Mà:
3
3

3
111 1
111 1 4
abc
abc
⎛⎞
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
+++≥+ ≥
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎝⎠
Vậy:
()
3
8A dpc m≥
26.
222 2
1111111
2
abcd
P
ab ac ad bc bd cd bcd cda abd bca
abcd
⎛⎞⎛⎞
=++++++++++
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
+++

22
1111111
*

111111
*
*
ABC
A
ab ac ad bc bd cd
ad
B
ab ac ad bc bd cd
abcd
C
bcd acd dab abc
=++
=++++++
++
=+++++
=+++

Ta cm:
100, 96, 64 260ABC P≥≥≥⇒ ≥
29.Đặt:
, 1, ,
1
i
i
i

x
X
in
x
=∀=
−
ta có
1
1
1
1
11
n
n
n
X
X
xx
XX
++ = ++ =
++

Từ đó suy ra:
()
12
1
11 1
1 .
11
1

n
n
n
nXXX
XX
n
++ =−⇒ ≤
++
−
(đpcm)
30. Đặt:
,1,
1998
i
i
x
X
in=∀=
.Ta có:
1
11
1
11
n
XX
++ =
++

Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước
Năm học 2009-2010

Từ đó suy ra:
()
1
1
n
n
XX n≥− .vậy có (đpcm)
31.Đăt:
()
1
1
1
1
1
; 1, , ;
1
n
in
in
aa
a
XinX
aaa
+
−++
== =
−++

Ta có:
11

111

111
nn
n
XXX
+
++ + =
+++
.vậy
1
11
1

n
nn
XXX
n
+
+
⎛⎞
≤
⎜⎟
⎝⎠

38.

()
()
()

()()
22
22 2 2 2 22
22
221
2
zz
Pax y z x y a x y
xz yz xy
αα α
α
α
⎛⎞⎛⎞
= ++= ++ ++− +
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
≥++−

Chọn
2
a
α
α
=−
39.

()
()
()()

2
22
222 2 2 22
16 16
1
25 2 2 25
16
221
225
zz
P x y z xy qx qy q x y xy
q
xz yz q xy
⎛⎞⎛⎞
=+++ = + + + +− + +
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎡⎤
≥++−+
⎢⎥
⎣⎦

Chọn
()
16 18
221
22525
q
qq

=−+⇔=
2
ax
5
6
M
a
P
= khi
3
3
53
a
xy
a
z
⎧
==±
⎪
⎪
⎨
⎪
=±
⎪
⎩


39.Do vai trò của a và d,bvà c trong biểu thức trên ta dự đoán điểm cực trị
sẽ đạt được tại các bộ số thỏa đk:
2222

,adcd==
.với p>0 xác định sau ta có
cộng theo vế :
()
() ()
22 22
510
55
p
Ppad bc
p
+
≤+ + + +
Chọn p thỏa :
12 1 5
1
2
p
pp
p
++
+= ↔=

Vậy
()
ax
53 5
2
m
P

+
=

43.Ứng dung đk có nghiệm của hpt đx


II PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC


1.Gọi
()( )
;, ;MabNcdTừ gt suy ra M,N nằm trên đường tròn
22
4xy+= và đường
thẳng
Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước
Năm học 2009-2010
4xy+=.Dễ thấy
()()()
22
2
22020ac bd cd a c b d MN−++=−+−−= −
Mà
2
12 8 2MN ≥− nên
()
2882442ac bd cd ac bd cd−++≥−−⇔++≤+
Vậy
axP=4+4 2m khi 2; 2ab cd== ==
2.và 3 tương tự

4.Gọi
()() ( )
;, ,, ;NabQcd Mxy
Từ gt suy ra N,Q,M lần lượt thuộc các đường tròn
()()() ()()()
22 22
12
:4 51, :2 31Cx y C x y−+−= −+−= và đường thẳng
()
Δ :32130xy−−=
Khi đó
PMQMN=+
Gọi
1
,IRvà
2
,JR lần lượt là tâm và bán kính của
()()
12
,CC

Lấy
()
;Kuvđối xứng với I qua
()
Δ thì
118 21
;
13 13
K

⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

()() ()
()
12
2131
PMQMN MJJQ MIIN MJMK RR
=+≥ −+−=+−+
=−

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
11 1
,,MMQQNN≡≡≡.Trong đó
11
,MQlà giao
Của JK với
()
Δ và
()
2
C còn
()
11 1
NMIC=∩
Vậy
()
min 2 3 1P =−
III ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CM BĐT

3.Từ câu a) ta có
1ost ost
cot
2t sin
cc
gt
t
+
>=
.và vì cot cot 3 3
22 2
ABC
g cogt g++ ≥nên có đpcm
4.Hàm số
() ()()()
111
111
xba
fx x a b
ab x a xb
=+++−−−
++ ++ ++
với
[
]
0;1x ∈

có đạo hàm cấp hai không âm nên đạo hàm cấp một có nhiều nhất 1 nghiệm
1
TH :

()
,
0fx= VN Thì
() () ()
{
}
ax f 0 ; 1 1fx M f≤≤
2
TH :
()
,
0fx= có nghiệm duy nhất
x
α
= thì vì
()
,
fxđồng biến nên
α
là điểm
cực tiểu vì vậy
[]
() () ()
{
}
0;1
ax 0 ; 1 1
ax
fx m f f
m

=≤(đpcm)
8.Đặt
() () ()
()
()
,

n
Fx fx f x f x=+ ++ thì
() () ()
()
() () ()
,,,

n
F
xfxfx f xFxfx=+++ =−
(1)
vì f là đa thức bậc n nên
()
()
1
0
n
fx
+
= .Từ gt bài toán suy ra f là đa thức bậc chẵn
có hệ số cao nhất dương do đó F đạt GTNN.Giả sử F đạt GTNN tại
0
x

Thì
()
,
0
0Fx =
vậy từ (1) suy ra
() () () ()
,
0000
0Fx Fx fx fx=+=≥
(đpcm)
12.
()
()
()
()
1p+q 10
pq p q pq p q
aaaapqaa
++
−≥ − ↔ − + − −≥
Hàm số:
() ( )
()
1
pq p q
fx x p q x x
+
=−+ −− đồng biến trên
[

)
1; +∞
Và có
()
10f = nên từ
1a ≥
ta có (đpcm)
Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước
Năm học 2009-2010
13.Cô lập x và xét dấu đạo hàm của
()
23
si n .fx xtgxx=−
Chú ý:
()()
22
22
11
2sin 2sinx+tgx 3
33
x
tg x x+≥ >
*Cũng có thể xét đến đạo hàm cấp 3 để khư x
15.Từ dự đoán điểm rơi dẫn đến xét hàm số có điểm cực trị
1
3
x
= là
()
32

1yxx x x=− = −
23.
2
1
1
x
y
xx
+
=
−+
đạt cực đại duy nhất bằng 2 tại x=1
nên
222
111Pxx yy zz=−++−++−+ nhỏ nhất bằng 3
*có thể dùng bunhia hoặc hàm lồi

40.
()( )
()( )( )()
()
()
2
444 222 222222
2
22
2
2
2
222

162216
Px y z x y z xy yz zx
x
y z xy yz zx xy yz zx xyz x y z
tt
=++= ++ − + +
⎡⎤⎡ ⎤
=++− ++ − ++ − ++
⎢⎥⎢ ⎥
⎣⎦⎣ ⎦
=− − −

với t=xy + yz +zx
() ()
2
4txyz yzx x
x
=++=−+

Vì
2
424
35;2
22 2
yz x x
yz x
x
+− −
⎛⎞
⎡

⎤
≤=⇔≤ ⇔∈−
⎜⎟
⎣
⎦
⎝⎠
do (0<x<4)
Từ đó tìm được min và max của P
41.Tương tự40
42. Lấy ln hai vế ta có
()( )()( )
ln ln ln lndb c a ca d b−−≥−− (1)
Nếu
ac= hoặc db= thì hiển nhiên đúng
Xét
ac≠ và db≠ .Khi đó (1)
()
ln ln
ln ln ln ln
1
11
cd
ca db
ab
cd
ca db
ab
ab
−−
↔≥ ↔≥

−−
⎛⎞⎛⎞
−−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

Xét hàm số :
() ()
ln
,1,
1
x
fx x
x
=∈+∞
−
nghịch biến trên
()
1, +∞ Suy ra:
ln ln ln ln
11 1 1
cd c d
cd
ab a b
ff
cd c d
ab
ab
ab a b
⎛⎞ ⎛⎞

≥⇔ ≥ ⇔ ≥
⎜⎟ ⎜⎟
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎝⎠ ⎝⎠
−− − −
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠

44,45. Biểu diễn
sin 2 , os2xxc theo cotgx ta được
()
2
2
21
1
tt
ft
t
+-
=
+

IV ÚNG DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANG
Phan Ngc Vit Gian nan khụng lựi bc
Nm hc 2009-2010
6. xột hm s
()
22
32
2 sin 2 sin 2

sin os
223
nn
axbxc
f
xxccx
nn
++
=-+-
++

8.a)
35 24 54 43.
x
xxxxxx
+= ô - =- (1) .Gi s pt cú nghim
x
=
Xột hm s
() ( )
10,ft t t t


=+ - > cú
() ()
43ff= .Do ú tn ti
()
34;c ẻ
Sao cho
() ( )

1
1
0
01 0
1
,
fc c c





-
-
ộ
=
ộự
ờ
=ô + - =ô
ờỳ
ờ
ởỷ
=
ở

Th li thy
0x =
v 1
x
= u tha món (1)

Vy pt cú hai nghim
0x = , 1
x
=
b)
23322
t
t=cosx 3
ttt
tttđ- =ô - =-
. Gi s pt cú nghim
x
=
Xột
()
ft t t

=- thỡ
() ()
32ff= suy ra pt
()
0
,
ft= cú nghim cú
nghim
()
23;c ẻ .
() ()
()
,1, 1

0
10
1


ft t fc c


ộ
=
ờ
=-đ= -=
ờ
=
ở

c)t
11cos ,txt=-ÊÊ
Ta cú pt:
()
()
()
34
12434 10
24
.
.
t
tt
t

tftt++=ô = =
+

()
()
()
()
2
2
644
1064424
24
,,
ln .
,ln.
t
tt
t
ft ft=-=ô=+
+
.õy l pt bc hai theo 4
t

nờn cú khụng quỏ hai nghim do ú pt
()
0ft= cú khụng quỏ 3 nghim
Ta thy
1
01
2

,,tt t== =l 3 nghim ca pt
C) Xột
()
2003 2005 4006 2
xx
fx x=+- - cú o hm cp hai dng
V
() ()
010ff==.vy pt cú hai nghim l 0 v 1
9)Vit li pt di dng
()
2
11 1 1
0
2141
1

n
fx
xx
nx
=- + + + + =

-
(1)
D thy ,vi mi

*
n ẻ hm
()

n
fx liờn tc v nghch bin trờn
()
1;+Ơ
Hn na
()
n
fxđ+Ơ khi 1
x
+
đ v
()
1
2
n
fxđ- khi
x
đ+Ơ .T ú suy ra
Vi mi

*
n ẻ ,pt(1) cú duy nht nghim 1
n
x >
Vi mi

*
n ẻ ,ta cú
()
()

()
()
22 2
11 1 1
4
2
2141
21
111111 11
11
2 335 2121 2121
1
0
22 1


n
f
n
kk nn
fx
n
=-++++

-
ổử
ữ
ỗ
=-+-+-++ - ++ -
ữ

ỗ
ữ
ỗ
ốứ
-+
=- < =
+

T ú, do hm
()
n
fxtrờn
()
1;+Ơ nờn 4
n
x < vi mi

*
n ẻ
(2)
Phan Ngc Vit Gian nan khụng lựi bc
Nm hc 2009-2010
Mt khỏc hm
()
n
fx cú o hm trờn
[
]
4,
n

x nờn theo nh lớ Lagrange
Vi mi

*
n ẻ tn ti
()
4;
n
txẻ sao cho
() ( )
()
()
()
()
2
22
2
4
14 1

49
1
141
,*

nnn
n
ffx
n
ft n

x
nt
tt
-
-
== + ++ <-"ẻ
-
-


Hay
()( ) ()
11 9
4
22 1 4 9 22 1
**
n
n
nx n
nx n
-
<- " ẻ ị > - " ẻ
+- +
(3)
t (2) v (3) :
()
9
44
22 1
*

,
n
xn
n
-<<"ẻ
+
suy ra 4lim
n
x = (pcm)
III .NG DNG O HM TèM K PT Cể NGHIM
2.
()
10
2
2
2
osx-1
ax osx , ;
x
c
ca fxx

ổử
ữ
ỗ
+= = = "ẻ
ữ
ỗ
ữ
ỗ

ốứ

Tỡm min giỏ tr ca f(x) ta c a cn tỡm
3.Hm s
()()
yxxaxb=- + + + cú min giỏ tr trờn
()
0;+Ơ l
2
;
ab
ab
ổử
+
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố
ứ

Do ú ch cn cm:
1
22
ss
s
ab ab
ab

ổử
++
ữ
ỗ
ữ
ỗ
<<
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
,vi mi
()
01;sẻ
4
.
() ()
43 3341 10
3341 1
4331 1
mx m xm
xx
m
xx
-++ +-=
++ - +
=

++ - +

Chỳ ý:
22
31
1
22
xx
ổửổử
+-
ữữ
ỗỗ
ữữ
+=
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ữữ
ữữ
ỗỗ
ốứốứ
.Do ú lng giỏc húa v a v n ph
2
ttg

=
Ri kho sỏt hm s thu c theo t
5.Tng t 4
10.
() () ()()

1
1110ln ln
x
x
xx fxxxxx
+
=+ = +-+ =
Ta cú
()
11 1 11 1
10
11
,
lnfx
x xx xxx
ổử
ữ
ỗ
=+ < <
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
++
vi x>0 vy f Nb
M
()
120lnf => v
() ( ) ()

()
1
1
11 1
1
11
ln ln
lim lim
ln ln
lim
xx
x
x
fx x x
x
x
x
đ+Ơ đ+Ơ
+
đ+Ơ
ộ
ự
ổử
ữ
ỗ
ờ
ỳ
=++-+
ữ
ỗ

ữ
ỗ
ờ
ỳ
ốứ
ở
ỷ
ộự
ổử
ờỳ
ữ
ỗ
=+-+=-Ơ
ữ
ỗ
ờỳ
ữ
ỗ
ốứ
ờỳ
ởỷ

Kt hp f liờn tc trong
()
0,+Ơ suy ra pt cú nghim dng duy nht .