BÀI tập đại số tổ hợp

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
I/ Lý thuyết
1/ Quy tắc cộng
Một công việc được hoàn thành bởi một trong n hành động. Nếu hành động 1 có m
1
cách thực hiện,
hành động 2 có m
2
cách thực hiện, , hành động thứ n có m
n
cách thực hiện; các cách thực hiện
của hành động thứ k không trùng với bất kỳ cách nào của hành động thứ p. Vậy công việc đó được
hoàn thành bởi m
1
+m
2
+ +m
n
cách thực hiện.
(
1 2
; ; ; ; ; ;
n
n m m m k p∀ ∈¥
)
2/ Quy tắc nhân
Một công việc được hoàn thành bởi một trong n hành động liên tiếp. Nếu hành động 1 có m
1
cách
thực hiện, ứng với mỗi cách thực hiện hành động 1 có m
2

cách thực hiện hành động 2, , ứng với
mỗi cách thực hiện hành động thứ 1;2; ;n-1 có m
n
cách thực hiện hành động thứ n. Vậy công việc
đó được hoàn thành bởi (m
1
.m
2
m
n
) cách thực hiện.
(
1 2
; ; ; ;
n
n m m m∀ ∈¥
)
3/ Chỉnh hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử; n
≥
1. Một chỉnh hợp chập k các phần tử của A là một cách sắp xếp k
phần tử khác nhau của A;
1 ;k n k≤ ≤ ∈¥
.
• Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử:
!
( )!
k
n
n

A
n k
=
−
4/ Hoán vị
Cho tập hợp A gồm n phần tử; n > 0. Một hoán vị n phần tử của A là một chỉnh hợp chập n các
phần tử của A (Hay một cách sắp xếp thứ tự các n phần tử của A).
• Số các hoán vị n phần tử của A:
!
n
n n
P A n= =
5/ Tổ hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử; n > 0. Một tổ hợp chập k các phần tử của A là một tập hợp con của
A có k phần tử ;
0 ;k n k≤ ≤ ∈¥
.
• Số các tổ hợp chập k của n phần tử:
!
!.( )!
k
n
n
C
k n k
=
−
6/ Vài tính chất quan trọng của P
n
; A

n
k
; C
n
k
•
k
k
n
n
k
A
C
P
=
•
k n k
n n
C C
−
=
•
1
1 1
k k k
n n n
C C C
−
− −
= +

•
1
1
. . (1 ; ; ; 1)
k k
n n
k C n C k n k n N n
−
−
= ≤ ≤ ∈ ∈ >
¥

•
2
2
.( 1). .( 1). ; ; ;2
k k
n n
k k C n n C k n k n
−
−
− = − ∀ ∈ ≤ ≤¥

•
3
3
.( 1)( 2). .( 1)( 2). ; ; ;3
k k
n n
k k k C n n n C k n k n

−
−
− − = − − ∀ ∈ ≤ ≤¥

•
1 *
1
1 1
. . ( ;0 ;
1 1
k k
n n
C C k k n n
k n
+
+
= ∀ ∈ ≤ ≤ ∈
+ +
¥ ¥

7/ Nhị thức Niu-tơn
* Công thức Nhị thức Niu - tơn

0 1 1 2 2 2
( ) . . . . . . . .
n n n n k n k k n n
n n n n n
a b C a C a b C a b C a b C b
− − −
+ = + + + + + +

0
. .
n
k n k k
n
k
C a b
−
=
=
∑
(*)
*
( )n∀ ∈¥
• Ta cũng có thể khai triển:
1
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

0 1 1 2 2 2
( ) . . . . . . . .
n n n n k n k k n n
n n n n n
a b C b C b a C b a C b a C a
− − −
+ = + + + + + +
0
. .
n
k k n k
n

k
C a b
−
=
=
∑
(**)
*
( )n∀ ∈¥
• Từ công thức (*) ta có một số đẳng thức sau:
•
0 1 *
2
k n n
n n n n
C C C C n+ + + + + = ∀ ∈¥
•
0 1 *
( 1) . ( 1) .
k k n n
n n n n
C C C C n− + + − + + − = ∀ ∈¥
•
2
2
2
0
(1 ) .
n
n k k

n
k
x x C
=
+ =
∑
;
2
2
2
0
(1 ) ( 1) .
n
n k k k
n
k
x x C
=
− = −
∑
•
2
2 1
2 1
0
(1 ) .
n
n k k
n
k

x x C
+
+
=
+ =
∑
;
2
2 1
2 1
0
(1 ) ( 1) .
n
n k k k
n
k
x x C
+
+
=
− = −
∑

II/ Tài liệu tham khảo số 1
Một số dạng toán sử dụng công thức tổ hợp và nhị thức Niu-tơn
( Trích Báo THTT – số 4/2008)
DẠNG 1: BÀI TOÁN TÍNH TỔNG
1/ Ví dụ 1: Rút gọn:
0 1 2 3 *
n n n n

S = C + C C + + ( 1) C ; 0 ; ;n
k k
k n
C k n k
− − − ≤ ≤ ∈ ∈
¥ ¥
• Nếu k<n thì ta có
0 0 1 1 2 2 3 1 *
1 n 1 1 n 1 1 n 1 1 n 1
S = ( C ) + ( C ) ( C ) + + ( 1) ( C );0 ; ;n
k k k
k n n n n n
C C C C C k n k
−
− − − − − − − −
− + + − + − + ≤ ≤ ∈ ∈
¥ ¥
• Rút gọn suy ra:
1
( 1) .
k k
k n
S C
−
= −
• Nếu k = n thì
0 1 2 3
n n n n
S = C + C C + + ( 1) C 0
n n

k n
C
− − − =
2/ Ví dụ 2: Tính S =
1 3 4 2 1
4 4 4 4

n
n n n n
C C C C
−
+ + + +
• Áp dụng công thức
k n k
n n
C C
−
=
ta có:
1 4 1 3 4 3 2 1 2 1
4 4 4 4 4 4
; ; ;
n n n n
n n n n n n
C C C C C C
− − − +
= = =
• Vì vậy S =
4 1 4 3 2 1
4 4 4

n n n
n n n
C C C
− − +
+ + +
• Suy ra 2S =
1 3 4 2 1 2 1 4 1 4 0 4
4 4 4 4 4 4 4 4
2
n n n n n
n n n n n n n n
C C C C C C C C
− + −
+ + + + + + + = − −

4 2
2
n
S
−
⇒ =
3/ Ví dụ 3: (Sử dụng phép tính đạp hàm)
Tính
0 1 2
2 3 ( 1) .( 1) ;
n n
n n n n
S C C C n C n
= − + − + − + ∈

¥
• Xét đa thức f(x) = x(1+x)
n
=
0 1 2 2 3 1 *
n n n
C + C + + C ; n
n n
n
C x x x x
+
+ ∈
¥
D=R
• Ta có
'
( )f x =
0 1 2 2 1
n n n
C .2 + C 3 + + C .( 1) (1 ) (1 )
n n n n
n
C x x n x x nx x
−
+ + = + + +

'
( 1)f⇒ − =
0 1 2 '
2 3 ( 1) .( 1) ( 1) 0

n n
n n n n
C C C n C f
− + − + − + = − =
*** Lưu ý: Để tính các tổng

0 1 2 2
1
2 3 ( 1) ;
n n
n n n n
S C aC a C n a C
= + + + + +

0 2 2 4 4 2 2
2 2 2 2 2
3 5 (2 1) ;
n n
n n n n
S C a C a C n a C
= + + + + +

1 3 3 5 5 2 1 2 1
3 2 2 2 2
2 4 6 2 ;
n n
n n n n
S aC a C a C na C
− −
= + + + +

Ta xét đa thức f(x) = x(1+x)
n
và chứng tỏ rằng S
1
=f
’
(a);
xét đa thức g(x) = x(1+x)
2n
và chứng tỏ rằng 2S
2
=g
’
(a)+g
’
(-a); 2S
3
=g
’
(a)-g
’
(-a)
4/ Ví dụ 4: ( Sử dụng phép tính tích phân)
Tính
0 1 2 *
1
1 1 1
. . . ;
2 3 1
n

n n n n
S C C C C n
n
= + + + + ∈
+
¥
• Xét đa thức f(x) =
0 1 2 2 *
(1 ) . . . ;
n n n
n n n n
x C x C x C x C x n+ = + + + + ∀ ∈ ∈ ¥¡
2
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
• Suy ra
1
0
( )f x dx =
∫
1 1
0 1 2
1 1
1
1 1 1 (1 ) 2 1
. . .
0
2 3 1 1 1
n n
n
n n n n

x
C C C C S S
n n n
+ +
+ −
+ + + + = ⇒ = =
+ + +
*** Lưu ý: Để tính các tổng

2 2 3 3 1 1
0 1 2 *
( ) . . . ;
2 3 1
n n
n
n n n n
b a b a b a
S b a C C C C n
n
+ +
− − −
= − + + + + ∈
+
¥
Hãy chứng tỏ rằng S =
( ) ; ( ) (1 )
b
n
a
f x dx f x x= +

∫
Ta thường gặp bài toán với một trong hai cận của tích phân là 0 hoặc 1; -1.
Trong một số trường hợp, ta phải xét đa thức g(x) = x
k
.(1+x)
n
với k = 1; 2; 3;
DẠNG 2: BÀI TOÁN CHỨNG MINH HỆ THỨC TỔ HỢP
5/ Ví dụ 5: CMR
0 2 1 2 2 2
2
( ) ( ) ( ) ( )
k n n
n n n n n
C C C C C+ + + + + =
• Ta có (x+1)
n
.(1+x)
n
= (x+1)
2n
(1)
• VT(1) =
0 1 1 2 2 0 1 2 2
( . . . ).( . . . )
n n n n n n
n n n n n n n n
x C x C x C C C x C x C x C
− −
+ + + + + + + +

Từ đó suy ra hệ số của x
2n
trong khai triển VT(1) là :
0 2 1 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
k n
n n n n
C C C C+ + + + +
• Còn hệ số của x
2n
trong khai triển ở VP(1) là
2
n
n
C=
. Vậy suy ra đpcm.
*** Lưu ý: Khi xét đẳng thức (x+1)
n
.(1+x)
m
= (x+1)
n+m
(2). Sử dụng công thức khai triển nhị thức
Niu-tơn để viết cả 2 vế thành đa thức của ẩn x, đồng nhất hệ số của các số hạng cùng bậc trong 2
vế, ta có thể viết ra được nhiều hệ thức về tổ hợp.
DẠNG 3: BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TỔ HỢP
6/ Ví dụ 6: Giải phương trình
3 1 3 2
1 1 6
2 3 3 159

x x
x x x
A C C x P
− −
+ −
+ − = + +
• ĐK:
3;x x≥ ∈¥
• Với đk trên pt đã cho
2
! 2( 1)! 3( 1)!
3 6! 159
( 3)! 2!( 1)! 2!( 3)!
x x x
x
x x x
+ −
⇔ + − = + +
− − −

2
2
3
( 1)( 2) ( 1) ( 1)( 20 3 879
2
( 12)(2 11 147) 0
12 (tm)
x x x x x x x x
x x x
x

⇔ − − + + − − − = +
⇔ − + + =
⇔ =
*** Lưu ý: Khi giải pt tổ hợp ta làm như sau: đặt điều kiện cho ẩn số; sử dụng các công thức về
hoán vị; chỉnh hợp; tổ hợp để biến đổi, rút gọn và giải pt; đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện
của bài toán để kết luận. Tương tự như vậy khi giải bất phương trình
7/ Ví dụ 7: Tìm 3 số hạng liên tiếp lập thành một CSC trong dãy số sau:
0 1 23
23 23 23
; ; ;C C C
• Giả sử 3 số hạng liên tiếp trong dãy trên lập thành CSC là:
1 2
23 23 23
; ;
n n n
C C C
+ +

2 1
23 23 23
2
n n n
C C C
+ +
⇔ + =

1 1 2 1
23 23 23 23 23
2 1
25 23

4
4
n n n n n
n n
C C C C C
C C
+ + + +
+ +
⇔ + + + =
⇔ =

25! 4.23!
( 2)!(23 )! ( 1)!(22 )!n n n n
⇔ =
+ − + −

( 2)(23 ) 150n n⇔ + − =

8
23
n
n
=

⇔

=

• Vậy ba số hạng cần tìm là:
8 9 10

23 23 23
; ;C C C
và
13 14 15
23 23 23
; ;C C C
3
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
DẠNG 4: BÀI TOÁN TÍNH HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC
8/ Ví dụ 8:
Tính số hạng không chứa x trong P(x) =
3
2
( )
n
x
x
+
biết n thỏa mãn:
6 7 8 9 8
2
3 3 2
n n n n n
C C C C C
+
+ + + =
(1)
• Từ (1) ta có:
6 7 7 8 8 9 8 7 8 9 8
2 1 1 1 2

2( ) ( ) 2 2 2
n n n n n n n n n n n
C C C C C C C C C C C
+ + + + +
+ + + + + = ⇔ + + =

9 8
3 2
3
2 2 15
9
n n
n
C C n
+ +
+
⇔ ⇔ = ⇔ = ⇔ =
• Khi đó P(x) =
30 5
15 15
15 15
3 3
6
15. 15.
0 0
2 2
( ) .( ) .( ) .2 .
k
k k k k k
k k

x C x C x
x x
−
−
= =
+ = =
∑ ∑

• Số hạng không chứa x tương ứng với
30 5
0 6 (tm)
6
k
k
−
= ⇔ =
• Vậy số hạng phải tìm là:
6 6
15
2 320.320C =
*** Lưu ý:
Tính hệ số của số hạng chứa x
p
(p là một số cho trước) trong khai triển f(x) = (u(x)+v(x))
n
, ta làm
như sau: Viết f(x) =
( )
0
.

n
g k
k
k
a x
=
∑
; số hạng chứa x
p
ứng với g(k) = p; giải pt ta tìm được k. Nếu k là số
tự nhiên và nhỏ hơn hoặc bằng n thì hệ số phải tìm là a
k
. Nếu k
N∉
hoặc k > n, thì trong khai triển
không có số hạng chứa x
p
, hệ số phải tìm bằng 0.
9/ Ví dụ 9: Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của đa thức
P(x) = (2x+1)
13
= a
0
.x
13
+ a
1
.x
12
+ +a

12
.x + a
13
• Ta có P(x) = (2x+1)
13
=
13 13
13 13 13
13 13
0 0
.(2 ) .2 .
n n n n n
n n
C x C x
− − −
= =
=
∑ ∑
• Vậy a
n
=
13 1 14
13 1 13
.2 .2 ( 1;2; 13)
n n n n
n
C a C n
− − −
−
⇒ = =

• Xét bất pt: a
n-1

≤
a
n

2.13! 13! 2 1 14
4
( 1)!.(14 )! !.(13 )! 14 3
n n
n n n n n n
⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇒ ≤
− − − −
Vậy ta có a
n-1
≤
a
n
đúng khi n
{ }
1;2;3;4∈
;và dấu bằng không xảy ra;
suy ra
{ }
1
14
5; ;13
3
n n

a a n n
−
> ⇔ > ⇔ ∈
Ta được: a
0
<a
1
<a
2
<a
3
<a
4
và a
4
>a
5
> >a
13
. Vậy max(a
n
) = a
4
=
4 9
13
.2 366080C =
.
*** Lưu ý: Để tìm hệ số có giá trị lớn nhất khi khai triển (ax+b)
m

thành đa thức, ta làm như sau:
Tính hệ số của số hạng tổng quát a
n
; giải bất pt: a
n-1
≤
a
n
với ẩn n; hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số
tự nhiên n lớn nhất thỏa mãn bất pt trên.
III/ Tài liệu tham khảo số 2
Một cách khác giải quyết các bài toán liên quan đến nhị thức Niu – tơn
( Trích KNSK 2010 – GV: Lưu Hải Vĩnh – Trường THPT Ninh Giang)
DẠNG 1: ÁP DỤNG CÔNG THỨC (I)
Bài toán mở đầu:
Tính tổng:
1 2 3 n *
n n n n
S = C + 2C +3C + + nC ; n
∈
¥
(1)
Giải
• Cách giải thứ nhất:
 Chúng ta đã biết bài toán này được giải quyết theo phương
pháp đạo hàm.
4
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
 Trước hết giáo viên cần hướng dẫn học sinh quan sát biểu thức
cần tính để đưa ra nhị thức Niu - tơn thích hợp.

 Cụ thể: Ta có

0 1 2 2 *
(1 ) . . . ;
n n n
n n n n
x C x C x C x C x n+ = + + + + ∀ ∈ ∈ ¥¡
Đạo hàm bậc nhất hai vế; suy ra:

1 1 2 1 *
.(1 ) 1. 2 . . ;
n n n
n n n
n x C x C nx C x n
− −
+ = + + + ∀ ∈ ∈¥¡
Cho x = 1 ta được:

1 1 2 *
.(1 1) 1. 2. . ;
n n
n n n
n C C n C n
−
+ = + + + ∀ ∈¥

Từ đó suy ra:
1 2 1 *
1. 2. . .2 ;
n n

n n n
S C C n C n n
−
= + + + = ∀ ∈¥
• Cách giải thứ hai:
 Áp dụng công thức:
*
; 0 ; ;
k n k
n n
C C k n k n
−
= ∀ ≤ ≤ ∈ ∈¥ ¥

ta được
0 1 2 n 1 *
n n n
S = . ( 1).C + ( 2).C + +1.C ; n
n
n C n n
−
+ − − ∈
¥
(2)
 Khi đó; từ (1) và (2) suy ra:

0 1 2 n *
n n n
0 1 2 n
n n n

1 *
2S = . .C + .C + + .C ; n
2 .( C + C + + C )
2 .2
.2 ; n
n
n
n
n
n C n n n
S n C
S n
S n
−
+ ∈
⇔ = +
⇔ =
⇔ = ∀ ∈
¥
¥
• Cách giải thứ ba:
 Ta xác định số hạng tổng quát trong biểu thức cần tính; đó là:

* *
. ( ; ; )
k
n
k C k n k n≤ ∈ ∈¥ ¥

 Theo công thức (1) ta có:

1 * *
1
. ( ; ; )
k k
n n
k C nC k k n n
−
−
= ∀ ∈ ≤ ∈¥ ¥
 Khi đó:

0 1 1 *
1 1 1
0 1 1
1 1 1
. . . ;
( )
n
n n n
n
n n n
S n C n C n C n
S n C C C
−
− − −
−
− − −
= + + + ∀ ∈
⇒ = + + +

¥

1 1 *
(1 1) .2 ;
n n
S n n n
− −
⇒ = + = ∀ ∈¥
***Bình luận:
• Cách giải thứ nhất khá phổ biến, mang tính chất truyền thống nhưng học sinh thường lúng
túng khi đưa ra nhị thức Niu- tơn cần khai triển để áp dụng, nhất là đối với các tổng phức tạp
hơn cần sử dụng đạo hàm bậc hai, bậc ba Mặt khác trong chương trình học: bài "Nhị thức
Niu - tơn" học trước chương " Đạo hàm".
• Cách giải thứ hai: không là cách giải tổng quát cho tất cả các bài tương tự.
• Cách giải thứ ba:
 Phù hợp với nội dung chương trình đang học.
 Tự nhiên hơn.
 Áp dụng được nhiều dạng bài tập tương tự, phức tạp hơn.
• Sau đây là một số bài tập được giải quyết nhờ công thức (I); (II).
Bài 1: Tính các tổng sau:
a/
( )
1
1 2 3
1
2. 3. 1 . . ; ; 1
n
n
n n n n
S C C C n C n n

−
= − + − + − ∈ >¥

b/
0 1 2
2
2 3 ( 1) ; ; 1
n
n n n n
S C C C n C n n
= + + + + + ∈ >
¥

5
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
c/
2 3 4 *
3
2 3 ( 1) ; ; 2
n
n n n n
S C C C n C n n
= + + + + − ∈ ≥
¥

d/
1 0 2 1 3 2 2 1 1
4
.2 . ( 1).2 .3. ( 2).2 .3 . 3 . ; ; 1
n n n n n

n n n n
S n C n C n C C n n
− − − − −
= + − + − + + ∈ >¥
e/
3 0 4 1 2012 2009
5 2009 2009 2009
4.5 . 5.5 . 2013.5 .S C C C
= + + +
Giải
a/
( )
1
1 2 3
1
2. 3. 1 . .
n
n
n n n n
S C C C n C
−
= − + − + −
 Bước thứ nhất, hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát
trong tổng S
1
; cụ thể là:
. ( ;1 )
k
n
k C k k n∀ ∈ ≤ ≤¥

 Theo công thức (I) ta có:

1
1
. ( ;1 )
k k
n n
k C nC k k n
−
−
= ∀ ∈ ≤ ≤¥
 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 1 đến n ta được:

1 1 1
1 1
1 1
( 1) . . ( 1) . .
n n
k k k k
n n
k k
S k C n C
− − −
−
= =
⇒ = − = −
∑ ∑

0 1 2 1 1
1 1 1 1 1

1
1
( ( 1) . )
.(1 1) 0; ; 1
n n
n n n n
n
S n C C C C
S n n n
− −
− − − −
−
⇒ = − + − + −
⇒ = − = ∀ ∈ >¥
• Tương tự với các tổng còn lại;
b/
0 1 2 *
2
2 3 ( 1) ;
n
n n n n
S C C C n C n
= + + + + + ∈
¥


0
2
0 1 0
( 1). 0. .

n n n
k k k
n n n n
k k k
S k C C k C C
= = =
⇒ = + = + +
∑ ∑ ∑

1
2 1
0
.
n n
k k
n n
k k
S n C C
−
−
=
⇒ = +
∑ ∑

1
2
1
2
.2 2
( 2).2 ; ; 1

n n
n
S n
S n n n
−
−
⇒ = +
⇒ = + ∀ ∈ >¥
c/
2 3 4 *
3
2 3 ( 1) ; ; 2
n
n n n n
S C C C n C n n
= + + + + − ∈ ≥
¥

3
2 2 2
( 1). .
n n n
k k k
n n n
k k k
S k C k C C
= = =
⇒ = − = −
∑ ∑ ∑

1 0 1
3
1 0
.
n n
k k
n n n n n
k k
S k C C C C C
= =
⇒ = − − + +
∑ ∑

1 1 0 1
3 1
1 0
.
n n
k k
n n n n n
k k
S nC C C C C
−
−
= =
⇒ = − − + +
∑ ∑

1
3

1
3
.2 2 1
( 2).2 1; ; 2
n n
n
S n
S n n n
−
−
⇒ = − +
⇒ = − + ∀ ∈ ≥¥
d/
1 0 2 1 3 2 2 1 1 *
4
.2 . ( 1).2 .3. ( 2).2 .3 . 3 . ;
n n n n n
n n n n
S n C n C n C C n
− − − − −
= + − + − + + ∈¥

1 1
1 1
4
0 0
( ).2 .3 . 2 .3 .( ).
n n
n k k k n k k n k
n n

k k
S n k C n k C
− −
− − − − −
= =
⇒ = − = −
∑ ∑

1
1 1
4 1
0
2 .3 . .
n
n k k n k
n
k
S n C
−
− − − −
−
=
⇒ =
∑
6
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

1 0 1 2 2 2 0 1 0
4 1 1 1
1

4
1
4
(2 .3 . 2 .3 . 2 .3 . )
.(2 3)
.5 ; ; 1
n n n n n
n n n
n
n
S n C C C
S n
S n n n
− − − − −
− − −
−
−
⇒ = + + +
⇒ = +
⇒ = ∀ ∈ >¥
e/
3 0 4 1 2012 2009
5 2009 2009 2009
4.5 . 5.5 . 2013.5 .S C C C
= + + +

2009 2009 2009
3 3 3
5 2009 2009 2009
0 0 0

2009 2009
3 3
5 2009 2009
0 0
2009 2009
0 3 0 4 1 1 3
5 2009 2008 2009
1 0
5
( 4).5 . .5 . 4.5 .
5 . . 4.5 .
5 .0. 5 .5 .2009. 4.5 .5 .
2009.5
k k k k k k
k k k
k k k k
k k
k k k k
k k
S k C k C C
S k C C
S C C C
S
+ + +
= = =
+ +
= =
+ − −
= =
⇒ = + = +

⇒ = +
⇒ = + +
⇒ =
∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
4 0 0 1 1 2008 2008
2008 2008 2008
3 0 0 1 1 2009 2009
2009 2009 2009
4 2008 3 2009
5
3 2008
5
.(5 5 5 )
4.5 .(5 5 5 )
2009.5 .6 4.5 .6
10069.5 .6
C C C
C C C
S
S
+ + + +
+ + + +
⇒ = +
⇒ =
*** Nhận xét:
• Như vậy ta có thể tính tổng bất kỳ dạng:

1 *

0
( . ). . . ( ; ; ; ; ; )
n
n k k m k
n
k
S k a b C k k n n m
α β α β
− − +
=
= + ∈ ∈ ≤ ∈ ∈
∑
¥ ¥ ¥¡
Dựa vào đó người giáo viên có thể ra nhiều bài tập tương tự, để làm phong phú hơn bài giảng của
mình, nhằm giúp học sinh hiểu bài hơn và áp dụng tốt vào các dạng bài tập tương tự.
• Giáo viên có thể thay thế yêu cầu bài toán bởi các yêu khác, ví dụ như:
chứng minh rằng, tìm các giá trị của n thoả mãn đẳng thức
• Nếu trong tổng cần tính xuất hiện biểu thức của k dưới dạng bậc hai hoặc bậc ba của k thì ta
giải quyết như thế nào?
*** Từ công thức (I); ta suy ra các công thức sau:
1/
2
2
.( 1). .( 1). ; ; ;2
k k
n n
k k C n n C k n k n
−
−
− = − ∀ ∈ ≤ ≤¥

(I
A
)
2/
3
3
.( 1)( 2). .( 1)( 2). ; ; ;3
k k
n n
k k k C n n n C k n k n
−
−
− − = − − ∀ ∈ ≤ ≤¥
(I
B
)
Chứng minh:
1/
1
1
.( 1). ( 1). . .( 1).
k k k
n n n
k k C k k C n k C
−
−
− = − = −

2
2

.( 1). ; ;2
k
n
n n C k n k n
−
−
= − ∀ ∈ ≤ ≤¥
2/ Tương tự (dành cho bạn đọc)
Bài 2: Tính các tổng sau
a/
2 3
6
1.2. 2.3. ( 1). . ; 2
n
n n n
S C C n n C n n= + + + − ∈ >¥
b/
2 3 1 1 2 2
7
.( 1).3 . ( 1).( 2).3 .4 2.1.4 . ; 2
n n n n n
n n n
S n n C n n C C n n
− − − −
= − + − − + + ∈ >¥
c/
2 1 2 2 2 3 2
8
1 . 2 . 3 . . ; 2
n

n n n n
S C C C n C n n= + + + + ∈ >¥
d/
1 2 2 4 3 4022 2012
9 2012 2012 2012 2012
1.2. 3.4.2 . 5.6.2 . 4023.4024.2 .S C C C C= + + + +
Giải
a/
2 3
6
1.2. 2.3. ( 1). . ; 2
n
n n n
S C C n n C n n= + + + − ∈ >¥
 Bước thứ nhất, ta cũng hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng
quát trong tổng S
6
; cụ thể là:
( 1). . ( ;2 )
k
n
k k C k k n− ∀ ∈ ≤ ≤¥
 Theo công thức (I
A
) ta có:
7
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

2
2

.( 1). .( 1). ( ;2 )
k k
n n
k k C n n C k k n
−
−
− = − ∀ ∈ ≤ ≤¥
 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 2 đến n ta được:

2
6 2
2 2
( 1). ( 1). .
n n
k k
n n
k k
S k kC n n C
−
−
= =
⇒ = − = −
∑ ∑

0 1 2 2
6 2 2 2 2
2 2
6
.( 1)( )
.( 1)(1 1) .( 1).2 ; ; 2

n
n n n n
n n
S n n C C C C
S n n n n n n
−
− − − −
− −
⇒ = − + + + +
⇒ = − + = − ∀ ∈ >¥
• Tương tự với các tổng còn lại;
b/
2 3 1 1 2 2
7
.( 1).3 . ( 1).( 2).3 .4 2.1.4 . ; 2
n n n n n
n n n
S n n C n n C C n n
− − − −
= − + − − + + ∈ >¥

2 2
7
2 2
.( 1).4 .3 . 4 .3 . .( 1).
n n
n k k k n k k n
n n
k k
S k k C k k C

− − − −
= =
⇒ = − = −
∑ ∑

2 2
7 2
2
4 .3 . ( 1).
n
n k k k
n
k
S n n C
− − −
−
=
⇒ = −
∑

2 0 0 3 1 1 0 2 2
7 2 2 2
.( 1).(4 .3 . 4 .3. 4 .3 . )
n n n n
n n n
S n n C C C
− − − −
− − −
⇒ = − + + +

2 2
7
.( 1).(4 3) ( 1).7 2;
n n
S n n n n n n
− −
⇒ = − + = − ∀ > ∈¥
c/
2 1 2 2 2 3 2
8
1 . 2 . 3 . . ; 2
n
n n n n
S C C C n C n n= + + + + ∈ >¥
 Ta thấy số hạng tổng quát trong tổng trên là:

2
. ;1 ; 2
k
n
k C k k n n∀ ∈ ≤ ≤ >¥
 Theo công thức (I
A
) ta có:

2
. .( 1) . .( 1). . ;2 ; 2
k k k k
n n n n
k C k k k C k k C k C k k n n= − + = − + ∀ ∈ ≤ ≤ >

 
 
¥

2 2 1
2 1
. .( 1). . ;2 ; 2
k k k
n n n
k C n n C n C k k n n
− −
− −
⇒ = − + ∀ ∈ ≤ ≤ >¥
 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 2 đến n ta được:

2 1 0 1 2 1 2 1
8 2 2 2 1 1 1
1 . .( 1).( ) ( ) ; 2
n n
n n n n n n n
S C n n C C C n C C C n n
− −
− − − − − −
⇒ = + − + + + + + + + ∈ >¥

0 1 2 0 1 2 1
8 2 2 2 1 1 1 1
.( 1).( ) ( ) ; 2
n n
n n n n n n n

S n n C C C n C C C C n n
− −
− − − − − − −
⇒ = − + + + + + + + + ∈ >¥
( Do
2 1 0
1
1 . .
n n
C n n C
−
= =
)

2 1 2
8
.( 1).2 .2 .( 1).2 ; 2
n n n
S n n n n n n n
− − −
⇒ = − + = + ∀ ∈ >¥
d/
1 2 2 4 3 4022 2012
9 2012 2012 2012 2012
1.2. 3.4.2 . 5.6.2 . 4023.4024.2 .S C C C C= + + + +
 Ta thấy số hạng tổng quát trong tổng trên là:

2 1
2012
(2 1).(2 2).2 . ; 2011

k k
k k C k k
+
+ + ∀ ∈ ≤¥

 Theo công thức (I
A
) ta có:

2 1 2
2012 2011
(2 1).(2 2).2 . 2.(2 1).2 .2012.
k k k k
k k C k C
+
+ + = +


2
2011 2011
2.2 .2012.(2. . ) ; 2011
k k k
k C C k k= + ∀ ∈ ≤¥

2 1
2010 2011
2 2 1 2
2010 2011
2.2 .2012.(2.2011. )
2 .2011.2012.2 . 2.2012.2 .

( ;1 2011)
k k k
k k k k
C C
C C
k k
−
−
= +
= +
∀ ∈ ≤ ≤¥
 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 1 đến 2011 ta được:

1 2 2 0 4 1 4022 2010
9 2012 2010 2010 2010
2 1 4 2 4022 2011
2011 2011 2011
1.2. 2 .2011.2012.(2 . 2 . 2 . )
2.2012.(2 . 2 . 2 . )
S C C C C
C C C
= + + + + +
+ + + +

1 4 2 0 0 2 1 1 2 2010 2010
9 2012 2010 2010 2010
1 2 0 0 2 1 1 2 2011 2011 2 0 0
2011 2011 2011 2011
1.2. 2 .2011.2012. (2 ) . (2 ) . (2 ) .
2 .2012. (2 ) . (2 ) . (2 ) . (2 ) .

S C C C C
C C C C
 
⇒ = + + + + +
 
 
+ + + + −
 
8
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

1 4 2 2010 2 2011
9 2012
1.2. 2 .2011.2012.(2 1) 2.2012.(2 1) 2.2012S C⇒ = + + + + −

4 2010 2011 2011
9 9
2 .2011.2012.5 2.2012.5 4024.16093.5S S⇒ = + ⇒ =
Bài 3: Tính các tổng sau
a/
3 4
10
1.2.3. 2.3.4. ( 2)( 1) . ; 3
n
n n n
S C C n n n C n n= + + + − − ∀ ∈ >¥
b/
3 1 3 2 3
11
1 . 2 . . ; 3

n
n n n
S C C n C n n= + + + ∀ ∈ >¥
c/
0 1
12
1.2.3. 2.3.4. ( 1) .( 1)( 2)( 3).
n n
n n n
S C C n n n C= − + + − + + +

( ; 3)n n∀ ∈ >¥
Giải
a/
3 4
10
1.2.3. 2.3.4. ( 2)( 1) . ; 3
n
n n n
S C C n n n C n n= + + + − − ∀ ∈ >¥
 Bước thứ nhất, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng
quát trong tổng S
10
; cụ thể là:
( 2)( 1). . ( ;3 )
k
n
k k k C k k n− − ∀ ∈ ≤ ≤¥
 Theo công thức (I
B

) ta có:

3
3
.( 1).( 2) .( 1).( 2) ( ;3 )
k k
n n
k k k C n n n C k k n
−
−
− − = − − ∀ ∈ ≤ ≤¥
 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 3 đến n ta được:

3
10 3
3 3
( 2)( 1). ( 2)( 1). .
n n
k k
n n
k k
S k k kC n n n C
−
−
= =
⇒ = − − = − −
∑ ∑

0 1 2 3
10 3 3 3 3

3 3
10
.( 1)( 2)( )
.( 1)( 2)(1 1) .( 1).( 2)2 ; ; 3
n
n n n n
n n
S n n n C C C C
S n n n n n n n n
−
− − − −
− −
⇒ = − − + + + +
⇒ = − − + = − − ∀ ∈ >¥
• Tương tự với các tổng còn lại;
b/
3 1 3 2 3
11
1 . 2 . . ; 3
n
n n n
S C C n C n n= + + + ∀ ∈ >¥
 Ta thấy số hạng tổng quát trong tổng trên là:

3
. ;1 ; 3
k
n
k C k k n n∀ ∈ ≤ ≤ >¥
 Theo công thức (I

A
) và (I
B
) ta có:

3
3 2 1
3 2 1
. .( 1)( 2) 3 .( 1) .
.( 1).( 2) 3 .( 1)
( 1)( 2). 3 ( 1). .
( ;3 ; 3)
k k
n n
k k k
n n n
k k k
n n n
k C k k k k k k C
k k k C k k C kC
n n n C n n C n C
k k n n
− − −
− − −
= − − + − +
 
 
= − − + − +
= − − + − +
∀ ∈ ≤ ≤ >¥

 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 3 đến n ta được:

3 1 3 2 0 1 3
11 3 3 3
1 2 2 2 3 1
2 2 2 1 1 1
1 . 2 . .( 1).( 2).( )
3 ( 1)( ) ( )
n
n n n n n
n n
n n n n n n
S C C n n n C C C
n n C C C n C C C
−
− − −
− −
− − − − − −
⇒ = + + − − + + + +
+ − + + + + + + +
(
; 3n n∈ >¥
)

3 2 0 1 0 1
11 2 1 1
4 ( 1) .( 1)( 2).2 3 .( 1) 2 2
n n n
n n n
S n n n n n n n n C n C C

− − −
− − −
   
⇒ = + − + − − + − − + − −
   

3 2 1
11
.( 1)( 2).2 3 .( 1).2 .2
n n n
S n n n n n n
− − −
⇒ = − − + − +

3 3
11
( 3 ).2 3;
n
S n n n n
−
⇒ = + ∀ > ∈¥
c/
0 1
12
1.2.3. 2.3.4. ( 1) .( 1)( 2)( 3).
n n
n n n
S C C n n n C= − + + − + + +

( ; 3)n n∀ ∈ >¥

 Ta thấy số hạng tổng quát trong tổng trên là:

( 1)( 2)( 3).( 1) ; ; 3
k k
n
k k k C k k n n+ + + − ∀ ∈ ≤ >¥
 Theo công thức (I
A
) và (I
B
) ta có:
9
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

( 1)( 2)( 3).( 1) ( 1)( 2).( 1) . 9 ( 1).( 1) .
18 .( 1) . 6.( 1) .
k k k k k k
n n n
k k k k
n n
k k k C k k k C k k C
k C C
+ + + − = − − − + − − +
+ − + −

3 2 1
3 2 1
( 1)( 2).( 1) . 9 ( 1).( 1) . 18 .( 1) . 6.( 1) .
( ;3 ; 3)
k k k k k k k k

n n n n
n n n C n n C n C C
k k n n
− − −
− − −
= − − − + − − + − + −
∀ ∈ ≤ ≤ >¥


3 3 2 2 1 1
3 2 1
( 1)( 2).( 1) . 9 ( 1).( 1) . 18 .( 1) . 6.( 1) .
( ;3 ; 3)
k k k k k k k k
n n n n
n n n C n n C n C C
k k n n
− − − − − −
− − −
= − − − − + − − − − + −
∀ ∈ ≤ ≤ >¥

 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 3 đến n ta được:
0 1 2 0 1 3 3
12 3 3 3
1 2 2 2 2 3 1 1
2 2 2 1 1 1
3 4
1.2.3. 2.3.4. 3.4.5. ( 1)( 2).( ( 1) . )
9 ( 1).( ( 1) . ) 18 ( ( 1) . )

6. ( 1) .
n n
n n n n n n
n n n n
n n n n n n
n n
n n n
S C C C n n n C C C
n n C C C n C C C
C C C
− −
− − −
− − − −
− − − − − −
 
= − + − − − − + + − +
 
   
+ − − + − + − − − + + − +
   

+ − + − + −




3 2 0
12 2
1 0 1 0 1 2
1 1

6 24 30 ( 1) ( 1)( 2).(1 1) 9 ( 1) (1 1)
18 (1 1) 6 (1 1)
n n
n
n n
n n n n n
S n n n n n n n n C
n C C C C C
− −
−
−
− −
 
⇒ = − + − − − − − + − − − −
 
   
− − − + + − − + −
   

12
6 24 30 ( 1) 9 ( 1) 18 18 .( 1) 6 6 3 ( 1)S n n n n n n n n n n n⇒ = − + − − − + − − − + − −

12
0 3;S n n⇒ = ∀ > ∈¥
*** Nhận xét:
• Như vậy ta có thể sử dụng các công thức (I
A
) và (I
B
) cho các tổng; trong đó có số hạng tổng

quát dạng :
[ ]
[ ]
2
3 2
1/ ( . . ). . ( 1) ( ). .
2 / ( . . . ). ( 1)( 2) ( 3) ( 1) ( 1). .
( ; ; ; ; ; ; ; 3)
k k
n n
k k
n n
k k C k k k C
k k k C k k k k k k C
k k n n n
α β γ α β α γ
α β γ θ α β β θ
α β γ θ
+ + = − + + + =
+ + + = − − + + − + + + =
∈ ∈ ≤ ∈ >¥ ¥¡
• Tương tự như bài tập 1; giáo viên có thể thay thế yêu cầu bài toán bởi các yêu khác, ví dụ
như:Chứng minh rằng, tìm các giá trị của n thoả mãn đẳng thức
• Và chúng ta đều nhận thấy rằng với cách giải các bài toán như trên giúp học sinh chủ động
hơn trong quá trình lĩnh hội kiến thức; đồng thời giúp học sinh nhìn ra vấn đề tổng quát
nhằm phát huy tính sáng tạo, chủ động của các em.
Bài 4*: ( Báo Toán học và tuổi trẻ số 380/ 2009)
Chứng minh rằng:
a/
2 *

0
(1 )
( ) . . .(1 ) ;
n
k k n k
n
k
k x x
x C x x x n
n n
−
=
−
− − = ∀ ∈ ∈
∑
¥¡
b/
[ ]
*
0
1
. . .(1 ) 0;1 ;
2
n
k k n k
n
k
k
x C x x x n
n

n
−
=
− − ≤ ∀ ∈ ∈
∑
¥

Giải
a/
2 *
0
(1 )
( ) . . .(1 ) ;
n
k k n k
n
k
k x x
x C x x x n
n n
−
=
−
− − = ∀ ∈ ∈
∑
¥¡

 Ta dễ dàng nhận ra:

2

2 2
2
( ) . . .(1 ) ( 2 ). . .(1 )
k k n k k k n k
n n
k k k
x C x x x x C x x
n n n
− −
− − = − + −


2
( ) . . .(1 )
k k n k
n
k
x C x x
n
−
⇒ − −
2 2
1 1
( 1) . .(1 ) . .(1 )
k k n k k k n k
n n
k k C x x kC x x
n n
− −
   

= − − + − −
   

10
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

2
2. . . .(1 ) . . .(1 ) (1)
k k n k k k n k
n n
x
kC x x x C x x
n
− −
 
− − + −
 

 Theo công thức nhị thức Niu - tơn và áp dụng các công thức (I);
(I
A
); (I
B
) ta có:
+/
0
. .(1 ) ( 1 ) 1 1
n
k k n k n n
n

k
C x x x x
−
=
− = + − = =
∑
(*)

1
1
0 1 1
1 1
1
1
1
/ . . .(1 ) 0 . . .(1 ) . . .(1 )
. . .(1 )
. .( 1 ) .
n n n
k k n k k k n k k k n k
n n n
k k k
n
k k n k
n
k
n
k C x x k C x x n C x x
x C x x
n x x x n x

− − − −
−
= = =
− − −
−
=
−
+ − = + − = −
= −
= + − =
∑ ∑ ∑
∑
(**)

1
1
0 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2
/ .( 1). . .(1 ) 0 .( 1). . .(1 ) .( 1). . .(1 )
( 1) . . .(1 ) .( 1) .( 1 ) .( 1) (***)
n n n
k k n k k k n k k k n k
n n n
k k k
n
k k n k n
n
k

k k C x x k k C x x n n C x x
n n x C x x n n x x x n n x
− − − −
−
= = =
− − − −
−
=
+ − − = + − − = − −
= − − = − + − = −
∑ ∑ ∑
∑

 Thay thế (*); (**); (***) vào biểu thức (1) ta đuợc;

2 2 2
2 2
0
1 1 (1 )
( ) . . .(1 ) . ( 1). . . 2. . .
n
k k n k
n
k
k x x x
x C x x n n x n x n x x
n n n n n
−
=
−

− − = − + − + =
∑
.đpcm
(
*
;x n∀ ∈ ∈¥¡
)
b/
[ ]
*
0
1
. . .(1 ) 0;1 ;
2
n
k k n k
n
k
k
x C x x x n
n
n
−
=
− − ≤ ∀ ∈ ∈
∑
¥
 Theo câu a/ và áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng:

2 2 2

2
1 1 2 2 1 1 2 2 1
( . . . ) ( . . . ).( )
n n n n n
a x a x a x a x a x a x x x
+ + + ≤ + + + + +
 Khi đó; với mọi x
∈
[0; 1] thì:

2
2
0 0 0
. . .(1 ) ( ) . . .(1 ) . . .(1 )
n n n
k k n k k k n k k k n k
n n n
k k k
k k
x C x x x C x x C x x
n n
− − −
= = =
 
   
− − ≤ − − −
 
   
   
 

∑ ∑ ∑

2
0
(1 )
. . .(1 ) .1
n
k k n k
n
k
k x x
x C x x
n n
−
=
 
−
⇒ − − ≤
 
 
∑
( theo kết quả của phần a/ và (*))

2
2
0
1
( 1 )
(1 ) 1
4

. . .(1 )
4
n
k k n k
n
k
x x
k x x
x C x x
n n n n
−
=
+ −
 
−
⇒ − − ≤ ≤ =
 
 
∑


[ ]
*
0
1
. . .(1 ) 0;1 ;
2
n
k k n k
n

k
k
x C x x x n
n
n
−
=
⇒ − − ≤ ∀ ∈ ∈
∑
¥

 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

0 1

1
n
x x x
n n n
x x

− = − = = −

⇔


= −


1

1
2
n
x
=


⇔

=


Bài 5**: ( Báo Toán học và tuổi trẻ số 393/ 2010)
Cho p là một số nguyên tố, và các số tự nhiên m; n; q thoả mãn:
2 ; ( ; ) 1n m p q≤ ≤ =
. Chứng minh
rằng:
m
n
qp
C
chia hết cho
1m n
p
− +
.
11
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
Giải
 Ta viết số tự nhiên n dưới dạng:

.n k p
α
=
với
*
( ; ) 1; ,k p k
α
= ∈¥
• Nếu
n
α
≥
thì
. .
n n
n k p k p p
α
= ≥ ≥
. Điều này vô lí. Vì vậy
1n
α
≤ −
• Khi đó theo công thức (I) :
1 1
1 1
. . .
k k k k
n n n n
n
k C n C C C

k
− −
− −
= ⇒ =
nên:

. . 1 . 1
. . . 1 . 1
.
. . .
.
m m m m
m
n k p k p m k p
q p q p q p q p
q p q
C C C p C
k p k
α α α
α
α
− − −
− −
= = =
 Do (k;p)=1 và
. 1
. 1
m
k p
q p

C
α
−
−
là số nguyên dương nên ta suy ra:

.
m
n m
q p
C p
α
−
M
 Mà
1n
α
≤ −
nên
1m m n
p p
α
− − +
M
.
 Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh.
Bài 6***: ( Đề thi IMO năm 1980)
Cho r là một số tự nhiên thoả mãn điều kiện:
*
1 ;r n n≤ ≤ ∈¥

. Xét tất cả các tập con gồm r phần tử
của tập hợp {1, 2, , n}. Mỗi tập con này đều có phần tử bé nhất. Gọi F(n,r) là trung bình cộng của
tất cả các phần tử bé nhất đó. Chứng minh rằng:
1
F( , )
1
n
n r
r
+
=
+

Giải
 Gọi G(n,r) là số trung bình cộng của các phần tử lớn nhất của
các tập con đã nói ở đề bài.
 Khi đó ta có:

1 1 1
1 2 1
1
F( , ) (1. 2. ( 1). ) (1)
r r r
n n r
r
n
n r C C n r C
C
− − −
− − −

= + + + − +

1 1 1
1 2 1
1
G( , ) ( . ( 1). . ) (2)
r r r
n n r
r
n
n r n C n C r C
C
− − −
− − −
= + − + +
Từ (1) và (2) ta suy ra:

1 1 1
1 2 1
1
F( , ) G( , ) ( 1).( ) (3)
r r r
n n r
r
n
n r n r n C C C
C
− − −
− − −
+ = + + + +

 Mặt khác, do
1 1
1
k k k
m m m
C C C
+ +
+
= +
nên:

1 1 1
1 2 1
(4)
r r r r
n n n r
C C C C
− − −
− − −
= + + +
 Từ (3) và (4) ta có:

1 1 1
1 2 1
1 1 1
1 2 1
( 1).( )
F( , ) G( , ) 1

r r r

n n r
r r r
n n r
n C C C
n r n r n
C C C
− − −
− − −
− − −
− − −
+ + + +
+ = = +
+ + +
(5)
 Theo công thức (I)
1 1
1 1
. . .
k k k k
n n n n
n
k C n C C C
k
− −
− −
= ⇒ =
nên áp dụng ta có

1 1
1 1

. ( 1). .
1
r r r r
n k n k n k n k
r
r C n k C C C
n k
− −
− + − − − +
= − + ⇒ =
− +

Khi đó:

1 1 1
1 2 1 1
G( , ) 1 1 1
( . . . ) ( )
r r r r r r
n n r n n r
r r
n n
n r n n r
C C C C C C
r C r r r C
− − −
− − − −
−
= + + + = + + +
Áp dụng (4) liên tiếp cho từng số hạng:

1
; ; ;
r r r
n n r
C C C
−
ta được:
12
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

1 1 1
1 2 1
G( , ) 1
(1. 2. ( 1). ) F( , )
r r r
n n r
r
n
n r
C C n r C n r
r C
− − −
− − −
= + + + − + =

 Thế (6) vào (5) ta được:

F( , )
F( , ) 1
n r

n r n
r
+ = +

⇒

1
F( , )
1
n
n r
r
+
=
+
*** Chú ý: Từ bài tập trên ta có thể rút ra số trung bình cộng G(n,r) và thiết lập một bài toán mới.
**** BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
I/ Đối với học sinh trung bình khá ta có thể ra các bài tập sau nhằm củng cố kiến thức và tạo
sự hứng thú cho học sinh trong quá trình học tập.
Bài 1: Chứng minh rằng

1 2 1
1. 2. ( 1) . . 0 ; 1
n n
n n n
C C n C n N n
−
− + + − = ∀ ∈ >
Bài 2: (Đề thi ĐH khối A năm 2005)
Tìm giá trị n thoả mãn hệ thức sau:

1 2 2 3 3 4 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2.2. 3.2 . 4.2 . (2 1).2 . 2005
n n
n n n n n
C C C C n C
+
+ + + + +
− + − + + + =
Bài 3: Tìm n thoả mãn

2 1 2 2 1 3 2 2 2 2 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1
2 . 2. .3.2 3. .3 .2 (2 1). .3 2009
n n n n n
n n n n
C C C n C
− − +
+ + + +
− + − + + =
Bài 4: Chứng minh rằng

0 2 2 2008 2008 2008 2009
2009 2009 2009
3 . 3 . 2 .(2 1)C C C+ + + = −
Bài 5: Tính tổng
a/
0 1 1 2 2 3 1
1

1.2 . 2.2 . 3.2 . .2 . ; 1
n n
n n n n
S C C C n C n n
−
= + + + + ∀ ∈ >¥
b/
2 4 2
2 2 1 2 1 2 1
2. 4. 2 .
n
n n n
S C C n C
+ + +
= + + +
c/
2 4 2
3 2 2 2
2. 4. 2 .
n
n n n
S C C n C= + + +
Bài 6: Chứng minh rằng

1 3 2 1 2 4 2
2 2 2 2 2 2
3. (2 1). 2. 4. 2 .
n n
n n n n n n
C C n C C C n C

−
+ + + − = + + +
Bài 7: Cho a > 0;
*
n ∈¥
. Hãy tính tổng
a/
1 2 2 2 1
1 1 1 1
1.2. 3.4. . (2 1)(2 2). .
n n
n n n
S C a C n n a C
+
+ + +
= + + + + +
b/
0 1 2 2
2
2 . 3 . ( 1) .
n n
n n n n
S C a C a C n a C= + + + + +
c/
0 2 2 4 4 2 2
3 2 2 2 2
3 . 5 . (2 1) .
n n
n n n n
S C a C a C n a C= + + + + +

d/
1 3 3 5 5 2 1 2 1
4 2 2 2 2
2 . 4 . 6 . 2 . .
n n
n n n n
S a C a C a C n a C
− −
= + + + +
II/ Một số bài tập nâng cao.
Bài 1: Cho r là một số tự nhiên thoả mãn điều kiện:
*
1 ;r n n≤ ≤ ∈¥
. Xét tất cả các tập con gồm r
phần tử của tập hợp {1, 2, , n}. Mỗi tập con này đều có phần tử lớn nhất. Gọi G(n,r) là trung bình
cộng của tất cả các phần tử lớn nhất đó. Chứng minh rằng:
( 1)
G( , )
1
r n
n r
r
+
=
+

Bài 2: ( Đề thi IMO năm 1987)
Cho S ={1;2; ;n};
1n ≥
. ta gọi p(k) là số các hoán vị của S có đúng k điểm cố định. Chứng minh

rằng:
0
. ( ) !
n
n
k
k p k n
=
=
∑

DẠNG 2: ÁP DỤNG CÔNG THỨC (II)
Bài 1: Tính tổng
13
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
a/
0 1 2 *
1
1 1 1
. . . ;
2 3 1
n
n n n n
S C C C C n
n
= + + + + ∈
+
¥
b/
2 3 4 1

1 2 3
2
2 2 2 2
. . . . ( ; 1)
2 3 4 1
n
n
n n n n
S C C C C n n
n
+
= + + + + ∈ >
+
¥
c/
1 3 5 2 1
3 2 2 2 2
1 1 1 1
. . . . ( ; 1)
2 4 6 2
n
n n n n
S C C C C n n
n
−
= + + + + ∈ >¥
(Đề thi khối A năm 2007)
d/
2 3 4 1
0 1 2 3 *

4
3 1 3 1 3 1 3 1
2. . . . . ( )
2 3 4 1
n
n
n n n n n
S C C C C C n
n
+
− − − −
= + + + + + ∈
+
¥
e/
2 3 4 1
0 0 1 2 3 *
5
2 2 2 2
2 . . . ( 1) . ( )
2 3 4 1
n
n n
n n n n n
S C C C C C n
n
+
= − + − + + − ∈
+
¥

f/
2 2 3 3 1 1
0 1 2 *
6
. . . ( ; ; )
1 2 3 1
n n
n
n n n n
b a b a b a b a
S C C C C n a b
n
+ +
− − − −
= + + + + ∈ ∈
+
¥ ¡
Giải
a/
0 1 2 *
1
1 1 1
. . . ;
2 3 1
n
n n n n
S C C C C n
n
= + + + + ∈
+

¥
 Bước thứ nhất, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng
quát trong tổng S
1
; cụ thể là:
*
1
. ( ;0 ; )
1
k
n
C k k n n
k
∀ ∈ ≤ ≤ ∈
+
¥ ¥
 Theo công thức (II) ta có:

1 *
1
1 1
. . ( ;0 ; )
1 1
k k
n n
C C k k n n
k n
+
+
= ∀ ∈ ≤ ≤ ∈

+ +
¥ ¥
 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 0 đến n ta được:

1 2 1 1 0
1 1 1 1 1
1 1
.( ) (1 1)
1 1
n n
n n n n
S C C C C
n n
+ +
+ + + +
 
= + + + = + −
 
+ +

1
*
1
2 1
( )
1
n
S n
n
+

−
⇒ = ∈
+
¥
b/
2 3 4 1
1 2 3
2
2 2 2 2
. . . . ( ; 1)
2 3 4 1
n
n
n n n n
S C C C C n n
n
+
= + + + + ∈ >
+
¥
 Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng
quát trong tổng S
2
, cụ thể là:

1
2
. ( ;1 ; ; 1)
1
k

k
n
C k k n n n
k
+
∀ ∈ ≤ ≤ ∈ >
+
¥ ¥
 Theo công thức (II) ta có:

1 1
1
1
2 2
. . ( ;1 ; ; 1)
1 1
k k
k k
n n
C C k k n n n
k n
+ +
+
+
= ∀ ∈ ≤ ≤ ∈ >
+ +
¥ ¥
 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 1 đến n ta được:

2 2 3 3 1 1 1 0 0 1 1

2 1 1 1 1 1
1 1
.(2 2 2 ) (1 2) 2 2
1 1
n n n
n n n n n
S C C C C C
n n
+ + +
+ + + + +
 
= + + + = + − −
 
+ +


1 1
2
3 1 2( 1) 3 (2 3)
( ; 1)
1 1
n n
n n
S n n
n n
+ +
− − + − +
⇒ = = ∈ >
+ +
¥

c/
1 3 5 2 1
3 2 2 2 2
1 1 1 1
. . . . ( ; 1)
2 4 6 2
n
n n n n
S C C C C n n
n
−
= + + + + ∈ >¥
14
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
(Đề thi khối A năm 2007)
 Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng
quát trong tổng S
3
, cụ thể là:

2 1
2
1
. ( ;1 ; ; 1)
2
k
n
C k k n n n
k
−

∀ ∈ ≤ ≤ ∈ >¥ ¥
 Theo công thức (II) ta có:

2 1 2
2 2 1
1 1
. . ( ;1 ; ; 1)
2 2 1
k k
n n
C C k k n n n
k n
−
+
= ∀ ∈ ≤ ≤ ∈ >
+
¥ ¥
 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 1 đến n ta được:

2 4 2
3 2 1 2 1 2 1
1
.( )
2 1
n
n n n
S C C C
n
+ + +
= + + +

+
 Mặt khác:
0 2 4 2 (2 1) 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1
2 2
n n n
n n n n
C C C C
+ −
+ + + +
+ + + + = =

(Bạn đọc tự chứng minh)

2 0
2
2 1
3
2
2 1
( ; 1)
2 1 2 1
n
n
n
C
S n n
n n
+
−

−
⇒ = = ∈ >
+ +
¥
d/
2 3 4 1
0 1 2 3 *
4
3 1 3 1 3 1 3 1
2. . . . . ( )
2 3 4 1
n
n
n n n n n
S C C C C C n
n
+
− − − −
= + + + + + ∈
+
¥
 Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng
quát trong tổng S
4
, cụ thể là:

1
*
3 1
. ( ; ; )

1
k
k
n
C k k n n
k
+
−
∀ ∈ ≤ ∈
+
¥ ¥
 Theo công thức (II) ta có:

1 1
1 *
1
3 1 3 1
. . ( ; ; )
1 1
k k
k k
n n
C C k k n n
k n
+ +
+
+
− −
= ∀ ∈ ≤ ∈
+ +

¥ ¥
 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 0 đến n ta được:

1 2 2 1 1 1 2 1
4 1 1 1 1 1 1
1
. (3 3 3 ) ( )
1
n n n
n n n n n n
S C C C C C C
n
+ + +
+ + + + + +
 
= + + + − + + +
 
+

1 0 0 1 0
4 1 1
1
. (3 1) 3 . (1 1)
1
n n
n n
S C C
n
+ +
+ +

 
⇒ = + − − + +
 
+


1 1
*
4
4 2
( )
1
n n
S n
n
+ +
−
⇒ = ∈
+
¥

e/
2 3 4 1
0 0 1 2 3 *
5
2 2 2 2
2 . . . ( 1) . ( )
2 3 4 1
n
n n

n n n n n
S C C C C C n
n
+
= − + − + + − ∈
+
¥
 Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng
quát trong tổng S
5
, cụ thể là:

1
*
( 1) .2
. ( ; ; )
1
k k
k
n
C k k n n
k
+
−
∀ ∈ ≤ ∈
+
¥ ¥
 Theo công thức (II) ta có:

1 1

1 *
1
( 1) .2 ( 1) .2
. . ( ; ; )
1 1
k k k k
k k
n n
C C k k n n
k n
+ +
+
+
− −
= ∀ ∈ ≤ ∈
+ +
¥ ¥

 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 0 đến n ta được:

1 1 2 2 1 1 1
5 1 1 1
1
. (2 2 ( 1) .2 )
1
n n n
n n n
S C C C
n
+ + +

+ + +
 
= − + + −
 
+
15
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

0 1
5 1
1
. (1 2)
1
n
n
S C
n
+
+
 
⇒ = − −
 
+

*
5
1 ( 1)
( )
1
n

S n
n
+ −
⇒ = ∈
+
¥

f/
2 2 3 3 1 1
0 1 2 *
6
. . . ( ; ; )
1 2 3 1
n n
n
n n n n
b a b a b a b a
S C C C C n a b
n
+ +
− − − −
= + + + + ∈ ∈
+
¥ ¡
 Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng
quát trong tổng S
6
, cụ thể là:

1 1

*
. ( ; ; )
1
k k
k
n
b a
C k k n n
k
+ +
−
∀ ∈ ≤ ∈
+
¥ ¥
 Theo công thức (II) ta có:

1 1 1 1
1 *
1
. . ( ; ; )
1 1
k k k k
k k
n n
b a b a
C C k k n n
k n
+ + + +
+
+

− −
= ∀ ∈ ≤ ∈
+ +
¥ ¥

 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 0 đến n ta được:

1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1
6 1 1 1 1 1 1
1
. ( ) ( )
1
n n n n
n n n n n n
S b C b C b C a C a C a C
n
+ + + +
+ + + + + +
 
= + + + − + + +
 
+

1 0 1 0
6 1 1
1
. (1 ) (1 )
1
n n
n n

S b C a C
n
+ +
+ +
 
⇒ = + − − + +
 
+

1 1
*
6
(1 ) (1 )
( )
1
n n
b a
S n
n
+ +
+ − +
⇒ = ∈
+
¥

Bài 2: Chứng minh rằng
a/
2 1
0 2 4 2 *
2 2 2 2

1 1 1 1 .2 1
. . . ;
2 4 6 2 2 (2 1)(2 2)
n
n
n n n n
n
C C C C n
n n n
+
+
+ + + + = ∈
+ + +
¥

b/
2
0 1 2 *
1 1 1 1 2 3
. . . . ( )
1.2 2.3 3.4 ( 1)( 2) ( 1)( 2)
n
n
n n n n
n
C C C C n
n n n n
+
− −
+ + + + = ∈

+ + + +
¥

c/
4 2
0 1 2 *
1 1 1 1 2 7 14
. . . . ( )
1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1)( 2)( 3) 2( 1)( 2)( 3)
n
n
n n n n
n n
C C C C n
n n n n n n
+
− − −
+ + + + = ∈
+ + + + + +
¥
d/
2 2 2 2 2 1
1 2 3
1 2 3 ( 2).2 1
. . . . ( ; 1)
2 3 4 1 1
n
n
n n n n
n n n

C C C C n n
n n
−
− + −
+ + + + = ∈ >
+ +
¥

Giải
a/
2 1
0 2 4 2 *
2 2 2 2
1 1 1 1 .2 1
. . . ;
2 4 6 2 2 (2 1)(2 2)
n
n
n n n n
n
C C C C n
n n n
+
+
+ + + + = ∈
+ + +
¥

 Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng
quát trong tổng ở vế trái, cụ thể là:

2 *
2
1
. ( ; ; )
2 2
k
n
C k k n n
k
∀ ∈ ≤ ∈
+
¥ ¥
 Dựa theo công thức (II) ta biến đổi như sau:

2 2 2 1
2 2 2 1
1 2 1 1 2 1 1
. . . . .
2 2 2 2 2 1 2 2 2 1
k k k
n n n
k k
C C C
k k k k n
+
+
+ +
= =
+ + + + +

2 1 2 2
2 1 2 2
2 1 1 2 1 1
. . . .
2 1 2 2 2 1 2 2
k k
n n
k k
C C
n k n n
+ +
+ +
+ +
= =
+ + + +

2 2 2 2
2 2 2 2
1
. (2 2).
(2 1)(2 2)
k k
n n
k C C
n n
+ +
+ +
 

= + −
 
+ +

2 1 2 2
2 1 2 2
1
. (2 2).
(2 1)(2 2)
k k
n n
n C C
n n
+ +
+ +
 
= + −
 
+ +

2 1 2 2 *
2 1 2 2
1 1
. . ( ; ; )
(2 1) (2 1)(2 2)
k k
n n
C C k k n n
n n n
+ +

+ +
= − ∈ ≤ ∈
+ + +
¥ ¥
16
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 0 đến n ta được:

1 2 2 1 2 3 2 2
2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
1 1
VT . ( ) ( )
2 1 (2 1)(2 2)
n n
n n n n n n
C C C C C C
n n n
+ +
+ + + + + +
   
= + + + − + + +
   
+ + +

2 1 0 2 2 0 1
2 1 2 2 2 2
1 1
VT . (1 1) (1 1)
2 1 (2 1)(2 2)
n n

n n n
C C C
n n n
+ +
+ + +
   
⇒ = + − − + − −
   
+ + +


2 1 2 2
1 1
VT . 2 1 2 1 (2 2)
2 1 (2 1)(2 2)
n n
n
n n n
+ +
   
⇒ = − − − − +
   
+ + +


2 2 1 2 1
*
2 2 1 .2 1
VT ( )
2 1 (2 1)(2 2) (2 1)(2 2)

n n n
n
n
n n n n n
+ +
− +
⇒ = − = ∈
+ + + + +
¥
b/
2
0 1 2 *
1 1 1 1 2 3
. . . . ( )
1.2 2.3 3.4 ( 1)( 2) ( 1)( 2)
n
n
n n n n
n
C C C C n
n n n n
+
− −
+ + + + = ∈
+ + + +
¥

 Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng
quát trong tổng ở vế trái, cụ thể là:

*
1
. ( ; ; )
( 1)( 2)
k
n
C k k n n
k k
∀ ∈ ≤ ∈
+ +
¥ ¥
 Dựa theo công thức (II) ta biến đổi như sau:

1
1
1 1 1 1 1
. . .
( 1)( 2) 2 1 2 1
k k k
n n n
C C C
k k k k k n
+
+
= =
+ + + + + +

1 2 *
1 2
1 1 1 1

. . . . ( ; ; )
1 2 1 2
k k
n n
C C k k n n
n k n n
+ +
+ +
= = ∀ ∈ ≤ ∈
+ + + +
¥ ¥

 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 0 đến n ta được:

2 3 2
2 2 2
1
VT . ( )
( 1)( 2)
n
n n n
C C C
n n
+
+ + +
 
= + + +
 
+ +

2
2 0 1
2 2
1 2 3
VT . (2 )
( 1)( 2) ( 1)( 2)
n
n
n n
n
C C
n n n n
+
+
+ +
− −
 
⇒ = − − =
 
+ + + +
.đpcm
c/
4 2
0 1 2 *
1 1 1 1 2 7 14
. . . . ( )
1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1)( 2)( 3) 2( 1)( 2)( 3)
n
n

n n n n
n n
C C C C n
n n n n n n
+
− − −
+ + + + = ∈
+ + + + + +
¥
 Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng
quát trong tổng ở vế trái, cụ thể là:

*
1
. ( ; ; )
( 1)( 2)( 3)
k
n
C k k n n
k k k
∀ ∈ ≤ ∈
+ + +
¥ ¥
 Dựa theo công thức (II) ta biến đổi như sau:
1
1
1 1 1 1 1
. . .
( 1)( 2)( 3) ( 2)( 3) 1 ( 2)( 3) 1
k k k

n n n
C C C
k k k k k k k k n
+
+
= =
+ + + + + + + + +

1 2
1 2
1 1 1 1 1 1
. . . . .
1 3 2 1 2 3.
k k
n n
C C
n k k n n k
+ +
+ +
= =
+ + + + + +

1 3 *
1 3
1 1 1 1 1 1
. . . . . ( ; ; )
1 3 2 1 2 3.
k k
n n
C C k k n n

n k k n n n
+ +
+ +
= = ∀ ∈ ≤ ∈
+ + + + + +
¥ ¥

 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 0 đến n ta được:

3 4 3
3 3 3
1
VT . ( )
( 1)( 2)( 3)
n
n n n
C C C
n n n
+
+ + +
 
= + + +
 
+ + +
17
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

4 2
3 0 1 2
3 3 3

1 2 7 14
VT . (2 )
( 1)( 2)( 3) 2( 1)( 2)( 3)
n
n
n n n
n n
C C C
n n n n n n
+
+
+ + +
− − −
 
⇒ = − − − =
 
+ + + + + +
(đpcm)
d/
2 2 2 2 2 1
1 2 3
1 2 3 ( 2).2 1
. . . . ( ; 1)
2 3 4 1 1
n
n
n n n n
n n n
C C C C n n
n n

−
− + −
+ + + + = ∈ >
+ +
¥

 Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng
quát trong tổng ở vế trái, cụ thể là:

2
. ( ;1 ; ; 1)
1
k
n
k
C k k n n n
k
∀ ∈ ≤ ≤ ∈ >
+
¥ ¥
 Dựa theo công thức (II) ta biến đổi như sau:

2
( 1)( 1) 1
. . ( ;1 ; ; 1)
1 1
k k
n n
k k k
C C k k n n n

k k
+ − +
= ∀ ∈ ≤ ≤ ∈ >
+ +
¥ ¥

1 1 1
1 1 1
( 1)( 1) 1 1
. ( 1)( 1)
1 1
k k k
n n n
k k
C k k C C
n n
+ + +
+ + +
+ − +
 
= = − + +
 
+ +


1 1
1 1
1 1
( 1)( 1) ( 1) .
1 1

k k k k
n n n n
k n C C k C C
n n
+ +
+ +
 
= − + + = − +
 
+ +


1 1
1 1
1
.
1
k k k
n n n
nC C C
n
− +
− +
= − +
+

 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 1 đến n ta được:

0 1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 1

1
VT ( ) ( ) ( )
1
n n n
n n n n n n n n
n C C C C C C C C
n
− +
− − − + +
= + + + − + + + + + +
+

2 1
1 1
1 ( 2).2 1
VT .2 2 .(2 1)
1 1
n
n n n
n n
n
n n
−
− +
− + −
⇒ = − + − =
+ +
(đpcm)
**** BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Chứng minh rằng

a/
1
1 2 *
1 1 ( 1)
. . .
2 3 1 1
n
n
n n n
n
C C C n N
n n
+
−
− + + = ∀ ∈
+ +
b/
1
0 1 2 *
1 1 1 1 2 1
. . .
3 6 9 3( 1) 3( 1)
n
n
n n n n
C C C C n
n n
+
−
+ + − + = ∀ ∈

+ +
¥
c/
0 1 2 *
1 1 1 ( 1) 1
. . .
2 4 6 2( 1) 2( 1)
n
n
n n n n
C C C C n
n n
−
− + − + = ∀ ∈
+ +
¥
Bài 2: Tính tổng
a/
0 2 4 2 *
1 2 2 2 2
1 1 1
. . .
3 5 2 1
n
n n n n
S C C C C n
n
= + + + + ∀ ∈
+
¥

b/
2 4 6 4020
1 3 5 2009
2 2010 2010 2010 2010
2 2 2 2
. . .
2 4 6 4020
S C C C C= + + + +
c/
0 2 4 2 *
3 2 2 2 2
1 1 1 1
. . . . ( )
2 4 6 2 2
n
n n n n
S C C C C n
n
= + + + + ∈
+
¥
Bài 3*: Tính tổng
3 3 3 3
1 2 3 *
1 2 3
. . . . ( )
2 3 4 1
n
n n n n
n

S C C C C n
n
= + + + + ∈
+
¥
Bài 4: (Đề thi ĐH khối B năm 2003)
Tính:
2 3 1
0 1 2 *
2 1 2 1 2 1

2 3 1
n
n
n n n n
C C C C n
n
+
− − −
+ + + + ∈
+
¥
Bài 5: (Đề thi ĐH khối B năm 2008)
18
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
Chứng minh rằng

*
1
1 1

1 1 1 1
.( ) ; ; )
2
k k k
n n n
n
k k n n
n C C C
+
+ +
+
+ = ∀ ∈ ≤ ∈
+
¥ ¥
Bài 6: Tính
0 1 2 2
1 1 1
. .2 . .2 . .2
2 3 1
n n
n n n n
S C C C C
n
= + + + +
+
Biết rằng:
0 5 1 4 2 3 5 0 5
1 2 5
. . . . 252.2 ; 5
n n n n n n n n

C C C C C C C C n n
− − −
+ + + + = ∈ >¥
Bài 7*: Chứng minh rằng
1 2 2 2 2 *
2
( ) 2.( ) .( ) .
2
n n
n n n n
n
C C n C C n+ + + = ∀ ∈¥
IV/ Bài tập theo dạng
DẠNG 1: PT; BPT; HỆ PT TỔ HỢP
Bài 1: Giải phương trình

3 1
2 1
14 14 14
2
1 2 2
1 2 3 2
5 6 7
/ 5
/ 2
/ 3 4
/ 6 6 9 14
5 2 14
/
n n

n n n
n
n
x x x
x x x
a C C
b C C C
c C nP A
d C C C x x
e
C C C
+ +
+
=
+ =
+ =
+ + = −
− =

2 2
n
4 3 2
1 1 2
2 2
4 5 6
1
3 2 2
2 2 3 1 2
1 2
m/ 2P 6 . 12

5
/ 0
4
/ . 72 6( 2 )
/ 3
/ 3 2 3
/ 4 ( )
n n n
n n n
x x x x
n n n
n n n
n n n
A P A
f C C A
g P A A P
h C C C
i C C A
k C A n A
− − −
+
+
+ − =
− − =
+ = +
+ =
+ =
− − =
Bài 2: Giải bất phương trình

2
1
2
4
4
3
/
10
143
/
( 2)! 4
n
n
n
n
C
a n
C
A
b
n P
+
+
≥
<
+

1 2
2 2
4

3 4
1
5
/
2
23
/
24
n n
n n n
n
n
n n
e C C A
A
f
A C
−
+ +
−
+
+ >
≤
−

3
5
3
/ 240
( )!

k
n
n
P
c A
n k
+
+
+
≤
−

4 3 2
1 1 2
5
/ 0
2
x x x
g C C A
− − −
− − ≤

3 1
1 1
/ 14( 1)
n
n n
d A C n
−
+ +

+ < +

2 2 3
2
1 6
/ 10
2
x x x
h A A C
x
− ≤ +
Bài 3: Giải hệ phương trình

1 1
1 1 1
1 1
1
2 5 90
/
5 2 80
/ : : 5:5:3
/ : : 6:5: 2
y y
x x
y y
x x
m m m
n n n
y y y
x x x

A C
a
A C
b C C C
c C C C
+ −
+ + +
+ −
+

+ =

− =

=
=
Bài 4: Chứng minh rằng

1 2
2 2
/ 2 2 3
5
/ 8
( 2)!
n n
n n n
n
n
n n
a A A P

P
b C A
n
− −
−
+ =
+ =
−
DẠNG 2: XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC
Bài 1:
a/ Tìm hệ số của số hạng chứa x
4
trong
10
3
( )x
x
−
19
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
b/ Tìm hệ số của số hạng chứa x
31
trong
40
2
2
( )x
x
−
c/ Tìm hệ số của số hạng chứa x

43
trong
5 21
3
2
1
(2 )x
x
+
d/ Tìm hệ số của số hạng chứa x
6
.y
2
trong
10
(3 4 )
x
xy
y
−
e/ Tìm số hạng không chứa x trong
7
3
4
5
(2 )x
x
−
f/ Tìm số hạng chứa x
5

trong
3 12
3
2
3
( )x
x
+
Bài 2:
a/ Biết trong (
1
)
3
n
x −
có hệ số của số hạng thứ 3 bằng 5. Tìm số hạng chính giữa.
b/ Cho
3
3
2
3
( )
n
x
x
+
, biết tổng hệ số của 3 số hạng đầu bằng 631. Tìm hệ số của số hạng chứa x
5
.
c/ Cho

3
15
28
1
( )
n
x x
x
+
, biết tổng hệ số của 3 số hạng đầu bằng 79. Tìm số hạng không chứa x.
d/ Biết tổng các hệ số trong khai triển (1+x
2
)
n
bằng 1024. Tìm hệ số của số hạng chứa x
12
.
e/ Cho
5
3
4
( )
n
x
x
+
, biết
1
4 3
7( 3)

n n
n n
C C n
+
+ +
− = +
. Tìm hệ số của số hạng chứa x
8
.
d/ Biết tổng các hệ số trong khai triển (1+2x)
n
bằng 6561. Tìm hệ số của số hạng chứa x
4
.
Bài 3:
a/ Tìm hệ số của số hạng chứa x
10
trong (1+x+x
2
+x
3
)
5
b/ Tìm hệ số của số hạng chứa x
8
trong
8
2
1 (1 )x x
 

+ −
 
c/ Tìm hệ số của số hạng chứa x
4
trong (1+2x+3x
2
)
10
.
d/ Tìm hệ số của số hạng chứa x trong
4
3
(1 2 3 )x x+ −
e/ Tìm hệ số của số hạng chứa x
5
trong (x+1)
10
.(x+2)
f/ Tìm hệ số của số hạng chứa x
9
trong P(x) = (1+x)
9
+(1+x)
10
+ +(1+x)
14
g/ Tìm hệ số của số hạng chứa x
15
trong P(x) = (1+x)+2(1+x)
2

+ +20(1+x)
20
h/ Tìm hệ số của số hạng chứa x
5
.y
3
.z
6
.t
6
trong (x+y+z+t)
20
Bài 4 :
a/ Cho (x
2
+1)
n
.(x+2)
n
có a
3n-3
= 26n. Tìm n?
b/ Cho
1
32
(2 2 )
x
x
n
−

−
+
có số hạng thứ tư bằng 20n và
3 1
5
n n
C C=
. Tìm n và x?
c/ Cho
2
lg
3
2lg
1
( 3 )
3
x n
x
+
có tổng các hệ số bằng 512 và số hạng thứ 7 bằng 28.3
n
. Tìm n và x?
d/ Cho
21
3
3
( )
a b
b a
+

có số hạng chứa a;b có số mũ của a và b bằng nhau. Tìm số hạng đó.
Bài 5: Tìm số hạng có hệ số lớn nhất trong khai triển
a/ (1+2x)
30
b/ (
40
1 2
)
3 3
x+
DẠNG 3: CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC HOẶC TÍNH GIÁ TRỊ MỘT BIỂU THỨC.
Bài 1: Chứng minh rằng Bài 2: CMR
20
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
1
2 2
1
2 3
1
1 2 1
1 2 1
2 2 2 2
2 3 4
1 1 1
2
1 2
1
/
/ . .
/

( 1)
/ 2 3
2
/ 2 1
1 1 1 1 1
/ 1
/ 2
/ 3 3
m m
n m n m
m k k m k
n m n n k
n n
n
n n n
n
n
n n n
n n
n
k k k k
n n n n
k k k
n n n
m
a C C
n
b C C C C
c C C n
C C C n n

d C n
C C C
e P P nP P
f
A A A A n
g C C C C
h C C C
+
+ +
−
−
+
−
+
+ − +
+
− −
+
=
=
= +
+
+ + + + =
+ + + = −
+ + + + = −
+ + =
+ +
3
3
1 2 3 2 3

2 3
1 2 3 4
4
1 1 1 1 1
1 2 3 1
/ 2 5 4
/ 4 6 4
/
k k
n n
k k k k k k
n n n n n n
k k k k k k
n n n n n n
m m m m m m
n n n n m m
C C
i C C C C C C
m C C C C C C
n C C C C C C
−
+
+ + + + +
+ +
− − − −
+
− − − − −
− − − −
+ =
+ + + = +

+ + + + =
= + + + + +

2 1 2
1
1 1
1
2 2 2 5
1 3 5 5
100
50
100
/ . ( 2)
/ . ( 1)
/ ( 1)2 . ( 1)
/ . . . . !.
CMR
2
10
n n n
n k n k n k
k k k
n n n
k k k
n n n
k n n n n
a A A k A k
b A A k A n k
c nC k C A kC n k
d P A A A n k A

C
+ +
+ + +
−
− −
+
+ + + +
+ = ≥
= + ≥ +
= + + ≥ +
=
<
Bài 3 :
Bài 4: CMR
0 1
/ 2
n n
n n n
a C C C+ + + =

0 1 1 0 0 1 1
/ 3 3 .2 3 .2 4 4
n n n n n n n
n n n n n n
e C C C C C C
− −
+ + + = + + +
0 0 1 1
/ 9 9 9 10
n n n

n n n
b C C C+ + + =

0 2 2 1 3 2 1
2 2 2 2 2 2
/
n n
n n n n n n
f C C C C C C
−
+ + + = + + +
0 1
1 1
/ 5 ( ) 6
5 5
n n n
n n n
n
c C C C+ + + =

0 2 2 4 4 2008 2008 2008 2009
2009 2009 2009 2009
/ 3 3 3 2 (2 1)g C C C C+ + + + = −
0 1 1
/ 2 2 .7 7 9
n n n n n
n n n
d C C C
−
+ + + =

Bài 5: CMR
1 2 1
/ 2 .2
n n
n n n
a C C nC n
−
+ + + =

0 1 2 1
/ ( 1) ( 2) ( 1) 0
n n
n n n n
b nC n C n C C
−
− − + − − + − =
2 4 2 1 3 2 1
2 2 2 2 2 2
/ 2 4 2 3 (2 1)
n n
n n n n n n
c C C nC C C n C
−
+ + + = + + + −
1 0 2 1 3 2 2 1 1 1
/ .2 . ( 1).2 .3. ( 2).2 .3 . 3 .5
n n n n n n
n n n n
d n C n C n C C n
− − − − − −

+ − + − + + =
2 3 2
/ 2.1. 3.2. .( 1). .( 1).2
n n
n n n
e C C n n C n n
−
+ + + − = −
0 1 2 1 1
/ 2. 3. . ( 2).2
n n
n n n n
f C C C n C n
− −
+ + + + = +
2 1 2 2 2 2
/ 1 . 2 . . .( 1).2
n n
n n n
g C C n C n n
−
+ + + = +
Bài 6: CMR
1
0 1
1 1 2 1
/ .
2 1 1
n
n

n n n
a C C C
n n
+
−
+ + + =
+ +

1
0 1
1 1 1 2 1
/ .
2 4 2 2 2( 1)
n
n
n n n
f C C C
n n
+
−
+ + + =
+ +
0 1 2
1 1 ( 1) 1
/ .
2 3 1 1
n
n
n n n n
b C C C C

n n
−
− + − + =
+ +

2008
0 1 2008
2009 2009 2009
1 1 2
/
2 2009 2009
g C C C+ + + =
2 3 1 1
0 1 2
2 2 2 3 1
/ 2. .
2 3 1 1
n n
n
n n n n
c C C C C
n n
+ +
−
+ + + + =
+ +

1
0 1
1 1 1 2 1

/ .
3 6 3 3 3( 1)
n
n
n n n
h C C C
n n
+
−
+ + + =
+ +
1 2 1 1 1
0 1
2 1 2 1 2 1 3 2
/ . .
1 2 1 1
n n n
n
n n n
d C C C
n n
+ + +
− − − −
+ + + =
+ +

0 1
1 1 ( 1) 1
/ .
2 4 2 2 2( 1)

n
n
n n n
i C C C
n n
−
− + + =
+ +
21
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
2 1
0 2 4 2
2 2 2 2
2 2 2 2
/ 2
3 5 2 1 2 1
n
n
n n n n
e C C C C
n n
+
+ + + + =
+ +

0 1 2
1 1 ( 1) 2 4 2
/ .
3 5 2 1 3 5 2 1
n

n
n n n n
n
k C C C C
n n
−
− + − + =
+ +

Bài 7: CMR
0 1 1 5 5
5 5 5 5
/ . . .
k k k k
n n n n
a C C C C C C C
− −
+
+ + + =

0 2 1 2 2 2
2 2 2 2
/ ( ) ( ) ( ) ( 1) .
n n n
n n n n
d C C C C− + + = −
0 1 1 6 6
6 6 6 6
/ . . .
k k k k

n n n n
b C C C C C C C
− −
+
+ + + =

0 1 1
(2 )!
/ . . .
( )!.( )!
k k n k n
n n n n n n
n
e C C C C C C
n k n k
+ −
+ + + =
− +
0 2 1 2 2
2
/ ( ) ( ) ( )
n n
n n n n
c C C C C+ + + =

0 1 1 0
/ . . .
p p p p
n m n m n m m n
f C C C C C C C

−
+
+ + + =
DẠNG 4: BÀI TOÁN ĐẾM SỐ PHƯƠNG ÁN
A/ LIÊN QUAN ĐẾN TẬP HỢP SỐ KHÔNG CÓ SỐ 0
Bài 1: Cho A = {1;2;3;4;5;6;7}
a/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.
b/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau; trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.
c/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau.
d/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau; trong đó có 3 chữ số chẵn và hai chữ số lẻ.
e/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau; trong đó luôn có mặt chữ số 1;6.
f/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau; trong đó luôn có mặt chữ số 1;6 đứng liền nhau.
g/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số; chữ số 1 xuất hiện 3 lần; các chữ số còn lại xuất hiện
không quá 1 lần.
h/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và tính tổng của các số tự nhiên đó.
i/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và tính tổng của các số tự nhiên đó.
Bài 2: Cho A = {1;3;4;5;7}
Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và tính tổng của các số tự nhiên đó.
Bài 3: Cho A = {1;2;3;4;5;6;7;8;9}
a/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số sao cho chữ số đứng liền sau lớn hơn chữ số đứng liền
trước.
b/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau sao cho có 3 chữ số chẵn đứng liền nhau và 3
chữ số lẻ đứng liền nhau.
c/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau và không lớn hơn 789.
B/ LIÊN QUAN ĐẾN TẬP HỢP SỐ CÓ CHỮ SỐ 0
Bài 1: Cho A = {0;1;2; ;9}
a/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số .
b/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau.
c/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ.
d/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có 3 chữ số chẵn đứng liền nhau và 3

chữ số lẻ đứng liền nhau.
e/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có chữ số 5.
f/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có chữ số 5 và 0.
g/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có chữ số 5 và 0 đứng liền nhau.
h/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số sao cho tổng các chữ số lẻ.
i/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 6 chữ số khác nhau; trong đó luôn có mặt chữ số 4.
k/ Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 và có 6 chữ số khác nhau.
m/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và lớn hơn 50.000
n/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó luôn có mặt 1;6 và hai chữ số này
không đứng cạnh nhau.
p/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có chữ số đứng liền sau lớn hơn chữ số
đứng liền trước hoặc chữ số đứng liền sau nhỏ hơn chữ số đứng liền trước.
22
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
Bài 2: Cho A = {0;1;2;3;5}
a/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số; chữ số 0 có mặt hai lần; chữ số 2 có mặt 3 lần; các chữ số
còn lại có mặt 1 lần.
b/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số; chữ số 0 có mặt một lần; chữ số 2 và 3 có mặt 3 lần; các
chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần.
c/ Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3 và có 3 chữ số khác nhau.
Bài 3:
a/ Có bao nhiêu số tự nhiên lớn hơn 10 và nhỏ hơn 1000 mà mỗi chữ số kể từ chữ số thứ hai trở đi
đều lớn hơn chữ số đứng liền trước nó.
b/ Có bao nhiêu số tự nhiên lớn hơn 100 và nhỏ hơn 200 mà mỗi chữ số kể từ chữ số thứ hai trở đi
đều không nhỏ hơn chữ số đứng liền trước nó.
C/ LIÊN QUAN ĐẾN VIỆC SẮP XẾP NGƯỜI.
Bài 1: Có 8 học sinh ( 4 nam; 4 nữ). Có bao nhiêu cách sắp xếp:
a/ Xếp tùy ý vào một dãy bàn ghế có 8 vị trí.
b/ Xếp vào hai dãy bàn đối diện nhau; mỗi hàng ghế 4 học sính sao cho cứ đối diện 1 nam là 1 nữ.
Bài 2: Có 10 nam và 15 nữ. Chọn ra 6 người đi lao động. Hỏi có bao nhiêu cách nếu

a/ Chọn bất kỳ
b/ Chọn sao cho có đúng 2 nam.
c/ Chọn sao cho có nhiều nhất 2 nam.
d/ Chọn sao cho có 1 nhóm trưởng là nam.
e/ Chọn sao cho có ít nhất 3 nam và có cả nữ.
Bài 3: Có 6 nam và 9 nữ trong đó có bạn Hoa. Chọn ra 7 bạn đi lao động.
a/ Có bao nhiêu cách chọn nếu trong đó không có mặt bạn Hoa.
b/ Có bao nhiêu cách chọn nếu trong đó luôn có mặt bạn Hoa.
Bài 4: Có 8 thầy dạy toán; 5 thầy dạy lý; 3 thầy dạy hóa. Cần chon ra 4 thầy đi dự hội nghị.
Hỏi có bao nhiêu cách nếu:
a/ Có đủ 3 môn
b/ Có đúng 2 môn.
Bài 5: Có 3 nhà toán học nam; 2 nhà toán học nữ; 3 nhà vật lý nam.
Chọn một đoàn công tác gồm 3 người sao cho có cả nam và nữ, có cả toán và lý. Hỏi có bao nhiêu
cách?
Bài 6: Có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp.
Có bao nhiêu cách chọn ra 3 người đi dự đại hội sao cho có ít nhất một cán bộ lớp.
Bài 7: Có ba nước tham gia hội nghị bàn tròn; mỗi nước cử 3 đại biểu.
Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho các đại biểu cùng một quốc gia thì ngồi gần nhau.
Bài 8: Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp theo hàng dọc đi vào lớp.
a/ Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho có đúng hai học sinh nam xếp xen kẽ 3 học sinh nữ.
b/ Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho 6 học sinh nam đứng liền nhau.
Bài 9: Một lớp có 40 học sinh; chia thành 4 nhóm; mỗi nhóm có 10 học sinh.
a/ Có bao nhiêu cách?
b/ Có bao nhiêu cách nếu 4 nhóm tham gia lao động tình nguyện ở 4 tỉnh miền núi.
D/ LIÊN QUAN ĐẾN VIỆC SẮP XẾP ĐỒ VẬT.
23
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
II/ Bài tập tổng hợp
Bài 1: A-2002

Cho
1 1 1
0 0 1 *
3 3 32 2 2
(2 2 ) .(2 ) .(2 ) .(2 ) .(2 ) ( )
x x x
x x x
n n n n n
n n n
C C C n
− − −
− − −
−
+ = + + + ∈¥
Biết C
n
3
= 5C
n
1
; số hạng thứ 4 bằng 20n. Tìm n và x?
Bài 2: D-2002
Tìm n biết:
0 1 2
2 4 2 243
n n
n n n n
C C C C+ + + + =
Bài 3: A-2003
Tìm hệ số của số hạng chứa x

8
trong khai triển
5
3
1
( )
n
x
x
+
biết
1
4 3
7( 3)
n n
n n
C C n
+
+ +
− = +
Bài 4: B-2003
Tính S =
2 3 1
0 1 2
2 1 2 1 2 1

2 3 1
n
n
n n n n

C C C C
n
+
− − −
+ + + +
+
Bài 5: D-2003
Với
*
n ∈¥
; gọi a
3n-3
là hệ số của x
3n-3
trong khai triển (x
2
+1)
n
.(x+2)
n
. Tìm n để a
3n-3
= 26n
Bài 6 : A-2004
Tìm số hạng chứa x
8
trong khai triển
8
2
1 (1 )x x

 
+ −
 
Bài 7: D-2004
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
7
3
4
1
( ) ; 0x x
x
+ >

Bài 8: A-2005
Tìm n biết:
1 2 2 3 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2.2 3.2 (2 1)2 2005
n n
n n n n
C C C n C
+
+ + + +
− + − + + =
Bài 9: D-2005
Tính
4 3
1
3
( 1)!

n n
A A
M
n
+
+
=
+
biết:
2 2 2 2
1 2 3 4
2 2 149
n n n n
C C C C
+ + + +
+ + + =
Bài 10: A-2006
Tìm hệ số của số hạng chứa x
26
trong
7
4
1
( )
n
x
x
+
biết
1 2 3 20

2 1 2 1 2 1 2 1
2 1
n
n n n n
C C C C
+ + + +
+ + + + = −
Bài 11: A-2007
CMR:
2
1 3 5 2 1
2 2 2 2
1 1 1 1 2 1

2 4 6 2 2 1
n
n
n n n n
C C C C
n n
−
−
+ + + + =
+
Bài 12: B-2007
Tìm hệ số của số hạng chứa x
10
trong (2+x)
n
biết

0 1 1 2 2
3 3 3 ( ) 2048
n n n n n
n n n n
C C C n C
− −
− + − + − =
Bài 13: D-2007
Tìm hệ số của số hạng chứa x
5
trong : x(1-2x)
5
+ x
2
(1+3x)
10
Bài 14: Tìm hệ số của số hạng chứa x
3
trong
2 1
2
1
( 2 )
n
x
x
+
−
biết
0 2 4 2

2 1 2 1 2 1 2 1
256
n
n n n n
C C C C
+ + + +
+ + + + =
Bài 15:Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
10
3
2
( ) ; 0
3
x
x
x
− >
24
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
Bài 16: D-2008
Cho
1 3 5 2 1
2 2 2 2
2048
n
n n n n
C C C C
−
+ + + + =
. Tìm n?

Bài 17: A-2008 Cho khai triển: (1+2x)
n
= a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ + a
n
x
n
.
Các hệ số a
0
; a
1
; ;a
n
thỏa mãn
1 2
0
4096
2 4 2
n
n
a a a
a + + + + =

.
Tìm số lớn nhất trong các số: a
0
; a
1
; ;a
n

Bài 18: Tìm n thỏa mãn:

1 2 2 1 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2. .3.2 3. .3 .2 2 . .3 .2 (2 1) .3 2009
n n n n n n
n n n n n
C C C n C n C
− − − +
+ + + + +
− + − − + + =

Bài 19: B-2008
CMR
1
1 1
1 1 1 1
.( )
2
k k k
n n n
n

n C C C
+
+ +
+
+ =
+
Bài 20: Tìm hệ số của số hạng chứa x
4
trong (x
3
-9x
2
+23x-15)
16
Bài 21: Tính S=
0 1 2 2 3 3
1 1 1 1
.2 .2 .2 .2
2 3 4 1
n n
n n n n n
C C C C C
n
+ + + + +
+
Bài 22: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
4
3 17
3
2

( ) ; 0x x
x
− >
Bài 23: CMR
0 1 2 1
2 3 ( 1) ( 2).2
n n
n n n n
C C C n C n
−
+ + + + + = +
Bài 24: CMR
0 1 2 1
2 2
. . ( ) 2;
1
n
n n
n n n n
C C C C n n
n
−
−
≤ ∀ ≥ ∈
−
¥
Bài 25: Tính S=
0 2 4 6 2008
2009 2009 2009 2009 2009
C C C C C− + − + +

Bài 26: CMR khi n chẵn:

n
2 2 4 4
2
n
osnx
1 .t an x+ .t an x + (-1) . .tan
cos
n n
n n n
c
C C C x
x
= −
Bài 27:CMR:
0 1 2
2 4 2 2
0
k n
n n n n n
n n n n k n n
C C C C C
− − − −
+ + + + + + =
Bài 28: Tìm hệ số của x
3
trong khai triển (1-x-3x
2
)

4
Bài 29: Giải phương trình
1 2 2 3
2
2
x x x x
x x x x
C C C C
− − −
+
+ + =
Bài 30:CMR
1 3 5 2 1 2 4 6 2
2 2 2 2 2 2 2 2
3 5 (2 1) 2 4 6 2
n n
n n n n n n n n
C C C n C C C C nC
−
+ + + + − = + + + +
Bài 31: Tìm x biết
1 3 2
2
n n n
C C C+ =
và số hạng thứ 6 trong khai triển
5
log(10 3 ) ( 2)log3
( 2 2 )
x

x n− −
+
bằng 21
Bài 32: Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển
100
4
( 2 3)−
Bài 33: Tính S =
7 8 13
13 13 13
C C C+ + +
Bài 34: Cho A có n phần tử (
; 4n n∈ ≥¥
). Biết số tập con của A gồm 4 phần tử gấp 20 lần số tập
con của A gồm 2 phần tử. Tìm k để số tập con của A gồm k phần tử lớn nhất.
Bài 35: Tính
1 3 5 7 2011
2011 2011 2011 2011 2011
C C C C C− + − + −
Bài 36: Tính S =
1 1 1

2!.2005! 4!.2003! 2006!.1!
+ + +
Bài 37: Rút gọn S=
2 1 2 2 2
1 2
n
n n n
C C n C+ + +

Bài 38: Cho hệ số của x
3
trong khai triển
3
2
( )
n
x
x x
x
+
bằng 36. Tìm số hạng thứ 7.
Bài 39: Tính
0 2 1 2 2 2 2009 2
2009 2009 2009 2009
( ) ( ) ( ) ( )C C C C+ + + +
Bài 40: Tìm n để
1 2 10
1023
n n n
n n n
C C C
− − −
+ + + =
25