Đề học sinh giỏi tham khảo môn toán 9 (9)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
TỈNH BẮC NINH
* Môn thi : Toán * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2002 - 2003
Bài 1 : (2,5 điểm)
1) Tìm các số tự nhiên x ; y thỏa mãn : x
2
+ 3
y
= 3026.
2) Tìm các số nguyên x ; y thỏa mãn :
Bài 2 : (3,5 điểm)
1) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn m : x2 + x
+ m = 0.
2) Tìm các giá trị của a để phương trình có hai nghiệm phân biệt : 4x.|x| + (a - 7)x + 1 = 0.
3) Tìm x thỏa mãn :
Bài 3 : (3 điểm)
Cho đường tròn tâm O bán kính R và dây AB cố định trương cung 120
o
. Lấy C thay đổi trên
cung lớn AB (C không trùng A và B) ; M trên cung nhỏ AB (M không trùng A và B). Hạ
ME, MF thứ tự vuông góc với AC và BC.
1) Cho M cố định, hãy chứng minh EF luôn đi qua điểm cố định khi C thay đổi.
2) Cho M cố định, hãy chứng minh giá trị không thay đổi khi C thay đổi.
3) Khi M thay đổi, hạ MK vuông góc với AB. Hãy xác định vị trí của M sao cho đạt giá trị
nhỏ nhất.
Bài 4 : (1 điểm)
Cho tam giác đều ABC. Lấy điểm M ngoài tam giác sao cho MA = ; MB = 2 (cùng đơn vị
đo độ dài với cạnh tam giác) ; góc AMC = 15
o
(tia CM nằm giữa hai tia CA và CB). Tính độ
dài CM và số đo góc BMC.