SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN TỚI BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ VẤN ĐỀ CHUYỂN ĐỔI MỘT BÀI TOÁN VỀ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị: Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh


Mã số: ………………
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN TỚI
BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ
VẤN ĐỀ:
CHUYỂN ĐỔI MỘT BÀI TOÁN
VỀ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO
Người thực hiện: VÕ NAM

Lĩnh vực nghiên cứu:

- Quản lý giáo dục:

- Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN

- Phương pháp giáo dục:

- Lĩnh vực khác:

Có đính kèm:
 Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác
Năm học: 2013 – 2014
1
X
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1. Họ và tên: VÕ NAM
2. Ngày tháng năm sinh: 9 – 6 – 1963
3. Nam, nữ: Nam
4. Địa chỉ: 105D Kp8 Phường Tân Phong, Biên Hòa, Đồng Nai
5. Điện thoại: 0919469877
6. E-mail:
7. Chức vụ: Giáo viên
8. Đơn vị công tác: Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị: Cử nhân Khoa học
- Năm nhận bằng: 1987
- Chuyên ngành đào tạo: Toán
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: dạy toán THPT
- Số năm có kinh nghiệm: 29 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
• Ứng dụng sự biến thiên của hàm số để chứng minh bất đẳng thức
(2010 – 2011)
• Một số kinh nghiệm dạy học sinh tính tích phân bằng phương
pháp từng phần (2011 – 2012)
• Một số kinh nghiệm giải phương trình lượng giác bằng phương
pháp đưa về tích (2012 – 2013)
2
Tên SKKN:
MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN TỚI
BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ

VẤN ĐỀ:
CHUYỂN ĐỔI MỘT BÀI TOÁN
VỀ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Chúng ta đều biết trong chương trình giải tích toán 12, bài toán khảo
sát hàm số là một bài toán quan trọng và luôn có mặt trong các đề thi: học kỳ,
tốt nghiệp và đại học. Trong câu hỏi về khảo sát hàm số, ý thứ nhất thường là
câu khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, ý thứ hai là một câu về các vấn đề liên quan.
Theo tôi, các vấn đề này gồm có:
1. Tính đơn điệu của hàm số
2. Cực trị - Max, Min - Lồi, lõm, điểm uốn - Tiệm cận
3. Biến đổi đồ thị
4. Biện luận theo tham số, nghiệm của phương trình bằng phương
pháp đồ thị
5. Biện luận theo tham số, vị trí tương đối của 2 đường bằng cách dùng
phương trình hoành độ giao điểm
6. CHUYỂN ĐỔI MỘT BÀI TOÁN VỀ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO
7. Ứng dụng định lý Vi-et
8. Tiếp tuyến
9. Điểm cố định của một họ đường
10.Tìm tập hợp điểm
11.Tâm đối xứng – Trục đối xứng
12.Tính diện tích hình phẳng và thể tích của một hình tròn xoay
Để trao đổi kinh nghiệm với các đồng nghiệp và hướng dẫn thêm cho
các em học sinh về một số vấn đề liên quan tới bài toán khảo sát hàm số nói
trên, trong bài viết này tôi xin đề cập tới vấn đề: CHUYỂN ĐỔI MỘT BÀI
TOÁN VỀ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO.
3

II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1.MỞ ĐẦU
Vấn đề: “ CHUYỂN ĐỔI MỘT BÀI TOÁN VỀ BÀI TOÁN TƯƠNG
GIAO ” là sự tích hợp ở một cấp độ cao hơn của vấn đề 4 và vấn đề 5 mà tôi
đã nêu ra ở trên. Vì nó giải quyết cho nhiều loại bài toán như: phương trình,
bất phương trình, cực trị, max, min, tiếp tuyến, bất đẳng thức, v.v Mặt khác,
ở vấn đề 4, ta thường dùng lại đồ thị của hàm số đã được khảo sát ở trên, hoặc
đồ thị biến đổi của đồ thị đó. Còn CHUYỂN ĐỔI MỘT BÀI TOÁN VỀ BÀI
TOÁN TƯƠNG GIAO là ta lại khảo sát một hàm số khác chưa có mà ta phải
tự tìm.
Phương pháp chung của cách CHUYỂN ĐỔI MỘT BÀI TOÁN VỀ
BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO là: tùy theo yêu cầu của bài toán ta sẽ thiết lập
một phương trình hoặc bất phương trình có ẩn số và tham số, rồi ta chuyển vế
để một vế chỉ còn lại tham số mà thôi. Đặt vế kia là hàm số g(x) ( g(x) không
liên quan gì với hàm số f(x) đã được khảo sát và vẽ đồ thị trước đó, nếu có).
Ta khảo sát hàm số g(x) với phần có liên quan tới bài toán cần giải quyết. Từ
đó suy ra kết quả cần tìm.
Một bài toán nêu ra có thể có nhiều cách giải, phương pháp CHUYỂN
ĐỔI VỀ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO cũng chỉ là một trong những cách giải
đó. Có khi nó cũng chưa phải là cách hay nhất. Tuy nhiên, khi phát hiện bài
toán có thể dùng được phương pháp này, tôi thường khuyên học sinh hãy
dùng nó vì tính hiệu quả và nhất quán của phương pháp này trong quá trình
giải cho nhiều loại bài toán khác nhau.
2.MỘT SỐ VÍ DỤ
VÍ DỤ 1:
Cho hs y = - x
3
+ 3x
2
+ 3mx – 1 (1) với m là tham số thực

a)Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0
b)Tìm m để hs (1) nghịch biến trên (0;+∞)
(Đề thi đại học năm 2013 khối A và A1)
• Giải câu b
Ta có: y’= - 3x
2
+ 6x + 3m
y nghịch biến trên (0 ; +∞) ⇔ y’ ≤ 0 ∀x∈(0;+∞) (*)
Để giải quyết (*) ta có 2 cách:
Cách 1: Dùng kiến thức về dấu tam thức bậc 2 ở lớp 10
4
Tính ∆’, chia làm 2 trường hợp: ∆’ ≤ 0; ∆’ > 0
Cách 2: CHUYỂN ĐỔI VỀ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO
• Ý tưởng giải - Rút kinh nghiệm:
Rất dễ để phát hiện ra là: bài toán (*) có thể chuyển về bài toán tương giao
bằng cách chuyển m sang một bên. Cụ thể là chuyển tham số m sang vế trái ta
được dạng: m ≤ g(x). Để bất phương trình thỏa ∀x∈(0;+∞) chỉ cần m ≤
Min[g(x)] trên (0;+∞) là xong.
• Giải
Ta có: (*) ⇔ - 3x
2
+ 6x + 3m ≤ 0 ∀x∈(0;+∞)
⇔ m ≤ x
2
– 2x ∀x∈(0;+∞)
Đặt g(x) = x
2
– 2x với x∈(0;+∞)
g’(x) = 2x – 2 ; g’(x) = 0 ⇔ x = 1
BBT x 0 1 +∞

g’(x)
g(x) 0 +∞
-1

Suy ra: Min[g(x)] = - 1 khi x = 1
Vậy giá trị m cần tìm là: m ≤ -1
VÍ DỤ 2:
Cho hs y =
2x
26xmx
2
+
−+
(1) với m là tham số thực
a)Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
b)Tìm m để hs (1) nghịch biến trên [1;+∞)
• Giải câu b
Xét y =
2x
26xmx
2
+
−+

Txđ: D = R\{-2}
Ta có: y’ =
2
2
2)(x
144mxmx

+
++
y nghịch biến trên [ 1, +∞) ⇔ y’ ≤ 0 ∀x∈[1,+∞)
⇔ mx
2
+ 4mx + 14 ≤ 0 ∀x∈[1,+∞)
5
• Ý tưởng giải - Rút kinh nghiệm:
Tới đây, chúng ta có thể dùng kiến thức về tam thức bậc 2 để giải như đã nói
ở ví dụ 1. Nhưng rõ ràng là bài toán này có thể chuyển về bài toán tương giao
bằng cách chuyển m sang một bên. Nên chúng ta sẽ giải bằng cách đó xem
thế nào nhé.
Chuyển tham số m sang vế trái: m ≤ g(x). Để bất phương trình thỏa
∀x∈[1;+∞) chỉ cần m ≤ Min[g(x)] trên [1;+∞)
Ta có: mx
2
+ 4mx + 14 ≤ 0 ∀x∈[1,+∞)
⇔ m ≤
4xx
14
2
+
−
= g(x) ∀x∈[1 , +∞)
Ta có: g’(x) =
22
)4(
)2(28
xx
x

+
+
> 0 ∀x∈[1 , +∞)
BBT: x 1 +∞
g’(x) +
g(x) +∞

5
14
−
Nên: m ≤ g(x) ∀x∈[1 , +∞) ⇔ m ≤
5
14
−
Vậy: m ≤
5
14
−
VÍ DỤ 3:
Cho (C
m
): y = x
3
+ mx + 2
a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = - 3
b)Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất
• Giải câu b
Cách 1: Dựa vào tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Có 2 trường hợp
T.h.1: hàm số luôn đồng biến trên R ( vì: a = 1 > 0 )
T.h.2: hàm số luôn có cực đại, cực tiểu và y
CĐ
.y
CT
> 0
6
Cách 2: CHUYỂN ĐỔI VỀ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO
• Ý tưởng giải - Rút kinh nghiệm:
Dễ thấy là trong phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) với trục hoành
nếu ta chuyển m sang một bên thì lập tức bài toán đã chuyển về bài toán
tương giao. Cụ thể: lập phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và trục
hoành, chuyển tham số m sang một vế, khảo sát hàm số của vế bên kia. Dựa
vào vị trí tương đối của đồ thị hàm số đó và họ đường thẳng y = m để suy ra
kết quả
• Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và trục hoành:
x
3
+ mx + 2 = 0 ⇔
x
2
x

2
−−
= m ( x ≠ 0 ) (1)
đặt g(x) =
x
2
x
2
−−
( x ≠ 0 )
g’(x) = - 2x +
2
x
2
=
2
3
x
)x2(1−
; g’(x) = 0 ⇔ x = 1
BBT: x - ∞ 0 1 +∞
g’(x) + || + 0 −
+∞ -3
g(x) -∞ ||-∞ -∞

Ta có: (C
m
) cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất
⇔ phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất
⇔ đồ thị hàm số g(x) và d: y = m cắt nhau tại 1 điểm duy nhất

⇔ m > - 3

VÍ DỤ 4:
Cho (C
m
): y = x
3
+ mx
2
- 4
a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = - 3
b)Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
• Giải câu b:
Cách 1: Dựa vào tính đơn điệu và cực trị của hàm số
7
Hàm số luôn có cực đại, cực tiểu và y
CĐ
.y
CT
< 0
Cách 2: CHUYỂN ĐỔI VỀ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và trục hoành:
x
3
+ mx
2

- 4 = 0 ⇔
2
x
4
x
+−
= m ( x ≠ 0 ) (1)
đặt g(x) =
2
x
4
x
+−
( x ≠ 0 )
g’(x) =
3
3
x
8x-
−
; g’(x) = 0 ⇔ x = - 2
BBT: x - ∞ -2 0 +∞
g’(x) - 0 + || -
+∞ +∞ +∞
g(x) 3 || -∞

Ta có: (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
⇔ phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

⇔ đồ thị của g(x) và d: y = m cắt nhau tại 3 điểm phân biệt
⇔ m > 3
VÍ DỤ 5:
Cho (C
m
): y = f(x) = x
3
- 2x
2
- (m - 1)x + m
a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1
b)Tìm m để bất phương trình: f(x) ≥
x
1
nghiệm đúng ∀x ≥ 2
• Giải câu b:
• Ý tưởng giải - Rút kinh nghiệm:
Ta thấy trong bpt: f(x) ≥
x
1
nếu ta chuyển m sang một bên thì sao nào ? Có
phải lại đưa được về bài toán tương giao ? Chúng ta xem nhé.
Ta có: f(x) ≥
x
1
∀x ≥ 2 ⇔ x
3
- 2x
2
- (m - 1)x + m ≥

x
1
∀x ≥ 2
⇔ x
4
– 2x
3
+ x
2
– 1 ≥ m(x
2
– x) ∀x ≥ 2
8
⇔
m
xx
1x2xx
2
234
≥
−
−+−
∀x ≥ 2
⇔
m
xx
1x)(x
2
22
≥

−
−−
∀x ≥ 2
đặt t = x
2
– x ⇒ t ≥ 2
Bài toán trở thành tìm m để: g(t) =
t
1t
2
−
≥ m với t ≥ 2
Ta có: g’(t) =
2
2
t
1t
+
> 0 ∀t ≥ 2
BBT: t 2 +∞
g’(t) +
g(t) +∞

2
3
Suy ra: g(t) ≥ m ( ∀t ≥ 2 ) ⇔ m ≤
2
3
Vậy: m ≤
2

3
VÍ DỤ 6:
Tìm m để phương trình:
mx)x)(6(3x6x3
=−+−−++
có nghiệm
• Ý tưởng giải - Rút kinh nghiệm:
Rõ ràng ngay từ đầu phương trình đã có dạng bài toán tương giao, nhưng nếu
xem vế trái là hàm số g(x) thì ta có khảo sát nổi không ? Chắc là không rồi.
Ta cần đặt một biến phụ t là gì đó theo x. Khi đó hàm số f(t) mới lộ diện, và
đó mới thật sự là bài toán tương giao. Vấn đề là t = ?
• Giải:
Đặt t =
xx
−++
63
với x ∈ [-3 ; 6]
Ta tìm điều kiện của t:
t’ =
)6)(3(2
36
xx
xx
−+
+−−
; t’ = 0 ⇔ x =
2
3
9
BBT: x -3

2
3
6
t’ + 0 -
t 3
2

3 3

suy ra: t ∈ [3 ; 3
2
]
Ta có: t
2
= 3 + x + 6 – x + 2
x)x)(6(3
−+
⇒
x)x)(6(3
−+
=
2
9t
2
−
Phương trình đã cho:
2
9
t
2

t
2
++−
= m
Xét f(t) =
2
9
t
2
t
2
++−
với t ∈ [3 ; 3
2
]
f’(t) = - t + 1
BBT: t 3 3
2

f’(t) −
f(t) 3
3
2
-
2
9

Phương trình có nghiệm ⇔ 3
2
-

2
9
≤ m ≤ 3
VÍ DỤ 7:
Tìm m để phương trình:
22422
x1x1x122)x1x1( m
−−++−=+−−+
có nghiệm (Đề thi ĐH 2004 khối B)
• Ý tưởng giải - Rút kinh nghiệm:
Cũng như ví dụ 6, dễ thấy phương trình có thể chuyển về ngay dạng bài toán
tương giao, nhưng ta cũng cần đặt một biến phụ t là gì đó theo x. Khi đó hàm
số f(t) mới lộ diện, và đó mới thật sự là bài toán tương giao. Vấn đề là t = ?
• Giải:
Đặt t =
22
x1x1 −−+
với x∈[-1,1]
t ≥ 0; t = 0 khi x = 0
10
t
2
= 2 - 2
4
1 x
−
≤ 2 ⇒ t ≤
2
; t =
2

khi x = ± 1
suy ra: t∈[0 ,
2
] ( dễ thấy t liên tục trên [-1,1])
Phương trình trở thành: m(t + 2) = - t
2
+ t + 2 ⇔ m =
2t
2tt
2
+
++−
Xét: f(t) =
2t
2tt
2
+
++−
với t∈[0 ,
2
]
f’(t) =
2
2
2)(t
4tt
+
−−
≤ 0 ∀t∈[0 ,
2

]
BBT: t 0
2

f’(t) −
f(t) 1

2
- 1
Vậy phương trình có nghiệm khi:
2
- 1 ≤ m ≤ 1
MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO THÊM
1) Cho y = x
3
– 3(2m + 1)x
2
+ (12m + 5)x + 2. Tìm m để y đồng biến trên
(2,+∞)
ĐS: m ≤
12
5
2) Cho y =
43)x(m1)x(m
3
x
2
3
−++−+−
. Tìm m để y đồng biến trên (0,3)

ĐS: m ≥
7
12
3) Tìm m để phương trình:
m)
cosx
1
sinx
1
cotx(tanx
2
1
1cosxsinx =++++++

có nghiệm x∈(0,
)
2
π
ĐS: m ≥ 2(
12
+
)
4) Tìm m để phương trình: x
4
+ mx
3
+ x
2
+ mx + 1 = 0 có ít nhất 2 nghiệm
âm khác nhau

ĐS: m >
2
3
11
III. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Như tôi đã nói ở trên, chuyển đổi về bài toán tương giao chỉ là một
trong những cách giải một bài toán nào đó mà thôi. Trong một số bài toán có
thể nó chưa phải là cách hay nhất, tuy nhiên qua quá trình lâu dài dạy toán, tôi
thấy phần lớn cách giải này rất hiệu quả. Có thể tóm gọn các bước giải bài
toán bằng cách chuyển về bài toán tương giao là:
• Nhận thấy có thể chuyển tham số sang một vế và phần còn lại
của bài toán sang một vế một cách khá đơn giản
• Xét hàm số là vế đối diện của vế tham số, hoặc là hàm số có liên
quan với hàm số đó sau khi đã đặt một biến phụ. Tìm tập xác
định của hàm số đó.
• Tùy theo đề bài mà ta đi tìm giá trị của tham số thỏa yêu cầu
IV. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG:
Mong các đồng nghiệp tham khảo và đóng góp ý kiến.
V. TÀI LIỆU THAM KHẢO: không
NGƯỜI THỰC HIỆN
(Ký tên và ghi rõ họ tên)

VÕ NAM
12
SỞ GD & ĐT ĐỒNG NAI
Đơn vị: Trường THPT
chuyên Lương Thế Vinh

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Biên Hòa, ngày tháng năm 2014.
PHIẾU NHẬN XÉT - ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: 2013 - 2014
Tên sáng kiến kinh nghiệm: Một số vấn đề liên quan bài toán khảo sát hàm số
Vấn đề: CHUYỂN ĐỔI MỘT BÀI TOÁN VỀ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO
Họ và tên tác giả: Võ Nam Chức vụ: giáo viên
Đơn vị: tổ Toán – Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực
khác)
- Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: Toán
- Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác 
Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị 
Trong Ngành 
1. Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 2 ô dưới đây)
- Có giải pháp hoàn toàn mới 
- Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có 
2. Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 4 ô dưới đây)
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả
cao 
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai
áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao 
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai
áp dụng tại đơn vị có hiệu quả 
3. Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây)
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối,
chính sách: Tốt  Khá  Đạt 
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ
thực hiện và dễ đi vào cuộc sống: Tốt  Khá  Đạt 
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng

đạt hiệu quả trong phạm vi rộng: Tốt  Khá  Đạt 
13
x
Phiếu này được đánh dấu X đầy đủ các ô tương ứng, có ký tên xác
nhận của người có thẩm quyền, đóng dấu của đơn vị và đóng kèm vào cuối
mỗi bản sáng kiến kinh nghiệm.
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
(Ký tên và ghi rõ họ tên)
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
(Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu)
14