Giáo trình kỹ thuật điện tử, bài 1 Hệ thống số đếm,Bài 2 các loại mã,Bài 3 các phép tính số học,bài 4 Cơ sở đại số logic, bài 5 phương pháp biểu dẫn hàm logic

MÃ

Các loại mÃ








≤

≤
≥



Đêm
(1)
hoặc hai trạng thái làm việc của transistor:
Thông - Tắt
(2)
Các quan hệ (1) và (2) được gọi là quan hệ logic.
- Công cụ toán học dùng để mô tả các quan hệ logic (1),(2) nêu trên gọi là đại
số logic hay đại số BOOLE (do George Boole đề xớng vào gữa thế kỷ 19).

- Đại số logic chỉ dùng hai chữ số 0 và 1 để biểu diễn các quan hệ (1), (2).
- Đại số logic là công cụ toán học để phân tích và thiết kế mạch số.
logic

Để mô tả (diễn giải) các quá trình (trạng thái) logic, ngêi ta dïng biÕn vµ hµm
+ Cho tËp B = 0, 1 , Xi gäi lµ biÕn logic nÕu Xi thc B.
+ KÝ hiƯu: A, B, C,… hc X1, X2, X3.
+ Biến logic chỉ nhận một trong 2 giá trị 0 hoặc 1.
+ Một hàm phụ thuộc các biến logic, gäi lµ hµm logic.
+ KÝ hiƯu: f( A, B, C,…) hoặc f (X1, X2, X3)
+ Hàm logic cũng chỉ nhận một trong 2 giá trị 0 hoặc 1
+ Hàm đơn giản: gồm 1 đến 2 biến, gọi là hàm logic cơ bản.
+ Hàn n biến: f (X1, X2, X3,, Xn), gọi là hàm phức tạp
+ Mọi hàm phức tạp đều có thể biểu diễn bằng các hàm đơn giản.
Tóm lại : trong đại số logic thì biến và hàm logic đều chỉ lấy giá trị 1 hoặc 0.
0.0=0
0.1=0
1.1=1

0+0=0
0+1=1
1+1=1

X.1=X
X.0=0
X.X=0

X+1=1
X+0=X
X+X=1

- Luật giao ho¸n: X1 . X2 = X2 . X1
- LuËt kÕt hỵp: X1 + X2 = X2 + X1

0=1
1=0


(X1 + X2) + X3 = X1 + (X2 + X3)
- LuËt ph©n phèi: X1 . (X2 + X3) = X1 . X2 + X1 . X2
X1 + X2 . X3 = (X1 + X2) . (X1 + X3)
- LuËt đồng nhất: X . X = X
X+X=X
- Định lí Demorgan: X1 . X2 = X1 + X2
X 1 + X 2 = X 1 . X2
- Luật hoàn nguyên: X = X
X 1 . X2 + X 1 . X 2 = X 1
X1 + X 1 X2 = X 1
X1 + X 1 X2 = X 1 + X 2
- Có 3 quan hệ logic cơ bản:
, phủ định
- Các biểu thức toán học mô tả các quan hệ logic nêu trên gọi là các phép toán
logic cơ bản.
Tương ứng là 3 phép toán logic cơ bản: nhân logic ( ) ; cộng logic (
);
đảo logic (
).
- Mạch điện tương ứng để thực hiện các phép toán logic cơ bản gọi là cổng
logic cơ bản AND, OR, NOT.
- Biểu thøc: y= x1. x2 . … xn

y= 1 khi mäi xi= 1
y= 0 khi cã mét xi= 0
- VÝ dô với n=2
- Bảng chân lý:
x1
- Ký hiệu :

x1

x2
- Biểu thức: y= x1 + x2 + …+ xn
y= 1, khi cã mét xi= 1
y= 0, khi mäi xi= 0
- VÝ dô với n=2
- Bảng chân lý:
- Ký hiệu :
x1

Y= x1+ x2

x2
2

Y

0
0
1
1

0
1
0
1

0
0
0
1

x1

Y= x1x2

x2

x2

Y

0
0
1
1

0
1
0
1

0
1
1
1


- BiÓu thøc: y = x
y= 0, khi cã mét x= 1
y= 1, khi mọi x = 0
- Bảng chân lý:
- Ký hiƯu :
x
0
1

y
1
0

Y= x

x

- BiĨu thøc: y = x1 x2 …xn
y = 1 khi cã mét xi = 0
y = 0 khi mäi xi = 1
- VÝ dơ víi n =2
x1
x2
Y

- Bảng chân lý:
- Ký hiệu :
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1

X1

Y=X1X2

X2

- Biểu thức: y = x1 + x2+ …+ xn
y = 1 khi cã mäi xi = 0
y = 0 khi mét xi = 1
- Ví dụ với n =2
x1
x2
Y
- Bảng chân lý:
- Ký hiƯu :

0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1

x1
x2

- BiĨu thøc: y = x1 x2 = x1x2 + x1x2
y= 1 khi x1 = x2
y= 0 khi x1 x2
- VÝ dơ : víi n = 2

3

Y= x1 + x2


Khi nghiên cứu và xử lý những vấn đề logic, ta có thể dùng các phương pháp
khác nhau để biểu diễn hàm logic tùy theo đặc điểm của hàm logic cần xét.
Thường dùng các phương pháp: Bảng chân lý; biểu thức logic; bìa Các - nâu...
Mô tả quan hệ giữa các giá trị của hàm số tương ứng với mọi giá trị có thể có

của biến số dưới dạng bảng.
Xác định số biến và tổ hợp biến: mỗi biến có thể lấy một trong hai giá trị 1 hoặc
0, nếu có n biến thì sẽ có 2n tổ hợp các giá trị khác nhau của chúng.
- Liệt kê tất cả các tổ hợp giá trị của biến (thường sắp xếp theo tuần tự số đếm
nhị phân).
- Thay giá trị của mỗi tổ hợp biến vào hàm số và tính ra giá trị tương ứng của
hàm, rồi liệt kê thành bảng.
-Ví dụ: Lập bảng chân lý cho hàm số
f(x3,x2,x1) = x1x2 + x2x3 +x3x1
+ Hàm có 3 biến, nên có 23 = 8 tổ hợp các giá trị của biến
+ Thay giá trị của các tổ hợp biến vào hàm số và tính giá trị của hàm, ta có
bảng 1:

x
1

x
Chú ý: ứng với tổ hợp biến nhng hàm không xác định, ký hiệu x, gọi là bảng
khuyết. Khi đó có thể chän tïy ý: x =1 hc x = 0, ý nghĩa của hàm không thay đổi.
- Ư u điểm:
+ Trực quan, khó nhầm lẫn (trong các sổ tay IC số đều có bảng chức năng tương
ứng với bảng chân lý để mô tả chức năng logic của IC).
+ Tiện lợi khi gải quyết một nhiệm vụ thực tế ở dạng vấn đề logic (trong thiết
kế mạch số thì đầu tiên là kê ra bảng chân lý).
4


- Nhược điểm: Cồng kềnh, phức tạp khi số biến lớn. Không thể dùng các công
thức và định lý của đại số logic để tính toán.
Dùng các phép toán AND, OR, NOT,để biểu thị quan hệ logic giữa các biến

trong hàm.
Có hai dạng biểu diễn hàm n biến, đó là: chuẩn tắc tuyển (CTT) và chuẩn tắc hội
(CTH).
- Cách lập biểu thức:
+ Chỉ quan tâm đến các tổ hợp biến mà hàm có giá trị bằng 1. Số lần hàm có
giá trị 1 chính là số tích của biểu thức.
+ Trong mỗi tích, các biến có giá trị 1 viết nguyên biến, các biến có giá trị 0
viết đảo biến.
+ Biểu thức của hàm f bằng tổng các tích đó.
- Ví dụ: xét lại ví dụ trong bảng 1.
+ Hàm f = 1 tại các tổ hợp biến ứng với giá trị thập phân là 3, 5, 7 và các tÝch lµ:
m 3 = x3 x2 x1
m 5 = x 3 x2 x1
m 7 = x 3 x2 x1
+ D¹ng CTT lµ : f = x3x2 x1 + x3x2 x1 + x3x2 x1
- Khi cho giá trị của hàm logic dới dạng CTT, ứng với các giá trị f =1, gọi là các
Mintec (số hạng nhỏ nhất), ký hiệu mi, với i là số thập phân ứng với fi =1.
Khi đó dạng CTT được viết là:
f(x3x2 x1) = m3+ m5 + m7 = (3,5,7); N=2,6.
Trong đó: 3, 5, 7 là số thập phân của các tổ hợp biến ứng với f =1; N =2, 6 là số
thập phân của tổ hợp biến ứng với f = x (không xác định).
- Cách lập biểu thức:
+ Chỉ quan tâm đến các tổ hợp biến mà hàm có giá trị bằng 0. Số lần hàm có giá
trị 0 chính là số tổng của biểu thức.
+ Trong mỗi tổng, các biến có giá trị 0 viết nguyên biến, các biến có giá trị 1
viết đảo biến.
+ Biểu thức của hàm f bằng tích các tổng đó.
- Ví dụ: Ta lấy lại ví dụ trong bảng 1.
+ Hàm f = 0 tại các tổ hợp biến ứng với giá trị thập phân là 0, 1, 4 và các tổng
được mô tả:

M 0 = x 3 + x2 + x1
M 1 = x 3 + x2 + x1
M 4 = x 3 + x2 + x1
+ Dạng CTH là : f = (x3 + x2 + x1) (x3 +x2 + x1)( x3 +x2 + x1)

5


- Để đơn giản khi cho giá trị của hàm logic dưới dạng CTH, ứng với các giá trị f
= 0, gọi đó là các Maxtec (số hạng lớn nhất), ký hiệu Mi, với i là số thập phân ứng
với fi = 0.
Khi đó dạng CTH được viết là:
f(x3x2 x1) = M0 . M1 . M4 = (0,1,4); N=2,6.
Trong ®ã: M0 = x3 + x2 + x1
M1 = x3 + x2 + x1 ; M4 = x3 + x2 + x1
0, 1, 4 là giá trị thập phân của các tổ hợp biến mà f = 0; N = 2, 6 là giá trị
thập phân của tổ hợp biến mà f = x (không xác định).
- Ưu điểm:
+ Cách viết gọn; tiện lợi; tính khái quát cao (do biểu diễn trực tiếp quan hệ logic
giữa các biến).
+ Rễ dàng sử dụng các công thức và định lý của đại số logic để biến đổi, làm
toán.
+ Tiện cho việc dùng sơ đồ logic để thực hiện hàm số (chỉ cần dùng các ký hiệu
của các cổng logic tơng ứng thay thế phép toán trong biểu thức hàm số , ta sẽ có một
sơ đồ logic).
- Nhược: không trực quan nh bảng chân lý (khó xác định hàm ứng với giá trị
biến một cách trực tiếp đối với các hàm số phức tạp).

- Hàm có n biến, bìa có 2n ô (tơng ứng sẽ là số hàng và cột), mỗi ô ứng với một
tổ hợp biến. Các ô cạnh nhau (hoặc đối xứng nhau) chỉ khác nhau một biến.

- Trên các cột và hàng (bên ngoài bảng) ghi các tổ hợp giá trị biến sao cho
những cột và hàng cạnh nhau (hoặc ®èi xøng nhau) chØ kh¸c nhau mét biÕn.
- Trong c¸c ô ghi giá trị của hàm ứng với giá trị tổ hợp biến tại ô đó.
Dạng CTT thì ô có f = 0 thờng để trống.
Dạng CTH thì ô có f = 1 thờng để trống.
Các ô mà hàm không xác định , đánh dấu X.
- Ví dụ: bìa K của hàm 3 biến nh hình 1
+ Dạng CTT: f (x3 x2 x1) = (3.5.7); N = 2, 6 (h×nh 1a).
+ D¹ng CTT: f (x3 x2 x1) = (0,1,4); N = 2, 6 (h×nh 1b).

6


7


- Đặc điểm, quan hệ giữa các dạng tích và dạng tổng trong hàm logic thường
thể hiện ở các loại sau: OR-AND; AND-OR; NAND-NAND; NOR-NOR; NORAND; ...
VÝ dô:
f= x1x2 + x1 x3
OR-AND
f= (x1 + x3) ( x1 + x2 )
AND-OR
f= x1x2 x1 x3
NAND-NAND
f= x1 + x3 + x1 + x2
NOR-NOR
f= x1x2 + x1 x3
NOR-AND
Sư dơng c¸c cỉng logic: NOT, AND, OR, NAND, NOR,... để thực hiện các

hàm logic là thuận lợi nhất.
- Thực tế cho thấy, một hàm logic có thể đợc mô tả bằng nhiều biểu thức logic
khác nhau.
Ví dô:
f = x1x2x3 + x1x2x3+ x1x2x3+ x1x2x3
(1a)
= x1x2 + x1x3+ x2x3
(1b)
= x1x2 + x1x3
(1c)
= .. ... ...
NÕu dïng cæng AND và OR thực hiện (1c), ta có mạch đơn giản nhất.
Tối thiểu hóa (rút gọn) hàm logic là quá trình đi tìm dạng biểu diễn đại số đơn
giản nhất của hàm.
- Mục đích:
Số biến và số các số hạng dạng tích (hoặc tổng) của hàm logic là nhỏ nhất
nhưng vẫn thực hiện đợc chức năng đà định (tơng đơng với số cấu kiện ít, độ tin cậy
cao, giá thành rẻ hơn,..).
Ví dụ: Biểu thức (1b) đơn giản hơn (1a); biểu thức (1c) đơn giản hơn (1b).
- Dựa vào các định lý, công thức, hệ quả và tính chất của đại số logic để tiến
hành tối thiểu hóa.
1) f = x1x2 + x1x2 + x1x2
(6 cæng)
= ( x1x2 + x1x2 ) + (x1x2 + x1x2)
= x2 ( x1 + x1 ) + x1( x2 + x2 )
f = x2 + x1
(1 cæng)
2) f = x1x2 + x1x3 + x2x3
8

= x1x2 + ( x1 + x2 ) x3
= x1x2 + x1 x2 x3
= x1x2 + x3

(Định lý Demorgan)
(công thức 28).

- TiÕn hµnh rót gän theo 4 bwíc:
+ B­íc 1: Biểu diễn hàm đà cho trên bìa K theo dạng CTT (hoặc CTH).
- Tiến hành rút gọn theo 4 bước:
+ Bước 1: Biểu diễn hàm đà cho trên bìa K theo dạng CTT (hoặc CTH).
+ Bưc 2: gộp 2k ô kề nhau ( hoặc đối xứng nhau) theo dạng CTT (hoặc CTH).
Có thể kết hợp cả ô không xác định x, với k là tối đa (0 k n).
+ Bước 3: Tiến hành tối thiểu các vòng đà gộp theo quy tắc: nếu biến nào không
thay đổi giá trị thì giữ lại, ngược lại nếu biến thay đổi giá trị thì loại. Kết quả:
Gộp 2ô sẽ loại đưc 1 biến.
Gộp 4ô sẽ loại được 2 biến.
Gộp 2k ô sẽ loại được k biến (0 k n).
- Bước 4: Viết hàm ®· tèi thiĨu b»ng biĨu thøc.
Cã thĨ tiÕn hµnh tèi thiểu theo dạng CTT hoặc CTH.
@ Chú ý:
+ Vòng gộp càng lớn càng tốt, vì các thừa số nhận được sau khi tối thiểu sẽ ít
nhất.
+ Vòng gộp sau phải có ít nhất một số hạng chưa được gộp ở vòng trước đó.
+ Một ô có thể tham gia nhiều lần gộp.
+ 4 ô ở 4 góc của bìa Các - nâu cũng gộp được với nhau.
- Ví dụ: Tối thiĨu hãa hµm
f(x3x2x1x0) = 1, 5, 6, 7, 11, 13 ; (N=12, 15)
- Tương tự nh ở dạng CTT nhng tiến hành tối thiểu với các ô 0 và x.

- VÝ dơ: Tèi thiĨu hãa hµm
f(x3x2x1x0) = (3,5.6.7,12,13) ; (N= 0,2,15)

9


10