Bài tập Hình học 11.

Lưu Phi Hoàng Bài Tập chương II Hình Học 11
Bài Tập ôn chương II
I) QUAN HỆ SONG SONG
1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, CD,
SA . Chứng minh
( )SC MNPP
2) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, C’D’.CMR:
( ' )MN BC DP
3) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a và một điểm M thuộc cạnh BC, đặt BM = x ( 0 ≤ x ≤ a )
a . Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng đi qua M và song song với các cạnh
AB , AD .Tính chu vi và diện tích thiết diện theo a , x
b . Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng ( P ) đi qua M và song song với các cạnh
AB , CD .chứng minh rằng chu vi của thiết diện không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên cạnh BC
3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi
( )mp
α
đi qua trung điểm M của AB và song song với BD và SA
4) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là 1 tứ giác . Gọi O là giao điểm của AC và BD. Xác định
thiết diện của hình chóp cắt bởi
( )mp
α
đi qua điểm O và song song AB và SC.
5) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tâm O Mặt bên SAB là tam giác đều, ngoài ra
·
0
90SAD =
. Gọi Dx là đường thẳng qua D và song song với SC.
a) Tìm Giao điểm của Dx Với mp(SAB).CMR AI//SB.
b) Tìm thiết diện của hình chóp với mp(AIC). Tính diện tích thiết diện.
6) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của SA,
SB, SC.

a) Tìm giao điểm L của SD và (IJK)
b) Chứng minh
/ /IL AD
,
/ /KL CD

c) Gọi M là giao điểm của CJ và DI, N là giao điểm của BI và CL chứng minh
( ) / /( )SMN ABCD
7) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang , đáy lớn AB gọi I, J, K là 3 điểm trên SA, AB,
BC theo thứ tự đó
a) Tìm giao điểm IK với (SBD)
b) Tìm giao điểm của mp(IJK) với SD và SC
8) Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I, J là 2 điểm trên cạnh AD và SB
a) Tìm giao điểm K, L của IJ và DJ với mp(SAC)
b) AD cắt BC tại O, OJ cắt SC tại M . chứng minh rằng 4 điểm A, K, L, M thẳng hàng.
9) Cho tứ diện ABCD. Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA, ABD, ABC.
a) chứng minh rằng AA’, BB’ cùng nằm trong một mặt phẳng.
b) Gọi I là giao điểm của AA’ và BB’ chứng minh
' ' 1
3
IA IB
IA IB
= =
c) Chứng minh các đường thẳng AA’,BB’, CC’, DD’ đồng quy.
10) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang , đáy lớn AB gọi M và N lần lượt là trung
điểm của SB, SC
a) Tìm giao tuyến (SAD) và (SBC)
b) Tìm giao điểm của SD với (AMN)
c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với (AMN)
11) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, Gọi M là trung điểm củaSC.

a) Tìm giao điểm I của AM với mp(SBD). CMR IA= 2IM
b) Tìm giao điểm F của của SD với mp(ABM). Cmr F là trung điểm của SD và tứ giác ABMF là
hình gì ?
c) Gọi N thuộc AB. Tìm giao điểm MN và (SBD)
13) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Trong tam giác SCD lấy điểm M
a) Tìm giao điểm của BM với (SAC).
b) Tìm thiết diện của hình chóp với (ABM).
14) Cho tứ diện đều ABDC cạnh a. Kéo dài BC một đoạn CE=a. Kéo dài BD một đoạn DF=a. Gọi M là
trung điểm của AB
Trường THPT YJUT 1
Lưu Phi Hoàng Bài Tập chương II Hình Học 11
a) Tìm thiết diện của tứ diện với (MEF).
b) Tính diện tích thiết diện theo a.
15) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
của SB, SD và OC
a) Tìm giao điểm của SA với (MNP).
b) xác định thiết diện của hình chóp với (MNP)
16) Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lầ lượt là trung điểm của AC và BC. Trên cạnh BD lấy điểm K sao cho
BK=2KD
a) Tìm giao điểm E của CD với (IJK). Cmr DE=DC
b) Tìm giao điểm F của AD với (IJK). Cmr FA=2FD
c) Cmr : FK//IJ
d) Gọi M, N là hai điểm bất kỳ lần lượt trên AB, CD . tìm giao điểm cùa MN với (IJK).
17) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
a) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC)
b) Lấy M là điểm tùy ý trên SC nhưng không trùng với S mp(ABM) cắt SD tại N. Tứ giác ABMN
là hình gì ?
18) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . Gọi H,K,I,J lần lượt là trung điểm của
các cạnh SA,SB,SC,SD.
a) CMR: HKIJ là một hình bình hành

b) Gọi M là điểm bất kỳ trên BC. Tìm thiết diện của hình chóp với (HKM)
19) Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N,P,Q , R, S lầ lượt là trung điểm của AB, CD,BC,AD,AC và BD.
a) CMR: MPNQ là hình bình hành
b) CMR: MN,PQ,RS đồng quy
20) Cho tứ diện ABCD. Trên AD lấy N sao cho AN=2ND, M là trung điểm của AC, trên BC lấy Q sao
cho
1
4
BQ BC=

a) Tìm giao điểm I của MN với (BCD).Tính
?
IC
ID
=
b) Tìm giao điểm J của BD với (MNQ). Tính
?
JB
JD
=
21) Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF . CMR OO’//(ADF) và OO’//(BCE).
b) Gọi M, N là trọng tâm của tam giác ABD và ABE. CMR : MN//(CEF).
22) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các
cạnh ABvà CD
a) CMR: MN//(SBC) ,MN//(SAD)
b) Gọi P là trung điểm của SA. CMR: SB//(MNP), SC//(MNP).
23) Cho tứ diện ABCD. Trên AD lấy M sao cho AM=MD, trên BC lấy N bất kỳ . Gọi (
α
) là mặt phẳng

chứa MN và song song với CD.
a) Tìm thiết diện của tứ diện với mp(
α
).
b) xác định vị trí của N trên BC sao cho thiết diện là một hình bình hành.
24) Cho hai hình vuông ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.trên AC và BF lấy M,N
sao cho AM=BN. Các đường thẳng song song với AB kẻ từ M,N cắt AD,AF tại M’,N’.
a) Cmr mp(BCE)//((ADF)
b) CMR: (DEF)//(MNN’M’).
25) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,N lầ lượt là trung điểm của
SA,SD.
a) CMR: (OMN)//(SBC)
b) Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AB và ON.CMR: PQ//(SBC).
26) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H, I, K lầ lượt là trung điểm của SA,
SB, SC.
Trường THPT YJUT 2
Lưu Phi Hoàng Bài Tập chương II Hình Học 11
a) CMR: (HIK)//(ABCD)
b) Gọi M là giao điểm của AI và KD, N là giao điểm của DH và CI. CMR: (SMN)//(HIK)
27) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’cạnh a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, B’C’,
DD’.
a) CMR: (MNP)//(A’B’D) và (BDC’)
b) Xác định thiết diện của hình lập phương với mp(MNP)? Thiết diện là hình gì? Tính diện tích
thiết diện.
28) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’.
a) Gọi I, K, G lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, A’B’C’, ACC’. CMR: (IGK)//(BB’C’C) và
(A’KG)//(AIB’).
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB’ và CC’ hãy dựng đường thẳng qua trọng tâm tam giác
ABC cắt AB’ và MN.
29) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. có các cạnh AA’, BB’, CC’, DD’song song với nhau

a) CMR: (BDA’)//(B’D’C)
b) CMR đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G
1
và G
2
của hai tam giác BDA’ và B’D’C.
c) CMR: G
1
, G
2
chia đoạn AC’ thành 3 phần bằng nhau.
30) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. E. F, G lần lượt là trung điểm của AA’, BB’, CC’. Chứng
minh rằng:
a) (EFG)//(ABCD)
b) xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ABD) và (C’D’D)
c) Tìm giao điểm của A’C và (C’BD)
II) VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
1) Cho tứ diện ABCD.Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD.I Là trung điểm của EF
a) CMR:
IA IB IC ID O+ + + =
uur uur uur uur ur
b) CMR:
4MA MB MC MD MI+ + + =
uuur uuur uuur uuur uur
(M Tùy Ý)
2)
III) QUAN HỆ VUÔNG GÓC
24) Trong mp(
α
) cho tam giác ABC vuông tại A

µ
0
60B =
AB=a. Gọi O là trung điểm của BC. Lấy
điểm S ở ngoài mp(
α
) sao cho SB=a và
SB OA
⊥
. Gọi M là một điểm trên cạnh AB, Mặt phẳng (
β
) qua M
và song song với SB và OA cắt BC,SC,SA lần lượt tại N, P, Q. đặt BM=x
(0 )x ap p
a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông
b) Tính theo a,x diện tích hình thang này. Tìm x để diện tích hình thang là lớn nhất.
25) (3)Cho hai hình chữ nhật ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng và thỏa mãn các
điều kiện : AB=a; AD=AF=
2a
; đường thẳng AC vuông góc với đường thẳng BF. Gọi HK là đường
vuông góc chung của AC và BF(H thuộc AC , K thuộc BF).
a) Gọi I là giao điểm của đường thẳng DF với mặt phẳng chứa AC và song song với BF. Tính tỉ
số
DI
DF
b) Tính độ dài đoạn HK
c) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABHK.
26) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh bằng a. Hai điểm M,N chuyển động trên hai đoạn
thẳng BD và B’A tương ứng sáo cho BM=B’N=t . Gọi
,

α β
lần lượt là các góc tạo bởi đường thẳng
MN với các đường thẳng BD và B’A.
a) Tính độ dài MN theo a,t. Tìm t để độ dài MN ngắn nhất.
b) Tính
,
α β
khi độ dài MN ngắn nhất.
c) Trong trường hợp tổng quát chứng minh hệ thức
2 2
1
os os
2
c c
α β
+ =
27) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông.
( )SA ABCD⊥
chứng minh rằng :

( )BC SAB⊥
,
( )DC SAD⊥
,
( )DB SAC⊥
.
Trường THPT YJUT 3
Lưu Phi Hoàng Bài Tập chương II Hình Học 11
28) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông.
( )SA ABCD⊥

gọi H,I,K lần lượt là hình chiếu
vuông góc của A xuống SB, SC, SD chứng minh rằng :
a)
( )SC AHK⊥
,
( )I AHK∈
.
b)
( )HK SAC⊥
,
HK AI⊥
29) Cho hình chóp S.ABC có
( )SA ABC⊥
. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC
chứng minh
( )HK SBC⊥
30) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A,B. BA=BC=a,AD=2a,
( )SA ABCD⊥
. CMR tam giác SCD vuông.
31) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , AB=a,AD=
2a
,
( )SA ABCD⊥
. M là trung
điểm của AD.CMR:
( ) ( )SBM SAC⊥
32) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại B, AB=a, BC=2a ,
( )SA ABC⊥
, SA=2a, Mlaf trung
điểm của SC. CMR: Tam giác ABM cân tại M Và tính diện tích.

33) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, Mặt bên (SAD) là tam giác đều và vuông góc
với đáy. M,N,P lần lượt là trung điểm của SB,BC,CD. CMR:
AM BP⊥
34) (46) Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC, đôi một vuông góc với nhau và OA=OB= OC=a.
Gọi K, M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Gọi E là điểm đối xứng của O qua K và I là
giao điểm của CE với mp(OMN)
a) CM CE vuông góc với mp(OMN)
b) Tính diện tích cử tứ giác OMIN theo a.
35) (45) Cho tứ diện SABC có SC=CA=AB=
2a
,
( )SC ABC⊥
, Tam giác ABC vuông tại A, các điểm
M thuộc SA và N thuộc BC sao cho AM=CN=t
(0 2 )t a< <

a) Tính độ dài đoạn thẳng MN
b) Tìm Giá trị của t để MN ngắn nhất
c) Khi đoạn thẳng MN ngắn nhất , CM : MN là đường vuông góc chung của BC và SA.
36) Cho hình chóp S.ABC có AB=AC=a,
·
2CAB
α
=
,
( )SA ABC⊥
. Gọi I là trung điểm của BC
HA SI
⊥

a) chứng minh
( )HA SBC⊥
. Tính AH
b)
,
AK
K AI x
AI
∈ =
, mp(R) qua
K AI⊥
, cắt AB, AC, SC, SB lần lượt tại các điểm M, N, P, Q.
MNPQ là hình gì? Tính diện tích MNPQ.
36) Cho hình chóp ABCD có
( )AB BCD⊥
,
; ; ;BE CD DF CB O BE DF DK CA⊥ ⊥ = ∩ ⊥
Gọi H, là trực
tâm của tam giác ACD chứng minh
( ) ( );( ) ( ); ( )ABE ADC DFK ADC OH ADC⊥ ⊥ ⊥
.
Trường THPT YJUT 4