phân tích ngữ nghĩa của các mệnh đề, các tư tưởng

A. Mở đầu:
Trong cuộc sống hằng ngày, mọi hoạt động của con người đều thông
qua tư duy của họ. Khác với hành động của con vật mang tính bản năng,
hành động của con người luôn mang tính tự giác. Con người, trước khi bắt
tay vào hoạt động thực tiễn cải tạo thế giới, đều đã có sẵn dự án trong
đầu. Sự khác biệt ấy là vì con người có tư duy và biết vận dụng sức mạnh
của tư duy vào việc thực hiện các mục đích của mình. Trong quá trình hoạt
động đó, con người dần dần phát hiện ra các thao tác của tư duy.
Nói đến tư duy logic thì nhân loại, ở châu Phi hay ở châu Âu, ở châu Á
hay ở châu Mỹ, từ Albert Einstein cho đến mỗi người chúng ta, ai ai trong
đầu cũng đều có so sánh, phán đoán, suy lý, trên cơ sở các ý niệm, khái
niệm về các hiện tượng, sự vật xung quanh. Nghĩa là tự nhiên ban cho con
người bộ não hoạt động tư duy với các quy luật logic vốn có, khách quan ở
tất cả mọi người và mọi dân tộc.
Cùng với sự phát triển của thực tiễn và của nhận thức, con người
càng ngày càng có sự hiểu biết đầy đủ hơn, sâu sắc hơn, chính xác hơn
về bản thân tư duy đang nhận thức. Chính quá trình hiểu biết ấy là cơ sở
tạo ra sự phát triển của logic học. Các quy luật của tư duy logic là phổ biến
cho toàn nhân loại.
Theo truyền thống, logic được nghiên cứu như là một nhánh của triết
học. Kể từ giữa thế kỉ 19, logic đã thường được nghiên cứu trong toán học
và luật.
Ngày nay, dưới tác động của cách mạng khoa học – công nghệ hiện
đại, logic học (hình thức) phát triển hết sức mạnh mẽ dẫn đến sự hình
thành một loạt các bộ môn logic học hiện đại, như logic học mệnh đề, logic
học vị từ, logic học đa trị, logic học tình thái, logic học xác suất, v.v.. Các bộ
môn đó cung cấp cho nhân loại những công cụ sắc bén giúp tư duy con
người ngày càng đi sâu hơn vào nhận thức các bí mật của thế giới khách
quan.
Sự ra đời của lôgíc mệnh đề đánh dấu bước nhảy vọt trong sự phát
triển của lôgíc học, chuyển từ lôgíc học truyền thống đến lôgíc học hiện

đại. Sử dụng toàn bộ những khái niệm của lôgíc mệnh đề kết hợp với khảo
sát các mệnh đề từ việc phân tích các thành phần của mệnh đề, người ta
1
đã xây dựng các hàm vị từ, đồng thời đưa vào sử dụng hai hằng lôgíc
quan trọng, lượng từ toàn thể và lượng từ bộ phận. Sự ra đời của lôgíc vị
từ đã khắc phục những hạn chế của lôgíc mệnh đề như: thiếu việc sử dụng
các lượng từ toàn thể và bộ phận, không phân tích kết cấu của các mệnh
đề. Sự khắc phục này cho phép ta đi sâu vào phân tích ngữ nghĩa của các
mệnh đề, các tư tưởng nói chung, mở ra một khả năng nghiên cứu tính
chân lý của các tư tưởng một cách sâu sắc hơn, đầy đủ hơn. Sau đây em
xin trình bày về lý thuyêt logic vị từ và một số ứng dụng của nó.
B. Nội dung :
I. Một số khái niệm.
1. Thế nào là logic?
Logic hay luận lý học, từ tiếng Hy Lạp cổ điển λόγος (logos), nghĩa
nguyên thủy là từ ngữ, hoặc điều đã được nói, (nhưng trong nhiều ngôn
ngữ châu Âu đã trở thành có ý nghĩa là suy nghĩ hoặc lập luận hay lý trí).
Logic thường được nhắc đến như là một ngành nghiên cứu về tiêu chí
đánh giá các luận cứ, mặc dù định nghĩa chính xác của logic vẫn là vấn đề
còn đang được bàn cãi giữa các triết gia. Tuy nhiên khi môn học được xác
định, nhiệm vụ của nhà logic học vẫn như cũ: làm đẩy mạnh tiến bộ của
việc phân tích các suy luận có hiệu lực và suy luận ngụy biện để người ta
có thể phân biệt được luận cứ nào là hợp lý và luận cứ nào có chỗ không
hợp lý.
Theo truyền thống, logic được nghiên cứu như là một nhánh của
triết học. Kể từ giữa thế kỉ 19 logic đã thường được nghiên cứu trong toán
học và luật. Gần đây nhất logic được áp dụng vào khoa học máy tính và trí
tuệ nhân tạo. Là một ngành khoa học hình thức, logic nghiên cứu và phân
loại cấu trúc của các khẳng định và các lý lẽ, cả hai đều thông qua việc
nghiên cứu các hệ thống hình thức của việc suy luận và qua sự nghiên

cứu lý lẽ trong ngôn ngữ tự nhiên. Tầm bao quát của logic do vậy là rất
rộng, đi từ các đề tài cốt lõi như là nghiên cứu các lý lẽ ngụy biện và
nghịch lý, đến những phân tích chuyên gia về lập luận, chẳng hạn lập luận
có xác suất đúng và các lý lẽ có liên quan đến quan hệ nhân quả. Ngày
nay, logic còn được sử dụng phổ biến trong lý thuyết lý luận.
2
Qua suốt quá trình lịch sử, đã có nhiều sự quan tâm trong việc phân
biệt lập luận tốt và lập luận không tốt, và do đó logic đã được nghiên cứu
trong một số dạng ít nhiều là quen thuộc đối với chúng ta. Logic Aristotle
chủ yếu quan tâm đến việc dạy lý luận thế nào cho tốt, và ngày nay vẫn
được dạy với mục đích đó, trong khi trong logic toán học và triết học phân
tích (analytical philosophy) người ta nhấn mạnh vào logic như là một đối
tượng nghiên cứu riêng, và do vậy logic được nghiên cứu ở một mức độ
trừu tượng hơn.
Các quan tâm về các loại logic khác nhau giải thích rằng logic không
phải là được nghiên cứu trong chân không. Trong khi logic thường có vẻ tự
cung cấp sự thúc đẩy chính nó, môn học này phát triển tốt nhất khi lý do
mà chúng ta quan tâm đến logic được đặt ra một cách rõ ràng.
Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của logic học, người ta tiến hành
phân loại các hệ thống Lôgíc học theo những các khác nhau và logic toán
là kết quả toán học hóa logic.
2. Logic toán là gì?
Lôgic toán là một ngành con của toán học nghiên cứu các hệ thống
hình thức trong việc mã hóa các khái niệm trực quan về các đối tượng toán
học chẳng hạn tập hợp và số, chứng minh toán học và tính toán. Ngành
này thường được chia thành các lĩnh vực con như lý thuyết mô hình
(model theory), lý thuyết chứng minh (proof theory), lý thuyết tập hợp và lý
thuyết đệ quy (recursion theory). Nghiên cứu về lôgic toán thường đóng vai
trò quan trọng trong ngành cơ sở toán học (foundations of mathematics).
Các tên gọi cũ của lôgic toán là lôgic ký hiệu (để đối lập với lôgic triết

học) hay mêta toán học.
Lôgic toán không phải là lôgic của toán học mà là toán học của lôgic.
Ngành này bao gồm những phần của lôgic mà có thể được mô hình hóa và
nghiên cứu bằng toán học. Nó cũng bao gồm những lĩnh vực thuần túy
toán học như lý thuyết mô hình và lý thuyết đệ quy, trong đó, khả năng
định nghĩa là trung tâm của vấn đề được quan tâm. Logic toán được xây
dựng trên cơ sở logic mệnh đề và logic vị từ.
+/ Logic mệnh đề
Cơ sở của lôgic toán, thực chất bao gồm đại số mệnh đề và hệ toán
mệnh đề, gọi chung là phép tính mệnh đề.
3
Nhiệm vụ cơ bản của đại số mệnh đề là xây dựng hệ thống quy tắc
kết cấu các mệnh đề, cũng như thực hiện các phép biến đổi mệnh đề đúng
đắn, chính xác, chặt chẽ. Nhờ đó, quá trình lập luận lôgic sẽ được chuyển
thành các hệ toán lôgic. Hệ toán mệnh đề là một hệ thống đóng kín, bao
gồm các định nghĩa, các quy tắc và một số tiên đề (nếu là hệ toán lôgic tiên
đề hoá), từ đó nhờ các phép biến đổi đại số mệnh đề người ta có thể thu
được các mệnh đề khác nhau, kết quả có thể đúng hoặc sai tuỳ thuộc giá
trị chân lí của các tiền đề và việc áp dụng các lập luận lôgic.
+/ Logic vị từ
Cùng với lôgic mệnh đề, cấu thành cơ sở của lôgic toán. Về thực
chất, là sự mở rộng lôgic mệnh đề nhờ bổ sung thêm nhiều yếu tố và
thành phần mới vào ngôn ngữ hình thức hoá của phép toán lôgic mệnh đề.
Kết quả, đại số mệnh đề sẽ chuyển thành đại số vị từ và hệ toán mệnh đề
chuyển thành hệ toán vị từ.
Nếu lôgic mệnh đề cho phép tiến hành các phép biến đổi toán học
chính xác và chặt chẽ đối với các phán đoán thì LVT, hơn thế nữa, còn cho
phép thực hiện các phép biến đổi chính xác và chặt chẽ đối với các khái
niệm. Do đó, LVT không chỉ chính xác hoá cơ sở lôgic của hệ thống phán
đoán, mà còn hoàn thiện cơ sở lôgic của hệ thống khái niệm.

II. Logic vị từ
Trong toán học hay trong chương trình của máy tính, chúng ta
thường gặp những câu có chứa các biến như sau : "x>3", "x=y+3",
"x+y=z"...Các câu này không đúng cũng không sai vì các biến chưa được
gán cho những giá trị xác định. Câu "x > 3" có hai bộ phận: bộ phận thứ
nhât là biến x đóng vai trò chủ ngữ trong câu; bộ phận thứ hai "lớn hơn 3"
đóng vai trò vị ngữ của câu, nó cho biêt tính chât mà chủ ngữ có thể có. Có
thể ký hiệu câu "x lớn hơn 3" là P(x) với P là ký hieu vị ngữ "lớn hơn 3" và
x là biên. Người ta cũng gọi P(x) là giá trị của hàm mệnh đề P tại x. Xét
trong tập hợp các số thực, một khi biến x được gán giá trị cụ thể thì câu
P(x) sẽ có giá trị chân lý. Chẳng hạn P(4) là đúng còn P(2,5) là sai. Hàm
mệnh đề cũng có thể xét trong tập các số nguyên, số thực hay số phức,
vv…Do đó, chúng ta sẽ xem xét cách tạo ra những mênh đề từ những câu
như vậy.
1. Khái niệm về vị từ
Một vị từ là một khẳng định P(x,y,…) trong đó có chứa một số biến x,y,
…Lấy giá trị trong những tập hợp A,B,… cho trước, sao cho:
• Bản thân P(x,y,…) không phải là mệnh đề.
4
• Nếu thay x,y,…bằng những giá trị cụ thể thuộc tập hợp A,B,… cho
trước ta sẽ được một mệnh đề P(x,y,…), nghĩa là khi đó chân trị của
P(x,y,…) được gọi là các biến tự do của vị từ.
Ví dụ 1: Các câu có liên quan tới các biến như: “ x > 3 ”, “ x + y = 4 ” rất
hay gặp trong toán học và trong các chương trình của máy tính. Các câu
này không đúng cũng không sai vì các biến chưa được cho những giá trị
xác định.
Nói cách khác, vị từ có thể được xem là một hàm mệnh đề có nhiều
biến hoặc không có biến nào, nó có thể đúng hoặc sai tùy thuộc vào giá trị
của biến và lập luận của vị từ.
Vi dụ 2: Câu {n là chẵn} là một vị từ. Nhưng khi cho n là một số cụ thể là

chẳn hay là lẻ ta được một mệnh đề:
+ n = 2 :{2 là chẵn}: mệnh đề đúng.
+ n = 5 :{5 là chẵn}: mệnh đề sai.
Vị từ { n là chẵn} có 2 phần. Phần thứ nhất là biến x là chủ ngữ của câu.
Phần thứ hai "là chẵn" cũng được gọi là vị từ, nó cho biết tính chất mà chủ
ngữ có thể có.
• Ký hiệu: P(n) = {n là chẵn}
o Tổng quát, người ta nói P(n) là giá trị của hàm mệnh đề P tại n.
Một khi biến n được gán trị thì P(n) là một mệnh đề
Ví dụ 3: Cho vị từ P(x) = {x>3}. Xác định chân trị của P(4) và P(2).
Giải:
P(4) = {4>3} : mệnh đề đúng.
P(2) = {2>3} : mệnh đề sai.
2. Không gian của vị từ
Người ta có thể xem vị từ như là một ánh xạ P, với mỗi phần tử thuộc
tập hợp E ta được một ảnh P(x)∈{ϕ, 1}. Tập hợp E này được gọi là không
gian của vị từ. Không gian này sẽ chỉ rõ các giá trị khả dĩ của biến x làm
cho P(x) trở thành mệnh đề đúng hoặc sai.
3. Trọng lượng của vị từ
Chúng ta cũng thường gặp những câu có nhiều biến hơn. Vị từ xuất
hiện cũng như một hàm nhiều biến, khi đó số biến được gọi là trọng lượng
của vị từ.
Ví dụ 4: Vị từ P(a,b) = {a + b = 5} là một vị từ 2 biến trên không gian N. Ta
nói P có trong lượng 2.
Trong một vị từ P(x1, x2, ..., xn) có trọng lượng là n. Nếu gán giá trị
xác định cho một biến trong nhiều biến thì ta được một vị từ mới Q(x1,
5
x2, ... xn) có trọng lượng là (n-1). Qui luật này được áp dụng cho đến khi
n=1 thì ta có một mệnh đề. Vậy,thực chất mệnh đề là một vị từ có trọng
lượng là ϕ.

Ví dụ 5: Cho vị từ P(x, y, z ) = {x + y = z}.
Cho x = ϕ : Q(y,z) = P( , y, z) = { ϕ ϕ + y = z}
y = ϕ : R(z) = Q( , z) = P( , , z) = { ϕ ϕ ϕ ϕ + ϕ = z}
z = ϕ : T = P( , , 1) = { ϕ ϕ ϕ + ϕ = 1}
mệnh đề sai.
Câu có dạng P(x1, x2, ..., xn) được gọi là giá trị của hàm mệnh đề P tại
(x1, x2, ..., xn) và P cũng được gọi là vị từ.
4. Phép toán vị từ
Phép toán vị từ sử dụng các phép toán logic mệnh đề và là sự mở rộng
của phép toán mệnh đề để thể hiện rõ hơn các tri thức.
Ví dụ 6: Cần viết câu "nếu hai người thích một người thì họ không thích
nhau“ dưới dạng logic vịtừ.
- Trước khi viết câu trên ta hãy tìm hiểu các câu đơn giản được viết
như sau:
+ "Nam thích Mai" được viết theo phép toán vị từ là: thích (Nam,
Mai). + "Đông thích Mai" được viết theo phép toán vị từ là:
thích (Đông, Mai).
o Tổng quát khẳng định trên được viết như sau:
Thích (X, Z) AND thích (Y, Z) → NOT thích (X, Y)
⇔ (Thích (X, Z) ∧ thích (Y, Z) → ¬thích (X, Y)
a. Hằng:
Là một giá trị xác định trong không gian của vị từ. các hằng được ký
hiệu bởi các chữ thường dùng để đặt tên các đối tượng đặc biệt hay thuộc
tính.
b. Biến:
Dùng để thể hiện các lớp tổng quát của các đối tượng hay các thuộc
tính. Biến được viết bằng các ký hiệu bắt đầu là chữ in hoa. Vậy có thể
dùng vị từ có biến để thể hiện các vị từ tương tự.
Ví dụ 7: Vị từ "Quả bóng màu xanh" có thể viết lại: "X màu Y". Quả bóng
xanh là các hằng được xác định trong không gian của vị từ. X, Y là biến.

c. Các vị từ
6
Một sự kiện hay mệnh đề trong phép toán vị từ được chia thành phần.
Vị từ và tham số. Tham số thể hiện một hay nhiều đối tượng của mệnh đề,
còn vị từ dùng để khẳng định về đối tượng.
Ví dụ 8: Câu "X thích Y" có dạng thích (X, Y).
Thích là vị từ cho biết quan hệ giữa các đối tượng trong ngoặc. Đối số là
các ký hiệu thay cho các đối tượng của bài toán.
d. Hàm
Được thể hiện bằng ký hiệu, cho biết quan hệ hàm số.
Ví dụ 9: Hoa là mẹ của Mai, Đông là cha của Cúc. Hoa và Đông là bạn của
nhau.
o Ta có hàm số được viết để thể hiện quan hệ này.
Mẹ (Mai) = Hoa
Cha (Cúc) = Đông
Bạn (Hoa, Đông)
o Các hàm được dùng trong vị tự là: Bạn (Mẹ (Mai), Cha (Cúc)
5. Các lượng từ
Trong một vị từ có thể xảy ra các điều sau: vị từ đã cho đúng với mọi
phần tử trong không gian xác định của nó; cũng có thể chỉ đúng với một số
phần tử nào đó trong không gian xác định của nó, người ta gọi đó là sự
lượng hóa hay lượng từ các hàm mệnh đề.
a. Lượng từ tồn tại (∃)
Câu xác định "Tập hợp những biến x làm cho P(x) là đúng không là tập
hợp rỗng" là một mệnh đề. Hay "Tồn tại ít nhất một phần tử x trong không
gian sao cho P(x) là đúng" là một mệnh đề được gọi là lượng từ tồn tại của
P(x).
 Ký hiệu: ∃x P(x) .
b. Lượng từ với mọi ( ∀)
Câu xác định "Tập hơp những x làm cho P(x) đúng là tất cả tập hợp E"

là một mệnh đề. Hay "P(x) đúng với mọi giá trị x trong không gian" cũng là
một mệnh đề được gọi là lượng từ với mọi của P(x).
 Ký hiệu: ∀xP(x)
Ý nghĩa của lượng từ “ với mọi ” và lượng từ “ tồn tại ” được rút ra trong
bảng sau:
Mệnh đề Khi nào đúng Khi nào sai
7
∀xP(x) P(x) là đúng với mọi phần tử
x
Có ít nhất 1 phần tử x để
P(x)
∃xP(x) Có ít nhất 1 phần tử x để
P(x) là đúng
P(x) là sai với mọi phần tử x
Ví dụ10: Xét trong không gian các số thực, ta có:
Cho P(x) := “ x + 1 > x”, khi đó có thể viết: ∀ xP(x)
Cho P(x) := “ 2x = x + 1 ”, khi đó có thể viết: ∃xP(x)
Ví dụ 11: Cho vị từ P(x) = {số nguyên tự nhiên x là số chẵn}. Xét chân trị
của hai mệnh đề∀x P(x) và ∃x P(x).
Giải:
∀x P(x) = {tất cả số nguyên tự nhiên x là số chẵn} là mệnh đề sai khi x = 5.
∃x P(x) = {hiện hữu một số nguyên tự nhiên x là số chẵn} là mệnh đề đúng
khi x=10.
Chú ý: Cho P là một vị từ có không gian E. Nếu E = {e1, e2, ... en}, mệnh
đề ∀x P(x) là đúng khi tất cả các mệnh đề P(e1), P(e2), ... P(en) là đúng.
Nghĩa là ∀x P(x) ⇔ P(e1) ∧ P(e2) ∧... ∧ P(en) là đúng.
Tương tự ∃x P(x) là đúng nếu có ít nhất một trong những mệnh đề
P(e1), P(e2), ... P(en) là đúng. Nghĩa là ∃x P(x) ⇔ P(e1) ∨ P(e2) ∨... ∨
P(en) là đúng.
Ví dụ 12: Cho P(a,b) = {cặp số nguyên tương ứng thỏa a + b = 5}

Hãy xác định chân trị của các mệnh đề sau:
∀(a,b) P(a,b) {Tất cả cặp số nguyên tượng ứng} F
∃(a,b) P(a,b)
{Hiện hữu một cặp số nguyên tương ứng
(a,b) sao cho a + b = 5}
T
∃b∀a P(a,b)
{Hiện hữu một cặp số nguyên tương ứng b
sao cho cho mọi số nguyên tương ứng a ta
có a + b = 5}
F
∀a∃b P(a, b)
{Mọi số nguyên tương ứng a, hiện hữu một
số nguyên tưng ứng b sao cho a + b = 5}
T
∃a∀b P(a,b)
{Hiện hữu một cặp số nguyên tương ứng a
sao cho cho mọi số nguyên tương ứng b ta
có a + b = 5}
T
∀b∃a P(a, b)
{Mọi số nguyên tương ứng b, hiện hữu một
số nguyên tương ứng a sao cho a + b = 5}
T

Các định lý:
8
Định lý 1: Cho vị từ P(a, b) có trọng lượng là 2. Khi đó:
a) ∀a∀b P(a,b) và∀b∀a P(a, b) là có cùng chân trị.
Nghĩa là: ∀a∀b P(a,b) ↔ ∀b∀a P(a, b)

Ký hiệu: ∀(a,b) P(a,b)
b) ∃a∃b P(a,b) và ∃b∃a P(a, b) là có cùng chân trị.
Nghĩa là: ∃a∃b P(a,b) ↔∃b∃a P(a, b)
Ký hiệu: ∃(a,b) P(a,b)
c) Nếu ∃a∀b P(a,b) là đúng thì∀b∃a P(a,b) cũng đúng nhưng điều ngược
lại chưa đúng. Nghĩa là: ∃a∀b P(a,b) →∀b∃a P(a,b)
d) Nếu ∃b∀a P(a,b) là đúng thì∀a∃b P(a,b) cũng đúng nhưng điều ngược
lại chưa đúng. Nghĩa là: ∃b∀a P(a,b) →∀a∃b P(a,b)
Định lý 2:
¬(∀x P(x)) và∃x (¬P(x) là có cùng chân trị.
¬(∃x P(x)) và∀x (¬P(x) là có cùng chân trị.
Giải thích:
Phủ định với ∀x P(x) nói rằng tập hợp những x làm cho P(x) đúng không là
tất cả tập hợp E. Vậy nói rằng hiện hữu ít nhất một phần tử x ∈ E mà ở
chúng P(x) là sai hay nói rằng hiện hữu ít nhất một phần tử x ∈ E mà ở
chúng P(x) là đúng
¬∃x P(x) nói rằng tập hợp những x mà ở chúng P(x) là đúng là tập hợp
rỗng. Nghĩa là, tập hợp những phần tử x mà ở chúng P(x) là sai là tập E
hay không có phần tử nào làm P(x) đúng. Ta có∀x (¬P(x)).
Ví dụ 13: Phủ định của "Mọi số nguyên n là chia chẵn cho 3“ là "Tồn tại ít
nhất một số nguyên n không chia chẵn cho 3"
Ví dụ 14: Hãy xét phủ định của câu sau đây :
"Tất cả sinh viên trong lớp đều đã học môn Toán rời rạc 2"
o Câu này chính là câu sử dụng lượng từ với mọi như sau: ∀xP(x)
Trong đó P(x) = { x đã học môn Toán rời rạc 2 }.
o Phủ định của câu này là : " Không phải tất cả các sinh viên trong lớp
đều đã học môn Toán rời rạc 2". Điều này có nghĩa là :" Có ít nhất
một sinh viên ở lớp này chưahọc Toán rời rạc 2" . Đây chính là lượng
từ tồn tại của phủ định hàm mệnh đề ban đầu được viết như sau :
∃x¬P(x). Ta có :

¬ ∀xP(x) ⇔ ∃x¬P(x)
¬ ∃xP(x) ⇔ ∀x¬P(x)
• Phương pháp ứng dụng: Để đạt được phủ định của một mệnh đề xây
dựng bằng liên kết của những biến của vi từ với phương tiện định
9
lượng, người ta thay thế những định lượng ∀ bởi ∃, và ∃ bởi ∀ và
sau cùng thay thế vị từ bằng phủ định của vị từ đó.
Định lý 3: Cho P và Q là hai vị từ có cùng không gian.
1. Mệnh đề∀x (P(x) ∧Q(x)) và (∀x (P(x) ∧∀x (Q(x)) là có cùng chân trị.
2. Nếu mệnh đề∃x (P(x) ∧Q(x)) là đúng thì ta có mệnh đề:
(∃x P(x)) ∧ (∃xQ(x)) cũng đúng.
3. Mệnh đề ∃x (P(x) ∨Q(x)) và (∃xP(x) ∨∃xQ(x)) là có cùng chân trị.
4. Nếu mệnh đề∀x (P(x) ∨Q(x)) là đúng thì ta có mệnh đề∀xP(x) ∨ x∀
Q(x) là đúng, nhưng điều ngược lại không luôn luôn đúng.
Chú thích:
 Nếu P và Q là hai vị từ có cùng không gian E. Ta có:
- Tập hợp A E : Tập hợp những phần tử x thuộc E mà ở chúng thì P(x) là⊂
đúng.
- Tập hợp B E: Tập hợp những phần tử x thuộc E mà ở chúng thì Q(x) là⊂
đúng.
 Nếu P và Q là hai vị từ có cùng không gian E. Ta có:
-Tập hợp A E : Tập hợp những phần tử x thuộc E mà ở chúng thì P(x) là⊂
đúng.
-Tập hợp B E: Tập hợp những phần tử x thuộc E mà ở chúng thì Q(x) là⊂
đúng.
Khi đó người ta lưu ý rằng, A B là tập hợp những x thuộc E mà ở∧
chúng mệnh đề P(x) Q(x) là đúng. Trong khi đó A B là tập hợp những x∧ ∨
của E mà ở đó mệnh đề P(x) Q(x) là đúng.∨
6. Công thức tương đương
A tương đương B nếu và chỉ nếu (A →B) (B →A)∧

 Ký hiệu:
A ≡ B |= (A →B) (B →A) ∧
a. Các phép tương đương
+ ~∀x W(x) ≡ ∃x ~W(x)
+ ~ ∃x W(x) ≡ ∀x ~W(x)
+ ∃x (A(x) ∨B(x)) ≡ ∃x A(x) ∨∃x B(x)
+ ∀x (A(x) ∧B(x)) ≡ ∀x A(x) ∧∀x B(x)
+∃x (A(x) →B(x)) ≡ ∀x A(x) →∃x B(x)
+∀x∀y W(x,y) ≡ ∀y∀x W(x,y)
+∃x ∃y W(x,y) ≡ ∃y∃x W(x,y)
b. Các phép tương đương có giới hạn
Các phép tương đương sau đúng khi x không xuất hiện trong biểu thức C:
10
-Disjunction
+ ∀x(C ∨A(x)) ≡ C ∨∀x A(x)
+ ∃x(C ∨A(x)) ≡ C ∨∃x A(x)
-Conjunction
+ ∀x(C ∧A(x)) ≡ C ∧∀x A(x)
+ ∃x(C ∧A(x)) ≡ C ∧∃x A(x)
-Implication
+ ∀x (C →A(x)) ≡ C →∀x A(x)
+ ∃x (C →A(x)) ≡ C →∃x A(x)
+ ∀x (A(x) →C) ≡ ∃x A(x) → C
+ ∃x (A(x) →C) ≡ ∀x A(x) →C
c. Một vài điều kiện không tương đương
1.∀x W(x) →∃x W(x)
2.∀x A(x) ∨ ∀x B(x) →∀x (A(x) ∨ B(x))
3.∃x (A(x) ∧ B(x)) →∃x A(x) ∧∃x B(x)
4.∀x (A(x) → B(x)) →(∀x A(x) →∀x B(x))
5.∃y ∀x W(x,y) →∀x ∃y W(x,y)

7. Công thức chỉnh dạng (well – formed formulas)
Một tên vị từ theo sau bởi một danh sách các biến như: P (x, y), trong
đó P là tên vị từ, và x và y là các biến, được gọi là một công thức nguyên
tử.
a. Công thức chỉnh dạng ( Wff) được xây dựng như sau
1. True, false và là Wff.
2. Mệnh đề hoặc biến mệnh đề là Wff.
3. Nếu A và B là Wff thì ¬A, A ∧ B, A ∨ B, A → B, A ↔ B là Wff.
4. Nếu A là Wff và x là một biến thì ∃xA và ∀xA là Wff.
5. Công thức nguyên tử là Wff.
Ví dụ15:
+ ∀xA(x) là Wff
+ ” Thủ đô của Việt Nam là Hà Nội” là Wff
+ ∀xB(x) ∧ ∃xR(x) là Wff
+ ∀xB(x) R(x), B(∃x) không là Wff
b. Từ Wff sang mệnh đề
Ví dụ 16: P (x) là Wff : x không âm.
11
+ Wff này là T, nếu miền giá trị là (1, 3, 5), (2, 4, 6) hoặc các số nguyên
dương. Nhưng nó không còn là T nếu miền giá trị là (-- 1, 3, 5), hay các số
nguyên âm
+ Nếu giả thiết Q(x,y) là “x > y” thì ∀xQ(x,y) có thể nhận giá trị T hay F tùy
thuộc theo biến y.
o Từ ví dụ trên ta rút ra kết luận sau:
o Wff được gọi là thỏa mãn nếu tồn tại một giải thích làm cho nó T
Ví dụ 17: ∀x P(x) là thỏa mãn.
o Wff là hợp lệ nếu nó là đúng với mọi giải thích .
Ví dụ 18: ∀x P(x) ∨ ∃x¬P(x) hợp lệ với mọi P và giải thich.
o Wff là không hợp lệ hoặc không thỏa mãn nếu không tồn tại một
giải thích làm Wff T.

Ví dụ 19: ∀x ( P(x) ∧ ¬P(x) )
c. Sự tương đương
Hai Wff W1, W2 là tương đương nếu và chỉ nếu W1 ↔ W2 với mọi
giải thích.
Ví dụ 20:
+ ∀x P(x) ↔ ∃x¬P (x) với mọi P
+ ∀x(P(x) ∧ Q(x)) , ∀xP(x) ∧ ∀xQ(x) với mọi P,Q
8. Quy tắc và mô hình suy diễn trong logic vị từ cấp 1
 Quy tắc suy diễn 1 ( rút gọn)
o Công thức cơ sở: (A B)→A≡1˄
o Mô hình suy diễn :
A
B
∴ A

 Quy tắc suy diễn 2( cộng)
o Công thức cơ sở: A → (AB) ≡ 1
o Mô hình suy diễn:
A
∴ A˅ B
 Quy tắc suy diễn 3(khẳng định )
o Công thức cơ sở: (A (A → B) → B ≡ 1˄
o Mô hình suy diễn:
A
A→ B
∴ B
12