Khóa luận tốt nghiệp toán Ứng dụng hàm lồi trong chứng minh bất đẳng thức

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN
***
ĐÀM HUỆ THU
ỨNG DỤNG HÀM LỒI TRONG CHỨNG MINH
BẤT ĐẢNG THỨC
KHÓA LUÂN TỐT NGHIẼP ĐAI HOC
• • • •
Chuyên ngành: Đại số
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN
HÀ NỘI - 2014
***
ĐÀM HUỆ THU
ỨNG DỤNG HÀM LỒI TRONG CHỨNG MINH
BẤT ĐẢNG THỨC
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
• • • •
Chuyên ngành: Đại số Ngưòi hướng dẫn khoa học: TS.
NGUYỄN THỊ KIÈU NGA
Em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tói các thày giáo, cô giáo trong tổ
Đại số, đặc biệt cô giáo - TS.Nguyễn Thị Kiều Nga đã tận tình hướng dẫn và
chỉ bảo cho em trong suốt quá trình nghiên cứu. Mặc dù đã có nhiều cố gắng
trong quá trình làm đề tài nhưng vẫn không tránh khỏi những thiếu sót, em
HÀ NỘI - 2014
rất mong nhận được sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên
để khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên thực hiện
Đàm Huệ Thu
HÀ NỘI - 2014
Em xin cam đoan khóa luận này là sự nỗ lực của bản thân, cùng sự
giúp đỡ tận tình của Cô Nguyễn Thị Kiều Nga

Khóa luận này không trùng vói kết quả của các tác giả khác. Em xin
chịu hoàn toàn trách nhiệm về khóa luận của mình.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên thưc hiên
• •
Đàm Huê Thu
MUC LUC
•
•
•
•
HÀ NỘI - 2014
•
•
•
•
•
•
•
HÀ NỘI - 2014
• MỞ ĐẦU
• Trong chương trình giảng dạy và học tập bộ môn toán ở nhà trường phổ
thông hiện nay, bất đẳng thức chiếm một vị trí quan trọng. Các bài toán về bất
đẳng thức luôn hấp dẫn và là niềm say mê yêu thích của những ngưòi yêu
Toán.
• Có rất nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong đó ứng dụng
các tính chất của hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức là một phương pháp
mói , hay và hiệu quả.
• Với lý do trên cùng sự đam mê của bản thân và sự giúp đỡ rất tận tình
của cô Nguyễn Thị Kiều Nga em xin mạnh dạn thực hiện khóa luận với đề tài:

“ ứng dụng hàm lồi trong chứng minh bất đẳng thức”.
• Nội dung khóa luận chia làm ba chương Chương 1: Kiến thức
chuẩn bị.
• Trong chương này trình bày định nghĩa và tính chất của hàm lồi (lõm),
bất đẳng thức Jensen và ứng dụng của bất đẳng thức Jensen trong việc chứng
minh các bất đẳng thức khác.
• Chương 2: ứng dụng của hàm lồi trong chứng minh bất đẳng thức.
• Chương này trình bày ứng dung của hàm lồi trong việc chứng minh các
bất đẳng thức kinh điển, bất đẳng thức đại số, bất đẳng thức hình học, bất đẳng
thức lượng giác, bất đẳng thức tích phân.
• Chương 3: Sáng tạo bất đẳng thức .
• Chương này trình bày phương pháp sáng tạo ra các bất đẳng thức dựa
vào tính chất của hàm lồi.
6
• Do trình độ và kinh nghiệm còn hạn chế nên khóa luận của em chắc
chắn còn nhiều thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp của các thày
cô trong khoa Toán và các bạn sinh viên.
• Em xin chân thành cảm ơn !
• Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên thực hiện
• Đàm Huê Thu ■
7
• Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm lồi.
1.1.1. Định nghĩa tập hợp lồi và hàm số ỉồi
a) Định nghĩa tập hợp lồi
• Tập hợp D

được gọi là tập lồi trong M. nếu với mọi A , B

G D

, mọi
AeM,
1 < Ă

< 1 thì Ẳ A +

(l - X ) B

G D.
b) Định nghĩa hàm số lồi
• Giả sử D

là tập lồi trong M Hàm số /: D

M. được gọi là hàm lồi trên D n ếu
như với mọi x
i
,x
ĩ
G. D, với mọi số /L g R 1 th ì
• /(A + ( 1 - Ầ)x
2
) < Ầ/Cx,) + ( 1 - Ầ)f(x
2
)
c) Định nghĩa hàm số lõm
• Giả sử D

là tập lồi trong M, /: D

—» M. được gọi là hàm lõm trên D
nếu -/(X )

là hàm lồi trên D .
1.1.2. Ỷ nghĩa hình học
•Giả sử jCj, X

2

e I

; M \

và M

2 là hai điểm bất kì của đường cong Y = F ( X ) .
Khi đó tọa độ của M

V

M

2

tương ứng là M
2
(jc
2
;/(jc

2
))
• Phương trình tìiam số của M \ M

2

là
•
•
• Như vậy, hàm số /(X )

là lồi trên I

nếu với hai điểm bất kỳ M Í , M

2

của
đường cong Y = F ( X ) ,

cung M \ M

2

của đường cong nằm ở bên dưới đoạn
1.1.3. Ví dụ hàm lồi
• Hàm số /(jc) = X
2
lồi trên (-00;+00)
•

• Thật vậy, với mọi x
1
,x
2
^ (-00;+00);^ * x
2
, ta có
• +) f(Ẳx
i
+ (1 — Ẳ)x
2
) = (Лх
1
+ (1 — Л)х
2
)
2
=
Л
2
Хf + (1 - Л)
2
JC
2
2
+ 2Л(1 - Л)х
г
х
2
+) л/(х

г
) + (1 - Л)/
(х
2
) = Ảx\ + (1 - Л ) Х

2

2



Xét Л
2
xỉ + (1 - Л)
2
xị + 2Ẳ{\ -
Л)х
1
х
2
< Лх? + (1 - Х)х\
• Нау /1(1 - Л)Х? + (1 - Ẳ){XỊ — 2ẲX
Í
X
2
— (1 - Х)Х\ ) > о .
•Tức là Л ( 1 - Ầ ) X Ỉ + Ầ(1 - Ẳ )(X
2
2

- 2 X ,X
2
) > О Tương đương Ầ ( 1
-

Ẩ)(jCj
2
- 2jc,jc
2
+ JC
2
2
) >0 Hay à ( 1 -

- X

2

)

2


>
0
• Suy ra /0Ц + (1 - Ầ ) X

2

) < Ầ F ( X , )

+ (1 - Ầ ) F ( X

2

)
• Vậy F ( X ) = X

2

là hàm lồi trên (-oo;+oo)
1.2. Tính chất hàm lồi, hàm lõm
1.2.1. Tính chất 1
• Cho D

là tập lồi trong К . Giả sử F

L

( X ) , F

2

( X ) , . . .
là các hàm lồi
• xác định trên D .

Cho Ậ >

0 vói mọi I = L , N .

Khi đó hàm số
• Л/l С*)
+
Л/2 (*) + •••
X

)

cũng là hàm lồi trên D .
• Chú ý
- Hàm lồi hai biến : Giả sử D

là tập lồi trong R . Hàm số / : D

—» M.
được gọi là hàm lồi trên D

nếu như với mọi (x
15
^);(л:
2
Y

2

) & D ,

vói
mọi số Ă ( 0 < Ă < Ĩ )

• Ta có /(/Ц + (1 - Ã ) X

2

; Ã Y

1

+ (1 - Ã ) Y

2

) <
+ (1 - Ầ ) F ( X

1

; Y

1

)

- Hàm lồi ba biến : định nghĩa tương tự cho hàm / : D

—» M, vói D


là tập lồi trong M .
• Kết luận này vẫn đúng với hàm lồi hai biến và ba biến.

1.2.2. Tính chất 2 (Điểu kiện để một hàm số là hàm lồi)
• Cho D

là tập hợp lồi thuộc Ш

. Hàm F ( X , Y ) : D ^ > M

là hàm lồi trên
D

khi và khi với mọi (д^, J
x
), ( X

2

, Y

2

)

G D

thì hàm
• Ọ ( Ả ) = F ( Ẫ X

L

+ (1 -Ã ) X

2

; Ầ Y

1

+ (1
- Ã ) Y

2



là hàm lồi trên đoạn [о, 1]
1.2.3.Tính chất 3 (Mối quan hệ giữa tập họp lồi và hàm lồi)
• Giả sử / : D

—» К, ở đây D

là hàm lồi trong
Ш

.

Đặt
• epi/ = {(x,;y)eM
Z Y , X E D }

• (epi/ được gọi là tập hợp trên đồ thị)

• Hàm/ là lồi ưên D

khi và chỉ khi epi/ là tập hợp lồi ữong M
1.2.4. Tính chất 4
• Cho D

là tập hợp lồi trong M , các hàm /j(jc):£)—» M với I = L , N

là
các hàm lồi trên D .
• Xét các hàm số sau trên D
• f(x) = max{f
l
(x);f
2
(x);
,Vx<=D
• Khi đó/(jc) là hàm lồi ữên D.
1.2.5. Tính chất 5 (Điều kiện đủ cho tính lồi, lõm của hàm số)
• Cho F ( X )

là hàm số xác dịnh trên [ A , B \

và có đạo hàm cấp hai tại
mọi
• X E Ị A , B Ị .

Nếu /"(X)>0 với mọi jce[a,fc] thì F ( X

) là hàm lồi trên [ A ,

B ] .
• Nếu / "(x) < 0 với mọi X e [ A , B ]

ứiì F ( X )

là hàm lõm ữên [ A , B Ị .
1.2.6. Tính chất 6
• Nếu/(x) là hàm lồi ữên (й, B )

thì /(x) liên tục ữên [ A , B )
1.2.7. Tính chất 7
• Với mọi hàm số thì mọi cực tiểu địa phương đều là cực tiểu toàn cục.
1.2.8. Tính chất 8
• Cho D

là tập hợp lồi trong M, /: D

—>■ M. là hàm số lồi xác định trên
D .

Gọi D

Ữ

là tập hợp tất cả các điểm mà tại đó/đạt cực tiểu địa phương trên
D .

Khi đó D

0

là tập lồi.
1.3. Bất đẳng thức Jensen
1.3.1. Định nghĩa
• Cho D

là tập lồi ưong K, F ( X

): D

—» M. là hàm số xác định trên D .
Khi đó F ( X )

là hàm lồi trên D

khi và chỉ khi với mọi số N

nguyên dương, với
• mọi jCj, x
2
, ứiuộc D, vói mọi số Ấ > 0, (ỉ = 1 ,n) và =1 ta có
• ỉ—1
• /(ẺM)SẺV(^,)
(1 )
• i= 1 i=\
• Bất đẳng thức (1) có gọi là bất đẳng thức Jensen.
1.3.2. Chứng minh bất đẳng thức Jensen
• Giả sử (1) được thỏa mãn. Khi đó, ứng với N =

2, / là hàm lồi trên D

(theo định nghĩa)
• Ngược lại, giả sử / là hàm lồi trên D .

Ta chứng minh (1) bằng qui nạp
• +) Với N =

1,(1) hiển nhiên đúng
• +) Với N =

2, theo định nghĩa hàm lồi thì (1) cũng đúng.
• Giả sử (1) đã đúng với N = K > 2 .

Xét với N = K

+1
•- - - - k
•
•
• (Rõ ràng ta có thể xét với Ấ > 0 với mọi I = L , K

+1 vì nếu không áp
dụng giả thiết qui nạp sẽ suy ra điều phải chứng minh).
• Đặt Ằ=ỵ
i
Ằ
i
• i= 1
• Do Ă. > 0, Vi = \,к +1 mà = 1, nên о < л < 1
• i=1
• Та viết lại (2) dưới dạng sau đây

• ты Ẩ Ẩ
•Ẽ M =

Ё М

+ ( ! -
+ ( 3 )
I = Ì


I

=1 1 — Á

1 — Á
• Do X., X
k x
G D; —— > 0; ^

+ 1

> 0 và ^ + ^

k+1

= -—— = 1
4

*

+ 1

1-Л 1-Л 1-Л 1-Л 1-Л
• Mà D

là tập hợp lồi nên
• 1-Ã * 1-Ã
k+1
• Vế phải (3) được viết lại
= ẬXJ + Ẫ
2
X
2
+ + Ẫ
K ]
X
K Ĩ
+ (1 - Ẫ)X (4)
• Ĩ= 1
• Để ý rằng Ậ + Ã

2 + . . . +

+ (1 - Л )

- Ẳ +

(1 - Л )
- 1 ,

nên từ (4) và từ giả
• thiết qui nạp ta có
• дл* 1 +Ả
l
x
2
+ ++ ( 1 -Л)х) <
ịf(x!> + V(*
2
) + - + Ф
• uw+a-A)/w
• Mặt khác, vì / là hàm lồi nên
•
f(x)
=
+:
ti
XlJ
~0i
f<
'
X l)+
0i
f<
'
X tJ
(б)

• Kết hợp (3), (4), (5), (6) suy ra F &

Ä

I

X

I )

-

Ẻ4/00
• i=1 i=l
• Vậy (1) cũng đúng với N = K

+1
• Theo nguyên lý qui nạp, suy ra (1) đúng với mọi N .

Đó là điều phải
chứng minh.
1.3.3. Chú ý
- Bất đẳng thức Jensen có ý nghĩa rất quan trọng trong việc nghiên cứu về
hàm lồi. Bất đẳng thức được sử dụng rộng rãi trong việc chứng minh các
bất đẳng thức khác.
- Ngưòi ta hay sử dụng một dạng đặc biệt của bất đẳng thức Jensen
sau Nếu F ( X ) : D - > R

và DcR. Khi đó vói mọi N

nguyên dương,
vói mọi X , , X

2

, . . . , X

N

^ D

Ta có
• — —) - „ Z/(*i)
• n n i= 1
• Chương 2: ỨNG DỤNG HÀM LỒI TRONG CHỨNG MINH BẤT
ĐẲNG THỨC
2.1. Chứng minh các bất đẳng thức kỉnh điển
a) Cơ sở lý luận
• Trong bất đẳng thức thì lớp bất đẳng thức kinh điển đóng vai trò quan
trọng, là cơ sở để chứng minh rất nhiều các bất đẳng thức khác. Các loại bất
đẳng thức này hay gặp nhất(dưói dạng tường minh hay không tường minh)
trong đại số. Các bất đẳng thức kinh điển thường gặp là bất đẳng thức Cauchy,
bất đẳng thức Bunhiacopxki, bất đẳng thức Holder, Bất đẳng thức Mincopxki,
bất đẳng thức Karamata, Bất đẳng thức liên hệ giữa trang bình cộng, trung bình
nhân, trung bình toàn phương và trung bình điều hòa.
b) Sau đây là một lớp các bất đẳng thức kinh điển được chứng minh theo
phương pháp hàm lồi.
2.1.1. Bất đẳng thức Cauchy
• Cho A

X

, A

2

, . . . , A

>0. Chứng minh rằng
•
• Chửng minh
• Chỉ có một trong hai khả năng sau đây xảy ra
1 . Tồn tại A

. = 0 (1 < ỉ < R Ì )

. Khi đó bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
2 .


A .

>0, vói mọi I = L , N
• Xét hàm số F ( X ) - E

X

vói X G (-00, + oo)
• Ta có F ( X ) = E

X

suy ra F ' ( X ) = E

X

.

Vậy
là hàm lồi với mọi
• X G (-00, + Qo)
• Giả sử a
15
a
2
, ,a đều dương, khi đó tồn tại X

L

, X

2

, . . . , X

sao cho
•
• e* =a
l
,e*
2

=a
2
, ,e
x
" =a
•
• Theo bat dang thiic
Jensen ta co
• e*+e*+ + e
x
”
• n
•
•
• Däu bat dang thiic
xäy ra khi vä chi khi A

T

—
A

2

— . . . — A

N

hay
• x

l
=x
2
=- = x
H
• K§t hap cä hai trucmg
hop tren ta cö di§u phäi
chiing minh.
2.1.2. Bat ääng thüc
Bunhiacopxki
• Cho 2N

so thuc
A

X

, A

2
, , A

N

vä B

X

, B

2
, ,
B

N

.

Khi do ta co
•
(
a
i +
a
l+ — +
a
l)
(K + b
2
+ +
b
2
n
) >
+ a
2
b
2
+ + ab
n

f
<
e
•
• e h
+e
*i
+
' "
+ e
*.
n
• Ha
y
qj
1
Tue la (e
• Däu bang xäy ra khi
vä chi khi — = — = = —
•
K b
2
b
n
• Chung minh
• Tucmg
ty nhu 2.1.1, ta
chi xet trucmg
hop a, > 0; H

>
0; Vi = 1 , N
Xet ham so /(X)
=

X
2
tren M
• Ta co / '(*) > Ovoi
moi X Do do /(X) lä häm löi
tren toän true so.
•
n
Khi do A > 0, Vi = 1 , N

vä = 1
i=1
r ?
Theo bat dang thüc Jensen ta co
• a . b
2
;—
• Voimoi X = —,A
=^r
1
—,i=l,n
•
•
•
• j=i j=i

• Hay {ap
l
+ a
2
b
2
+
+ a
n
b
n
)
2
< {aỊ +aị+ +
a
2
n
)(tf + tiị + + bl)
• Dấu bằng xảy ra khi
và chỉ khi X
L
=X
2
= - X
•
a
i —
a
i • •
_ ĩ—

• Tương đương ^ B
’

L ,

J

, N
i 3
• Đó là điều phải chứng
minh.
2.1.3. Bất đẳng thức
Sacnơ
• Cho 2N

số thực
a
15
a
2
, ,a \ B

Ỉ

, B

2

, . . . , B

,
trong đó B .

> 0 (ỉ = 1,N ) .
Chứng minh rằng
• /(4*1+K
x
2+-+A
x
n)
- Af(
x
i)+Af(
x
2
)+-
+Af(
x
J
• Suy ra ( Ã
ì
x
1
+
+ Ẫ X )
2
< Ấ ị X i + Ằ^xỊ
+ + Ẫ X
2
•

• Suy ra («A + a
2
b
2
+
+ ab
n
f < Ọ>’)Ọ>P
•
•
• Chửng
minh
• Xét hàm số /(jt) = X
2
trên M. .Ta có / "(X) > 0 với
mọi X e M là hàm lồi trên
M
• Áp dụng bất đẳng
ứiức Jensen cho X.=—,Ả =
-^—, i = 1,«. Ta có
•
•
• i= 1
•
• • Dấu bằng xảy
ra khi và chỉ khi
X

L

= X

2

= . . . = X
• hay |
L
= r- = - = 7
L
;
(i.j = W
• Vậy ta có điều phải
chứng minh.
2. 1.4. Bất đẳng thức Holder
•
1
1,

Cho a. >0,& >0,ỉ' =
1 , 2 , P > 0 , Q

>0 và — +
— = 1. Chứng minh rằng
•
• i =1
f(Ả
l
X
ỉ
+ Ẳ

2
X
2
+ + Ẳ
n
x
n
) < + Ẳ
2
f(x
2
) + + Ả
n
f(x
n
)
ũ (ữ. + ữ, + + ũ )
n

^ >

_________ 1

2

____________ n
'
b b.+b

7

+ + b
n 1 2 n
i=1 i=
l
•
• Chửng minh
• 1
1
• Do /? > 0,# > 0 và —
+ — = 1 Do đó P >

1 Xét
hàm số /(X ) = X

N

, X >

0
• p
<1
• Ta có f\x) = px
p


1
suy ra f"{x) =
p{p-\)x
p 2

. Suy ra f(x)
lồi ttên (0,+«> )
• Theo bất đẳng thức
Jensen ta có
• (1)
• r _ữ_
h
Л— fl h
1
• Ta thấy Ỵ Ị X ,

=
Ỵ ,

A

F R '

д = ẳ^- = . Î>A
• Ẽ
*
;
ĩ
•
• i=l • i=l
>
;
“
• j
=l

j
=l
j
=l
• Thay (2) vào (1) ta có
• V
•
•
• Hay
<^-É
a
W'
•
•
• j=i
J
• Suy ra
ỉaA<(Ẻ«,')'(ẳ*;)'
• Í= 1 Ỉ= 1 7 = 1
• Hay
±а,Ь,<(Ёа'У(ЁЬ?У
• I

=1 1=1 i=l
• Vậy ta có điều phải
chứng minh.
2.1.5. Bất đẳng thức
Mincopxki
Ь', ■
Ẻ

-г-рь
±ц~
(3)
• Cho hai dãy số
a
l
5
a
2
, ,a và
B

X

, B

2

, . . . , B

N

thỏa mãn
A .

>0, B .

>0, I = Ì , N .
Chứng minh rằng
•

4
а
1
а
г~
л
п + #A-A ^
^l(a
l
+b
l
)(a
2
+b
2
)
(a
n
+b
n
)
• Chửng minh
• Xét hàm số /(X ) =
ln(l + E

X

)
•
'(*) = —-—- > 0

M.
•


• Suy ra F ( X )

là hàm
số lồi trên M.
* ĩ ■> b.
• Ap dụng bât đăng
thức Jensen vớix = ln— ta
có
• ỉ
• lrÂ
+
ln^
+

+
ln^ ln(l
+

B

' ) +

ln(l
+ S + +
ln(l +
B

" )
• 1 /-! — -— N
^
a
?
a
„
•
ln(l + E

N

) <
—
—
• n
•
Suyra
1^
+
/OTẶ)
-sinJfrĨEEKlEhEIEĨ)

• \
a
i
a
2
ữ

n
V
a
v
ữ
2 • • • •
ữ
n
• Suy ra 1
+
ẸXÃ < M
+ b

'

Xa

'

ĨEhK + €>
•