đề thi thử môn tóan hay
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.18 MB, 30 trang )
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 1
ĐỀ MEGABOOK SỐ 1 MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
42
2y x x
(C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
C
.
b) Tìm các giá trị của
m
để đường thẳng
ym
cắt đồ thị
C
tại 4 điểm phân biệt
, , ,E F M N
. Tính tổng
các hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị
C
tại các điểm
, , ,E F M N
.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình
1 c o s 2
2 c o s . 1 c o t
4 s in
x
xx
x
.
Câu 3 (1,0 điểm). Tìm tích phân
2
0
2 sin 3 2 c o s
sin c o s
x x x x
I d x
x x x
.
Câu 4 (1,0 điểm).
a) Tìm số phức
z
thỏa mãn đẳng thức
3 2 3zi
. Hãy tìm tập hợp điểm
M
biểu diễn cho số phức
w
,
biết
w 1 3zi
.
b) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau. Tính số phần tử của S. từ tập hợp S chọn
ngẫu nhiên một số, tính xác suất để trong 5 chữ số của nó có đúng 2 chữ số lẻ.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ
O x y z
, cho đường thẳng
4
33
:
3 1 1
y
xz
d
và mặt
phẳng
( ) : 2 2 9 0x y z
. Viết phương trình đường thẳng
nằm trong
;
qua giao điểm
A
của
d
và
và góc giữa
và
Ox
bằng
0
45
.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp
.S A BC
có đáy
A BC
là tam giác vuông tại
B
. Tam giác
SA C
cân tại
S
và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng
S B C
và đáy bằng
0
60
. Biết
2;S A a BC a
.
Tính theo
a
thể tích khối chóp
.S A BC
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
SA
và
BC
.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
O xy
, cho hình thang
A BC D
vuông tại
A
và
B
. Đường
chéo
AC
nằm trên đường thẳng
: 4 7 28 0d x y
. Đỉnh
B
thuộc đường thẳng
: 5 0xy
, đỉnh
A
có
tọa độ nguyên. Tìm tọa độ
,,A B C
biết
2 ; 5D
và
2BC A D
.
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
2
2
2 3 2
2
5 2 7 1
3 3 1
x y y
x y x x y x
xy
,xy R
.
Câu 9 (1,0 điểm). Cho các số thực
,,a b c
thỏa mãn
0 ; 1 0 ; 1 0 ; 2 1 0a b c a b c
. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức
1 1 2 1
a b c
P
a b c
.
HẾT
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.a.
- Tập xác đinh:
DR
.
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
3
' 4 4y x x
;
0
'0
1
x
y
x
.
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 2
' 0 , 1; 0 1;yx
, suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng
1; 0
và
1;
.
' 0 , ; 1 0; 1yx
, suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng
;1
và
0 ; 1
.
+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại
0 , 0
CD
xy
. Hàm số đạt cực tiểu tại
1, 1
CT
xy
.
+ Giới hạn:
lim ; lim
xx
yy
.
+ Bảng biến thiên
x
1
0
1
'y
0
0
0
y
1
0
1
- Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số cắt trục
Ox
tại điểm
2 ; 0 , 0 ; 0 , 2 ; 0
+ Đồ thị hàm số cắt trục
Oy
tại điểm
0 ; 0
.
+ Đồ thị hàm số nhận trục
Oy
làm trục đối xứng.
+ Đồ thị hàm số đi qua điểm
2 ; 8 , 2 ; 8
.
- Vẽ đồ thị:
Câu 1.b. Từ đồ thị suy ra, để đường thẳng
ym
cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt khi
10m
.
Hoành độ 4 giao điểm là nghiệm của phương trình
4 2 4 2
2 2 0x x m x x m
(*).
Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình
2
20t t m
có 2 nghiệm dương phân biệt
12
0 tt
.
Khi đó 4 nghiệm của pt (*) là
1 2 2 1 3 1 4 2
; ; ;x t x t x t x t
.
Như vậy ta có
1 4 2 3
;x x x x
. Ta có
3
' 4 4y x x
.
Suy ra tổng hệ số góc của 4 tiếp tuyến tại 4 giao điểm với đồ thị
C
là:
3 3 3 3
1 2 3 4 1 1 1 2 1 3 1 4
4 4 4 4 4 4 4 4k k k k x x x x x x x x
3 3 3 3
1 4 2 3 1 4 2 3
4 4 4 4 0x x x x x x x x
.
Nhận xét: Đây là dạng toán biện luận số giao điểm của một đường thẳng
d
với một hàm số
C
cho trước.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số dựa vào dáng điệu của đồ thị xét các trường hợp:
+
d
cắt
C
tại
1nn
điểm phân biệt.
+
d
và
C
không có điểm chung.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 3
+Kiến thức cần nhớ: Điểm
,
Q x y
là tọa độ tiếp điểm của hàm số
y f x
. Phương trình tiếp tuyến tại
Q
là
'
Q Q Q
y f x x x y
, hệ số góc tiếp tuyến là
'
Q
k f x
.
+ Tìm
m
để đường thẳng
ym
cắt
C
tại 4 điểm
, , ,E F M N
: Dựa vào dáng điệu đồ thị , đường thẳng
ym
song song với trục
Ox
nên sẽ cắt
C
tại 4 điểm phân biệt khi
10m
.
+ Tính tổng hệ số góc tiếp tuyến: Đổi biến
2
tx
ta có
d
cắt
C
tại 4 điểm phân biệt nên phương trình có
hai nghiệm dương phân biệt. Tham số các nghiệm theo
t
tính được 4 hệ số góc tiếp tuyến tại 4 hoành độ
giao điểm ( đối xứng qua trục
Oy
) , từ đó tính được tổng hệ số góc.
Lưu ý: Ngoài cách sử dụng dáng điệu đồ thị ta có thế làm như sau: Viết phương trình giao điểm
4 2 4 2
2 2 0x x m x x m
. Bài toán tương đương tìm
m
để phương trình
42
20x x m
có 4 nghiệm
phân biệt.
Đổi biến
2
0tx
, ta tìm
m
để phương trình
2
20t t m
có 2 nghiệm
21
'0
00
0
t t S
P
.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Cho hàm số
32
1 3 1y x m x x m
. Tìm tất cả các giá trị của
m
để tiếp tuyến của đồ thị tại
điểm có hoành độ bằng 1 tạo 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2.
Đáp số:
1, 3mm
.
b. Cho hàm số
3
32y x x
. Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số để tiếp tuyến của hàm số tại M cắt đồ
thị tại điểm thứ hai là N thỏa mãn
6
MN
xx
(Thi thử lần 3-THPT Thái Hòa-Nghệ An).
Đáp số:
2 ; 4 , 2 ; 0MM
.
Câu 2. Điều kiện
;x k k Z
.
Phương trình tương đương
2
2 co s co s
sin c o s 1
sin sin
xx
xx
xx
22
sin c os 2 co s sin cos sin c o s 2 co s 1 0x x x x x x x x
sin co s 0
sin co s c o s 2 0
c o s 2 0
xx
x x x
x
.
+ Với
sin c o s 0 ta n 1
4
x x x x k
.
+ Với
c o s 2 0 2
2 4 2
x x k x k
.
Phương trình có nghiệm:
;
42
x k k
Z
.
Nhận xét: Bài toán lượng giác cơ bản , ta chỉ cần sử dụng bến đổi các công thức hạ bậc , cosin của một hiệu
và phân tích nhân tử. Tuy nhiên cần hết sức lưu ý việc xem xet điều kiện xác định của phương trình để tránh
kết luận thừa nghiệm dẫn tới lời giải sai.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Công thức cosin của một tổng , hiệu :
c o s c o s c o s s in s in
c o s c o s c o s s in s in
a b a b a b
a b a b a b
-Công thức hạ bậc:
2
1 c o s 2 2 co scc
,
2
1 co s 2 2 sincc
-Công thức nghiệm cơ bản của phương trình lượng giác:
.
2
sin sin ;
2
xk
x k Z
xk
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 4
.
co s cos 2 ;x x k k Z
.
;tanx tan x k k Z
.
co t co t ;x x k k Z
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Giải phương trình
5
5 co s 2 4 s in 9
36
xx
. Đáp số:
2
3
xk
.
b. Giải phương trình
sin c o s
2 ta n 2 c o s 2 0
sin c o s
xx
xx
xx
. Đáp số:
2
xk
.
Câu 3.
22
00
2 sin 3 2 co s
3 co s
2
sin c o s sin c o s
x x x x
xx
I d x d x
x x x x x x
2
2
0
0
s in c o s '
23
s in c o s
x x x
x dx
x x x
2
0
3 ln s in c o s 3 ln ln 1 3 ln
22
x x x
.
Nhận xét: Bản chất của bài toán là tách tử của biểu thức dưới dấu tích phân theo mẫu và đạo hàm của mẫu.
Từ biểu thức dưới dấu tích phân ta khó có thể sử dụng một trong hai phương pháp đổi biến số hoặc tích phân
từng phần.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Ta có
. g ' 'f x g x x g x
d x f x d x dx
g x g x
.
Tổng quát :
' . 'f x g x h x g x h x g x
d x f x d x d x
g x g x
.
-Với các nguyên hàm cơ bản của
fx
, công thức nguyên hàm tổng quát
'
ln
u
d u u C
u
. Thay cận ta tính
được
I
.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Tính tích phân
2
3
0
s in
s in c o s
x
I d x
xx
. Đáp số:
1
2
I
.
b. Tính tích phân
1
1
ln
e
x
x
xe
I d x
x e x
. Đáp số:
1
ln
e
e
I
e
.
Câu 4.a. Ta có
22
3 2 3 3 2 9a bi i a b
(1).
1
w 1 3 1 3
3
ax
z i x y i a bi i
by
.
Thay vào (1) ta được
22
2 5 9x y M
thuộc
22
: 2 5 9C x y
.
Vậy tập hợp điểm
M
là đường
22
: 2 5 9C x y
.
Nhận xét: Đây là dạng toán toán tìm biếu diễn của số phức
w
theo số phức
z
thỏa mãn điều kiện nào đó.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Mọi số phức có dạng
;,z a bi a b R
.
-Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của 2 số đó bằng nhau.
- Từ số phức
z
: Thay
z a bi
vào phương trình
3 2 3zi
. Tìm được mối quan hệ giữa phần thực và
phần ảo.
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 5
- Đặt
w x yi
, thay lại biểu thức mối quan hệ phần thực và ảo của
z
ta tìm được tập hợp điểm biểu diễn.
-Các trường hợp biểu diễn cơ bản :
+Đưởng tròn:
22
2 2 2
; 2 2 0x a y b R x y a x b y c
.
+Hình tròn:
22
22
; 2 2 0x a y b R x y ax b y c
.
+Parapol:
2
y a x b x c
.
+Elipse:
2
2
22
1
y
x
ab
.
Bài toan kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Cho số phức
z
thỏa mãn
13
1
i
z
i
. Tìm modul của số phức
w z iz
. Đáp số:
w2
.
b. Tìm số phức
z
thỏa mãn
13iz
là số thực và
2 5 1zi
. Đáp số:
7 2 1
2 6 ;
55
z i z i
.
Câu 4.b. Gọi
A
là biến cố số được chọn là số có 5 chữ số khác nhau và trong 5 chữ số của nó có đúng 2 số
lẻ. Ta tìm số phần tử của
A
như sau: Gọi
y m n pq r A
, ta có:
+ Trường hợp 1: Trong 5 chữ số của số được chọn có mặt số 0:
Lấy thêm 2 số lẻ và 2 số chẵn có
22
54
.CC
cách;
Xếp 5 số được chọn vào các vị trí
, , , ,m n p q r
có 4.4! cách.
Suy ra trường hợp 1 có
22
54
.4 .4 ! 5 76 0CC
.
+ Trường hợp 2: Trong 5 chữ số của số được chọn không có mặt số 0:
Lấy thêm 2 số lẻ và 3 số chẵn có
23
54
.CC
cách;
Xếp 5 số được chọn vào các vị trí
, , , ,m n p q r
có 5! cách.
Suy ra trường hợp 2 có
23
54
.5 ! 4 8 0 0CC
.
Vậy
57 60 4 80 0 10 560A
. Do đó
1 0 560 2 20
2 7 216 5 6 7
PA
.
Nhận xét: Bài toán xác suất cơ bản , ta chỉ cần áp dụng công thức tính xác suất với biến cố theo dữ kiện
trong giả thiết.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Công thức tính xác suất của một biến cố
A
:
A
PA
( trong đó
A
là số trường hợp thuận lợi cho
A
,
là tổng số kết quả có thể xảy ra ).
- Ta tính tổng số kết quả có thể xảy ra.
- Gọi
A
là biến cố số được chọn là số có 5 chữa số khác nhau và trong 5 chữa số của nó có đúng 2 số lẻ.
- Tính số phần tử của A bằng cách gọi
y m n pq r A
. Ta chia các trường hợp sau:
+Trong 5 chữ số của số được chọn có mặt số 0.
+Trong 5 chữ số của số được chọn không có mặt chữ số 0.
- Áp dụng công thức tính xác suất ta được
PA
.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thế lập được bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số đôi một khác nhau và luôn có
mặt chữ số 2. Đáp số: 204.
b. Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Hỏi phải rút ít nhất bao nhiêu thẻ để xác suất có ít
nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 phải lớn hơn
5
6
.(Thi thử THPT chuyên Vĩnh Phúc khối D 2012-
2013). Đáp số: Rút ít nhất 6 thẻ.
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 6
Câu 5. Gọi
A
là giao điểm của
d
và
, suy ra
–3; 2 ; 1A
. Gọi
;;u a b c
là một vectơ chỉ phương của
.
Ta có một vectơ pháp tuyến của
là
2 ; –2; 1n
.
Ta có
. 0 2 2 0 2 2u n a b c c a b
.
2
22
2 2 2
22
c o s , 2 2 2
22
a
O x a a b a b
a b c
2 2 2 2 2
2 5 8 5 3 8 5 0
5
3
ab
a a ab b a a b b
b
a
.
+ Với
ab
, chọn
3
1 0 : 2
1
xt
a b c y t
z
.
+ Với
5
3
b
a
, chọn
2
31
3 ; 5 4 :
5 3 4
y
xz
b a c
.
Nhận xét: Hướng giải cho bài toán: Để viết phương trình đường thẳng
ta tìm một điểm thuộc
và một
vector chỉ phương của
.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
- Tìm tọa độ giao điểm
Ad
: Tham số hóa
Ad
, thay vào mặt phẳng
ta tính được
A
.
- Viết phương trình đường thẳng
: Tham số hóa
;;u a b c
là một vector chỉ phương của
. Do
.0un
(Với
n
là một vector pháp tuyến của
). Ta tìn được mối quan hệ giữa
,,a b c
. Chọn
vector chỉ phương viết được
.
- Lại có công thức tính góc giữa hau đường thẳng
'
'
.
; ' : co s , '
.
dd
dd
uu
d d d d
uu
0
2
; 4 5 c o s ;
2
O x O x
.
- Một đường thẳng có vố số vector chỉ phương nên lần lượt chọn giá trị
,ab
cho các trường hợp tương ứng.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Trong hệ trục tọa độ
O x y z
, cho điểm
1; 2 ; 1A
, đường thẳng
22
:
1 3 2
y
xz
d
và mặt phẳng
: 2 1 0x y z
. Viết phương trình đường thẳng đi qua
A
cắt
d
và song song với mặt phẳng
.
Đáp số:
2
11
2 9 5
y
xz
.
b. Trong hệ trục tọa độ
O x y z
, cho điểm
0 ; 1; 3A
và đường thẳng
1
: 2 2
3
xs
d y t
z
. Hãy tìm các điểm
,BC
thuộc đường thẳng
d
sao cho tam giác
A BC
đều.
Đáp số:
6 3 8 2 3 6 3 8 2 3
; ; 3 , ; ; 3
5 5 5 5
6 3 8 2 3 6 3 8 2 3
; ; 3 , ; ; 3
5 5 5 5
BC
BC
.
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 7
Câu 6. Gọi
H
là trung điểm
AC
, suy ra
S H A B C
.
Kẻ
H I BC SI B C
.
Góc giữa
S B C
và đáy là
0
60S IH
.
2 2 0
1 5 3 5
. s in 6 0
24
aa
S I S C IC S H S I
1 1 5 1 5
2
2 4 2
aa
H I S I A B H I
.
3
1 1 5 3
. . .
3 2 1 6
a
V A B B C S H
(đvtt).
Kẻ
Ax
song song với
BC
,
HI
cắt
Ax
tại
K
. Kẻ
IM
vuông góc với
SK
.
Ta có
A K S IK A K IM IM S A K
.
Tam giác
SIK
đều, suy ra
35
4
a
IM S H
.
Nhận xét: Đây là toán có sử dụng hình học không gian tổng hợp lớp 11,
yếu tố vuông góc của hai mặt phẳng , góc giữa hai mặt phẳng.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Công thức tính thể tích khối chóp
1
.h
3
VB
.
-Dựng góc giữa hai mặt phẳng
,S BC A BC
: Goi
H
là trung điểm của
AC
. Do mặt phẳng
S A C ABC
nên
S H A B C
.
0
, 60S B C A B C S IH
.
- Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp
.
1 1 1
. . . .
3 3 2
S A B C
V B h V A B B C S H
.
- Tính khoảng cách
,d SA B C
: Lí thuyết tính bằng cách khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này
tới một mặt phẳng chứa đường thẳng còn lại.
Kẻ
//A x B C
, kẻ
IM S K A K SIK IM SA K
. Suy ra
,d SA B C IM SH
.
Lưu ý: Có thể sử dụng tỉ lệ khoảng cách.
Bài toán kết thúc
Bài tập tương tự:
a. Cho hình chóp tam giác đều
.S A BC
có cạnh đáy bằng
a
, góc giữa mặt bân và đáy bằng
0
60
. Gọi
M
là trung điểm của
SC
. Tính thể tích khối chóp
.S A BC
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
AM
và
SB
. Đáp số:
3
3
24
Va
(đvtt) và
2
,
4
a
d A M S B
.
b. Cho hình chóp
.S A BC
có
3SA a
,
SA
tạo với đáy
A B C
một góc bằng
0
60
. Tam giác
A BC
vuông tại
B
,
0
30A C B
.
G
là trọng tâm tam giác
A BC
, hai mặt phẳng
,S G B S G C
cùng vuông
góc với mặt phẳng
A B C
. Tính thể tích khối chóp
.S A BC
.
Đáp số:
3
243
112
a
V
(đvtt).
Câu 7. Do
B
, suy ra
;5B b b
.
Ta có
;
2
;
d B A C
B E B C
D E A D
d D A C
.
2 2 2 2
93
4 7 ( 5 ) 2 8 4 .2 7 .5 2 8
1 1 6 3 3 0
2 1 1 6 3 3 0
11
1 1 6 3 3 0
4 7 4 7
3
bb
b
b
b
b
b
.
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 8
B
và
D
ở khác phía đối với đường thẳng
AC
nên
4 7 28 4 7 28 0 30 11 63 0
B B D D
x y x y b
.
Do đó ta được
3b
, suy ra
3; – 2B
.
Ta có
2 8 4 4 7
( ) ; 2 ;
77
aa
A D A a D A a
và
4 4 2
3;
7
a
B A a
.
Do đó
2
0 0 ; 4
4 7 4 42
. 0 2 3 0 6 5 3 85 0
77
49
l
13
aA
aa
D A B A a a a a
a
.
Ta có
3 2 2 0
2 7 ; 0
2 2 5 4
C
C
x
B C A D C
y
.
Vậy
4 ; 0 , 3; – 2AB
và
7 ; 0C
là điểm cần tìm.
Nhận xét: Để giải bài toán ta sử dụng kiến thức tham số hóa điểm thuộc đường thẳng cho trước, sử dụng
khoảng cách-tỉ lệ khoảng cách tìm tọa độ các đỉnh
,,A B C
.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Phương pháp tham số hóa điểm theo đường thẳng cho trước: Điểm
: 0 ;
m x p
P d m x n y p P
n
.
-Khoảng cách từ điểm
;
MM
M x y
tới phương trình đường thẳng
:0m x n y p
được xác định theo
công thức
22
;
MM
m x n y p
dM
mn
.
-Tính chất vector:
; , ;u x y v z t
với
x k z
u k v
y kt
.
Áp dụng cho bài toán:
- Tham số hóa tọa độ điểm
B
. Do
;
2
;
d B A C
B E B C
D E A D
d D A C
(
E A C BD
), ta có điểm
B
.
-Để loại nghiệm sử dụng tính chất:
4 7 2 8 4 7 28 0
B B D D
x y x y
B
.
-Tương tự
,A d D A BA
. Mặt khác ,
.0D A B A A
.
- Tính tọa độ điểm
C
:
2BC A D C
.
Bài tập tương tự:
a. Trong mặt phẳng
O xy
, cho tam giác
A BC
cân tại
A
, trực tâm
3; 2H
. Gọi
,DE
lần lượt là chân
đường cao kẻ từ
,BC
. Biết điểm
A
thuộc đường thẳng
: 3 3 0d x y
, điểm
2 ; 3F
thuộc đường
thẳng
DE
và
2HD
. Tìm tọa độ đỉnh
A
.
Đáp số:
3; 0A
.
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 9
b. Trong mặt phẳng
O xy
, cho tam giác
A BC
có
1; 3 , 5 ; 1AB
. Điểm
M
thuộc đường thẳng
BC
sao cho
2M C B B
. Tìm tọa độ đỉnh
C
biết
5M A A C
và đường thẳng
BC
có hệ số góc nguyên.
Đáp số:
4 ; 1C
.
Câu 8. Phương trình thứ hai tương đương
2
2 3 2
2
3 2 3 3 2
x y y
x y y
.
Đặt
2
23
2
u x y
vy
, ta được
33
uv
uv
.
Xét
3
t
f t t
; ta có
' 3 ln 3 1 0 ;
t
f t t R
, suy ra
ft
đồng biến trên .
Nhận thấy
f u f v u v
là nghiệm duy nhất cua phương trình.
22
2 3 2 1u v x y y y x
.
Thay
2
1yx
vào phương trình thứ nhất, ta được
2 2 2
1 5 2 7 1 1x x x x x x
2 3 2 2
2 5 1 7 1 2 1 3 ( 1) 7 1 1x x x x x x x x x
.
Đặt
2
1 ; 0
1 ; 0
a x a
b x x b
.
Phương trình trở thành
22
3
2 3 7
2
ba
b a ab
ab
.
+ Với
22
4 6 2 3 8 6
3 1 9 1 8 1 0 0
4 6 2 3 8 6
xy
b a x x x x x
xy
.
+ Với
22
2 1 4 1 4 3 5 0 v na b x x x x x
.
Hệ phương trình có nghiệm:
; 4 6 ; 2 3 8 6 , 4 6 ; 2 3 8 6xy
.
Nhận xét: Bài toán sử dụng phương pháp hàm đặc trưng kết hợp phương pháp hệ số bất định.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Hàm số
fx
đồng biến(nghịch biến) trên
D f u f v u v
.
-Hàm số
fx
đồng biến(nghịch biến) trên
0D f x
có nhiều nhất 1 nghiệm.
-Hàm số
fx
đồng biến trên
D
,
gx
nghịch biến trên
D f x g x
có nghiệm duy nhất.
Ý tưởng: Từ phương trình thứ nhất tách hoặc bình phương sẽ ra phương trình khó bậc cao, khó tìm mối quan
hệ giữa
,xy
.
- Nhận thấy phương trình thứ 2 của hệ có sự tương đồng
2
23
2
3 , 2 3
xy
xy
với
2
3 , 2
y
y
có cùng dạng
3,
m
m
.
- Phương trình thứ hai của hệ biến đổi thành:
33
uv
uv
trong đó
2
23
2
u x y
vy
.
- Xét hàm số
3
t
f t t
đồng biến trên
R f u f v u v
. Thay lại phương trình thứ nhất , sử
dụng hai ẩn phụ
2
1
,0
1
ax
ab
b x x
thu được phương trình đẳng cấp bậc 2.
Lần lượt giải 2 phương trình vô tỉ cơ bản ứng với 2 trường hợp kiểm tra điều kiện ta thu được nghiệm của
hệ.
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 10
Lưu ý: Từ phương trình
22
2 1 3 1 7 1 1x x x x x x
, ta có thể chia 2 vế cho
2
1xx
giải
phương trình ẩn
2
1
1
x
z
xx
.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Giải phương trình
23
2 2 5 1xx
. Đáp số:
5 3 7
2
x
.
b. Giải phương trình
6
2
3
7 2 1 2x x x
. Đáp số:
7 , 1xx
.
Câu 9.
1 1 1 1 5 1 1 1
11
1 1 2 1 1 1 2 4 2 2 1 1 4 2
a b c
P
a b c a b c a b c
5 4 1 5 4 1
2 2 4 2 2 2 4 2
P
a b c c c
Xét hàm số
41
2 4 2
fc
cc
trên khoảng
1
;2
2
.
Ta có
2
2 2 2 2
4 1 5 2 0
44
' ; ' 0 0
2 4 2 2 4 2
cc
f c f c c
c c c c
.
c
1
2
0
2
'fc
0 +
fc
5
2
Vậy
55
0
22
P
.
Dấu “=” xảy ra khi
0abc
.
Kết luận:
0M axP
.
Nhận xét: Bài toán thuộc lớp cực trị của hàm nhiều biến sử dụng phương pháp hàm số đặc trưng để tìm giá
trị lớn nhất.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
- Ta thấy
,ab
đối xứng qua biểu thức
1
t
t
, dự đoán điểm rơi
ab
.
- Tách biểu thức
P
, ta được
5 1 1 1
2 1 1 4 2
P
a b c
. Sử dụng bất đẳng thức cơ bản
2
2
2
xy
y
x
m n m n
suy ra
5 4 1
2 2 4 2
P
cc
. Tới đây hàm số đã rõ.
- Khảo sát hàm số
41
2 4 2
fc
cc
với
1
;2
2
c
-Lập bảng biến thiên của hàm số
fc
trên
1
;2
2
thu được
m in f c
.
Bài tập tương tự:
a. Cho
,,a b c
là 3 số dương thỏa mãn điều kiện
1abc
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3 3
1 1 1 1 1 1
a b c
P
b c c a a b
. Đáp số:
3
4
M in P
.
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 11
b. Cho
, , : 1a b c ab bc ca
. Chứng minh rằng
2 2 2
3
2
1 1 1
a b c
a b c
.
a. giác trong góc
A
có phương trình
20xy
, đường cao kẻ từ
B
là
4 3 1 0xy
. Tìm tạo độ
đỉnh
C
.
Đáp số:
1 0 3
;
34
C
.
b. Trong hệ trục tọa độ
O xy
, cho tam giác
A BC
có đỉnh
5; 2A
. Phương trình trung trực cạnh
BC
,
trung tuyến
’CC
lần lượt có phương trình
6 0 , 2 3 0x y x y
. Tìm tọa độ hai điểm
,BC
.
c. Đáp số:
1 9 4 1 4 3 7
; , ;
3 3 3 3
BC
.
Câu 8. Điều kiện
1
2
x
.
Đặt
1
;0
2
1
;0
4
u x u
x
vv
.
Phương trình trở thành
22
2
2
22
0
0
22
2
0
uv
uv
u v u v
u v u v
uv
2
2
1
1
11
0 7 2 1 0
1 2 1
24
1 4 9 0
2 1 6
x
x
x
v u x x
xx
xx
x
.
Phương trình có nghiệm:
7 2 1 0x
.
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 1
ĐỀ MEGABOOK SỐ 2 MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
21
1
x
y
x
(C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
b) Tìm hệ số góc
k
của đường thẳng d đi qua điểm
1; 2M
, sao cho
d
cắt
C
tại hai điểm phân biệt
,AB
. Gọi
,
AB
kk
là hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị
C
tại
A
và
B
. Tìm các giá trị của
k
để
1
A
B
k
k
đạt
giá trị nhỏ nhất.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình
1 sin 2 s in 2 6 c o s 2 s in 3
2
2 c o s 1
x x x x
x
.
Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân
2
1
0
21
ln 1
1
x
I x d x
x
.
Câu 4 (1,0 điểm).
a) Tìm tất cả các số phức
z
thỏa mãn
2 3 1z z i
và
12z i z i
là số thực.
b) Trong một hộp gồm có 8 viên bi xanh và 6 viên bi trắng, chọn ngẫu nhiên 5 viên bi. Tính xác suất để 5
viên bi được chọn có cả bi xanh và bi trắng.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ
O x y z
, cho mặt phẳng
( ) : 2 2 7 0x y z
và đường
thẳng
1
22
:
1 2 2
y
xz
d
. Viết phương trình mặt phẳng
chứa
d
và tạo với
một góc
sao cho
4
c o s
9
.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp
.S A BC
có đáy là tam giác
A BC
vuông tại
A
,
,2A B a B C a
, góc giữa
hai mặt phẳng
S A C
và mặt phẳng đáy bằng
0
60
, tam giác
S A B
cân tại
S
thuộc mặt phẳng vuông góc với
mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp
.S A BC
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
SC
.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
O xy
, cho tam giác
A BC
nhọn nội tiếp đường tròn
C
có
phương trình
22
25xy
,
AC
đi qua
2 ; 1K
, hai đường cao
BM
và
CN
. Tìm tọa độ các đỉnh
,,A B C
biết
A
có hoành độ âm và đường thẳng
MN
có phương trình
4 3 1 0 0xy
.
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
2
1
11
21
2 4 8
x
x
xx
.
Câu 9 (1,0 điểm). Cho
,xy
là các số thực dương thỏa mãn
2xy
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
3
34
2 7 10
98
y
x
P
yx
.
HẾT
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.a.
- Tập xác định:
/1DR
.
- Sự biến thiên:
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 2
+ Chiều biến thiên:
2
1
'
1
y
x
.
' 0 , ; 1 1;yx
, suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng
;1
và
1;
.
+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.
+ Giới hạn:
lim 2; lim 2
xx
yy
đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là
2y
.
11
lim ; lim
xx
yy
đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là
1x
.
+ Bảng biến thiên
x
1
'y
y
2
2
- Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số cắt trục
Ox
tại điểm
1
;0
2
.
+ Đồ thị hàm số cắt trục
Oy
tại điểm
0 ; 1
.
+ Đồ thị hàm số giao điểm
1; 2I
của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
+ Đồ thị hàm số đi qua các điểm
3 1 3
2 ; 3 , ; 4 , ; 0 , 1;
2 2 2
.
- Vẽ đồ thị:
Câu 1.b. Phương trình đường thẳng
d
là
12y k x
.
Để
d
cắt
C
tại 2 điểm phân biệt khi phương trình
21
2
1
x
kx k
x
có 2 nghiệm phân biệt
Tức phương trình
2
2 1 0kx kx k
có 2 nghiệm khác
1
.
2
0 , 2 1 0
0
' 1 0
k k k k
k
k k k
.
Ta có
2
1
'
1
y
x
. Suy ra
22
11
;
11
AB
AB
kk
xx
trong đó
,
AB
xx
là nghiệm của phương trình
2
2 1 0kx kx k
.
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 3
Nên
2
2
11
1
1
AB
B
A
kx
k
x
và
,
AB
xx
thỏa mãn
2
11kx
.
Suy ra
1 1 1
22
AB
k k k k k
k k k
, đẳng thức xảy ra khi
1k
.
Vậy
1
A
B
k
k
đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi
1k
.
Nhận xét: Phương trình đường thẳng đi qua một điểm nào đó và cắt đồ thị hàm số cho trước tại
n
điểm thỏa
mãn tính chất của tiếp tuyến tại các hoàng độ giao điểm. Ta lập phương trình đường thẳng rồi tìm giao điểm
của nó với hàm số , sau đó biện luận các yêu cầu của bài toán.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Phương trình đường thẳng đi qua điểm
,
Q x y
hệ số góc
k
có phương trình:
y k x x y
.
-Bất đẳng thức
A M G M
:
, 0 2a b a b a b
. Dấu bằng xảy ra
ab
.
Áp dụng cho bài toán:
- Phương trình đường thẳng đi qua M hệ số góc
k
là
12y k x
.
- Lập phương trình hoành độ giao điểm.
d
cắt
C
tại hai điểm phân biệt
2
, 2 1 0A B f x kx kx k
có hai nghiệm phân biệt
1x
.
- Hệ số góc tiếp tuyến tại
,AB
lần lượt là
,
AB
kk
(
,
AB
xx
là nghiệm của phương trình
0fx
). Khi đó tìm
được
1
A
B
k
k
với
1
1 1 2
AB
k x k k k
k
( theo
A M G M
).
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Cho hàm số
21
1
x
y
x
. Lập phương trình tiếp tuyến của độ thị biết tiếp tuyến cắt các trục tọa độ
,O x O y
lần lượt tại A,B thỏa mãn
4
OA
OB
. Đáp số:
1 5 1 1 3
;
4 4 4 4
y x y x
.
b. Cho hàm số
2
2
x
y
x
. Viết phương trìn tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến tạo hai trục tọa độ một
tam giác có diện tích bằng
1
18
. Đáp số:
91
42
yx
.
Câu 2. Điều kiện
2
2;
3
x k k
.
Phương trình tương đương
1 sin 4 s in c o s 6 c o s 2 sin 3
2
2 c o s 1
x x x x x
x
2
s in 1
1 si n 2 s in 3 2 c o s 1
2 1 s in 2 sin 3 2 2 s in s in 1 0
1
2 c o s 1
s in
2
x
x x x
x x x x
x
x
2
2
2
6
5
2
5
xk
xk
xk
.
Phương trình có nghiệm:
5
2 ; 2 ; 2 ;
2 6 5
x k x k x k k
Z
.
Nhận xét: Phương pháp sử dụng phân tích nhân tử, giải phương trình cơ bản. Để giải phương trình ta sử
dụng công thức cơ bản nhân đôi, đặt nhân tử chung. Lưu ý kiểm tra điều kiện để kết hợp nghiệm.
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 4
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Sử dụng công thức góc nhân đôi
s in 2 =2sin cos
.
-Nhóm nhân tử chung , thu được phương trình bậc 2 cơ bản.
-Giải phương trình bậc 2 ẩn duy nhất
sin x
tìm đươc
x
với công thức nghiệm:
+
2
sin ;
2
xk
x k Z
xk
.
+
co s c os 2 ;x x k k Z
.
-Kiểm tra điều kiện ta thu được nghiệm của phương trình.
Bài tập tương tự:
a. Giải phương trình
sin 2 c o s 2
c o t ta n
c o s s in
xx
xx
xx
. Đáp số:
2
3
xk
.
b. Giải phương trình
3
ta n 3 c o s si n . ta n
2
x x x x
. Đáp số:
7
,2
6
x k x k
.
Câu 3.
11
00
ln 1
4 ln 1
1
x
I x x d x d x
x
.
1
0
4 ln 1A x x d x
.
Đặt
2
ln 1
1
1
2
dx
du
ux
x
x
d v x d x
v
.
1
1
22
1
0
0
0
1 1 1
4 ln 1 1 4 1
2 2 2 2
xx
A x x dx x
.
1
2
11
2
00
0
ln 1 ln 1
1
ln 1 ln 1 ln 2
1 2 2
xx
B d x x d x
x
.
Vậy
2
1
1 ln 2
2
I
.
Nhận xét: Đặc điểm biểu thức dưới dấu tích phân khó có thể đổi biến số và sử dụng tích phân từng phần. Ta
tách tích phân ban đầu thành 2 tích phân nhỏ.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Công thức tính tích phân từng phần :
.'
b
b
a
a
I u v u vd u
.
-Công thức tính
1
1
b
b
n
n
a
a
x
x d x
n
.
-Nhận thấy
2
2 1 4 1 1
11
x x x
xx
, nên ta có
I A B
.
- Tính
A
: Sử dụng công thức tính tích phân từng phần với
2
ln 1
1
2
ux
x
v
.
- Tính
B
:
1
0
ln 1
1
x
B dx
x
. Nhận thấy
1
ln 1 '
1
x
x
nên ngầm đặt ẩn phụ
ln 1tx
chuyển về công
thức
'.
n
u u du
.
Bài tập tương tự:
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 5
a. Tính tích phân
1
0
2 ln
1 ln
x x x
I d x
xx
. Đáp số:
3 2 ln 2Ie
.
b. Tính tích phân
3
2
22
2 ln ln 3
1 ln
e
e
x x x x
I d x
xx
. Đáp số:
32
3 ln 2 4 2I e e
.
Câu 4.a. Giả sử số phức
z
có dạng:
;,z a bi a b
1 2 1 1 2 1 1 2z i z i a a b b a b a b i
1 1 2 0 1a b a b a b
2 2 2
2
2 3 1 2 3 4 1 1z z i a b a b
2
21
3 1 1 6 0 3 , 2 ; ,
33
a a a b a b
.
Vậy
21
3 2 ;
33
z i z i
.
Nhận xét: Bài toán yêu cầu tìm số phức
z
thỏa mãn điều kiện nào đó. Ta chỉ cần đặt số phức có dạng chung
,z a bi a b R
rồi thay vào các điều kiện để giải ra
z
.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Đặt
z a bi
,a b R
. Số phức
z
là số thực khi và chỉ khi phần ảo của nó bằng 0.
- Thay vào đẳng thức
2 3 1 1zz
. Sử dụng tính chất modul của số phức.
- Mặt khác ,
12z i z i
là số thực nên phần ảo bằng 0.
- Giải hệ cơ bản
2 2 2
2
2 3 4 1 1
1
a b a b
ab
tìm được
,ab
thu được số phức
z
cần tìm.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Tìm số phức
z
thỏa mãn
2
1 1 1z i z i
. Đáp số:
3 2 , 2 3z i z i
.
b. Tìm số phức
z
thỏa mãn
1 2 3i z z i
. Đáp số:
11
44
zi
.
Câu 4.b. Số cách chọn ra 5 viên bi từ 14 viên bi là
5
14
2002C
(cách), suy ra, không gian mẫu là
2002
.
Gọi
A
là biến cố trong 5 viên bi được chọn có cả bi xanh và bi trắng.
Ta có
1 4 2 3 3 2 4 1
8 6 8 6 8 6 8 6
1940
A
C C C C C C C C
.
Vậy
1 9 4 0 9 7 0
2 0 0 2 1 0 01
A
PA
.
Nhận xét: Bài toán tính xác suất ta chỉ cần sử dụng công thức tính xác suất cho biến cố
A
bất kì.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Công thức tính xác suất của biến cố A bất kì:
A
PA
với
A
là số trường hợp thuận lợi cho A ,
là tổng các trường hợp có thể xảy ra.
Áp dụng cho bài toán:
- Tìm số cách chọn 5 viên bi từ 14 viên cho trước.
- Gọi A là biến cố trong 5 viên bi được chọn có cả màu xanh và trắng , ta tính được
A
theo các cách
chọn.
-Sử dụng công thức tính xác suất ta thu được đáp án.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 6
a. Trong mặt phẳng
O xy
, ở góc phần thư thứ nhất ta lấy 2 điểm phân biệt, cứ thế ở các góc phần tư thứ
hai , ba , bốn lấy 3,3,5 điểm phân biệt(các điểm không nằm trên các trục tọa độ). Tính xác suất để
đường thẳng nối 2 điểm đó cắt hai trục tạo độ. Đáp số:
23
91
.
b. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ , 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên từ hộp đó. Hỏi
có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không đủ cả 3 màu. Đáp số: 645.
Câu 5.
có vectơ pháp tuyến là
1; 2 ; 2n
;
có vectơ pháp tuyến là
;;n A B C
.
d
đi qua
2 ; –1; 2A
và có vectơ chỉ phương là
1; 2 ; 2
d
a
.
+
2 2 0 2 2
d
d a n A B C A B C
.
+ Lại có
2 2 2
.
22
4 4 4
c o s
9 9 9
.
3
nn
A B C
nn
A B C
2
2 2 2 2
2
3 4 4 4 2 2 4 10 4
2
BC
B C B C B C B B C C
CB
.
+ Với
2BC
; chọn
1; 2 2C B A
: 2 – 2 2 1 1 – 2 0 2 2 – 4 0x y z x y z
.
+ Với
2CB
; chọn
1; 2 –2B C A
: –2 – 2 1 1 2 – 2 0 – 2 2 1 0x y z x y z
.
Nhận xét: Bài toán cơ bản viết phương trình mặt phẳng
: Ta tìm một điểm thuộc
và một vector pháp
tuyến của
. Sử dụng dữ kiện góc giữa hai mặt phẳng để tìm một vector pháp tuyến của
.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Một mặt phẳng có vô số vector pháp tuyến.
-Mặt phẳng
P
đi qua
;;A a b c
nhận
;;n m n p
là một vector pháp tuyến:
0m x a n y b p z c
.
-Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng
,
:
.
c o s c o s ;
.
nn
nn
với
,nn
lần lượt là vector
pháp tuyến của
,
.
Áp dụng cho bài toán:
- Tham số vector pháp tuyến của
: ; ;n A B C
,
d
đi qua điểm
A
và có vector chỉ phương là
d
a
,
.0
d
d a n
.
- Sử dụng công thức góc giữa hai mặt phẳng
;
.
44
c o s
99
nn
nn
.
- Tìm được mối quan hệ giữa
,,A B C
tương ứng viết được mặt phẳng
.
Bài tập tương tự:
a. Trong hệ trục tọa độ
O x y z
, cho điểm
1; 0 ; 1 , 2; 1; 2AB
và mặ phẳng
: 2 3 3 0Q x y z
. Lập
phương trình mặt phẳng
P
đi qua
,AB
và vuông góc với
Q
.
Đáp số:
: 2 2 0P x y z
.
b. Trong hệ trục tọa độ
O x y z
, cho đường thẳng
1
:1
2
y
d x z
và điểm
1; 2; 3A
. Viết phương
trình mặt phẳng
P
chứa đường thẳng
d
và khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng
P
bằng 3. Đáp
số:
: 2 2 1 0P x y z
.
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 7
Câu 6.
A BC
vuông tại
B
, nên đường tròn ngoại tiếp
A BC
có tâm
K
là trung điểm
AC
và bán kính
1
2
r A C
. Gọi
H
là trung điểm của
A B S H A B C
.
Kẻ
00
6 0 . ta n 60H M A C S M A C S M H S H H M
.
Ta có
.2
2
B C A H a
A B C A M H H M
AC
.
Kẻ đường thẳng
d
đi qua
K
và song song với
SH
. Khi đó tâm
O
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.S A BC
là giao điểm của đường trung trực đoạn
SH
và
d
trong mặt phẳng
S H K
và
bán kính mặt cầu ngoại tiếp là
2 2 2 2
3 3 1 4
4 4 4
a
R O C O K C K S H A C
.
Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là
3
3
4 7 1 4
3 2 4
a
VR
(đvtt).
Dựng hình chữ nhật
A BC D
, khi đó
//A B S C D
, suy ra khoảng
cách giữa
AB
và
SC
bằng khoảng cách từ
H
đến mặt phẳng
S C D
.
Gọi giao điểm của
HK
với
CD
là
E
, ta có
C D S H E
.
Kẻ
H F S E
thì
HF
là khoảng cách từ
H
đến mặt phẳng
S C D
.
Trong tam giác vuông
SH E
có
HF
là đường cao nên
2 2 2
1 1 1 10
5
a
HF
H F H S H E
.
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
SC
bằng
10
5
a
.
Nhận xét: Dạng toán liên quan tới thể tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp và góc giữa hai mặt phẳng.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
- Công thức tính thể tích khối cầu ngọa tiếp:
3
4
3
VR
.
-Dựng góc giữa hai mặt phẳng
,SA C A B C
.
- Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp:
K
là trung điểm của
AC
thì
K
chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác
A BC
.
Kẻ đường thẳng
d
đi qua điểm
K
và song song
SH
, suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp
.S A BC
là
O
giao của
đường trung trực
SH
và
d
trong mặt phẳng
S A K
.
- Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
SC
: Dựng hình chữ nhật
A BC D
,,d A B S C d H S C D
.
Dựng
,H F S E H F d H S C D
.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Cho tam giác
A BC
vuông cân, cạnh huyền
2AB a
. Trên đường thẳng
d
đi qua
A
và vuông góc
với mặt phẳng
A B C
lấy điểm
S
sao cho mặt phẳng
S B C
tạo với
A B C
một góc bằng
0
60
. Tính
diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
.S A BC
. Đáp số:
2
10Sa
.
b. Cho hình chóp
.S A BC D
có đáy
A BC D
là hình thoi cạnh
a
, hình chiếu vuông góc của
S
lên
A B C D
trùng với trung điểm
H
của
AB
. Đường trung tuyến
AM
của tam giác
A C D
có độ dài là
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 8
3
2
a
, góc giữa mặt phẳng
S C D
và
A B C D
bằng
0
30
. Tính thể tích khối chóp
.S A BC D
và diện
tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.S A BC
. Đáp số:
3
.
3
,
12
S A B C D
a
V
Diện tích mặt cầu
2
.
4
3
S A B C
Sa
.
Câu 7. Chứng minh được
M N O A
, suy ra
OA
có vectơ pháp tuyến là
: 4 03 ; 4 3OAn xy
.
Tọa độ
A
thỏa hệ
2
22
16
3 4 0
4
3
3
25
4
x
xy
x
y
xy
yx
(do
0
A
x
). Vậy
4 ; 3A
.
AC
nhận
6 ; 2AK
làm vecto chỉ phương
1
2
: 3 5 0
31
y
x
A C x y
.
Tọa độ
C
thỏa hệ
22
53
03
5 ; 0
54
25
xy
yy
C
xx
xy
.
Tọa độ
M
thỏa hệ
3 5 0 1
2 ; 2
4 3 1 0 0 2
x y x
M
x y y
.
BM
qua
M
và vuông góc
: 3 1 1 2 0 3 5 0A C B M x y x y
.
Tọa độ
B
thỏa
2 2 2
3 5 3 5
03
54
2 5 1 0 3 0 0
y x y x
xx
yy
x y x x
.
Với
0 ; 5B
thì
– 4; –2BA
và
.; 4092 0B C B A B C
, suy ra góc
B
tù.
Với
–3 ; –4B
thì
– 1; 7BA
và
.4 20 08;BC B A B C
, suy ra góc
B
nhọn.
Vậy
–4 ; 3 , –3 ; –4AB
và
5 ; 0C
.
Nhận xét: Hướng giải cho bài toán : Viết phương trình các cạnh tam giác , lấy giao phương trình các cạnh
viết được với đường tròn
C
suy ra tọa độ
,,A B C
.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Một đường thẳng có vô số vector pháp tuyến. Để viết được đường thẳng
d
ta cần tìm điểm
;M a b
, một
vector pháp tuyến
22
;0
d
n
. Dạng tổng quát
:0d x a y b
-Đường tròn tâm
O
ngoại tiếp tam giác
A BC O A O B O C
.
Áp dụng cho bài toán:
- Viết phương trình
OA
A
là nghiệm của hệ
A O A
AC
(
0
A
x
).
- Đường thẳng
AC
nhận
AK
làm một vecto chỉ phương nên viết được phương trình
AC
. Hoàn toàn tương
tự
C
là nghiệm của hệ
C A C
CC
.
- Tính tọa độ điểm
B
:
M B M A C M
.
BM
đi qua
M
và vuông góc
AC
nên có phương trình
MB
.
Tọa độ
B
là nghiệm của hệ
B M B
BC
.
Lưu ý: Để loại trường hợp ta sử dụng tích vô hướng của 2 vector
.B A B C
, nếu
.0B A B C B
tù và
.0B A B C B
nhọn.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
Trong hệ trục tọa độ
O xy
, cho tam giác
A BC
có hình chiếu vuông góc của
C
lên đường thẳng
AB
là điểm
1; 1H
. Phân
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 9
Nhận xét: Bài toán giải phương trình với phương pháp sử dụng hai ẩn phụ. Tìm mối quan hệ giữa các ẩn
phụ giải được nghiệm của phương trình.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Nhận thấy biểu thức trong căn về phải có thể viết lại được như sau
22
11
1
2 1 2 2 .
8 2 1 6
xx
xx
,
với điểm tương đồng vế trái có
1
2
1
4
x
x
. Đặt 2 ẩn phụ
1
;0
2
1
4
u x u
x
v
, ta có phương trình
22
2u v u v
uv
.
-Giải phương trình vô tỉ cơ bản dạng
2
,0f x g x
f x g x
f x g x
ta được nghiệm của phương trình đã
cho.
Lưu ý: Ta có thể sử dụng bất đẳng thức cơ bản
22
2a b a b
để đánh giá phương trình.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Giải phương trình
2 4 2
7 1 4 1x x x x
. Đáp số:
1 3 6 9
10
x
.
b. Giải phương trình
23
2 5 22 5 11 20x x x x
. Đáp số:
5 2 1 2 5 8 8 1
,
28
xx
.
Câu 9. Dự đoán dấu bằng xảy ra khi
24
;,
33
xy
. Áp dụng bất đẳng thức
–AM G M
ta có
2
3
35
3 2 3 9 1 1 0 2 1 9 2
2 3 8 2 8 2 8 9 8 8 3
y y y
x x x
P x y
y x x y
2
3
3
35
3 2 3 9 1 1 0 2 1 9 2
3 . . 2 . 2 . 2 .
2 3 8 2 8 2 8 9 8 8 3
y y y
x x x
xy
y x x y
3 3 5 2 1 9 2 3 5 3 5 13
3 ( )
2 2 3 8 8 3 8 2 4 2 4
x y x y x y
.
Vậy
13
4
M in P
.
Nhận xét: Bài toán tím giá trị nhỏ nhất của hai biến
,xy
với điều kiện cho trước
2xy
. Ta cố gắng đánh
giá biểu thức
P
theo
xy
.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
- Tách biểu thức
2
3
35
3 2 3 9 1 1 0 2 1 9 2
2 3 8 2 8 2 8 9 8 8 3
y y y
x x x
P x y
y x x y
.
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 10
- Sử dụng bất đẳng thức
A M G M
cho 3 bộ số và 2 bộ số
3
3
2
a b c a b c
a b a b
.
Ta có:
3 5 1 3
8 2 4
P x y
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi dấu bằng trong
A M G M
xảy ra.
Bài tập tương tự:
a. Cho các số thực không âm
,xy
thỏa mãn
1xy
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
22
4 3 4 3 2 5S x y y x x y
(Đề thi tuyển sinh đại học khối D-2009).
Đáp số:
2 5 1 1
,;
2 2 2
M ax S x y
.
b. Cho
,,xyz
là các số thực dương. Chứng minh rằng :
3 3 2
3 3 3 3 2 2
3 3 3 3 3 3
2
y y y
x z z x x z
y z zx x y
y x z y x z
(Chuyên Khoa Học Tự Nhiên-Hà Nội lần 3).
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 1
ĐỀ MEGABOOK SỐ 3 MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
32
3 2 3y x x m x m
(C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
C
khi
2m
.
b) Tìm
m
để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị của hàm số
C
đã cho vuông góc với đường thẳng
: – 2 0d x y
.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình
2
2
1 c o s 2
s in 2 c o s 2
2 si n 2
x
xx
x
.
Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân
3
1
0
1
3
xx
I d x
x
.
Câu 4 (1,0 điểm).
a) Tìm số phức
z
thỏa mãn phương trình
1 2 1 3 4 1 7i z i iz i i
.
b) Cho tập hợp
A
tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0. Hỏi có thể lấy được bao
số tự nhiên từ tập
A
mà số đó chỉ có mặt ba chữ số khác nhau.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ
O x y z
, cho hai đường thẳng
1
3
41
:
3 1 2
y
xz
d
;
2
d
là
giao tuyến của hai mặt phẳng
: 2 0x y z
và
: 3 12 0xy
. Mặt phẳng
O yz
cắt hai đường
thẳng
1
d
,
2
d
lần lượt tại các điểm
,AB
. Tính diện tích tam giác
M A B
, biết
1; 2 ; 3M
.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp
.S A BC D
có đáy
A BC D
là hình thoi tâm
O
, cạnh
a
,
BD a
. Trên cạnh
AB
lấy điểm
M
sao cho
2BM A M
. Biết rằng hai mặt phẳng
S A C
và
S D M
cùng vuông góc với mặt
phẳng
A B C D
và mặt bên
S A B
tạo với mặt đáy một góc
0
60
. Tính thể tích của khối chóp
.S A BC D
theo
a
và cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng
OM
và
SA
.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
O xy
, cho đường tròn
22
: 2 6 15 0S x y x y
ngoại
tiếp tam giác
A BC
có
4 ; 7A
. Tìm tọa độ các đỉnh
B
và
C
biết
4 ; 5H
là trực tâm của tam giác.
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
22
3
23
4 1 2
1 2 1 0 2 2 1
x x y y
y y x
,xy R
.
Câu 9 (1,0 điểm). Cho các số thực dương
,,xyz
bất kỳ. Chứng minh rằng
1
11
1 1 1
yy
x z x z
y z x y z x
.
HẾT
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.a. Với
2m
, hàm số trở thành
32
36y x x
.
- Tập xác định:
DR
.
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
2
' 3 6y x x
;
0
'0
2
x
y
x
.
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 2
' 0 , ; 0 2 ;yx
, suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng
;0
và
2;
.
' 0 , 0 ; 2yx
, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng
0 ; 2
.
+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại
0 ; 6
CD
xy
. Hàm số đạt cực tiểu tại
2 ; 2
CT
xy
.
+ Giới hạn:
lim ; lim
xx
yy
.
+ Bảng biến thiên
x
0
2
'y
0
0
y
6
2
- Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số cắt trục
Oy
tại điểm
0 ; 6
.
+ Đồ thị hàm số nhận điểm uốn
1; 4I
làm tâm đối xứng.
+ Đồ thị hàm số đi qua các điểm
1; 2 , 3; 6
.
- Vẽ đồ thị:
Câu 1.b. Ta có
2
' 3 6 2y x x m
.
Tiếp tuyến
tại điểm
M
thuộc
C
có hệ số góc
2
2
3 6 2 3 1 5 5k x x m x m m
Dấu đẳng thức xảy ra khi
1x
.
Suy ra
m in
5km
tại điểm
1; 4 – 4Mm
Tiếp tuyến
( 5 ).1 1 4d m m
.
Kết luận:
4m
.
Nhận xét: Dạng bài toán đường thẳng tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước. Ta tìm hệ sô
góc của tiếp tuyến và hệ số góc của đường thẳng còn lại cho thỏa mãn tính chất vuông góc.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
- Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm
,
AA
A x y
thuộc đồ thị hàm số
y f x
là
'
A
k f x
. Hai đường thẳng
có hệ số góc lần lượt là
12
,kk
vuông góc với nhau khi và chỉ khi
12
.1kk
.
-Biểu thức
2
P a b b
. Dấu bằng xảy ra
0a
.
Áp dụng cho bài toán :
- Tiếp tuyến tại
M
có hệ số góc là
2
2
' 3 6 2 3 1 5 5k y x x m x m m
. Suy ra hệ số góc tiếp
tiếp nhỏ nhất là
5km
.
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 3
- Tiếp tuyến vuông góc đường thẳng
: 2 0d x y
có hệ số góc
1
d
k
nên theo tính chất hai đường thẳng
vuông góc ta có phương trình
5 .1 1 4mm
.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Cho hàm số
32
2 1 2y x x m x m
. Tìm
m
để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất vuông góc với
đường thẳng
: 2 1d y x
. Đáp số:
11
6
m
.
b. Cho hàm số
1
21
x
y
x
. Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số biết tiếp tuyến vuông góc đường
thẳng
: 9 1 0xy
. Đáp số:
9 1; 9 7y x y x
.
Câu 2. Điều kiện
;
2
x k k
Z
.
Phương trình tương đương với
4
22
4 co s
1 c o s 2 2 co s 1
4 sin c o s
x
xx
xx
3
2
2
c o s c o s 3
5 co s 3 0 5 0
s in s in
c o s
xx
x
xx
x
(do
cos 0x
).
2 2 3
1
c o t 5 3 1 ta n 0 3 ta n 2 0 3 tan 2 ta n 1 0
ta n
x x x x x
x
2
ta n 1 3 ta n 3 ta n 1 0 ta n 1 ,
4
x x x x x k k
.
Phương trình có nghiệm:
;
4
x k k
.
Nhận xét: Để giải phương trình lượng giác ta sử dụng công thức hạ bậc , mối quan hệ
sin x
với
c o s x
,
tanx
với
cot x
, phân tích nhân tử.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Sử dụng các công thức biến đổi
2 2 2
sin 1 c o s , 1 c o s 2 2 co sx x x x
thu được phương trình:
3
3
c o s
5 c o t 3 0
sin
x
x
x
.
-Do
cos 0x
không là nghiệm của phương trình , chia 2 vế cho
2
c o s x
ta có
2
c o s 3
50
s in
c o s
x
x
x
.
-Thay
2
2
1 co s 1
1 ta n ,
sin
c o s
x
x
x tan x
x
có phương trình theo ẩn
tanx
.
- Giải phương trình theo
tan x
thu được
x
, kiểm tra điều kiện ta có đáp án.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Giải phương trình:
2
4 cos 1 sin 2 3 co s co s 2 1 2 sinx x x x x
.
Đáp số:
5 5 2
; 2 ;
3 6 1 8 3
x k x k x k
.
b. Giải phương trình:
2
1 sin 2 2 3 s in 3 2 s in c o s 0x x x x
.(Thi thử THPT Phan Đăng Lưu).
Đáp số:
7
2 ; 2 ; 2 ; 2
6 6 3
x k x k x k x k
.
Câu 3. Ta có
3
1 1 1 1
2
0 0 0 0
2 7 2 7 1 2 7 1
39
3 3 3
x x x
I dx x x d x d x d x
x x x
1
1
11
32
00
0
0
1 3 1 4 7 4 1
9 2 7 ln 3 2 7 ln
3 2 3 6 3 3
xx
x x x x d x dx
xx
.
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 4
Tính
1
0
1
3
x
A d x
x
.
Đặt
2
1 1 ; 2t x x t dx td t
. Khi
01
10
xt
xt
.
Suy ra
2 2 2
0 1 1 1 1
2 2 2
1 0 0 0 0
44
2 2 2 2 8
22
4 4 4
t t t d t
A d t dt d t d t
tt
t t t
1
1
0
0
1 1 2
2 2 2 2 ln 2 2 l n 3
2 2 2
t
dt
t t t
.
Vậy
59
2 7 ln 4 2 5 ln 3
6
I
.
Nhận xét: Từ biểu thức dưới dấu tích phân ta có thể sử dụng ngay đổi biến số
1tx
, tuy nhiên đổi biến
số ngay từ đầu sẽ dẫn tới một tích phân mới sử dụng phép chia đa thức. Để đơn giản ta sử dụng kĩ thuật phân
tích đa thức cơ sở.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
- Sử dụng phân tích tử biểu thức dưới dấu tích phân ta có:
33
1 2 7 2 7 1x x x x
chuyển tích phân
thành 3 tích phân nhỏ.
- Tính
1
2
0
39xx
sử dụng công thức
1
1
n
n
x
x d x C
n
.
- Tính
1
0
27
3
dx
x
bằng sử dụng công thức
'
ln
u
d u u C
u
.
- Tính
1
0
1
3
x
A dx
x
bằng phương pháp đổi biến số
1tx
.
Tách thành hai tích phân
11
00
28
22
dt
dt
tt
. Sử dụng khai triển dạng ln tính được
1
1
0
0
2
8 2 ln
2
22
d t t
t
tt
.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Tính tích phân
4
3
2
1
x x x x
I dx
x
. Đáp số:
19
ln 4
2
I
.
b. Tính tích phân
6
2
1
2 1 4 1
I d x
xx
. Đáp số:
31
ln
2 1 2
I
.
Câu 4.a. Phương trình tương đương với
2 1 2 3 4 4 3 1 7i i z i i z i
5 5 1 0i z i
21
2
1
12
ii
i
zi
i
Vậy phương trình có nghiệm:
1zi
.
Nhận xét: Bài toán giải số phức cơ bản với các phép biến đổi tương đương.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Số phức
2 2 2 2 2 2
a b i c di
a b i a c bd b c a d
zi
c d i
c d c d c d
.
