Một số chủ đề Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT môn Toán

Thnh viờn Tui Hc Trũ
123doc.org
Mt s ch ụn thi Tt nghip THPT mụn Toỏn
CH 0 . GII HAN - LIấN TC
1. Tỡm cỏc gii hn sau:
a. b. c.
d. e. f.
2. a. Cho hm s:
. Tỡm A, B f(x) liờn tc
trờn R.
b. Tỡm a hm s liờn
tc ti.
c. Tỡm a hm s liờn
tc ti.
&
CH 1. O HM
Bi 1. Chng t rng vi mi , hm s
cú o hm .
Bi 2. Tớnh o hm cỏc hm s:
a.; b.; c. .
Bi 3. Tớnh o hm cỏc hm s:
a.; b ;
c
Bi 4. Tớnh o hm cỏc hm s:
a.; b.;
c
Bi 5. Tớnh o hm cỏc hm s:
a. ; b.;
c
Bi 6. Tớnh o hm cỏc hm s:
a.; b.; c.

Bi 7. Tớnh o hm cỏc hm s:
a.; b.;
c.; d
Bi 8. Tớnh f (0) bit:
a.
b
Bi 9. Cho hm s
a. Tớnh f (x) ; b. Gii
pt .
Bi 10. Cho hm s CMr: .
Bi 11. Tớnh o hm cp n ca cỏc hm s:
a.; b. c
Bi 12. Cho hm s . CMr .
Bi 13. Cho hm s
a.
Tớnh .
b. Gpt .
Bi 14. Cho hm s . G pt .
Bi 15. Cho hm s . CMr: .
Trang 1 Error: Reference source not found
3
5
1
2 1
lim
2 1
x
x x
I
x x

-đ
- -
=
- -
1
x
os
2
lim
1-
x
c
J
x
p
đ
=
7
1
lim 1
x
x
K
x
Ơđ
ổ ử
ữ
ỗ
= +
ữ

ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
2
1
lim
3
x
x
x
L
x
+
Ơđ
ổ ử
-
ữ
ỗ
=
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
+
2
1
2 3 1
lim

1
x
x x
M
x
đ
- +
=
-
3
1
2 1 8
lim
x
x x
N
x
đ
+ - -
=
( )
2 sin
2
Asin
2 2
os
2
x k hi x
f x x B khi x
c x khi x

p
p p
p
-
ỡ
ù
ù
Ê
ù
ù
ù
ù
-
ù
= + < <
ớ
ù
ù
ù
ù
ù

ù
ù
ợ
( )
1
0
1
0

2
ax
e
khi x
x
f x
khi x
ỡ
-
ù
ù
ạ
ù
ù
ù
=
ớ
ù
ù
=
ù
ù
ù
ợ
0x =
( )
1 1
0
0
x

khi x
f x
x
a khi x
ỡ
ù
- -
ù
ạ
ù
ù
=
ớ
ù
ù
=
ù
ù
ợ
0x =
x ẻ Ă
( )
( )
ln 1F x x x= - +
( )
'
1
x
F x
x

=
+
( )
2
2 os 2 siny x c x x x= - +
( )
2
os 1 4y c x= -
( )
2
sin osy c x=
t an coty x x= -
( )
t an 1 3y x= +
( )
2
cot 11 2y x= -
2
5 6y x x= - +
1
os2
y
c x
=
( )
2
1
x
y x= +
1

ln
1
x
y
x
-
=
+
ln sin cosy x x x= + +
( )
2
ln 1y x x= + +
sin . ln 3 os
3
x
x c x
y
+
=
ln
1
x
x
e
y
e
=
+
( )
( )

2 2
ln , 0y x x a a= + - >
4x x
y e e
-
= +
2
5 ln 8 cosy x x x= - +
2 3 sin 2
x
y xe x= +
os2c x
y e=
( )
2
sin
0
0 0
x
khi x
f x
x
khi x
ỡ
ù
ù
ạ
ù
ù
=

ớ
ù
ù
=
ù
ù
ợ
( )
( )
ln os
0
0 0
c x
khi x
x
f x
khi x
ỡ
ù
ù
ạ
ù
=
ớ
ù
ù
=
ù
ợ
( )

2
1
os
2
x
f x c x
-
=
( )
( )
( )
1 'f x x f x= -
1
ln
1
y
x
=
+
' 1
y
xy e+ =
osy c x=
sin 5y x=
( )
2
ln 2y x x= + -
-sinx
y e=
'.cos . s in '' 0y x y x y- + =

( )
2
2 16. os cos 2f x x c x x= + -
( ) ( )
( )
( )
' , '' , ' 0 , ''f x f x f f
p
( )
'' 0f x =
( )
2
1
os
2
x
f x c x
-
=
( )
( )
( )
1 ' 0f x x f x- - =
3 3
sin cos
1 sin cos
x x
y
x x
+

=
-
"y y= -
Thành viên Tuổi Học Trò
123doc.org
Một số chủ đề ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán
Bài 16. CMr:
Bài 17. CMr: với
Bài 18. Cho hàm số y = (x+1)e
x
. Chứng
minh y”-y’ = e
x
.
Bài 19. Cho y = e
sinx
. Chứng minh: y’.cosx – y.sinx - y” = 0.
Bài 20. Cho y = e
cosx
. Chứng minh: y’.sinx – y.cosx + y” = 0.
Bài 21. Chứng minh rằng hai hàm số .
(a, b là hai hằng số) cùng thoả mãn
hệ thức .
Bài 22. Cho hàm số: .Chứng tỏ: y
3
y” + 1=0.
Bài 23. Cho hàm số . Chứng minh:
(1+x
2
)y” + xy’ - 9y = 0

Bài 24. Cho y = e
x
cosx. Chứng minh: y
(4)
+ 4y = 0.
&
CHỦ ĐỀ 2. PT TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bài 1. Cho hàm số có đồ thị (C).
a. Viết pt tt của (C) tại
i) điểm A(1; -1)
ii) giao điểm của (C) với trục Oy.
iii) điểm có tung độ bằng 1.
b. Viết pt tt của (C) tại điểm uốn của (C). CMr trong tất cả các tiếp tuyến của (C) tiếp tuyến tại điểm
uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
c. Viết pt các tt của (C) đi qua
điểm B(-1;-3). Đáp số: c. .
Bài 2. Cho hàm số có đồ thị (C).Viết pt
các tt của (C) đi qua điểm
Đáp số: ;
Bài 3. Cho hàm số có đồ thị (C). Viết pt các
tiếp tuyến của (C) trong các trường hợp sau:
a. Tung độ của tiếp điểm bằng
b. Có hệ số góc bằng - 4
c. Song song với đường thẳng
d. Vuông góc với đường thẳng
e. qua điểm A(2; 0).
Bài 4. Cho hàm số có đồ thị (C). Viết pt các
tiếp tuyến của (C) trong các trường hợp sau:
a. tại điểm
b. Song song với đường thẳng

c. Vuông góc với đường thẳng
d. qua điểm B(-2; 0).
Bài 5. Cho hàm số có đồ thị (C).Viết pt các
tiếp tuyến của (C) qua gốc toạ độ.
Đáp số:.
Bài 6. Cho hàm số có đồ thị (C). CMr qua
điểm A(1; 0) có thể kẻ được hai tiếp
tuyến đến (C) và hai tiếp tuyến này
Trang 2 Error: Reference source not found
2
1
cos 1 , 0
2
x x x≥ − ∀ ≥
( )
2008 ' 1 7
y
xy e+ =
( )
2008
ln 0
16 7
y x
x
= >
+
sin
ax
y e bx=
cos

ax
y e bx=
( )
2 2
'' 2 ' 0y ay a b y− + + =
2
2 xxy −=
(
)
3
2
1++= xxy
3 2
3 1y x x= - +
3; 9 6y y x= - = +
4 2
1 3
3
2 2
y x x= - +
3
0;
2
A
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷

ç
è ø
3
2
y =
3
2 2.
2
y x= ± +
3 2
1
x
y
x
-
=
-
5
2
3y x= - +
4 10y x= +
2
1
x
y
x
=
+
1
1;

2
A
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
8 1y x= - +
4 8 0x y- + =
( )
3 1
2
x
y
x
+
=
-
6 3 3
2
y x
æ ö
- ±
÷
ç
÷
=

ç
÷
ç
÷
ç
è ø
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
Thành viên Tuổi Học Trò
123doc.org
Một số chủ đề ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán
vuông góc với nhau (ĐH Dược HN 99).
Bài 7. Cho hàm số có đồ thị . Định m
để tiếp xúc với trục hoành. Đáp số:
Bài 8. Cho hàm số có đồ thị .
Định m để tiếp xúc với trục
hoành. Đáp số: .
&
CHỦ ĐỀ 3. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Bài 1. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau
a. ; b. ; c. ;
d. ; e. ; f. .
Bài 2. Xét chiều biến thiên của các

hàm số sau:
a.; b. ; c. ; c
Bài 3. Xác định m để hàm số nghịch
biến trên từng khoảng xác định.
Bài 4. Xác định m để hàm số nghịch
biến trên từng khoảng xác định.
Bài 5. Tìm m để hàm số
đồng biến trên khoảng
Bài 6. Tìm m để hàm số
nghịch biến trên khoảng
Bài 7. Xác định m để hàm số
đồng biến
a.Trên khoảng; b.Trên
khoảng.
&
CHỦ ĐỀ 4. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Bài 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số (nếu có):
a. ; b. ;
c. d.
Bài 2. Cho hàm số (1).
a. Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị
của hàm số (1).
b. Viết pt đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số (1).
Bài 3. CMR với mọi giá trị của tham số
m, hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.
Bài 4. Xác định m để hàm số
đạt cực tiểu tại.
Bài 5. Xác định m để hàm số
đạt cực đại tại.
Bài 6. Áp dụng dấu hiệu II, tìm cực trị của

các hàm số:
a. với; b
Bài 7. Với giá trị nào của k thì hàm số
có cực tiểu?
&
CHỦ ĐỀ 5. GTLN - NN CỦA HÀM SỐ
Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau
Trang 3 Error: Reference source not found
3 2
3 3y x mx x m= - - +
( )
m
C
( )
m
C
1
3
m = ±
( )
4 3 2
1y x x m x x m= + + - - -
( )
m
C
( )
m
C
1
2 0,

4
m m m= - = =
2
2 4 5y x x= - + +
3 2
2 2y x x x= - + -
4 2
1
2 1
4
y x x= - -
4 3
8 5y x x= + +
4 3 2
6 8 3 1y x x x= - + - -
( )
( )
3 , 0y x x x= - >
3 1
1
x
y
x
+
=
-
2
1
1
x x

y
x
- +
=
-
2
2
1
x
y
x x
-
=
+ +
2 1 5y x x= - - -
2 10mx m
y
x m
- +
=
+
2
2 1
1
mx mx
y
x
- +
=
-

3 1
2
7
2
m
y x x m
- -
= - + + -
( )
;1- ¥
2 1
2
3 1
2
m
y x x m
+ -
= - - +
( )
;0- ¥
3 2
1
2 2
3
y x x mx= - + +
( )
;- ¥ + ¥
( )
;1- ¥
3 2

2 2 1y x x x= - + -
2
3 6
2
x x
y
x
- + +
=
+
2
2y x x x= + -
2
4y x x= -
2
2
1
x x
y
x
+
=
-
( )
2 2
1x m
y
x m
- -
=

-
( )
3 2 2
1
1 1
3
y x mx m m x= - + - - + -
1x =
2
1x mx
y
x m
+ +
=
+
2x =
sin cosy x x= +
( )
;x
p p
-Î
sin os
2 2
x x
y c= +
2
2 1y x k x= - + +
Thành viên Tuổi Học Trò
123doc.org
Một số chủ đề ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán

Bài 1. trên khoảng
Bài 2.
Bài 3. trên đoạn [-5 ;5].
Trang 4 Error: Reference source not found
2
2 5
1
x x
y
x
- +
=
-
( )
1;+ ¥
2
4 5y x x= - + +
2
5 6y x x= - +
Thnh viờn Tui Hc Trũ
123doc.org
Mt s ch ụn thi Tt nghip THPT mụn Toỏn
Bi 4. trờn
on
Bi 5. trờn on
Bi 6. trờn on
[-1 ;2].
Bi 7.
trờn on
Bi 8. trờn

on [-2 ;
0]
Bi 9. khi [QG
HN-D-97]
Bi 10. ;
Bi 11.
[Hc Vin
Ngõn
Hng Tp.HCM -98].
Bi 12. ;
Bi 13. trờn on ;
Bi 14. trờn on
Bi 15. [B
-03];
Bi 16.
Bi 17. trờn
on [0 ; 3];
Bi 18. trờn
on [0 ; 3];
Bi 19. trờn on [ -5 ; 5] [KTQDHN-97];
Bi 20. trờn
on [NN
HN - 99];
Bi 21. trờn on [KTQDHN-00];
Bi 22.
trờn
khong
[KTQDHN-99];
Bi 23. trờn
on

[SP Quy
Nhn
- 99];
Bi 24.
[GT -97];
Bi 25.
[H Vn
Hoỏ HN
- 97]
Bi 26. ;
Bi 27. [GT - 97].
[Kin Trỳc HN - 98]
;
Bi 28. [SP HN 01A]
Bi 29. Tỡm GTNN ca [AN-D,G-98].
Bi 30. Tỡm GTNN ca [SP Quy Nhn -97]
&
Trang 5
2 os2 4 siny c x x= +
0;
2
p
ộ ự
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
2
ln x
y
x

=
[ ]
1;e
2
1
1
x
y
x
+
=
+
3
4
os sin sin
2 3
y c x x x
p
ổ ử
ữ
ỗ
= - + -
ữ
ỗ
ữ
ố ứ
[ ]
0;
p
5 3

5 2y x x= - +
3 1
3
x
y
x
-
=
-
0 2xÊ Ê
2
2
1
1
x
y
x x
+
=
+ +
2
2
20 10 3
3 2 1
x x
y
x x
+ +
=
+ +

2
sin 1
sin sin 1
x
y
x x
+
=
+ +
3
4
os sin sin
2 3
y c x x x
p
ổ ử
ữ
ỗ
= - + -
ữ
ỗ
ữ
ố ứ
[ ]
0;
p
1 1
sin sin 2 sin 3
2 3
y x x x= - +

[ ]
0;
p
2
4y x x= + -
2
2 5y x x= + -
( )
2
6 4y x x= - +
3
3 1y x x= - +
3 2
3 72 90y x x x= + - +
2
osy x c x= +
0;
4
p
ộ ự
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
2
sin
2
x
y x= -
;
2 2

p p
ộ ự
-
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
2
9
4 siny x x
x
p
= + +
( )
0;+ Ơ
sin
2 os
x
y
c x
=
+
[ ]
0;
p
2
1
sin os
2
y x c x= - +
5 sin cos 2y x x= +

sin cos
sin 2 os 3
x x
y
x c x
-
=
+ +
2 sin
1
2 os
x
y
c x
= +
+
2
2 cos cos 1
cos 1
x x
y
x
+ +
=
+
6 6
4 4
1 cos sin
1 sin os
x x

y
x c x
+ +
=
+ +
4 2
4 2
3 cos 4 sin
3 sin 2 os
x x
y
x c x
+
=
+
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 3 3 5y x x x= - + + + -
2 2
4 cos 3 3 sin 7 siny x x x= + +
Gv: Lª–ViÕt–Hßa T:Đ 0905.48.48.08
CHỦ ĐỀ 6. KSHS VÀ CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN
A. KS SBT và vẽ đồ thị (C) của các hàm số.
I. Hàm số bậc ba
Bài 1. (PT y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt)
a.
b.
c.
d.
e.

f.
g.
h.
i.
Bài 2. (P
T y’
= 0
có nghiệm kép)
a. ; b.; c. .
Bài 3. (PT y’ = 0 vô nghiệm)
a. ; b.; c. .
II. Hàm số trùng phương:
Bài 1. (PT y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt)
a. ; b. ; c. ;
d. ; e. ;
f. .
Bài 2. (PT y’ = 0 có một nghiệm)
a. ; b
III.
Hàm số
Bài 1. ()
a.; b.; c.;
d
Bài 2. ()
a.; c.; d. ;
e. .
B. KS SBT và vẽ đồ thị (C) của các hàm số và các bài toán có liên quan.
I. Hàm số bậc ba
Bài 1. Cho hàm số có đồ thị (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

(C) của hàm số.
b. Dùng đồ thị (C), hãy biện luận
theo m số nghiệm của phương
trình (1) (m là tham số) .
c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M thuộc (C) có tung độ bằng 3.
Bài 2. Cho hàm số có đồ thị (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ
thị (C) của hàm số.
b. Dùng đồ thị (C), hãy biện
luận theo m số nghiệm của
phương trình (1) (m là tham số).
c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M thuộc (C) có tung độ bằng -1.
Bài 3. Cho hàm số có đồ thị (C) và đường
thẳng d có phương trình
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Tìm m để (C) và d tiếp xúc với nhau .
c. Biện luận theo m số nghiệm và xét
Trang 6 Error: Reference source not found
3
3 2y x x= - -
3 2
4 4y x x x= - - -
3 2
3 5y x x= - +
3 2
2 3 2y x x= - + -
( ) ( )
2
1 2 1y x x= + -
3 2

3 1y x x= + +
( )
3 2
3 1y x x= - + -
( ) ( )
2
1 2y x x= + -
3
3 1y x x= - + +
3
1
3
4
y x x= - +
3
2 5y x= - +
3 2
3 3 1y x x x= + + +
( )
3
1y x= -
3 2
9y x x x= - - -
3
4y x x= +
3 2
3 4 2y x x x= - + - +
4 2
2 3y x x= - +
( )

2 2
2y x x= -
4 2
1 1 1
4 2 2
y x x= - -
4 2
8 1y x x= - + -
4 2
2 1y x x= - -
( )
2
2
2y x= -
4 2
2 3y x x= + -
4 2
1 3
2 2
y x x= - - +
( )
0, 0
ax b
y c ad bc
cx d
+
= -¹ ¹
+
0ad bc- >
2 1

2 2
x
y
x
-
=
+
1 2
2 4
x
y
x
-
=
-
1
x
y
x
=
-
2x
y
x
-
=
0ad bc- <
3
1
x

y
x
+
=
-
3
2
1
y
x
= +
-
2
2 1
x
y
x
-
=
+
3
2
y
x
=
-
3 2
3 3y x x= - - +
3 2
3 0x x m+ + =

3 2
6 9 1y x x x= - + -
3 2
6 9 0x x x m- + - + =
3 2
2y x x x= − +
y x m= +
3 2
2 0x x m− − =
Gv: Lª–ViÕt–Hßa T:Đ 0905.48.48.08
dấu nghiệm của phương trình: (1).
HD-ĐS: b. hoặc .
c. i. : có 1 nghiệm âm;
ii.: có 1 nghiệm âm và
1 nghiệm (kép) ;
iii. : có 2 nghiệm
dương và 1 nghiệm âm;
iv. : có 1 nghiệm
dương và 1 nghiệm (kép) ;
v. : có 1 nghiệm dương .
Bài 4. Cho hàm số có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm
số.
b. Biện luận theo a số nghiệm của
phương trình: (1).
Bài 5. Cho hàm số có đồ thị (C).
a. Tìm a để các điểm cực đại, cực tiểu
của đồ thị đối xứng nhau qua đường thẳng .
b. Tìm a để đường thẳng cắt đồ thị tại 3
điểm phân biệt A, B, C sao cho.

Bài 6. Cho hàm số
1. Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số
(1).
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
Bài 7. Cho hàm số y= x
4
- 4x
3
+ 4x
2
1. Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị (C)của hàm số đó.
2. Xác định tham số m, sao cho phương trình (ẩn x) sau có 4 nghiệm phân biệt x
4
- 4x
3
+ 4x
2
= m
2
-2m.
3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi ( C) y = 0,x = 0, x = 1 quay một
vòng quanh trục Ox
Bài 8. Cho hàm số , (C)
1. Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị (C).
2. Viết phương trình các tiếp tuyến của
(C) đi qua điểm A(3;0).
3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường thẳng y = 0, x = 0,
x = 3 quay quanh trục Ox.
Bài 9. Cho hàm số y = x
3

- 3x
2
+ m (1) ( m là tham số)
1. 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 2 điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc toạ độ.
Bài 10. Cho hàm số , (C
m
), (m là tham
số)
1. Định m để là điểm cực đại của
(C
m
)
2. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)của hàm số ứng với m vừa tìm được ở câu trên.
3. Từ gốc toạ độ có thể kẻ đến (C) bao nhiêu tiếp tuyến , chỉ ra các phương trình tiếp tuyến và toạ độ
tiếp điểm.
4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và một tiếp tuyến nằm ngang của (C)
Bài 11. Cho hàm số y = (m+3)x
3
-3(m+3)x
2
-(6m+1)x+m+1 (C
m
)
1. Chứng minh rằng (C
m
) đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng.
2. Khảo sát và vẽ đồ thị (C
1
) khi m=1.

Bài 12. Cho hàm số f(x) = x
3
– 2x
2
–(m-1)x +m
(với m là tham số). Tìm m để , với
Bài 13. Cho hàm số y=x
3
-3(m-
1)x
2
+(2m+1)x+5m-1 (C
m
)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m=1. Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng của (C).
2. Tìm m để (C
m
) tiếp xúc với trục Ox.
3. Tìm m để đường thẳng qua cực điểm của (C
m
) cũng đi qua gốc toạ độ.
Trang 7 Error: Reference source not found
0m =
32
27
m = −
32
27
m < −
32

27
m = −
4
3
x =
32
0
27
m
−
< <
0m =
4
3
x =
1m >
3 2
5 7 3y x x x= − − −
( )
2
1
1 1
3
x x a
 
− − =
 ÷
 
3 2 3
3 4y x ax a= − +

y x=
y x=
AB BC=
( )
= − + −
3 2
1
2 3 1
3
y x x x
23
3
1
xxy −=
xmxxy 32
3
1
23
+−=






3
4
,1A
x
xf

1
)( ≥
2≥∀x
Gv: Lª–ViÕt–Hßa T:Đ 0905.48.48.08
Bài 14. Cho hàm số y = x
3
-3x
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Tìm các điểm trên Ox, từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến khác nhau với (C).
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox.
4. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x
3
-3x+m-1=0.
Bài 15. Cho hàm số: y = x (3-x)
2
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C). Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng.
2. Một đường thẳng (d) đi qua gốc toạ độ O có hệ số góc m.
a. Với giá trị nào của m thì (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt O, A, B.
b. Tìm tập hợp trung điểm của đoạn AB.
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (d) khi m=1
Bài 16. Cho hàm số , (C
m
)
1. Tìm các điểm cố định mà
(C
m
) luôn đi qua.
2. Khảo sát và vẽ (C)khi m=2.
3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C)và đi qua .
4. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C), y = 0, x = 0, x = 1 quay

quanh Ox.
Bài 17. Cho hàm số y=x
3
+3x
2
+mx+m−2, m là tham số, có đồ thị (C
m
)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3.
2. Gọi A là giao điểm của (C) với trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị (C) tại A. Tính
diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và tiếp tuyến (d).
3. Tìm m để (C
m
) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.
Bài 18. Cho hàm số
1. Tìm các điểm cố định mà họ
(C
m
) luôn đi qua.
2. Xác định m để hàm số có 2 cực trị có hoành độ dương.
3. Khảo sát vẽ đồ thị hàm số khi m = 2.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C
2
) đi
qua điểm .
4. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C
2
), y = 0, x = 0, x = 1 quay quanh trục
Ox.
Bài 19. Cho hàm số

1. Khảo sát sự biến thiên và
vẽ đồ thị (C) của hàm số
khi m = 2.
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
3. Với giá trị nào của m, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến.
Bài 20. Cho hàm số có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Biện luận theo a số nghiệm của
phương trình: (1).
c. Tìm a để phương trình có 3
nghiệm phân biệt trong đó có đúng
hai nghiệm lớn hơn 1.
HD-ĐS: b. i. : vô nghiệm; ii. : có 2 nghiệm,;
iii.: có 4 nghiệm; iv. : có 2 nghiệm ;
v.: có 2 nghiệm .
c. .
II. Hàm số trùng phương
Bài 1. Cho hàm số có đồ thị (C
a
).
Tìm a để (C
a
) cắt Ox tại 4 điểm
có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng.
HD-ĐS: : dãy số -3, -1, 1, 3 là cấp số cộng;
: dãy số -1,, , 1 là cấp số cộng.
Bài 2. Cho hàm số có đồ thị (C
a
). Tìm
Trang 8 Error: Reference source not found

2)12(
3
1
23
+−−+−= mxmmxxy
)
3
4
;
9
4
(A
2)12(
3
1
23
+−−+−= mxmmxxy
)
3
4
;
9
4
(M
3
1
)2(3)1(
3
1
23

+−+−−= xmxmmxy
3 2
3 2y x x= − +
2 2
2 2
1
a
x x
x
− − =
−
3 2
3 0x x a− − =
2a < −
2a = −
0x = 2x =
2 0a− < <
0a =
1 3x = ±
0a >
4 2a− < < −
( )
4 2
2 1 2 1y x a x a= − + + − −
4a =
4
9
a
−
=

1
3
−
1
3
( )
4 2
1 4 2y a x ax= + − +
1a >
Gv: Lª–ViÕt–Hßa T:Đ 0905.48.48.08
a để (C
a
) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt. HD-ĐS:
Bài 3. Cho hàm số có đồ thị (C
a
).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm
số khi .
b. Biện luận theo a số nghiệm của
phương trình: (1).
Bài 4. Cho hàm số có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Biện luận theo a số nghiệm của
phương trình: (1).
Bài 5. Tìm a để phương trình: có 4
nghiệm phân biệt.
HD-ĐS:
Bài 6. Cho hàm số
1/ Khảo sát vẽ đồ thị
(C) của hàm số (1) khi .

2/ Tìm m để hàm số có 3 cực trị.
Bài 7. Cho hàm số y = - x
4
+ 2mx
2
- 2m + 1 (C
m
).
1. Chứng minh rằng (C
m
) luôn qua 2 điểm cố định A, B.
2. Tìm m để tiếp tuyến với (C
m
) tại A có hệ số góc là 16.
3. Xác định m để (C
m
) cắt trục Ox tại 4 điểm lập thành cấp số cộng.
4. Khảo sát và vẽ (C) khi m = 5. Tính diện tích giới hạn với (C) và trục Ox.
Bài 8. Cho hàm số
a. Tìm a, b để hàm số đạt cực trị bằng −2
khi x = 1.
b. Khảo sát và vẽ (C) khi a = 1, .
c.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox.
d. Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình: x
4
-2x
2
-3+2m = 0.
Bài 9. Cho hàm số y = (x+1)
2

(x-1)
2
.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox.
3. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: (x
2
-1)
2
-2m+1=0.
4. Tìm b để Parabol y=2x
2
+b tiếp xúc với (C)
Bài 10. Cho hàm số y=x
4
+2(m-2)x
2
+m
2
-5m+5 , (C
m
)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m = 1.
b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại các điểm có hoành độ là nghiệm của pt y’’ =0.
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
d. Tìm m để (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
III. Hàm số
Bài 1. Cho hàm số có đồ thị
(C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
song song với đường thẳng .
c. Biện luận theo m số nghiệm của
phương trình: (1)
Bài 2. Định t để phương trình có đúng 2
nghiệm thuộc đoạn ĐS: .
Bài 3. Cho hàm số (H
m
)
1. Định m để hàm số nghịch biến trên
Trang 9 Error: Reference source not found
( )
4 2
1y x ax a= + − +
1a = −
( )
2 2
4 1 1x x a− = −
4 3
4 3y x x= − +
4 3
4 8 0x x x a− + + =
2 2
2 10 8 5x x x x a− + − = − +
43
4
4
a< <
( )
( )

4 2 2
9 10 1y mx m x= + − +
1m =
bax
x
y +−=
2
4
2
3
2
b
−
=
( )
0, 0
ax b
y c ad bc
cx d
+
= -¹ ¹
+
1
1
x
y
x
+
=
−

2 1 0x y+ − =
( )
2
2 1 1 0x m x m− + + + =
1 2sin
2 sin
x
t
x
+
=
+
[ ]
0;
π
1
1
2
t≤ <
2
4
mx
y
x m
−
=
+ −
Gv: Lª–ViÕt–Hßa T:Đ 0905.48.48.08
từng khoảng xác định.
2. Khảo sát và vẽ đồ thị (H) với m = 2

3. Tìm những điểm trên (H) mà tại đó tiếp tuyến của (H) lập với Ox một góc 45
0
. Viết phương trình
tiếp tuyến đó.
Bài 4.Cho hàm số:
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại
các giao điểm của (C) với các trục toạ độ.
3. CMr tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C) đến 2 tiệm cận là một hằng số.
4. Biện luận theo m số giao điểm của (C) và đường thẳng (d): y−2x−m = 0.
5. Trong trường hợp (d) cắt (C)tại 2 điểm M, N. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn MN.
6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (d) khi m = 5.
Bài 5. Cho hàm số: có đồ thị là (C).
1. Định a,b để đồ thị (C) có tiệm cận
ngang y =1 và tiếp tuyến tại điểm có
hoành độ x =0 có hệ số góc là 3.
2. Khảo sát và vẽ (C) ứng với a,b tìm được.
3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) và đi qua A(-3; 0).
4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), tiệm cận ngang và 2 đường thẳng x = 0, x = 2.
Bài 6.Cho hàm số , gọi đồ thị của hàm số là
(C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của
hàm số.
2. Từ (C) vẽ đồ thị của hàm số (1).
Dựa vào đồ thị của hàm số (1), hãy
biện luận theo k số nghiệm của
phương trình (2)
3. Tìm các điểm thuộc (C) có toạ độ nguyên.
Bài 7. Cho hàm số ,(C
m

)
1. Tìm những điểm cố định của (C
m
)
2. Khảo sát và vẽ (C) khi m=1.
3. Tìm trên (C) những điểm có toạ độ nguyên.
4. Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận nhỏ nhất.
5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và 2 trục toạ độ.
6. Lập phương trình tiếp tuyến với (C) và song song với phân giác góc phần tư thứ nhất
&
CHỦ ĐỀ 6’. KSHS VÀ CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN
(Dành cho HS học theo CT nâng cao)
Bài 1. Cho hàm số có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của
hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ (1; -1).
c. Biện luận theo m số
nghiệm của phương
trình: (1)
với .
HD-ĐS:
b.
c. i. : vô nghiệm;
ii. hoặc : có 1
nghiệm;
iii. : có 2
nghiệm.
Bài 2. Cho hàm số có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của
hàm số.

Trang 10 Error: Reference source not found
1
42
+
−−
=
x
x
y
1+
+
=
x
bax
y
= −
−
2
2
2
y
x
( )
−
=
−
2 3
2
x
y

x
( )
−
=
−
2
2 3
log
2
x
k
x
mx
mxm
y
+
++
=
)1(
2
1
y x
x
= +
−
( )
2
sin 1 sin 2 0x m x m− + + + =
;
2 2

x
π π
 
∈ −
÷

 
1 3
2 2
y x= −
1 2 2m > −
2m < −
1 2 2m = −
2 1 2 2m− ≤ < −
2
3 3
2
x x
y
x
+ +
=
+
Gv: Lª–ViÕt–Hßa T:Đ 0905.48.48.08
b. Viết phương trình tiếp tuyến của
(C) song song với đường thẳng .
c. Biện luận theo m số
nghiệm của phương
trình: (1)
với .

d. Biện luận theo m số
nghiệm của phương
trình: (2)
với .
HD-ĐS:
b. ; .
c. i. : vô nghiệm; ii. : có 1
nghiệm.
Bài 3. Cho hàm số có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của
hàm số.
b. Từ đồ thị (C), hãy vẽ đồ thị của
hàm số.
c. Tìm m để phương trình (1) có
2 nghiệm phân biệt.
d. Tìm m để phương
trình (2) có 3
nghiệm phân biệt nằm trong đoạn .
HD-ĐS: c. ; d. .
Bài 4. Cho hàm số có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của
hàm số.
b. Biện luận theo m số
nghiệm của phương
trình: (1)
với .
HD-ĐS: : có 3 nghiệm , , .
: có đúng 4 nghiệm.
: vô nghiệm.
Bài 5. Cho hàm số có đồ thị (C).

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của
hàm số.
b. Biện luận theo a số
nghiệm của phương trình:
(1)
Bài 6. Cho hàm số có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của
hàm số.
b. Biện luận theo a số nghiệm
của phương trình: (1).
Bài 7. Cho hàm số có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của
hàm số.
b. Tìm k để đường thẳng d: cắt
(C) tại 2 điểm phân biệt và
nhận I(5 ; 10) là trung điểm
c. Biện luận theo a số
nghiệm âm của phương
trình: .
Bài 8. Cho hàm số có đồ thị (C).
Trang 11 Error: Reference source not found
3 6y x− = −
( )
2
cos 3 cos 3 2 0x m x m+ − + − =
[ ]
0;x
π
∈
( )

2
sin 3 sin 3 2 0x m x m+ − + − =
[ ]
0;x
π
∈
3 3y x= − −
3 11y x= − −
7
1;
3
m
 
∈
 
 
7
1;
3
m
 
∉
 
 
2
1
1
x x
y
x

− +
=
−
2
1
1
x x
y
x
− +
=
−
2
1
2
1
x x
m
x
− +
= −
−
( )
( )
( )
2
2 2
2 1 2 1 0t t m t t m+ − + + + + =
[ ]
3;0−

1 1m− < <
3
1
2
m
−
< < −
2
1
1
x x
y
x
− +
=
−
( )
2
sin sin 1 sin 1x x m x− + = −
[ ]
0;2x
π
∈
1m = −
1
0x =
2
x
π
=

3
2x
π
=
1m < −
1m > −
2
2 3 2
1
x x
y
x
− +
=
−
2
1
2
2 3 2
log 0
1
x x
a
x
− +
+ =
−
2
2 3
1

x x
y
x
− +
=
−
2
2 3
1
x x
a
x
− +
=
−
2
2 9
2
x x
y
x
− +
=
−
10 5y kx k= + −
( )
2
2 9
2 2
2

x x
a x
x
− +
= − +
−
2
3
2
x x
y
x
+ −
=
+
Gv: Lª–ViÕt–Hßa T:Đ 0905.48.48.08
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Biện luận theo m số
nghiệm của phương trình:
(1).
HD-ĐS: b. i. : vô nghiệm;
ii. : có 1 nghiệm ;
iii. : có 2 nghiệm;
Bài 9. Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm m
để đường thẳng cắt (C) tại 2 điểm phân
biệt. Chứng minh rằng 2 giao điểm cùng
thuộc 1 nhánh của đồ thị.
HD-ĐS: hoặc .
&
CHỦ ĐỀ 7. PT, BPT & HPT MŨ - LOGARIT

A. PP đưa về cùng một cơ số
Bài 1.Giải các pt sau:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
Bài 2. Giải các bpt sau:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
Bài 3. Giải các pt sau:
a.
b.
c.
d.

e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m. [B.07t
k]
Trang 12 Error: Reference source not found
( )
4 2
1 3 2 0t m t m+ − − − =
3
2
m
−
<
3
2
m
−
=
0t =
3
2
m
−
>

2
1
1
x x
y
x
+ −
=
−
y x m= − +
4 8m < −
4 8m > +
− + +
=
2
5 6 3
2 8
x x
π
 
−
 ÷
 
=
sin 2
4
3 1
x
− +
 

=
 ÷
 
2 cos
3 4
4 3
x
−
=
1 4
5 25
x
−
−
=
4 4
1
3 81
x
x
− +
−
=
2
8
3 1
1
2
4
x x

x
+ −
+ =
2 2
1 1
3 3 270
x x
( )
−
− + +
=
2
2
2 3
36 6
x x
x x
− −
=
4 2 1
7 49
x x
( ) ( )
− +
− +
+ = −
3 1
1 3
10 3 10 3
x x

x x
+ +
− −
=
5 17
7 3
32 0,25.128
x x
x x
−
 
=
 ÷
 ÷
 
2 3
2
0,125.4
8
x
x
− −
<
2
3 4
2 8
x x
− +
≤
2

2 7
3 8
x
− +
 
<
 ÷
 
2
7
1
1
3
x x
( )
− + +
≤
2
2 6
0,236 1
x x
−
+
 
>
 ÷
 
1
2 9
1

3
27
x
x
( )
−
>
3
0,5 4
x
− −
>
2
3 3
x
x
( )
−
≤
1
3
0,25 8
x
−
− ≥
2
2 5
9 3 0
x x
2

1
2
1
3
3
x x
x x
− −
−
 
≥
 ÷
 
( )
= −
2 2
log log 1 3x x
( )
2
3
log 4 12 0x x+ + =
( ) ( )
+ = −
2
2 2
2 log 3 log 1x x
( ) ( )
2
3 3
2log 2 log 4 0x x− + − =

( )
− =
3
log 4 1x
( )
− =
5
log 7 3 2x
( )
2 2
log log 2 3x x+ − =
( ) ( )
2
3
3
log 1 log 2 1 2x x− + − =
( ) ( )
+ = − +
2 1
2
log 4 4 log 2 3
x x
x
3 9
1
log log 9 2
2
x
x x
 

+ + =
 ÷
 
( ) ( )
− − − =
2 1
2
log 3 log 1 3x x
( )
+ =
4 2
log log 4 5x x
( ) ( )
2 2
log 5 log 6 1x x x− − − =
Gv: Lª–ViÕt–Hßa T:Đ 0905.48.48.08
Bài 4.Giải các bpt sau:
a. ;
b.
c.
d.
e.
f. ;
g. ;
h. ;
i.
j.
k.
l.
B. PP đặt ẩn số phụ.

Bài 1. Giải các pt sau:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m.
n.
o.
p.
q.
r.
s.
t.
u.
v.
w.
x.
Bài 2. Giải các bpt sau
a.
b.
c.
d.

e.
f.
g.
C. PP khác: (Dùng cho HS học theo chương trình nâng
cao)
Bài 1. Giải các pt, bpt, hpt sau:
1.
2.
3.
4.
[D.06]
5.
[A.06]
6.
6.
Trang 13 Error: Reference source not found
( )
≤ −
0,7 0,7
log log 1 3x x
( )
− >
7
log 4 5 1x
( )
( )
− < −
2
log 16 log 4 11x x
( ) ( )

− > − +
2 2
2 log 1 log 5 1x x
( )
( )
+ < + +
2
0,5 0,5
log 4 11 log 6 8x x x
( ) ( )
+ > +
3 9
log 2 log 2x x
− <
3
log 2 1x
−
≤
−
1
2
3 5
log 0
1
x
x
1
2
2 1
log 0

1
x
x
−
 
≥
 ÷
+
 
2
8
log 1 2
2
x
x
 
− ≥ −
 ÷
 
2
3 2
log 1
1
x
x
−
 
<
 ÷
−

 
−
 
 ÷
 
<
3
2
log
5 1
x
x
− +
<
2
0,5
4 6
log 0
x x
x
( )
+ − ≤
3 1
3
log 2 log 1x x
( ) ( )
3 1
3
2 log 4 3 log 2 3 2x x− + + ≤
( )

2 1
4
log log 2 1 1
x
 
− >
 ÷
 
− + =2.16 17.4 8 0
x x
− − =16 3.4 4 0
x x
+ − =9 3 6 0
x x
+
− − =
1
4 2 3 0
x x
3
2 1
2 3
x
x
− =
−
1
4 2 6 0
x x+
− − =

2 3
1
2
5 15
5
x
x
−
−
= +
1 4 2
4 2 2 16
x x x+ + +
+ = +
1
3 2.3 5 0
x x+ −
− + =
− +
+ =
2 1 1
5 5 250
x x
( )
= +
2
7
6. 0,7 7
100
x

x
x
1
7 2.7 9 0
x x-
+ - =
( )
25 12.2 6,25. 0,16 0
x
x x
− − =
− + =6.4 13.6 6.9 0
x x x
+ =8 18 2.27
x x x
− + −
− =
2 2
2
2 2 3
x x x x
( ) ( )
− + + =2 3 2 3 4
x x
( ) ( )
tan tan
8 3 7 8 3 7 16
x x
+ + − =
3 1

125 50 2
x x x+
+ =
( ) ( )
3
7 3 5 12 7 3 5 2
x x
x+
+ + − =
+ + − =
2 2
3 3
log log 1 5 0x x
( )
( ) ( )
3
2
3 3
7log 1 1
3
log 1 log 1
x
x x
+ −
=
+ + +
2 3
2 2
log log 2 0x x− + =
− − =

2
log 2 log 3 0x x
( )
2 1
2 1 2
3 3 1 6.3 3
x
x x x
+
+ +
= + − +
− + <9 5.3 6 0
x x
1
1
3.9 5
4
3 1
x
x
−
−
+
<
+
+
+
−
<
−

1
1
2 5.3
1
2 3
x x
x x
+
−
≤
− +
2 1
4 7.5 2
3
5 12.5 4
x
x x
2 1
1
1 1
3 12
3 3
x x
+
   
+ >
 ÷  ÷
   
− ≤
2

ln 2ln 0x x
( )
2
2 2
2
0,5
log log 7
2 log
2 log
x x
x
x
+ −
< − +
−
< +
2
2
1
log 1
log
x
x
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x− + + + + +
+ = +
2 2 2
2 1 2

4 .2 3.2 .2 8 12
x x x
x x x x
+
+ + > + +
8.3 3.2 24 6
x x x
+ = +
2 2
2
2 4.2 2 4 0
x x x x x+ −
− − + =
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
( ) ( )
2 1 2 1 2 2 0
x x
− + + − =
Gv: Lª–ViÕt–Hßa T:Đ 0905.48.48.08
6. [B.07]
7.
[D.07tk]
8.
9.
10. a. ; b.
11.
12. a. ; b.;
13. a. b.

14.
15.
16.
17.
Trang 14 Error: Reference source not found
1
2 2 2
x y
x y+ =



− =


( ) ( )
2 2
ln 1 ln 1
12 20 0
x y y x
x xy y
+ − + = −


− + =


3 2
1
2 5 4

4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
+

= −


+
=

 +
=



+ =


2 2
. 1
l g l g 2
x y
o x o y
1
5 .8 500

x
x
x
−
=
2
3 .5 1
x x
=
3 5 6 2
x x
x+ = +
sin
cos
x
x
π
=
1
2 4 1
x x
x
+
− = −
8 18 2.27
x x x
+ =
3 4 5
x x x
+ =

( )
2 2
3 3
log 1 log 2x x x x x+ + − = −
( )
25 2 3 .5 2 7 0
x x
x x− − + − =
3 1 2
2 7.2 7.2 2 0
x x x+
− + − =
Gv: Lª–ViÕt–Hßa T:Đ 0905.48.48.08
Bài 2. Giải các pt, bpt, hpt sau:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9. [D.07tk]
10. [B.07tk
Bài 3. Giải các pt, bpt, hpt sau:
a.
b.
Bài 4.
Giải các pt, bpt, hpt sau:
1.

2.
3.
4. A.07]
5. [A.07tk]
6.
Một số dạng toán khác:
Bài 1. Đơn giản các biểu thức sau: ;
.
Bài 2.Tìm m để hàm số sau được xác
định với mọi x:
Bài 3. Chứng minh rằng ta có:
với điều kiện và
Bài 4. Chứng minh
rằng: nếu , a, b,
c>0, thì .
Bài 5. Cho . Giải bpt
Bài 6. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a. ; b.
&
CHỦ ĐỀ 8. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
Vấn đề 1: Tìm hằng số C .
Bài 1. Tìm một nguyên hàm của hàm số F (x) của hàm số f (x) biết:
a. và b. và
c. và d. và
e. và f. và
Vấn đề 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số:
Bài 1. Tính các tích phân sau:
Trang 15 Error: Reference source not found
5 3 5 9
log log log 3.log 225x x+ =

( ) ( )
+ + = − + +
2 3
4 8
2
log 1 2 log 4 log 4x x x
( ) ( )
2 2
log log
2
2 2 2 2 1
x x
x+ + − = +
2
2 2 2
log 2 log 6 log 4
4 2.3
x x
x− =
( )
5 7
log log 2x x= +
2
2
3
2
3
log 3 2
2 4 5
x x

x x
x x
 
+ +
= + +
 ÷
 ÷
+ +
 
( )
2 2
1
log 4 15.2 27 2 log 0
4.2 3
x x
x
+ + + =
−
( )
( )
4 2
2 1
1 1
log 1 log 2
log 4 2
x
x x
+
− + = + +
2

2 1
log 1 2
x
x
x
x
−
= + −
( )
3 9
3
4
2 log log 3 1
1 log
x
x
x
− − =
−
( )
(
)
( )
(
)
+ + + + + =
+ +
2 2
log 9 12 4 log 21 23 6 4
3 7 2 3

x x x x
x x
( ) ( )
+ + + + + = +
2 2
2 2 2
log 3 2 log 7 12 3 log 3x x x x
2
log
2
3 1
2 3
log log 2 1 3
2
1
1
3
x
x
 
 
 
 ÷
+ − +
 
 ÷
 
 
 
≥

 ÷
 
2
4 2 1
log
2 2
x
x
x
 
−
≥
 ÷
 ÷
−
 
( ) ( )
2 3
2 3
2
log 1 log 1
0
3 4
x x
x x
+ − +
>
− −
( )
2 2 2

2 1 4
2
log log 5 log 3x x x+ > −
( )
2
4 2
log 8 log log 2 0
x
x x+ ≥
( )
2
1 2
2
1 1
log 2 3 1 log 1
2 2
x x x− + + − ≥
6 8
1 1
5 7
25 49
log log
A = +
(
)
2 2
4
log log 2B
 
= −

 
 
( )
2
1
ln 3
y
mx mx
=
− +
( ) ( )
1
log 2 2log 2 log log
2
x y x y+ − = +
0, 0x y> >
2 2
4 12x y xy+ =
2 2 2
a b c= +
1a c± ≠
( ) ( ) ( ) ( )
log log 2log .log
a c a c a c a c
b b b b
+ − + −
+ =
( )
4 3
6

x
f x x e
−
= +
( )
' 0f x ≥
1
2 8
x
y =
−
2
3 2
1 log
1
x
y
x
−
 
= −
 ÷
−
 
2 2
F
π π
 
=
 ÷

 
( )
2
sin cos
2 2
x x
f x
 
= +
 ÷
 
0
2
F
π
 
=
 ÷
 
( )
sin sin 7f x x x=
( )
0 0F =
( )
sin 2 os3f x x x=
1
4
F
π
 

=
 ÷
 
( )
cos5 os3f x x x=
( )
0 8F =
( )
( )
3 2
2
3 3 7
1
x x x
f x
x
+ + −
=
+
( )
1 4F =
( )
2
3
2f x x
x
= −
Gv: Lª–ViÕt–Hßa T:Đ 0905.48.48.08
a.; b.; c.; d.; e.;
f.; g. h.; i j.;

k.; l.; m. n. o.
Bài 2. Cho hàm số f liên
tục trên đoạn [a ; b].Chứng minh rằng: . Suy ra . Áp dụng tính và .
Bài 3. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [- a ; a] (). Chứng minh rằng:
a. Nếu f là hàm số lẻ trên
thì ;
b. Nếu f là hàm số
chẵn trên thì .
Tính , , và .
Vấn đề 3: Bất đẳng thức tích phân:
Bài 1. Chứng minh rằng:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Vấn đề 4: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần:
Bài 1. Tính các tích phân sau:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.

l.
m.
n.
o.
Vấn đề 5: Tính tích phân bằng cách phối hợp cả 2 phương pháp(phương pháp tích phân từng phần và
phương pháp đổi biến số):
Bài 1. Tính các tích phân sau:
Trang 16 Error: Reference source not found
( ) ( )
0
2
a a
a
f x dx f x dx
−
=
∫ ∫
( )
0
a
a
f x dx
−
=
∫
0a >
( )
4
0
ln 1J tgx dx

π
= +
∫
2
0
sin
1 cos
x
I dx
x
π
=
+
∫
( ) ( )
0 0
b b
f x dx f b x dx= −
∫ ∫
( ) ( )
b b
a a
f x dx f a b x dx= + −
∫ ∫
2
2
0
6 2
1
x

dx
x x
+
− +
∫
2
2 2
0
4x x dx−
∫
2 2
2
2
1
2
dx
x x −
∫
4
3
2
4
4
x
dx
x −
∫
2
3
2

1
1 x
dx
x
+
∫
2 2
0
1
a
dx
a x+
∫
3
8
1
1x
dx
x
+
∫
3
2
4
1
cos t
dx
x gx
π
π

∫
2
1
1
1 ln
e
dx
x x−
∫
1
0
1x xdx−
∫
( )
1
2007
0
1x x dx−
∫
4
2
6
1
sin cot
dx
x gx
π
π
∫
5

2
0
cos xdx
π
∫
2 3
2
0
cos sinx xdx
π
∫
2
2
0
cos sinx xdx
π
∫
2
0
sin cosx x xdx
π
∫
( )
2
2
0
2 1 cosx xdx
π
−
∫

( )
1
2
0
1
x
x x e dx+ +
∫
( )
2
2
0
1 3 sinx xdx
π
−
∫
( )
1
2
2
ln
1
e
e
x
dx
x +
∫
( )
1

2
0
ln 1x x dx+
∫
2
2
1
1
ln 1x dx
x
 
+
 ÷
 
∫
( )
2
1
1 ln
e
x x xdx− +
∫
2
0
cos sinx x xdx
π
∫
( )
2
0

2 1 cosx xdx
π
+
∫
1
2
1
2
1
cos .ln
1
x
L x dx
x
−
+
=
−
∫
ln2
2
0
x
xe dx
−
∫
1
2
1
1K x dx

−
= −
∫
4
0
cos2x xdx
π
∫
1
1
1
1
x
J dx
x
−
−
=
+
∫
1
0
sin
1 ln 2
1 sin
x x
dx
x x
≤ −
+

∫
(
)
1
2
1
ln 1I x x dx
−
= + +
∫
3
4
3 cot 1
12 3
gx
dx
x
π
π
≤ ≤
∫
2
2
0
1 6
1 sin
2 2 4
xdx
π
π π

≤ + ≤
∫
2
2
0
1
16 5 3cos 10
dx
x
π
π π
≤ ≤
+
∫
2
2
1
2 1
5 1 2
x
dx
x
≤ ≤
+
∫
1
2
0
4 5
1

2 2
x
dx
+
≤ ≤
∫
2
0
cos
x
e xdx
π
∫
2
0
cos3
x
e xdx
π
∫
( )
2
2
2
2
x
e
x e
dx
x +

∫
Gv: Lª–ViÕt–Hßa T:Đ 0905.48.48.08
a.
b.
c.
d.
e. f.
g.
h.
Vấn đề 6: Tính tích phân bằng cách dùng tích phân từng phần xuất hiện lại tích phân ban đầu:
Bài 1. a.; b.; c.; d
Vấn đề 7: Tính diện tích hình phẳng:
Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a. , , , .
b. , , ,.
Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a. , , , .
b. , , , .
Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a. , . b. ,.
c. , . d. , .
e. , . f. , .
g. , . h. , .
i. , . j. , .
k. , . l. , .
m. (). n. , .
o. , . p. ,.
q. ,. r. ,.
Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a., ; b., .

Bài 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi các đường:
a., , ; b., .
Bài 6. Tinh diện tích hình phẳng giới hạn
bởi Parabol y = x
2
-2x + 2, tiếp tuyến với nó tại điểm M(5,3) và trục tung.
Bài 7. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường ,y = 0, x = 1 và x
= 4 quay quanh trục Ox.
Bài 8. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi y = x
2
- 2x, y = 0, x = -1, x = 2.
a. Tính diện tích của (H).
b. Tìm thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi (H) quay quanh Ox.
Bài 9. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x.e
x
, x =
Trang 17 Error: Reference source not found
x
y
4
=
1y =
2
4 5y x x= + +
2
2 2y x x= − +
8
y
x

=
2
8
x
y =
2
y x=
1y x= −
2
2 1y x= +
3 0x y+ − =
2
5 0y x+ − =
2
4 2
x
y =
2
4
4
x
y = −
3y x= +
2
4 3y x x= − +
y x
π
= −
siny x=
2

4y x= − −
2
3 0x y+ =
5y x= +
2
1y x= −
0a >
2
y ax=
2
x ay=
2
4x y=
2
8
4
y
x
=
+
7y x= −
6
y
x
=
0x y+ =
2
2 0x x y− + =
2
2

x
y =
2
1
1
y
x
=
+
2
x y= −
2
y x=
2
y x= −
3
y x=
0y =
3 2
4 6y x x x= − + +
2
2y x x= −
2
4y x= −
2y x= − −
2
y x= −
2 4y x= +
2
2y x x= + +

3y =
2
4 3y x x= − +
y x=
2
2y x x= −
3y = 0y =
y x=
2
2y x=
4y = 2y =
1x =
0x =
0x =
2
2
x
y =
x
y e=
3x =
( )
5
1y x= +
0x =
2 2
0
cos
x
e xdx

π
∫
2 6y x= − +
( )
cos ln x dx
∫
2
4 3y x x= − +
sin 2
x
e xdx
−
∫
3
2
2
1x dx−
∫
( )
1
2
0
2
1
1
dx
x +
∫
( )
1

2
0
ln 1x dx+
∫
2
1
3
0
x
x e dx
∫
3
3
2
0
sin xdx
π
 
 ÷
 
∫
2
0
sinx xdx
π
∫
2
4
0
sin xdx

π
∫
3
2
4
sin
x
dx
x
π
π
∫
Gv: Lª–ViÕt–Hßa T:Đ 0905.48.48.08
0, x = 1 quay quanh trục Ox.
&
CHỦ ĐỀ 9 . SỐ PHỨC
Bài 1. Tính: a.; b
Bài 2. Tính: a.; ; .
Bài 3. Tìm phần thực và phần ảo của
số phức z, biết
a.; b. ;
c. .
Bài 4. Tìm phần thực và phần ảo của số
phức z, biết
a.; b
Bài 5.Tìm
môđun của các số phức: a. ; b
Bài 6. Tìm số phức z, biết và phần ảo của z
bằng hai lần phần thực của nó.
Bài 7. Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a. ; b. ; c.; d
Bài 8.Giải các pt: a.; b.;
c.; d
Bài 9. Cho , , là hai nghiệm của phương
trình hãy tính và theo các hệ số .
Bài 10. Cho là một số phức. Hãy tìm một pt
bậc hai với hệ số thực nhận z và làm
nghiệm.
Bài 11. Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 2 và tích của chúng bằng 3.
Bài 12. Tìm hai số thực x, y biết: a.;
b c. và là liên hợp của nhau.
Bài 13. Tìm số phức z, biết: a. ; b. ;
c. .
Bài 14. Tìm số phức z, biết:
Bài 15. Giải hệ phương trình:
Bài 16. Chứng minh rằng với hai số phức z
và z’ ta có:
a. khi z’ khác 0 ; b. c. khi
z’ khác 0.
Bài 17. Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp
điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện:
a. ; b.; c.; d.; e
Bài 18. Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp
điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện:
a. .z
2
là số ảo; b. và phần thực của z
bằng 3; c
Bài 19. Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp
điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện:

a. .; b. ; c
&
CHỦ ĐỀ 10. DIỆN TÍCH - THỂ TÍCH
Bài 1.Cho tứ diện OABC có 3 cạnh OA,
OB, OC đôi một vuông góc và . Xác
Trang 18 Error: Reference source not found
, ,OA a OB b OC c= = =
i z i z+ ≥ −
2 1 2 3z i≤ − + <
2 2z z+ < −
1
1
1
z
z
+
=
−
3z =
1z i− >
2 4z< ≤
2z i z+ = +
3 1z − ≤2z i− =
' '
z
z
z z
=
. ' . 'z z z z=
'

'
z z
z
z
 
=
 ÷
 
3 2 3
2 1
x iy i
x y i
+ = −


+ = +

2
1
z i z
z i z
 − =


− = −


3 4z z i+ = +
3
z z=

2
z z=
2 11
2
8 20z y i= +
2 5
1
9 4 10z y xi= − −
( )
2
x yi i+ =
( )
2
5 12x yi i+ = − +
z
z a bi= +
, ,a b c
1 2
.z z
1 2
z z+
2
0az bz c+ + =
1 2
,z z
0a ≠
, ,a b c ∈¡
3 2
5 15 18 0x x x− + − =
4 2

6 5 0z z+ + =
4 2
6 0t t− − =
2
4 5 0x x− + − =
2
2 3 7 0z z− + =
3
4 9 0z z− − =
2 3 5 2
4 3
z
i i
i
+ − = −
−
( ) ( ) ( )
1 2 1 3 2 3i z i i i+ + − + = +
3 5z =
( ) ( ) ( )
3 2 4 3 1 2
5 4
i i i
z
i
− + − − 
 
=
−
( )

3
4 3 1z i i= − + −
( ) ( ) ( )
2 2009
1 1 1 1z i i i= + + + + + + +
( ) ( ) ( )
2 20
1 1 1 1z i i i= + − + − + + −
5 4
4 3
3 6
i
z i
i
+
= − +
+
( ) ( )
2 3
1 2
2
i i
z
i
+
=
− +
( ) ( ) ( )
2
3 2 4 4z i i i= − − − +

( ) ( )
4
2 3 1 2
3 2
i
C i i
i
−
= − + +
+
( )
1 2
2 5
2 3
i
B i
i
+
= − +
+
( ) ( )
3 4
1 4 2 3
i
A
i i
−
=
− +
( ) ( )

( )
3
2
3 2 4 2B i i i i= + − − + +
( ) ( )
2 2
3 2 3 2A i i= + + −
Gv: Lª–ViÕt–Hßa T:Đ 0905.48.48.08
định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Bài 2.Cho hình vuông ABCD cạnh AB = 2. Từ trung điểm H của cạnh AB dựng nửa đường thẳng Hx
vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên Hx lấy điểm S sao cho SA = SB = AB. Nối S với A, B, C, D.
a.Tính diện tích mặt bên SCD và thể tích của khối chóp S.ABCD.
b.Tính diện tích mặt cầu đi qua bốn điểm S, A, H, D.
Bài 3.Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện.
Bài 4.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và cạnh bên SA vuông góc với đáy.
a.CMr các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b.Tính thể tích của khối chóp khi biết AB = 7dm, AC = 25dm, SA = 20dm.
c.Tính diện tích toàn phần của hình chóp khi biết AB = SA =3a, AC = 5a.
Bài 5.Đáy ABC của hình chóp S.ABC là tam giác vuông cân tại B. Cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và có độ dài bằng . Cạnh bên SB tạo với đáy một góc bằng 60
0
.
a.Tình diện tích xung quanh của hình chóp.
b.Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Tính góc giữa mặt phẳng (ABM) và mặt phẳng đáy.
Bài 6.Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc
với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Bài 7.Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy
ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc
với đáy, Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Bài 8.Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Góc giữa cạnh bên của hình

lăng trụ và mặt đáy bằng 30
0
. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ thuộc đáy trên xuống mặt phẳng đáy
dưới trùng với trung điểm H của cạnh BC.
a.Tính thể tích của hình lăng trụ .
b.Tính diện tích mặt mặt bên BCC’B’.
Bài 9.Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, góc giữa mặt
phẳng (SBC) và mặt phẳng đáy bằng 30
0
. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt bên SAB và SAD cùng vuông
góc với đáy. Góc giữa SC và (SAB) bằng 30
0
.
a.Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
b.Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bài 11. Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm,
BC = 5cm. Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Bài 12. Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao . A và B là hai điểm trên hai đường
tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 30
0
.
a.Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ .
b.Tính thể tích khối trụ tương ứng.
c.Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ.
Bài 13. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên AA’ vuông
góc với mp(ABC). Biết AA’=AB=BC=a. Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ và thể tích của
khối lăng trụ đã cho.
Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có AB=a, góc giữa mặt bên và đáy bằng 60
0

. Tính thể tích của khối chóp
theo và tính diện tích toàn phần của hình chóp theo a.
Bài 15. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp đáy một góc 45
0
. Tính thể tích
của khối chóp và diện tích toàn phần của hình chóp theo a.
Bài 16. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
a/ Tính theo a khoảng cách giữa 2 đường thẳng A’B và B’D.
b/ Tính thể tích của khối tứ diện AB’CD’ theo a.
Bài 17. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A’ cách đều các
điểm A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với đáy một góc 60
0
. Tính thể tích của khối lăng trụ.
Bài 18. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm SA=2a,
SA⊥(ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A trên các cạnh SB, SC. Tính thể tích của khối chóp
A.BCNM.
Bài 19. Cho khối chóp đều S.ABCD có, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60
0
. Tính thể tích
của khối chóp S.ABCD theo a .
Bài 20. Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là
Trang 19 Error: Reference source not found
= 3SB a
3a
3R
=AB a
=AB a
= 3AC a
Gv: Lª–ViÕt–Hßa T:Đ 0905.48.48.08
tam giác vuông tại A, , mặt bên SBC là tam giác đều và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể

tích của khối chóp S.ABC.
Bài 21. Cho tứ diện ABCD có ba
cạnh AB, AC, AD đôi một
vuông góc và .
a. Tính thể tích V của khối tứ diện ABCD ;
b. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD;
c. Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón được tạo thành khi quay đường gấp khúc
ACD quanh cạnh AD;
d. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD.
Bài 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là hình vuông cạnh a, , mp(SAB)
vuông góc với mp(ABCD). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD.
Bài 23. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy
ABC là tam giác đều cạnh a,và đường thẳng AA’ tạo với mp(ABC) một góc bằng 60
0
. Tính thể tích
khối tứ diện ACA’B’ theo a.
&
CHỦ ĐỀ 11. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. Hệ toạ độ trong không gian
Bài 1. Trong Oxyz, cho 4 điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1).
1/ Tìm tọa độ và độ dài của
các vectơ sau: .
2/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tìm tọa độ của M, N, P, Q.
3/ Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng G tâm của ∆ABC.
4/ Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình bình hành. Tính diện tích của hình bình hành
ABCE.
5/ Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Tính thể tích của tứ diện ABCD.
6/ Tính diện tích toàn phần của tứ diện ABCD. Từ đó tính độ dài đường cao hạ từ các đỉnh tương ứng
của tứ diện ABCD.

7/ Tìm côsin góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện.
8/ Tìm tọa độ điểm B’ đối xứng với B qua điểm D.
9/ Tìm tọa độ của điểm K nằm trên trục Oz để ∆ADK vuông tại K.
Bài 2. Cho 3 điểm A(2; 5; 3), B(3; 7; 4) và C(x; y; 6). Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng.
Bài 3. Trong không gian Oxyz,
cho 3 điểm .
a/ Tìm tọa độ hình chiếu của các điểm A, B, C trên các trục tọa độ, trên các mặt tọa độ.
b/ Tìm tọa độ của các điểm đối xứng với A (B, C) qua các mp tọa độ.
c/ Tìm tọa độ của các điểm đối xứng với A (B, C) qua các trục tọa độ.
d/ Tìm tọa độ của điểm đối xứng với A (B, C) qua gốc tọa độ.
e/ Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua C.
Bài 4. Trong kg Oxyz, cho 3 điểm .
a/ CMr: ∆ABC vuông tại B.
b/ Tính diện tích của ∆ABC .
c/ Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC .
d/Tính bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC .
Bài 5. Trong kg Oxyz, cho 3 điểm .
Tính các góc của ∆ABC .
Bài 6. Trong kg Oxyz, cho 4
điểm .
a. Chứng minh bốn điểm A, B, C, D là các đỉnh của một hình chữ nhật
b. Tính độ dài các đường chéo, xác định toạ độ của tâm hình chữ nhật đó.
Trang 20 Error: Reference source not found
6A B A C A D cm= = =
= =SA SB a
=' 2AA a
, , , , 2 3 4AB BC CD CD u AB CD DA= − −
uuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur
( ) ( ) ( )
3;1;0 , 1;2;1 , 2; 1;3A B C− −

( ) ( ) ( )
1;2;1 , 5;3;4 , 8; 3;2A B C −
( ) ( ) ( )
1;0;0 , 0;0;1 , 2;1;1A B C
( ) ( ) ( ) ( )
− −1; 1;1 , 1;3;1 , 4;3;1 , 4; 1;1A B C D
Gv: Lª–ViÕt–Hßa T:Đ 0905.48.48.08
c. Tính côsin của góc giữa hai vectơ và .
Bài 7. Trong kg Oxyz, cho
hình hộp
ABCD.A’B’C’D’, biết
a/ Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
b/ Tính diện tích toàn phần của hình hộp.
c/ Tính thể tích V của hình hộp.
d/ Tính độ dài đườngcao của hình hộp kẻ từ A’.
Bài 8.Trong kg Oxyz,
cho hình hộp
ABCD.A’B’C’D’, biết Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Bài 9. Trong kg Oxyz, cho 4
điểm
a/ CMr: a
1
/ 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
a
2
/ Tứ diện ABCD có các cạnh đối diện vuông góc.
a
3
/ Hình chóp D.ABC là hình chóp đều.
b/ Tìm tọa độ chân đường cao H của hình chóp D.ABC .

Bài 10. Trong kg Oxyz, cho 4
điểm
a/ CMr 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện.
b/ Tìm góc tạo bởi các cặp cạnh đối của tứ diện.
c/ Tính thể tích của tứ diện. (Theo 4 công thức)
d/ Tính độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ A.
e/ Tìm M∈Oz sao cho 4 điểm M, A, B, C đồng phẳng.
f/ Tìm N∈Oy sao cho ∆NAD vuông tại N.
g/ Tìm P∈Oxy sao cho P cách đều 3 điểm A, B, C.
II. Phương trình mặt phẳng -pt mặt cầu.
Bài 1. Trong kg Oxyz, cho M(1;−3;1).
a/ Viết pt mp(α) qua M và có VTPT .
b/ Viết pt mp(β) qua M và véc-tơ pháp
tuyến của mp(β) vuông góc với 2 véc-tơ và
.
Bài 2. Trong Oxyz, cho A(3;2;1), B(−1;0;2), C(1;−3;1).
a/ Viết pt mp(ABC).
b/ Viết pt mặt trung trực của đoạn AB.
c/ Viết pt mp qua A và vuông góc với BC.
d/ Viết pt mp qua B và vuông góc với Oz.
e/ Gọi A
1
, A
2
, A
3
lần lượt là hình chiếu của A trên các trục Ox, Oy,Oz. Viết pt mp(P) qua A
1
, A
2

, A
3
.
Bài 3. Trong kg Oxyz, cho 3
điểm .
a/ CMr: A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
b/ Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành.
c/ Tìm M sao cho .
d/ Viết pt mặt phẳng qua M và vuông
góc với đường thẳng BC.
Bài 4. Trong kg Oxyz, cho A(0; 2; 0) và
mp(α): .
a. Viết pt mp (β) qua A và song song với mp(α).
b. Viết pt mp qua OA và vuông góc với mp(α).
Bài 5. Trong kg Oxyz, cho A(−1;1;2),
B(0;−1;3) và mp(α): . Viết pt mp(β)
qua A, B và vuông góc với mp(α).
Bài 6. Trong Oxyz, cho A(2;3;0). Viết pt
mp(α) qua A, song song Oy và vuông
góc với mp(β):
Trang 21 Error: Reference source not found
uuur
AC
uuur
BD
( ) ( ) ( ) ( )
1;1;2 , 1;0;1 , 1;1;0 , ' 2; 1; 2A B D A− − − −
( ) ( )
( ) ( )
, , , , , ,

1 1 1 3 3 3 2 2 2 4 4 4
; ; , ; ; , ' ; ; , ' ; ;A x y z C x y z B x y z D x y z
( ) ( ) ( ) ( )
5;3; 1 , 2;3; 4 , 1;2;0 , 3;1; 2A B C D− − −
( ) ( ) ( ) ( )
1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1 , 2;1; 2A B C D − −
( )
2; 1;1n = −
r
( )
= −
uur
1
1;0; 2u
( )
= − −
uur
2
1; 3;4u
( ) ( ) ( )
3;1;0 , 1;2;1 , 2; 1;3A B C− −
2 3AM BA CM+ =
uuur uuur uuur
+ − − =2 3 4 2 0x y z
( )
g
3 2 4 0x y z− + + =
3 4 6 0x y z− + + =
Gv: Lª–ViÕt–Hßa T:Đ 0905.48.48.08
Bài 7. Trong Oxyz, cho A(1; -1;-2), B(3; 1; 1) và (α): x – 2y + 3z -5 = 0. Viết pt mặt phẳng (β) qua A, B

và (β) ⊥(α).
Bài 8. Trong Oxyz, cho (α): , (β): . Lập pt
mp(γ) qua giao tuyến của (α), (β) và
qua A(2;1;−1).
Bài 9. Trong Oxyz, cho (α): , (β): . Lập
pt mp(δ) qua giao tuyến của (α), (β)
đồng thời vuông góc với mp(γ): .
Bài 10. Lập pt mp đi qua gốc tọa độ và
vuông góc với 2 mp:(α):,
(β):
Bài 11. Trong Oxyz, cho A(1; -1; 1), B(-2; 1; 3), C(4; -5; -2) và D(-1; 1; -2).
a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC.
b. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
c. Viết phương trình mặt phẳng (β) qua B và song song với (α): 3x – 2y + z +7 = 0.
d. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua AC và song song với BD.
e. Tính S
∆ABC
.
f. Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
g. Tính V
ABCD
.
h. Tính chiều cao DH của tứ diện ABCD.
Bài 12. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (1; -1; 1), B (-2; 1; 3), C (4; -5; -2) và D (-1; 1; -2).
a. Viết phương trình mặt cầu tâm A và đi qua B.
b. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Suy ra ABCD là một tứ diện.
c. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .Xác định tâm và bán kính của nó
d. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
e. Viết phương trình mặt phẳng đi qua AB và song song với CD
f. Tính góc giữa AB và CD.

Bài 13. Trong không gian Oxyz, cho
các điểm A(1; -1; -2), B(3; 1; 1)
và mặt phẳng .
a. Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng và cách một khoảng bằng 5.
b. Viết phương trình mặt phẳng đi qua các điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng.
c. Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.
Bài 14. Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A(1; 2; -4), B(1; -3; 1), C(2; 2; 3) và có tâm nằm trên
mp(Oxy).
Bài 15. Viết phương trình mặt cầu đi qua 2 điểm A(3; -1; 2), B(1; 1; -2) và có tâm thuộc trục Oz.
Bài 16. Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A(1; 1; 1), B(1; 2; 1), C(1; 1; 2), D(2; 2; 1).
Bài 17. Cho mặt mặt
phẳng và mặt cầu .
Chứng minh rằng cắt (S) theo một đường tròn (C). Xác định tâm và bán kính của (C).
Bài 18. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (3; 0; 1), B (2; 1; -1), C (0; -7; 0) và D (2; -1; 3).
a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với CD
b. CMr bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
c. Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Ox và song song với CD.
d. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .Xác định tâm và bán kính của nó .
e. Tính thể tích khối tứ diện ABCD .
f. Tính góc giữa các vectơ và .
g. Tìm tập hợp các điểm M
trong không gian sao cho .
Bài 19. Trong không gian Oxyz, cho
các điểm A (5; 0; 4), B (5; 1; 3) và
mặt phẳng .
a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và song song với mặt phẳng.
b. Viết phương trình mặt phẳng đi qua các điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng.
c. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với .
Trang 22 Error: Reference source not found
3 2 4 0x y z− + + =3 4 6 0x y z− + + =

4 0x y z+ − + =
3 2 1 0x y z− + − =2 3 1 0x y z− + − =
7 0x y z− + − =
3 2 12 5 0x y z+ − + =
( )
: 2 2 5 0x y z
a
- - - =
( )
b
( )
a
( )
a
( )
g
( )
a
( )
: 3 2 6 14 0x y z
a
- + + =
( )
( )
2
2 2 2
: 2 2 0S x y z x y z+ + - + + - =
( )
a
A C

uuur
BD
uur
8MA MB MC MD+ + + =
uuur
uuur uuur uuur
( )
: 2 3 6 0x y z
a
- + - =
( )
b
( )
a
( )
g
( )
a
( )
a
Gv: Lª–ViÕt–Hßa T:Đ 0905.48.48.08
d. Tìm các giao điểm A, B, C của với các trục Ox, Oy, Oz. Tính thể tích khối tứ diện OABC.
III. Phương trình đường thẳng
Bài 1. Lập pt tham số của đường thẳng (đt) ∆ trong mỗi trường hợp sau:
a/ ∆ qua 2 điểm A(2;−3;5) và B(1;−2;3).
b/ ∆ qua điểm A(1;−1;3) và ssong với BC, biết B(1;2;0), C(−1;1;2).
c/ ∆ qua điểm A(−1;0;2) và ∆ vuông với
mp(α):
Bài 2. Tìm ptct của ∆ biết ∆ có ptts là:
Bài 3. Tìm ptts của ∆ biết ∆ có ptct

là:.
Bài 4. Cho 2 điểm A(-1; 6; 6), B(3;
-6; -2) và C(x; y; 6). Tìm điểm M thuộc mp(Oxy) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Bài 5. Lập pt mp qua điểm A, và đt ∆,
biết A(4;−2;3), ∆:
Bài 6. Cho . CMr: d cắt d’.Viết
ptmp chứa d và d’.
Bài 7. Cho và . CMr: d//d’. Viết ptmp
chứa d và d’.
Bài 8. Cho và .
a. CMr: d và d’ chéo nhau.
b. Lập pt mp qua O và song song
với d và d’.
Bài 9. Lập pt mp(α) chứa đt ∆: và vuông
góc với mp(P):.
Bài 10. Cho A(3;2;1) và đt d:
a/ Viết pt mp (α) đi qua A và chứa d.
b/ Viết pt đt d’ qua A, vuông góc d,
và cắt d.
Bài 11. Cho d:, (P):. Viết ptct của đt ∆
qua A(1;1;−2), ∆//(P) và ∆⊥d.
Bài 12. Viết ptđt ∆ qua A(0;1;1), ∆⊥d
1
:
và cắt d
2
:
Bài 13. Viết ptct đt qua M(1;5;0) và cắt cả
2 đt d
1

:và d
2
:
Bài 14. Cho đường thẳng d: và
mp(P): .
a. Tìm toạ độ giao điểm của d
và (P)
b. Viết ptmp (P’) qua M(1; 2; -1) và vuông góc với d. Tính khoảng cách từ M đến d.
c. Viết pt hình chiếu d’ của d lên mp(P).
d. Tính góc giữa d và (P).
e. Cho điểm B(1; 0; -1), hãy tìm tọa độ điểm B’ sao cho (P) là mp trung trực của đoạn thẳng BB’.
f. Viết ptđt ∆ nằm trong (P) vuông góc và cắt d.
Bài 15. Cho d: và ∆:
a/ Tìm VTCP của d.
b/ CM d và ∆ cùng nằm trong một mp.
Viết pt mp đó. Tìm giao điểm I của d và ∆.
Bài 16. Cho 2 đt d
1
: và d
2
: .
a/ Hãy xét vị trí tương đối của d
1
, d
2
.
b/ Tìm tọa độ giao điểm I của d
1
, d
2

.
c/ Lập pttq của mp chứa d
1
, d
2
.
Bài 17. Cho 2 đường thẳng d
1
: và d
2
:.
Tìm ptct của đường vuông góc chung
của 2 đt d
1
, d
2
. Tìm tọa độ giao điểm
Trang 23 Error: Reference source not found
( )
a
7 0x y z− + − =
1
2
x t
y t
z
=


= −



= −

− +
= =
−
2 3
2 1 3
x y z
1 2 2
3 4 2
x y z− + −
= =
=


= − +


= −

: 11 2
16
x t
d y t
z t
− − −
= =
5 2 3

' :
2 1 6
x y z
d
= +


= −


= −

5 2
: 1
5
x t
d y t
z t
= +


= − −


= −

3 2 '
' : 3 '
1 '
x t

d y t
z t
=


= +


= +

: 1 2
6 3
x t
d y t
z t
= +


= − +


= −

1 '
' : 2 '
3 '
x t
d y t
z t
=



−

= +


=


4
3
7
2
2
x t
y t
z t
2 5 0x y z− + + =
+
= =
3
2 4 1
x y z
1 1 2
2 1 3
x y z+ − −
= =
1 0x y z− − − =
1 2

3 1 1
x y z− +
= =
= −


= +


= +

1
1
2
x
y t
z t
=


= −


= − +

1
1
1
4
1 2

x t
y t
z t
= −


= +


=

2
2
2
2 3
3
x t
y t
z t
= +


= +


= +

12 4
9 3
1

x t
y t
z t
+ − − =3 5 2 0x y z
=


= − +


= −

11 2
16
x t
y t
z t
( )
∈¡t
5 2 6
2 1 3
x y z− − −
= =
1 1 3
3 2 2
x y z+ − −
= =
−
1 3
1 1 2

x y z− +
= =
2 3 4
2 3 5
x y z− − +
= =
−
1 4 4
3 2 1
x y z+ − −
= =
− −
Gv: Lª–ViÕt–Hßa T:Đ 0905.48.48.08
H, K của d lần lượt với d
1
, d
2
.
Bài 18. Cho 2 đt chéo nhau có pt là m:,
n:
a/ Tình khoảng cách giữa 2 đt m, n.
b/ Viết pt đường vuông góc chung của 2 đt
m, n.
Bài 19. Cho 2 đt d: và d’:
a/ Cm d, d’ chéo nhau. Tính khoảng cách
giữa 2 đt chéo nhau.
b/ Lập pt đường vuông góc chung của d, d’.
Tìm tọa độ giao điểm của đương vuông góc
chung với d, d’.
c/ Viết pttq của mp cách đều d và d’.

Bài 20. Cho 3 đt d
1
:; d
2
:; d
3
:. Lập pt đt
d cắt d
1
, d
2
và ssong với d
3
.
Bài 21. Hãy viết phương trình của
đường thẳng đi qua điểm M(0,1,1) vuông góc với đường thẳng và cắt đường thẳng
Bài 22. Trong kg Oxyz, cho 2 đường
thẳng d và d’ lần lượt có các pt và
mặt cầu (S) có phương trình: x
2
+ y
2
+
z
2
- 2x - 4y + 2z - 6 = 0.
1. Chứng minh d và d’ chéo nhau.
2. Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(1;2;3) và vuông góc với đường thẳng d.
3. Lập phương trình đường vuông góc chung của d và d’. Tìm toạ độ các chân đường vuông góc
chung ấy.

4. Tính khoảng cách từ điểm M(1,2,3) đến đường thẳng d’.
5. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm N(-1,0,1).
Bài 23. Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho
2 đường thẳng , . Hãy lập phương
trình đường thẳng vuông góc chung
của d
1
và d
2
.
Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc
với mặt cầu: x
2
+ y
2
+ z
2
- 10x + 2y +
26z - 113 = 0 và song song với 2
đường thẳng ,
Bài 24. Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz, cho 2 đường thẳng , lần lượt có
phương trình ,
a. Chứng minh rằng: , chéo nhau.
b. Tính khoảng cách giữa ,
c. Viết phương trình đường vuông góc chung giữa ,
Bài 25. Thiết lập phương trình của mặt
phẳng (P) đi qua đường thẳng d: và tiếp
xúc với mặt cầu (S): x
2

+y
2
+z
2
-2x-4y-6z-
67=0.
Bài 26. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x
2
+y
2
+z
2
-2x-6y-4z=0
1. Xác định tâm và bán kính mặt cầu .
2. Gọi A, B,C là giao điểm (khác O) của (S) với các trục Ox, Oy, Oz. Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu
(S) đến mặt phẳng (ABC).
Bài 27. Trong không gian
Oxyz, cho mặt phẳng và
mặt cầu . Tìm m để (P) tiếp xúc với (S). Với m vừa tìm được, hãy xác định tọa độ của tiếp điểm của
(P) và (S).
Bài 28. Trong không gian cho Oxyz, cho 2
đường thẳng: ,
1. Chứng minh rằng d
1
không cắt d
2
nhưng
Trang 24 Error: Reference source not found
1
4 2

3
x
y t
z t
=


= − +


= +

3
3 2
2
x u
y u
z
= −


= +


= −

2
1
2
x t

y t
z t
= +


= −


=

= −


=


=

2 2 '
3
'
x t
y
z t
2 2 1
3 4 1
x y z− + −
= =
7 3 9
1 2 1

x y z− − −
= =
−
1 3 2
3 2 1
x y z+ + −
= =
− −
11
2
3
1 zyx
=
+
=
−
1
1
3
x
y t
z t
= −


= +


= +


1 1
:
2 1 1
x y z
d
− +
= =
−
1 2
' : 2
3
x t
d y t
z t
= +


= +


= −

1
9
2
3
1
7
:
1

−
−
=
−
=
− zyx
d
3
1
2
1
7
3
:
2
−
−
=
−
=
−
− zyx
d
2
13
3
1
2
5
:

1
+
=
−
−
=
+ zyx
d
2
7 1 8
:
3 2 1
x y z
d
+ + −
= =
−
)(∆
)'(∆
3
: 1 2
4
x t
y t
z
= +


∆ = − +



=

2
':
2 2
x t
y t
z t
= − +


∆ =


= +

)(∆
)'(∆
)(∆
)'(∆
)(∆
)'(∆
41
1
1
13 zyx
=
+
=

−
−
( ) ( )
2
: 2 2 3 0 tham sèP x y z m m m+ + − − =
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 1 1 1 9S x y z− + + + − =
1
3
: 2 2
x
d y t
z t
=


= −


=

2
1 2 '
: 2 '
1 2 '
x t
d y t
z t
= −



= +


= +

Gv: Lª–ViÕt–Hßa T:Đ 0905.48.48.08
d
1
vuông góc d
2
.
2. Viết phương trình mặt phẳng chứa d
1
, vuông góc d
2
, mặt phẳng chứa d
2
và vuông góc d
1
.
3. Tìm giao điểm của d
2
và , d
1
và . Suy ra phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp
xúc với d
1
, d

2
.
Bài 29. Cho mặt phẳng : 6x+3y+2z-6=0
1. Tìm toạ độ hình chiếu của điểm A(1,1,2) lên mặt phẳng
2. Tìm toạ độ điểm đối xứng A’ của A qua
Bài 30. Cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 6x + 4y - 2z - 86 = 0 và mặt phẳng : 2x - 2y - z + 9 = 0.
1. Định tâm và bán kính mặt cầu .
2. Viết phương trình đường thẳng (d) qua tâm mặt cầu và vuông góc với .
3. Chứng tỏ cắt mặt cầu (S). Xác định tâm và bán kính đường tròn giao tuyến.
Bài 31. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) qua đi gốc toạ độ O và 3 điểm A(2,0,0), B(0,-1,0),
C(0,0,3).
a. Xác dịnh tâm và bán kính mặt cầu (S).
b. Lập phương trình mặt phẳng qua A, B, C.
c. Lập phương trình đường tròn giao tuyến của (S) và . Tính bán kính đường tròn này.
Bài 32. Cho đường thẳng và mặt
phẳng : 3x+5y-z-2=0.
1. Chứng minh (d) cắt .Tìm giao
điểm của chúng.
2. Viết phương trình mặt phẳng qua M(1;2;1) và
3. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng .
Bài 33. Trong không gian Oxyz, cho
hai đường thẳng và
a.Viết phương trình đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt cả hai

đường thẳng ,
b.Viết phương trình mặt phẳng song song với 2 đường thẳng , và cách đều ,
Bài 34. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;- 1) và mặt phẳng : 3x - 2y + 5z + 6 = 0
a. Chứng tỏ A nằm trên .
b. Viết phương trình đường thẳng (d) qua A và
c. Tính sin của góc tạo bởi OA và .
Bài 35. Trong không gian Oxyz, cho A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1), D(5;3;-1).
a. Viết phương trình của mặt phẳng (ABC).
b. Viết phương trình đường thẳng qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
c. Viết phương trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC).
Bài 36. Trong không gian Oxyz, cho 4
điểm A, B, C, D có toạ độ xác định bởi
các hệ thức: A(2;4;-1), , C=(2,4,3), .
a. Chứng minh rằng , , .Tính thể tích khối tứ
diện ABCD.
b. Viết phương trình tham số của đường vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD. Tính
góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (ABD).
c. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D. Viết phương trình tiếp diện của mặt
cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD).
Bài 37. Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho 4 điểm: A(0;1;0), B(2;3;1), C(-2;2;2), D(1;-1;2).
a. Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện. Tính thể tích tứ diện đó.
b. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua 3 điểm B, C, D. Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho
OM + AM nhỏ nhất.
c. Gọi (S) là mặt cầu tâm A tiếp xúc mp (P). Tìm tọa độ tiếp điểm của mặt cầu (S) và mp (P).
&
Trang 25 Error: Reference source not found
)(
α
)(
α

)(
β
)(
β
)(
α
)(
β
)(
α
)(
α
)(
α
)(
α
)(
α
)(
α
)(
α
)(
α
1
1
3
9
4
12

:)(
−
=
−
=
− zyx
d
)(
α
)(
α
)(
β
d⊥)(
β
)(
α
1
3
: 1
x t
y t
z t
= +


∆ = − +


= −


5
4
1
3
2
1
:
2
−
=
+
=
−
−
∆
zyx
1
∆
2
∆
1
∆
2
∆
1
∆
2
∆
)(

α
)(
α
)(
α
⊥d
)(
α
→→→→
−+= kjiOB 4
→→→→
−+= kjiOD 22
ACAB ⊥
ADAC ⊥
ABAD ⊥
∆∆
)(
α