skkn Phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục khi áp dụng nội dung đang nghiên cứu vào thực tiễn giảng dạy nhằm tìm ra nguyên nhân những sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải toán

SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM
PHÁT HIỆN VÀ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC NHỮNG
SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI.
I. PHẦN MỞ ĐẦU.
1. Lí do chọn đề tài.
Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp một số năm học, tôi đã phát
hiện ra rằng còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán về “căn bậc
hai – căn bậc ba” còn yếu, kém trong đó có rất nhiều học sinh chưa thực sự
hiểu kỹ về căn bậc hai – căn bậc ba và trong khi thực hiện các phép toán về
căn bậc hai – căn bậc ba rất hay có sự nhầm lẫn hiểu sai đầu bài, thực hiện
sai mục đích… Việc giúp học sinh nhận ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránh
được sự nhầm lẫn đó là một công việc vô cùng cần thiết và cấp bách nó
mang tính đột phá và mang tính thời cuộc rất cao, giúp các em có
một
sự am
hiểu vững trắc về lượng kiến thức căn bậc hai (đại diện cho căn bậc chẵn)
căn bậc ba (đại diện cho căn bậc lẻ) tạo nền móng để tiếp tục nghiên cứu các
dạng toán cao hơn sau này.
a. Cơ sở ký luận
Theo tình thực tế của việc giải toán của HS cho thấy các em còn yếu,
thường không nắm vững kiến thức cơ bản, hiểu một vấn đề chưa chắc, nắm
bắt kiến thức còn chậm, thiếu căn cứ trong suy luận sử dụng ngôn ngữ và kí
hiệu toán học chưa chính xác, thiếu thận trọng trong tính toán.Vì sao dẫn đến
điều này ta có thể chia làm hai nguyên nhân:
- Nguyên nhân khách quan:
+ Số tiết luyện tập trên lớp theo phân phối chương trình vẫn còn ít.
+ Lượng kiến thức mới được phân bố cho một số tiết học còn quá tải.
+ Phần nhiều bài tập cho về nhà không có sự dẫn dắt, giúp đỡ trực tiếp của GV.
- Nguyên nhân chủ quan:
+ Số lượng HS trên một lớp khá đông nên thời gian GV hướng dẫn cho

những HS thường gặp phải khó khăn còn hạn chế.
+ Một số GV thường dùng tiết bài tập để chữa bài tập cho HS.
+ Một số tiết dạy GV chưa phát huy được khả năng tư duy của HS.
+ Một số GV có sử dụng phương pháp dạy học mà ở đó chưa phát huy
hết đặt thù của bộ môn.
+ Một bộ phận nhỏ HS chưa chăm chỉ, lơ là trong việc học,chưa tự giác
khắc phục những kiến thức mình bò hỏng trong quá trình giải bài tập.
Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH
Trang 1
SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM
Từ những nguyên nhân trên đã dẫn đến một số tồn tại sau: HS thường
mắc phải sai lầm khi giải các bài tập do không nắm vững kiến thức cơ bản,
tiếp thu kiến thức chậm, học tập thụ động, giải bài tập cẫu thả, chép bài của
các HS khá giỏi để đối phó một cách máy móc làm ảnh hưởng đến kết quả
học tập.
b. Cơ sở thực tiễn.
1. Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn toán và tham khảo ý kiến của các
đồng nghiệp nhiều năm kinh nghiệm, tôi nhận thấy : trong quá trình hướng
dẫn học sinh giải toán Đại số về căn bậc hai thì học sinh rất lúng túng khi
vận dụng các khái niệm, đònh lý, bất đẳng thức, các công thức toán học.
Sự vận dụng lí thuyết vào việc giải các bài tập cụ thể của học sinh chưa
linh hoạt. Khi gặp một bài toán đòi hỏi phải vận dụng và có sự tư duy thì học
sinh không xác đònh được phương hướng để giải bài toán dẫn đến lời giải sai
hoặc không làm được bài.
Một vấn đề cần chú ý nữa là kỹ năng giải toán và tính toán cơ bản của
một số học sinh còn rất yếu.
Để giúp học sinh có thể làm tốt các bài tập về căn bậc hai trong phần
chương I đại số 9 thì người thầy phải nắm được các khuyết điểm mà học sinh
thường mắc phải, từ đó có phương án “phát hiện và khắc phục những sai lầm

khi giải toán về căn bậc hai”
2. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Tôi nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích như sau:
+ Giúp giáo viên toán THCS quan tâm hơn đến một phương pháp dạy
học tích cực rất dễ thực hiện.
+ Giúp giáo viên toán THCS nói chung và GV dạy toán 9 THCS nói
riêng có thêm thông tin về PPDH tích cực này nhằm giúp họ dễ dàng phân
tích để đưa ra biện pháp tối ưu khi áp dụng phương pháp vào dạy học và
trong sáng kiến này cũng tạo cơ sở để các GV khác xây dựng sáng kiến khác
có phạm vi và quy mô xuyên suốt hơn.
+ Qua sáng kiến này tôi muốn đưa ra một số lỗi mà học sinh hay mắc
phải trong quá trình lónh hội kiến thức ở chương căn bậc hai để từ đó có thể
giúp học sinh khắc phục các lỗi mà các em hay mắc phải trong quá trình giải
Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH
Trang 2
SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM
bài tập hoặc trong thi cử, kiểm tra
…
Cũng qua sáng kiến này tôi muốn giúp
GV toán 9 có thêm cái nhìn mới sâu sắc hơn, chú ý đến việc rèn luyện kỹ
năng thực hành giải toán về căn bậc hai cho học sinh để từ đó khai thác hiệu
quả và đào sâu suy nghó tư duy lôgic của học sinh giúp học sinh phát triển
khả năng ngay trong con người học sinh.
+ Qua sáng kiến này tôi cũng tự đúc rút cho bản thân mình những kinh
nghiệm để làm luận cứ cho phương pháp dạy học mới của tôi những năm tiếp
theo.
3. Phương pháp tiến hành.
1. Lập kế hoạch nghiên cứu nội dung viết sáng kiến kinh nghiệm.
2. Trao đổi thảo luận cùng đồng nghiệp.

3. Đăng ký sáng kiến, làm đề cương.
4. Thu thập, tập hợp số liệu và nội dung phục vụ cho việc viết sáng
kiến. Qua khảo sát, các bài kiểm tra, các giờ luyện tập, ôn tập.
5. Phân loại các sai lầm của học sinh trong khi giải các bài toán về căn
bậc hai thành từng nhóm.
6. Đưa ra đònh hướng, các phương pháp tránh các sai lầm đó. Vận dụng
vào các ví dụ cụ thể.
7. Tổng kết, rút ra bài học kinh nghiệm.
Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy bộ môn toán của các giáo viên có kinh
nghiệm của trường trong những năm học trước và vốn kinh nghiệm của bản
thân đã rút ra được một số vấn đề có liên quan đến nội dung của sáng kiến.
Trong những năm học vừa qua chúng tôi đã quan tâm đến những vấn đề
mà học sinh mắc phải. Qua những giờ học sinh làm bài tập tại lớp, qua các
bài kiểm tra dưới các hình thức khác nhau, bước đầu tôi đã nắm được các sai
lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải bài tập. Sau đó tôi tổng hợp lại,
phân loại thành hai nhóm cơ bản.
Trong quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã sử dụng
những phương pháp sau :
-
Quan sát trực tiếp các đối tượng học sinh để phát hiện ra những vấn đề mà
học sinh thấy lúng túng, khó khăn khi giáo viên yêu cầu giải quyết vấn đề đó.
Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH
Trang 3
SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM
- Điều tra toàn diện các đối tượng học sinh 3 lớp 9 với tổng số 117 học
sinh để thống kê học lực của học sinh. Tìm hiểu tâm lý của các em khi học
môn toán, quan điểm của các em khi tìm hiểu những vấn đề về giải toán có
liên quan đến căn bậc hai (bằng hệ thống các phiếu câu hỏi trắc nghiệm).
- Nghiên cứu sản phẩm hoạt động của GV và HS để phát hiện trình độ

nhận thức, phương pháp và chất lượng hoạt động nhằm tìm giải pháp nâng
cao chất lượng giáo dục.
- Thực nghiệm giáo dục trong khi giải bài mới, trong các tiết luyện tập,
tiết trả bài kiểm tra … Tôi đã đưa vấn đề này ra hướng dẫn học sinh cùng trao
đổi, thảo luận bằng nhiều hình thức khác nhau như hoạt động nhóm, giảng
giải, vấn đáp gợi mở để học sinh khắc sâu kiến thức, tránh được những sai
lầm trong khi giải bài tập. Yêu cầu học sinh giải một số bài tập theo nội dung
trong sách giáo khoa rồi đưa thêm vào đó những yếu tố mới, những điều kiện
khác để xem xét mức độ nhận thức và suy luận của học sinh.
- Phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục khi áp dụng nội dung đang
nghiên cứu vào thực tiễn giảng dạy nhằm tìm ra ngun nhân những sai lầm mà
học sinh thường mắc phải khi giải tốn
. Từ đó tổ chức có hiệu quả hơn trong
các giờ dạy tiếp theo.
4. Cơ sở và thời gian tiến hành.
Những giờ giảng dạy trên lớp, qua bài kiểm tra đầu giờ, qua luyện tập,
ôn tập. GV cần lưu ý đến các bài toán về căn bậc hai, xem xét kó phần bài
giải của học sinh, gợi ý để học sinh tự tìm ra những sai sót (nếu có) trong bài
giải, từ đó giáo viên đặt ra các câu hỏi để học sinh trả lời và tự sửa chữa
phần bài giải cho chính xác.
Qua bài kiểm tra 15 phút thì tỉ lệ học sinh mắc sai lầm trong khi giải
toán tìm căn bậc hai của 120 học sinh lớp 9 năm học 2007-2008 là: 33/120
em chiếm 27,5%.
Trong bài kiểm tra chương I - Đại số 9 năm học 2007-2008 của 120 học sinh
thì số học sinh mắc sai lầm về giải toán có chứa căn bậc hai là 43/120 em chiếm
35,8% (nghiên cứu tổng hợp qua giáo viên dạy toán 9 năm học 2007-2008)
Như vậy số lượng học sinh mắc sai lầm trong khi giải bài toán về căn bậc hai
là tương đối cao, việc chỉ ra các sai lầm của học sinh để các em tránh được
khi làm bài tập trong năm học 2008-2009 này là một công việc vô cùng quan
trọng và cấp thiết trong quá trình giảng dạy ở trường THCS Tăng Bạt Hổ.

Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH
Trang 4
SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM
Như đã trình bày ở trên nên trong sáng kiến này tôi chỉ nghiên cứu trên
hai nhóm đối tượng cụ thể sau :
1. Giáo viên dạy toán 9 THCS
2. Học sinh lớp 9 THCS: bao gồm 3 lớp 9 với tổng số 117 học sinh.
Thời gian nghiên cứu được chia làm 3 giai đoạn chính :
1. Giai đoạn 1 :
Bắt đầu từ ngày 05 tháng 9 năm 2007 đến ngày 30 tháng 10 năm 2007.
2. Giai đoạn 2 :
Bắt đầu từ ngày 25 tháng 8 năm 2008 đến ngày 29 tháng 10 năm 2008.
3 Giai đoạn 3 : Hoàn thành và đánh giá sáng kiến kinh nghiệm 15 tháng
11 năm 2008.
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
- Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x
2
= a.
- Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau : sốdương kí
hiệu là
a
và số âm kí hiệu là -
a
.
- Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết
0
= 0
.

- Căn bậc hai số học:
2
0x
x a
x a
≥

= ⇔

=

- Liên hệ của phép khai phương với phép bình phương(với a
≥
0, có
( )
aa
=
2
; với a bất kỳ có
||
2
aa
=
)
- Liên hệ phép khai phương với quan hệ thứ tự(SGK thể hiện bởi Đònh
lý về so sánh các căn bậc hai số học : “Với a
≥
0, b
≥
0, ta có : a < b

ba <⇔
”)
- Liên hệ phép khai phương với phép nhân và phép chia(thể hiện bởi:
đònh lý “ Với a
≥
0, b
≥
0, ta có :
baab
=
” và đònh lý “ Với a
≥
0, b >
0, ta có:
b
a
b
a
=
”)
Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH
Trang 5
SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM
* Các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai mà SGK giới thiệu cho
bởi các công thức sau :
⇔ ≥ tồn tại A 0A
(với A là biểu thức đại số)
2
A

=
A
(với A là biểu thức đại số)
BAAB =
(với A, B là hai biểu thức mà A
≥
0, B
≥
0)
B
A
B
A
=
(với A, B là hai biểu thức mà A
≥
0, B > 0)
BABA ||
2
=
(với A, B là hai biểu thức mà B
≥
0 )
AB
BB
A 1
=

(với A, B là hai biểu thức màA B
≥

0, B
≠
0)
B
BA
B
A
=
(với A, B là biểu thức và B > 0)
2
)(
BA
BAC
BA
C
−
=
±


(với A, B là hai biểu thức màA
≥
0, A
≠
B
2
)
BA
BAC
BA

C
−
=
±
)( 

(với A, B, C là các biểu thức mà A, B
≥
0, A
≠
B)
B. PHÂN TÍCH NHỮNG ĐIỂM KHÓ VÀ MỚI TRONG KIẾN
THỨC VỀ CĂN BẬC HAI :
So với chương trình cũ thì chương I - Đại số 9 trong chương trình mới
này có những điểm mới và khó chủ yếu sau :
1. Điểm mới :
- Khái niệm số thực và căn bậc hai đã được giới thiệu ở lớp 7 và tiếp
tục sử dụng qua một số bài tập ở lớp 8. Do đó, SGK này chỉ tập trung vào
giới thiệu căn bậc hai số học và phép khai phương.
- Phép tính khai phương và căn bậc hai số học được giới thiệu gọn, liên
hệ giữa thứ tự và phép khai phương được mô tả rõ hơn sách cũ ( nhưng vẫn
chỉ là bổ sung phần đã nêu ở lớp 7)
- Các phép biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai trình bày nhẹ hơn
(nhẹ căn cứ lý thuyết, nhẹ mức độ phức tạp của các bài tập)
- Cách trình bày phép tính khai phương và phép biến đổi biểu thức chứa
căn thức bậc hai được phân biệt rạch ròi hơn ( Tên gọi các mục Đ3 và Đ4 và
Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH
Trang 6
SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM

các chuyển ý khi giới thiệu các phép biến đổi sau khi nêu tính chất phép khai
phương thể hiện điều đó)
- Cách thức trình bày kiến thức, rèn luyện kỹ năng được SGK chú ý để
HS có thể tham gia chủ động nhiều hơn thông qua hệ thống câu hỏi ?n có
ngay trong phần bài học mỗi bài.
2. Điểm khó về kiến thức so với khả năng tiếp thu của học sinh :
- Nội dung kiến thức phong phú, xuất hiện dày đặc trong một chương
với số tiết không nhiều nên một số kiến thức chỉ giới thiệu để làm cơ sở để
hình thành kỹ năng tính toán, biến đổi. Thậm chí một số kiến thức chỉ nêu ở
dạng tên gọi mà không giải thích (như biểu thức chứa căn bậc hai, điều kiện
xác đònh căn thức bậc hai, phương pháp rút gọn và yêu cầu rút gọn )
- Tên gọi (thuật ngữ toán học) nhiều và dễ nhầm lẫn, tạo nguy cơ khó
hiểu khái niệm (chẳng hạn như căn bậc hai, căn bậc hai số học, khai phương,
biểu thức lấy căn, nhân các căn bậc hai, khử mẫu, trục căn thức ).
C. SAI LẦM VÀ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC KHI GIẢI TOÁN VỀ
CĂN BẬC HAI.
1. Học sinh hiểu sai về căn bậc hai của một số dương a và căn bậc
hai số học của một số dương a.
VD1: Giải bài tập 1 (sgk - 6)
Tìm căn bậc hai số học của 169 rồi suy ra căn bậc hai của chúng.
+ Cách giải sai:
Ta có:
169
= 13

⇒
số 169 có 2 căn bậc hai được viết là
169
= 13 và
169

= -13 (!)
+ Cách giải đúng:
Căn bậc hai số học của 169 là:
169
= 13, còn căn bậc hai của 169 là:
169
= 13; -
169
= - 13 .
- Nguyên nhân:
Học sinh hiểu sai về căn bậc hai của một số dương a và căn bậc hai số
học của một số dương a, từ đó không phân biệt được hai vấn đề này.
- Biện pháp khắc phục:
+ GV cần phải cho HS nắm được: Với số dương a, số
a
được gọi là
căn bậc hai số học của a, số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0; Số
dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: số dương kí hiệu là
a
và số âm kí hiệu là -
a
. Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0.
+ Khi nói đến
a
ta phải có: a
≥
0 và
a
≥
0, nghóa là

a
không thể
âm. Vì vậy không được viết :
Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH
Trang 7
SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM
Số 169 có hai căn bậc hai là
169
= 13 và
169
= - 13.
VD2: Tìm các căn bậc hai của 16.
Rõ ràng học sinh rất dễ dàng tìm ra được số 16 có hai căn bậc hai là hai
số đối nhau là 4 và - 4.
VD3 : Tính
16
Học sinh đến đây sẽ giải sai như sau :

16
= 4 và - 4 có nghóa là
16
=
±
4
Như vậy học sinh đã tính ra được số
16
có hai căn bậc hai là hai số đối
nhau là :

16
=4 và
16
= -4
- Nguyên nhân: do việc tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học đã nhầm
lẫn với nhau.
+ Cách giải đúng :
16
= 4 ( có thể giải thích thêm vì 4 > 0 và 4
2
= 16)
Trong các bài toán về sau không cần yêu cầu học sinh phải giải thích.
- Biện pháp khắc phục: GV chỉ ra sự khác nhau giữa việc tìm căn bậc
hai và CBHSH của một số không âm đó là.
Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: số dương kí hiệu
là
a
và số âm kí hiệu là -
a
. Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0.
Với số a
≥
0 thì
a
≥
0, nghóa là
a
không thể âm.
VD4: So sánh 4 và
15

+ Cách giải sai: 4 <
15
(vì 4 < 15).
+ Cách giải đúng là: 16 > 15 nên
16
>
15
. Vậy 4 =
16
>
15
- Nguyên nhân: Học sinh sẽ không biết nên so sánh chúng theo hình
thức nào vì theo đònh nghóa số
15
chính là căn bậc hai số học của 15 do đó
nếu đem so sánh với số 4 thì số 4 có hai căn bậc hai số học là 2 và -2 cho nên
với suy nghó đó học sinh sẽ đưa ra lời giải sai như sau : 4 <
15
(vì trong cả
hai căn bậc hai của 4 đều nhỏ hơn
15
).
Tất nhiên trong cái sai này của học sinh không phải các em hiểu nhầm
ngay sau khi học song bài này mà sau khi học thêm một loạt khái niệm và hệ
thức mới thì học sinh sẽ không chú ý đến vấn đề quan trọng này nữa.
Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH
Trang 8
SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM
- Biện pháp khắc phục:

Ở đây giáo viên cần nhấn mạnh luôn là ta đi so sánh hai căn bậc hai số
học! Ta phải viết chúng ở dạng CBHSH rồi sau đó so sánh các số dưới dấu
căn
-VD5: Tính
81
+ HS giải:
81
=
=9 3

+ Cách giải đúng là:
81
= 9
- Nguyên nhân: Ở đây học sinh nhầm tưởng căn bậc hai có tính chất rút
gọn giống như phân số để đưa một phân số chưa tối giản trở thành một phân
số tối giản.
- Biện pháp khắc phục: GV chỉ cho HS thấy được căn bậc hai không có
tính chất rút gọn như phân số. Khắc sâu đònh nghóa CBHSH cho HS:
≥

= ⇔

=

2
0x
a x
x a
2. Sai lầm khi HS không chú ý đến điều kiện để một biểu thức có
căn bậc hai,

A
có nghóa; các quy tắc nhân các căn bậc hai, chia căn bậc
hai.
VD1: Có HS viết:
+ Vì
( ) ( )
3 . 27 81 9
− − = =
và
( ) ( )
3. 27 3 . 27 81 9
− − = − − = =
nên
( ) ( )
3 . 27 3. 27− − = − −
(!)
+ Vì
50 50
25 5
2
2
− −
= = =
−
−
và
50
25 5
2
−

= =
−
nên
50 50
2
2
− −
=
−
−
(!)
VD2: Giải bài tập sau: Tính
6 2 11−
+ Cách giải sai:
( )
( )
2
6 2 11 9 6 2 2 9 6 2 2
2 3 2 3 3 2 (!)
− = − + − = − − +
 
= − − = − = −
 
VD3: Bài tập 1.29 (Sách nâng cao ĐS 9 – trang 18).
Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:
A x x= +
+ Cách giải sai:
Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH
Trang 9
SÁNG KIẾN KINH

NGHIỆM
Ở bài này HS thường không tìm điều kiện để
x
xác đònh mà vội vàng
tìm giá trò nhỏ nhất của A bằng cách dựa vào
2
2
1 1
2 4
x x x
 
+ = + −
 ÷
 
mà biến
đổi
2
1 1 1
2 4 4
 
= + = + − ≥ −
 ÷
 
A x x x
1
min
4
⇒ = −A

⇔

1
0
2
x + = ⇔
1
4
−
=x

Vậy
1
min
4
= −A

⇔

1
4
= −x
+ Cách giải đúng:
x
xác đònh khi
0x ≥
. Do đó:
0 min 0 0A x x A x= + ≥ ⇒ = ⇔ =
- Nguyên nhân: Khi làm bài HS chưa nắm vững và cũng không chú ý
điều kiện để
A
tồn tại.

HS chưa nắm rõ các quy tắc nhân các căn bậc hai,chia hai căn bậc hai.
- Biện pháp khắc phục: Khi dạy phần này GV cần khắc sâu cho HS
điều kiện để một biểu thức có căn bậc hai, điều kiện để
A
xác đònh, điều
kiện để có:
.a b ab=
;
a a
b
b
=
.
3. Sai lầm khi HS chưa hiểu đúng về đònh nghóa giá trò tuyệt đối của
một số.
VD1: Rút gọn biểu thức sau: A =
2
2 5a a−
( Với a < 0 )
+ Cách giải sai;
A =
2
2 5a a−
=
2 5 2 5 3a a a a a− = − = −
( với a < 0 ) (!)
+ Cách giải đúng là:
A =
2
2 5a a−

=
2 5 2 5 7a a a a a− = − − = −
( với a < 0 )
VD2: Tìm x, biết :
−
2
4(1 )x
- 6 = 0
+ Cách giải sai :
−
2
4(1 )x
- 6 = 0
⇔ − =
2
2 (1 ) 6x
⇔
2(1 - x) = 6
⇔
1- x = 3
⇔
x = - 2.
Như thế theo lời giải trên sẽ bò mất nghiệm.
+ Cách giải đúng:
−
2
4(1 )x
- 6 = 0
⇔ − =
2

2 (1 ) 6x
⇔
1 x−
= 3.
Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH
Trang 10
SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM
Ta phải đi giải hai phương trình sau :
1) 1- x = 3
⇔
x = -2
2) 1- x = -3
⇔
x = 4.
Vậy ta tìm được hai giá trò của x là x
1
= -2 và x
2
= 4.
- Nguyên nhân:
HS chưa hiểu rõ về số âm và số đối của một số mà HS chỉ hiểu a<0
thì
a a=
- Biện pháp khắc phục:
+ Khi dạy phần này GV nên củng cố lại về số âm và số đối của một số.
+ Củng cố lại khái niệm giá trò tuyệt đối:
≥

=


− <

, nếu 0
, nếu 0
a a
a
a a
4. Sai lầm khi HS chưa nắm vững hằng đẳng thức:
2
A A=
- VD1: Bài tập 9d (sgk toán 9 - tập 1- trang 11)
Tìm x, biết:
2
9 12x = −
+ Cách giải sai:
2
9 12x = −

⇒

2
9 12x =
Vì
2 2
9 (3 ) 3x x x= =
nên ta có: 3x = 12
⇒
x = 4.
+ Cách giải đúng:

Vì
2 2
9 (3 ) 3x x x= =
nên ta có:
3 12x = −

⇒
3x = 12 hoặc 3x = -12 . Vậy x = 4 hoặc x = -4
- VD2: Bài tập 14c (sgk toán 9 - tập 1 – trang 5)
Rút gọn biểu thức:
2
(4 17)−
+ Cách giải sai:
HS1:
2
(4 17) 4 17 4 17− = − = −
HS2:
2
(4 17) 4 17− = −
+ Cách giải đúng:
2
(4 17) 4 17 17 4− = − = −
- VD3: Khi so sánh hai số a và b. Một HS phát biểu như sau: “Bất kì
hai số nào cũng bằng nhau ” và thực hiện như sau:
Ta lấy hai số a và b tùy ý. Gỉa sử a > b .
Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH
Trang 11
SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM
Ta có :

2 2 2 2
a 2 2ab b b ab a− + = − +
hay
( ) ( )
2 2
a b b a− = −
(1)
Lấy căn bậc hai hai vế ta được:
( ) ( )
2 2
a b b a− = −
Do đó:
a b b a− = −
Từ đó :
2 2a b=
a b⇒ =
Vậy bất kì hai số nào cũng bằng nhau.
HS này sai lầm ở chỗ : Sau khi lấy căn bậc hai hai vế của đẳng thức (1)
phải được kết quả:
a b b a− = −
chứ không thể có a - b = b- a.
- Nguyên nhân: HS chưa nắm vững hằng đẳng thức
2
A A=
, giá trò
tuyệt đối của một số âm.
VD4: Tìm x sao cho B có giá trò là 16.
B =
1616 +x
-

99 +x
+
44 +x
+
1+x
với x
≥
-1
+ Cách giải sai :
B = 4
1+x
-3
1+x
+ 2
1−x
+
1−x
B = 4
1+x
16 = 4
1+x

⇔
4 =
1+x

⇔
4
2
= (

1+x
)
2
hay 16 =
2
)1( +x
⇔
16 = | x+ 1|
Nên ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 16 = x + 1
⇔
x = 15
2) 16 = -(x+1)
⇔
x = - 17.
- Cách giải đúng:
B = 4
1+x
-3
1+x
+ 2
1−x
+
1−x
(x
≥
-1)
B = 4
1+x
16 = 4
1+x

⇔
4 =
1+x
(do x
≥
-1)
⇔
16 = x + 1. Suy ra x = 15.
- Nguyên nhân : Với cách giải trên ta được hai giá trò của x là x
1
= 15 và
x
2
=-17 nhưng chỉ có giá trò x
1
= 15 là thoả mãn, còn giá trò x
2
= -17 không
đúng. Đâu là nguyên nhân của sự sai lầm đó ? Chính là sự áp dụng quá rập
khuôn vào công thức mà không để ý đến điều kiện đã cho của bài toán, với x
≥
-1 thì các biểu thức trong căn luôn tồn tại nên không cần đưa ra biểu thức
chứa dấu giá trò tuyệt đối nữa.!
- Biện pháp khắc phục: Qua các bài tập đơn giản bằng số cụ thể giúp
cho học sinh nắm vững được chú ý sau : Một cách tổng quát, với A là một
biểu thức ta có
2
A
= | A|, có nghóa là :

Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH
Trang 12
SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM
2
A
= A nếu A
≥
0 ( tức là A lấy giá trò không âm );
2
A
= -A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trò âm ).
5. Những khó khăn thường gặp của HS khi tính giá trò của các căn
thức, mà biểu thức dưới dấu căn viết được dưới dạng bình phương của
một biểu thức.
Chẳng hạn: Tính
11 4 7−

Để giải quyết vấn đề trên HS làm sao vận dụng hằng đẳng thức lần lượt
biến đổi biểu thức
11 4 7−
và
7 5 2−
dưới dạng bình phương và lập phương
của một biểu thức.
Trong các hằng đẳng thức :
( )
2
2 2
2A B A AB B± = ± +

Học sinh thường nắm chưa vững nên dễ mắc sai lầm khi giải các bài tập
ở dạng trên.
VD1: Ở bài tập 15c ( SBT toán 9 - tập 1 – trang 5 )
Chứng minh :
( )
2
4 7 23 8 7− = −
HS dễ dàng biến đổi
( )
2
4 7 16 8 7 7 23 8 7− = − + = −
Nhưng ngược lại các em gặp khó khăn (nếu nắm không vững hằng
đẳng thức và khả năng tính toán )
VD2: Ở bài tập 15d (SBT toán 9 - tập 1 – trang 5 )
Chứng minh
23 8 7 7 4+ − =
Nếu HS không vận dụng bài tập 15c ở trên để giải mà các em lại viết
23 8 7+
dưới dạng bình phương của một biểu thức để tính
23 8 7+
là một
điều khó! Để tính nhanh và không nhầm lẫn. GV có thể hướng dẫn HS một số
dạng biến đổi như sau:
- Đối với biểu thức có dạng:
2x a b±
với a,b
≥
0 và x = a + b thì
( )
2

2x a b a b± = ±
- Đối với biểu thức có dạng:
2x a b±
với a,b
≥
0 và x = a
2
+ b thì
( )
2
2x a b a b± = ±

Áp dụng:
Bài 1: Tính
( )
2
12 2 35 12 2 7. 5 7 5 7 5 7 5− = − = − = − = −
Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH
Trang 13
SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM
Bài 2: Tính
( )
2
11 4 7 11 2.2. 7 2 7 2 7 7 2− = − = − = − = −
Bài 3: Tính
( )
2
46 6 5 46 2.3 5.1 3 5 1 3 5 1 3 5 1− = − = − = − = −
Bài 4: Bài 15d ( SBT toán 9 - tập 1 – trang 5 )

Chứng minh:
23 8 7 7 4+ − =
Ta có :
Vế trái:
23 8 7 7+ −
( )
2
23 2.4. 7 7 4 7 7
4 7 7 4 7 7 4
= + − = + −
= + − = + − =
6. Sai lầm khi HS chưa nắm vững các phép biến đổi biểu thức chứa
căn bậc hai

- VD1: Giải bài tập 58c ( SGK toán 9 - tập1 – trang 32 )
Rút gọn biểu thức sau:
20 45 3 18 72− + +
+Cách giải sai:
20 45 3 18 72 4.5 9.5 3 2.9 36.2
2 5 3 5 9 2 6 2 5 15 2 14 7
− + + = − + +
= − + + = − + =
+ Cách giải đúng là:
20 45 3 18 72 4.5 9.5 3 2.9 36.2
2 5 3 5 9 2 6 2 15 2 5
− + + = − + +
= − + + = −
- Nguyên nhân:
Sai lầm ở chỗ HS chưa nắm vững công thức biến đổi:

( )
x A y B z A m x z A y B m+ − + = − + +
( A,B
∈
Q
+
; x,y,z,m
∈
R )
- Biện pháp khắc phục:
Khi dạy phần tổng các căn thức đồng dạng, GV nhấn mạnh để HS khắc
sâu mà tránh những sai sót.
7. Lạm dụng đònh nghóa căn bậc hai số học của một số
0a ≥
khi giải
các bài toán về căn bậc ba :
- VD: Giải bài tập 3c (SBT ĐS9 – trang 19)
Giải phương trình:
3
1 1x x− + =
(2)
Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH
Trang 14
SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM
+ Cách gải sai:
( )
( )
( )
( ) ( )

3 3
3
2
1 1 1 1
1
1 0
1 2 0
1 1
1
1
0( )
1 2 0 1
2
x x x x
x
x
x x x
x x
x
x
x loai
x x x x
x
− + = ⇔ − = −
≥
− ≥


 
⇔ ⇔

 
− − =
− = −




≥


≥

=

 
⇔ ⇔
 

− − = =






=


Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm x
1

=1; x
2
=2. (!)
+ Cách giải đúng:
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
3
3 3
3
2
1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 2 0 1 2 0
x x x x x x
x x x x x x x x
− + = ⇔ − = − ⇔ − = −
⇔ − − − = ⇔ − − = ⇔ − − =
0x⇔ =
hoặc x = 1 hoặc x = 2.
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm:
1 2 3
0; 1; 2x x x= = =
- Nguyên nhân:
+ HS quá lạm dụng đònh nghóa căn bậc hai số học của một số
0a
≥
( )
2
2

0x
a x
x a a
≥


= ⇔

= =


+ HS chưa nắm vững đònh nghóa căn bậc ba của một số a.
- Biện pháp khắc phục:
Khi giảng phần này GV cần cho HS nắm đònh căn bậc ba của một số a,
đồng thời lưu ý HS hiểu rõ giữa căn bậc hai của một số
0a ≥
; căn bậc hai số
học của một số
0a ≥
và căn bậc ba của một số a.
8. Những sai lầm của HS khi đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa
số vào trong dấu căn, sử dụng đònh nghóa căn bậc hai số học để giải
phương trình.
- VD1: Bài tập
Rút gọn:
( )
2
2
3 5 4A x x x= + − −
( với

0x ≥
)
+Cách giải sai :
( )
2
2
3 5 4 3 5 2 4A x x x x x x x= + − − = − − = −

+ Cách giải đúng là :
Với
0x ≥
. Ta có:
Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH
Trang 15
SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM
( )
2
2
3 5 4
3 5 2 3 5 2 6
A x x x
x x x x x x x
= + − −
= + − − = + − =
- VD2: Bài 3b ( SBT toán 9 – trang 27 )
Rút gọn biểu thức:
3
2 48M x x
x

−
= + −
+Cách giải sai :
2
3 3
2 48 2 4 3
2 3 4 3 6 3 (!)
x
M x x x
x x
x x x
− −
= + − = + −
= − + − = −
+ Cách giải đúng:

3
2 48M x x
x
−
= + −
. Điều kiện để M xác đònh là: x < 0.
Khi đó:
( )
( )
2
3
2 16. 3 2 3 4 3 2 3
x
M x x x x

x
− −
= − + − = − − + − = −
- VD3: Bài tập 1 ( Sách nâng cao toán 9 - tập 1- trang 11 )
Giải phương trình :
14 2x x− = −
(*)
+ Cách giải sai :
(*)
( )
2
2 14x x⇔ − = −

( )
( )
( ) ( )
2 2
3 10 0 5 2 10 0
5
5 2 0
2
x x x x x
x
x x
x
⇔ − − = ⇔ − + − =
=

⇔ − + = ⇔


= −

Vậy phương trình (*) có hai nghiệm x
1
= 5 ; x
2
= -2 (!)
+ Cách giải đúng :
(*)
( )
2
2 0
2 14
x
x x
− ≥


⇔

− = −


2
2
4 4 14
x
x x x
≥


⇔

− + = −


( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
5 2 05 2 10 0
x
x
x xx x x
≥
≥



⇔ ⇔
 
− + =− + − =



2
5
5
2
x

x
x
x
≥


⇔ ⇔ =
=




= −


Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: x = 5.
- VD4: giải tập sau:
Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH
Trang 16
SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM
Rút gọn biểu thức:
2
y xy
x
M
y y
−
= −
−

- Cách giải sai:
( )
2 2
.
1 1 (!)
y x y
y xy xy y
x x x
M
y y y y y
y y
x y
x x x
y
y y y
−
− −
= − = − = −
−
−
= − = − − = −
+ Cách giải đúng :
Đk để M xác đònh:
0xy ≥
;
0y ≠
. Ta xét hai trường hợp:
*
0x ≤
; y < 0 .

2 2
2
1 1 2
y xy y xy
x x
M
y y y
y
x x x
y y y
− −
= − = −
−
= − − = −
*
0x
≥
; y>0.
( )
2
.
1 1
y y x
y xy
x x
M
y y y
y y
y x
x x x

y
y y y
−
−
= − = −
−
−
−
= − = − + − = −
−
Vậy: nếu
0x ≤
; y<0 thì
1 2
x
M
y
= −
và nếu
0x ≥
; y>0 thì
1M = −
- Nguyên nhân: HS năm chưa vững quy tắc
2
A B A B=
với
0B ≥
, điều
kiện để một thừa số đưa được vào trong dấu căn bậc hai, điều kiện để
A

tồn
tại, đònh nghóa căn bậc hai số học, quy tắc khai phương một thương.
- Biện pháp khắc phục:Khi dạy GV cần cho HS nắm vững:
+
2
A B A B=
với
0B ≥
+
2 '
2 '
voi 0; 0
voi 0; 0
A B A B
A B
A B A B

≥ ≥

=

− < ≥


+
A
tồn tại khi
0A ≥
+
0a

≥
,
( )
2
2
0x
a x
x a a
≥


= ⇔

= =


+ Nếu
0A
≥
, B > 0 thì
A A
B
B
=
Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH
Trang 17
SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM
9. Khi trục căn thức ở mẩu, khai phương một tích, khai phương một
thương HS thường mắc phải một số sai lầm:

VD1: Bài tập 32b ( SGK toán 9 - tập 1 – trang 19 )
Tính
1,44.1,21 1,44.0,4−
+ Cách giải sai:
1,44.1,21 1,44.0,4 1,44.1,21 1,44.0,4
1, 2.1,1 1,2.0,2 1,32 0,24 1,08 (!)
− = − =
= − = − =

+ Cách giải đúng:
( )
1,44.1,21 1,44.0,4 1,44 1,21 0,4 1,44.0,81 1,2.0,9 1,08− = − = = =
VD2: Giải các bài tập sau:
Tính: a.
81.256
; b.
625
16
+ Cách giải sai:
a.
81.256 9. 16 3. 4 12= = =
(!)
b.
625 25 5 5
16 2
4 2
= = =
(!)
+ Cách giải đúng:
a.

81.256 81. 256 9.16 144= = =
b.
625 625 25
16 4
16
= =
VD3: Khi giải bài toán về trục căn thức ở mẫu
+ Cách giải sai :
a.
( )
2
5 2 3. 5 2 15 2
3
3
3
+ + +
= =
b.
( )
( )
( )
2
2 5 1 2 5 1
2 5 1
5 1 2
5 1
5 1
− −
−
= = =

−
−
−
hoặc
( )
( ) ( )
( )
2 5 1 2 5 1
2 5 1
5 1 3
5 1
5 1 5 1
+ +
+
= = =
+
−
− +
hoặc
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2 5 1 2 5 1 2 5 1
2 5 1
25 1 12
5 1
5 1 5 1

5 1
+ + +
+
= = = =
−
−
− +
−
hoặc
( )
( )
( )
( )
2 5 1 2 5 1
2
2 5 1
1
5 1
5 1 5 1
+ +
= = = − +
−
−
− +
hoặc
( )
( ) ( )
( )
2 5 1 2 5 1
2 5 1

5 1 2
5 1
5 1 5 1
− −
−
= = =
−
−
− +
Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH
Trang 18
SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM
c.
5 5 7 5 7 5 7
2.7 3 17
2 7 3 2 7. 7 3
= = =
+
+ +
hoặc

( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
5 7 3 5 7 3 5 7 3 5 7 3
5
2. 7 9 4 4

2 7 3
2 7 3 . 7 3
− − − − −
= = = =
− −
+
+ −
d.
2 1
3
2 3
a
a
=
+
hoặc
( ) ( )
( )
2
2
2 2 2 2
2 9
2 3
2 3 2 3
2 3
a a a a
a
a
a a
a

= = =
−
+
+ −
−
- Cách giải đúng:
a.
( )
( )
2
3. 5 2
5 2 15 2 3
3
3
3
+
+ +
= =
b.
( )
( ) ( )
( )
2 5 1 2 5 1
2 5 1
5 1 2
5 1
5 1 5 1
+ +
+
= = =

−
−
− +
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
5 2 7 3 5 2 7 3
5
.
2 7 3
2 7 3 . 2 7 3
2 7 3
5 2 7 3
10 7 15

28 9 19
c
− −
= =
+
+ −
−
−
−
= =
−

( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
2 2 3 2 2 3
2
.
2 3
2 3 2 3
2 3
2 2 3
4 6

4 9 4 9
a a a a
a
a
a a
a
a a
a a
a a
d
− −
= =
+
+ −

−
−
−
= =
− −
(với
0a
≥
và
9
4
a ≠
)
- Nguyên nhân:
+ Hs chưa biết biến đổi biểu thức dưới dấu căn bậc hai thành
dạng tích để khai phương mà ngộ nhận sử dụng “
A B A B+ = +
” tương tự
như
. .A B A B=
( với
0A
≥
và
0B
≥
) để tính .
+ HS hiểu mơ hồ về quy tắc khai phương một tích, khai phương
một thương.
+ HS mất kiến thức căn bản ở lớp dưới nhất là các hằng đẳng

thức và tính chất cơ bản của phân thức.
Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH
Trang 19
SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM
+ HS chưa hiểu rõ quy tắc trục căn thức bậc hai ở mẫu và như thế
nào là hai biểu thức liên hợp của nhau, hai biểu thức này liên quan đến hằng
đẳng thức:
( ) ( )
2 2
A B A B A B− = − +

- Biện pháp khắc phục:
+ GV cần hết sức nhấn mạnh và làm rõ quy tắc khai phương một
tích , khai phương một thương và lưu ý HS không được ngộ nhận sử dụng
A B A B+ = +
tương tự như
. .A B A B=
( với
0A ≥
và
0B ≥
) .
+ Khi cần thiết GV cũng cố lại kiến thức có liên quan.Chẳng hạn
như hằng đẳng thức, tính chất cơ bản của phân thức.
+ Nhấn mạnh thế nào là hai biểu thức liên hợp của nhau.
+ Cần khắc sâu các công thức:
A A B
B
B

=
, với B > 0
( )
2
C A B
C
A B
A B
=
−
±
m
, với
0A ≥
và
2
A B≠
( )
C A B
C
A B
A B
=
−
±
m
, với
0, 0A B≥ ≥
và
A B≠

10. Sai lầm trong kỹ năng biến đổi :
Trong khi học sinh thực hiện phép tính các em có đôi khi bỏ qua các
dấu của số hoặc chiều của bất đẳng thức dẫn đến giải bài toán bò sai.
DV1 : Tìm x, biết :
(4-
)174(32).17 −<x
.
- Cách giải sai :
(4-
)174(32).17 −<x

⇔
2x <
3
( chia cả hai vế cho 4-
17
)
⇔
x <
2
3
.
- Cách giải đúng : Vì 4 =
16
<
17
nên 4 -
17
< 0, do đó ta có
(4-

)174(32).17 −<x

⇔
2x >
3

⇔
x >
2
3
.
-Nguyên nhân: Nhìn qua thì thấy học sinh giải đúng và không có vấn đề
gì. Học sinh khi nhìn thấy bài toán này thấy bài toán không khó nên đã chủ
quan không để ý đến dấu của bất đẳng thức : “Khi nhân hoặc chia cả hai vế
của bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều”.
Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH
Trang 20
SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM
- Biện pháp khắc phục: Chỉ ra sai ở chỗ học sinh đã bỏ qua việc so
sánh 4 và
17
cho nên mới bỏ qua biểu thức 4 -
17
là số âm, dẫn tới lời giải
sai.
VD2: Rút gọn biểu thức :
3
3
2

+
−
x
x
- Cách giải sai :
3
3
2
+
−
x
x
=
3
)3)(3(
+
+−
x
xx
= x -
3
.
- Cách giải đúng : Biểu thức đó là một phân thức, để phân thức tồn tại
thì cần phải có x +
3
≠
0 hay x
≠
-
3

. Khi đó ta có
3
3
2
+
−
x
x
=
3
)3)(3(
+
+−
x
xx
= x -
3
(với x
≠
-
3
).
-Nguyên nhân: Rõ ràng nếu x =-
3
thì x +
3
= 0, khi đó biểu thức
3
3
2

+
−
x
x
sẽ không tồn tại. Mặc dù kết quả giải được của học sinh đó không sai,
nhưng sai trong lúc giải vì không có căn cứ lập luận, vì vậy biểu thức trên có
thể không tồn tại thì làm sao có thể có kết quả được.
VD3: Rút gọn M, rồi tìm giá trò nhỏ nhất của M.
M =
12
1
:
1
11
+−
+








−
+
− aa
a
aaa
với a > 0.

- Cách giải sai :
M =
12
1
:
1
11
+−
+








−
+
− aa
a
aaa
=
:
)1(
1









−
+
aa
a
2
)1(
1
−
+
a
a
M =








−
+
)1(
1
aa
a

.
1
)1(
2
+
−
a
a
M =
a
a 1−
Ta có M =
a
a 1−
=
a
a
-
a
1
= 1-
a
1
, khi đó ta nhận thấy M < 1 vì a >0
Do đó min M = 0 khi và chỉ khi a = 1.
- Cách giải đúng :
M =
12
1
:

1
11
+−
+








−
+
− aa
a
aaa
có a > 0 và
a
- 1
≠
0 hay a > 0 và a
≠
1.
Với điều kiện trên, ta có :
Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH
Trang 21
SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM
M =









−
+
)1(
1
aa
a
.
1
)1(
2
+
−
a
a
M =
a
a 1−
Khi đó ta nhận thấy M < 1 vì a > 0.
Nếu min M = 0, khi và chỉ khi a = 1 (mâu thuẫn với điều kiện).
Vậy 0 < min M < 1, khi và chỉ khi 0< a <1.
-Nguyên nhân: Nhìn vào kết quả của bài toán rút gọn thì không sai,
nhưng sai ở chỗ học sinh lập luận và đưa ra kết quả về giá trò nhỏ nhất của M

thì lại sai. Rõ ràng học sinh không để ý đến chi tiết:
Khi a = 1 thì
a
= 1 do đó
a
- 1= 0, điều này sẽ mâu thuẫn trong điều
kiện tồn tại của phân thức.
- Biện pháp khắc phục: Lưu ý cho HS khi đi giải các bài toán có
chứabiến dưới căn thức bâc hai, ở mẫu của phân thức ta phải đi tòm ĐKXĐ
của biểu thức.
D. KẾT QUẢ THỰC HIỆN :
Qua thực tế giảng dạy chương I- môn đại số 9 năm học 2008-2009 này.
Sau khi xây dựng đề cương chi tiết của sáng kiến kinh nghiệm được rút ra từ
năm học 2007-2008 và các năm học trước tôi đã vận dụng vào các giờ dạy ở
các lớp 9A4, 9A5, 9A6 chủ yếu vào các tiết luyện tập, ôn tập. Qua việc khảo
sát chấm chữa các bài kiểm tra tôi nhận thấy rằng tỉ lệ bài tập học sinh giải
đúng tăng lên.
Cụ thể :
Bài kiểm tra 15 phút : Tổng số 117 em
Số bài kiểm tra có điểm từ 5 trở lên là 96 bài chiếm 82,1%. (ở năm học
2007-2008 là 73%) Tuy mới dừng lại ở các bài tập chủ yếu mang tính áp
dụng nhưng hiệu quả đem lại cũng đã phản ánh phần nào hướng đi đúng.
Bài kiểm tra chương I : Tổng số 117 bài.
Số bài kiểm tra có điểm từ 5 trở lên là 91 bài chiếm 77,8% (ở năm học
2007-2008 là 64%) trong đó có các bài tập đã có độ khó, cần suy luận và tư
duy cao hơn.
Như vậy sau khi tôi phân tích kỹ các sai lầm mà học sinh thường mắc
phải trong khi giải bài toán về căn bậc hai thì số học sinh giải đúng bài tập
Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH
Trang 22

SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM
tăng lên, số học sinh mắc sai lầm khi lập luận tìm lời giải giảm đi nhiều. Từ
đó chất lượng dạy và học môn Đại số nói riêng và môn Toán nói chung được
nâng lên.
E. BÀI HỌC KINH NGHIỆM VÀ GIẢI PHÁP THỰC HIỆN :
Qua quá trình giảng dạy bộ môn Toán, qua việc nghiên cứu các phương
án giúp học sinh tránh sai lầm khi giải toán về căn bậc hai trong chương I-
Đại số 9, tôi đã rút ra một số kinh nghiệm như sau :
* Về phía giáo viên :
- Người thầy phải không ngừng học hỏi, nhiệt tình trong giảng dạy, quan
tâm đến chất lượng của từng học sinh, nắm vững được đặc điểm tâm sinh lý
của từng đối tượng học sinh và phải hiểu được gia cảnh cũng như khả năng
tiếp thu của học sinh, từ đó tìm ra phương pháp dạy học hợp lý theo sát từng
đối tượng học sinh. Đồng thời trong khi dạy các tiết học luyện tập, ôn tập
giáo viên cần chỉ rõ những sai lầm mà học sinh thường mắc phải, phân tích kó
các lập luận sai để học sinh ghi nhớ và rút kinh nghiệm trong khi làm các bài
tập tiếp theo. Sau đó giáo viên cần tổng hợp đưa ra phương pháp giải cho
từng loại bài để học sinh giải bài tập dễ dàng hơn.
- Thông qua các phương án và phương pháp trên thì giáo viên cần phải
nghiêm khắc, uốn nắn những sai sót mà học sinh mắc phải, đồng thời động
viên kòp thời khi các em làm bài tập tốt nhằm gây hứng thú học tập cho các
em, đặc biệt lôi cuốn được đại đa số các em khác hăng hái vào công việc.
- Giáo viên cần thường xuyên trao đổi với đồng nghiệp để học hỏi và
rút ra kinh nghiệm cho bản thân, vận dụng phương pháp dạy học phù hợp với
nhận thức của học sinh, không ngừng đổi mới phương pháp giảng dạy để
nâng cao chất lượng dạy và học.
- Giáo viên phải chòu hy sinh một số lợi ích riêng đặc biệt về thời gian
để bố trí các buổi phụ đạo cho học sinh.
* Về phía học sinh :

- Bản thân học sinh phải thực sự cố gắng, có ý thức tự học tự rèn, kiên
trì và chòu khó trong quá trình học tập.
- Trong giờ học trên lớp cần nắm vững phần lý thuyết hiểu được bản
chất của vấn đề, có kỹ năng vận dụng tốt lí thuyết vào giải bài tập. Từ đó
học sinh mới có thể tránh được những sai lầm khi giải toán.
Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH
Trang 23
SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM
- Phải có đầy đủ các phương tiện học tập, đồ dùng học tập đặc biệt là
máy tính điện tử bỏ túi Caisiô f(x) từ 220 trở lên; giành nhiều thời gian cho
việc làm bài tập ở nhà thường xuyên trao đổi, thảo luận cùng bạn bè để nâng
cao kiến thức cho bản thân.
III. KẾT LUẬN :
Phần kiến thức về căn bậc hai trong chương I- Đại số 9 rất rộng và sâu,
tương đối khó với học sinh, có thể nói nó có sự liên quan và mang tính thực
tiễn rất cao, bài tập và kiến thực rộng, nhiều. Qua việc giảng dạy thực tế tôi
nhận thấy để dạy học được tốt phần chương I- Đại số 9 thì cần phải nắm
vững những sai lầm của học sinh thường mắc phải và bên cạnh đó học sinh
cũng phải có đầy đủ kiến thức cũ, phải có đầu óc tổng quát, lôgic do vậy sẽ
có nhiều học sinh cảm thấy khó học phần kiến thức này.
Để nâng cao chất lượng dạy và học giúp học sinh hứng thú học tập môn
Toán nói chung và phần chương I- Đại số 9 nói riêng thì mỗi giáo viên phải
tích luỹ kiến thức, phải có phương pháp giảng dạy tích cực, củng cố kiến thức
cũ cho học sinh và là cây cầu nối linh hoạt giữa kiến thức và học sinh.
Với sáng kiến “
Phát hiện và biện pháp khác phục sai lầm trong khi
giải toán về căn bậc hai” tôi đã cố gắng trình bày các sai lầm của học sinh
thường mắc phải một cách tổng quát nhất, bên cạnh đó tôi đi phân tích các
điểm mới và khó trong phần kiến thức này so với khả năng tiếp thu của học

sinh để giáo viên có khả năng phát hiện ra những sai lầm của học sinh để từ
đó đònh hướng và đưa ra được hướng cũng như biện pháp khắc phục các sai
lầm đó.
Bên cạnh đó tôi luôn phân tích các sai lầm của học sinh và nêu ra các
phương pháp khắc phục và đònh hướng dạy học ở từng dạng cơ bản để nâng
cao cách nhìn nhận của học sinh qua đó giáo viên có thể giải quyết vấn đề
mà học sinh mắc phải một cách dễ hiểu. Ngoài ra tôi còn đưa ra một số bài
tập tiêu biểu thông qua các ví dụ để các em có thể thực hành kỹ năng của
mình.
Vì thời gian nghiên cứu đề tài có hạn và tối chỉ nghiên cứu ở một phạm
vi. Vì vậy tôi chỉ đưa ra những vấn đề cơ bản nhất để áp dụng vào trong năm
học này qua sự đúc rút của các năm học trước đã dạy. Tôi xin được đề xuất
một số ý nhỏ như sau nhằm nâng cao chất lượng dạy và học của giáo viên và
học sinh:
Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH
Trang 24
SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM
- Giáo viên cần nghiên cứu kó nội dung và chương trình sách giáo khoa,
soạn giáo án cụ thể và chi tiết, thiết kế đồ dùng dạy học và TBDH sao cho
sinh động và thu hút đối tượng học sinh tham gia.
- Giáo viên cần tích cực học hỏi và tham gia chuyên đề, hội thảo của tổ,
nhóm và nhà trường, tham gia tích cực và nghiên cứu tài liệu về bồi dưỡng
thường xuyên.
- Học sinh cần h
ọ
c kó lý thuyết và cố gắng hiểu kó kiến thức ngay trên lớp.
- Học sinh về nhà tích cực làm bài tập đầy đủ, phân phối thời gian hợp lý.
- Gia đình học sinh và các tổ chức đoàn thể xã hội cần quan tâm hơn
nữa và trách nhiệm hơn nữa tới việc học tập của con em mình.

Vì khả năng có hạn, kinh nghiệm giảng dạy môn Toán 9 chưa nhiều,
tầm quan sát tổng thể chưa cao, lại nghiên cứu trong một thời gian ngắn, nên
khó tránh khỏi thiếu sót và khiếm khuyết. Rất mong được lãnh đạo và đồng
nghiệp chỉ bảo, giúp đỡ và bổ xung cho tôi để sáng kiến được đầy đủ hơn có
thể vận dụng được tốt và có chất lượng trong những năm học sau.
Tôi xin chân thành cám ơn !
Tăng Bạt Hổâ, ngày 28 tháng 11 năm
2008
Người viết
Nguyễn Văn Thuận
Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH
Trang 25