Một số tính chất của hàm khả vi vô hạn thông qua giá của biến đổi fourier

Mục lục
Mở đầu 5
1 CÁC KHÔNG GIAN HÀM CƠ BẢN VÀ KHÔNG GIAN HÀM
SUY RỘNG 6
1.1 Không gian các hàm giảm nhanh S (R
n
) . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S

(R
n
) . . . . . . . . . . 11
1.3 Đạo hàm của hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Giá của hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Không gian hàm suy rộng với giá compact E

(R
n
) . . . . . . . . . 15
1.6 Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7 Phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7.1 Phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm giảm
nhanh S (R
n
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7.2 Phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm tăng chậm
S

(R
n
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.7.3 Phép biến đổi Fourier trong không gian hàm suy rộng với
giá compact E

(R
n
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM KHẢ VI VÔ HẠN THÔNG
QUA GIÁ CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER 28
2.1 Dáng điệu của dãy các đạo hàm trong không gian L
p
(R) . . . . . 28
2.2 Dáng điệu của dãy các đạo hàm của hàm tuần hoàn trong không
gian L
p
(π) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Dáng điệu của dãy P - đạo hàm trong không gian L
p
(R
n
) . . . . . 34
2.4 Nghiên cứu tính chất phổ của dãy P - đạo hàm và bất đẳng thức
tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3
Kết luận 42
Tài liệu tham khảo 42
4
Mở đầu
Biến đổi Fourier là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của Toán
học nói chung và của Giải tích nói riêng. Phép biến đổi Fourier là một trong lớp
những phép biến đổi tích phân phổ biến nhất, có ứng dụng rộng rãi nhất.

Luận văn này đề cập tới nghiên cứu một số tính chất của hàm khả vi vô
hạn thông qua giá của biến đổi Fourier (gọi là phổ). Vấn đề này có ý nghĩa rất
lớn đối với ứng dụng vào giải quyết những bài toán khó khác nhau trong Giải
tích hàm, Phương trình vi phân đạo hàm riêng, Lý thuyết hàm suy rộng, Lý
thuyết nhúng, Lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết sóng nhỏ.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm
hai chương:
Chương 1: Các không gian hàm cơ bản và không gian hàm suy
rộng. Chương này trình bày những kiến thức cơ bản về không gian các hàm cơ
bản, không gian các hàm suy rộng, tích chập của hàm suy rộng, phép biến đổi
Fourier của một hàm cơ bản, của hàm suy rộng, các định lý và kết quả liên quan
đến luận văn làm cơ sở để xây dựng nội dung chương tiếp theo.
Chương 2: Một số tính chất của hàm khả vi vô hạn thông qua giá
của biến đổi Fourier. Chương này là phần chính của luận văn, trình bày tính
chất của hàm số qua hình học của phổ cho toán tử vi phân, mô tả dáng điệu
của dãy các đạo hàm, dãy các đạo hàm của hàm tuần hoàn, dãy các P - đạo hàm
hình thành từ toán tử vi phân trực tiếp thông qua giá của biến đổi Fourier, bất
đẳng thức tích chập của hai hàm nhiều biến.
5
Chương 1
CÁC KHÔNG GIAN HÀM CƠ
BẢN VÀ KHÔNG GIAN HÀM
SUY RỘNG
Trong chương này, chúng tôi trình bày những khái niệm và kết quả cơ bản
về lý thuyết hàm suy rộng và phép biến đổi Fourier (xem [1], [2], [6]). Chúng tôi
chỉ rõ những khái niệm và kết quả chính được sử dụng ở chương sau.
1.1 Không gian các hàm giảm nhanh S (R
n
)
Trước khi nghiên cứu về không gian các hàm giảm nhanh S (R

n
), chúng ta
chỉ ra một số ký hiệu được trình bày trong luận văn.
Cho N = {1, 2, . . . } là tập các số tự nhiên, Z
+
= {0, 1, 2, . . . } là tập các số
nguyên không âm, R là tập các số thực, C là tập các số phức. Đơn vị ảo
√
−1 = i.
Với mỗi số tự nhiên n ∈ N tập Z
n
+
= {α = (α
1
, , α
n
) | α
j
∈ Z
+
, j = 1, 2, , n},
R
n
là không gian Euclid n chiều x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R

n
với chuẩn Euclid
x = (
n

j=1
x
2
j
)
1/2
, tích vô hướng xξ =
n

j=1
x
j
ξ
j
.
Với mỗi k ∈ Z
+
ký hiệu các tập như sau
C
k
(R) = {u : R → C|u khả vi liên tục đến cấp k},
C
k
0
(R) = {u : R → C|u ∈ C

k
(R), suppu là tập compact},
C
∞
(R) = ∩
∞
k=1
C
k
(R), C
∞
0
(R) = ∩
∞
k=1
C
k
0
(R),
6
trong đó suppu = {x ∈ R| u(x) = 0}.
Với mỗi số thực 1 ≤ p < ∞, ký hiệu
L
p
(R
n
) = {u : R
n
→ C|u
p

=


R
n
|u (x) |
p
dx

1/p
< +∞}.
Với p = ∞, ký hiệu
L
∞
(R
n
) = {u : R
n
→ C|u
∞
= ess sup
x∈R
n
|u (x)| < +∞},
trong đó ess sup
x∈R
n
|u (x)| = inf{M > 0|m{x ∈ R
n
||u (x)| > M} = 0}.

Ký hiệu F là phép biến đổi Fourier,

f (hay Ff) là ảnh Fourier của hàm f, supp

f
là giá của ảnh Fourier (gọi là phổ) của hàm f. Các giới hạn lim
m→∞
a
m
, lim
m→∞
a
m
, lim
m→∞
a
m
tương ứng là giới hạn, giới hạn trên, giới hạn dưới của dãy hàm {a
m
}
∞
m=1
.
Bây giờ là lúc ta có thể phát biểu định nghĩa, định lý, đồng thời đưa ra các
ví dụ minh họa để làm rõ về không gian các hàm giảm nhanh S (R
n
).
Định nghĩa 1.1. Không gian S (R
n
) là tập hợp

S (R
n
) = {ϕ ∈ C
∞
(R
n
) : sup
x∈R
n


x
α
D
β
ϕ (x)


< ∞ ∀α, β ∈ Z
n
+
}.
Cho hàm ϕ ∈ S (R
n
), khi đó
lim
x→∞
x
α
D

β
ϕ (x) = 0 ∀α, β ∈ Z
n
+
.
Điều này dẫn đến hàm ϕ (x) là hàm giảm về 0 khi x → ∞ nhanh hơn bất kỳ
hàm có dạng như sau 1/P (x) , x ∈ R
n
. Vì vậy, chúng ta gọi S (R
n
) là không gian
các hàm giảm nhanh.
Ví dụ 1.1. Không gian C
∞
0
(R
n
) là không gian con của không gian các hàm giảm
nhanh S(R
n
).
Chứng minh. Xét hàm ϕ ∈ C
∞
0
(R
n
).
Khi đó, ta đặt
suppϕ = K, K là tập compact trong R
n

.
Với mọi x /∈ K, suy ra
D
β
ϕ (x) = 0 ∀β ∈ Z
n
+
.
7
Do đó
sup
x∈R
n


x
α
D
β
ϕ (x)


= sup
x∈K


x
α
D
β

ϕ (x)


< ∞ ∀α, β ∈ Z
n
+
.
Ta có điều này dẫn đến hàm ϕ ∈ S (R
n
), từ đây suy ra được C
∞
0
(R
n
) là không
gian con của không gian các hàm giảm nhanh S (R
n
). Chứng minh được hoàn
thành.
Ví dụ 1.2. Cho hàm số ϕ (x) = e
−x
2
, x ∈ R
n
. Khi đó ϕ là hàm số thuộc không
gian các hàm giảm nhanh S (R
n
).
Chứng minh. Theo giả thiết, ta có x
2

= x
2
1
+ x
2
2
+ + x
2
n
nên
e
−x
2
= e
−x
2
1
.e
−x
2
2
e
−x
2
n
, x ∈ R
n
.
Mặt khác
D

β
ϕ (x) =

D
β
1
e
−x
2
1

D
β
2
e
−x
2
2



D
β
n
e
−x
2
n

= e

−x
2
1
.e
−x
2
2
e
−x
2
n
Q (x
1
, x
2
, , x
n
)
= e
−x
2
Q (x
1
, x
2
, , x
n
) ∀β ∈ Z
n
+

, x ∈ R
n
,
trong đó Q (x
1
, x
2
, , x
n
) là hàm chứa các lũy thừa của x
1
, x
2
, , x
n
. Do đó
x
α
D
β
ϕ (x) = x
α
Q(x
1
, x
2
, , x
n
)e
−x

2
∀α, β ∈ Z
n
+
.
Ta thấy rằng
lim
t→∞
t
a
e
−|t|
2
= 0 với mọi a ∈ R.
Từ đây, suy ra
lim
x→∞
x
α
Q (x
1
, x
2
, , x
n
) e
−x
2
= 0 ∀α ∈ Z
n

+
.
Vậy nên, ta có
sup
x∈R
n


x
α
D
β
ϕ (x)


< ∞ ∀α, β ∈ Z
n
+
,
do đó dẫn đến ϕ là hàm thuộc vào không gian các hàm giảm nhanh S(R
n
).
Chứng minh được hoàn thành.
Định nghĩa 1.2. (Định nghĩa về sự hội tụ trong không gian S (R
n
))
Dãy hàm {ϕ
k
}
∞

k=1
trong không gian S (R
n
) được gọi là hội tụ đến hàm ϕ ∈ S (R
n
)
nếu
lim
k→∞
sup
x∈R
n


x
α
(D
β
ϕ
k
(x) −D
β
ϕ (x))


= 0 ∀α, β ∈ Z
n
+
.
Khi đó, ta viết S_ lim

k→∞
ϕ
k
= ϕ.
8
Chú ý 1.1. Không gian các hàm giảm nhanh S (R
n
) là không gian con của
không gian L
p
(R
n
) với 1 ≤ p ≤ ∞.
Chứng minh. Ta chọn hàm ϕ ∈ S (R
n
). Hiển nhiên hàm ϕ ∈ L
∞
(R
n
). Nên ta chỉ
cần xét 1 ≤ p < ∞. Theo định nghĩa, ta có

R
n
|ϕ (x
1
, x
2
, , x
n

)|
p
dx
1
dx
n
=

R
n
|ϕ (x
1
, x
2
, , x
n
) |
p

1 + x
2
1



1 + x
2
n

1


1 + x
2
1

(1 + x
2
n
)
dx
1
dx
n
≤ sup
x∈R
n
|ϕ (x
1
, x
2
, , x
n
) |
p

1 + x
2
1

1 + x

2
2



1 + x
2
n


R
n



1

1 + x
2
1

(1 + x
2
n
)



dx
1

dx
n
. (1.1)
Mặt khác

R
n
1

1 + x
2
1

1 + x
2
2

(1 + x
2
n
)
dx
1
dx
n
=

+∞
−∞
dx

1

1 + x
2
1


+∞
−∞
dx
2

1 + x
2
2



+∞
−∞
dx
n
(1 + x
2
n
)
= π
n
. (1.2)
Kết hợp (1.1) và (1.2), ta suy ra được


R
n



ϕ (x
1
, x
2
, , x
n
)



p
dx
1
dx
n
≤ π
n
sup
x∈R
n
|ϕ (x
1
, x
2

, , x
n
) |
p

1 + x
2
1

1 + x
2
2



1 + x
2
n

.
Do hàm ϕ ∈ S (R
n
) nên dẫn đến
sup
x∈R
n
|ϕ (x
1
, x
2

, , x
n
) |
p

1 + x
2
1

1 + x
2
2



1 + x
2
n

< ∞.
Vì thế, ta nhận được


R
n
|ϕ (x
1
, x
2
, , x

n
) |
p
dx
1
dx
n

1/p
< ∞,
điều này cho ta hàm ϕ ∈ L
p
(R
n
). Chứng minh được hoàn thành.
Chú ý 1.2. Nếu hàm a (.) ∈ C
∞
(R
n
) sao cho với mỗi α ∈ Z
n
+
có một số thực
m = m (α), và một số dương c = c (α) có |D
α
a (x)| < c(1 + x)
m
, khi đó ánh xạ
biến mỗi hàm ϕ thành hàm aϕ là ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian các
hàm giảm nhanh S(R

n
) vào chính nó.
9
Định lý 1.1. Không gian các hàm giảm nhanh S (R
n
) là không gian đầy đủ.
Chứng minh. Lấy dãy hàm {ϕ
m
}
∞
m=1
là một dãy Cauchy trong không gian S (R
n
),
nghĩa là dãy hàm

x
α
D
β
ϕ
m
(x)

∞
m=1
∀α, β ∈ Z
n
+
hội tụ đều trên từng tập com-

pact trong R
n
đến một hàm ψ ∈ C
∞
(R
n
).
Thật vậy, cho α = (0, , 0) , β = (0, , 0) cho nên dãy hàm {ϕ
m
}
∞
m=1
hội tụ trong
R
n
. Khi đó, tồn tại hàm ϕ
0
∈ C
∞
(R
n
) thỏa mãn
lim
m→∞
ϕ
m
(x) = ϕ
0
(x) ,
và tồn tại hàm ψ ∈ C

∞
(R
n
) thỏa mãn
lim
m→∞
D
β
ϕ
m
(x) = ψ (x) ∀β ∈ Z
n
+
.
Với mọi β ∈ Z
n
+
do đó dãy hàm

D
β
ϕ
m
(x)

∞
m=1
liên tục trong R
n
, nên hàm ψ (x)

liên tục trong R
n
. Như vậy, ta nhận được

ϕ
m
(x) → ϕ
0
(x) trong R
n
D
β
ϕ
m
(x) → ψ (x) trong R
n
điều này dẫn đến, hàm ϕ
0
(x) khả vi cấpβ và
D
β
ϕ
0
(x) = ψ (x) ∀β ∈ Z
n
+
.
Nói cách khác là hàm ϕ
0
∈ C

∞
(R
n
) và
lim
m→∞
D
β
ϕ
m
(x) = D
β
ϕ
0
∀β ∈ Z
n
+
, trong R
n
.
Bây giờ ta cần phải chứng minh hàm ϕ
0
∈ S (R
n
), tức là phải chứng minh
sup
x∈R
n



x
α
D
β
ϕ
0
(x)


< ∞ ∀α, β ∈ Z
n
+
.
Thật vậy,
lim
m,p→∞
sup
x∈R
n


x
α
(D
β
ϕ
m
(x) −D
β
ϕ

p
(x))


= 0 ∀α, β ∈ Z
n
+
, (1.3)
ta thấy rằng
lim
p→∞
D
β
ϕ
p
(x) = D
β
ϕ
0
(x) ∀β ∈ Z
n
+
. (1.4)
Từ (1.3) và (1.4), ta nhận thấy
lim
m→∞
sup
x∈R
n



x
α
(D
β
ϕ
m
(x) −D
β
ϕ
0
(x))


= 0 ∀α, β ∈ Z
n
+
.
10
Khi đó, tồn tại m
0
thỏa mãn
sup
x∈R
n


x
α
(D

β
ϕ
m
0
(x) −D
β
ϕ
0
(x))


< 1 ∀α, β ∈ Z
n
+
. (1.5)
Rõ ràng,
sup
x∈R
n


x
α
D
β
ϕ
m
0
(x)



≤ C
αβ
m
0
∀α, β ∈ Z
n
+
. (1.6)
Kết hợp (1.5) và (1.6), ta nhận được
sup
x∈R
n


x
α
D
β
ϕ
0
(x)


≤ sup
x∈R
n


x

α
D
β
ϕ
m
0
(x)


+ sup
x∈R
n


x
α
(D
β
ϕ
m
0
(x) −D
β
ϕ
0
(x))


≤ C
αβ

m
0
+ 1 < ∞ ∀α, β ∈ Z
n
+
.
Như vậy, ta đã chỉ ra rằng hàm ϕ
0
∈ S (R
n
) . Vậy không gian các hàm giảm
nhanh S (R
n
) là không gian đầy đủ. Định lý được chứng minh.
1.2 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S

(R
n
)
Định nghĩa 1.3. Ta nói rằng f là hàm suy rộng tăng chậm nếu f là một phiếm
hàm tuyến tính liên tục trên không gian S (R
n
).
Hàm suy rộng tăng chậm f tác động lên mỗi hàm ϕ ∈ S(R
n
) được viết là

f, ϕ

.

Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S

(R
n
) là tập hợp tất cả các hàm suy
rộng tăng chậm.
Trên không gian các hàm suy rộng tăng chậm S

(R
n
) có thể xây dựng một
cấu trúc không gian vectơ trên R
n
, nghĩa là ta có thể định nghĩa các phép toán
tuyến tính như sau.
•Phép cộng : với các hàm f
1
, f
2
∈ S

(R
n
) tổng các hàm f
1
+ f
2
được xác
định như sau
(f

1
+ f
2
) : ϕ → f
1
+ f
2
, ϕ = f
1
, ϕ+ f
2
, ϕ ∀ϕ ∈ S (R
n
) .
•Phép nhân với số thực : với hàmf ∈ S

(R
n
) , λ ∈ R
n
tích λf được xác định
như sau
λf : ϕ → λf, ϕ = λf, ϕ ∀ϕ ∈ S (R
n
) .
Hơn thế, ta có thể định nghĩa phép nhân của hàm suy rộng tăng chậm f với
một đa thức P (x) như sau
P (x)f : ϕ →

f, P ϕ


∀ϕ ∈ S (R
n
) .
Khi đó P (x)f ∈ S

(R
n
) .
11
Ví dụ 1.3. Với 1 ≤ p ≤ ∞, không gian L
p
(R
n
) là không gian con của không gian
các hàm tăng chậm S

(R
n
), tức là với mỗi hàm f ∈ L
p
(R
n
) thì hàm suy rộng
f : ϕ → f, ϕ =

R
n
f (x)ϕ (x) dx ∀ϕ ∈ S (R
n

)
là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian S (R
n
).
Ví dụ 1.4. Hàm δ
a
Dirac tại a là phiếm hàm xác định như sau
δ, ϕ = ϕ (−a) ∀ϕ ∈ S (R
n
) .
Khi đó δ
a
là hàm suy rộng tăng chậm.
Chứng minh. Hiển nhiên ta thấy hàm Dirac tại a là một phiếm hàm tuyến tính,
vì với mọi α, β ∈ R thì
δ
a
, αϕ + βψ = (αϕ + βψ) (−a) = αϕ (−a) + βψ (−a)
= α δ
a
, ϕ+ β δ
a
, ψ ∀ϕ, ψ ∈ S (R
n
) .
Xét {ϕ
k
}
∞
k=1

là dãy hàm trong không gian các hàm giảm nhanh S(R
n
) hội tụ
đến hàm ϕ ∈ S(R
n
). Do đó
lim
k→∞
sup
x∈R
n
|ϕ
k
(x) −ϕ (x)| = 0 ∀ϕ ∈ S (R
n
) .
Nên
lim
k→∞
|ϕ
k
(−a) −ϕ (−a)| = 0 ∀ϕ ∈ S (R
n
) .
Theo định nghĩa hàm Dirac tại a, ta có
δ
a
, ϕ = ϕ (−a) ϕ ∈ S (R
n
) ,

δ
a
, ϕ
k
 = ϕ
k
(−a) ∀ϕ ∈ S (R
n
) , k = 1, 2,
Nên ta nhận được
lim
k→∞
δ
a
, ϕ
k
 = δ
a
, ϕ ∀ϕ ∈ S (R
n
) .
Vậy nên δ
a
là hàm suy rộng tăng chậm. Chứng minh được hoàn thành.
12
1.3 Đạo hàm của hàm suy rộng
Định nghĩa 1.4. Cho hàm suy rộng f ∈ S

(R
n

) , α = (α
1
, , α
n
) ∈ Z
n
+
. Đạo
hàm suy rộng cấp α của hàm suy rộng tăng chậm f, ký hiệu là D
α
f, là ánh xạ
từ không gian S(R
n
) vào không gian C được xác định bởi
D
α
f : ϕ → (−1)
|α|
f, D
α
ϕ ∀ϕ ∈ S (R
n
) .
Với mỗi hàm suy rộng f ∈ S

(R
n
) , α ∈ Z
n
+

đạo hàm suy rộng cấp α của
hàm suy rộng tăng chậm f cũng là một hàm suy rộng tăng chậm. Nói cách khác,
đạo hàm suy rộng D
α
f là phiếm hàm tuyến tính liên tục từ không gian S (R
n
)
vào không gian C. Do đó, đạo hàm D
α
f là một hàm suy rộng trong không gian
các hàm tăng chậm S

(R
n
).
Ví dụ 1.5. Cho hàm θ (x) được xác định sau
θ (x) =

1 với x > 0
0 với x ≤ 0.
Tìm đạo hàm của hàm suy rộng θ (x).
Chứng minh. Theo định nghĩa đạo hàm của hàm suy rộng, ta có
θ

, ϕ = −θ, ϕ

 ∀ϕ ∈ S (R) , (1.7)
rõ ràng
θ, ϕ


 =

+∞
−∞
θ (x)ϕ

(x) dx
=

+∞
0
ϕ

(x) dx
= −ϕ (0) = −δ
0
, ϕ ∀ϕ ∈ S (R) . (1.8)
Kết hợp (1.7) và (1.8), ta kết luận được rằng θ

= δ
0
.
Khi đó, đạo hàm của hàm suy rộng θ chính là hàm Dirac δ
0
. Chứng minh
được hoàn thành.
1.4 Giá của hàm suy rộng
Trước hết, ta định nghĩa thế nào là hai hàm suy rộng tăng chậm bằng nhau
tại một điểm trong R
n

. Cùng với đó ta sẽ định nghĩa giá của hàm suy rộng trong
không gian các hàm tăng chậm S

(R
n
).
13
Định nghĩa 1.5. Cho x ∈ R
n
, các hàm suy rộng f, g ∈ S

(R
n
). Ta nói rằng
hàm suy rộng f = g tại x nếu tồn tại một lân cận mở ω ∈ R
n
của x để
f, ϕ = g, ϕ ∀ϕ ∈ S (R
n
) , suppϕ ⊂ ω.
Từ định nghĩa trên, ta thấy rằng hàm suy rộng f = g tại x ∈ R
n
, nếu với
mọi lân cận mở ω ⊂ R
n
của điểm x đều tồn tại một hàm ϕ ∈ C
∞
0
(R
n

), suppϕ ⊂ ω
sao cho
f, ϕ = g, ϕ.
Định nghĩa 1.6. (Giá của hàm suy rộng)
Cho hàm suy rộng f ∈ S

(R
n
). Giá của hàm suy rộng f được xác định như sau
suppf = {x ∈ R
n
: f = 0 tại x}.
Hàm suy rộng f được gọi là có giá compact nếu giá của hàm suy rộng suppf
là tập compact.
Ví dụ 1.6. Hàm Dirac δ
0
là phiếm hàm xác định như sau
δ
0
, ϕ = ϕ (0) ∀ϕ ∈ S (R) .
Khi đó, giá của hàm suy rộng δ
0
là suppδ
0
= {0}.
Chứng minh. Ta xét σ = 0. Khi đó, với mọi hàm ϕ ∈ S(R) thỏa mãn
suppϕ ∈ B(σ,
|σ|
2
),

ta luôn có hàm ϕ(0) = 0. Do đó,

δ
0
, ϕ

= ϕ(0) = 0 ∀ϕ ∈ S (R) .
Điều này dẫn đến σ ∈ suppδ
0
. Ta thấy 0 ∈ suppδ
0
. Vậy nên ta có
suppδ
0
= {0}.
Chứng minh được hoàn thành.
14
1.5 Không gian hàm suy rộng với giá compact E

(R
n
)
Trong phần này, ta sẽ nghiên cứu về đặc điểm của hàm suy rộng với giá
compact E

(R
n
). Trước tiên, ta sẽ đi vào khái niệm hội tụ trong không gian
E (R
n

).
Định nghĩa 1.7. Không gian E (R
n
) là không gian tôpô tuyến tính các hàm
ϕ ∈ C
∞
(R
n
) với khái niệm hội tụ như sau: dãy {ϕ
k
}
∞
k=1
các hàm trong không
gian C
∞
(R
n
) được gọi là hội tụ đến hàm ϕ ∈ C
∞
(R
n
) nếu
lim
k→∞
sup
x∈K
|D
α
ϕ

k
(x) −D
α
ϕ (x)| = 0 ∀α ∈ Z
n
+
, K ⊂⊂ R
n
.
Khi đó, ta viết E_ lim
k→∞
ϕ
k
= ϕ.
Với dãy hàm {ϕ
k
}
∞
k=1
được gọi là một dãy Cauchy trong không gian hàm
cơ bản E (R
n
) nếu
lim
k,l→∞
sup
x∈K
|D
α
ϕ

k
(x) −D
α
ϕ
l
(x)| = 0 ∀α ∈ Z
n
+
, K ⊂⊂ R
n
.
Khi đó, không gian hàm cơ bản E (R
n
) là không gian đầy đủ và tập C
∞
0
(R
n
) là
tập trù mật trong không gian hàm cơ bản E (R
n
).
Định nghĩa 1.8. Một phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trong không gian
hàm cơ bản E (R
n
) được gọi là một hàm suy rộng xác định trên không gian hàm
cơ bản E (R
n
). Tập hợp tất cả các hàm suy rộng xác định trong không gian hàm
cơ bản E (R

n
), ký hiệu là E

(R
n
) .
Định lý 1.2. i) Giả sử f là hàm suy rộng có giá compact. Khi đó, ta có thể
thác triển f lên thành phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian hàm cơ
bản E (R
n
).
ii) Giả sử f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian hàm cơ bản E (R
n
).
Khi đó, ta có thể thu hẹp hàm f trên không gian các hàm giảm nhanh S (R
n
)
thành hàm suy rộng có giá compact.
Ví dụ 1.7. Hàm Dirac δ
0
là hàm suy rộng thuộc không gian hàm suy rộng giá
compact E

(R
n
). Hơn nữa, không tồn tại hàm g ∈ L
1
loc
(R
n

) thỏa mãn
δ
0
, ϕ =

R
n
g (x)ϕ (x) dx = ϕ (0) ∀ϕ ∈ E (R
n
) .
15
Chứng minh. Giả sử ngược lại, tồn tại hàm g ∈ L
1
loc
(R
n
) thỏa mãn
δ
0
, ϕ =

R
n
g (x)ϕ (x) dx = ϕ (0) ∀ϕ ∈ E (R
n
) . (1.9)
Chọn hàm
ϕ (x) = ϕ
ε
(x) =






ε
2
e
|x|
2
−ε
2
với |x| < ε
0 với |x|  ε
do đó,
ϕ
ε
∈ C
∞
0
(R
n
) , suppϕ
ε
(x) ⊂ B (0, ε) .
Theo giả thiết phản chứng, ta có
δ
0
, ϕ = ϕ
ε

(0) =
1
e
∀ϕ ∈ E (R
n
) . (1.10)
Mặt khác
lim
ε→0

R
n
g (x)ϕ (x) dx = lim
ε→0

B(0,ε)
g (x)ϕ (x) dx = 0 ∀ϕ ∈ E (R
n
) . (1.11)
Từ (1.9), (1.10) và (1.11), suy ra mâu thuẫn, do đó không tồn tại hàm g ∈
L
1
loc
(R
n
) thỏa mãn
δ
0
, ϕ =


R
n
g (x)ϕ (x) dx = ϕ (0) ∀ϕ ∈ E (R
n
) .
Chứng minh được hoàn thành.
Mệnh đề 1.1. i) Cho hàm suy rộng f ∈ E

(R
n
) , ϕ ∈ C
∞
0
(R
n
) và suppf ∩suppϕ =
∅ khi đó,
f, ϕ = 0.
ii) Cho hàm suy rộng f ∈ E

(R
n
) , ϕ ∈ C
∞
0
(R
n
) khi đó, supp (fϕ) ⊂ suppϕ∩suppf.
Hơn nữa, các hàm suy rộng f, g ∈ E


(R
n
) khi đó, supp(f + g) ⊂ suppf ∪ suppg
và
D
α
f ∈ E

(R
n
) , suppD
α
f ⊂ suppf.
iii) Cho hàm suy rộng f ∈ E

(R
n
) và giá của hàm suy rộng suppf = {0} do đó,
hàm suy rộng f có thể biểu diễn diễn duy nhất dưới dạng
f =

|α|≤N
C
α
D
α
δ
0
δ
0

là hàm suy rộng có giá compact và giá của nó suppδ
0
= {0}.
16
1.6 Tích chập
Dưới đây, ta đưa ra khái niệm tích chập của hai hàm khả tích trên R
n
, nhằm
xác định quy tắc lấy tích chập giữa chúng.
Định nghĩa 1.9. Cho f, g là các hàm khả tích địa phương trên R
n
. Nếu tích
phân

R
n
f (x − y) g (y)dy
xác định với hầu hết x ∈ R
n
(nghĩa là tập các giá trị x ∈ R
n
để tích phân trên
không tồn tại là tập có độ đo không) và hàm khả tích địa phương trên R
n
biến x
thành

R
n
f (x − y) g (y)dy được gọi là tích chập của hàm f và hàm g, ký hiệu là

f ∗g. Như vậy
(f ∗g) (x) =

R
n
f (x − y) g (y)dy =

R
n
f (y) g (x − y)dy.
Ta gọi f ∗g là tích chập của hàm f và hàm g. Rõ ràng trong trường hợp này
tích chập của hàm f và hàm g, và tích chập của hàm g và hàm f là như nhau.
Điều này có nghĩa là tích chập có tính giao hoán f ∗ g = g ∗f.
Định lý 1.3. Cho 1 ≤ p ≤ ∞ và các hàm f, g ∈ L
1
(R
n
). Khi đó tích chập của
hàm g và hàm f là f ∗g tồn tại và tích chập f ∗g ∈ L
1
(R
n
), đồng thời ta có bất
đẳng thức
f ∗g
p
≤ f
p
g
1

.
Mệnh đề 1.2. Cho các hàm ϕ, ψ ∈ S (R
n
), ta có ϕ ∗ψ = ψ ∗ ϕ ∈ C
∞
(R
n
) , và
D
α
(ϕ ∗ψ) (x) = ((D
α
ϕ) ∗ψ) (x) = (ϕ ∗ (D
α
ψ)) (x) ∀x ∈ R
n
, α ∈ Z
n
+
.
Hơn nữa, ta có ánh xạ biến mỗi hàm ϕ ∈ S (R
n
) thành ϕ ∗ ψ = ψ ∗ ϕ là ánh xạ
tuyến tính liên tục từ không gian S (R
n
) vào chính nó .
1.7 Phép biến đổi Fourier
Đối tượng chính của chúng ta nghiên cứu trong phần này, sẽ là phép biến đổi
Fourier của những hàm thuộc không gian các hàm giảm nhanh S (R
n

), không
gian các hàm tăng chậm S

(R
n
), không gian hàm suy rộng với giá compact
E

(R
n
).
17
1.7.1 Phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm giảm
nhanh S (R
n
)
Định nghĩa 1.10. Cho hàm f ∈ S (R
n
). Ảnh Fourier của hàm f ký hiệu là

f (ξ) hay F (f) (ξ), là hàm được xác định bởi
F (f) (ξ) =

f (ξ) = (2π)
−n/2

R
n
e
−ixξ

f (x) dx
trong đó x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
, ξ = (ξ
1
, ξ
2
, , ξ
n
) ∈ R
n
.
Định nghĩa 1.11. Ảnh Fourier ngược của hàm f ∈ S (R
n
) là hàm được xác định
bởi
F
−1
(f) (x) =

f (x) = (2π)
−n/2

R

n
e
ixξ
f (ξ) dξ
trong đó x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
, ξ = (ξ
1
, ξ
2
, , ξ
n
) ∈ R
n
.
Bây giờ ta xét các tính chất ảnh Fuorier, ảnh Fourier ngược của hàm
thuộc không gian các hàm giảm nhanh S (R
n
). Bằng cách đi nghiên cứu kỹ hơn
các mệnh đề sau đây, dựa trên tài liệu (xem [1], [6]).
Mệnh đề 1.3. Cho hàm ϕ ∈ S (R
n
). Khi đó Fϕ, F
−1

ϕ ∈ S (R
n
) và
•D
α
Fϕ (ξ) = (−i)
|α|
F (x
α
ϕ (x)) (ξ) , D
α
F
−1
ϕ (ξ) = i
|α|
F
−1
(x
α
ϕ (x)) (ξ) ,
•ξ
α
Fϕ (ξ) = (−i)
|α|
F (D
α
ϕ (x)) (ξ) , ξ
α
F
−1

ϕ (ξ) = i
|α|
F
−1
(D
α
ϕ (x)) (ξ) .
Chứng minh. Theo định nghĩa phép biến đổi Fourier của hàm ϕ thuộc không
gian các hàm giảm nhanh S (R
n
), có
(Fϕ) (ξ) = (2π)
−n/2

R
n
e
−ixξ
ϕ (x) dx. (1.12)
Áp dụng định lý về tính khả vi các tích phân phụ thuộc tham số, ta có đạo hàm
D
α
ξ
(Fϕ) (ξ) với mọi α ∈ Z
n
+
và
D
α
ξ

(Fϕ) (ξ) = D
α
ξ

(2π)
−n/2

R
n
e
−ixξ
ϕ (x) dx

= (2π)
−n/2

R
n
(−ix)
α
e
−ixξ
ϕ (x) dx (1.13)
= (−i)
|α|
(2π)
−n/2

R
n

e
−ixξ
x
α
ϕ (x)dx
= (−i)
|α|
F (x
α
ϕ (x)) (ξ) ∀ϕ ∈ S (R
n
) ,
18
do tích phân

R
n
e
−ixξ
x
α
ϕ (x) dx ∀ϕ ∈ S (R
n
)
hội tụ tuyệt đối và đều theo ξ trong R
n
và mọi α ∈ Z
n
+
. Vì



e
−ixξ
x
α
ϕ (x)


≤ |x|
α
|ϕ (x)| ∀ϕ ∈ S (R
n
) .
Do hàm ϕ ∈ S (R
n
), nên dẫn đến

R
n
|x|
α
|ϕ (x)|dx ∀α ∈ Z
n
+
hội tụ tuyệt đối và đều theo ξ trong R
n
. Do đó, tồn tại đạo hàm D
α
ξ

(Fϕ) (ξ),
dẫn đến Fϕ ∈ C
∞
(R
n
).
Vì thế mỗi ξ ∈ R
n
, β, γ ∈ Z
n
+
, có
lim
x→∞
ξ
β
D
γ
x

e
−ixξ
ϕ (x)

= 0 ∀ϕ ∈ S (R
n
) .
Sử dụng phép tính tích phân từng phần |β| lần cho (1.13), ta được
D
α

ξ
(Fϕ) (ξ) = ξ
−β
(2π)
−n/2

R
n
e
−ixξ
(−iD
x
)
β

(−ix)
α
ϕ (x)

dx,
Như vậy, với mỗi α, β ∈ Z
n
+
, có
ξ
β
D
α
ξ
(Fϕ) (ξ) = (2π)

−n/2

R
n
e
−ixξ
(−iD
x
)
β

(−ix)
α
ϕ (x)

dx, (1.14)
nhận thấy rằng

R
n
e
−ixξ
(−iD
x
)
β

(−ix)
α
ϕ (x)


dx
≤ sup
x∈R
n


D
β
x

(−x)
α
ϕ (x)



(1 + x)
n+1

R
n
dx
(1 + x)
n+1
. (1.15)
Kết hợp (1.14) và (1.15), ta nhận được
sup
ξ∈R
n



ξ
β
D
α
ξ
Fϕ (ξ)


≤ (2π)
−n/2
sup
x∈R
n


D
β
x

(−x)
α
ϕ (x)



(1 + x)
n+1


R
n
dx
(1 + x)
n+1
≤ C sup
x∈R
n

1 + x
2

n+1+|α|

γ≤β
|D
γ
ϕ (x)| ∀α, β ∈ Z
n
+
.
Do ϕ ∈ S (R
n
) nên
sup
x∈R
n

1 + x
2


n+1+|α|

γ≤β
|D
γ
ϕ (x)| < ∞ ∀α, β ∈ Z
n
+
.
19
Điều này dẫn đến Fϕ ∈ S (R
n
).
Từ công thức (1.13), cho α = 0, β ∈ Z
n
+
ta nhận được
ξ
β
Fϕ (ξ) = (2π)
−n/2

R
n
(−iD
x
)
β
e

−ixξ
ϕ (x) dx
= (2π)
−n/2

R
n
e
−ixξ
(−iD
x
)
β
ϕ (x) dx
= (−i)
|β|
F

D
β
ϕ (x)

(ξ) ∀ϕ ∈ S (R
n
) .
Vậy phép biến đổi Fourier là ánh xạ tuyến tính liên tục trên không gian các
hàm giảm nhanh S (R
n
).
Đối với phép biến đổi Fourier ngược F

−1
ta chứng minh tương tự.
Chứng minh được hoàn thành.
Mệnh đề 1.4. Cho hàm ϕ ∈ S (R
n
). Khi đó
F
−1
Fϕ = FF
−1
ϕ = ϕ.
Chứng minh. Với các hàm ϕ, ψ ∈ S (R
n
) theo định nghĩa, ta có

R
n
e
ixξ

(2π)
−n/2

R
n
e
−iyξ
ϕ (y) dy

Fψ (ξ) dξ

=

R
n
e
ixξ
Fϕ (ξ) Fψ (ξ) dξ
=

R
n
e
ixξ
Fϕ (ξ)

(2π)
−n/2

R
n
e
−iyξ
ψ (y) dy

dξ.
Nên theo định lý Fubini, có

R
n
ϕ (y)


(2π)
−n/2

R
n
e
ix−y,ξ
Fψ (ξ) dξ

dy
=

R
n
ψ (y)

(2π)
−n/2

R
n
e
ix−y,ξ
Fϕ (ξ) dξ

dy,
từ đây, suy ra

R

n
ϕ (y) F
−1
(Fψ) (x −y) dy =

R
n
ψ (y) F
−1
(Fϕ) (x −y) dy. (1.16)
Chọn hàm ψ (x) = (2π)
−n/2
e
−x
2
/
2
, ψ
ε
(x) = ε
−n
ψ

x
ε

, ε > 0, có
Fψ
ε
(ξ) = F

−1
ψ
ε
(ξ) = ψ
ε
(ξ) . (1.17)
20
Kết hợp (1.16) và (1.17), ta thu được

R
n
ϕ (y) ψ
ε
(x −y) dy =

R
n
ψ
ε
(y) F
−1
(Fϕ) (x −y) dy. (1.18)
Áp dụng mệnh đề
S_ lim
ε→0
+
ϕ ∗ψ
ε
= ϕ ∀ϕ ∈ S (R
n

) .
Khi đó

R
n
ψ (x) dx =

R
n
ψ
ε
(x) dx = 1
và
lim
ε→0
+

x≥R
√
ε
ψ
ε
(x) dx = lim
ε→0
+

x≥R
/
√
ε

ψ (x) dx =0.
Do đó, cho ε → 0, thì (1.16) trở thành ϕ (x) = F
−1
(Fϕ) (x).
Như vậy,
F
−1
(Fϕ) = ϕ ∀ϕ ∈ S (R
n
) .
Do đó, F là đẳng cấu tuyến tính trên không gian các hàm giảm nhanh S (R
n
)
với ánh xạ ngược F
−1
.
Chứng minh được hoàn thành.
Mệnh đề 1.5. Cho các hàm ϕ, ψ ∈ S (R
n
). Khi đó,

R
n
ϕ (x) Fψ (x) dx =

R
n
ψ (ξ)Fϕ (ξ) dξ
và


R
n
|ϕ (x)|
2
dx =

R
n
|Fϕ (ξ)|
2
dξ.
Chứng minh. Sử dụng định nghĩa biến đổi Fourier cho hàm ψ (x) trong không
gian các hàm giảm nhanh S (R
n
), có
Fψ (x) = (2π)
−n/2

R
n
e
−ixξ
ψ (ξ) dξ,
khi đó ϕ, ψ ∈ S (R
n
), ta có

R
n
ϕ (x)


(2π)
−n/2

R
n
e
−ixξ
ψ (ξ) dξ

dx =

R
n
ϕ (x) Fψ (x) dx. (1.19)
Tương tự, ta nhận được
Fϕ (ξ) = (2π)
−n/2

R
n
e
−ixξ
ϕ (x) dx ∀ϕ ∈ S (R
n
) ,
21
với ϕ, ψ ∈ S (R
n
), nên


R
n
ψ (ξ)

(2π)
−n/2

R
n
e
−ixξ
ϕ (x) dx

dξ =

R
n
ψ (ξ) (Fϕ) (ξ) dξ. (1.20)
Mặt khác, với các hàm ϕ, ψ ∈ S (R
n
) theo định lý Fubini, có

R
n
ϕ (x)

(2π)
−n/2


R
n
e
−ixξ
ψ (ξ) dξ

dx
=

R
n
ψ (ξ)

(2π)
−n/2

R
n
e
−ixξ
ϕ (x) dx

dξ. (1.21)
Kết hợp (1.19), (1.20) và (1.21), ta đạt được

R
n
ϕ (x) Fψ (x) dx =

R

n
ψ (ξ) (Fϕ) (ξ) dξ ∀ϕ, ψ ∈ S (R
n
) . (1.22)
Bằng cách cho hàm
ψ = F
−1
ϕ
ta thấy rằng
F
−1
ϕ = Fϕ, ϕ = Fψ
và sử dụng (1.22), ta nhận được

R
n
|ϕ (x)|
2
dx =

R
n
|Fϕ (ξ)|
2
dξ ∀ϕ ∈ S (R
n
) .
Như vậy, phép biến đổi Fourier F là một đẳng cấu tuyến tính, tự liên hợp,
đẳng cự trên không gian các hàm giảm nhanh S (R
n

) với không gian metric
L
2
(R
n
).
Mệnh đề 1.6. Cho các hàm ϕ, ψ ∈ S (R
n
). Khi đó,
F (ϕ ∗ ψ) (ξ) = (2π)
n/2
Fϕ (ξ) Fψ (ξ) , F
−1
(ϕ ∗ψ) (ξ) = (2π)
n/2
F
−1
ϕ (ξ) F
−1
ψ (ξ) .
(2π)
n/2
F (ϕ (x) ψ (x)) (ξ) = Fϕ (ξ) ∗ Fψ (ξ) .
(2π)
n/2
F
−1
(ϕ (x) ψ (x)) (ξ) = F
−1
ϕ (ξ) ∗F

−1
ψ (ξ) .
Chứng minh. Áp dụng định nghĩa tích chập cho hàm ϕ, ψ ∈ S (R
n
), ta có
(ϕ ∗ψ) (x) =

R
n
ϕ (y) ψ (x − y) dy.
22
Sử dụng định lý Fubini với các hàm ϕ, ψ ∈ S (R
n
), có
(2π)
−n/2

R
n
e
−ixξ


R
n
ϕ (y) ψ (x − y) dy

dx
=


R
n
e
−iyξ
ϕ (y)

(2π)
−n/2

R
n
e
−ix−y,ξ
ψ (x −y) dx

dy, (1.23)
(2π)
−n/2

R
n
e
ixξ


R
n
ϕ (y) ψ (x − y) dy

dx

=

R
n
e
iyξ
ϕ (y)

(2π)
−n/2

R
n
e
ix−y,ξ
ψ (x −y) dx

dy. (1.24)
Từ (1.23), ta có
F (ϕ ∗ ψ) (ξ) = (2π)
n/2
Fϕ (ξ) Fψ (ξ) ∀ϕ, ψ ∈ S (R
n
) .
Từ (1.24), ta có
F
−1
(ϕ ∗ψ) (ξ) = (2π)
n/2
F

−1
ϕ (ξ) F
−1
ψ (ξ) ∀ϕ, ψ ∈ S (R
n
) .
Điều này dẫn đến
(Fϕ ∗Fψ) (ξ) = (2π)
n/2
F

F
−1
(Fϕ) F
−1
(Fψ)

(ξ)
= (2π)
n/2
F (ϕψ) (ξ) ∀ϕ, ψ ∈ S (R
n
) ,

F
−1
ϕ ∗F
−1
ψ


(ξ) = (2π)
n/2
F
−1

F

F
−1
ϕ

F

F
−1
ψ

(ξ)
= (2π)
n/2
F
−1
(ϕψ) (ξ) ∀ϕ, ψ ∈ S (R
n
) .
Chứng minh được hoàn thành.
Dưới đây ta sẽ trình bày một số tính chất khác của phép biến đổi Fourier,
trong không gian các hàm giảm nhanh S (R
n
).

Mệnh đề 1.7. Cho hàm ϕ ∈ S (R
n
). Khi đó
i) Fϕ (ξ − h) = F

e
ihx
ϕ (x)

(ξ) , ξ, h ∈ R
n
.
ii) F (ϕ (x −h)) (ξ) = e
−ihξ
Fϕ (ξ) , ξ, h ∈ R
n
.
iii) F (ϕ (tx)) (ξ) = t
−n
Fϕ (ξ/t) , t = 0, ξ ∈ R
n
.
23
Chứng minh. i) Từ định nghĩa của phép biến đổi Fourier, ta có
Fϕ (ξ −h) = (2π)
−n/2

R
n
ϕ (x)e

−iξ−hx
dx
= (2π)
−n/2

R
n
ϕ (x)e
−iξx
e
ihx
dx
= (2π)
−n/2

R
n

ϕ (x) e
ihx

e
−iξx
dx ∀ϕ ∈ S (R
n
) , ξ, h ∈ R
n
.
Do vậy, ta suy ra
Fϕ (ξ −h) = F


e
ihx
ϕ (x)

(ξ) ∀ϕ ∈ S (R
n
) , ξ, h ∈ R
n
.
ii) Sử dụng định nghĩa khai triển Fourier cho hàm ϕ (x − h) với ξ, h ∈ R
n
, ta
thấy rằng
F (ϕ (x −h)) (ξ) = (2π)
−n/2

R
n
ϕ (x −h)e
−iξx
dx. (1.25)
Đặt x −h = t hay x = t + h, thay vào (1.25), ta được
F (ϕ (x −h)) (ξ) = (2π)
−n/2

R
n
ϕ (t)e
−iξt+h

dt
= (2π)
−n/2
e
−iξh

R
n
ϕ (t)e
−iξx
dt. (1.26)
Ta lại có
(2π)
−n/2
e
−iξh

R
n
ϕ (t)e
−iξx
dt = e
−iξh
Fϕ (ξ) . (1.27)
Kết hợp (1.26) và (1.27), ta thu được
F (ϕ (x −h)) (ξ) = e
−iξh
Fϕ (ξ) ∀ϕ ∈ S (R
n
) , ξ, h ∈ R

n
.
iii) Sử dụng định nghĩa khai triển Fourier cho hàm ϕ (tx), ta có
F (ϕ (tx)) (ξ) = (2π)
−n/2

R
n
ϕ (tx)e
−iξx
dx
= (2π)
−n/2

R
n
ϕ (y)e
−iξ/t
1
t
dy, (1.28)
do
(2π)
−n/2

R
n
ϕ (y)e
−iξ/t
1

t
dy = |t|
−n
Fϕ (ξ/t) . (1.29)
Từ (1.28) và (1.29), dẫn đến
F (ϕ (tx)) (ξ) = |t|
−n
Fϕ (ξ/t) ∀ϕ ∈ S (R
n
) , t = 0, ξ ∈ R
n
.
Chứng minh được hoàn thành.
24
1.7.2 Phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm tăng
chậm S

(R
n
)
Trong phần này, ta sẽ phát biểu tiêu chí xác định ảnh Fourier, ảnh Fourier
ngược của hàm suy rộng thuộc không gian các hàm suy rộng tăng chậm S

(R
n
).
Sau đó, ta dùng định nghĩa được nêu trên, để vận dụng vào giải ví dụ minh họa
kèm theo.
Định nghĩa 1.12. Cho hàm f ∈ S


(R
n
). Ảnh Fourier của hàm suy rộng tăng
chậm f, ký hiệu là

f (hay Ff ), là hàm suy rộng tăng chậm được xác định bởi

ˆ
f, ϕ

= f, ˆϕ ∀ϕ ∈ S (R
n
) .
Định nghĩa 1.13. Với hàm f ∈ S

(R
n
). Ảnh Fourier ngược của hàm suy rộng
tăng chậm f, ký hiệu

f hay F
−1
(f) là hàm suy rộng tăng chậm được xác định
bởi


f, ϕ =

f,


ϕ

∀ϕ ∈ S (R
n
) .
Ví dụ 1.8. Cho δ
0
là hàm Dirac tại điểm 0. Tìm biến đổi Fourier và biến đổi
Fourier ngược của hàm δ
0
.
Chứng minh. Áp dụng định nghĩa về phép biến đổi Fourier cho hàm suy rộng
tăng chậm trong không gian S

(R
n
), ta có 

δ
0
, ϕ = δ
0
, ϕ, hơn nữa có
δ
0
, ϕ = ϕ (0) = (2π)
−n/2

R
n

e
−ix0
ϕ(x)dx
= (2π)
−n/2

R
n
ϕ(x)dx = (2π)
−n/2
1, ϕ ∀ϕ ∈ (R
n
) .
Vậy suy ra

δ
0
= (2π)
−n/2
1.
Sử dụng định nghĩa về phép biến đổi Fourier ngược cho hàm suy rộng tăng chậm
trong không gian S

(R
n
), ta có 

δ
0
, ϕ = δ

0
,

ϕ, mà
δ
0
,

ϕ =

ϕ (0) = (2π)
−n/2

R
n
e
ix0
ϕ(x)dx
= (2π)
−n/2

R
n
ϕ)(x)dx = (2π)
−n/2
1, ϕ ∀ϕ ∈ S (R
n
) .
Vậy dẫn đến


δ
0
= (2π)
−n/2
1.
Khi đó biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược của hàm δ
0
đều là hàm
hằng (2π)
−n/2
. Chứng minh được hoàn thành.
25
1.7.3 Phép biến đổi Fourier trong không gian hàm suy rộng
với giá compact E

(R
n
)
Định nghĩa 1.14. Cho hàm suy rộng f ∈ E

(R
n
). Do không gian E

(R
n
) ⊂
S

(R

n
) nên ảnh Fourier Ff được xác định như sau
Ff : ϕ → f, Fϕ ∀ϕ ∈ S (R
n
) .
Khi đó, ta biết rằng hàm suy rộng Ff có thể viết dưới dạng hàm thông thường
(2π)
−n/2

f
x
, e
−ixξ

. Như vậy, nếu hàm suy rộng f ∈ E

(R
n
) thì ảnh Fourier Ff
là một hàm suy rộng từ không gian R
n
vào không gian C được xác định bởi:
ξ → (2π)
−n/2

f
x
, e
−ixξ


. Hàm suy rộng Ff (ξ) có thể thác triển lên thành một
hàm nguyên xác định trên không gian C
n
như sau ξ → (2π)
−n/2

f
x
, e
−ixξ

, ξ ∈
C
n
.
Sau đây ta trình bày điều kiện cần để một hàm giải tích ψ là biến đổi Fourier
của một hàm suy rộng có giá chứa trong hình cầu đóng (xem [3]).
Định lý 1.4. Cho ψ : C
n
→ C là hàm giải tích. Khi đó, điều kiện cần để có một
số R > 0, một hàm suy rộng f ∈ E

(R
n
) , suppf ⊂ B[0, R] sao cho ψ (ξ) = Ff (ξ)
là tồn tại số R, N, C > 0 sao cho
|ψ (ξ)| ≤ C(1 + ξ)
N
e
Rξ

∀ξ ∈ C
n
.
Chứng minh. Cho hàm ψ ∈ C
∞
0
(R
n
) , suppψ ⊂ B[0, R], biến đổi Fourier Fψ của
hàm ψ có thể thác triển Fψ lên không gian C
n
Fψ : ψ → Fψ (ξ) = (2π)
−n/2

B(0,R)
e
−ixξ
ψ (x) dx
với xξ =
n

k=1
x
k
ξ
k
=
n

k=1

x
k
ς
k
+ i
n

k=1
x
k
η
k
, ξ
k
= ς
k
+ iη
k
.
Dễ thấy, Fψ(ξ) là hàm khả vi vô hạn trên không gian C
n
. Ngoài ra ta có
ξ
α
Fψ (ξ) = (2π)
−n/2

x≤R
e
−ixξ

(−iD)
α
ψ (x) dx
= (2π)
−n/2

x≤R
e
xη−ixς
(−iD)
α
ψ (x) dx ∀α ∈ Z
n
+
, (ξ = ς + iη)
nên |ξ
α
Fψ (ξ)| ≤ Ce
R|η|
do đó, với mỗi N > 0 đều có C
N
> 0 thỏa mãn
|Fψ (ξ)| < C
N
(1 + ξ)
−N
e
Rξ
∀ξ ∈ C
n

.
26
Tương tự, có
|D
α
(Fψ) (ξ)| = |F (x
α
ψ) (ξ)| ≤ CR
|α|
e
Rξ
∀ξ ∈ C
n
, α ∈ Z
n
+
nên Fψ (ξ) là hàm giải tích trên không gian C
n
.
Định lý được chứng minh.
27